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有限差分法有限差分法是数学领域的一项最新成果，它在某些特定情况下能得到非常好的结果。
所谓有限差分方程就是利用积分和求差公式将差分方程化成为多个等价的偏微分方程组的组合形式，然后再应用最优化方法求解这种方程组，从而得出未知数的近似值。
当已知方程组的每个参数及其变量代入数据计算后的误差时，只要对其进行必要的调整或者修改后，就可获得满意的精度与效率的估计值。
此外，还可以通过有限差分方程的求解来了解其物理背景。
比如说在物体碰撞问题中，两个质点之间距离的测量往往涉及到很复杂的三维几何关系。
即使是一个小的距离误差也会引起很大的误差。
因此，对于碰撞问题中两个质点之间的相互位置误差测量，必须考虑它们之间的三维几何关系，并根据具体问题建立相应的坐标系统。
有限差分方程可以用来描述许多不同类型的实际问题，例如质量、压力、速度、温度、流动、热传导、声音和电磁场等。
但是由于数学模型本身的复杂性，使得有限差分方程在求解上遇到了困难。
因此，人们开始寻找一种更加直观的方法来解决问题。
有限差分法正是基于此原理提出的。
利用有限差分方程求解偏微分方程，我们首先要给出所求解的偏微分方程的数学表达式，这样才能够在有限差分方程的数学模型中寻找解析解。
有限差分方程的解析解，需要借助解析函数的理论来确定。
但是在自然科学和工程技术领域里，对于一般的实际问题，很少会存在着某种数学模型完全适合于所有的具体问题，那么对于任意一个偏微分方程，总是存在着一个解析解。
当把偏微分方程的解析解用适当的坐标表示出来后，有限差分方程的求解就转化为如何寻找与这个解相对应的函数值的问题。
通常，解析函数的形式是比较复杂的，因此需要运用数值方法进行拟合，从而得到符合实际的数学表达式。
然后通过对这个数学表达式的求解来确定所求偏微分方程的解析解。
这种数值求解方法称为数值积分法。
在研究有限元法和边界元法时都可以采用一些简单易行而且计算机可能很容易处理的函数作为边界条件，而这些函数本身又是很容易计算的。
1. 引言有限差分法（Finite Difference Method，FDM）是一种求解微分方程数值解的近似方法，其主要原理是对微分方程中的微分项进行直接差分近似，从而将微分方程转化为代数方程组求解。
有限差分法的原理简单，粗暴有效，最早由远古数学大神欧拉（L. Euler 1707-1783）提出，他在1768年给出了一维问题的差分格式。
1908年，龙格（C. Runge 1856-1927）将差分法扩展到了二维问题【对，就是龙格-库塔法中的那个龙格】。
但是在那个年代，将微分方程的求解转化为大量代数方程组的求解无疑是将一个难题转化为另一个难题，因此并未得到大量的应用。
随着计算机技术的发展，快速准确地求解庞大的代数方程组成为可能，因此逐渐得到大量的应用。
发展至今，有限差分法已成为一个重要的数值求解方法，在工程领域有着广泛的应用背景。
本文将从有限差分法的原理、基本差分公式、误差估计等方面进行概述，给出其基本的应用方法，对于一些深入的问题不做讨论。
2. 有限差分方法概述首先，有限差分法是一种求解微分方程的数值方法，其面对的对象是微分方程，包括常微分方程和偏微分方程。
此外，有限差分法需要对微分进行近似，这里的近似采取的是离散近似，使用某一点周围点的函数值近似表示该点的微分。
下面将对该方法进行概述。
2.1. 有限差分法的基本原理这里我们使用一个简单的例子来简述有限差分法的基本原理，考虑如下常微分方程\begin{cases} u'(x)+c(x)u(x)=f(x), \quad x \in [a, b]; \\u(x=a) = d \end{cases} \tag{1}微分方程与代数方程最大的不同就是其包含微分项，这也是求解微分方程最难处理的地方。
有限差分法的基本原理即使用近似方法处理微分方程中的微分项。
为了得到微分的近似，我们最容易想到的即导数定义u'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}\approx \frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x} \tag{2}上式后面的近似表示使用割线斜率近似替代切线斜率，\Delta x 即为步长，如图 1(a)所示。
2015 年秋季学期研究生课程考核（读书报告、研究报告）考核科目:偏微分方程数值解法学生所在院（系）:理学院数学系学生所在学科:数学学生姓名:H i t e r学号:1X S012000学生类别:考核结果阅卷人抛物型方程有限差分方法的应用摘要抛物型偏微分方程是一类比较重要的偏微分方程。
