常微分方程期末考试试题A卷
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多练出技巧 巧思出硕果
常微分方程期末考试试卷
一.填空题 (共30分，9小题，10个空格，每格3分)。
1、当 _______________ 时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全
微分方程。
2、 ________________ 称为齐次方程。
3、求dy =f(x,y)满足穴xo) = y。的解等价于求积分方程 ____________________ 的
dx
连续解。
4、若函数f(x,y)在区域G内连续，且关于y满足利普希兹条件，则方程dy = f (x,
y)
dx
的解y=cp(x,x。，y。)作为x,x。，y。的函数在它的存在范围内是 。
5、若xi(t),x2(t)... x3(t)为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件
是 0
6、方程组x/ =A(t)x的 _________________ 称之为x/ = A6x的一个基本解组。
7、若*t)是常系数线性方程组x/ = Ax的基解矩阵，则expAt =。
8、满足 ____________________ 的点(x*,y*),称为方程组的奇点。
9、当方程组的特征根为两个共腕虚根时，则当其实部 __________ 时，零解是稳定
的，对应的奇点称为
二、计算题(共6小题，每题10分)。
1、求解方程：dy=x7”
dx x y 3 多练出技巧 巧思出硕果
2、解方程：(2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0
3、讨论方程dy = 3y3在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件， 并求通
过点（0, 0）的一切解
4、求解常系数线性方程： x -2x/ +3x = eA cost
, … …，一 一 一 一 1 「12、 5、试求方程组x/ = Ax的一个基解矩阵，并计算eAt,其中A为 3J
6、试讨论方程组dx=ax+by, dy = cy （1）的奇点类型，其中a,b,c为常 dt dt 数，且ac#0。
三、证明题（共一题，满分10分）。
试证：如果平（t）是x/ = Ax满足初始条件中（t0）=n的解，那么
■：（t）二 eA（t」0）十
答案 多练出技巧 巧思出硕果
一、填空题。(30分)
M(x,y) FN(x,y)
1、 ------ 二 -------
y x
2、dy =")
dx x
x
3、y=y()+ f(x, y)dx
xo
4、连续的
5、w ki(t),x2(t,),…,xn(t) L 0
6、n个线性无关解
7、「⑴中」(0)
8、X(x,y)=0,Y(x,y)=0
9、为零 稳定中心
二、计算题。(60分)
1、解：(x-y+1)dx-(x+ y2+3)dy=0
2
xdx-(ydx+xdy)+dx- y dy-3dy=0
1c 1a
即一d x -d(xy)+dx- dy -3dy=0
2 3
1 2 1 3
所以—x。xy x y -3V = C
2 3
2、解：令"x+y
则在=1 5
dx dx
所以-z+3ln|z+1|=x+C1 , ln|z+1 |3=x+z+C1 dz=1 dx 2z -1 _ z 1
z - 2 - z
2 -z 2 dz =
dx 多练出技巧 巧思出硕果
即(x y 1)3 = Ce2x y 多练出技巧 巧思出硕果
c 1 , . 2
设 f(x,y尸 —y3,则一 =y—3(y = 0)
2 y 2
故在y # 0的任何区域上 f存在且连续，
：:y
因而方程在这样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件,
显然，y三0是通过点（0, 0）的一个解;
dy 3 1 2
又由 dy = 3y3解得，|y|=(x-c)2
dx 2
所以，通过点（0, 0）的一切解为y三0及 0 |y|二 3 (x -c)2 (x < c) (x
c), c _ 0是常数
4、解: (1) 2 -2 3=0, ■12 =1
_ .2i ,
齐次方程的通解为 x= et (ci cos > 2t C2 sin 2t)
(2)儿=-1 士i 不是特征根，故取 x = (Acost +
Bsint)e’
代入方程比较系数得A=A , B=《
于是 x = ( — cost - - sin t)e 41 41
通解为 x= et (c1 cos .•・ 2t c2 sin . 2t) + 1 _t
(5cost -4sin
t)e
41
5、解: det( 1 E -
A )= ~■1 -'2 2
-'-4- -5-0
-4 ' - 3
所以，1 - -1, 1 2 -
5
设A=-1对应的特征向量为Vi 3、解: 多练出技巧 巧思出硕果
/ ,L
所以，①(t)= e_Lv1 e5tv2 ]=e
「e
eAt = "t)：：1」(0)
(_L 5t V A e e 1
1e」2e5tk1_]je上 e5t Y2 -T 一 3「6上 2e5t h 1」
_ 1 ''e5t +2e-L e5t —e上, - 3还5t -2e，2e5t +e」,
6、解：因为方程组（1）是二阶线性驻定方程组，且满足条件
a b=ac#0,故奇点为原点（0, 0）
0 c
t a 一九 b 2 / 口
又由 det（A- E E）= =九—（a + c）人 + ac= 0得
0 c-儿
‘1 = a ' 2 = C
所以，方程组的奇点（0, 0）可分为以下类型：
六七44士上 a < 0,c < 0,稳结点
aCA0奇点为结点3 , -
a =C〈 © A0,C A0,不稳定结点
a, C为实数 工 ac<0奇点句鞍点（不稳定）
b丰0,奇点为退化结点 " a < 0, c < 0,稳定结点
a =c」 ........ '? .....
b = 0,奇点为奇结点 a > 0,0 0,不稳结点
三、证明题。 （10分）
证明：设中（t）的形式为中（t）=eAtC
（C为待定的常向量） -2 二；0 「4
同理取v2 = 2
5t e
2e5t
(D 多练出技巧 巧思出硕果
则由初始条件得 =(to)=eAt0C
又(eAt0)」二 e"t0
所以，C=(eAt0)」二e"t0
代入(1)得(t) = eAte巩 =eA(t’0)
即命题得证。
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