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第一章 平行线知识点整理一、平行线1、平行线的概念：在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线，直线a 与直线b 互相平行，记作________． 2、两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴______；⑵_______。
因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们______；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线）判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定: ①有且只有一个公共点，两直线______; ②无公共点，则两直线______；③两个或两个以上公共点，则两直线______（理由:________________） 3、平行公理――平行线的存在性与惟一性经过直线外一点,___且_____一条直线与这条直线平行 4、*平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相_______二、 同位角、内错角和同旁内角5、三线八角两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了_______、________与__________. 如图，直线b a ,被直线l 所截 ① 同位角（位置相同）有_____对，分别是:② 内错角（位置在内且居截线两侧)有______对，分别是：③ 叫做同旁内角（位置在内且居截线同旁）有______对，分别是：④三线八角也可以成模型中看出。
同位角是“F"型;内错角是“Z ”型；同旁内角是“U ”型。
6、如何判别三线八角判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线"，也可用模型(FZU 型）判断。
【例】1.∠1与∠B 是直线____和直线____被直线_____所截而成的_________角；2。
∠2与∠A 是直线____和直线____被直线_____所截而成的_________角;3。
∠3与∠B 是直线____和直线____被直线_____所截而成的_________角；思考：∠2与∠B 是同位角、内错角还是同旁内角?为什么?【练】1．如右图，按各角的位置，下列判断错误的是（ ）（A ）∠1与∠2是同旁内角 (B ）∠3与∠4是内错角 （C ）∠5与∠6是同旁内角 （D ）∠5与∠8是同位角2。
专题1.1 平行线（知识解读）【学习目标】1.进一步认识平行线的概念；2.能用符号表示两条直线互相平行；3.会用三角尺和直尺过直线外一点画这条直线的平行线；4.了解过直线外一点有且仅有一条直线与这条直线平行【知识点梳理】知识点1：平行线的定义及画法1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b．注意：(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行．(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系．2.平行线的画法：用直尺和三角板作平行线的步骤：①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合.②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边.③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点.④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行.【典例分析】【考点1：平行线定义】【典例1】（2023春•和平区校级月考）下列语句正确的有（）个①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行②过一点有且只有一条直线和已知直线平行③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b④若直线a∥b，b∥c，则c∥a．A．4B．3C．2D．1【变式1】(2023春•长沙期中）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是．【典例2】(2023春•东平县期末）在同一平面内，直线a、b、c中，若a⊥b，b ∥c，则a、c的位置关系是．【变式2-1】(2023•惠阳区校级开学）经过直线外一点，有且只有直线与这条直线平行．【变式2-2】(2023春•大荔县期末）如图，已知OM∥a，ON∥a，所以点O、M、N三点共线的理由．【典例3】（2023春•嘉定区期末）（1）补全下面的图形，使之成为长方体ABCD ﹣EFGH的直观图，并标出顶点的字母；（2）图中与棱AB平行的棱有；（3）图中棱CG和面ABFE的位置关系是．【变式3-1】（2023春•沙河市期末）观察如图所示的长方体，与棱AB平行的棱有几条（）A．4B．3C．2D．1【变式3-2】（2023春•松江区校级期末）如图，在长方体ABCD﹣EFGH中，与棱FG异面并且与棱FB平行的棱有．【变式3-3】（2023秋•内乡县期末）如图所示，在∠AOB内有一点P．（1）过P画l1∥OA；（2）过P画l2∥OB；（3）用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样关系？专题1.1 平行线（知识解读）【学习目标】1.进一步认识平行线的概念；2.能用符号表示两条直线互相平行；3.会用三角尺和直尺过直线外一点画这条直线的平行线；4.了解过直线外一点有且仅有一条直线与这条直线平行【知识点梳理】知识点1：平行线的定义及画法1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b．注意：(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行．(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系．2.平行线的画法：用直尺和三角板作平行线的步骤：①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合.②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边.③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点.④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行.【典例分析】【考点：平行线定义】【典例1】（2023春•和平区校级月考）下列语句正确的有（）个①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行②过一点有且只有一条直线和已知直线平行③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b④若直线a∥b，b∥c，则c∥a．A．4B．3C．2D．1答案：D【解答】解：①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行，说法错误，应为根据同一平面内，任意两条直线的位置关系不是相交就是平行；②过一点有且只有一条直线和已知直线平行，说法错误，应为过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行；③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b，说法错误；④若直线a∥b，b∥c，则c∥a，说法正确；故选：D．【变式1】(2023春•长沙期中）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是．答案：相交和平行【解答】解：在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是平行和相交，故答案为：平行和相交．【典例2】(2023春•东平县期末）在同一平面内，直线a、b、c中，若a⊥b，b ∥c，则a、c的位置关系是．答案：c⊥a【解答】解：∵c∥b，a⊥b，∴c⊥a．故答案为c⊥a【变式2-1】(2023•惠阳区校级开学）经过直线外一点，有且只有直线与这条直线平行．答案：一条【解答】解：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．故答案为：一条．【变式2-2】(2023春•大荔县期末）如图，已知OM∥a，ON∥a，所以点O、M、N三点共线的理由．答案：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行【解答】解：已知OM∥a，ON∥a，所以点O、M、N三点共线的理由：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．故答案为：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．【典例3】（2023春•嘉定区期末）（1）补全下面的图形，使之成为长方体ABCD ﹣EFGH的直观图，并标出顶点的字母；（2）图中与棱AB平行的棱有；（3）图中棱CG和面ABFE的位置关系是．答案：（1）CD、EF、GH；（2）平行【解答】解：（1）如图即为补全的图形；（2）图中与棱AB平行的棱有CD、EF、GH；故答案为：CD、EF、GH；（3）图中棱CG和面ABFE的位置关系是：平行．故答案为：平行．【变式3-1】（2023春•沙河市期末）观察如图所示的长方体，与棱AB平行的棱有几条（）A．4B．3C．2D．1答案：B【解答】解：图中与AB平行的棱有：EF、CD、GH．共有3条．故选：B．【变式3-2】（2023春•松江区校级期末）如图，在长方体ABCD﹣EFGH中，与棱FG异面并且与棱FB平行的棱有．答案：HD和AE【解答】解：根据题意得，与棱FG异面并与FB平行的棱有HD和AE．故答案为：HD和AE．【变式3-3】（2023秋•内乡县期末）如图所示，在∠AOB内有一点P．（1）过P画l1∥OA；（2）过P画l2∥OB；（3）用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样关系？【解答】解：（1）（2）如图所示，（3）l1与l2夹角有两个：∠1，∠2；∠1＝∠O，∠2+∠O＝180°，所以l1和l2的夹角与∠O相等或互补．。
