初三上学期期中考试数学考点

2023学年第一学期浙江省初中名校发展共同体九年级期中考试数学考生须知：1．本卷满分120分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷；4．参加联批学校的学生可关注“启望教育”公众号查询个人成绩分析．一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.若43a b =，则a b b -的值等于（）A.13B.13-C.73D.73-【答案】A 【解析】【分析】此题考查了比例，直接利用比例设参数，然后代入求值即可，解题的关键是熟练掌握比例的性质．【详解】由43a b =，设4a k =，3b k =（0k ≠），∴431333a b k k k b k k --===，故选：A ．2.已知在Rt ABC △中，90,5,12C AC BC ∠=︒==，则ABC V 的外接圆直径为（）A.5B.12C.13D.6.5【答案】C 【解析】【分析】本题考查了直角三角形的外接圆直径，勾股定理求得斜边的长即可求解．【详解】解：∵在Rt ABC △中，90,5,12C AC BC ∠=︒==，∴13AB ==，∴ABC V 的外接圆直径为13，故选：C ．3.若将函数23y x =的图象向右平移2个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线表达式为（）A.23(2)4y x =+- B.23(2)4y x =++ C.23(2)4y x =-- D.23(2)4y x =-+【答案】D 【解析】【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，解题的关键是根据函数图象平移规律：左加右减，上加下减进行变换．【详解】解：将函数23y x =的图象向右平移2个单位，再向上平移4个单位，可得()2324y x =-+，故选D ．4.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点M 表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O 为圆心，5m 为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB 长为8m ，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为（）A.1米B.2米C.3米D.4米【答案】B 【解析】【分析】过O 点作半径OD AB ⊥于E ，如图，由垂径定理得到4AE BE ==，再利用勾股定理计算出OE ，然后即可计算出DE 的长．【详解】解：过O 点作半径OD AB ⊥于E ，如图，∴11===8=422AE BE AB ⨯，在Rt AEO △中，3OE ===，∴532(m)ED OD OE =-=-=，∴筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m ．故选：B ．【点睛】本题考查了垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，能熟练运用垂径定理是解题的关键．5.关于二次函数()224y x =+-，下列说法正确的是（）A.函数图象的开口向下B.函数图象的顶点坐标是()24-，C.该函数的最大值是4-D.当2x ≥-时，y 随x 的增大而增大【答案】D 【解析】【分析】本题考查了()2y a x h k =-+的图象性质，根据顶点坐标为()h k ，，对称轴x h =，开口方向，进行逐项分析，即可作答．【详解】解：A 、因为()224y x =+-中的10a =>，函数图象的开口向上，故该选项是错误的；B 、因为()224y x =+-，所以函数图象的顶点坐标是()24--，，故该选项是错误的；C 、因为10a =>，函数图象的开口向上，该函数的最小值是4-，故该选项是错误的；D 、因为对称轴2x =-，10a =>，函数图象的开口向上，当2x ≥-时，y 随x 的增大而增大，故该选项是正确的；故选：D6.如图，在ABC 中，90A ∠=︒，6AB =，10BC =，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，与BC 的垂线CE 相交于点E ，则:BD DE 为（）A.3:2B.5:3C.4:3D.2:1【答案】A 【解析】【分析】过点D 作DF BC ⊥于点F ，由勾股定理得8AC =，再由角平分线的性质得DA DF =，进而由面积法求出3DF =，则5CD AC DA =-=，然后由勾股定理得4CF =，则6BF =，最后由平行线分线段成比例定理即可得出结论．【详解】解：过点D 作DF BC ⊥于点F ，∵90A ∠=︒，6AB =，10BC =，∴DA BA ⊥，8AC ===，∵BD 平分ABC ∠，DF BC ⊥，∴DA DF =，∵ABC ABD BCD S S S =+△△△，∴111222AB AC AB DA BC DF ⋅=⋅+⋅，∴68610DF DF ⨯=+，解得：3DF =，∴3DA =，∴835CD AC DA =-=-=，∴4CF =，∴1046BF BC CF =-=-=，∵DF BC ⊥，CE BC ⊥，∴DF CE ∥，∴6342BD BF DE CF ===，即:3:2BD DE =．故选：A ．【点睛】本题考查勾股定理，角平分线的性质，三角形面积，平行线的判定及平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握勾股定理、角平分线的性质及平行线分线段成比例定理是解题的关键．7.小舟给出如下题目：二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，点A 坐标为()1,0-，给出下列结论：①20b a +<﹔②240b ac -<；③3x =是方程20(a 0)++=≠ax bx c 的其中一个解；④30a b +>；其中正确的是()A.①B.②C.③D.④【答案】C 【解析】【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当0a >时，抛物线向上开口；当0<a 时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时，对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时，对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于()0,c ．抛物线与x 轴交点个数由判别式确定：24>0bac ∆=-时，抛物线与x 轴有2个交点；240b ac ∆=-=时，抛物线与x 轴有1个交点；240b ac ∆=-<时，抛物线与x 轴没有交点．利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点坐标为()3,0，则利用对称轴即可对①进行判断；根据判别式的意义可对②进行判断；根据抛物线与x 轴的另一个交点坐标为()3,0可对③进行判断；由20a b +=，0<a ，即可对④进行判断．【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线1x =，即12ba-=，∴20b a +=，故①错误；∵抛物线对称轴是直线1x =，抛物线与x 轴的一个交点坐标为()1,0A -，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为()3,0，即抛物线抛物线与x 轴有2个交点，∴24>0b ac =- ，故②错误；∵抛物线与x 轴的另一个交点坐标为()3,0，∴3x =是方程20(a 0)++=≠ax bx c 的其中一个解，故③正确；∵a<0，20a b +=，∴30a b +<，故④错误；故选：B ．8.如图，点A ，B ，C ，D 为O 上的四个点，AC 平分BAD ∠，AC 交BD 于点E ，2,3CE CD ==，则AC 的长为（）A.4B.4.5C.5D.5.5【答案】B 【解析】【分析】本题考查圆周角定理，相似三角形的性质与判定，方程思想，能够掌握相似三角形的性质是解决本题的关键．【详解】解：设AC x =2AC x =+，∵AC 平分BAD ∠，∴BAC CAD ∠∠=，∵CDB BAC ∠∠=（圆周角定理），∴CAD DB ∠∠=，∴ACD DCE ∽，∴CD ACCE DC =，即323x =，解得： 4.5x =，故选：B ．9.如图，已知△ABC ，O 为AC 上一点，以OB 为半径的圆经过点A ，且与BC ，OC 交于点D ，E ．设∠A =α，∠C =β（）A.若α+β=70°，则 DE 的度数为20°B.若α+β=70°，则 DE的度数为40°C.若α﹣β=70°，则 DE的度数为20° D.若α﹣β=70°，则 DE的度数为40°【答案】B 【解析】【分析】连接BE ，根据圆周角定理求出∠ABE =90°，∠AEB =90﹣α，再根据三角形外角性质得出90°﹣α=β+12θ，得到 DE 的度数为180°﹣2（α+β），再逐个判断即可．【详解】解：连接BE ，设 DE的度数为θ，则∠EBD =12θ，∵AE 为直径，∴∠ABE =90°，∵∠A =α，∴∠AEB =90﹣α，∵∠C =β，∠AEB =∠C +∠EBC =β+12θ，∴90°﹣α=β+12θ，解得：θ=180°﹣2（α+β），即 DE 的度数为180°﹣2（α+β），A 、当α+β=70°时， DE的度数是180°-140°=40°，故本选项错误；B 、当α+β=70°时， DE的度数是180°-140°=40°，故本选项正确；C 、当α-β=70°时，即α=70°+β， DE的度数是180°-2（70°+β+β）=40°-4β，故本选项错误；D 、当α-β=70°时，即α=70°+β， DE的度数是40°-4β，故本选项错误；故选：B ．．【点睛】本题考查了圆周角定理和三角形的外角性质，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键．10.定义平面内任意两点()()1122,,,P x y Q x y 之间的距离2121PQ d x x y y =-+-，称为这两点间的曼哈顿距离（简称为曼距）．例如，在平面直角坐标系中，点()3,2P --与点()2,2Q 之间的曼距3222549PQ d =--+--=+=，若点A 在直线122y x =-上，点B 为抛物线22y x x =+上一点，则曼距AB d 的最小值（） A.23540B.6940C.2316D.32【答案】C 【解析】【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合应用，二次函数的最值，根据定义表示出曼距AB d ，当A 、B 两点横坐标相等时，AB d 取得最小值，求解即可．【详解】解：由题意得：设1,22A a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2(,2)B b b b +，∴()21222AB a b b d a b =---++，当A 、B 两点横坐标相等时，AB d 取得最小值，∴()2223323224161222ABd b b b b b b ⎛⎫==---=++ ⎪⎝⎭--+，∴曼距AB d 的最小值为2316；故选：C ．