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函数的零点 开课 上海 吴淞中学

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3．4 函数的零点【课 型】 新授课． 【教学目标】1. 结合二次函数的图象，能判断二次函数零点的存在性，会求简单函数的零点，了解函数的零点与方程根的关系。

2.理解在函数的零点两侧函数值乘积小于0这一结论的实质.3. 知道用“二分法”可求函数的零点．在用“二分法”解高次方程过程中，从对函数图像与x 轴交点和函数对应方程解的关系的探究过程中，获得解高次方程的“二分法”，从而体验数形结合数学思想方法的魅力．熟悉计算器的应用．5．体验函数零点概念的形成过程，提高数学知识的综合应用能力,让学生初步体会事物间相互转化的辩证思想。

通过参与学习，感受获取知识、获得成功的喜悦．【教学重点】 函数的零点及有关概念．【教学难点】 函数的零点、利用“二分法”求零点的近似值．一、创设情景请你填空，探索一元二次方程的根与二次函数图象之间的关系．问题1：从该表你可以得出什么结论？问题2：其他的函数与方程之间也有类似的关系吗？请举例．由此得出：一般地，对函数)(x f y =，当c x =时，0)(=c f ，则c x =是方程0)(=x f 的解，c 也就是函数)(x f y =的图像与x 轴的交点的横坐标．由简单到复杂，使学生初步感知函数的图像与方程根的关系。

二、形成概念一般地，对于函数))((D x x f y ∈=，如果存在实数)(D c c ∈，当c x =时，0)(=c f ，那么就把c x =叫做函数))((D x x f y ∈=的零点．事实上，函数的零点就是方程0)(=x f 的解．三、深化概念回到二次函数的那张表中指出零点例 1 求下列函数的零点 1）f (x )=x (x 2－16)2）22)(23--+=x x x x f．说明 通过函数的图像零点分析，可以把方程的解的情况的研究，对应函数图像与x 轴交点的情况的研究，使某些方程问题与函数问题得到统一．四、深入探究问题：所有函数都存在零点吗？什么条件下才能确定零点的存在呢？探究: （I ）观察二次函数32)(2--=x x x f 的图象：○1 在区间(-2,0)上有零点______；)2(-f ·)0(f _____0（＜或＞）．a 0bc dy问：已知函数 ()y f x =在区间[a,b]上有定义，且满足()()0f a f b < ，是否一定在区间（a,b ）内存在零点？零点性质：如果函数)(x f y =在定义区间[]b a ,上的图像是一条连续不断的曲线，且有0)()(<⋅b f a f ，那么在区间),(b a 内一定存在一个实数c ，使0)(=c f ，也就是在),(b a 内，函数)(x f y =有零点说明：1.两个条件缺一不可2.有零点表示至少有一个，可以有多个.问：若函数在区间（a,b)内有零点，是否一定能得出0)()(<⋅b f a f ？ 问：若改为 0)()(<⋅b f a f ，是否能得出（a,b)内一定没有零点？ 3.反之，不成立问：在加上什么样的条件，区间(a , b )内就有且仅有一个零点了呢？ 4.单调，唯一如果函数 y=f(x) 在[a,b]上,图象是连续的，并且f(a) · f(b)﹤0, 且是单调函数，那么，这个函数在(a,b)内必有惟一的一个零点。

