指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质

1 指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质

〔一〕指数与指数函数

1．根式

〔1〕根式的概念

根式的概念 符号表示 备注

如果nxa,那么x叫做a的n次方根 1nnN且

当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数 na

零的n次方根是零

当n为偶数时,正数的n次方根有两个,它们互为相反数 (0)naa 负数没有偶次方根

〔2〕．两个重要公式

①)0()0(||aaaaaaann ；

②aann)(〔注意a必须使na有意义〕。

2．有理数指数幂

〔1〕幂的有关概念

①正数的正分数指数幂:(0,,1)mnmnaaamnNn、且;

②正数的负分数指数幂: 11(0,,1)mnmnmnaamnNnaa、且

③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.

注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。

〔2〕有理数指数幂的性质

①aras=ar+s(a>0,r、s∈Q);

②(ar)s=ars(a>0,r、s∈Q);

③(ab)r=arbs(a>0,b>0,r∈Q);.

3．指数函数的图象与性质 n为奇数

n为偶数 2 y=ax a>1 0

图象

定义域 R

值域 〔0，+〕

性质 〔1〕过定点〔0，1〕

〔2〕当x>0时，y>1;

x<0时,00时，0

x<0时, y>1

(3)在〔-，+〕上是增函数 〔3〕在〔-，+〕上是减函数

注：如下图，是指数函数〔1〕y=ax,〔2〕y=bx,〔3〕,y=cx〔4〕,y=dx的图象，如何确定底数a,b,c,d与1之间的大小关系？

提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1>d1>1>a1>b1,∴c>d>1>a>b。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。

〔二〕对数与对数函数

1、对数的概念

〔1〕对数的定义

如果(01)xaNaa且，那么数x叫做以a为底，N的对数，记作logNax，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

〔2〕几种常见对数

对数形式 特点 记法

一般对数 底数为a0,1aa且 logNa

常用对数 底数为10 lgN

自然对数 底数为e lnN

2、对数的性质与运算法则

〔1〕对数的性质〔0,1aa且〕：①1log0a，②log1aa，③logNaaN，④logNaaN。 3 〔2〕对数的重要公式：

①换底公式：loglog(,1,0)logNNabbaabN均为大于零且不等于；

②1loglogbaab。

〔3〕对数的运算法则：

如果0,1aa且，0,0MN那么

①NMMNaaaloglog)(log；

②NMNMaaalogloglog；

③)(loglogRnMnMana；

④bmnbanamloglog。

3、对数函数的图象与性质

图象 1a 01a

性质 〔1〕定义域：〔0,+〕

〔2〕值域：R

〔3〕当x=1时，y=0即过定点〔1，0〕

〔4〕当01x时，(,0)y；

当1x时，(0,)y 〔4〕当1x时，(,0)y；

当01x时，(0,)y

〔5〕在〔0,+〕上为增函数 〔5〕在〔0,+〕上为减函数

注：确定图中各函数的底数a，b，c，d与1的大小关系

提示：作一直线y=1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。

∴0

指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称。

〔三〕幂函数

1、幂函数的定义

形如y=xα〔a∈R〕的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数

注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。

2、幂函数的图象

注：在上图第一象限中如何确定y=x3，y=x2，y=x，12yx，y=x-1方法：可画出x=x0；

当x0>1时，按交点的高低，从高到低依次为y=x3，y=x2， y=x，12yx， y=x-1；

当0

3、幂函数的性质

y=x y=x2 y=x3 12yx

y=x-1

定义域 R R R [0，〕 |0xxRx且

值域 R [0，〕 R [0，〕 |0yyRy且

奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇

单调性 增 x∈[0，〕时，增；

x∈(,0]时，减 增 增 x∈(0,+)时，减；

x∈(-,0)时，减

定点 〔1，1〕

三：例题诠释，举一反三

知识点1：指数幂的化简与求值

例1.(2007育才A)

〔1〕计算：25.02121325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(； 5 〔2〕化简：5332332323323134)2(248aaaaabaaabbbaa

变式：〔2007执信A〕化简以下各式〔其中各字母均为正数〕:

〔1〕;)(65312121132bababa

〔2〕.)4()3(6521332121231bababa

(3) 1200.2563433721.5()82(23)()63

知识点2：指数函数的图象及应用

例2.(2009广附A)已知实数a、b满足等式ba)31()21(，以下五个关系式：①0＜b＜a;②a＜b＜0;③0＜a＜b;④b＜a＜0;⑤a=b.其中不可能成立的关系式有 〔 〕

A.1个 B.2个 C.3个

变式：〔2010华附A〕假设直线ay2与函数 0(|1|aayx且)1a的图象有两个公共点，则a的取值范围是_______.