专题02 平行线的性质与平移【考点剖析】1、平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.2. 平移平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移．①图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离．②图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置.平移的性质：（1）平移后，对应线段平行且相等；（2）平移后，对应角相等；（3）平移后，对应点所连线段平行且相等；（4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形.平移的作图：(1)定：确定平移的方向和距离；(2)找：找出表示图形的关键点；(3)移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点；(4)连：按原图形顺次连接对应点．【典例】例1．已知：如图，点C在∠MON的一边OM上，过点C的直线AB∥ON，CD平分∠ACM，CE⊥CD．（1）若∠O＝50°，求∠BCD的度数；（2）求证：CE平分∠OCA；（3）当∠O为多少度时，CA分∠OCD成1：2两部分，并说明理由．【答案】见解析【解析】解：（1）∵AB∥ON，∴∠O＝∠MCB（两直线平行，同位角相等）∵∠O＝50°，∴∠MCB＝50°，∵∠ACM+∠MCB＝180°（平角定义），∴∠ACM＝180°﹣50°＝130°，又∵CD平分∠ACM，∴∠DCM＝65°（角平分线定义），∴∠BCD＝∠DCM+∠MCB＝65°+50°＝115°（2）证明：∵CE⊥CD，∴∠DCE＝90°，∴∠ACE+∠DCA＝90°又∵∠MCO＝180°（平角定义）∴∠ECO+∠DCM＝90°，∵∠DCA＝∠DCM，∴∠ACE＝∠ECO（等角的余角相等）即CE平分∠OCA，（3）结论：当∠O＝36°或90°时，CA分∠OCD成1：2两部分①当∠O＝36°时∵AB∥ON∴∠ACO＝∠O＝36°∴∠ACM＝144°又∵CD平分∠ACM∴∠ACD＝72°∴∠ACO∠ACD即CA分∠OCD成1：2两部分．②当∠O＝90°时∵AB∥ON∴∠ACO＝∠O＝90°∴∠ACM＝90°又∵CD平分∠ACM∴∠ACD＝45°∴∠ACD∠ACO即CA分∠OCD成1：2两部分．【点睛】本题主要考查了角的计算，平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．例2．探究：如图①，AB∥CD，点E在直线AB与CD之间，连接AE、CE，试说明∠BAE+∠DCE＝∠AEC，下面给出了这道题的解题过程，请完成下面的解题过程，并填空（理由或数学式）．解：如图①，过点E作EF∥AB，∴∠BAE＝∠1（________________________）．∵AB∥CD（________）∴CD∥EF．∴∠2＝∠DCE；∴∠BAE+∠DCE＝∠1+∠2．∴∠BAE+∠DCE＝∠AEC．拓展：当点E在如图②的位置时，其他条件不变，试探索∠AEC、∠BAE、∠DCE之间的关系，并说明理由；应用：点E、F、G在直线AB与CD之间，连接AE、EF、FG和CG，其他条件不变，如图③，若∠EFG ＝40°，则∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG＝__________度．【答案】见解析【解析】探究：证明：如图1中，如图①，过点E作EF∥AB，∴∠BAE＝∠1（两直线平行内错角相等）．∵AB∥CD（已知）∴CD∥EF．∴∠2＝∠DCE；∴∠BAE+∠DCE＝∠1+∠2．∴∠BAE+∠DCE＝∠AEC．拓展：解：如图2中，结论：∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°．理由：作EH∥AB．∵AB∥CD，AB∥EH，∴EH∥CD，∴∠BAE+∠AEH＝180°，∠HEC+∠ECD＝180°，∴∠BAE+∠AEH+∠HEC+∠ECD＝360°，∴∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°．应用：解：如图3中，作FH∥AB．∵AB∥CD，FH∥AB，∴FH∥CD，由拓展可知：∠BAE+∠AEF+∠EFH＝360°①∠HFG+∠FGC+∠GCD＝360°②，①+②得到，∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠GCD＝720°﹣（∠EFH+∠HFG），∴∠EFH+∠HFG＝360°﹣∠EFG＝320°，∴∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠GCD＝720°﹣320°＝400°，故答案分别为：两直线平行内错角相等，已知，400．【点睛】本题考查平行线的判定和性质、解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．例3．已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系______________________；（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD＝∠C；（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度数．【答案】见解析【解析】解：（1）如图1，∵AM∥CN，∴∠C＝∠AOB，∵AB⊥BC，∴∠A+∠AOB＝90°，∴∠A+∠C＝90°，故答案为：∠A+∠C＝90°；（2）如图2，过点B作BG∥DM，∵BD⊥AM，∴DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG＝90°，又∵AB⊥BC，∴∠CBG+∠ABG＝90°，∴∠ABD＝∠CBG，∵AM∥CN，BG∥AM，∴CN∥BG，∴∠C＝∠CBG，∴∠ABD＝∠C；（3）如图3，过点B作BG∥DM，∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF＝∠CBF，∠DBE＝∠ABE，由（2）可得∠ABD＝∠CBG，∴∠ABF＝∠GBF，设∠DBE＝α，∠ABF＝β，则∠ABE＝α，∠ABD＝2α＝∠CBG，∠GBF＝β＝∠AFB，∠BFC＝3∠DBE＝3α，∴∠AFC＝3α+β，∵∠AFC+∠NCF＝180°，∠FCB+∠NCF＝180°，∴∠FCB＝∠AFC＝3α+β，△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180°，可得（2α+β）+3α+（3α+β）＝180°，①由AB⊥BC，可得β+β+2α＝90°，②由①②联立方程组，解得α＝15°，∴∠ABE＝15°，∴∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝15°+90°＝105°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角（补角）相等进行推导．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程思想的运用．例4．如图所示，直角三角形ABO的周长为100，在其内部的n个小直角三角形周长之和为_______．【答案】100【解析】解：由平移的性质可得，n个小直角三角形较长的直角边平移后等于AO边，较短的直角边平移后等于BO边，斜边之和等于AB边长，∴n个小直角三角形的周长之和＝Rt△AOB的周长，∵直角三角形AOB的周长为100，∴这n个小直角三角形的周长之和＝100．故答案为：100．【点睛】本题主要考查了平移和矩形的性质，正确理解小直角三角形的周长等于直角△ABC的周长是解题的关键．【巩固练习】1．如图，在长为50米，宽为30米的长方形地块上，有纵横交错的几条小路，宽均为1米，其它部分均种植花草．试求出种植花草的面积是多少？【答案】见解析【解析】解：根据题意，小路的面积相当于横向与纵向的两条小路，种植花草的面积＝（50﹣1）（30﹣1）＝1421m2．故答案为：1421m2．2．如图，已知：AB∥CD，E在直线AB上，且EF⊥EG，EF交直线CD于点M．EG交直线CD于点N．（1）若∠1＝34°，求∠2的度数；（2）若∠2＝2∠1，直接写出图中等于4∠1的角．【答案】见解析【解析】解：（1）∵AB∥CD，∴∠1＝∠GEB＝34°，∵EF⊥EG，∴∠2＝180°﹣90°﹣34°＝56°；（2）∵∠2＝2∠1，∠1＝∠GEB，∴∠2＝2∠GEB，又∵∠2+∠GEB＝90°，∴∠GEB＝30°＝∠1，∴4∠1＝120°，∠2＝60°，∴∠FMN＝∠CME＝∠MEB＝120°，即图中等于4∠1的角为∠FMN，∠CME，∠MEB．3．如图，AB∥CD，∠CDE＝119°，点E、G在AB上，GF交∠DEB的平分线EF于点F，∠AGF＝130°，求∠F的度数．【答案】见解析【解析】解：∵AB∥CD，∠CDE＝119°，∴∠AED＝180°﹣119°＝61°，∠DEB＝119°．∵GF交∠DEB的平分线EF于点F，∴∠DEF119°°，∴∠GEF＝61°°°．∵∠AGF＝130°，∴∠F＝∠AGF﹣∠GEF＝130°﹣°°．4．如图，已知DC∥FP，∠1＝∠2，∠FED＝30°，∠AGF＝80°，FH平分∠EFG．（1）说明：DC∥AB；（2）求∠PFH的度数．【答案】见解析【解析】解：（1）∵DC∥FP，∴∠3＝∠2，又∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠1，∴DC∥AB；（2）∵DC∥FP，DC∥AB，∠DEF＝30°，∴∠DEF＝∠EFP＝30°，AB∥FP，又∵∠AGF＝80°，∴∠AGF＝∠GFP＝80°，∴∠GFE＝∠GFP+∠EFP＝80°+30°＝110°，又∵FH平分∠EFG，∴∠GFH∠GFE＝55°，∴∠PFH＝∠GFP﹣∠GFH＝80°﹣55°＝25°．5．已知：下列各图中都有AB∥CD，分别探究图（1）图（2）图（3）中∠D，∠E，∠B之间的数量关系，并填在相应的横线上．（1）图1中∠D，∠E，∠B之间的关系是______________________________．（2）图2中∠D，∠E，∠B之间的关系是____________________．（3）图3中∠D，∠E，∠B之间的关系是____________________．（4）请你从（1）（2）（3）中选择一个进行证明．【答案】见解析【解析】解：（1）图1中∠D，∠E，∠B之间的关系是∠D+∠E+∠B＝360°；（2）图2中∠D，∠E，∠B之间的关系是∠D+∠B＝∠E；（3）图3中∠D，∠E，∠B之间的关系是∠D﹣∠B＝∠E；（4）选（1）进行证明：如图，过E作EF∥AB，则AB∥CD∥EF，∴∠D+∠DEF＝180°，∠B+∠BEF＝180°，∴∠D+∠DEB+∠B＝360°；选（2）进行证明：如图，过E作EF∥AB，则AB∥CD∥EF，∴∠D＝∠DEF，∠B＝∠BEF，∴∠D+∠B＝∠DEF+∠BEF＝∠DEB；选（3）进行证明：如图，过E作EF∥AB，则AB∥CD∥EF，∴∠D＝∠DEF，∠B＝∠BEF，∴∠D﹣∠B＝∠DEF﹣∠BEF＝∠DEB．6．已知：AB∥DE．（1）如图1，点C是夹在AB和DE之间的一点，当AC⊥CD时，垂足为点C，你知道∠A+∠D是多少吗？这一题的解决方法有很多，例如（i）过点C作AB的平行线；（ii）过点C作DE的平行线；（iii）联结AD；（iv）延长AC、DE相交于一点．请你选择一种方法（可以不选上述四种），并说明理由．（2）如图2，点C1、C2是夹在AB和DE之间的两点，请想一想：∠A+∠C1+∠C2+∠D＝__________度，并说明理由．（3）如图3，随着AB与CD之间点增加，那么∠A+∠C1+∠C2+……+∠C n+1+∠D＝____________________度．（不必说明理由）【答案】见解析【解析】解：（1）如图1，过点C作AB的平行线CF，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠A+∠ACF＝180°，∠DCF+∠D＝180°，∴∠A+∠ACD+∠D＝180°×2＝360°，又∵AC⊥CD，∴∠A+∠D＝360°﹣90°＝270°；（2）如图2，过C1作C1F∥AB，过C2作C2G∥DE，∵AB∥DE，∴C1F∥AB∥C2G∥DE，∴∠A+∠AC1F＝180°，∠FC1C2+∠C1C2G＝180°，∠GC2D+∠D＝180°，∴∠A+∠AC1C2+∠C1C2D+∠D＝180°×3＝540°，故答案为：540；（3）如图3，∠A+∠C1+∠C2+……+∠C n+1+∠D＝180°×（n+2），故答案为：180（n+2）．7．已知直线l1∥l2，直线l3与l1、l2分别交于C、D两点，点P是直线l3上的一动点，如图①，若动点P 在线段CD之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中是否始终具有∠3+∠1＝∠2这一相等关系？试说明理由；如图②，当动点P在线段CD之外且在CD的上方运动（不与C、D两点重合），则上述结论是否仍成立？若不成立，试写出新的结论，并说明理由．【答案】见解析【解析】解：（1）∠3+∠1＝∠2成立，理由如下：如图①，过点P作PE∥l1，∴∠1＝∠AEP，∵l1∥l2，∴PE∥l2，∴∠3＝∠BPE，∵∠BPE+∠APE＝∠2，∴∠3+∠1＝∠2；（2）∠3+∠1＝∠2不成立，新的结论为∠3﹣∠1＝∠2，理由为：如图②，过P作PE∥l1，∴∠1＝∠APE，∵l1∥l2，∴PE∥l2，∴∠3＝∠BPE，∵∠BPE﹣∠APE＝∠2，∴∠3﹣∠1＝∠2．。