结论： 定理的作用，判定零点的存在，并找出零点所在的区间 例2：在下列哪个区间内,函数f (x)= x 3＋3x －5 一定有零点（ ） A 、(－1,0） B 、(0,1） C 、(1,2） D 、(2,3） 例3：已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下的x ,f(x)对应值表：那么该函数在区间[1，6]上有（ ）零点A 、只有3个B 、至少有3个 C 、至多有3个 D 、无法确定说明 通过问题讨论，加深学生对概念的理解与掌握．四、应用举例例2．有一块边长为13厘米的正方形金属薄片，如果先在它的四个角上都剪去一个边长是x 厘米的小正方形，然后做成一个容积是140立方厘米的无盖长方体盒子（如图），那么x 的值是多少（精确到10⋅）？解： 根据题意，得140)213(2=-x x 即014016952423=-+-x x x ．求这个三次方程在)213,0(内的实数根，就是求函数)2130(140169524)(23<<-+-=x x x x x f 的零点． 列表，先用描点法作出函数)(x f 在区间)13,0(上的大致图像对于二次函数，我们有求根公式，可以求出其零点，而对三次函数或更高次的函数，可以借助于计算机（器）求解由表和图可以看出，函数)(x f 在区间)2,1(、)4,3(内各有一个零点． 问：用什么方式去求)4,3(内的零点的近似值呢？ 数值试探法3.1~3.9问：用什么样的数值去试探才能较快的接近零点？CCTV2“幸运52”片段 ：主持人李咏说道:猜一猜这架家用型数码相机的价格.观众甲:2000! 李咏:高了! 观众乙:1000! 李咏:低了!观众丙:1500! 李咏:还是低了!········由此判断价格应该在1500~2000之间，如果再猜呢？二分法能比较快速的接近零点下面寻求函数140169524)(23-+-=x x x x f 在)4,3(内的零点的近似值（精确到10⋅）． ⑴取)4,3(的中点1x ，5.32431=+=x ， 14)5.3()(1-==f x f ，因为0)5.3()3(<⋅f f ，所以)(x f 在)5.3,3(内有零点． ⑵取)5.3,3(的中点2x ，25.325.332=+=x ， 6875.2)25.3()(2-==f x f ． 因为0)25.3()3(<⋅f f ，所以)(x f 在)25.3,3(内有零点．⑶取)25.3,3(的中点3x ，125.3225.333=+=x ， 3828.2)125.3()(3==f x f ．因为0)25.3()125.3(<⋅f f ，所以)(x f 在)25.3,125.3(内有零点． ⑷取)25.3,125.3(的中点4x ，1875.3225.3125.34=+=x ， 0986.0)1875.3()(4-==f x f ．因为0)1875.3()125.3(<⋅f f ，所以)(x f 在)1875.3,125.3(内有零点． ⑸取)1875.3,125.3(的中点5x ，15625.321875.3125.35=+=x ， 15589.1)15625.3()(5==f x f ．因为0)1875.3()15625.3(<⋅f f ，所以)(x f 在)1875.3,15625.3(内有零点．因为区间)1875.3,15625.3(的两个端点值，精确到1.0的近似值都是2.3，所以)(x f 在区间)4,3(内的零点的近似值是2.3（精确到10⋅）．同样，可求得)(x f 在区间)2,1(内的零点近似值是3.1．因此，上述问题中正方形所剪去的小正方形的边长约是3.1厘米或2.3厘米．从上面的解题过程中可以得出，通过每次把)(x f y =的零点所在的小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步逼近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法．小结 ：用二分法求函数零点的基本步骤:1. 确定初始区间[a,b]，验证f(a)f(b)<02. 求区间[a,b] 的中点1x3. 计算f(1x ) 并判断：(1) 如果f(1x )=0，则1x 就是f(x)的零点，计算终止;(2) 如果f(a)f(1x )<0，则零点1*(,)x a x ∈，否则零点1*(,)x x b ∈ 4. 重复步骤2～3,直至所得区间的两端点在要求的精确度下取得的近似值相等口诀：定区间，找中点， 中值计算两边看. 同号去，异号算， 零点落在异号间. 周而复始怎么办? 精确度上来判断六、课堂小结1．函数的零点，三个等价 2．零点性质：3．由于实际问题中列出的方程可能是相当复杂的，因而确实存在求函数零点近似值的问题．二分法是解决这一问题的实用且基本的方法．通过对函数零点的研究，能使我们体会二分法和逼近思想，熟悉计算器的应用．3）二次函数f(x)=ax 2+bx+c 是偶函数,它有两个零点x 1,x 2,则x 1+x 2=________.七、课外作业高中一年级第一学期(练习部分)习题3．4 A 组12，B 组10． 【备用题】（基础型）1）若函数)(123)(R x a ax x f ∈+-=在)1,1(-内有零点，则实数a 的取值范围是 ．解：因为函数)(x f 的图像是直线，所以由题意 0)1()1(<⋅-f f ，即0)123()123(<+-⋅+--a a a a ，因此a 的取值范围是),51()1,(+∞⋃--∞2）定义在R 上的奇函数f(x)有三个零点123,,x x x ，则下面关系中正确的是（ ）A. 123,,x x x >0B. 123,,x x x =0C. 123,,x x x <0D.以上三种关系都可能 （拓展型）：求证：函数)4(44)(-≥-++=x x x x f 在),4(∞-内有且只有一个零点．证明：设+∞<<<-214x x ，则 )()(21x f x f -44442211+-+--++=x x x x 212144x x x x -++-+=2121214444x x x x x x -++++--+=0)1441)((2121<++++-=x x x x ， 即 0)()(21<-x f x f ，)()(21x f x f <．所以，函数)4(44)(-≥-++=x x x x f 在),4(∞-上是增函数．又8)4(-=-f ，22)4(=f ，022)8()4()4(<⋅-=⋅-f f ，所以，函数)(x f 在)4,4(-内有零点．由于函数)(x f 在),4(∞-上具有单调性，因此)(x f 在),4(∞-内有零点并且只有一个零点．【教学反思】。

