下载文档原格式
初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇【基本模型】①如图，在ABC 中，点D 在AB 上，点E 在AC 上，//DEBC ，则ADE ABC △△∽，AD AE DEAB AC BC．②模型拓展1：斜交A 字型条件：C ADE ，图2结论：~ADE ACB ；③模型拓展2： 如图，∠ACD ＝∠B ⇔△ADC ∽△ACB ⇔AD AC CDAC AB BC．初中数学 ︵ 九年级︶培优篇【例1】如图，王华晚上由路灯A 下的B 处走到C 处时，测得影子CD 的长为1米，继续往前走2米到达B 处时，测得影子EF 的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A 的高度等于_________．【变式1-1】有一块直角三角形木板，∠B ＝90°，AB ＝1.5m ，BC ＝2m ，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图1、图2所示．请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好（加工损耗忽略不计）．初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇 【变式1-2】（2022•衢州二模）已知菱形ABCD ，E 是BC 边上一点，连接AE 交BD 于点F （1）如图1，当E 是BC 中点时，求证：AF ＝2EF ；（2）如图2，连接CF ，若AB ＝5，BD ＝8，当△CEF 为直角三角形时，求BE 的长； （3）如图3，当∠ABC ＝90°时，过点C 作CG ⊥AE 交AE 的延长线于点G ，连接DG ，若BE ＝BF ，求tan ∠BDG 的值．初中数学 ︵九年级 ︶培优篇 ③模型拓展：如图，∠A ＝∠C ⇔△AJB∽△CJD ⇔A B JA C D JC【例2】如图，在平行四边形ABCD 中，E 为边AD 的中点，连接AC 、BE 交于点F ．若△AEF 的面积为2，则△ABC 的面积为（ ） A ．8B ．10C ．12D ．14初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇 【变式2-1】如图，在△ABC 中，BC ＝6，AEA F EBFC，动点P 在射线EF 上，BP 交CE 于点D ，∠CBP 的平分线交CE 于点Q ，当CQ ＝14CE 时，EP ＋BP 的值为（ ）A ．9B ．12C ．18D ．24【变式2-2】如图，在Rt △ACB 中，∠ACB =90°，AC =4，BC =3，点D 为AC 上一点，连接BD ，E 为AB 上一点，CE ⊥BD 于点F ，当AD =CD 时，求CE 的长．【变式2-3】如图，已知D 是BC 的中点，M 是AD的中点．求AN:NC的值．初中数学 ︵ 九年级︶培优篇【例3】如图，在平行四边形ABCD 中，∠ABC 的平分线交AC 于点E ，交AD 于点F ，交CD 的延长线于点G ，若AF ＝2FD ，则BEEG的值为（ ） A ．12B ．13C ．23D ．34【变式3-1】（2020•杭州）如图，在正方形ABCD 中，点E 在BC 边上，连接AE ，∠DAE 的平分线AG 与CD 边交于点G ，与BC 的延长线交于点F ．设＝λ（λ＞0）．（1）若AB ＝2，λ＝1，求线段CF 的长． （2）连接EG ，若EG ⊥AF ， ①求证：点G 为CD 边的中点． ②求λ的值．初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇【例4】如图，在△ABC 中，45ABC ，AB A D A E ，D A E 90 ，C E，则CD 的长为______．初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇 【变式4-1】矩形ABCD 中，AD ＝9，AB ＝12，点E 在对角线BD 上（不与B 、D 重合），EF ⊥AE 交CD 于F 点，连接AF 交BD 于G 点． （1）如图1，当G 为DE 中点时． ①求证：FD ＝FE ； ②求BE 的长．（2）如图2，若E 为BD 上任意点，求证：AG 2＝BG •GE ．初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇 【变式4-2】如图，ABC 中，,,AB AC AB AC 点D E 、分别是BC AC 、的中点，AF BE ⊥与点F ．（1）求证：2AE FE BE ；（2）求A F C 的大小；（3）若DF=1，求△ABF 的面积．