二年级A班专属讲义////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////----1----计数第32讲_隔板法(学生版)计数第32讲_隔板法一．基本隔板法（每人至少一个）隔板法是专门处理“相同物品分给不同人”这类问题的方法．其中，最基本类型是m人分n个物品，每人至少一个．此时，只需用1m个隔板将n个物品分开即可，且由于每人至少一个，故每个空最多放一个隔板，两端不能放．因此，共11mnC种方法．二．需转化的隔板法若某些人要求分不止一个，或某些人可以不拿，则需要对问题进行转化，通过“多退少补”将其变为每人至少一个的情况．重难点：隔板法的原理（思想），以及如何将实际问题用隔板法解决．一些问题相当于“物品少，人多”，此时不易将其转化为隔板法或物品数、隔板数易数错．题模一：不可为空的隔板问题例1.1.1把9个相同的苹果放到4个不同的篮子里，要求每个篮子里都至少放一个，一共有_______种不同的放法．例1.1.2求方程X+Y+Z=10的正整数解的个数．知识图谱知识精讲三点剖析题模精选----2----二年级A班专属讲义////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////计数第32讲_隔板法(学生版)例1.1.3将20个相同的小球放入编号分别为1、2、3、4的四个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于它的编号数，请判断：放法总数有__________种．题模二：可为空的隔板问题例1.2.1把20个苹果分给3个小朋友，每个小朋友至少分1个，共有多少种分苹果的方法？如果可以有小朋友没有分到苹果，共有多少种分法？例1.2.2某班40名学生参加了一项关于“超市是否应该提供免费塑料袋”的调查，每人均在“应该提供”、“不应该提供”和“无所谓”三个选项中做出了选择．请问：三个选项的统计数字共有__________种不同的可能．题模三：隔板法的实际应用例1.3.1一次吃自助餐，有10道菜，每人有4个盘子可以选菜，要求每个盘子只能装1种菜，但是可以重复选菜（比如某道菜很好吃，我可以把2个盘子都装这1种菜），那么共有__________种选菜方案．例1.3.2数3可以用4种方法表示为1个或几个正整数的和，如3，1＋2，2+1，1+1＋1．问：1999表示为1个或几个正整数的和的方法有多少种？例1.3.3（1）中关村一小六年级A班的30名同学投票选举优秀少先队员，投票采用不记名方式，每人只能投1票且不能投弃权票（谁都不选）．如果候选人共3人，那么投票共__________种不同的可能．（2）如果这30名学生可以投弃权票，那么投票结果共__________种不同的可能．随练1.110个名额分配到八个班，每班至少一个名额，问有多少种不同的分配方法?随练1.2要把20个相同的苹果分给小高、墨莫和卡莉娅，要求小高至少分到2个，墨莫至少分到3个，卡莉娅至少分到4个，一共有多少种不同的分法？随练1.3现在有12道竞赛题，卡莉娅要在今天、明天、后天这三天内按顺序做完，但每一天可以做很多道题也可以一道不做．共有_______种安排做题的方案．二年级A班专属讲义////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////----3----计数第32讲_隔板法(学生版)随练1.4小于1000的整数中，数字和为7的共多少个？随练1.5有8种玩具，小明有3个盒子可以装玩具将其带走，要求每个盒中只有1个玩具，但是可以重复选，那么共有__________种选菜方案．作业1把5件相同的礼物全部分给3个小朋友，使每个小朋友都分到礼物，分礼物的不同方法一共有___________种．作业2数字和为9，而且不含数字0的三位数共有__________个，四位数共有__________个．作业3如果自然数a的各位数字之和等于5，那么称a为“龙腾数”．将所有的“龙腾数”从小到大排成一列，2012排的这一列数中的第______________个．作业4学校组织学生郊游的午餐为自助餐，共12种不同的食物，都装在小盘内供挑选．假设每人都选3盘（4盘中可以有若干盘相同），那么共有多少种不同的选法？作业5求方程10XYZ的自然数解的个数．作业6千位是5，且各位数字和是13的四位数共有多少个？作业7中关村一小六年级A班的30名同学投票选举优秀少先队员，投票采用不记名方式，每人只能投1票且不能投弃权票（谁都不选）．如果候选人共3人，那么投票共__________种不同的可能．作业8有8个鸡蛋，每天至少吃2个，3天吃完，一共有多少种不同的吃法？作业9把13个桃子（各个桃子视为没有区别）分配给甲、乙、丙、丁4人．分别求出符合以下要求的不同分配方案数目：（1）允许某些人没有分得桃子；----4----二年级A班专属讲义////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////计数第32讲_隔板法(学生版)（2）每人至少分1个桃子；（3）甲至少分2个桃子，乙至少分1个桃子，丙至少分3个桃子，丁至少分1个桃子．作业10小高有10块大白兔奶糖，他从今天起，每天至少吃一块，直到吃完．请问一共有多少种不同的吃法？
农吁
“隔板法”是解决组合问题中关于若
干个相同元素的分组问题的一种常用方
法，用这种方法解决此类问题，过程简捷 明了，富有创意性和趣味性。这类问题的
类型就是把ｎ（ｎ≥１）个相同的元素分配
到ｍ（１≤ｍ≤ｎ）个不同的组，使得每一个
组都至少有一个元素，求一共有多少种 不同的分法问题。
