中考数学压轴题专题-动点综合问题
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专题15动点综合问题
【考点1】动点之全等三角形问题
【例1】
1．如图,CA⊥BC,垂足为C,AC=2Cm,BC=6cm,射线BM⊥BQ,垂足为B,动点P从C点出发以1cm/s
的速度沿射线CQ运动,点N为射线BM上一动点,满足PN=AB,随着P点运动而运动,当点P运动_______秒
时，△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等.(2个全等三角形不重合)
【变式1-1】
已知正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别是线段OB、OC上的动点（1）如果动点E、F满足BE＝OF（如图），且AE⊥BF时，问点E在什么位置？并证明你的结论；
（2）如果动点E、F满足BE＝CF（如图），写出所有以点E或F为顶点的全等三角形（不得添加辅助线）．
【变式1-2】
如图①，将长方形纸片沿对角线剪成两个全等的直角三角形ABC、EDF，其中AB＝8cm，BC
＝6cm，AC＝10cm．现将△ABC和△EDF按如图②的方式摆放（点A与点D、点B与点E分别重合）．动
点P从点A出发，沿AC以2cm/s的速度向点C匀速移动；同时，动点Q从点E出发，沿射线ED以acm/s
（0＜a＜3）的速度匀速移动，连接PQ、CQ、FQ，设移动时间为ts（0≤t≤5）．
（1）当t＝2时，S
△AQF＝3S
△BQC，则a＝；
（2）当以P、C、Q为顶点的三角形与△BQC全等时，求a的值；
（3）如图③，在动点P、Q出发的同时，△ABC也以3cm/s的速度沿射线ED匀速移动，当以A、P、Q为
顶点的三角形与△EFQ全等时，求a与t的值．
【考点2】动点之直角三角形问题
【例2】
如图，在四边形纸片ABCD
中，//ABCD
，60A
，30B
，2CD，4BC，点E是
AB边上的动点，点F是折线ADC
上的动点，将纸片ABCD
沿直线EF折叠，使点A
的对应点A落
在AB边上，连接AC
，若ABC
是直角三角形，则AE的长为________．
【变式2-1】
（2019·辽宁中考模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A(4，0)和点
D(﹣1，0)，与y轴交于点C，过点C作BC平行于x轴交抛物线于点B，连接AC
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)点M从点O出发以每秒2个单位长度的速度向点A运动；点N从点B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停动，过点N作NQ垂直于BC交AC
于点Q，连结MQ.
①求△AQM的面积S与运动时间t之间的函数关系式，写出自变量的取值范围；当t为何值时，S有最大
值，并求出S的最大值；
②是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
【变式2-2】
如图，在矩形OAHC
中，8,12OCOA
，B为CH
中点，连接AB.动点M从点O
出
发沿OA
边向点A运动，动点N
从点A出发沿AB边向点B运动，两个动点同时出发，速度都是每秒1个
单位长度，连接,,CMCNMN
，设运动时间为t
（秒）(010)t
.则t
_____时，CMN为直角三角形
【考点3】动点之等腰三角形问题
【例3】
如图，AB是⊙O
的直径，BC是弦，10cmAB，6cmBC．若点P是直径AB上一动点，当
PBC
是等腰三角形时，AP__________cm．
【变式3-1】
如图①，已知正方形ABCD
边长为2，点P是AD边上的一个动点，点A关于直线BP的对
称点是点Q
，连结PQ
、DQ
、CQ
、BQ
.设AP=x.
4（1）当1x
时，求BP长；
（2）如图②，若PQ
的延长线交CD
边于E，并且90CQDo
，求证：CEQ
为等腰三角形；
（3）若点P是射线AD上的一个动点，则当CDQ
为等腰三角形时，求x
的值.
