机械振动
一、机械振动
1、机械振动：物体（或物体的一部分）在某一中心位置两侧做的往复运动．
振动的特点:①存在某一中心位置;②往复运动,这是判断物体运动是否是机械振动的条件.
产生振动的条件:①振动物体受到回复力作用;②阻尼足够小;
2、回复力：振动物体所受到的总是指向平衡位置的合外力．
①回复力时刻指向平衡位置;②回复力是按效果命名的, 可由任意性质的力提供．可以是几个力的合力也可以是一个力的分力; ③合外力：指振动方向上的合外力，而不一定是物体受到的合外力．④在平衡位置处：回复力为零，而物体所受合外力不一定为零．如单摆运动，当小球在最低点处，回复力为零，而物体所受的合外力不为零．
3、平衡位置：是振动物体受回复力等于零的位置；也是振动停止后，振动物体所在位置；平衡位置通常在振动轨迹的中点。“平衡位置”不等于“平衡状态”。平衡位置是指回复力为零的位置，物体在该位置所受的合外力不一定为零。（如单摆摆到最低点时，沿振动方向的合力为零，但在指向悬点方向上的合力却不等于零，所以并不处于平衡状态）
二、简谐振动及其描述物理量
1、振动描述的物理量
（1）位移：由平衡位置指向振动质点所在位置的有向线段．
①是矢量，其最大值等于振幅；
②始点是平衡位置，所以跟回复力方向永远相反；
③位移随时间的变化图线就是振动图象．
（2）振幅：离开平衡位置的最大距离．
①是标量；②表示振动的强弱；
（3）周期和频率：完成一次全变化所用的时间为周期T，每秒钟完成全变化的次数为频率f．
①二者都表示振动的快慢；
②二者互为倒数；T=1/f；
③当T和f由振动系统本身的性质决定时（非受迫振动），则叫固有频率与固有周期是定值，固有周期和固有频率与物体所处的状态无关．
2、简谐振动：物体所受的回复力跟位移大小成正比时，物体的振动是简偕振动．
①受力特征：回复力F=—KX。
②运动特征：加速度a=一kx／m，方向与位移方向相反，总指向平衡位置。简谐运动是一种变加速运动，在平衡位置时，速度最大，加速度为零；在最大位移处，速度为零，加速度最大。
说明：①判断一个振动是否为简谐运动的依据是看该振动中是否满足上述受力特征或运动特征。
②简谐运动中涉及的位移、速率、加速度的参考点，都是平衡位置.
题型1：简谐运动的证明（回复力的特点）
【例1】试证明，在竖直方向上做自由振动的弹簧振子是做简谐运动.
2. (95全国卷)如图4质量为m的物体A放置在质量为M的物体B上,B与弹簧相连,它们一起在光滑水平面上作简谐振动,振
动过程中A、B之间无相对运动.设弹簧的倔强系数为k.当物体离开平衡位置的位移为x时,A、B间摩擦力的大小等于（）
A.0;
B.kx;
C.(m/M)kx
D.[m/(M＋m)]kx
3如图所示，在质量为M的无下底的木箱顶部用一轻弹簧悬挂质量均为m（M≥m）的D、B两物体．箱子放在水平地面
上，平衡后剪断D、B间的连线，此后D将做简谐运动．当D运动到最高点时，木箱对地压力为（）
A、Mg； B．（M－m）g； C、（M＋m）g ； D、（M＋2m）g
例在光滑的水平面上停放着一辆质量为M的小车，质量为m的物体与劲度系数为k的一轻弹簧固定相连．弹簧的另一端与小车左端固定连接，将弹簧压缩x0后用细绳将m 栓住，m静止在小车上的A点，如图所示，m与M 间的动摩擦因数为μ，O 点为弹簧原长位置，将细绳烧
断后，m 、M 开始运动．求：①当m 位于O 点左侧还是右侧且跟O 点多远时，小车的速度最大？并简要说明速度为最大的理由．②判断m 与M 的最终运动状态是静止、匀速运动还是相对往复的运动？
4如图所示，在光滑水平杆上有一弹簧振子，弹簧的劲度系数为k .开始时，振子被拉到平衡位置O 的右侧某处，此时拉力为F ，然后释放振子，使振子从初速度为零的状态开始向左运动，经过时间t 后到达O 点，此时振子的速度大小为v .则在此过程中，振子平均速度的大小为( )
题型2：简谐振动的运动学特征---是周期性运动、位移、回复力、加速度、速度、动量都随时间按“正弦”或“余弦”
的规律变化，它们的周期均相同
例1如图7-29-3，作简谐运动的质点先后以同样的速度通过A 、B 两点，中间经历时间0.5s ，经B 点以后再经0.5s ，质点又以同样大小、方向相反速度通过B 点，则质点的振动周期多少?