热传导方程是最简单的一种抛物型方程。
热传导方程研究的是热传导过程的一个简单数学模型。
根据热量守恒定律和傅里叶热传导实验定律可以导出热传导方程。
在本篇论文中，将先详述抛物型偏微分方程的有限差分法的相关知识，然后给出抛物型方程的两个具体的应用实例。
关键字：抛物型方程，差分格式，应用AbstractParabolic partial differential equation is a kind of important partial differential equation. The heat conduction equation is one of the simplest parabolic equations. The heat conduction equation is a simple mathematical model of the heat conduction process. Heat conduction equation is derived based on the law of conservation of heat and Friyege's law of conduction. In this thesis, we first give a detailed knowledge of the finite difference method for parabolic partial differential equations, and then give two specific examples of the application of the parabolic equation.Keywords: parabolic equation, difference scheme, application0 前言抛物型方程是偏微分方程中的三大方程（另两种为双曲型方程和椭圆型方程）之一，如何去研究抛物型方程的性质在《偏微分方程数值解法》的课程中占有很大的比例。
变系数常微分方程有限差分
变系数常微分方程是指微分方程中的系数是关于自变量的函数。
有限差分是一种数值方法，用于求解微分方程的近似解。
结合这两
个概念，我们可以讨论如何利用有限差分方法来解变系数常微分方程。
首先，我们可以考虑将变系数常微分方程离散化为差分方程。
通过有限差分的方法，我们可以将微分方程中的导数用差分近似来
表示，从而得到一个差分方程。
这个差分方程可以用于计算微分方
程的近似解。
其次，有限差分方法可以用来解决一维、二维甚至三维的偏微
分方程。
针对变系数常微分方程，我们可以考虑将其离散化为差分
方程，然后利用有限差分方法进行数值求解。
这种方法在工程、物理、生物等领域都有广泛的应用。
另外，有限差分方法还可以用于处理边值问题和初值问题。
对
于变系数常微分方程，我们可以通过有限差分方法来处理不同的边
值条件和初值条件，从而得到微分方程的数值解。
总之，有限差分方法是一种常见的数值方法，可以用于求解各种类型的微分方程，包括变系数常微分方程。
通过将微分方程离散化为差分方程，然后利用有限差分方法进行数值求解，我们可以得到微分方程的近似解。
这种方法在实际工程和科学计算中具有重要的应用意义。
常微分方程有限差分
常微分方程是描述自然界中许多现象的数学模型，它们通常用
于描述变化的速率和趋势。
而有限差分则是一种数值方法，用于对
微分方程进行离散化处理，从而可以通过计算机进行求解。
将这两
者结合起来，可以得到一种强大的工具，用于求解复杂的微分方程
问题。
在常微分方程有限差分的方法中，我们首先将微分方程转化为
差分方程，然后利用数值方法进行求解。
这种方法的优势在于，它
可以处理一些无法通过解析方法求解的复杂微分方程，同时也可以
通过计算机进行高效的数值求解。
常微分方程有限差分的方法在科学和工程领域有着广泛的应用。
例如，在物理学中，它可以用于描述物体的运动和变形；在工程领域，它可以用于分析电路的动态行为和控制系统的稳定性；在生物
学中，它可以用于描述生物种群的增长和衰减。
通过常微分方程有
限差分的方法，我们可以更好地理解和预测这些现象的变化规律。
总之，常微分方程有限差分是一种强大的数值方法，它为我们
解决复杂的微分方程问题提供了新的途径。
通过这种方法，我们可
以更深入地理解自然界中的各种现象，并且为科学和工程领域的发展提供了重要的数学工具。
基于有限差分法的微分方程离散化求解【摘要】目前偏微分方程数值求解的方法主要有两种，即有限差分法和有限元方法。