【变式3-2】
（2019·河南中考模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+3交y轴于点A，交x轴于点B（-3，0）和
点C（1，0），顶点为点M．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点E为x轴上一动点，若△AME的周长最小，请求出点E的坐标；
（3）点F为直线AB上一个动点，点P为抛物线上一个动点，若△BFP为等腰直角三角形，请直接写出点
P的坐标．
【变式3-3】
（2019·广西中考真题）已知抛物线2ymx
和直线yxb
都经过点
2,4M
，点O
为
坐标原点，点P为抛物线上的动点，直线yxb
与x
轴、y
轴分别交于AB、
两点．
（1）求mb、
的值；
（2）当PAM是以AM为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；
（3）满足（2）的条件时，求sinBOP
的值．
【考点4】动点之相似三角形问题【例4】
如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC
是相似三角形，求AP的长．
【变式4-1】
已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点A，C的坐标分
别为A（﹣3，0），C（1，0），BC＝3
4AC
（1）求过点A，B的直线的函数表达式；
（2）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP＝DQ＝m，问是否存在这样
的m，使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．
【变式4-2】
如图，正方形ABCD，点P为射线DC上的一个动点，点Q为AB的中点，连接PQ，DQ，
过点P作PE⊥DQ于点E．
（1）请找出图中一对相似三角形，并证明；
（2）若AB＝4，以点P，E，Q为顶点的三角形与△ADQ相似，试求出DP的长．
【考点5】动点之平行四边形问题（含特殊四边形）【例5】
如图，抛物线23yaxbx
与x
轴交于(3,0),(1,0)AB
两点，与y
轴交于点C
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的动点，且满足2
PAOPCOSS
，求出P点的坐标；
（3）连接BC，点E是x
轴一动点，点F是抛物线上一动点，若以B、C
、E、F为顶点的四边形是平
行四边形时，请直接写出点F的坐标．
备用图
【变式5-1】
（2019·江西中考真题）在图1，2，3中，已知，，点为线段上的动点，连接，以为边向上作菱形，且．
（1）如图1，当点与点重合时，________°；
（2）如图2，连接．①填空：_________（填“>”，“<”，“=”）；②求证：点在的平分线上；
（3）如图3，连接，，并延长交的延长线于点，当四边形是平行四边形时，求的值．
【变式5-2】
（2019·湖南中考真题）如图，二次函数21
3yxbxc
的图象过原点，与x轴的另一个交
点为
8,0
7（1）求该二次函数的解析式；
（2）在x轴上方作x轴的平行线
1ym
，交二次函数图象于A、B两点，过A、B两点分别作x轴的垂线，
垂足分别为点D、点C．当矩形ABCD为正方形时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点Q以相同
的速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点D时立即原速返回，当动点Q返回到点A时，P、Q两点
同时停止运动，设运动时间为t秒（0t
）．过点P向x轴作垂线，交抛物线于点E，交直线AC于点F，
问：以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形．若能，请求出t的值；若不能，请说明理
由．
【变式5-3】
．如图，在平面直角坐标系中，AOB的顶点O
是坐标原点，点A坐标为
1,3
，A、B两点
关于直线yx对称，反比例函数
0k
yx
x图象经过点A，点P是直线yx
上一动点.
（1）B点的坐标为______；
（2）若点C
是反比例函数图象上一点，是否存在这样的点C
，使得以A、B、C
、P四点为顶点的四边
形是平行四边形？若存在，求出点C
坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点Q
是线段OP
上一点（O
不与O
、P重合），当四边形AOBP
为菱形时，过点Q
分别作直线OA
和直线AP的垂线，垂足分别为E、F，当QEQFQB
的值最小时，求出Q
点坐标.
【考点6】动点之线段面积问题
【例6】
如图，在平面直角坐标系中，平行四边形如图放置，将此平行四边形绕点O顺时针旋转
90°得到平行四边形
．抛物线经过点A、C、A′三点．
（1）求A、A′、C三点的坐标；
（2
）求平行四边形
和平行四边形
重叠部分的面积；
（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问点M
在何处时，的面积最大？最大面积是多少？并
写出此时M的坐标．
【变式6-1】
（1）发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BCα
，ABb(0)ab
，当点A
位于时，线段AC的长取得最大值，最大值为（用含,ab
的式子表示）；
（2）应用：如图2，点A为线段BC外一动点，4BC
，2AC，以AB为边作等边ABD，连接CD
，
求线段CD
的最大值；
（3）拓展：如图3，线段3AB，点P为线段AB外一动点，且2AP，PMPB，90BPM
，求
线段AM长的最大值及此时PBM的面积．