下面我们先以一例介绍什么叫做隔
板法。 例１：有１Ｏ个代表名额分配给高三
年级的８个班，每班至少有一个名额，求
一共有多少种不同的分配方法？ 分析：受分配的对象是名额，它们是
没有区别的，我们认为是相同的元素，分
配方法的不同只与各班分配到的数量有 关。 我们现将１０个对象（名额）用符号
表示成ｏｏｏｏｏｏｏｏｏｏ，我们如
果在其间插入７根小棍，就可以将这１Ｏ
个对象分成８个组，如图所示ｏＩｏｌｏｏＩ
ｏ１ＯＩｏｌｏｏＩｏ即表示为一种分配方 法，这种分配方法指的就是（１）班、（２）
班、（３）班、（４）班、（５）班、（６）班、（７）班、
（８）班分配的名额分别为１个、１个、２
个、１个、１个、１个、２个、１个。中间的竖
线是用来隔分这１０个相同对象用的，我 们形象地称之为隔板，像这种解决此类
问题的此种方法，我们称之为隔板法。其
中用到的隔板数要比分成的组数少１，因 此在上述例题中，这些隔板（７个）只要在 总的对象（１０个）之间的９个位置之中的
某７个位置上落定，就确定了一种名额
的分配方式。显然，这样确定的不同的分
配法共有Ｃ 种，也就是原题的答案是Ｃ
＝３６，由此可以将问题一般地归纳如下：
将ｎ（ｎ≥１）个相同的元素分配到ｍ （１≤ｍ≤ｎ）个不同的组，每组至少有一个
元素，则一共有ｃ 种不同的分配方法。 使用隔板时，务必要注意问题类型
具备的两个条件：其一，元素是相同的；
其二，分配到的组是互不相同的。
现我们将隔板法进行深度的推广：
求将ｎ（ｎ≥１）个相同的元素分配到ｍ
（１≤ｍ≤ｎ）个不同的组，每组至少有０个
∴naAna≥
推广设10(1,2,,)iains<<=",且1niia=∑
a=,求证:11ni
iikanka
sansa=≥∑,其中0k>.
例4设,,0abc>,且1abc=,求证:
3331113
()()()2abcbcacab++≥+++.
(第36届IMO试题)本题已有多种解法,但变形要求都较高,且过程复杂,现简证如下:
证明左边222()()()bccaababcbcacab=+++++
222111
111111abcA
cbacba=++=+++记.
令111
(,,)111111abcp
cbacba=
+++JG,
111111(,,)qcbacba=+++G.
由(*),得
1111112()Aabcabc++≤++,
则1111113()3222Aabcabc≥++≥=.
同样地,如果改变本题条件中的定值,变
元个数,次数,条件中的等号变为不等号,研究
逆命题等能得一系列不等式,留给读者思考.
参考文献
[1]林荣春.利用公式222()pqpqmnmn++≥+巧证竞赛题.
中学数学研究,2002.8.
[2]孙志坤.不等式2111/()(0)nnkkkkknaaa+=≥>∑∑的应用.
数学通报,2003.8.[3]程东军.逆用nS公式妙证不等式.数学通讯.2004.15.“隔板法”的妙用
福建南安华侨中学黄成家
在排列、组合应用题教学中,有一类问题,
使用“隔板法”,常能收到事半功倍之效.
例1把10个相同的排球分给4个不同的
小组,每个小组至少一个,有多少种不同的分
法？
分析由于排球是不可辨认的,所以分法的异同主要由分得的排球数决定.(一)若4个小组每组至少1个,则可分为:1,1,1,7;1,1,2,6;1,1,3,5;1,1,4,4;1,2,2,5;1,2,3,4;2,2,2,4;1,3,3,3;2,2,3,3.
∴共有44444432223222332AAANAAAA=×+×+×
4484A+=.
(二)把10个排球放成一行:〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇,其中有9个间隔,用3块隔板放入9个间隔中,可把10个排球分成4组,每组至少
隔板法的三种题型例题
一、隔板法题型一：相同元素分配问题
1. 例题：将10个相同的小球放进3个不同的盒子，每个盒子至少放1个球，有多少种放法？
那我们来想想哈，这就相当于在10个球中间的9个空隙里插入2个隔板，把球分成3份，对应放进3个盒子。所以放法的种数就是\(C_{9}^2=\frac{9!}{2!(9
- 2)!}=\frac{9\times8}{2\times1}=36\)种。
二、隔板法题型二：可空分组问题
1. 例题：将10个相同的小球放进3个不同的盒子，盒子可以为空，有多少种放法？
我们可以先借来3个球，这样就一共有13个球了。然后把这13个球放进3个盒子，每个盒子至少放1个球，这就转化成了题型一的情况。那就是在12个空隙里插入2个隔板，放法种数就是\(C_{12}^2=\frac{12!}{2!(12 -
2)!}=\frac{12\times11}{2\times1}=66\)种。
三、隔板法题型三：部分相同元素分配问题
1. 例题：有5个相同的红球和3个相同的蓝球，要放进3个不同的盒子，每个盒子至少放1个球，有多少种放法？
我们可以先把红球和蓝球分开考虑。对于5个红球放进3个盒子，每个盒子至少1个，有\(C_{4}^2 = 6\)种放法；对于3个蓝球放进3个盒子，每个盒子至少1个，有\(C_{2}^2=1\)种放法。然后根据分步乘法计数原理，总的放法种数就是\(6\times1 = 6\)种。
答案与解析：
1. 题型一答案：36种。解析：通过隔板法，将问题转化为在球的空隙中插入隔板的组合问题，利用组合数公式\(C_{n}^k=\frac{n!}{k!(n - k)!}\)计算。
2. 题型二答案：66种。解析：先借球转化为每个盒子至少放1个球的情况，再用隔板法计算。
3. 题型三答案：6种。解析：分别计算红球和蓝球的放法种数，再根据分步乘法计数原理得到总放法种数。