本文论述了基于有限差分法的微分方程求解，离散化过程，并对结果进行了分析。
【关键词】有限差分法离散化数值模拟1.前言有限差分法是计算机数值模拟最早采用比较成熟的方法，该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域，是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表述简单。
有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内必改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
用有限差分法求解偏微分方程必须把连续问题进行离散化，为此首先要对求解区域进行离散化。
构造离散网格系统的目的在于将表现为非均系统的大尺度用若干可以近似为均匀系统的尺度（如网格）表征。
构造差分形式就是对参数在一定的离散点中心网格或块中心网格上离散。
其中，离散网格可以是空间离散网格，也可以是时间离散网格（即离散时间步长）。
平面网格的形式是多种多样的，如矩形网格、柱形网格、多边形网格等。
空间离散网格是和边界条件相关联的，一般来说，对于第一类边界条件采用点中心网格较方便，第二、三类边界条件采用块中心网格比较合适。
2.微分方程的离散化2.1一阶偏导数的差商逼近设有函数u(x,y,t)，对其自变量x的偏导数可以表示成函数的差商的极限形式（1）在⑴式中，当自变量增量充分小时，如果能用比较简单的函数差商来代替偏导数，即（2）这样就可以把偏微分方程用差分方程代替，从而把难于求解的偏微分方程化成代数方程组。
利用Taylor级数可以说用(2)形式的差商来逼近一阶偏听偏信导数，其误差对Δx来说是一阶的。
式(2)是用前差商来代替一阶偏导数即（3）同理，后差商也可以用来代替一阶偏导数，且其误差也为ο（Δx）。
有限差分法在工程数学中的应用研究工程数学是一门研究工程问题的数学学科，它主要应用于解决工程实际问题中的数学模型。
而有限差分法是工程数学中的一种常用数值计算方法，通过将连续问题离散化为离散问题，从而求得问题的近似解。
本文将探讨有限差分法在工程数学中的应用研究。
一、有限差分法的基本原理有限差分法是一种基于差分逼近的数值计算方法，其基本原理是将连续问题离散化为离散问题，通过求解离散问题的近似解来获得原问题的近似解。
具体而言，有限差分法将求解区域划分为若干个小区域，然后在每个小区域内选取一些离散点，通过近似代替微分和积分算子，将原问题转化为一个线性代数方程组或一个差分方程组，进而求解得到近似解。
二、有限差分法在偏微分方程求解中的应用偏微分方程是工程数学中常见的数学模型，它描述了许多实际问题中的变化规律。
有限差分法在偏微分方程的求解中得到了广泛应用。
以二维热传导方程为例，假设一个矩形区域内的温度分布满足热传导方程，可以通过有限差分法将该方程离散化，然后求解离散化后的差分方程组，最终得到温度分布的近似解。
三、有限差分法在结构力学中的应用结构力学是研究结构物受力和变形规律的学科，它在工程领域中具有重要的应用价值。
有限差分法在结构力学中的应用主要体现在求解结构物的静力和动力问题上。
例如，在求解梁的挠度和应力分布时，可以通过有限差分法将梁的微分方程离散化，然后求解离散化后的差分方程组，从而得到梁的近似挠度和应力分布。
四、有限差分法在流体力学中的应用流体力学是研究流体运动规律的学科，它在工程领域中具有广泛的应用。
有限差分法在流体力学中的应用主要体现在求解流体流动的速度场和压力场上。
以二维不可压缩流体的流动为例，可以通过有限差分法将连续方程和动量方程离散化，然后求解离散化后的差分方程组，最终得到流体流动的速度场和压力场的近似解。
五、有限差分法的优缺点及发展趋势有限差分法作为一种常用的数值计算方法，具有一些优点和缺点。
有限差分法在一维输运方程定解中的运用2012年2月第12卷第1期廊坊师范学院(自然科学版)JournalofLangfangTeachersCollege(NaturalScienceEdition)Feb.2012V0l_12No.1有限差分法在一维输运方程定解中的运用林喜季(福建江夏学院,福建福州350108)【摘要】有限差分方法就是一种数值解法,在一维输运方程定解中可以巧用它来解题,把表示变量连续变化关系的偏微分方程离散为有限个代数方程,然后利用电子计算机求此线性代数方程组的解.