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上海市吴淞中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷

上海市吴淞中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷


当0
£
x
< 1 时，则
f
( x)
=
x 1-
x
=
1 1-
x
-1，
因为 y = 1- x 在[0,1) 上单调递减，且 x +1 < 0 恒成立，所以 f (x) 在[0,1) 上单调递增，
可得 f (x) 的函数图象如下：
方程 f ( x) = kx + b(k ¹ 0) 根的个数即为函数 y = f ( x) 与 y = kx + b (k ¹ 0) 的交点个数，
B．幂函数的图象都经过 (0, 0) ， (1,1) 两点
C．幂函数 y = xm 图象不可能在第四象限内 D．若幂函数 y = xm 为奇函数，则 y = xm 是定义域内的严格增函数
14．若 tan α=2 6 ，π<α< 3π ，则 cos a 等于（ ）
2
2
A． -
15 5
B． 15 5
C． -
12．
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1 2
,
2ùúû
【分析】由题意可得，对 "x1 ， x 2 ， x3 Î R ，总有 f ( x1 ) + f ( x2 ) > f ( x3 ) 恒成立，转化为
答案第51 页，共22 页
2 f ( x)min > f ( x)max ，根据单调性求函数最值即可. 【详解】由题意可得：对 "x1 ， x 2 ， x3 Î R ，总有 f ( x1 ) + f ( x2 ) > f ( x3 ) 恒成立，只需
³
1 a
(2
+
2
y-2 x
×
y
x -
人教B版高中数学必修一.1函数的零点课件

人教B版高中数学必修一.1函数的零点课件


有两个相等的 实数根x1 = x2
y
函数y= ax2 +bx
y
+c(a > 0)的图象
x1 0
x2 x
0 x1 x
函数的图象 与 x 轴的交点 (x1,0),(x2,0)
(x1,0)
△＜0 没有实数根
y
0
x
没有交点
一元二次方程的根就是对应函数图象与x 轴交点的横坐标。
创 设
4.已知二次函数y=x2－x－6，y=0时， 求方程的根，并作出函数的图像,解出
2.4.1 函数的零点
创 设 1.一元二次方程是否有实根的判 情 定方法； 境
2.二次函数y=ax2+bx+c的图像及 其性质；
3.一元二次方程的根和函数与X 轴交点的关系.
创 判别式△ = 设 b2－4ac
△＞0
△=0
方程ax2 +bx+c=0
情境(a > 0)的根
两个不相等 的实数根x1 ,x2
人教B版高中数学必修一 .1 函数的零点课件
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典 例 探 究
例：函数f(x)=x3+x-3,则函数 f(x)的零点所在区间（ ） A.（-1，0） B.（0，1） C.（ 1，2） D. (2,3)
人教B版高中数学必修一 .1 函数的零点课件
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的实数根，亦即函数图像与x轴交点
的横坐标，也是不等式f(x)>0(<0)
的端点值.
新 例1：判断下列函数的零点： 知 探 (1)f(x)=x2-2x+1; 究 (2)f(x)=x2-2x+3.
【课件】函数的零点与方程的解课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