专题1.3 平行线的判定（知识解读）【学习目标】1．理解和掌握平行线的判定公理及3个判定定理．2．通过经历探索平行线的判定方法的过程，发展学生的逻辑推理能力．3．掌握应用数学语言表示平行线的判定公理及定理，逐步掌握规范的推理论证格式，通过学生画图、讨论、推理等活动，给学生渗透化归思想和分类思想．【知识点梳理】知识点1：平行公理及推论1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．记作：如果a∥b，a∥c，那么a∥c注意：(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．（2）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性知识点2：平行线判定判定方法（1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行简单说成：同位角相等，两直线平行。
几何语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）判定方法（2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行。
∵∠2＝∠3∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）判定方法（3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行简单说成：同旁内角互补，两直线平行。
∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）【典例分析】【考点1：平行线公理及推论】【典例1】（2023秋•鼓楼区校级期末）下列说法正确的是（）A．不相交的两条直线叫做平行线B．同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直C．平角是一条直线D．过同一平面内三点中任意两点，只能画出3条直线【变式1】（2023秋•奉化区校级期末）下列说法正确的是（）A．两点之间，直线最短B．永不相交的两条直线叫做平行线C．若AC＝BC，则点C为线段AB的中点D．两点确定一条直线【典例2】（2023春•麒麟区期末）下列说法正确的是（）A．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a∥cB．在同一平面内，a，b，c是直线，且a⊥b，b⊥c，则a⊥cC．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b⊥c，则a∥cD．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a⊥c【变式2-1】（2023春•阳春市校级月考）下列说法中，正确的个数为（）（1）过一点有无数条直线与已知直线平行（2）如果a∥b，a∥c，那么b∥c（3）如果两线段不相交，那么它们就平行（4）如果两直线不相交，那么它们就平行A．1个A B．2个C．3个D．4个【变式2-2】（2023春•饶平县校级期中）若AB∥CD，AB∥EF，则∥，理由是．【考点2：平行线判定】【典例3】（2023秋•香坊区校级期中）如图，下列各组条件中，能得到AB∥CD 的是（）A．∠1＝∠3B．∠2＝∠4C．∠B＝∠D D．∠1+∠2+∠B＝180°【变式3-1】（2023春•台江区校级期中）如图，过直线外一点作已知直线的平行线，其依据是（）A．两直线平行，同位角相等B．内错角相等，两直线平行C．同位角相等，两直线平行D．两直线平行，内错角相等【变式3-2】（2023•德保县二模）如图，能判定AD∥BC的条件是（）A．∠1＝∠3B．∠1＝∠2C．∠2＝∠3D．∠2＝∠4【变式3-3】（2023春•宾阳县期中）如图，直线a、b都与直线c相交，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠6；③∠4+∠7＝180°；④∠5+∠8＝180°．其中能判断a∥b的条件是（）A．①③B．②④C．①②③④D．①③④【典例4】（2023春•重庆月考）如图，点E、F分别在AB、CD上，AF⊥CE于点O，∠1＝∠B，∠A+∠2＝90°，求证：AB∥CD．请填空．证明：∵AF⊥CE（已知）∴∠AOE＝90°（）又∵∠1＝∠B（）∴（）∴∠AFB＝∠AOE（）∴∠AFB＝90°（）又∵∠AFC+∠AFB+∠2＝（平角的定义）∴∠AFC+∠2＝（）°又∵∠A+∠2＝90°（已知）∴∠A＝∠AFC（）∴（内错角相等，两直线平行）【变式4-1】（2023秋•社旗县期末）〖我阅读〗“推理”是数学的一种基本思想，包括归纳推理和演绎推理．演绎推理是一种从一般到特殊的推理，它借助于一些公认的基本事实及由此推导得到的结论，通过推断，说明最后结论的正确．〖我会做〗填空（理由或数学式）已知：如图，∠1＝∠E，∠B＝∠D．求证：AB∥CD．证明：∵∠1＝∠E（）∴（）∴+∠2＝180° （）∵∠B＝∴+＝180°∴AB∥CD（）【变式4-2】（2023春•岳池县期末）把下面的说理过程补充完整：已知，如图，直线AB，CD被直线EF所截，点H为CD与EF的交点，GH ⊥CD于点H，∠2＝30°，∠1＝60°．试说明：AB∥CD．解：∵GH⊥CD（），∴∠CHG＝90°（）又∵∠2＝30°（），∴∠3＝（）∴∠4＝60°（）又∵∠1＝60°（）∴∠1＝∠4（）∴AB∥CD（）【变式4-3】（2023春•宁远县期末）完成下面的证明如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠α+∠β＝90°，求证：AB∥CD．完成推理过程BE平分∠ABD（已知），∴∠ABD＝2∠α（）．∵DE平分∠BDC（已知），∴∠BDC＝2∠β （）∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β）（）∵∠α+∠β＝90°（已知），∴∠ABD+∠BDC＝180°（）．∴AB∥CD（）．【典例5】（2023春•大埔县期末）如图，已知∠A＝∠C，AD⊥BE，BC⊥BE，点D在线段EC上，求证：AB∥CD．【变式5-1】（2023秋•西乡县期末）如图，已知∠A＝∠ADE，∠C＝∠E．求证：BE∥CD．【变式5-2】（2023春•宣恩县期末）如图，AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，∠1＝∠2，AB与DG平行吗？为什么？专题1.3 平行线的判定（知识解读）【学习目标】1．理解和掌握平行线的判定公理及两个判定定理．2．通过经历探索平行线的判定方法的过程，发展学生的逻辑推理能力．3．掌握应用数学语言表示平行线的判定公理及定理，逐步掌握规范的推理论证格式，通过学生画图、讨论、推理等活动，给学生渗透化归思想和分类思想．【知识点梳理】知识点1：平行公理及推论1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．记作：如果a∥b，a∥c，那么a∥c注意：(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．（2）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性知识点2：平行线判定判定方法（1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行简单说成：同位角相等，两直线平行。
新浙教版七年级数学下册各章知识点汇总学英教育教学资料七年级下册数学各章知识点第一章：平行线与相交线一、知识结构平行线的判定：同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角相等，两直线平行平行于同一直线的两条直线平行垂直于同一条直线的两直线平行平行线的性质：两直线平行，同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行相交线的角度关系：同位角相等内错角相等同旁内角互补对顶角相等二、要点诠释1.两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交与平行。
平行线是指在同一平面内，不相交的两条直线。
2.几种特殊关系的角余角和补角：两个角的和是直角时，称这两个角互为余角；两个角的和是平角时，称这两个角互为补角。
同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。
对顶角：两条直线相交所得有公共顶点、没有公共边的两个角。
对顶角相等。
同位角、内错角、同旁内角：两条直线分别与第三条直线相交，构成八个角。
在两条直线同一侧并且在第三条直线的旁边的两个角叫同位角；在两条直线之间并且在第三条直线的两旁的两个角叫做内错角；在两条直线之间并且在第三条直线的同旁的两个角叫做同旁内角。
三、主要内容1.平行线的判定：同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角相等，两直线平行平行于同一直线的两条直线平行垂直于同一条直线的两直线平行2.平行线的性质：两直线平行，同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行3.相交线的角度关系：同位角相等内错角相等同旁内角互补对顶角相等第二章：二元一次方程组1.二元一次方程：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程。
使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。
2.二元一次方程组：由两个二元一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组。