【关键词】一维输运方程;有限差分法;定解问题FiniteDifferenceMethodin0ne—DimensionalTransport EquationintheUseofDefiniteSolutionLINXii【Abstract】Thefinitedifferencemethodisanumericalmethod,one-dimensionaltransportequationinth esolutioncanbeskillfullyusedittosolveproblems,thecontinuousvariationofthatvariablepartialdifferential equationisdiscretizedintoafinitenumberofalgebraicequations,andthenusethecomputertosolveThishnearalgebraice quations.【Keywords】one-dimensionaltransportequation;finitedifferencemethod;definitesolutionproblem[中图分类号]0175.2(文献标识码]A[文章编号]1674—3229(2012)01—0016—03 在数学中,有限差分法的内涵是指用差商代替微商,即用泰勒级数展开式将变量的导数写成变量在不同时间或空间点值的差分形式的方法.它的基本思想是按时间步长和空间步长将时间和空间区域剖分成若干方格网,用泰勒级数展开近似式代替所用偏微分方程中出现的各阶导数,从而把表示变量连续变化关系的偏微分方程离散为有限个代数方程,然后,解此线性代数方程组.l导数用泰勒级数展开近似式导数(微商)y:=m0=±,是无限小的微分m0△),除以无限小的微分是△的商.它可以分别近似为:,,=dxAx=(1)y=Ax=(2)y=dxAx=坐(3)式(1),(2)相当于把泰勒级数y(+~xx)=y()+(Ax)y+1(△)+…(—Ax)=y()一(△)y+1(△)+…截断于(Ax)v项,把(Ax)项以及更高幂次的项全部略去.式(3)相当于把泰勒级数y(+Ax)一Y(一△)=2(Ax)Y+(△)y,-+..截断于2(Ax)项,把(Ax)项以及更高幂次的项全部略去.因此,式(3)的误差小于式(1)和(2).二阶导数类似的可近似为差商的差商,一X[dx…一血dx【一止]:志[(+△)+y(—Ax)一2y()](4)[收稿日期]2011—11—21[作者简介]林喜季(1977一),女,福建江夏学院讲师,研究方向:代数表示论.16?第12卷?第1期林喜季:有限差分法在一维输运方程定解中的运用2012年2月这相当于把泰勒级数Y(+△)一v(一△)=2y()+(△)+(△)Y+..'截断于(△)项,把(△)项以及更高幂次的项全部略去.偏导数也可仿照式(1)一(4)近似为商差.这样一来,偏微分方程就成了差分方程.2一维输运方程的定解问题如,在区间(0,L)上求解一维输运方程"='axx.分析:(1)把整个空间分为.,个"步子",每一步的长度=I/J.于是,自变量以步长跳跃,它的取值是(i=0,1,2,…,.,).把时间步长取为zI,即自变量t取值t=kv(k=0,1,2,…,).(2)仿照式(1)和(4),一维输运方程可近似为(1)=(1—2lM(￡),2+l_!["(+l,t)+u(一1,t)】(5)这样只要知道某个时刻t的u在各个地点的值(,t),代人式(5)就可以得到下个时刻t…的的各个地点的值u(i,t).但这种解法时间t的步长z.不能太大,必须满足条件≤1,否则,由于舍入误差,会在其后各步的计算中产生雪崩影响,以致计算结果完全失去意义. (3)仿照式(2)和(4),一维输运方程可近似为u(,t)一U(i,t一1)r2(+1,t)+u(i一1,t)一2U(,t)即"(¨)=(1+2竿)Ⅱ(),2一旦j三[(+1,t)+"(,t)】(6)这样做可以取消对步长r的限制.但是知道某个时刻t的Ⅱ在各个地点的值(,t),并不能代入式(6)直接得到下个时刻t川的的各个地点的值(,t),且必须把i=1,2,3,…,.,一1的共计J一1个同式(6)的方程联立起来求解u(t,t+1),u(2,t+1),…,u(J一1,t%+1),当然这种联立方程的计算依靠电子计算机还是很方便的.(4)仿照式(3),偏导数近似为u(Xi'tk+1):,从而一维输运方程可近似为M(,t+1)一u(,t):u(Xi+?,tk+1)+u(—t,+.)一2u(,t+吉).上式中(,tk+)可理解为:[配(,t+.)