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图(2)中函数在区间(a,b)内
()
( 2)
仅有1个零点.
函数零点存在定理只能判断出零点是否存在，而不能判断出零点 的个数 .
函数零点存在定理
问题4 函数y=f(x) 在区间(a,b) 内有零点，是不是一定有f(a)f(b)<0?
函数零点存在定理
不一定. 如f(x)=x²在区间(-1,1)上有零点0, 但是f(-1)f(1)=1×1=1>0.
探究三：判断函数零点的个数
【变式训练】判断函数f(x)=Inx+x²-3
的零点的个数 .
解 ： [法 一 图象法]
函数对应的方程为1n x+x²—3=0,所以原函数零点的个数即
为函数y=1n x与 y=3—x² 的图象交点个数.
在同一坐标系下，作出两函数的图象 (如图).
由图象知，函数 y=3—x² 与y=1n x的 图象只有一个交点，从而In x+x²—3=0 有一个根，
探 究一：求函数的零点
【例1】 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出. (1)f(x)=x²
十2x+4;
(2)f(x)=2x—3;
(3)f(x)=1—log₃x.
(1)令x²+2x+4=0,
由于△=2²- 4×1×4= - 12<0,
所以方程x²+2x+4=0 无实数根，
所以函数f(x) =x²+2x+4 不存在零点
高中数学 ·必修—
第四章指数函数与对数函数
函数的零点与 方程的解
知识回顾
一次函数、指数函数、对数函数的增长速度比较 函数
在(0,+0) 上的单调性
增长速度
2024—2025学年上海市吴淞中学高三上学期期中考试数学试卷

2024—2025学年上海市吴淞中学高三上学期期中考试数学试卷

2024—2025学年上海市吴淞中学高三上学期期中考试数学试卷一、填空题(★) 1. 设全集，则 ____________ .(★) 2. 过点倾斜角为的直线方程是 __________ .(★★) 3. 已知等差数列的公差为1，为其前n项和，若，则＝ ___ ．(★) 4. 已知角在第二象限，且，则= _____________ .(★★) 5. 的展开式中x的系数为 ______ .(★★) 6. 已知，则在上的数量投影为 __________ ．(★★★) 7. 已知是定义域为的奇函数，且时，，则的值域是__________ .(★★★) 8. 若直线与曲线相切，则实数的值为 ______ .(★★)9. 数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是 ______________(★★) 10. 已知函数，且，则__ .(★★★) 11. 已知函数若对任意实数，总存在实数，使得则实数的取值范围是 ______ .(★★★) 12. 在中，，P为内部一动点(含边界)，在空间中，若到点的距离不超过的点的轨迹为L，则几何体L的体积等于 ______ .二、单选题(★★) 13. 若是关于x的实系数方程的一个虚数根，则（）A．，B．，C．，D．，(★★★) 14. 已知，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(★★★) 15. 设（其中），若点为函数图像的对称中心，B，C是图像上相邻的最高点与最低点，且，则下列结论正确的是（）A．函数的图象对称轴方程为；B．函数的图像关于坐标原点对称；C．函数在区间上是严格增函数；D．若函数在区间内有个零点，则它在此区间内有且有个极小值点．(★★★★) 16. 已知，函数的定义域为的值域为的子集，则这样的函数的个数为（）A． 1B． 2C． 3D．无数个三、解答题(★★) 17. 深入实施科教兴国战略是中华人民伟大复兴的必由之路． 2020年第七次全国人口普查对6岁及以上人口的受教育程度进行统计（未包括中国香港、澳门特别行政区和台湾省的人口数据），我国31个省级行政区具有初中及以上文化程度人口比例情况经统计得到如下的频率分布直方图．(1)求具有初中及以上文化程度人口比例在区间内的省级行政区有几个？(2)已知上海具有初中及以上文化程度人口比例是这组数据的第41百分位数，求该比例落在哪个区间内？(★★★) 18. 设的内角A，B，C的对边分别为，且B为钝角.(1)若, ，求的面积；(2)求的取值范围.(★★★) 19. 如图，为圆O的直径，点在圆O上，，矩形所在平面和圆O所在的平面互相垂直，已知．(1)求证：平面平面；(2)当的长为何值时，二面角的大小为？(★★★★) 20. 设，椭圆与双曲线的离心率分别为(1)若，求的值；(2)当时，过双曲线的右顶点作两条斜率分别为的直线分别交双曲线于点（不同于右顶点），若，求证：直线的倾斜角为定值，并求出该定值；(3)当时，设点，若对于直线，椭圆上总存在不同的两点与关于直线对称，且，求实数的取值范围.(★★★★) 21. 定义在R上的函数，若对任意的成立，则称函数是函数的“从属函数”．(1)若函数是函数的“从属函数”且是偶函数，求证：是偶函数；(2)若，求证：当时，函数是函数的“从属函数”；(3)设定义在R上的函数与，它们的图像各是一条连续的曲线，且函数是函数的“从属函数”．设：“函数在R上是严格增函数或严格减函数”；：“函数在R上为严格增函数或严格减函数”，试判断是的什么条件？请说明理由．。