第二讲平行线的性质及平移思维导图重难点分析重点分析：1.平行线的性质：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补.2.平移的概念：一个图形沿着某个方向运动，在移动过程中，原图形上的每一个点都沿着同一个方向移动相等的距离，这样的图形运动叫做图形的平移.3.平移的性质：平移不改变图形的形状和大小，一个图形和它经过平移所得到的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等.难点分析：1.注意平行的性质与判定的区别与联系：区别是条件与结论不同，联系是条件与结论互换位置；性质是由平行线得到角的关系，判定是由角的关系得到平行线.2.确定平移有两个要素：一是平移的方向；二是平移的距离.3.连结平移前后两个图形的对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等，注意一定要对应点相连，连线的平行是指它们的位置关系，相等是指它们的数量关系.例题精析例1、如图，把边长为2的正方形的局部进行图1～图4的变换，拼成图5，则图5的面积是（）.A.18B.16C.12D.8思路点拨：根据平移的基本性质，平移不改变图形的形状和大小，即图形平移后面积不变，则图5的面积可求.解题过程：一个正方形的面积为4，而把一个正方形从图1~图4进行变换，面积并没有改变，图5由4个图4构成，故图5的面积为4×4=16.故选B.方法归纳：本题考查图形拼接与平移的变换.解决本题的关键是要知道平移不改变图形的形状和大小，即面积没有改变.易错误区：图5由4个图4构成，没有多也没有少，本题易误认为图5有残缺.例2、如图，CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，∠DGC=105°，∠BCG=75°.试思路点拨：由∠DGC=105°，∠BCG=75°，得出∠DGC+∠BCG=180°，判定DG∥BC，得出∠1=∠DCB，由CD⊥AB，EF⊥AB，判定CD∥EF，得出∠DCB+∠2=180°，等量代换即可.解题过程：∵∠DGC=105°，∠BCG=75°，∴∠DGC+∠BCG=180°.∴DG∥BC（同旁内角互补，两直线平行）.∴∠1=∠DCB（两直线平行，内错角相等）.∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴CD∥EF（在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行）.∴∠DCB+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）.∴∠1+∠2=180°（等量代换）.方法归纳：本题考查了平行线的判定与性质，解答本题的关键是平行线的性质与判定定理的正确运用.易错误区：注意平行线的判定与性质的区别，填写理由时不要填错.例3、某学校准备在升旗台的台阶上铺设一种红色的地毯（含台阶的最上层），已知这种地毯的批发价为每平方米40元，升旗台的台阶宽为3米，其侧面如图所示.请你帮助测算一下，买地毯至少需要多少元？思路点拨：根据题意，结合图形，先把楼梯的横、竖分别向上向左（右）平移，构成一个长方形，先求得地毯的长度再求其面积，则购买地毯的钱数可求.解题过程：如图，利用平移线段，把楼梯的横竖分别向上向左（右）平移，构成一个长方形，长宽分别为6.4m，3.8m.∴地毯的长度为6.4+3.8+3.8=14（m），地毯的面积为14×3=42（m2）.∴买地毯至少需要42×40=1680（元）.方法归纳：本题考查了平移的性质，属于基础应用题，解答本题的关键是要利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算.易错误区：地毯面积等于地毯长度乘以台阶宽度，注意计算时不能将地毯长度误作面积.例4、珠江流域某江段江水流向经过B，C，D三点拐弯后与原来相同，如图，若∠ABC=120°，∠BCD=80°，求∠CDE的度数.思路点拨：由已知可得AB∥DE，过点C作CF∥AB，则CF∥DE.由平行线的性质可得∠BCF+∠ABC=180°，所以能求出∠BCF，继而求出∠DCF.又由CF∥DE，所以∠CDE=∠DCF.解题过程：如图，过点C作CF∥AB.∵珠江流域某江段江水流向经过B，C，D三点拐弯后与原来相同，∴AB∥DE.∴CF∥DE.∴∠BCF+∠ABC=180°.∵∠ABC=120°,∴∠BCF=60°.又∵∠BCD=80°,∴∠DCF=∠BCD-∠BCF=20°.∴∠CDE=∠DCF=20°.方法归纳：本题考查的知识点是平行线的性质，关键是过点C先作AB的平行线，由平行线的性质求解.出现过点C 作CF ∥AB ∥DE 的错误.例5、已知直线l 1∥l 2，点A 是l 1上的动点，点B 在l 1上，点C ，D 在l 2上，∠ABC ，∠ADC 的平分线交于点E （不与点B ，D 重合）.（1）若点A 在点B 的左侧，∠ABC=80°，∠ADC=60°，过点E 作EF ∥l 1，如图1，求∠BED 的度数；（2）若点A 在点B 的左侧，∠ABC=α°，∠ADC=60°，如图2，求∠BED 的度数（直接写出计算结果）；（3）若点A 在点B 的右侧，∠ABC=α°，∠ADC=60°，如图3，求∠BED 的度数.图1 图2 图3思路点拨：（1）由平行线的性质得出∠BEF=∠ABE ，同理可得出∠DEF=∠CDE ，再由∠BED=∠BEF+∠DEF 即可得出结论；（2）过点E 作EF ∥AB ，同（1）可求∠BED 的度；（3）过点E 作EF ∥l 1，根据BE ，DE 分别是∠ABC ，∠ADC 的平分线可知∠ABE=21∠ABC=21α°，∠CDE=21∠ADC ，再由EF ∥l 1可知∠BEF=(180-21α)°.易知EF∥l 2，故∠DEF=∠CDE=30°，所以∠BED=∠BEF+∠DEF. 解题过程：（1）∵BE ，DE 分别是∠ABC ，∠ADC 的平分线， ∴∠ABE=21∠ABC=21×80°=40°，∠CDE=21∠ADC=21×60°=30°. ∵EF∥l 1，∴∠BEF=∠ABE=40°(两直线平行，内错角相等).∵l 1∥l 2,∴EF∥l 2.∴∠DEF=∠CDE=30°(两直线平行，内错角相等). ∴∠BED=∠BEF+∠DEF=40°+30°=70°.图4（2）过点E 作EF ∥l 1,如图4.∵BE ，DE 分别是∠ABC ，∠ADC 的平分线， ∴∠ABE=21∠ABC=21α°，∠CDE=21∠ADC=21×60°=30°. ∵EF∥l 1，∴∠BEF=∠ABE=12α°.∵l 1∥l 2，∴EF∥l 2.∴∠DEF=∠CDE=30°(两直线平行，内错角相等). ∴∠BED=∠BEF+∠DEF=21α°+30°，即∠BED=(21α+30)°. 图5（3）过点E 作EF ∥l 1，如图5.∴∠ABE=21∠ABC=21α°，∠CDE=21∠ADC=21×60°=30°. ∵EF∥l 1，∴∠BEF=(180-21α)°.又∵l 1∥l 2,∴EF∥l 2. ∴∠DEF=∠CDE=30°. ∴∠BED=∠BEF+∠DEF=(180-21α+30)°=(210-21α)°. 方法归纳：本题考查的是平行线的性质，根据题意作出平行线，再由平行线的性质得到角之间的倍分关系和和差关系，从而可得出结论.易错误区：图中角与角之间的关系比较复杂，要注意区别，特别是第（3）题需要通过添平行线将问题转化为“三线八角”下的角度关系.探究提升： 例、探究：（1）如图1，若AB ∥CD ，则∠B+∠D=∠E ，你能说明为什么吗？ （2）反之，若∠B+∠D=∠E ，直线AB 与CD 有什么位置关系？请证明；（3）若将点E 移至如图2所示位置，此时∠B ，∠D ，∠E 之间有什么关系？请证明； （4）若将点E 移至如图3所示位置，情况又如何？（5）如图4，AB ∥CD ，∠E+∠G 与∠B+∠F+∠D 又有何关系？ （6）如图5，若AB ∥CD ，又得到什么结论？图1 图2 图3 图4 图5思路点拨：已知AB ∥CD ，连结AB ，CD 的折线内折或外折、或改变点E 的位置、或增加折线的条数，通过适当地改变其中的一个条件，就能得出新的结论，给我们创造性的思考留下了极大的空间.解题的关键是过点E 或点F 作AB （或CD ）的平行线，把复杂的图形化归为基本图形中. 解题过程：（1）过点E 作EF ∥AB ，如图6，则∠B=∠BEF. ∵AB∥CD，∴EF∥CD.∴∠D=∠DEF. ∴∠BED=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D.图6 图7 图8 图9 （2）如图6，若∠B+∠D=∠BED ，由EF ∥AB 可得∠B=∠BEF. ∵∠BED=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D， ∴∠D=∠DEF.∴EF∥CD.∴AB∥CD.（3）若将点E 移至如图2所示位置，过点E 作EF ∥AB ，如图7. ∵AB∥CD,∴EF∥CD. ∴∠D+∠DEF=180°， ∠B+∠BEF＝180°.∴∠BED+∠B+∠D=360°.（4）如图8，∵AB ∥CD ，∴∠B=∠BFD.（5）如图9，过点F作FH∥AB，则由（1）的结论可知∠E=∠B+∠EFH,∠G=∠HFG+∠D.又∵∠EFG=∠EFH+∠HFG,∴∠E+∠G=∠B+∠EFG+∠D.（6）由以上可知∠E1+∠E2+…+∠E n=∠B+∠F1+∠F2+…+∠F n-1+∠D.方法归纳：本题考查了平行线的性质与判定，关键是添加适当的辅助线，把复杂的图形化归到基本图形，使问题得以简化.易错误区：为了合理应用平行线的性质定理，过折点作平行线时画射线比较好，但要注意射线的方向，尽量避免添加辅助线后的图形复杂化.专项训练拓展训练A组1.如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于E，F两点，∠BEF的平分线交CD于点G，若∠EFG=52°，则∠EGF等于（）.A.26°B.64°C.52°D.128°(第4题) (第5题)2.如图，∠1=83°，∠2=97°，∠3=78°，则∠4的度数为 .3.如图，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，道路的宽为2 m，则绿化的面积为 m2.(第8题)4.如图，AB∥DE，∠1=∠2，求AE与DC的位置关系，并说明理由.(第10题)5.潜望镜中的两面镜子MN和PQ是互相平行的，如图所示，光线AB经镜面反射后，∠1=∠2，∠3=∠4.射入的光线AB与射出的光线CD平行吗？为什么？(第11题)6.如图，已知AB∥CD.（1）判断∠FAB与∠C的大小关系，并说明理由；（2）若∠C=35°，AB是∠FAD的平分线.①求∠FAD的度数；②若∠ADB=110°，求∠BDE的度数.(第13题)B组7.如图，有a，b，c三户家用电路接入电表，相邻电路的电线等距排列，则三户所用电线（）.A.a户最长B.b户最长C.c户最长D.一样长(第14题) (第16题)8.如图，长方形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小长方形的周长之和为.9.如图，∠BAP+∠APD=180°，∠1=∠2.求证：∠E=∠F.(第18题) 10.在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠BAD和∠BCD的内（或外）角平分线分别为AE和CF. （1）当AE，CF都为内角平分线时，不难证明AE∥CF.过程如下：（如图1）∵∠BAD+∠BCD=∠1+∠2+∠3+∠4=360°-（∠B+∠D）.而∠B=∠D=90°.∠1=∠2，∠3=∠4，∴2（∠2+∠4）=360°-180°=180°，则∠2+∠4=90°.又∵∠B=90°，∴∠2+∠5=90°，则∠4=∠5.∴AE∥CF.（2）当AE，CF都为外角平分线时（如图2），AE与CF的位置关系怎样？请给出证明；（3）当AE是内角平分线，CF是外角平分线时（如图3），请探索AE与CF的位置关系，并给出证明.图1 图2 图3(第20题)走进重高11.【广州】如图，在△ABC 中，AB=AC ，BC=12cm ，点D 在AC 上，DC=4cm.将线段DC 沿着CB 的方向平移7cm 得到线段EF ，点E ，F 分别落在边AB ，BC 上，则△EBF 的周长为 cm.(第3题) (第4题)12.【绵阳】如图，AB∥CD，∠CDE=119°，GF 交∠DEB 的平分线EF 于点F ，∠AGF=130°，则∠F= .13.【赤峰】如图1，E 是直线AB ，CD 内部一点，AB∥CD，连结EA ，ED. （1）探究猜想：①若∠A=30°，∠D=40°，则∠AED 等于多少度？ ②若∠A=20°，∠D=60°，则∠AED 等于多少度？③猜想图1中∠AED，∠A，∠D 的关系并证明你的结论. （2）拓展应用：如图2，射线FE 与长方形ABCD 的边AB 交于点E ，与边CD 交于点F ，①②③④分别是被射线FE 隔开的4个区域（不含边界)，其中区域③④位于直线AB 上方，P 是位于以上四个区域上的点，猜想：∠PEB ，∠PFC，∠EPF 的关系（不要求证明）.图1 图2(第6题)高分夺冠1.一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而行，如果第一次拐角∠A 是110°，第二次拐角∠B 是150°，第三次拐角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C 的度数是（ ）.A.100°B.150°C.110°D.140°(第1题) (第2题) (第3题)2.如图，甲船从北岸码头A 向南行驶，航速为36km/h ；乙船从南岸码头B 向北行驶，航速为27km/h.两船均于7：15出发，两岸平行，水面宽为18.9km ，则两船距离最近时的时刻为（ ）. A.7：35 B.7：34 C.7：33 D.7：323.如图，在4×4的正方形网格中，∠1，∠2，∠3的大小关系是 .4.略5.已知E ，F 分别是AB ，CD 上的动点，P 也为一动点. （1）如图1，若AB∥CD，求证：∠P=∠BEP+∠PFD； （2）如图2，若∠P=∠PFD -∠BEP，求证：AB∥CD；（3）如图3，AB∥CD，移动点E ，F 使得∠EPF=90°，作∠PEG=∠BEP，求PFDAEG∠∠的值.图1 图2 图3(第5题)。