+u(,t)】/2,于是,上例差分方程即为窘u(…)一(+字)"()+au("~i-1+)=一Ⅱ()一(1一窘)"(3Ci~tk)一骞H+1)(7)知道某个时刻t的在各个地点的值M(,t)后,必须把i=1,2,3,…,J一1的共计.,一1个同式(7)的方程联立起来求解"(.,t…),U(2,t+1),…,(J—l,t+1),当然这种联立方程的计算依靠电子计算机还是很方便的.这种解法对时间的步长也有限制,应满足2≤1,但与解法(2)相比限制要宽些.3用近似式求一维波动方程的定解问题如,在区间(0,L)上求解一维波动方程%一a"=0.把整个空间分为.,个"步子",每一步的长度=l/J.把时间步长取为r,仿照式(4),一维波动方程可近似为"(戈,t+1)+(,t一1)一2u(,t)即(.):2(1一譬)u(+旦}[(+1,tk)+(;一1,)一¨(,一1)】.这就是说,只要知道某时刻t及其以前时刻的U在各个地点i的值u(,t),代入上式,就可以得到下个时刻tk+.的的各个地点的值"(,t…).在此f青景下,时间的步长r的限制条件为≤1.17?,J,L2一,J一,L2"r,+,L22012年2月廊坊师范学院(自然科学版)第12卷?第1期从上述例子可以看出,在研究一维输运方程定解问题时,可采用有限差分法,按适当的数学变换把定解问题中的微商换成差商,从而把原问题离散化为差分格式,进而求出数值解.该方法具有简单,灵活,容易在计算机上实现的特点.并且该方法还有很强的通用性,如热传导过程,气体扩散过程这类定解问题,其过程都与时间有关,利用差分法解这类问题,就是从初始值出发,通过差分格式沿时间增加的方向,逐步求出微分方程的近似解.再如弹性力学中的平衡,电磁场及引力场等问题,其特征均为椭圆型方程,利用差分法解这类问题,就是合理选定的差分方格网,建立差分格式,最后求解代数方程组.[参考文献][1]吴顺唐,邓之光.有限差分法方程[M].南京:河海大学出版社.1993.[2]陈祖墀.偏微分方程[M].合肥:中国科学技术大学出版社.2004.[3]王晓东.算法与数据结构[M].北京:电子工业出版, 1998.[4]王震,谢树森.解四阶拟线性波动方程的一类二阶差分格式[J].中国海洋大学,2004,(34).(上接15页)将上述n为奇数与n为偶数两种情况统一起来,可得数列{a)的通项公式为.=1[(口.+.)+(一1)(.一n.)】?r.2)看P≠1,根据文献l3j结论司知,b=+()p,即有an+lan=+【一)p,从而anan_l=+(?一-qp)p.若令一1)=+(一,(n≥2),贝0ana一:f(一1).当p≠±,g≠o时,一)+(g一)p=一p棚=qp(1一p)≠0(n≥2),从而,('一p)≠0(n≥).由%a一.=/(n一1)递推可得:当n为大于1奇数时,(n一1)(一1)厂(//,一3).n':(—.—.::—0n一:je'.——.::—'':e';:—:二—;0n一=?…?f1al;一厂(n一2)厂(一4)厂(3)'()'当ll,为大于2的偶数时,n=:;{—;——{.一:=.一18?=船?…?n一12Ⅱ[,(2Jl})]即当n为大于1奇数时,a=丁_—一a.;Ⅱ厂()Ⅱ()当n为大于2的偶数时,.=T或改写为a=Ⅱ[,(2)]二者可统一为n=—1[(nl+口2)+(一1)(n2一口1)]?{{一吉【3+(一1)】)n一吉[3+(一1)】[Ⅱ[(2)]/Ⅱ厂(+)](-1),nEN+且n≥3,其中f(n)=(1一p),n∈N+.[参考文献][1]劳建祥.递推数列求通项大观[J].数学教学,2005,(3): 41—42.[2]高焕江.也谈二阶线性递推数列的周期?t:ff-[J].廊坊师范学院,2009,9(6):8—10.[3]高焕江.二阶线性递推数列的通项公式[J].保定学院学报,2010,23(3):34—37.。
课程论文有限差分法在微分方程中的应用本学期学习了《微分方程数值解》，本书中有限差分法给我留下的印象比较深刻，下边说说自己在方面的一点理解，请老师指正。
1.有限差分法的基本思想：当系统的数学模型建立后，我们面对的主要问题就是微分积分方程的求解。
基本思想是用离散的只含有限个未知量的差分方程组去近似地代替连续变量的微分方程和定解条件，并把差分方程组的解作为微分方程定解问题的近似解。
将原方程及边界条件中的微分用差分来近似，对于方程中的积分用求和或及机械求积公式来近似代替，从而把原微分积分方程和边界条件转化成差分方程组。
2.有限差分法求解偏微分方程的步骤：区域离散，即把所给偏微分方程的求解区域细分成由有限个格点组成的网格，这些离散点称作网格的节点；近似替代，即采用有限差分公式替代每一个格点的导数。
逼近求解，换而言之，这一过程可以看作是用一个插值多项式及其微分来代替偏微分方程的解的过程。