初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇结论：AH ⊥GF ，△AGF ∽△ABC ，GF AHBC AM【例5】如图1，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，正方形DEFG 的顶点D 、G 分别在AB 、AC 上，EF 在BC 上． （1）求正方形DEFG 的边长；（2）如图2，在BC 边上放两个小正方形DEFG 、FGMN ，则DE= ．初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇 【变式5-1】有一块锐角三角形卡纸余料ABC ，它的边BC ＝120cm ，高AD ＝80cm ，为使卡纸余料得到充分利用，现把它裁剪成一个邻边之比为2：5的矩形纸片EFGH 和正方形纸片PMNQ ，裁剪时，矩形纸片的较长边在BC 上，正方形纸片一边在矩形纸片的较长边EH 上，其余顶点均分别在AB ，AC 上，具体裁剪方式如图所示． （1）求矩形纸片较长边EH 的长；（2）裁剪正方形纸片时，小聪同学是按以下方法进行裁剪的：先沿着剩余料△AEH 中与边EH 平行的中位线剪一刀，再沿过该中位线两端点向边EH 所作的垂线剪两刀，请你通过计算，判断小聪的剪法是否正确．初中数学 ︵ 九年级︶培优篇 ②拓展：（1）在正方形、长方形中经常会出现射影定理模型，如图，在有射影定理模型．（2）如图，在圆中也会出现射影定理模型．【例6】如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，E 为AB 上一点，分别以ED 、EC 为折痕将两个角(∠A 、∠B )向内折起，点A 、B 恰好落在CD 边的点F 处，若AD ＝3，BC ＝5，则EF 的长是（ ） A.15B ．215C ．17D ．217初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇 【变式6-1】如图所示，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，BD ⊥AC ，DE ⊥BC ，垂足分别为D 、E 两点，则图中与△ABC 相似的三角形有（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【变式6-2】如图，在R t △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 在AB 上，且AD AC ＝ACAB． （1）求证 △ACD ∽△ABC ；（2）若AD ＝3，BD ＝2，求CD 的长．【变式6-3】ABC 中，90ABC ，BD AC ，点E 为B D 的中点，连接A E 并延长交B C 于点F ，且有AF CF ，过F 点作FH AC 于点H ． （1）求证：AD E CD B ∽； （2）求证：=2A E EF ； （3）若FHB C 的长．初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇②如图所示，BDE 和ABC 则ABD CBE ∽△△，且相似比为总结：旋转相似型中由公共旋转顶点、一点及其旋转后的对应点组成的三角形与由公共旋转顶点、另一点及其旋转后的对应点组成的三角形相似．初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇【例7】如图，在△ABC 与△ADE 中，∠ACB ＝∠AED ＝90°，∠ABC ＝∠ADE ，连接BD 、CE ，若AC ：BC ＝3：4，则BD ：CE 为（ ） A ．5：3B ．4：3C ．√5：2D ．2：√3【变式7-1】如图，点E 是菱形ABCD 对角线CA 的延长线上任意一点，以线段AE 为边作一个菱形AEFG ，且菱形AEFG ∽菱形ABCD ，相似比是：2，连接EB ，GD ．（1）求证：EB ＝GD ；（2）若∠DAB ＝60°，AB ＝2，求GD 的长．初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇 【变式7-2】如图，正方形ABCD ，对角线AC ，BD 相交于O ，Q 为线段DB 上的一点，90MQN ，点M 、N 分别在直线BC 、DC 上．（1）如图1，当Q 为线段OD 的中点时，求证：1132DN BM BC ；（2）如图2，当Q 为线段OB 的中点，点N 在CD 的延长线上时，则线段DN 、BM 、BC 的数量关系为 ；（3）在（2）的条件下，连接MN ，交AD 、BD 于点E 、F ，若:3:1M B M C ，N Q ，求EF 的长．初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇 补充：其他常见的一线三等角图形【例8】【感知】如图①，在四边形ABCD 中，点P 在边AB 上（点P 不与点A 、B 重合），90A B DPC ．