二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11.请写出一个开口向下并且顶点在y 轴上的二次函数表达式________．【答案】24y x =-+（答案不唯一）【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，先设出二次函数解析式方程，()()20y a x h k a =++≠，再根据图像开口向下可知0a <，再根据顶点在y 轴上，有0h =，即可求解．【详解】设该二次函数的解析式为()()20y a x h k a =++≠，∵抛物线的开口向下，∴0a <，又∵顶点在y 轴上，∴0h =，∴4k =时，有：24y x =-+，故答案为：24y x =-+（答案不唯一，满足上述条件即可）12.生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a 与全身b 的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b 为4米，则a 约为________米．（结果精确到一位小数）【答案】2.5【解析】【分析】本题考查了黄金分割，根据0.618ab≈，4m b =，即可求出a 的值．【详解】解： 雕像的腰部以下a 与全身b 的高度比值接近0.618，4m b =，∴0.618ab≈，2.472 2.5m a ∴≈≈，a ∴的值为2.5米；故答案为2.5．13.二次函数()()53y a x x =+-的图象如图所示，当0y >时，x 的取值范围是________．【答案】53x -<<##35x >>-【解析】【分析】本题主要考查抛物线与x 轴的交点、二次函数图象与性质．先求出抛物线与x 轴的交点坐标，进而根据函数图象即可解答．【详解】解：当0y =时，()()530x x +-=，解得：1253x x =-=，∴二次函数()()53y a x x =+-的图象与x 轴的交点为(50)-，，()30，，由函数图象可得0y >的x 的取值范围为：53x -<<．故答案为：53x -<<．14.如图，在扇形EOF 中放置有三个全等的矩形方格，点O 为扇形的圆心，格点A 、B 、C 分别在扇形的1，则阴影部分的面积为________．【答案】73π【解析】【分析】连接OC ，先求出OC 长，再利用三角函数求出AOB ∠的度数，再根据阴影面积等于扇形的面积减去梯形面积即可得解．熟练掌握扇形面积公式和利用三角函数求出30AOB ∠=︒是解题的关键．【详解】解：连接OC ，1，∴OC ==，ant AOB Ð=，∴30AOB ∠=︒，∴(230π73603EOF Sπ⨯==扇形，()1232ACBO S =⨯+=梯形，∴阴影部分的面积为：73A O EOF CB S S S π=-=梯阴影扇形形故答案为：73π15.如图，矩形纸片ABCD ，点E 在边A 上，连接BE ，点F 在线段BE 上，且13EF BF =，折叠矩形纸片使点C 恰好落在点F 处，折痕为DG ，若4AB =，则折痕DG 的长为________．【答案】【解析】【分析】此题考查了矩形的折叠问题，勾股定理．正确画出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．过点F 作MN AD ⊥于点M ，MN 交BC 于点N ，通过证明四边形ABNM 为矩形，四边形CDMN 为矩形，得出4AB MN CD ===，根据13EF BF =，推出13EF MF BF NF ==，则1,3MF NF ==，由折叠的性质得出4DF DC ==，CG FG =，即可根据勾股定理求出CN DM ===CG FG x ==，则GN x =-，根据勾股定理可得222GN NF FG +=，列出方程，求出4155x =，最后根据勾股定理可得：2DG =，即可求解．【详解】解：过点F 作MNAD ⊥于点M ，MN 交BC 于点N ，∵四边形ABCD 为矩形，∴90A ABN ∠=∠=︒，AD BC ∥，∵MN AD ⊥，∴四边形ABNM 为矩形，同理可得：四边形CDMN 为矩形，∴4AB MN CD ===，∵13EF BF =，∴13=EF BF ，∵AD BC ∥，∴13EF MF BF NF ==，∴1,3MF NF ==，∵CDG 由FDG △沿DG 折叠得到，∴4DF DC ==，CG FG =，根据勾股定理可得：CN DM ====设CG FG x ==，则GN x =，根据勾股定理可得：222GN NF FG +=，即)2223x x -+=，解得：5x =，根据勾股定理可得：2DG ===16.量角器和三角板是我们平常数学学习中常用的工具．有一天，爱思考的小聪拿着两块工具拼成了如图1的样子，计划让三角板的直角顶点始终在量角器的半圆弧上运动，紧接着小聪根据自己的想法画出了示意图（如图2）．已知点C 是量角器半圆弧的中点，点P 为三角板的直角顶点，两直角边PE 、PF 分别过点A 、B ．连结CP ，过点O 作OM CP ⊥交CP 于点M ，交AP 于点N ．若8AB =，则NB 的最小值为________；若点Q 为 BC的中点，则点P 从点Q 运动到点B 时，N 点的运动路径长为________．【答案】①.-②.22π【解析】【分析】如图，连接AC OC ，．证明点N T 在 上，且运动轨迹是 OC，过点T 作TH AB ⊥于H ．求出BT TN ，，可得结论；连接PO ，TO ，结合图形可得，点P 从点Q 运动到点B ，点Q 为 BC的中点，运动的终点时，1452POB COB ∠=∠=︒，即有9045CTN POB ∠=︒-∠=︒，则有9045OTN CTN ∠=︒-∠=︒，根据弧公式即可作答．【详解】解：当点P 在 BC上时，点N 在线段OC 的右侧，如图，连接AC OC ，．∵C 是半圆的二等分点，∴=90AOC ∠︒，即1452APC AOC ∠=∠=︒，∵OA OC =，∴AOC △是等腰直角三角形，作AOC △的外接圆T e ，连接TN ，TB ．则有圆心T 为AC 中点，∵OM PC ⊥，∴CM PM =，∴NC NP =，∴45NPC NCP ∠=∠=︒，∴18090CNP PCN CPN ∠=︒-∠-∠=︒，∴90ANC PNC ∠=∠=︒，∴点N 在T e 上，运动轨迹是 OC，过点T 作TH AB ⊥于H ．∵8AB =，∴142AO AB ==，∵AO OC =，=90AOC ∠︒，∴45OAC OCA ∠=∠=︒，AC ==，∴12TA TN TC AC ====，在Rt ATH 中，122AH OH AO ===，45TAH ∠=︒，∴45ATH TAH ∠=∠=︒，∴2AH TH ==，即6BH AB AH =-=，在Rt BHT 中，BT ===，∵BN BT TN ≥-，∴BN ≥-∴BN 的最小值为-当点P 在 AC 上时，如图，可知点N 在线段OC 的左侧，此时的BN 显然大于综上：BN 的最小值为-如图，连接PO ，TO ，∵2CTN CAN ∠=∠，2POB PAB ∠=∠，45CAN PAB CAO ∠+∠=∠=︒，∴()24590CTN PAB POB ∠=︒-∠=︒-∠，∵点P 从点Q 运动到点B ，点Q 为 BC的中点，∴终点时，1452POB COB ∠=∠=︒，∴9045CTN POB ∠=︒-∠=︒，∴9045OTN CTN ∠=︒-∠=︒，∵TA TN TC ===∴点N 在T e 上，运动轨迹长为：4522ππ3602︒⨯=︒，故答案为：-，2π2．【点睛】本题考查点与圆的位置关系，弧长公式，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，轨迹等知识，解题的关键是正确寻找点N 的运动轨迹．三、解答题（本题有8小题，第17~19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题10分，第24题12分，共66分）17.已知线段a 、b 、c 满足::3:2:4a b c =，且211++=a b c ．（1）求a 、b 、c 的值；（2）若线段x 是线段a 、b 的比例中项，求x 的值．【答案】（1）3,2,4a b c ===（2）x 【解析】【分析】本题考查了比例和比例中项，（1）设比值为k ，然后用k 表示出a 、b 、c ，再代入等式进行计算即可得；（2）根据比例中项的定义列式求解即可得掌握比例和比例中项的定义“如果作为比例内项的是两条相同的线段，即a b b c=，那么线段b 是a 和c 的比例中项”是解题的关键．【小问1详解】解：∵::3:2:4a b c =，则设3,2,4a k b k c k ===，∵211++=a b c ，∴322411k k k +⨯+=，1111k =，1k =，∴3,2,4a b c ===；【小问2详解】解：∵线段x 是线段a 、b 的比例中项，∴a x x b=，2x ab =，232x =⨯，26x =，x =或x =（舍），即x 的值．18.如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是半圆O 上的两点，且∥OD BC ，OD 与AC 交于点E ．（1）若70B ∠=︒，求CAD ∠的度数；（2）若13,12AB AC ==，求DE 的长．【答案】（1）35︒（2）4【解析】【分析】（1）圆周角定理，得到90C ∠=︒， AC 的度数为140︒，平行得到90OEA ∠=︒，进而得到OE AC ⊥，垂径定理，得到 AD CD=，进而得到 CD 的度数为70︒，即可求出CAD ∠的度数；（2）勾股定理，求出OE 的长，OD OE -即可求出DE 的长．本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理．熟练掌握圆周角定理和垂径定理，是解题的关键．【小问1详解】解：∵AB 是半圆O 的直径，70B ∠=︒，∴90C ∠=︒， AC 的度数为140︒，∵∥OD BC ，∴90OEA C ∠=∠=︒，∴OE AC ⊥，∴ AD CD=，∴ CD的度数为70︒，∴170352CAD ∠=⨯︒=︒；【小问2详解】∵13,12AB AC ==，OE AC ⊥，∴131,622OA OD AE AC ====，∴52OE ==，∴135422DE =-=．19.已知二次函数223y x x =-+，当22x -≤≤时，求函数y 的取值范围．小胡同学的解答如下：解：当2x =-时，则()()2222311y =--⨯-+=；当2x =时，则222233y =-⨯+=：所以函数y 的取值范围为311y ≤≤．小胡的解答正确吗？如果正确，请在方框内打“√”：如果错误，请在方框内打“×”，并写出正确的解答过程．【答案】见解析【解析】【分析】此题考查了二次函数的性质，先将该二次函数解析式化为顶点式，根据开口方向向上，求出最小值为2，再求出当2x =-时和当2x =时的函数值，即可解答．【详解】解：小胡的解答不正确，正确的解答过程如下：∵()222312y x x x =-+=-+，10a =>，∴当1x =时，该二次函数有最小值2，∵当2x =-时，则()()2222311y =--⨯-+=；当2x =时，则222233y =-⨯+=：∴当22x -≤≤时，函数y 的取值范围为211y ≤≤．