七年级数学下册《平行线》练习题及答案(浙教版)一、选择题1.如图，4根火柴棒形成象形“口”字，只通过平移火柴棒，原图形能变成的汉字是( )2.如图，下列各组角中，互为对顶角的是( )A.∠1和∠2B.∠1和∠3C.∠2和∠4D.∠2和∠53.如图，已知AB⊥BD，BC⊥CD，AD=a，CD=b，则BD的长的取值范围为（）A.大于bB.小于aC.大于b且小于aD.无法确定4.如图，下列说法正确的是( )A.∠1和∠B是同旁内角B.∠1和∠C是内错角C.∠2和∠B是同位角D.∠3和∠C同旁内角5.如图，在下列条件中，能判断AD∥BC的是( )A.∠DAC=∠BCAB.∠DCB+∠ABC=180°C.∠ABD=∠BDCD.∠BAC=∠ACD6.同一平面内有四条直线a、b、c、d，若a∥b，a⊥c，b⊥d，则c、d的位置关系为( )A.互相垂直B.互相平行C.相交D.没有确定关系7.长方体的每一对棱相互平行，那么这样的平行棱共有( )A.9对B.16对C.18对D.以上答案都不对8.如图，直线a∥b，将一块含30°角(∠BAC=30°)的直角三角尺按图中方式放置，其中A和C两点分别落在直线a和b上．若∠1=20°，则∠2的度数为( )A．20° B．30° C．40° D．50°9.如图，如果AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE等于( )A.∠1＋∠2B.∠2﹣∠1C.180°﹣∠2＋∠1D.180°﹣∠1＋∠210.如图，OA⊥OC，OB⊥OD，4位同学观察图形后分别说了自己的观点：甲：∠AOB＝∠COD；乙：∠BOC＋∠AOD＝180°；丙：∠AOB＋∠COD＝90°；丁：图中小于平角的角有6个；其中正确的结论是( )A.1个B.2个C.3个D.4个11.将一副三角板按如图放置，则下列结论：①如果∠2＝30°，则有AC∥DE；②∠BAE＋∠CAD＝180°；③如果BC∥AD，则有∠2＝45°；④如果∠CAD＝150°，必有∠4＝∠C.其中正确的有（）A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④12.学习了平行线后，小明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的纸得到的(如图①～④)：从图中可知，小明画平行线的依据有( )①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行.A.①②B.②③C.③④D.①④二、填空题13.如图,把三角板的斜边紧靠直尺平移,一个顶点从刻度“5”平移到刻度“10”,则顶点C平移的距离CC ′＝.14.如图，直线AB，CD相交于点O，若∠AOC=90°，则AB与CD的位置关系是；若已知AB⊥CD，则∠AOC=∠COB=∠BOD=∠AOD= .15.如图所示，内错角共有____对．16.如图，利用直尺和三角尺过直线外一点画已知直线的平行线，这种画法依据的是.17.将如图1的长方形ABCD纸片沿EF折叠得到图2，折叠后DE与BF相交于点P.如果∠EPF＝70°，则∠PEF的度数为_________ .18.如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝40°，则∠2＝_________．三、解答题19.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm ，BC=3cm ，将△ABC沿AB方向向右平移得到△DEF，若AE=8cm，DB=2cm．（1）求△ABC向右平移的距离AD的长．（2）求四边形AEFC的周长．20.如图，直线EF，CD相交于点O，OA⊥OB，且OC平分∠AOF；若∠AOE＝40°，求∠BOD的度数.21.如图，∠1和∠2是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？∠1和∠3是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？22.如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，点D为垂足，点E，F分别在AC．AB边上且∠AEF=∠B．求证：EF∥CD．23.如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，DG平分∠CDF，且∠1＋∠2＝90°，试说明BE∥DG.24.如图1，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°．分析：通过画平行线，将∠A 、∠B 、∠C 作等角代换，使各角之和恰为一平角，依辅助线不同而得多种证法． 证法1：如图1，延长BC 到D ，过C 画CE ∥BA ．∵BA ∥CE （作图2所知）∴∠B=∠1，∠A=∠2（两直线平行，同位角、内错角相等）．又∵∠BCD=∠BCA+∠2+∠1=180°（平角的定义）∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）．如图3，过BC 上任一点F ，画FH ∥AC ，FG ∥AB ，这种添加辅助线的方法能证明∠A+∠B+∠C=180°吗？请你试一试．25.已知AB ∥CD,∠ABE 与∠CDE 两个角的角平分线相交于点F.(1)如图1,若∠E ＝80°,求∠BFD 的度数.(2)如图2,若∠ABM ＝13∠ABF,∠CDM ＝13∠CDF,试写出∠M 与∠E 之间的数量关系并证明你的结论. (3)若∠ABM ＝1n ∠ABF,∠CDM ＝1n∠CDF,∠E ＝m °,请直接用含有n,m °的代数式表示出∠M.参考答案1.B2.A.3.C4.D5.A6.B7.C8.C9.C.10.C.11.D12.C13.答案为：5.14.答案为：垂直；90°.15.答案为：8.16.答案为：同位角相等，两直线平行.17.答案为：55°18.答案为：140°19.解：（1）3； (2)8+3+4+3=18.20.解：∵OA⊥OB(已知)∴∠AOB＝90°(垂直的定义)∵∠AOE＝40°(已知)∴∠BOE＝∠AOB-∠AOE＝90°-40°＝50°∵OC平分∠AOF(已知)∴∠BOD＝20°21.答案为：∠1和∠2是直线EF、DC被直线AB所截形成的同位角，∠1和∠3是直线AB、CD被直线EF所截形成的同位角．22.证明：∵∠ACB=90°∴∠B+∠A=90°∵CD⊥AB∴∠ADC=90°∴∠A+∠ACD=90°∴∠B=∠ACD∵∠AEF=∠B∴∠AEF=∠ACD∴EF∥CD．23.证明：∵∠1＋∠2＝90°(已知)∴△BDE中，∠E＝180°-(∠1＋∠2)＝90°∵ DE平分∠BDC，DG平分∠CDF(已知)∴∠EDG＝∠EDC＋∠CDG＝∴∠E＝∠EDG(等量代换)∴ BE∥DG (内错角相等，两直线平行)24.证明：如图3∵HF∥AC∴∠1=∠C∵GF∥AB∴∠B=∠3∵HF∥AC∴∠2+∠AGF=180°∵GF∥AH∴∠A+∠AGF=180°∴∠2=∠A∴∠A+∠B+∠C=∠1+∠2+∠3=180°（等量代换）．25.解：（1）如图，作EG∥AB，FH∥AB∵AB∥CD∴EG∥AB∥FH∥CD∴∠ABF＝∠BFH，∠CDF＝∠DFH，∠ABE＋∠BEG＝180°，∠GED＋∠CDE＝180°∴∠ABE＋∠BEG＋∠GED＋∠CDE＝360°∵∠BED＝∠BEG＋∠DEG＝70°∴∠ABE＋∠CDE＝290°∵∠ABF和∠CDF的角平分线相交于E∴∠ABF ＋∠CDF ＝145°∴∠BFD ＝∠BFH ＋∠DFH ＝145°；（2）∵∠ABM ＝13∠ABF ，∠CDM ＝13∠CDF ∴∠ABF ＝3∠ABM ，∠CDF ＝3∠CDM∵∠ABE 与∠CDE 两个角的角平分线相交于点F ∴∠ABE ＝6∠ABM ，∠CDE ＝6∠CDM∴6∠ABM ＋6∠CDM ＋∠E ＝360°∵∠M ＝∠ABM ＋∠CDM∴6∠M ＋∠E ＝360°．(3)由(2)结论可得2n ∠ABN ＋2n ∠CDM ＋∠E ＝360°，∠M ＝∠ABM ＋∠CDM 解得：∠M ＝n2m 360︒-︒． 故答案为：∠M ＝n 2m 360︒-︒.。
浙教版数学七年级下平行线的性质知识点
存在两条平行直线的图形中所具有的性质,共有三条。
查字典数学网为大家整理了平行线的性质知识点，希望对大家有帮助，一起来阅读吧！知识点1. 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相等。
2. 两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：两直线平行，同旁内角互补。
3 . 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角相等。
4. 若两条直线同时平行于第三条直线，这两条直线平行即：平行线的传递性5.两直线平行,同位角相等,6.两直线平行,内错角相等,7.两直线平行,同旁内角互补.8，同位角相等, 两直线平行。
9，内错角相等, 两直线平行。
10，同旁内角互补，两直线平行。
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。
第一条性质是公理，无法证明，称为阿基米德第五公设。
课后练习平行线的性质知识点的全部内容就是这些，不知道大家是否已经都掌握了呢？预祝大家以更好的学习，取得优异的成绩。
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浙教版七年级数学下册《平行线》知识点
知识点
平行线的定义：在同一平面内,永不相交的两条直线叫做平行线.
如：AB平行于cD,写作AB∥cD
平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
推论：平行同一直线的两直线平行.
∵a∥c,c∥b
∴a∥b.
课后练习
两直线相交所成的四个角中，有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为_____________.
两直线相交所成的四个角中，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为------__________.对顶角的性质：_______________.
两直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，那么就称这两条直线相互_______.
垂线的性质：⑴过一点______________一条直线与已知
直线垂直.⑵连接直线外一点与直线上各点的所在线段中，_______________.
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做________________________.
两条直线被第三条直线所截，构成八个角，在那些没有公共顶点的角中，⑴如果两个角分别在两条直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧，具有这种关系的一对角叫做___________;⑵如果两个角都在两直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种关系的一对角叫做____________;
⑶如果两个角都在两直线之间，但它们在第三条直线的同一旁，具有这种关系的一对角叫做_______________.