易证DAP PBC △△∽．（不需要证明） 【探究】如图②，在四边形ABCD 中，点P 在边AB 上（点P 不与点A 、B 重合），A B D PC ．若4PD ，8P C ，6BC ，求AP 的长．【拓展】如图③，在ABC 中，8AC BC ，12A B ，点P 在边AB 上（点P 不与点A 、B 重合），连结CP ，作CPE A ，PE 与边BC 交于点E ，当CPE △是等腰三角形时，直接写出AP 的长．初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇 【变式8-1】如图，在矩形ABCD 中，CD ＝4，E 是BC 的中点，连接AE ，tan ∠AEB 43，P 是AD 边上一动点，沿过点P 的直线将矩形折叠，使点D 落在AE 上的点D ¢处，当A P D △是直角三角形时，PD 的值为（ ）A ．23或67B ．83或247C ．83或307D ．103或187初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇 【变式8-2】（2022秋•温州校级月考） 【推理】如图1，在正方形ABCD 中，点E 是CD 上一动点，将正方形沿着BE 折叠，点C 落在点F 处，连结BE ，CF ，延长CF 交AD 于点G ． （1）求证：BCE CDG △△≌． 【运用】（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF 交AD 于点H ．若45HD HF ，9C E ，求线段DE 的长．【拓展】（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE 折叠，连结CF ，延长CF ，BF 交直线AD 于G ，两点，若AB k BC ，45HD HF ，求DEEC的值（用含k 的代数式表示）．。
中考数学几何专项——相似模型(相似三角形)相似模型相似模型一：A字型特征：DE∥BC模型结论：根据A字型相似模型，可以得出以下结论：C∠B=∠XXXAC²=AD×AB相似模型二：X型特征：AC∥BD模型结论：根据X型相似模型，可以得出以下结论：AO×OB=OC×ODBOC∽△DOACAOC∽△DOB相似模型三：旋转相似特征：成比例线，段共端点模型结论：根据旋转相似模型，可以得出以下结论：BEF∽△BCDDEF∽△DABAEB∽△DEC相似模型四：三平行模型特征：AB∥EF∥CD模型结论：根据三平行模型，可以得出以下结论：ABE∽△CDF相似模型五：半角模型特征：90度，45度；120度，60度模型结论：根据半角模型，可以得出以下结论：ABN∽△MAN∽△MCAABD∽△CAE∽△CBA相似模型六：三角形内接矩形模型特征：矩形EFGH或正方形EFGH内接与三角形模型结论：根据三角形内接矩形模型，可以得出以下结论：ABC∽△EFH相似模型七：十字模型特征：正方形HDGB模型结论：根据十字模型，可以得出以下结论：若AF=BE，则AF⊥BE，且为长方形若AF⊥BE，则AF=BEBDBC平行四边形，且△GME∽△HNF，△MED≌△BFA。
下面给出几个几何问题。
1.在△ABC中，AB＝AC，且有以下七个结论：①D为AC中点；②AE⊥BD；③BE：EC＝2：1；④∠ADB＝∠CDE；⑤∠AEB＝∠CED；⑥∠BMC＝135°；⑦BM：MC＝2：1.求AC和CD的比值。
2.在平行四边形ABCD中，AB∥CD，线段BC，AD相交于点F，点E是线段AF上一点且满足∠BEF=∠C，其中AF=6，DF=3，CF=2，求AE的长度。
3.在Rt△ABD中，过点D作CD⊥BD，垂足为D，连接XXX于点E，过点E作EF⊥BD于点F，若AB=15，CD=10，求4.在□ABCD中，E为BC的中点，连接AE，AC，分别交BD于M，N，求5.在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD，BC相交于点E，过E作EF∥AB交BD于点F。
相似三角形模型总结相似三角形是中学数学中常见的一个概念。
相似三角形有着非常重要的应用，尤其在建筑、地图、航空等领域中被广泛地运用。
在这篇文章中，我将对相似三角形的模型及其应用进行总结。
一、相似三角形的定义相似三角形是指形状相似而大小不同的两个或多个三角形。
它们的对应角度相等，对应边的比例相等。
根据这个定义，我们可以推出相似三角形的判定定理：若两个三角形对应角度分别相等，则它们是相似的。
二、重心模型重心模型是一种抽象的几何模型，它是在研究固体对象的重心和转动惯量时得出的。
对于任意三角形 ABC，以其三条边的中点为顶点，连上互相垂直的直线，将它们相交于 G 点。