20.请用无刻度的直尺在以下两个图中画出线段BC 的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）（1）如图①，等腰ABC V 内接于O 中，AB AC =；（2）如图②，已知四边形ABCD 为矩形，点A 、D 在圆上，AB CD 、与O 分别交于点E 、F ．【答案】（1）见详解（2）见详解【解析】【分析】本题考查的是作图，主要涉及等腰三角形的性质、垂径定理、矩形的性质、线段的垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用相关的知识解决问题．（1）如图，作直线OA 即可，OA 即为所求；（2）连接AF DE 、交于点O ，连接EC BH 、交于点H ，连接OH 即可．【小问1详解】如图①，作直线OA 即可，OA 即为所求；【小问2详解】如图②，连接AF DE 、交于点O ，连接EC BH 、交于点H ，连接OH 即可，直线OH 即为所求．21.杭州亚运会期间，某网店经营亚运会吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”钥匙扣礼盒装，每盒进价为30元，出于营销考虑，要求每盒商品的售价不低于30元且不高于38元，在销售过程中发现该商品每周的销售量y （件）与销售单价x 32元时，销售量为36件；当销售单价为34元时，销售量为32件．（1）请求出y 与x 的函数关系式；（2）设该网店每周销售这种商品所获得的利润为w 元，①写出w 与x 的函数关系式；②将该商品销售单价定为多少元时，才能使网店每周销售该商品所获利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）2100y x =-+（2）①221603000w x x =-+-；②该商品销售单价定为38元时，才能使网店销售该该商品所获利润最大，最大利润是192元．【解析】【分析】本题主要考查二次函数的应用、待定系数法等知识点，灵活应用这些知识解决问题并构建二次函数解决问题成为解题的关键．（1）直接利用待定系数法求解即可；（2）①根据“总利润=每件产品利润×数量”即可列出函数关系式；②利用二次函数的性质求最值即可．【小问1详解】解：设y 与x 的函数关系式为y kx b =+，把3236x y ==，和3432x y ==，分别代入得，36323234k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得：2100k b =-⎧⎨=⎩．∴y 与x 的函数关系式为2100y x =-+．【小问2详解】解：①由题意可得()()230210021603000w x x x x =--+=-+-：，∴w 与x 的函数关系式为221603000w x x =-+-．②()2221603000240200w x x x =-+-=--+，∵20-<且对称轴为直线40x =∴抛物线开口向下，∵3038x ≤≤在对称轴左侧，即40x <时，w 随x 的增大而增大，∴当38x =时，()223840200196w =--+=最大（元）．答：该商品销售单价定为38元时，才能使网店销售该该商品所获利润最大，最大利润是192元．22.如图1，在正方形ABCD 中，12CE DE =，F 为BE 上的一点，连结CF 并延长交AB 于点M ，作MN CM ⊥交边AD 于点N ．（1）当F 为BE 中点时，求证：2AM CE =﹔（2）如图2，若23EF BF =，求AN ND 的值．【答案】（1）见解析（2）13【解析】【分析】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定；（1）先证明MBC ECB ≌得出BM EC =，根据12CE DE =，以及正方形的性质即可得证；（2）根据正方形的性质可得，AB CD ∥得出FBM FEC ∽，根据已知条件设3BM a =，则2EC a =，求得4DE a =，进而求得AM ，证明AMN BCM ∽，取得AN ，进而即可求解．【小问1详解】证明：F 为BE 的中点，BF EF ∴=，四边形ABCD 为正方形，90BCE ABC ∴∠=∠=︒，CF BF EF ∴==，FBC FCB ∴∠=∠，BC CB = ，MBC ECB ∴ ≌（AAS ），BM EC ∴=，AB CD = ，12CE DE =，12BM AM ∴=，2AM CE ∴=．【小问2详解】∵四边形ABCD 为正方形，∴AB CD ∥，∴FBM FEC ∽，∵23EF BF =，∴23EF EC BF BM ==设3BM a =，则2EC a =，∵12CE DE =，∴4DE a =，∴246CD DE EC a a a =+=+=，∴633AM AB MB CD MB a a a =-=-=-=，∵MN CM ⊥，∴90NMC ∠=︒，又∵90A MBC ∠=∠=︒，∴90AMN BMC MCB ∠=︒-∠=∠，∴AMN BCM ∽，∴AM AN BC BM =，即363a AN a a =，∴32AN a =，∴39622ND AD ND a a a =-=-=，∴AN ND 312932a a ==．23.根据以下素材，探索完成任务．绿化带灌溉车的操作方案灌溉车行驶过程中喷出的水能浇灌到整个绿化带吗，请说理由灌溉时，发现水流的上下两边缘冲击力最强，喷到针简容易造成针筒脱落．那么请问在满足最大灌溉面积的前提下对行道树“打针”是否有影响，并说明理由；若你认为有影响，请给出具体的“打针”范围．【答案】任务一：()213 2.510y x =-++；任务二：灌溉车行驶过程中喷出的水能浇灌到整个绿化带，理由见解析；任务三：在满足最大灌溉面积的前提下对行道树“打针”是否有影响，建议针一般打在离地面大于1.6米且小于或等于2米的高度．【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，求函数值，二次函数的性质；任务一：待定系数法求解析式，即可求解；任务二：根据题意，求得下边缘的抛物线解析式为：21 1.610y x =-+，分别令0y =，得出抛物线与坐标轴的交点，两交点的距离，即为所求；任务三：依题意，绿化带正中间种植了行道树，即8462x --==-处种植了行道树，令6x =-，求得y 的值，与题意比较，进而得出结论．【详解】解：任务一：依题意，设上边缘水流的抛物线的函数表达式为()23 1.60.9y a x =+++，将()0,1.6代入得，1.69 2.5a =+解得：110a =-∴抛物线的表达式为：()213 2.510y x =-++任务二：∵上边缘水流的抛物线解析式为：()213 2.510y x =-++当0y =时，()213 2.5010x -++=解得：8x =-或=2（舍去），则抛物线与x 负半轴的交点坐标为()8,0-；∵下边缘水流形状与上边缘相同，且喷水口是最高点．∴下边缘的抛物线解析式为：21 1.610y x =-+当0y =时，21 1.6010x -+=，解得：4x =-或4x =（舍去），则抛物线与x 负半轴的交点坐标为()4,0-；∵()484---=而路边的绿化带宽4米，∴灌溉车行驶过程中喷出的水能浇灌到整个绿化带；任务三：上边缘水流的抛物线解析式为：()213 2.510y x =-++，∵绿化带正中间种植了行道树，即8462x --==-处种植了行道树当6x =-时，()2163 2.5 1.610y =--++=米而园林工人给树木“打针”．针一般打在离地面1.5米到2米的高度（包含端点）．则在满足最大灌溉面积的前提下对行道树“打针”是否有影响，建议针一般打在离地面大于1.6米且小于或等于2米的高度．24.如图1，ABC V 是O 内接三角形，将ABC V 绕点A 逆时针旋转至AED △，其中点D 在圆上，点E 在线段AC 上．（1）求证：DE DC =﹔（2）如图2，过点B 作BF CD ∥分别交AC 、AD 于点M 、N ，交O 于点F ，连接AF ，求证：AN DE AF BM ⋅=⋅；（3）在（2）的条件下，若13AB AC =时，求BF BC 的值；【答案】（1）见解析（2）见解析（3）79【解析】【分析】（1）旋转的性质，得到,BC DE BAC EAD =∠=，根据弧，弦，角的关系，得到BC CD =，即可得证；（2）证明BCM AFM ∽，进而得到BC BM AF AM=，旋转得到,BC DE AC AD ==，根据BF CD ∥，推出AM AN =，等量代换，得到DE BM AF AN=，即可得证；（3）等量代换，得到13AB AD =，过点E 作,EP AB EQ AD ⊥⊥，角平分线的性质得到EP EQ =，等积法得到13AB E DE AD B ==，连接DF ，推出BC DF =，AB AF =，将ABD △绕点A 旋转至AB 与AF 重合得到AFD ' ，证明,,D F D '三点共线，设BE x =，则3DE x =，进而得到3BC DE DF x ===，推出7DD DF FD DF BD x ''=+=+=，证明BAF DAD ' ∽，得到13AB BF AD DD =='，得到1733BF DD x '==，再进行计算即可．【小问1详解】证明：∵将ABC V 绕点A 逆时针旋转至AED △，∴,BC DE BAC EAD =∠=，∴ BC CD =，∴BC CD =，∴DE DC =；【小问2详解】证明：∵ AB AB =，∴BCM AFM ∠=∠，∵BMC AMF ∠=∠，∴BCM AFM ∽，∴BC BM AF AM =，∵将ABC V 绕点A 逆时针旋转至AED △，∴,BC DE AC AD ==，∵BF CD ∥，∴AMN ACD ∽，∴AM AN AC AD =，∴AM AN =，∴DE BM AF AN =，∴AN DE AF BM ⋅=⋅；【小问3详解】∵13AB AC =，AC AD =，∴13AB AD =，ACD ADC ∠=∠，∴ AC AD =，∵ACB ADE∠=∠∴延长DE 必经过点B ，过点E 作,EP AB EQ AD ⊥⊥，∵BAC DAE ∠=∠，∴EP EQ =，∴1212ABE ADE AB EP S BE S DE AD EQ ⋅==⋅ （同高三角形）∴13AB E DE AD B ==，连接DF ，∵BF CD ∥，∴BDC DBF ∠=∠，∴ BCDF =，∴ ,BC DF AC BC AD DF=-=-，∴ AB AF =，∴AB AF =，将ABD △绕点A 旋转至AB 与AF 重合得到AFD ' ，则：ABD AFD '∠=∠，D F BD '=，DAD BAF '∠=∠，∵180ABD AFD ∠+∠=︒，∴180AFD AFD '∠+∠=︒，∴,,D F D '三点共线，∵13BE DE =，∴设BE x =，则3DE x =，∴3BC DE DF x ===，4BD BE DE x =+=，∴7DD DF FD DF BD x ''=+=+=，∵DAD BAF '∠=∠，ABF ADF ∠=∠，∴BAF DAD ' ∽，∴13AB BF AD DD =='，∴1733BF DD x '==，∴77339x BF BC x ==．【点睛】本题考查旋转的性质，圆周角定理，弧，弦，角的关系，相似三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，综合性强，难度大，属于压轴题，解题的关键是掌握相关知识点，进行线段和角的转化．。