知识点3：指数函数的性质

例3.〔2010省实B〕已知定义域为R的函数12()22xxbfx是奇函数。

〔Ⅰ〕求b的值；

〔Ⅱ〕判断函数fx的单调性;

〔Ⅲ〕假设对任意的tR，不等式22(2)(2)0fttftk恒成立，求k的取值范围．

变式：〔2010东莞B〕设a＞0,f(x)=xxaaee是R上的偶函数.

〔1〕求a的值；

〔2〕求证：f(x)在〔0，+∞〕上是增函数.

知识点4：对数式的化简与求值

例4.〔2010云浮A〕计算：〔1〕)32(log32

〔2〕2(lg2)2+lg2·lg5+12lg)2(lg2; 6 〔3〕21lg4932-34lg8+lg245.

变式：〔2010惠州A〕化简求值.

〔1〕log2487+log212-21log242-1;

〔2〕(lg2)2+lg2·lg50+lg25;

〔3〕(log32+log92)·(log43+log83).

知识点5：对数函数的性质

例5.〔2011深圳A〕对于01a，给出以下四个不等式：

①1log(1)log();aaaaa ②1log(1)log(1)aaaa；

③111;aaaa ④111;aaaa 其中成立的是〔 〕

〔A〕①与③〔B〕①与④〔C〕②与③〔D〕②与④

变式：〔2011韶关A〕已知0＜a＜1,b＞1,ab＞1，则logabbbba1log,log,1的大小关系是

〔 〕

abbbba1loglog1 B.bbbbaa1log1loglog

C.bbbaba1log1loglog D.bbbaablog1log1log

例6.〔2010广州B〕已知函数f(x)=logax(a＞0,a≠1)，如果对于任意x∈［3，+∞〕都有|f(x)|≥1成立，试求a的取值范围.

变式：〔2010广雅B〕已知函数f〔x〕=log2(x2-ax-a)在区间〔-∞,1-3］上是单调递减函数.求实数a的取值范围.

知识点6：幂函数的图象及应用

例7.(2009佛山B)已知点(22)，在幂函数()fx的图象上，点124，，在幂函数()gx的图象上．问当x为何值时有：〔１〕()()fxgx；〔２〕()()fxgx；〔３〕()()fxgx．

变式：〔2009揭阳B〕已知幂函数f(x)=x322mm〔m∈Z〕为偶函数，且在区间〔0，+∞〕上是单调减函数.〔1〕求函数f(x);〔2〕讨论F〔x〕=a）（）（xxfbxf的奇偶性.

四：方向预测、胜利在望

1．〔A〕函数41lg)(xxxf的定义域为〔 〕

A．(1，4) B．[1，4) C．(－∞，1)∪(4，＋∞) D．(－∞，1]∪(4，＋∞)

2.〔A〕以下四个数中的最大者是〔 〕

(A) (ln2)2 (B) ln(ln2) (C) ln2 (D) ln2

3〔B〕设a>1，函数f(x)=logax在区间［a,2a］上的最大值与最小值之差为,21则a=( )

(A)2 〔B〕2 〔C〕22 〔D〕4 7 4.〔A〕已知()fx是周期为2的奇函数，当01x时，()lg.fxx设63(),(),52afbf5(),2cf则〔 〕

〔A〕abc 〔B〕bac 〔C〕cba 〔D〕cab

5.〔B〕设f(x)= 1232,2,log(1),2,xexxx则不等式f(x)>2的解集为〔 〕

(A)〔1，2〕〔3，+∞〕 (B)〔10，+∞〕

(C)〔1，2〕 〔10 ，+∞〕 (D)〔1，2〕

6．〔A〕设2log3P，3log2Q，23log(log2)R，则〔 〕

Ａ．RQP Ｂ．PRQ Ｃ．QRP Ｄ．RPQ

7．(A)已知cab212121logloglog，则( )

A．cab222 B．cba222 C．abc222 D．bac222

8．〔B〕以下函数中既是奇函数，又是区间1,1上单调递减的是〔 〕

〔A〕()sinfxx (B) ()1fxx

(C) 1()()2xxfxaa

(D) 2()2xfxlnx

9.〔A〕函数12log(32)yx的定义域是：〔 〕

A [1,) B 23(,) C 23[,1] D 23(,1]

10.(A)已知函数kxyxy与41log的图象有公共点A，且点A的横坐标为2，则k〔 〕

A．41 B．41 C．21 D．21

11．〔B〕假设函数的图象经过第二且)10(1)(aabaxfx、三、四象限，则一定有〔 〕