这里 G 点称为三角形 ABC 的重心，它与每个中点连成的线段相等。
同时，可以证明如果一个点在三角形内部且到三边距离的乘积等于其到三条中线距离的乘积，则该点一定是三角形的重心。
三、海龟图模型海龟图模型是一个很著名的相似三角形应用模型，它是由美国数学家T. N. Thiele 提出的。
在海龟图中，一个三角形符号代表前进一步，一个圆点符号则代表不动。
当这个图形以相似的规律继续扩展时，就能在图形中看到似乎随机且自相似的模式。
在实际操作中，我们可以将这个模型用于分形的制作和操作中，实现较好的效果。
四、印章模型印章模型是相似三角形的另一种应用模型。
在制作印章时，多会使用到相似三角形的概念。
根据相似三角形的定义，我们可以通过相似三角形来制造缩小复制的图案。
具体来说，我们可以通过将大三角形分割为单位面积相等的若干小三角形，然后根据相似的规律进行缩小，就可以得到与大三角形相似而更小的三角形。
五、三角剖分模型三角剖分模型是相似三角形的一种实际应用模型。
在三角剖分中，我们会把一个多边形分解为多个三角形，这些三角形可以保持相似性，这比将多边形分解成其它形状的图形更容易实现。
总结在本文中，我们总结了几种相似三角形的应用模型，这些模型不仅具有学术研究的意义，更能够应用于实际的生产和生活中。
九年级数学相似三角形常见模型一、相似三角形的定义相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的三角形。
在相似三角形中，对应角相等，对应边成比例。
二、常见模型1. 三角形的细节在解决相似三角形问题时，我们需要注意三角形的细节。
例如，三角形的对角线将三角形分成两个小的相似三角形，利用这一特点可以求解未知边长或角度。
2. 旗杆模型设有一根高度为h的旗杆，我们可以利用相似三角形的原理来求解旗杆的高度。
假设旗杆的阴影长度为a，阴影长度与旗杆的高度成比例。
设旗杆的高度为x，则有a/h = (a+x)/x。
通过解这个方程，我们可以求得旗杆的高度。
3. 相似三角形的证明当两个三角形的对应角相等时，它们就是相似三角形。
我们可以通过证明对应角相等来证明两个三角形的相似性。
4. 平行线与三角形当一条直线与两条平行线相交时，所形成的三角形与其他三角形相似。
利用这一特点，我们可以求解未知边长或角度。
5. 高度与底边比例在一个直角三角形中，高度与底边的比例等于斜边与底边的比例。
这个比例关系可以帮助我们求解直角三角形的未知边长。
6. 海伦公式与三角形面积海伦公式可以用来计算任意三角形的面积。
通过将三角形分成两个相似三角形，我们可以利用海伦公式求解未知边长。
7. 等角三角形与相似三角形等角三角形是指具有相同内角度数的三角形。
等角三角形之间也是相似三角形。
通过利用等角三角形的特点，我们可以求解未知边长或角度。
8. 斜边比例当两个三角形的相邻两边成比例时，它们是相似三角形。
通过利用斜边比例，我们可以求解未知边长。
9. 三角形的相似定理在相似三角形中，相似定理成立。
即比例定理、高度定理和角平分线定理在相似三角形中仍然成立。
三、小结相似三角形是数学中重要的概念，广泛应用于几何学和实际问题中。
通过了解相似三角形的定义和常见模型，我们可以更好地解决与相似三角形相关的问题。
熟练掌握相似三角形的性质和定理，将有助于我们在解决实际问题时更加灵活和准确地运用相似三角形的知识。
三角形相似基本模型一、引言三角形是几何学中最基本的图形之一，而相似三角形则是三角形中的重要概念之一。
相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个三角形。
在实际生活中，我们经常会遇到需要利用相似三角形来解决问题的情况。
本文将介绍三种常见的三角形相似基本模型，并通过具体例子来说明其应用。
二、模型一：角-角相似在角-角相似模型中，两个三角形的对应角度相等。
具体来说，如果两个三角形的角度分别为A、B、C和A'、B'、C'，且满足A=A'、B=B'、C=C'，那么这两个三角形是相似的。
例如，已知三角形ABC与三角形A'B'C'的角度分别为∠A=40°、∠B=60°、∠C=80°，且∠A'=40°、∠B'=60°、∠C'=80°，则可以得出三角形ABC与三角形A'B'C'是相似的。
在实际应用中，我们可以利用角-角相似模型解决一些测量问题。
例如，在无法直接测量某个角度时，我们可以利用已知的相似三角形来计算出该角度的近似值。
三、模型二：边-边-边相似在边-边-边相似模型中，两个三角形的对应边长成比例。
具体来说，如果两个三角形的边长分别为a、b、c和a'、b'、c'，且满足a/a'=b/b'=c/c'，那么这两个三角形是相似的。
例如，已知三角形ABC的边长分别为AB=4cm、BC=6cm、AC=8cm，而三角形A'B'C'的边长分别为A'B'=8cm、B'C'=12cm、A'C'=16cm，则可以得出三角形ABC与三角形A'B'C'是相似的。