沪教版-九年级(初三)数学上册-期中考试复习试卷试题及答案(Word版)AC51.将抛物线y=x^2向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为哪一个？A。

y=(x-1)^2+2B。

y=(x+1)^2+2C。

y=(x-1)^2-2D。

y=(x+1)^2-22.已知二次函数y=ax^2-1的图象经过点(1,-2)，那么a的值为多少？A。

a=-2B。

a=2C。

a=1D。

a=-13.对于非零向量a、b，如果2|a|=3|b|，且它们的方向相同，那么用向量a表示向量b正确的是哪一个？A。

b=a*(3/2)B。

b=a*(2/3)C。

b=-a*(3/2)D。

b=-a*(2/3)4.在四边形ABCD中，若AB=a，AD=b，BC=c，则CD等于哪一个？A。

a-b-cB。

-a+b-cC。

a-b+cD。

-a+b+c5.在直角三角形ABC中，∠C=90°，如果∠A=α，AB=3，那么AC等于哪一个？A。

3sinαB。

3cosαC。

sinα/3D。

cosα/36.在直角三角形ABC中，∠C=90°，如果AC=4，BC=3，那么∠A的正切值为多少？A。

3/4B。

4/3C。

5/3D。

3/57.在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AC=2，则下列结论正确的是哪一个？A。

sinA=3/2B。

tanA=1/2C。

cosB=3/2D。

tanB=3/48.抛物线y=-3x^2+2x-1的图象与x轴交点的个数是多少？A。

没有交点B。

只有一个交点C。

有且只有两个交点D。

有且只有三个交点9.关于二次函数y=(x+1)^2的图象，下列说法正确的是哪一个？A。

开口向下B。

经过原点C。

对称轴右侧的部分是下降的D。

顶点坐标是(-1,0)10.在三角形ABC中，点D、E分别在AB、AC上，如果AD=2，BD=3，那么由下列条件能够判定DE//BC的是哪一个？A。

DE^2/BC^2=3/2B。

九上数学期中考试考点说明
1、一元二次方程的根
2、中心对称点的坐标（横纵坐标互为相反数）
3、根与系数的关系（和-a b ，积a
c 4、一元二次方程根的判别式（b 2-4ac ）
5、抛物线的顶点)442b (2
a
b a
c a －，－ 6、一元二次方程配方
7、抛物线的对称轴
8、一元二次方程的实际应用（增长率问题）
9、二次函数的对称性、增减性（特殊值法，与对称轴的横向距离）
10、旋转计算
11、一元二次方程的解
12、一元二次方程的实际应用（传染病问题）
13、二次函数的图像与坐标轴交点的个数
14、旋转计算
15、二次函数的平移（解析式变形：上加下减，左加右减）
16、求极值（作对称点）
17、解方程
18、求二次函数解析式及一次函数与二次函数图像交点（定点问题）
19、一元二次方程的实际应用（封面问题）
20、求二次函数解析式、函数的顶点、与坐标轴的交点
21、网格中旋转画图、计算
22、旋转画图证明（模拟卷原题）（尺规作图）
23、运用二次函数解决实际应用问题：注意分段函数
24、二次函数与几何综合题。

初中数学初三期中考试汇编考试卷考点姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题解答题判断题计算题附加题总分得分一、计算题27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点N（2，－5），过点N作x轴的平行线交此抛物线左侧于点M，MN=6．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P（x，y）为此抛物线上一动点，连接MP交此抛物线的对称轴于点D，当△DMN为直角三角形时，求点P的坐标；（3）设此抛物线与y轴交于点C，在此抛物线上是否存在点Q，使∠QMN=∠CNM ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．17．计算：sin30°﹣2sin60°+tan45°+cos245°．17．计算：；17．计算：24．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式及顶点M坐标；评卷人得分（2）求△BCM的面积；（3）若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，随着P点的运动，在抛物线上是否存在这样的点Q，使以A，P，Q，C为点的四边形为平行四边形？若存，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．22．某企业是一家专门生产季节性产品的企业，经过调研预测，它一年中获得的利润y（万元）和月份n 之间满足函数关系式y=﹣n2+14n﹣24.（1）若利润为21万元，求n的值.（2）哪一个月能够获得最大利润，最大利润是多少？（3）当产品无利润时，企业会自动停产，企业停产是哪几个月份？16．先化简，然后从的范围内选一个合适的整数作为的值代入求值。