答案：
邻补角
对顶角，对顶角相等
垂直有且只有垂线段最短
点到直线的距离
同位角内错角
同旁内角。
第1章平行线1.1 平行线1.2 同位角、内错角、同旁内角1.3 平行线的判定1.4 平行线的性质1.5 图形的平移1.1 平行线1. 定义：在同一个平面内，不相交的两条直线；如果两条直线只有一个公共点，称这两条直线相交；如果两条直线没有公共点，称这两条直线平行.2.在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：相交和平行，垂直是相交的一种特殊情况.3.平行线的基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.这一基本事实实际上就是著名的“平行公理”.4.两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角. 邻补角的性质：邻补角互补.5.两条直线相交所得的四个角中，有公共的顶点，且其中一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角叫做对顶角.6.如果两个角的两边互相平行，则这两个角相等或互补.1.2 同位角、内错角、同旁内角1. 认识“三线八角”（1）如图所示，两条直线l1，l2被第三条直线,l3所截，构成8个角，也就是通常所说的“三线八角”.2. 同位角、内错角、同旁内角·同位角如上图所示，观察∠1与∠2的位置，它们都在第三条直线l3的同旁，并且分别位于直线l1，l2的同一侧，这样的一对角叫做同位角.·内错角如上图所示，观察∠7与∠4的位置，它们分别位于第三条直线l3的异侧，并且都在两条直线l1与l2之间，这样的一对角叫做内错角.·同旁内角如上图所示，观察∠7与∠8的位置，它们都在第三条直线l3的同旁，并且在直线l1与l2之间，这样的一对角叫做同旁内角.1.3 平行线的判定1. 平行线的判定方法1（1）基本事实：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单（2）推理形式：∵∠1=∠2，∴l1∥l2(同位角相等，两直线平行）.（3)基本事实的推论在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，推理形式为：∵l1⊥l3，l2⊥l3，∴l1∥l22.平行线的判定方法2（1）基本事实：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，简单说成：内错角相等，两直线平行；（2）推理形式：∵∠1=∠2，∴l1∥l2 (内错角相等，两直线平行).3平行线的判定方法3（1）基本事实：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：同旁内角互补，两直线平行.（2）推理形式：∠1+∠2=180°∴l1∥l2 (同旁内角互补，两直线平行）1.4 平行线的性质1. 平行线的性质（1）性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 简单说成：两直线平行，同位角相等.（2）性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等. 简单说成：两直线平行，内错角相等.（3）性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简单说成：两直线平行，同旁内角互补.（4）基本图形如图所示. 应用格式如下：因为AB//CD，所以∠1=∠2.因为AB∥CD、所以∠2=∠3.因为AB/CD，所以∠2+∠4=180°.2. 平行线的性质与判定的区别平行线的性质与判定中的条件和结论恰好相反，在“两条直线被第三条直线所截”的前提下，从同位角相等、内角相等、同旁内角互补推出两直线平行，这是平行线的判定；而从两直线平行推出同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，这是平行线的性质.1.5 图形的平移1. 平移的概念一个图形沿某个方向移动，在移动过程中，原图形上所有的点都沿同一个方向移动相等的距离，这样的图形运动叫做图形的平移，简称平移.2. 平移的条件物体作平移的两个条件：(1)相同的运动方向；(2)相等的运动距离.3.平移作图平移作图的一般步骤：(1)确定平移的方向和距离；(2)骗定表示围形的关键点；(3)过关键点作平行(或在同一条直线上)且相等的线段，得到关键点的对应点；(4)按原图形依次连结对应点，所得到的图形就是平移后的图形. 其中找出表示图形的关键点和过关键点作平行（或在同一条直线上）且相等的线段是最关键的.4.平移的性质（1）平移不改变图形的形状和大小.（2）一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上)且相等. 图形经过平移，对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段相等.注意：在平移作图中，最关键的是找出表示图形的关键点和过关键点作平行（或在同一条直线上）且相等的线段.1.6 应用1. 数对顶角2对对顶角l1 l2 l3 l1 l2 l3 l43组两两对应6组两两对应3*2=6对6*2=12对n条直线n-1+n-2+……+1（n−1+1）（n−1）2=n（n−1）2组×2=n（n-1）对2. 同旁内角特殊数法直线两两相交产生2对同旁内角图中有4条截线，每条截线形成3对交线，共计12组同旁内角数量：2×12=24对①变式图形：∠1与∠2都是同位角图形特征：在形如字母“F”的图形中有同位角②变式图形：∠1与∠2都是内错角图形特征：在形如“Z”的图形中有内错角③变式图形：∠1与∠2都是同旁内角图形特征：在形如“n”的图形中有同旁内角第2章二元一次方程组2.1 二元一次方程2.2 二元一次方程组2.3 解二元一次方程组2.4 二元一次方程组的应用2.5 三元一次方程组及其解法（选学）2.1 二元一次方程1. 二元一次方程定义：含有两个未知数，并且含未知数项的次数为1的整式方程叫二元一次方程.注意：“含有”表示系数不为0，（化简后）例如：x+y=10（√）x+2y=10+x（×）X+2y+z=10（×）“项的次数”，例如x2+y=0（×）xy-5=0（×）“整式”；初中我们就学习整式（排除法）、分式（分母里面有字母）和根式（根号里面有字母），只要是几元几次方程，必然是整式方程一般形式：ax+by+c=0（a≠0，b≠0）2. 二元一次方程的解（1）使二元一次方程左、右两边的值相等两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，一般情况下，一个二元一次方程有无数解. （每一个解是一个数对，要用大括号括起来）例：二元一次方程有无数个解，所以它的解是任意数.（×）3. 判定一个方程是二元一次方程必须同时满足三个条件：①方程两边的代数式都是整式----整式方程②含有两个未知数----二元③含有未知数的项的次数为1----一次例题：1、下列方程中，是二元一次方程的有（①⑤⑦） ①2x+y=3 ②x 2+3y=1 ③xy+5y=8 ④3x -2y=4z ⑤4x=y−24 ⑥1x +4y=6 ⑦xπ+y=5 2、下列各式中，属于二元一次方程的个数有（ C ）②④⑧①xy+2x -y=7 ②4x+1=x -y ③1x +y=5 ④x=y ⑤x 2-y 2=2 ⑥6x -2y ⑦x+y+z=1 ⑧y （y -1）=2y 2-y 2+x ⑨1x +x=1x +y （所有化简都在整式范围内化简，分式不化简）A.1B.2C.3D.42.2 二元一次方程组1. 二元一次方程组的概念由几个（2个及以上）一次方程组成并且含有两个未知数的方程组，叫二元一次方程组.二元一次方程组不一定由两个二元一次方程合在一起，方程可以超过两个，有的方程可以只有一元（一元方程在这里也可看作另一未知数系数为0的二元方程）如{2x =63x −y =1也是二元一次方程组. {x +1=8y −3=5 {x =8y =5 {x −y =52x +1=83x +y =10例题：下列方程组中，哪些是二元一次方程组：__________ ①{x +y =42x +3y =7 （√） ②{2a −3b =115b −4c =6（×） ③{x +y =8x 2−y =4 （×）④{xy −7=9y =2x（×） ⑤{x =1y =−1 （√） ⑥{2x =1xy =−1 （×） ⑦{2x +y =1y −z =−1 （×） ⑧{2x +y =11y=−1（×）2. 二元一次方程组的解：二元一次方程组的解必须满足方程组中的每一个方程，同时它也必须是一个数对，而不能是一个数.例题：方程组{2x +y =■x +y =3的解为{x =2y =■ ，则被遮盖的前后两个数分别为（ C ） A.1、2 B.1、5 C.5、1 D.2、43. 二元一次方程的两种基本解法的一般步骤：·代入消元元法①将方程组中的一个方程变形，使得一个未知数能用含有另一个未知数的代数式表示. ②用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数. 得到一个一元一次方程，求得一个未知数的值.③把这个未知数的值代人代数式，求得另一个未知数的值.④写出方程组的解.·加减消元法：①将其中一个未知数的系数化成相同(或互为相反数).②通过相减（或相加)消去这个未知数. 得到一个一元一次方程.③解这个一元一次方程，得到一个未知数的值.④将求得的未知数的值代人原方程且中的存一个方程，求得另一个未知数的值.⑤写出方程组的解.4. 应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤：(1)理解问题：审题，搞清已知和未知，分析数量关系.(2)制订计划：考虑如何根据等量关系设元，列出方程组.(3)执行计划：列出方程组并求解，得到答案.(4)回顾：检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意.5.当方程组中的某个方程的某个未知数的系数的绝对值为1，或某个方面的常数项为0时，一般用代入消元法解方程组比较简捷；当方程组中某个未知数的系数的绝对值相同或成倍数关系时，一般用加减消元法解方程组比较简捷；当未知数的系数的绝对值都不同时，找出某一个未知数系数的最小公倍数，同时对两个方程进行变形，使得方程中某个未知数的系数相同（或互为相反数），再用加减法消元求解.6.在解二元一次方程组时，除了代入消元法和加减消元法之外，我们还可以用整体代入法、换元法、设元法等方法求解，应根据题目灵活选择.整体代入法：在求代数式值中应用，求代数式的值最常用的方法，即把字母所表示的数值直接代入，计算求值. 有时给出的条件不是字母的具体值，就需要先进行化简，求出字母的值，但有时很难求出字母的值或者根本就求不出字母的值，根据题目特点，将一个代数式的值整体代入，求值时方便又快捷，这种整体代入的技法经常用到.7.回顾：一元一次方程是指含有一个未知数，并且未知数的项的次数为一次的方程. 例如：x=3x，2x=6x-1,9x-6=2x二元一次方程是指含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是一次的方程. 例如x=y+1，（a+b）×2=30第3章整式的乘除3.1 同底数幂的乘法3.2 单项式的乘法3.3 多项式的乘法3.4 乘法公式3.5 整式的化简3.6 同底数幂的除法3.7 整式的除法1.幂的运算法则：注意：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.例题:1.计算（1）（-3）2013·（- 13）2011（2）2·8n ·16n =222，求n 的值.（3）-12016+（π-3.14）0-2×（-3）2.连线a m n a m -a n2.整式的乘除法法则：注意：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“+”“-”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“+”连结，最后写成省略加号的代数和形式，根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab3.零指数幂和负整数指数幂：（1）a0=1(a≠0). 