变式：如图所示，一弹簧振子在振动过程中，经a 、b 两点的速度相同，若它从a 到b 历时0．2s ，从b 再回到a 的最短时间为0．4s ，则该振子的振动频率为（ ）。 （A ）1Hz ； （B ）1.25Hz （C ）2Hz ； （D ） 2．5Hz
例2 （2008·青岛模拟） 有一弹簧振子在水平方向上的B 、C 之间做简谐振动，已知B 、C 间的距离为20cm ，振子在2 s 内完成了10次
全振动，若从某时刻振子经过平衡位置时开始计时(t=0)，经过4
1
周期振子有正向最大加速度。 （1）求振子的振幅和周期；
（2）作出该振子一周期内位移－时间图象； （3）写出振子的振动方程。
例3弹簧振子在B 、C 间做简谐运动，O 为平衡位置，BC 间距离为10cm ，B →C 运动时间为1s ，如图7-29-5所示，则( )
A ．从O →C →O 振子作了一个全振动
B ．振动周期为1s ，振幅是10cm
C ．经过两次全振动，通过的路程是20cm
D ．从B 开始经3s ，振子通过的路程是30cm
说明:简谐运动的位移、回复力、加速度、速度都随时间做周期性变化（正弦或余弦函数），变化周期为T，振子的动能、势能也做周期性变化，周期为 T／2。
针对练习：
1.弹簧振子作简谐振动时，以下说法正确的是()
A．振子通过平衡位置时，回复力一定为零B．振子作减速运动，加速度却在增大
C．振子向平衡位置运动时，加速度方向与速度方向相反D．振子远离平衡位置运动时，加速度方向与速度方向相反
2.一弹簧振子振动过程中的某段时间内其加速度数值越来越大，则在这段时间内()
A．振子的速度越来越大B．振子正在向平衡位置运动
C．振子的速度方向与加速度方向一致D．以上说法都不正确
3.一质点作简谐振动，先后以相同的动量依次通过A、B两点，历时1s，质点通过B点后再经过1s又第2次通过B点，在这两秒钟内，质点通过的总路程为12cm，则质点的振动周期和振幅分别为( )
A．3s，6cm B．4s，6cm C．4s，9cm D．2s，8cm
4.物体m以O点为平衡位置，在A、B间作简谐振动，如图7-29-8所示，下列说法正确的是( )
A．物体在A、B两点的速度和加速度都是零B．物体通过O点时，加速度方向发生变化
C．回复力的方向总是跟物体速度方向相反D．物体离开平衡位置的运动是匀减速运动
5.一弹簧振子作简谐振动，则下列说法中正确的是()
A．若位移为负值，则速度一定为正值，加速度也一定为正值B．振子通过平衡位置时，速度为零，加速度最大
C．振子每次通过平衡位置时，加速度相同，速度也一定相同D．振子每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但加速度一定相同6.简谐振动是下列哪一种运动?( )
A．匀减速运动B．匀速直线运动C．变速运动D．匀加速直线运动
7如图所示，一弹簧振子在光滑水平面内做简谐振动，O为平衡位置，A,B为最大位移处，当振子由A点从静止开始振
动，测得第二次经过平衡位置所用时间为t秒，在O点上方C处有一个小球，现使振子由A点，小球由C点同时从静
止释放，它们恰好到O点处相碰，试求小球所在C点的高度H是多少？
7（变式）.如图7-30-10所示，一双线摆，两绳长均为L，绳与水平方向夹角为a，当摆球A垂直于纸面做简谐振动经过平
衡位置时，另一小球B从A球的正上方开始自由下落，正好打在A球上，则该小球B距平衡位置的高度h应该为多少?
8.如图，一个半径为R的光滑圆弧形轨道竖直放置，今有两个质点A、B，B从圆弧形轨道的圆心处自由落下（空气
阻力不计），A同时从非常逼近O点的位置P无初速释放.则A与B到达O点的时间之比为多少？
易错点：（1）经过平衡位置对称的两点所用的时间不一定为周期的一半
（2）经过半个周期位移，速度，加速度，回复力不一定相同，但势能和动能一定相同
例（1995年全国）一弹簧振子作简谐振动，周期为T（）
A．若t时刻和（t＋Δt）时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则Δt一定等于T的整数倍
B．若t时刻和（t＋Δt）时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则上t一定等于T/2的整数倍
C．若Δt=T，则在 t时刻和（t＋Δt）时刻振子运动的加速度一定相等
D．若Δt＝T/2，则在t时刻和（t十Δt）时刻弹簧的长度一定相等
针对练习
1.如右图所示为一弹簧振子，设向右为正方向，振子的运动（B）
A.C→O时，位移是正值，速度是正值
B.O→B时，位移是正值，速度是正值
C.B→O时，位移是负值，速度是负值
D.C→O时，位移是负值，速度是负值