16．先化简，再求值：,其中．17．一个不透明的布袋里装有16个只有颜色不同的球，其中红球有x个，白球有2x个，其他均为黄球，现甲从布袋中随机摸出一个球，若是红球则甲同学获胜，甲同学把摸出的球放回并搅匀，由乙同学随机摸出一个球，若为黄球，则乙同学获胜。

一、代数部分1. 方程（组）与不等式（组）- 一元一次方程及方程组- 一元二次方程及方程组- 分式方程- 不等式与不等式组- 适当运用代数运算求解实际问题2. 函数- 正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的性质与应用 - 函数图像的绘制与分析- 函数在实际问题中的应用3. 整式与分式- 整式运算- 分式运算- 实数的运算与应用二、几何部分1. 平面几何- 三角形：全等三角形、相似三角形、勾股定理等- 四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形等- 圆：圆的周长、面积、扇形、圆弧等- 适当运用几何知识解决实际问题2. 立体几何- 空间几何体的认识与计算：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等- 空间几何体的性质与应用：三视图、截面、体积、表面积等- 适当运用立体几何知识解决实际问题三、综合应用部分1. 综合题- 考察学生综合运用所学知识解决实际问题的能力- 考察学生的逻辑思维、分析问题、解决问题的能力2. 应用题- 考察学生运用数学知识解决生活、生产中的实际问题- 考察学生的实际操作能力、实验探究能力3. 创新题- 考察学生的创新意识、实践能力- 考察学生运用所学知识解决新问题的能力四、试卷特点及应对策略1. 考试内容全面，注重基础知识的考察- 学生在备考过程中要注重基础知识的学习，打牢基础。