任何不等于零的数的零次幂都等于1.(a≠0，p是正整数）.任何不等于零的数的-p（p是正整数）次幂，等于这个数的（2）a-p=1a pp次幂的倒数.4.乘法公式：在化简求值问题中常会用到乘法公式，使用乘法公式可以简化运算.在利用完全平方公式求值时，注意公式的变形及整体代入思想，通常用到以下几种变形：（1）a2+b2=（a+b）2-2ab（2）a2+b2=（a-b）2+2ab（3）（a+b）2=（a-b）2+4ab（4）（a-b）2=（a+b）2-4ab第4章因式分解4.1 因式分解4.2 提取公因式法4.3 用乘法公式分解因式4.1 因式分解（1）因式分解的概念一般地，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，有时我们也把这一过程叫分解因式.（2）多项式的因式分解与整式的乘法是互逆关系. 整式的乘法运算是把几个整式的积变形为多项式的形式，特征是向着“积化和差”的形式发展；而多项式的因式分解则是把一个多项式化为几个整式乘积的形式，特征是向着“和差化积”的形式发展.★注意：分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止，即分解因式要彻底.例（台州中考）把多项式2x2-8分解因式，结果正确的是（）A. 2(x2-8)B. 2(x-2)2C. 2(x+2)(x-2)D. 2x(x -4)x解析：2x2-8=2(x2-4)=2(x+2)(x-2).故选C.4.2 提取公因式法1. 公因式的定义及其确定（1）公因式的定义：一般地，一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式. 如m是多项式ma+mb各项的公因式，2ab是多项式2ab+4abc各项的公因式.（2）公因式的确定方法：多项式的各项系数的最大公因数(当系数是整数时）与各项都含有的相同字母的最低次幂的积就是多项式的公因式.公因式可以是单项式，也可以是多项式.★公因式的确定方法：（1）系数：取多项式各项系数的最大公约数.（2）字母：取多项式各项都含有的相同字母(或多项式因式）的最低次幂.2. 用提取公因式法因式分解（1）定义：如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行因式分解. 这种分解因式的方法，叫做提取公因式法. 提取公因式法是因式分解的一种最基本的方法.（2）提取公因式法的一般步骤确定应提取的公因式；用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式；把多项式写成这两个因式的积的形式.3. 添括号法则括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都变号.4.3 用乘法公式分解因式1. 运用平方差公式分解因式a2-b2=(a+b)(a-b).语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.例(杭州中考）分解因式：m3n-4mn=________________解析：m3n-4mn =mn(m2 - 4)=mn(m+2)(m -2).答案：mn(m+2)(m -2)2. 运用完全平方公式分解因式a2+2ab+b2= (a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2.语言叙述：两数的平方和，加上(或者减去)这两数的积的2倍，等于这两数和(或者差)的平方.★注意：公式中所说的“两个数”是a，b，而不是a2，b2，其中a，b既可以是单项式，也可以是多项式.3. 形如x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解X2 +(p+ q)x+ pq=(x+p)(x+q)，利用该式可将某些二次项系数是]的二次三项式分解因式. 如：x2-6x-7=(x-7)(x+1)，x2+5x-6=(x+6)(x -1).4. 综合运用提取公因式法和公式法分解因式（1）多项式的因式分解，有的可用提取公因式法，有的可用公式法，有的则两种方法综合应用. 一般地，利用公式a2-b2=(a+b)(a-b)，或a2±2ab+b2=(a±b)2把一个多项式分解因式的方法，叫做公式法.（2）分解因式的一般步骤▲当多项式的各项有公因式时，应首先提取公因式.▲当多项式是二项式时，应考虑用平方差公式，当多项式为三项式时，应考虑用完全平方公式，观察是否符合公式的特点，并确定公式中的a，b.★特别注意：当分解因式后的某一因式有公因式或符合公式时，应继续分解，直到每个因式再也不能分解为止.★当多项式不能直接分解因式时，应先对多项式进行整理变形，再分解.5. 换元法当复杂的多项式中，某一部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式，例如：（a+b）2+2（a+b）+1，（x2-4x+2）（x2-4x+6）+46. 因式分解的方法7. 添括号法则括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都变号.要点三、乘法公式1、平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2两个数的和与两个数的差的积，等于这两个数的平方差；注意：在这里，a、b既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式；平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方. 2、完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2；（a-b）2=a2-2ab+b2两数和（差）的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.注意：公式的特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.8. 因式分解常用12种方法及应用【因式分解的12种方法】把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样，现总结如下：（1）提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式.例1：分解因式x3-2x2-x （2003淮安市中考题)x3-2x2-x=x（x2-2x-1）（2）应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式.例2：分解因式a2+4ab+4b2（2003南通市中考题）解：a2+4ab+4b2=(a+2b)2（3）分组分解法★分解因式：mx+nx+my+ny=(mx+nx)+(my+ny)=x(m+n)十y(m+n)=(m+n)(x+y)，这种分解因式的方法称为分组分解法.★要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，井提出公因式b，从而得到a（m+n）+b（m+n），又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)请用分组分解法分解因式：（1）a2-b2+a2b-ab2.原式=(a2-b2)+(a2b-ab2)=(a+b)(a-b)+ab(a-b)=(a-b)(a+b+ab).（2）a2-a2b+ab2-a+b-b2.原式＝(a2-b2)-(a2b-ab2)-(a-b)＝(a+b)(a-b)-ab(ab)-(a-b)=(a-b)(a+b-ab-1)=(a-b)[(b-1)-a(b-1)]=(a-b)(b-1)(1-a).例3：分解因式m2+5n-mn-5m解：m2+5n-mn-5m=m2-5m-mn+5n=(m2-5m)+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)例：2x4-x3-6x2-x+2=(2x4-x3)-(6x2+x-2)=x3(2x-1)-(2x-1) (3x+2)=(2x-1) ( x3-3x-2)（4）十字相乘法对于mx2+px+q形式的多项式，如果a×b=m，c×d=q且ad+bc=p，则多项式可因式分解为（ax+d）（bx+c）用“十字相乘法”分解因式2x2-x-3.（1）二次项系数2=1×2.（2）常数项-3=-1×3=1×(-3)，验算“交叉相乘之和”.（3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果-1为一次项系数，即(x+1)(2x-3)=2x2-3x+2x-3 =2x2-x-3，则2x2-x-3=(x+1)(2x-3). 像这样，通过十字交叉线的帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法.例4：分解因式7x2-19x-6分析：1×7=7，2×(-3)=-61×2+7×(-3)=-19解：7x2-19x-6=(7x+2)(x-3)（5）配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解.例5：分解因式x2+6x-40解x2+6x-40=x2+6x+9-9-40=(x+ 3)2-(7)2=[(x+3)+7][(x+3)-7]=(x+10)(x-4)（6）拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解.例6：分解因式bc（b+ c）+ca（c-a）-ab（a+b）解:bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc（c-a）+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c（c-a）（b+a）+b（a+b）（c-a）=（c+b）（c-a）（a+b）（7）换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来.例7.分解因式2x4-x3-6x2-x+2(也叫相反式，在这里以二次项系数为中心对称项的系数是相等的，如四次项与常数项对称，系数相等，解法也是把对称项结合在一起）解：2x4-x3-6x2-x+2=(2x4-x3)-(6x2+x-2)=x3(2x-1)-(2x-1) (3x+2)=(2x-1) ( x3-3x-2)例7.分解因式2x4-x3-6x2-x+2 (也叫相反式，在这里以二次项系数为中心对称项的系数是相等的，如四次项与常数项对称，系数相等，解法也是把对称项结合在一起）解：2x4-x3-6x2-x+2=2(x4+1)-x(x2+1)-6x2=x2｛2[x2+（1x ）2]-（x+1x）-6｝令y=x+1x，x2｛2[x2+（1x ）2]-（x+1x）-6｝=x2[2（y2-2）-y-6]= x2（2y2-y-10）= x2（y+2）（y-5）= x2（x+1x +2）（2x+1x−5）=（x2+2x+1）（2x2-5x+2）=(x+1)2(2x-1)(x-2)（8）求根法令多项式f（x）=0，求出其根为x1，x2，x3，……x n，则多项式可因式分解为f（x）=(x-x1)（x-x2)(x-x3)……(x-x n)(一般情况下是试根法，并且一般试-3，-2，-1，0，1，2，3这些数是不是方程的根)例8.分解因式2x4+7x3-2x2-13x+6解：令f（x）=2x4+7x3-2x2-13x+6=0通过综合除法可知，f（x）=0根为，-3，-2，1，12则2x+7x-2x-13x+6=（2x-1）（x+3）（x-1）（9）图象法（这种方法在以后学函数的时候会用到. 现在只是作为了解内容，它和第八种方法是类似的）令y=f（x），做出函数y=f（x）的图象，找到函数图象与x轴的交点x1，x2，x3，……x n，则多项式可因式分解为f（x）=f(x)=(x-x1)(x-x2 )(x-x3).....(x-x n)例9.因式分解x3+2x2-5x-6解：令y=x3+2x2-5x-6作出其图象，可知与x轴交点为-3，-1，2则x3+2x2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)（10）主元法先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解.