《1.1.1变化率与导数》导学案

1.1变化率与导数【课题】：1.1.2导数的概念（2）【教学目标】：（1）知识目标：使学生熟悉导数定义，进一步理解导数内涵。

（2）情感目标：让学生充分体会到生活中处处有数学。

（3）能力目标：提高学生学习能力与探究能力、理解表达能力。

【教学重点】：熟悉导数定义，进一步理解导数内涵【教学难点】：熟悉导数定义，进一步理解导数内涵【课前准备】：powerpoint【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、复习回顾（1）速度的平均变化率：tt vtt v∆-∆+)()(（2）瞬时加速度：当无限趋近于0 时，t∆无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t0tt vtt v∆-∆+)()(时的瞬时加速度注：瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率（3）函数的增量；)()(xfxxfy-∆+=∆（4）求平均变化率；xxfxxfxy∆-∆+=∆∆)()(（5）取极限，得导数．xyxfx∆∆='→∆0lim)(导数的概念函数在处的瞬时变化率()f xx x=即在处的导数，记0000()()lim limx xf x x f x fx x∆→∆→+∆-∆=∆∆()y f x=x x=作或，即()'f xx x='y00()()()limxf x x f xf xx∆→+∆-'=∆（6）思想方法：“以已知探求未知”、逼近、类比、从特殊到一般让学生自己回顾、梳理已经学过的知识点有利于自行构建知识体系，理清知识脉络，养成良好的学习习惯。

加深学生对导数概念的理解二、实践新知例1：将原油精炼为汽油、柴油、塑料等不同产品，需要对原油进行冷却和加热。

如果在第x h时候，原油温度（单位：）为.计算第2h和第6hc︒2()715(08)f x x x x=-+≤≤时，原油温度的瞬时变化率，并说明它的意义。

①启发学生根据导数定义，分别求出和(2)f'(6)f'②既然我们得到了第2h和第6h的原油温度的瞬时变化率分别为-3与5，大家能说明它的含义吗？师生共同归纳得到，导数即瞬时变化率，可反映物体变○3化的快慢发展学生的应用意识，是高中数学课程标准所倡导的重要理念之一。

1.1.3 导数的几何意义【学习目标】1、了解导函数的概念；理解导数的几何意义。

2、会求导函数。

3、根椐导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程。

重点难点重点：利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程。

易混点：准确理解在某点处与过某点的切线方程。

【使用说明与学法指导】1.课前用20分钟预习课本P6-9内容.并完成书本上练习题及导学案上的问题导学.2.独立思考，认真限时完成，规范书写.课上小组合作探究，答疑解惑.【问题导学】1．导数的几何意义P x f x n K沿着曲线f(x)趋近于点P（x0,f(x0)）（1）切线：如图，当点(,())(1,2,3,4)n n n时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线，显然割线PP n 的斜率k n 趋当无限趋近于点P时，k n无限趋近于切线PT的斜率。

（2）几何意义：函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点P（x0,f(x0)）处的切线的，也就是曲线y=f(x)在点P（x0,f(x0)）处的切线斜率k= = ，相应地，切线方程为 .2．导函数从求函数f(x) 在x=x0处导数的过程可以看到，当x=x0时，f/(x0)是一个的数，这样，当x变化时，f/(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数（简称）。

y=f(x)的导函数有时也记作y/，即f/(x)= y/=.【合作探究】探究一 求曲线切线方程1.已知曲线C ：314.33y x =+ (1)求曲线C 上在横坐标为2的点处的切线方程；（2）第（1）小题中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？解：探究二 求切点坐标2.抛物线2y x =在点P 处的切线与直线4x-y+2=0平行，求P 点的坐标及切线方程.探究三 导数几何意义的综合应用3.已知点M （0，-1），F （0，1），过点M 的直线l 与曲线31443y x x =-+在x=2处的切线平行。

2004年雅典奥运会
法国《队报》网站的文章称刘翔以不可思议的速度 统治了赛场。这名21岁的中国人跑的几乎比炮弹还 快，赛道上显示的12.94秒的成绩已经打破了12.95 奥运会记录,但经过验证他是以12.91秒平了世界纪 录，他的平均速度达到8.52m/s。
1.1.1 变化率问题
问题1
吹气球
的值为-13.1 .
探1.运动员在某一时刻t0的瞬时速度 究 怎样表示？ ？
瞬时速度，即是时间增量趋近于0时某一时刻的速度， 由极限的观点可知：当t 0, 时，
h t0Байду номын сангаас t h t0 瞬时速度为： lim t 0 t
2.函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率怎样表示？
观 察 ？
当△t趋近于0时，平均 速度有什么样的变化趋 势？
我们发现：当△t趋近于0时，即无论t从 小于2的一边，还是从大于2的一边趋近 v 于2时，平均速度 都趋近于一个确定 的值-13.1。
从物理的角度看： 时间间隔| △t |无限变小时，平均速度 v 就无限趋近于t=2时的瞬时速度。 所以：运动员在t=2时的瞬时速度是-13.1m/s 为了表述方便，我们用：
令△x = x2 – x1 , △ y = f (x2) – f (x1) ,则
y f (x 2 ) f (x1 ) f (x 1 x) f (x 1 ) x x x 2 x1
问题: 平均变化率的几何意义是什么?
y f (x 2 ) f (x 1 ) x x 2 x1
y 及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy), 则 =( x
)
A、3
B、3Δx-(Δx)2 D、3-Δx
C 、 3-(Δx)2

教学设计表格课前复习（情景再现）一、创设问题情境，引入课题：我们生活在瞬息万变的世界中，有些如风驰电掣，而有些如蜗牛行步。

那么我们如何用数学的方法来描述这些变化呢？播放ppt中跳水运动员的跳水过程。

让同学们观看完视频后，思考解决问题：人们发现在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、研探。

运用多媒体创设情境，让学生感受生活中处处有数学，为课题的引入作铺垫。

引入新课平均变化率二、新知探究：探究1 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其给同学们思考一下，然后提问：（请计算）学生举手回答解析：h(t)=-4.9t2+6.5t+10学生觉得问题有价值，具有挑战性，迫切想知道解决问题的方法。

让学生亲身感受知识与实际应用的联系。

探究2 气球膨胀率很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是如果将半学生分析并得到解析：当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为（1）当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为0.62>0.16可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．【思考】当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?对应的知识点以问题形式出现，再现中和反应的实质，引导学生将所学知识应用于生产、生活实际。

两个问题由易到难，让学生一步一个台阶。