2. 考察能力与技巧并重- 学生在备考过程中要注重培养自己的数学思维和解决问题的能力。

3. 注重实际应用- 学生在备考过程中要关注数学在实际生活中的应用，提高自己的实践能力。

4. 考察学生的心理素质- 学生在备考过程中要调整好自己的心态，保持良好的心理素质。

总之，初三数学期中试卷考点涵盖了代数、几何、综合应用等多个方面，考生在备考过程中要全面复习，注重基础知识的掌握，提高自己的解题能力和心理素质。

同时，要关注数学在实际生活中的应用，培养自己的创新意识和实践能力。

祝各位考生在期中考试中取得优异成绩！。

天津南开区九年级上期中数学考试卷（解析版）（初三）期中考试姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题评卷人得分（每空xx 分，共xx分）【题文】一元二次方程x（x+5）=0的根是（）A．x1=0，x2=5 B．x1=0，x2=﹣5C．x1=0，x2= D．x1=0，x2=﹣【答案】B．【解析】试题分析：利用分解因式法求解．∵x（x+5）=0，∴x=0或x+5=0，解得：x1=0，x2=﹣5．故选：B．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【题文】下列四个图形中属于中心对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】A．【解析】试题分析：A、是中心对称图形，故选项正确；B、不是中心对称图形，故选项错误；C、不是中心对称图形，故选项错误；D、不是中心对称图形，故选项错误．故选：A．【考点】中心对称图形．【题文】已知二次函数y=3x2+c与正比例函数y=4x的图象只有一个交点，则c的值为（）A． B． C．3 D．4【答案】A【解析】试题分析：由，消去y得到3x2﹣4x+c=0，∵二次函数y=3x2+c与正比例函数y=4x的图象只有一个交点，∴△=0，∴16﹣12c=0，∴c=．故选A．【题文】抛物线y=﹣3x2+12x﹣7的顶点坐标为（）A．（2，5） B．（2，﹣19）C．（﹣2，5） D．（﹣2，﹣43）【答案】A．【解析】试题分析：【分析】把抛物线解析式化为顶点式∵y=﹣3x2+12x﹣7=﹣3（x﹣2）2+5，∴顶点坐标为（2，5），故选A．【考点】二次函数的性质．【题文】由二次函数y=2（x﹣3）2+1可知（）A．其图象的开口向下B．其图象的对称轴为x=﹣3C．其最大值为1D．当x＜3时，y随x的增大而减小【答案】D．【解析】试题分析：∵y=2（x﹣3）2+1，∴抛物线开口向上，对称轴为x=3，顶点坐标为（3，1），∴函数有最小值1，当x＜3时，y随x的增大而减小，故选D．【考点】二次函数的性质．【题文】如图中∠BOD的度数是（）A．150° B．125° C．110° D．55°【答案】C．【解析】试题分析：如图，连接OC．∵∠BOC=2∠BAC=50°，∠COD=2∠CED=60°，∴∠BOD=∠BOC+∠COD=110°，故选C．【考点】圆周角定理．【题文】如图，点E在y轴上，⊙E与x轴交于点A、B，与y轴交于点C、D，若C（0，9），D（0，﹣1），则线段AB的长度为（）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】C．【解析】试题分析：连接EB，如图所示：∵C（0，9），D（0，﹣1），∴OD=1，OC=9，∴CD=10，∴EB=ED=CD=5，OE=5﹣1=4，∵AB⊥CD，∴AO=BO=AB，OB==3，∴AB=2OB=6；故选：C．【考点】垂径定理；坐标与图形性质；勾股定理．【题文】如图，AB是圆O的直径，C、D是圆O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC、OC相交于点E、F．则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC=∠ABC；③CB平分∠ABD；④AF=DF；⑤BD=2OF．其中一定成立的是（）A．①③⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．①③④⑤【答案】D．【解析】试题分析：①∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BD，正确；②∠AOC=2∠ABC，错误；③、∵OC∥BD，∴∠OCB=∠DBC，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠OBC=∠DBC，∴CB平分∠ABD，④、∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BD，∵OC∥BD，∴∠AFO=90°，∵点O为圆心，∴AF=DF．⑤、由l试题分析：根据勾股定理得：斜边为=17，则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径r==3（步），即直径为6步，故选C【考点】三角形的内切圆与内心．【题文】如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB ，则旋转角的度数为（）A．35° B．40° C．50° D．65°【答案】C．【解析】试题分析：∵CC′∥AB，根据两直线平行，内错角相等可得∴∠ACC′=∠CAB=65°，∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，根据旋转的性质可得∴AC=AC′，∴∠CAC′=180°﹣2∠ACC′=180°﹣2×65°=50°，∴∠CAC′=∠BAB′=50°．故选C．【考点】旋转的性质．【题文】以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（）A．B． C． D．【答案】D．【解析】试题分析：如图1，∵OC=2，∴OD=2×sin30°=1；如图2，∵OB=2，∴OE=2×sin45°=；如图3，∵OA=2，∴OD=2×cos30°=，则该三角形的三边分别为：1，，，∵（1）2+（）2=（）2，∴该三角形是直角边，∴该三角形的面积是×1××=，故选：D．【考点】正多边形和圆．【题文】如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】试题分析：由点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，得到BE=CF=t，则CE=8﹣t，再根据正方形的性质得OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，然后根据“SAS”可判断△OBE≌△OCF，所以S△OBE=S△OCF，这样S四边形OECF=S△OBC=16，于是S=S四边形OECF﹣S△CEF=16﹣（8﹣t）t，然后配方得到S=（t﹣4）2+8（0≤t≤8），∴s（cm2）与t（s）的函数图象为抛物线一部分，顶点为（4，8），自变量为0≤t≤8．故选：B．【考点】动点问题的函数图象．【题文】点P（2，﹣1）关于原点的对称点坐标为P′（m，1），则m=．【答案】﹣2．【解析】试题分析：∵点P（2，﹣1）关于原点的对称点坐标为P′（m，1），∴m=﹣2，故答案为：﹣2．【考点】关于原点对称的点的坐标．【题文】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，4），将OA绕坐标原点O逆时针旋转90°至OA′，则点A′的坐标是．【答案】（﹣4，3）．【解析】试题分析：如图，过点A作AB⊥x轴于B，过点A′作A′B′⊥x轴于B′，∵OA绕坐标原点O逆时针旋转90°至OA′，∴OA=OA′，∠AOA′=90°，∵∠A′OB′+∠AOB=90°，∠AOB+∠OAB=90°，∴∠OAB=∠A′OB′，在△AOB和△OA′B′中，，∴△AOB≌△OA′B′（AAS），∴OB′=AB=4，A′B′=OB=3，∴点A′的坐标为（﹣4，3）．故答案为：（﹣4，3）．【考点】坐标与图形变化-旋转．【题文】关于x的二次函数y=x2﹣kx+k﹣2的图象与y轴的交点在x轴的上方，请写出一个满足条件的二次函数的表达式：．【答案】y=x2﹣3x+1.【解析】试题分析：∵关于x的二次函数y=x2﹣kx+k﹣2的图象与y轴的交点在x轴的上方，∴k﹣2＞0，解得：k＞2，∴答案为：y=x2﹣3x+1答案不唯一．【考点】二次函数的性质．【题文】如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点是A（1，0），对称轴为直线x=﹣1，则一元二次方程ax2+bx+c=0的解是．【答案】x1=1，x2=﹣3．【解析】试题分析：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点是A（1，0），对称轴为直线x=﹣1，∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点是（﹣3，0），∴一元二次方程ax2+bx+c=0的解是：x1=1，x2=﹣3．故答案为：x1=1，x2=﹣3．【考点】抛物线与x轴的交点．【题文】某种植物的主干长出若干数目的支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91．设每个支干长出x个小分支，则可得方程为．【答案】x2+x+1=91．【解析】试题分析：由题意设每个支干长出x个小分支，每个小分支又长出x个分支，则又长出x2个分支，则共有x2+x+1个分支，根据题意列方程得：x2+x+1=91．故答案为x2+x+1=91．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【题文】如图，AB是⊙O的一条弦，C是⊙O上一动点且∠ACB=45°，E、F分别是AC、BC的中点，直线EF 与⊙O交于点G、H．若⊙O的半径为2，则GE+FH的最大值为．【答案】4﹣．【解析】试题分析：连接OA，OB，∵∠ACB=45°，∴∠AOB=90°．∵OA=OB，∴△AOB是等腰直角三角形，∴AB=2，当GH为⊙O的直径时，GE+FH有最大值．∵点E、F分别为AC、BC的中点，∴EF=AB=，∴GE+FH=GH﹣EF=4﹣，故答案为：4﹣．【考点】三角形中位线定理；圆周角定理．【题文】按要求解一元二次方程：（1）x（x+4）=8x+12（适当方法）（2）3x2﹣6x+2=0（配方法）【答案】(1)x=﹣2或x=6；(2)x1=，x2=．【解析】试题分析：（1）整理成一般式后利用因式分解法求解可得；（2）配方法求解即可．试题解析：（1）原方程整理可得：x2﹣4x﹣12=0，因式分解可得（x+2）（x﹣6）=0，∴x+2=0或x﹣6=0，解得：x=﹣2或x=6；（2）3x2﹣6x+2=0，3x2﹣6x=﹣2，x2﹣2x=﹣，x2﹣2x+1=1﹣，即（x﹣1）2=∴x﹣1=±，∴x=1±，∴x1=，x2=．【考点】解一元二次方程-配方法．【题文】在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，﹣4），且过点B（3，0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标．【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）（4，0）．【解析】试题分析：（1）有顶点就用顶点式来求二次函数的解析式；（2）由于是向右平移，可让二次函数的y的值为0，得到相应的两个x值，算出负值相对于原点的距离，而后让较大的值也加上距离即可．试题解析：（1）∵二次函数图象的顶点为A（1，﹣4），∴设二次函数解析式为y=a（x﹣1）2﹣4，把点B（3，0）代入二次函数解析式，得：0=4a﹣4，解得a=1，∴二次函数解析式为y=（x﹣1）2﹣4，即y=x2﹣2x﹣3；（2）令y=0，得x2﹣2x﹣3=0，解方程，得x1=3，x2=﹣1．∴二次函数图象与x轴的两个交点坐标分别为（3，0）和（﹣1，0），∴二次函数图象上的点（﹣1，0）向右平移1个单位后经过坐标原点．故平移后所得图象与x轴的另一个交点坐标为（4，0）．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与几何变换．【题文】如图，AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，且CD⊥AB于点E．（1）若∠A=48°，求∠OCE的度数；（2）若CD=4，AE=2，求圆O的半径．【答案】（1）6°；（2）3.【解析】试题分析：（1）首先求出∠ADE的度数，再根据圆周角定理求出∠AOC的度数，最后求出∠OCE的度数；（2）由弦CD与直径AB垂直，利用垂径定理得到E为CD的中点，求出CE的长，在直角三角形OCE中，设圆的半径OC=r，OE=OA﹣AE，表示出OE，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解即可得到圆的半径r的值．试题解析：（1）∵CD⊥AB，∠A=48°，∴∠ADE=42°．∴∠AOC=2∠ADE=84°，∴∠OCE=90°﹣84°=6°；（2）因为AB是圆O的直径，且CD⊥AB于点E，所以CE=CE=×4=2，在Rt△OCE中，OC2=CE2+OE2，设圆O的半径为r，则OC=r，OE=OA﹣AE=r﹣2，所以r2=（2）2+（r﹣2）2，解得：r=3．所以圆O的半径为3．【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理．【题文】如图，△ABC 中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，与BC交于点D，过D作AC的垂线，垂足为E．证明：（1）BD=DC；（2）DE是⊙O切线．【答案】详见解析【解析】试题分析：（1）连接AD，由于AB是直径，那么∠ADB=90°，而AB=AC，根据等腰三角形三线合一定理可知BD=CD；（2）连接OD，由于∠BAC=2∠BAD，∠BOD=2∠BAD，那么∠BAC=∠BOD，可得OD∥AC，而DE⊥AC，易证∠ODB=90°，从而可证DE是⊙O切线．试题解析：如右图所示，（1）连接AD，∵A B是直径，∴∠ADB=90°，又∵AB=AC，∴BD=CD；（2）连接OD，∵∠BAC=2∠BAD，∠BOD=2∠BAD，∴∠BAC=∠BOD，∴OD∥AC，又∵DE⊥AC，∴∠AED=90°，∴∠ODB=∠AED=90°，∴DE是⊙O的切线．【考点】切线的判定；圆周角定理．【题文】如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙足够长），如果用50m长的篱笆围成中间有一道篱笆墙的养鸡场，设它的长度为x（篱笆墙的厚度忽略不计）．（1）要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少米？（2）如果中间有n（n是大于1的整数）道篱笆墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？比较（1）（2）的结果，要使鸡场面积最大，鸡场长度与中间隔离墙的道数有怎样的关系？【答案】（1）25米；（2）即要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为25米；【解析】试题分析：（1）根据题意可以得到鸡场的面积与鸡场的长度的函数关系式，从而可以解答本题；（2）根据题意可以求得当中间有n（n是大于1的整数）道篱笆墙，鸡场的最大面积，从而可以解答本题．试题解析：（1）设鸡场的面积为y平方米，y=x（）=﹣+=，∴x=25时，鸡场的面积最大，即要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为25米；（2）设鸡场的面积为y平方米，y=x（）=﹣=，∴x=25时，鸡场的面积最大，即要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为25米；由（1）（2）可知，无论鸡场中间有多少道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，其长都是25m．【考点】二次函数的应用．【题文】如图，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，直线AN、MC交于点E，直线BM、CN 交于点F．（1）求证：AN=MB；（2）求证：△CEF为等边三角形；（3）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在（2）中画出符合要求的图形，并判断（1）（2）题中的两结论是否依然成立．并说明理由．【答案】详见解析【解析】试题分析：（1）可通过全等三角形来得出简单的线段相等，证明AN=BM，只要求出三角形ACN和MCB全等即可，这两个三角形中，已知的条件有AC=MC，NC=CB，只要证明这两组对应边的夹角相等即可，我们发现∠ACN和∠MCB都是等边三角形的外角，因此它们都是120°，这样就能得出两三角形全等了．也就证出了AN=BM．（2）我们不难发现∠ECF=180﹣60﹣60=60°，因此只要我们再证得两条边相等即可得出三角形ECF是等边三角形，可从EC，CF入手，由（1）的全等三角形我们知道，∠MAC=∠BMC，又知道了AC=MC，∠MCF=∠ACE=60°，那么此时三角形AEC≌三角形MCF，可得出CF=CE，于是我们再根据∠ECF=60°，便可得出三角形ECF是等边三角形的结论．（3）判定结论1是否正确，也是通过证明三角形ACN和BCM来求得．这两个三角形中MC=AC，NC=BC，∠MCB 和∠ACN都是60°+∠ACB，因此两三角形就全等，AN=BM，结论1正确．如图，当把MC逆时针旋转90°后，AC也旋转了90°，因此∠ACB=90°，很显然∠FCE＞90°，因此三角形FCE绝对不可能是等边三角形．试题解析：（1）∵△ACM，△CBN是等边三角形，∴AC=MC，l（3）连接AN，BM，∵△ACM、△CBN是等边三角形，∴AC=MC，BC=CN，∠ACM=∠BCN=60°，∵∠ACB=90°，∴∠ACN=∠MCB，在△ACN和△MCB中，，∴△ACN≌△MCB（SAS），∴AN=MB．当把MC逆时针旋转90°后，AC也旋转了90°，因此∠ACB=90°，很显然∠FCE＞90°，因此三角形FCE绝对不可能是等边三角形，即结论1成立，结论2不成立．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【题文】如图，在平面直角坐标系中，圆M经过原点O，且与x轴、y轴分别相交于A（﹣8，0），B（0，﹣6）两点．（1）求出直线AB的函数解析式；（2）若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M，顶点C在圆M上，开口向下，且经过点B，求此抛物线的函数解析式；（3）设（2）中的抛物线交x轴于D、E两点，在抛物线上是否存在点P，使得S△PDE=S△ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解析式为y=﹣x﹣6；（2）详见解析（3）详见解析．【解析】试题分析：（1）利用待定系数法可求出直线AB的解析式；（2）先利用勾股定理计算出AB=10，再根据圆周角定理得到AB为⊙M的直径，则点M为AB的中点，M（﹣4，﹣3），则可确定C（﹣4，2），然后利用顶点式求出抛物线解析式；（3）通过解方程﹣（x+4）2+2=0得到D（﹣6，0），E（﹣2，0），利用S△ABC=S△ACM+S△BCM，可求出S△ABC=10，设P（t，﹣t2﹣4t﹣6），所以（﹣2+6）|﹣t2﹣4t﹣6|=20，然后解绝对值方程求出t即可得到P点坐标．【试题解析】（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+b，把A（﹣8，0），B（0，﹣6）代入得，解得，所以直线AB的解析式为y=﹣x﹣6；（2）在Rt△AOB中，AB==10，∵∠AOB=90°，∴AB为⊙M的直径，∴点M为AB的中点，M（﹣4，﹣3），∵MC∥y轴，MC=5，∴C（﹣4，2），设抛物线的解析式为y=a（x+4）2+2，把B（0，﹣6）代入得16a+2=﹣6，解得a=﹣，∴抛物线的解析式为y=﹣（x+4）2+2，即y=﹣x2﹣4x﹣6；（3）存在．当y=0时，﹣（x+4）2+2=0，解得x1=﹣2，x2=﹣4，∴D（﹣6，0），E（﹣2，0），S△ABC=S△ACM+S△BCM=8CM=20，设P（t，﹣t2﹣4t﹣6），∵S△PDE=S△ABC，∴（﹣2+6）|﹣t2﹣4t﹣6|=20，即|﹣t2﹣4t﹣6|=1，当﹣t2﹣4t﹣6=1，解得t1=﹣4+，t2=﹣4﹣，此时P点坐标为（﹣4+，1）或（﹣4﹣，0）；当﹣t2﹣4t﹣6=﹣1，解得t1=﹣4+，t2=﹣4﹣；此时P点坐标为（﹣4+，﹣1）或（﹣4﹣，0）．综上所述，P点坐标为（﹣4+，1）或（﹣4﹣，0）或（﹣4+，﹣1）或（﹣4﹣，0）时，使得S△PDE=S△ABC ．【考点】圆的综合题；二次函数；圆周角定理；解一元二次方程．。