从原则上说，这种方法仍然可以达到任意满意的计算精度。
因为方程的连续数值解可以通过减小独立变量离散取值的间格，或者通过离散点上的函数值进行插值计算来近似得到。
理论上，当网格步长趋近于零时，差分方程组的解应该收敛于精确解，但由于机器字节的限制，网格步长不可能也没有必要取得无限小，那么差分法的收敛性或者说算法的稳定性就显得至关重要。
因此，在运用有限差分法时，除了要保证精度外，还必须要保证其收敛性。
3.构造差分法的几种形式：主要草用的是泰勒级数展开的方法。
其基本差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等。
其中前两种形式为一阶计算精度，后一种为二阶计算精度。
4.有限差分法的应用:4.1抛物线形的差分法中的一维常系数抛物线型方程 考虑最简单的以为常系数抛物线型方程22()u uLu a f x t x∂∂=-=∂∂ (,)x t ∈Ω 其中Ω是（x.t ）平面内的给定区域，可以是有节区域或无解区域；a>0是常数，L 是微分算子。
根据定解条件的不同，可以将上述方程分为两类： 1.初值问题在区域{(,)|,0}x t x t Ω=-∞<<+∞>上求解方程满足初始条件(,0)(),u x x x φ=-∞<<+∞的解。
2，初边值问题（混合问题）在区域{(,)|0,0}x t x l x T Ω=<<<≤内求方程满足初始条件(,0)(),0u x x x l φ=≤≤和下列边界条件之一的解。
第一边届条件1,(0,)u t μ=2(,)u l t μ= 0t T ≤≤第二边界条件1,(0,)x u t β=2(,)x u l t β= 0t T ≤≤第三边界条件101(())|()x x u t u r t α=-=202(())|()x x u t u r t α=-= 0,1,2,0i i t T α≥=≤≤用适当的差商代替方程中相应的偏导数，可得到以下几种最简差分格式： 古典显示格式：111(1)22k k k k kj jj j j kk h j j u u u u u L u af hτ++---+≡-=古典隐式格式：111111(2)1122k k k k k j jj j j k k h jj u u u u u L uaf hτ+++++-++--+≡-=加权六点隐式格式：11111111(3)12222(1)(1)k k k k k k k kj jj j j j j j k k kh jj j u u u u u u u u L u a a f f h h θθθθτ+++++-+-+⎡⎤--+-+≡-+-=+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦4.2椭圆型方程边值问题的差分法考虑如下两点边值问题au bu cu f '''-++=01(0),(1)u u u u == (0,1)x ∈Ω=其中0u ，1u 为常数，系数a=a(x),b=b(x),c=c(x),f=f(x)为一致的充分光滑函数，且满足a(x)>0，c(x)>0.首先将区间Ω离散化，我们采用剖分部分，取正整数M ，将区间M Ω等分，的M+1个节点：0101M x x x =<<<=其中1(0,1,),j x jh j M h M===。
设U 为定义在节点(0,1,)j x jh j M ==上的网格函数并用i U 近似()j u x 。
下边可以得到两点边值问题的有限差分：1111222j j j j j h j jjj j j U U U U U A U a b c U f hh-++--+--++=0011,U u U u == 0,1,1j M =- 上述方程组成为差分方程，它的解就是两点边值问题的差分解，当0,1,1j M =-时忧伤出差分方程可得：221111()(2)()22j j j j j j j j j j a hb U a h c U a hb U h f -+-+++--=由此得出线性代数方程： AU g = 其中1,2,1,1,2,1(),()T T M M U U U U g g g g --==，因此(1)(1)M M A R --∈2111122222222333321112()211()2()22()1()222ij M M a h b a hb a hb a h b a hb A a a hb a h b a h b --⎡⎤+--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-++--⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-++⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎣⎦1M g R -∈定义为211102222211111()21()2M M M M h f a hb u h f g h f h f a hb u ----⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦显然，当h 充分小的时候矩阵A 为按行对角占优的矩阵，即 ||,1,2,i i i jj ia ai M ≠≥=-∑且存在0i ，使得：0000||i i i jj i a a≠>∑4.3：双曲线方程的有限差分法我们考虑线性对流方程的初值问题=0u ua t x ∂∂+∈Ω∂∂，(x,t) (,0)(),u x x x φ=-∞<<+∞用差分法求解该微分方程的过程和用差分法求解抛物线型方程相类似。
以下我们看看用差分法求解该方程的几种格式，不一一写出具体步骤，只列出结果。
1。
Courant-Isaacson-Rees 格式（迎风格式）1110k k k kk kj jj j j ju u u u u u aahhτ+-++----+-= 其中1(||)2a a a ±=± x-Friedrichs 格式。
111111()202k k k k k j j j j j u u u u u a hτ++-+--+-+=3。
Lax-wendroff 格式。
211111()(2)22k k k k k k kjjj j j j j r r uu u u u u u ++-+-=--+-+4.蛙跳（Leap-Frog ）格式。
1111022k kk kj j j j u u u u ahτ+-+---+=5.Crank-Nicolson 格式。
1111111()4k k k k k kj j j j j j r u u u u u u ++++-+-=--+-以上是本书中差分法在解决不同类型的初边值问题中的应用，只是一些概括性的知识点，下边我们仅用一个具体的实例来说明差分法的求解问题过程。
考虑扩散方程的第一初边值问题：22,u ut x∂∂=∂∂ 01,0x t <<>当 (,0)sin ,u x x = 01x ≤≤当时 (0,)(1,)0,u t u t == 0t ≥当用分离变量法可得其解析式为：2(,)sin ,010tu x t e x x t ππ-=≤≤≥；取10,0.1,(0,1,)j J h x jh j J ====，τ为时间步长，2r h τ=为网比，对于不同的r ，用加权六点隐式格式：11111111(3)12222(1)(1)k k k k k k k kj jj j j j j j k k k h jj j u u u u u u u u L u a a f f h h θθθθτ+++++-+-+⎡⎤--+-+≡-+-=+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦计算上述问题的解(,)u x t 在（0.5,0.5）处的近似值，计算结果如下表所示，上述问题的解析式在该点的值为u （0.5,0.5）=0.00719188。
用加权六点隐式格式计算解u （0.5,0.5）得近似值r θ=0古典显示格式θ=0.5六点对称格式θ=0.8加权六点隐式格式θ=1古典隐式格式0.25 0.00704646 0.00748696 0.00775888 0.00794334 0.5 0.00661656 0.00748147 0.00803089 0.00840990 1.0 1.1056e+0.006 0.00745954 0.00858011 0.00937818 2.0 -2.058e+003 0.00737196 0.00969564 0.01144914 5.00.00137662 0.00676686 0.01311077 0.0186116510.0 -0.00000000 0.00473313 0.01866455 0.03295445 5.总结:差分法在微分方程数值问题中的应用很广泛，是一个很深奥的很有研究意义的问题，我对它的理解也仅存在于皮毛上，在上面的例子中，仅仅是列举出了抛物线形的差分法中的一维常系数抛物线型方程，对于剩下的两种并没有局出具体的例子来说明，但是其解题思路如上述所叙述的一样。
学习完了这本书，收获有之，更多的是留下的问题，很多问题自己会好好的去理解的。
最后，祝老师新年愉快。