在实际应用中，我们经常会遇到需要测量无法直接测量的边长的情况。
相似三角形的基本模型归纳总结
相似三角形是指拥有相似的形状但大小不同的三角形。
在相似三角形中，对应角度相等，而对应边长之间存在比例关系。
以下是一些基本的相似三角形模型：
1. 比例模型：在两个相似三角形中，对应边长之比相等。
例如，若∆ABC与∆DEF相似，则有AB/DE = BC/EF = AC/DF。
2. 三角形高度模型：在两个相似三角形中，对应高度之比等于对应边长之比。
例如，若∆ABC与∆DEF相似，则有h_1/h_2 = AB/DE = BC/EF = AC/DF，其中h_1和h_2分别为∆ABC和
∆DEF的高度。
3. 角平分线模型：在两个相似三角形中，对应角的平分线所延伸的比例相等。
例如，若∆ABC与∆DEF相似，角A和角D相等，则有BD/CE = AB/DE = AC/DF。
4. 底角模型：在两个相似三角形中，底角对应相等。
例如，若∆ABC与∆DEF相似，并且∠A = ∠D，则有∠B = ∠E和∠C
= ∠F。
5. 周长模型：在两个相似三角形中，对应边长之比等于相似三角形的周长比。
例如，若∆ABC与∆DEF相似，则有
(A+B+C)/(D+E+F) = AB/DE = BC/EF = AC/DF。
这些是常见的相似三角形模型，可以根据具体问题选择适合的模型进行求解。
但需要注意的是，在相似三角形中，只有形状
相似，而边长比例相等，因此，对于三角形中角度的求解通常更加重要。
初中数学相似三角形模型
1.相似三角形定义：
对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
2.相近三角形的则表示方法：用符号"∽"则表示，读成"相近于"。
3.相似三角形的相似比：
相近三角形的对应边的比叫作相近比。
4.相似三角形的预备定理：
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）平行，所截成的三角形与原三角形相近。
从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的"对应边相等"的条件改为"对应边
成比例"就可以获得相近三角形的认定定理，这就是我们数学中的用投影的方法，在旧有科学知识的基础上找到崭新科学知识并从中探究崭新科学知识掌控的'方法。
6.直角三角形相似：
(1)直角三角形被斜边上的高分为两个直角三角形和原三角形相近。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
7.相近三角形的性质定理：
(1)相似三角形的对应角相等。
(2)相近三角形的对应边变成比例。
(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
(4)相近三角形的周长比等同于相近比。
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。
8. 相近三角形的传递性
如果△abc∽△a1b1c1，△a1b1c1∽△a2b2c2，那么△abc∽a2b2c2。
数学模型-----相似三角形模型相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考中的常考题型，如果我们注重解题方法或基本解题模型，相信再遇到相似三角形的问题就迎刃而解了．下面就介绍一下相似三角形模型．一、模型类别二、相关结论的运用（一）模型1：A字型图1平行A字型条件：DE//BC，图1结论：△ADE~△ABC；图2斜交A字型条件：∠C=∠AED，图2结论：△ADE~△ABC；典例精讲：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm．动点M,N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A,B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM,PN，设移动时间为t（单位：秒，0<t<2．5）．（1）当t为何值时，以A,P,M为顶点的三角形与△ABC相似？（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．【思路点拨】根据勾股定理求得AB=5cm．（1）根据模型1：平行A字型的结论得出△APM∽△ABC，和模型1：斜交A字型模型的结论得出△AMP∽△ABC两种情况讨论：利用相似三角形的对应边成比例来求t的值．