初三上册数学期中考试知识点1.初三上册数学期中考试知识点单项式与多项式仅含有一些数和字母的乘法包括乘方运算的式子叫做单项式单独的一个数或字母也是单项式。

单项式中的数字因数叫做这个单项式或字母因数的数字系数，简称系数。

当一个单项式的系数是1或—1时，“1”通常省略不写。

一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

如果在几个单项式中，不管它们的系数是不是相同，只要他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么，这几个单项式就叫做同类单项式，简称同类项所有的常数都是同类项。

1、多项式有有限个单项式的代数和组成的式子，叫做多项式。

多项式里每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项，叫做常数项。

单项式可以看作是多项式的特例把同类单项式的系数相加或相减，而单项式中的字母的乘方指数不变。

在多项式中，所含的不同未知数的个数，称做这个多项式的元数经过合并同类项后，多项式所含单项式的个数，称为这个多项式的项数所含个单项式中次项的次数，就称为这个多项式的次数。

2、多项式的值任何一个多项式，就是一个用加、减、乘、乘方运算把已知数和未知数连接起来的式子。

3、多项式的恒等对于两个一元多项式fx、gx来说，当未知数x同取任一个数值a 时，如果它们所得的值都是相等的，即fa=ga，那么，这两个多项式就称为是恒等的记为fx==gx，或简记为fx=gx。

性质1如果fx==gx，那么，对于任一个数值a，都有fa=ga。

性质2如果fx==gx，那么，这两个多项式的个同类项系数就一定对应相等。

4、一元多项式的根一般地，能够使多项式fx的值等于0的未知数x的值，叫做多项式fx的根。

多项式的加、减法，乘法1、多项式的加、减法2、多项式的乘法单项式相乘，用它们系数作为积的系数，对于相同的字母因式，则连同它的指数作为积的一个因式。

3、多项式的乘法多项式与多项式相乘，先用一个多项式等每一项乘以另一个多项式的各项，再把所得的积相加。

常用乘法公式公式I平方差公式a+ba—b=a^2—b^2两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。