例10.分解因式a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列解：a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)= a2 (b-c)-a(b2-c2)+bc(b-c)=(b-c)[ a2-a(b+c)+bc]=(b-c)（a-b）(a-c)（11）利用特殊值法将2或10(或其它数）代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式.例11.分解因式x3+9x2+23x+15解：令x=2，则x3+9x2+23x+15=8+36+46+15=105将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值则x3+9x2+23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）（12）待定系数法首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解.例12.分解因式x4-x3-5x2-6x-4如果已知道这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式.解：设x4+-x3-5x2-6x-4=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd从而a+c=-1，ac+b+d=-5，ad+bc=-6，bd=-4所以解得则x4+-x3-5x2-6x-4=(x2+x+1)(x2-2x-4)【专题综述】因式分解初中代数中一种重要的恒等变形，也是中考数学试题中比较常见的题型，对于因式分解，除了掌握其方法外，还应注意观察题目的本身特点，正确的选择方法，同时，由于种种原因，因式分解时常常会出现这样或那样的错误，下面举例予以剖析，望有则改之，无则加勉.9. 方法解读（1）曲解概念，局部分解 例1：分解因式：（x+y)2+（x+y)+14错解：原式=（x+y)(x+y+1)+ 14 正解：原式=（x+y)2+2×12（x+y ）+（12）2=（x+y+12）2【解读】尽管结果的第一项是积的形式，但从整体上看还是和的形式. 错因在于曲解了分解因式的意义，误认为只要结果中有整式的积即可，而忽视了整个结果必须是积的形式这一本质.【举一反三】下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ）A.x 2+2x+3=(x+1)2+2B.(x+y)(x -y)=x 2-y 2C.x 2-xy+y 2=(x -y)2D.2x -2y=2(x -y)【答案】D【解析】选项A. x 2+2x+3=(x+1)2+2不是因式分解选项B.(x+y)(x -y)=x 2-y 2不是因式分解选项C. x 2-xy+y 2=(x -y)2不是因式分解选项D. 2x -2y=2(x -y)是因式分解（2）提公因式，不翼而飞例2：分解因式：4a 2b -6ab 2+2ab.错解：原式=2ab(2a -3b).正解：原式=2ab(2a -3b+l)【解读】当各项的公因式恰与某一项相同（或互为相反数）时，提取公因式后.该项的位置必须由l （或-l ）“留守”，而错解忽视了这一点，致使第三项“1”不翼而飞. 【举一反三】 因式分解：ab 2-2ab+a=_______________【答案】a(b -1)2【解析】ab 2-2ab+a=a(b 2-2b+1)=a(b -l)2，故本题的答案为a(b -1)2本题考查略因式分解的提公因式法与公式法，解题的关键在于判断公因式并熟练地运用完全平方式.（3）盲目变换，符号出错例3：分解因式：3q(p-1)2-2(1-p)3.错解：原式=3q(p-1)2-2(p-1)3=(p-1)2[3q-2(p-1)]=(p-1)2(3q-2p +2).正解：原式=3q(l-p) 2-2(1-p)3=(1-p)2(3q-2+2p)【解读】错因在于把（l-p)3化为（p-1）3时出现了符号错误，误认为(l-p)3=(p-1)3.事实上，当n为偶数时，(l-p)m=(p-1)m；当n为奇数时，(l-p)m=-(p-1)m，所以本题中若选择把(p-1)2化为(l-p)2，可避免符号的干扰【举一反三】因式分解：x(x-2)-3(2-x)【答案】(x-2)（x+3)【解析】试题分析：提公因式(x-2)进行因式分解；解：原式=（x-2)(x+3)（4）忘记初衷，背道而融例4：分解因式：（2x+y）2-(x-2y)2.错解：原式=[(2x+y)+(x-2y)][(2x+3)-(x-2y)]=( 3x-y)( x+3y)=3x2+8 x y-3 y2.正解：原式=（3x-y）(x+3y).【解读】错解的最后一步与因式分解背道而驰，是整式乘法. 这种走“回头路”的现象，其原因是混淆了分解因式与整式乘法的本质区别，对分解因式的目标就是“把多项式化为几个整式积的形式”不够明确.【举一反三】分解因式：9(a+b)2-4(a-b)2【答案】(5a+b)(a+5b)【解析】利用平方差公式即可分解因式.解：9(a+b)2-4(a-b)2，=[3(a+b)+2(a-b)][3(a+b)-2(a-b)],=(5a+b)(a+5b)（5）半途而废，前功尽弃例5：分解因式：（x2+4)2-16x2错解：原式=(x2+4)2-(4x)2=(x2+4+4x)(x2+4-4x).正解：原式=(x2+4+4x)(x2+4-4x)=(x+2)2（x-2)2【解读】错因在于分解因式不彻底. 因为结果中的两个因式都是完全平方式，还可以继续分解，所以错解由于半途而废，而导致“前功尽弃”.【举一反三】分解因式：4x2-16=___________【答案】4(x+2)(x-2)【解析】4x2-16.=4(x2-4)=4(x+2)(x-2)10. 强化训练1.下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A.(x+y)(x-y)=x2-y2；B.42=2×3×7；C.x2-x-2=(x-2)(x+l)；D.2x2-x-l=x(2x-1)-1.【答案】C【解析】A.(x+y)(x-y)=x2-y2是乘法运算，故不正确；B.42=2×3×7是分解因数，故不正确；C.x2-x-2=(x-2)(x+1)是因式分解；D.2x2-x-l=x(2x-1)-1的右边不是积的形式，不是因式分解，故不正确.2.对于非零的两个实数a，b.规定a@b=a3-ab，那么将a@16结果再进行分解因式，则为（）A. a(a+2)(a-2)B.a(a+4)(a-4)C.(a+4)(a-4)D.a(a2+4)【答案】B【解析】∵a@b=a3-ab∴a@16=a3-16a=a (a2-16)=a(a+4)(a-4).故选B.3.因式分解：(1)2a(y-x)-3b(x-y)；(2)x3-x【答案】(1)( y-x)(2a+3b) (2)x(x+1)(x-1).【解析】试题分析：（1）将原式第二项括号里面变形为y-x，再将y-x提取出来即可；(2)先提取公因式x，再用平方差公式因式分解即可.试题解析：(1)原式=2a(y-x)+3b(y-x)=(y-x)( 2a+3b):（2)原式=x(x2-1)=x(x+1)(x-1).4.分解因式：x5-2x3-8x【答案】x(x+2)（x-2)（x2+2)【解析】本题考查了综合运用提公因式法和公式法进行因式分解. 先提公因式x，然后连续运用两次平方差公式求解，分解因式时必须分解到每个因式不能再分解为止.原式=x(x4-2x3-8)=x(x2-4)(x2+2)=x(x+2)(x-2)(x2+2)5.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（）A.x(a-b)=ax-bxB.x2-1+y2=(x-1)(x+l)+y2C.x2-1=(x+1)(x-1)D.ax+bx+c=x(a+b)+c【答案】C【解析】A.是多项式乘法，不是因式分解，错误；B.不是化为几个整式的积的形式，错误；C.是公式法，正确；D.不是化为几个整式的积的形式，错误；故选：C.6.代数式2x2-18因式分解，结果正确的是（）A. 2(x2-9)B. 2(x-3)2C.2(x+3)(x-3)D.2(x+9)(x-9)【解析】∵2x2-18=2(x2-9)=2(x+3)(x-3)，∴C中的结果是正确结果.故选C7.因式分解：①5x3y-20xy3；②(x-1)(x-3)-8【海南省定安县2017-2018学年八年级上学期期末考试数学试题】【答案】①5xy(x+2y)(x-2y)；②)(x-5)(x+1)【解析】①用提公因式法5x3y-20xy3=5xy(x2-4y2)=5xy(x+2y)(x-2y)②用十字相乘法(x-1)(x-3)-8=x2-4x-5=(x-5)(x+1)8.因式分解：(1)2x2-8(2)m3n-10m2n+25mn(3)a2(a-b)+9(b-a)【答案】(1)2(x+2)(x-2);(2)mm(m-5)2;(3)(a+3)(a-3)(a-b).【解析】试题分析：（1）原式提取2，再利用平方差公式分解即可；（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；（3)原式变形后提取公因式，再利用平方差公式分解即可.试题解析：(1)原式=2(x2-4)=2(x+2)(x-2)；(2)原式=mn(m2-10m+25)=mn(m-5)2；(3)原式=a2(a-b)-9(a-b)=(a-b)(a+3(a-3).(1)10a-5a2-5；(2)(x2+3x)2-(x-1)2.【答案】(1)-5(a-1)2；（2)(x2+4x-1)(x+1)2.【解析】（1）提取公因式-5后，再用完全平方式进行分解即可10a-5a2-5=-5(a2-2a+1)=-5(a-1)2（2）原式运用平方差公式进行分解后，再用完全平方式进行分解即可(x2+3x)2-(x-1)2=(x2+3x+x-1)(x2+3x-x+1)=(x2+4x-1)(x2+2x+1)=(x2+4x-1)(x+1)210.把下列各式因式分解(1 )a(a-3)+2(3-a)(2)(a+b+c)2-(a-b-c)2(3)4(x+y)2-20(x+y)+25(4) 4a2-b2+6a-3b【答案】(1)(a-3)(a-2) (2)4a(b+c) (3)(2x+2y-5)2(4)(2a-b)(2a+b+3)【解析】试题分析：（1)先把原式化为a(a-3)-2(a-3)，再用“提公因式法”分解即可；（2）先用“平方差公式”分解，再提“公因式”即可；（3）用“完全平方公式”分解即可；（4）先把原式分组化为（4a-b)+（6a-3b)，两组分别分解后，再提“公因式”即可.试题解析：(1)a(a-3)+2(3-a)=a(a-3)-2(a-3)=(a-3)(a-2)(2)(a+b+c)2-(a-b-c)2=[(a+b+c)+(a-b-c) ] [(a+b+c)-(a-b-c)]=(a+b+c+a-b-cXa+b+c-a+b+c)=2a(2b+2c)=4a(b+c)(3)4(x+y)2-20(x+y)+25=[2(x+y) ]2-20(x+y)+25=[2(x+y) ]2-20(x+y)+52=(2x+2y-5)2(4)4a2-b2+6a-3b=(4a2-b2)+(6a-3b)=(2a+b)(2a-b)+3(2a-b)=(2a-b)(2a+b+3)第5章分式5.1 分式5.2 分式的基本性质5.3 分式的乘法5.4 分式的加减5.5 分式的方程1、分式有无意义及分式值为零的条件：分式中字母的取值不能使分母为零. 当分母的值为零时，分式就没有意义；当分母的值不为零时，分式有意义；当分子的值等于零而分母的值不等于零时，分式的值是零.1.分式AB 中，要使分式有意义，则需分母B≠0；要使AB=0，则需A=0且B≠0.2.分式的基本性质：AB =A×MB×M，AB=A÷MB÷M（其中M是不等于零的整式).3.分式约分的结果必须是整式或最简分式.分式的运算：1、分式的乘法：ba ·cd= bcad分式的除法：ba ÷cd=ba·dc=bdac分式的加减：（1）同分母分式相加减：ab ±cb=a±cb（2）异分母分式相加减：ab ±cd=abbd±cbbd=ab±cdbd分式的乘方：（ab）n=a n/b n（其中n是正整数）。