（2）过点P作PH⊥BC于点H，构造平行线PH//AC，根据模型1：平行A字型的结论得出△PBH∽△ABC，从而求得以t表示的PH的值；然后根据“S=S△ABC−S△BPH”列出S与t的关系式S=45(t−32)2+215(0<t<2.5)，则由二次函数最值的求法即可得到S的最小值．【详解】解：∵如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm．∴根据勾股定理，得AB=√AC2+BC2=5cm．（1）以A,P,M为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况：①当△APM∽△ABC时，AMAC =APAB，即4−t4=5−2t5，解得t=0（不合题意，舍去）．②当△AMP∽△ABC时，APAC =AMAB，即5−2t4=4−t5，解得t=32；综上所述，当t=32时，以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似．（2）存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．理由如下：假设存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．如图，过点P作PH⊥BC于点H．则PH//AC，∴△PBH∽△ABC∴PHAC =BPBA，即PH4=2t5．∴PH=8t5．∴S=S△ABC−S△BPN=12×3×4−12×(3−t)⋅85t=45(t−32)2+215(0<t<2.5)．∵45>0，∴S有最小值．当t=32时，S最小值=215．答：当t=32时，四边形A P NC的面积S有最小值，其最小值是215．【解题技法】作平行线构造A字型相似，是解题中常用的一种作辅助线的方法实战演练：1．如图，AD经过△ABC的重心，点E是AC的中点，过点E作EG//BC交AD于点G，若BC=12，则线段GE 的长为（）A．6 B．4 C．5 D．32．如图，在△ABC中，DE//BC，EF//AB，则下列结论正确的是（）A．ADDB =DEBCB．BFBC=EFADC．EFAB=BFBCD．AEEC=DEFC3．如图，在△ABC中，D、E分别在AB边和AC边上，DE//BC，M为BC边上一点（不与B、C重合），连结AM交DE于点N，则（）A．ADAN =ANAEB．BDMN=MNCEC．DNBM=NEMCD．DNMC=NEBM（二）模型2：8字型图1平行8字型条件：AB//CD，图1结论：△AOB∽△DOC；图2斜交8字型条件：∠A=∠D，，图2结论：△AOB∽△DOC；典例精讲：如图1，在矩形ABCO中，OA=8,OC=6,D,E分别是AB,BC上一点，AD=2,CE=3,OE与CD相交于点F．（1）求证：OE⊥CD；（2）如图2，点G是CD的中点，延长OG交BC于H，求CH的长．【思路点拨】（1）根据四边形ABCO是矩形，可得OA=BC=8,OC=AB=6，根据模型1中的图1结论得出△ADP∽△OCP，从而求出PA和PO，再根据模型2中的图1结论得出△OPF∽△ECF，求出EF和CF的长，再根据勾股定理的逆定理即可得OE⊥CD；（2）在Rt△CBD中，CB=8,BD=AB−AD=6−2=4，根据勾股定理可得CD=4√5，根据点G是CD 的中点，可得CG=DG=2√5，所以得点G是CP的三等分点，根据模型2中的图1结论得出△OPG∽△HCG即可求出CH的长．【详解】（1）∵四边形ABCO是矩形，∴OA=BC=8,OC=AB=6，在Rt△OCE中，CE=3，∴OE=√OC2+CE2=√62+32=3√5，∵AB//OC，即AD//OC，且AD=2，∴△ADP∽△OCP∴ADOC =PAPO，∴26=PAPA+8，∴PA=4，∴PO=PA+OA=12，∴在Rt△OPC中，OC=6，∴CP=√OC2+PO2=√62+122=6√5，∵OA//BC ，即OP//CE ， ∴△OPF ∽△ECF ∴CEOP =EFOF =CFPF ， ∴EFOF =CFPF =312=14， ∴EF =15OE =3√55， CF =15CP =6√55，∵(3√55)2+(6√55)2=95+365=9，∴EF 2+CF 2=CE 2， ∴△CEF 是直角三角形， ∴∠CFE =90°， ∴OE ⊥CD ；（2）在Rt △CBD 中，CB =8,BD =AB −AD =6−2=4， 根据勾股定理，得CD =√CB 2+BD 2=√82+42=4√5， ∵点G 是CD 的中点， ∴CG =DG =2√5， 由（1）知：CP =6√5， ∴DP =CP −CD =2√5， ∴点G 是CP 的三等分点， ∵OA//BC ，即OP//CH ， ∴△APG ∽△HCG ∴CHOP =CGGP ， ∴CH12=12，∴CH =6．答：CH 的长为6．【解题技法】利用A 字型和8字型混合模型得出三角形相似，再利用相似三角形的对应边成比例得出线段的长或比值，解决本题的关键 实战演练：1、已知，如图，在平行四边形ABCD 中，M 是BC 边的中点，E 是边BA 延长线上的一点，连接EM ，分别交线段AD 于点F 、AC 于点G ． （1）求证：△AFG ∽△CMG ； （2）求证：GF EFGM EM．2、如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连结AE并延长，交对角线BD于点F、DC的延长线于点G．如果CEBE =23，求FEEG的值．3、如图，BD,AC相交于点P，连结AB,BC,CD,DA,∠DAP=∠CBP．（1）求证：△ADP∽△BCP；（2）直接回答△ADP与△BCP是不是位似图形？（3）若AB=8,CD=4,DP=3，求AP的长．4、在△ABC中，∠ACB=90∘，BE是AC边上的中线，点D在射线BC上．（1）如图1，点D在BC边上，CD:BD=1:2，AD与BE相交于点P，过点A作AF//BC，交BE的延长线于点F，易得APPD的值为_______；（2）如图2，在△ABC中，∠ACB=90∘，点D在BC的延长线上，AD与AC边上的中线BE的延长线交于点P，DC:BC=1:2，求APPD的值；（3）在（2）的条件下，若CD=2,AC=6，则BP=_____．（三）模型3：k字型图1一线三垂直条件：AB ⊥BD,DE ⊥BD,AC ⊥CE ，图1结论：△ABC ∽△CDE ； 图2一线三等角条件：∠B =∠ACE =∠D ，图2结论：△ABC ∽△CDE ； 典例精讲：如图，点P 是线段BD 上一个动点，∠B =∠D =90°,AB =6,CD =4,BD =a ． （1）当∠APC =90°,a =14时，求BP 的长度；（2）若∠APC =90°时，点P 有两个符合要求即P 1,P 2，且P 1P 2=2，求a 的值； （3）若∠APC =120°时，点P 有且只有一个点符合要求，求a 的值．【思路点拨】（1）根据模型3：k 字型的一线三垂直，证得△ABP ∽△PDC ，根据相似三角形的性质即可求得；（2）设BP =x ，则PD =a −x ，根据模型3：k 字型的一线三垂直证得△ABP ∽△PDC ，由相似三角形的性质得到x 2−ax +24=0，设方程的两个根为x 1,x 2，根据根与系数的关系可知x 1+x 2=a,x 1⋅x 2=24，根据题意即可得到=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4，即可得到a 2−4×24=4，解得即可； （3）作∠AEP =∠CFP =120°，解直角三角形求得BE =2√3,DF =4√33,AE =4√3,CF =8√33，根据模型3：k 字型的一线三等角证得△EPA ∽△FCP ，由相似三角形的性质得到x 2−(a −10√33)x +32=0，根据题意Δ=(a −10√33)2−4×1×32=0，即可即可．【详解】 解：（1）∵∠B =∠D =90°,∠APC =90°， ∴∠A +∠APB =∠CPD +∠APB =90°， ∴∠A =∠CPD ， ∴△ABP ∽△PDC ， ∴BP CD=AB PD，即BP 4=614−BP，解得BP =2或12；（2）设BP =x ，则PD =a −x ， 由（1）可知△ABP ∽△PDC ， ∴ABPD =BPDC ，即6a−x =x4，∴x2−ax+24=0，设方程的两个根为x1,x2，根据根与系数的关系可知x1+x2=a,x1⋅x2=24，∵P1P2=2，∴|x1−x2|=2，∴(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=4，∴a2−4×24=4，解得a=±10（负数舍去），∴a=10；（3）作∠AEP=∠CFP=120°，∴∠AEB=∠CFD=60°，∵AB=6,CD=4，∴BE=√33AB=2√3,DF=√33CD=4√33，∴AE=2BE=4√3,CF=2DF=8√33∵∠AEP=∠CFP=∠APC=120°，∴∠EAP=∠CPF，∴△EPA∽△FCP，∴AEPF =EPFC，设EP=x，则PF=a−10√33−x，∴√3a−10√33−x=x8√33，∴x2−(a−10√33)x+32=0，∵△=0，∴(a−10√33)2−4×1×32=0，∵a>0，∴a=10√33+8√2．【解题技法】通过运用模型3：k字型中从特殊到一般的方法，证明出两组对应角相等，从而得出相似三角形，利用对应边成比例是解题的关键．实战演练：1、如图1和图2，在△ABC中，AB=AC，BC=8，tan C=34．点K在AC边上，点M，N分别在AB,BC 上，且AM=CN=2．点P从点M出发沿折线MB−BN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P 移动，且始终保持∠APQ =∠B ．（1）当点P 在BC 上时，求点P 与点A 的最短距离；（2）若点P 在MB 上，且PQ 将△ABC 的面积分成上下4:5两部分时，求MP 的长；（3）设点P 移动的路程为x ，当0≤x ≤3及3≤x ≤9时，分别求点P 到直线AC 的距离（用含x 的式子表示）；（4）在点P 处设计并安装一扫描器，按定角∠APQ 扫描△APQ 区域（含边界），扫描器随点P 从M 到B 再到N 共用时36秒．若AK =94，请直接．．写出点K 被扫描到的总时长 2、如图，△AOB 是直角三角形，∠AOB =90°,OB =2OA ，点A 在反比例函数y =1x 的图象上．若点B 在反比例函数y =kx 的图象上，则k 的值为_____．3、如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，连接AD 、DE ，且∠B =∠ADE =∠C ． （1）证明：△BDA ∽△CED ；（2）若∠B =45°,BC =2，当点D 在BC 上运动时（点D 不与B 、C 重合），且△ADE 是等腰三角形，求此时BD 的长．4、感知：如图①，在四边形ABCD 中，AB//CD,∠B =90°，点P 在BC 边上，当∠APD =90°时，可知△ABP ∽△PCD ．（不要求证明）探究：如图②，在四边形ABCD 中，点P 在BC 边上，当∠B =∠C =∠APD 时，求证：△ABP ∽△PCD ．拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B=∠C=∠DPE= 45°，BC=6√2，BD=4，则DE的长为______．（四）模型4：母子型图1垂直母子型条件：AC⊥BC,AB⊥CD，图1结论：△ABC∽△ACD∽△CBD；图2斜交母子字型条件：∠C=∠ABD，图2结论：△ABC∽△ABD；典例精讲：1、在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB，垂足为D,AD=8,DB=2，求CD的长【思路点拨】根据垂直母子型模型4证得△ADC∽△CDB，再根据对应边成比例，即可求出CD的值．【详解】∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠CDB=90°，∴∠ACD+∠A=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∴△ADC∽△CDB，∴CDBD =ADCD，∴CD2=AD⋅BD=8×2=16，∴CD=4．2、如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B．（1）求证：AC⋅CD=CP⋅BP；（2）若AB=10,BC=12，当PD//AB时，求BP的长．【思路点拨】（1）根据已知得出∠APD=∠B=∠C，再根据斜交母子型模型4得出△ABP∽△PCD，根据相似三角形的性质得到AB⋅CD=CP⋅BP，由AB=AC即可得到AC⋅CD=CP⋅BP；（2）由PD//AB根据斜交母子型模型4得出△BAP∽△BCA，然后运用相似三角形的性质即可求出BP的长．【详解】（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠APD=∠B，∴∠APD=∠B=∠C．∵∠APC=∠BAP+∠B,∠APC=∠APD+∠DPC，∴∠BAP=∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴BPCD =ABCP，∴AB⋅CD=CP⋅BP．∵AB=AC，∴AC⋅CD=CP⋅BP；（2）如图，∵PD//AB，∴∠APD=∠BAP．∵∠APD=∠C，∴∠BAP=∠C．∵∠B=∠B，∴△BAP∽△BCA，∴BABC =BPBA．∵AB=10,BC=12，∴1012=BP10，∴BP=253．【解题技法】利用母子型模型4中有一组隐含的等角，此时需要通过已知得出判定三角形相似的条件，把证明AC⋅CD=CP⋅BP转化为证明AB⋅CD=CP⋅BP是解题的关键．实战演练：1、如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交O于点D,E为AC的中点，连接CD，DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若BD=4,CD=3，求AC的长．2、如图，在△ABC中，AC=2,BC=4,D为BC边上的一点，∠CAD=∠B．若△ADC的面积为a，则△ABD 的面积为（）A．2a B．52a C．3a D．72a3、如图，点D是△ABC的边BC的中点，且∠CAD=∠B，若△ABC的周长为10，则△ACD的周长是（）A．5 B．5√2C．52D．5√22。