苏州中学园区校初三数学期中试卷一、选择题（共30分）1.O 的半径为2，线段4OP ，则点P 与O 的位置关系是（）A.点P 在圆内B.点P 在圆上C.点P 在圆外D.无法确定C【分析】由⊙O 的半径分别是2，点P 到圆心O 的距离为4，根据点与圆心的距离与半径的大小关系即可确定点P 与⊙O 的位置关系．【详解】解：∵⊙O 的半径是2，点P 到圆心O 的距离为4，∴点P 与⊙O 的位置关系是：点在圆外．故选：C.【点睛】本题考查了点与圆的位置关系．注意若半径为r ，点到圆心的距离为d ，则有：当d ＞r 时，点在圆外；当d =r 时，点在圆上，当d ＜r 时，点在圆内．2.下列命题中，正确的是（）A.平面上三个点确定一个圆B.等弧所对的圆周角相等C.弦是直径D.同圆或等圆中，相等的弦．所对的圆周角相等D【分析】根据不共线三点确定一个圆，圆周角定理及其推理，圆的相关定义，逐项分析判断即可求解．【详解】A.平面上不共线三个点确定一个圆，故该选项不正确，不符合题意；B.同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等，故该选项不正确，不符合题意；C.最长的弦是直径，故该选项不正确，不符合题意；D.同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等，故该选项正确，符合题意；故选D ．【点睛】本题考查了命题，确定圆的条件，圆周角定理及其推理，圆的相关定义，掌握以上知识是解题的关键．3.已知A （﹣4，y 1），B （﹣3，y 2），C （3，y 3）三点都在二次函数y ＝﹣2（x +2）2的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（）A.y 1＞y 2＞y 3B.y 2＞y 1＞y 3C.y 2＞y 3＞y 1D.y 3＞y 2＞y 1B 【分析】分别计算出自变量为﹣4，﹣3和3时的函数值，然后比较函数值的大小即可．【详解】把A （﹣4，y 1），B （﹣3，y 2），C （3，y 3）分别代入y ＝﹣2（x +2）2得y 1＝﹣2（－4+2）2＝﹣8，y 2＝﹣2（－３+2）2＝﹣2，y 3＝﹣2（３+2）2＝﹣50，所以y 2＞y 1＞y 3．故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数函数值大小的比较，实数的运算等知识，在已知函数关系式及自变量的情况下，关键是计算出函数值．4.若抛物线²8y x bx =-+的顶点在x 轴上，则b ＝（）A.±B.-C.-D.±A【分析】根据题意顶点纵坐标为零，令0y =，根据判别式为0，列方程求解即可．【详解】解：∵抛物线²8y x bx =-+的顶点在x 轴上，令0y =，则280x bx -+=2480b ∆=-⨯=,解得：b =±,故选A ．【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，转化为一元二次方程根的判别式是解题的关键．5.半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（）A.1B.：1C.3：2：1D.1：2：3B【分析】设圆的半径为R ，分别画出圆的内接正三角形、正方形、正六边形，根据锐角三角函数的定义，等腰直角三角形的性质和等边三角形的性质，求出边长即可．【详解】设圆的半径为R ，如图(一)，连接OB ，过O 作OD ⊥BC 于D ，则∠OBC =30°，BD =OB ⋅cos30°=32R ，故BC =2BD ；如图(二)，连接OB 、OC ，过O 作OE ⊥BC 于E ，则△OBE 是等腰直角三角形，2BE 2=OB 2，即BE =2R ，故BC R ；如图(三)，连接OA 、OB ，过O 作OG ⊥AB ，则△OAB 是等边三角形，故AG =OA ⋅cos60°=12R ，AB =2AG =R ，R ∶R ∶1．故选B ．【点睛】本题主要考查圆的正多边形的边长，掌握等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质是解题的关键．6.如图，一个油桶靠在直立的墙边，量得0.8m,BC =并且,AB BC ⊥则这个油桶的底面半径是（）A.1.6mB.1.2mC.0.8mD.0.4mC【分析】根据切线的性质，连接过切点的半径，构造正方形求解即可．【详解】如图所示：设油桶所在的圆心为O ，连接OA ，OC ，∵AB 、BC 与⊙O 相切于点A 、C ，∴OA ⊥AB ，OC ⊥BC ，又∵AB ⊥BC ，OA =OC ，∴四边形OABC 是正方形，∴OA =AB =BC =OC =0.8m ，故选：C ．【点睛】考查了切线的性质和正方形的判定、性质，解题关键是理解和掌握切线的性质．7.如图，BC 是半圆O 的直径，D ，E 是 BC上两点，连接BD ，CE 并延长交于点A ，连接OD ，OE ，如果70A ∠︒＝，那么DOE ∠的度数为（） A.35︒ B.38︒ C.40︒ D.42︒C【分析】连接CD ，由圆周角定理得出∠BDC=90°，求出∠ACD=90°-∠A=20°，再由圆周角定理得出∠DOE=2∠ACD=40°即可，【详解】连接CD ，如图所示：∵BC 是半圆O 的直径，∴∠BDC=90°，∴∠ADC=90°，∴∠ACD=90°-∠A=20°，∴∠DOE=2∠ACD=40°，故选C ．【点睛】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．8.如图，已知圆锥侧面展开图的扇形面积为65πcm2，扇形的弧长为10πcm ，则圆锥母线长是()A.5cmB.10cmC.12cmD.13cmD 【详解】1=65102110r 65132s lr l r ππππ==⋅=∴= 扇形即∴选D9.已知二次函数22(y x mx m =-为常数)，当12x -≤≤时，函数值y 的最小值为2-，则m 的值是（）A.32B.C.32±D.32-D【分析】先确定抛物线的对称轴为直线x =m ，解答时，分m ＜-1，-1＜m ＜2，m ＞2三种情形求解即可．【详解】解：∵二次函数22y x mx =-（m 为常数），∴抛物线的对称轴为直线x =22m--=m ，当m ＜-1时，-1＜x ＜2表示的数在对称轴的右侧，∵二次函数22y x mx =-（m 为常数）中，a =1＞0,∴在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，∴当x =-1时，函数y 取得最小值，即1+2m =-2，解得m =32-；当-1＜m ＜2时，∵二次函数22y x mx =-（m 为常数）中，a =1＞0,函数有最小值，∴当x =m 时，y 取得最小值，即222m m -=-2，解得m 或m （不在范围内，舍去）；当m ＞2时，∵二次函数22y x mx =-（m 为常数）中，a =1＞0,∴在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，∴当x =2时，函数y 取得最小值，即4-4m =-2，解得m =32，（不在范围内，舍去）综上所述，m 或32-，故选D ．【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，最值，函数的增减性，利用分类思想，灵活运用二次函数的增减性确定最值是解题的关键．10.如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，动点E ，F 分别从点A ，C 同时出发，以相同的速度分别沿AB ，CD 向终点B ，D 移动，当点E 到达点B 时，运动停止，过点B 作直线EF 的垂线BG ，垂足为点G ，连接AG ，则AG 长的最小值为（）A. B.- C.2cm D.2)cm-B【分析】根据正方形的性质得出当E 、F 运动到AB 、CD 的中点时，AG 最小解答即可．【详解】解：由题意，AE CF =，如图，连接AC 交EF 于点O ，则45EAO FCO ∠=∠=︒，AOE COF ∠=∠，AE CF =，∴()AOE COF AAS ≌，∴AO CO =，即点O 是正方形ABCD 的中心，连接BO ，则BO ==，BG EF ⊥，∴90OGB ∠=︒，∴点G 在以OB 为直径的圆上，取OB 的中点M ，连接AM ，MG ，∴12MG BM OM BO ====在运动过程中，AG AM MG ≥-(),,=A G M 当共线时，取“”号；作MNAB ⊥于N ，由45ABO ∠=︒，得BMN 是等腰直角三角形，∴1BN MN ===，∴413AN AB BN =-=-=，∴AM ==，∴AG 故选B .【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、圆的有关知识、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，根据正方形的性质得出当E 、F 运动到AB 、CD 的中点时，AG 最小是解题关键．二、填空题（共30分）11.已知函数()||234m y m x x =+－－的图像是抛物线，则m =_______．－2【分析】根据二次函数的定义列式求解．【详解】解：由题意得2m =且m －2≠0，解得m =－2．故答案为：－2．【点睛】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，a ≠0）的函数叫做二次函数．12.将抛物线()2233y x =-++以原点为中心旋转180度得到的抛物线解析式为___________．()2233y x =--【分析】求出绕原点旋转180度所得抛物线的顶点坐标，然后根据顶点式写出即可．【详解】解：∵抛物线()2233y x =-++的顶点为()33-，，绕原点旋转180度后变为()33-，，且开口相反，∴得到的抛物线解析式为()2233y x =--，故答案为：()2233y x =--．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数的图象旋转及平移的法则是解答此题的关键．13.已知二次函数2y ax bx c =++中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：x …-3-2-10…y…-2-5-6-5…则a +b +c 的值是_____．2-【分析】根据表格可求出该二次函数的对称轴为x ＝-1，然后求出（1，y ）关于x ＝-1的对称点坐标，即可求出a +b +c 的值．【详解】解：由表格可知：（-2，-5）与（0，-5）是关于对称轴对称的，∴该二次函数的对称轴为x ＝-1，设二次函数图象上的点为（1，y ），（x ，y ）由对称性可知：12x+＝-1，∴x ＝-3，∴（1，y ）与（-3，y ）关于x ＝-1对称由表格可知：x ＝-3时，y ＝-2，令x ＝1代入2++y ax bx c =，∴y ＝a +b +c ＝-2故答案为：2-．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的对称性是解题的关键．14.二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示．当0y ＞时，自变量x 的取值范围是_____．13x -＜＜【分析】利用函数图象与x 轴的一个交点坐标与对称轴方程求解另一个交点坐标，然后写出函数图象在x 轴上方所对应的自变量的范围即可．【详解】解：∵二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴的一个交点坐标为()3,0，对称轴为直线1,x =∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为()1,0-，即1x =-或=3x 时，=0y ，∴当13x -＜＜时，0y ＞．故答案为：13x -＜＜．【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，理解求函数值0y ＞时，自变量x 的取值范围，就是求当函数图象在x 轴上方时自变量的范围是关键，体现了数形结合思想．15.如图，在△AOB 中，∠AOB ＝90°，∠A ＝30°，OB ＝4，以点O 为圆心，OB 为半径画弧，分别交OA 、AB 于点C 、D ，则图中阴影部分的面积是_____（结果保留π）43π-【分析】根据题意，首先证明BD AD =，根据12ABO OCD S S S =-△阴扇形计算即可．【详解】解：9030,AOB A ∠︒∠︒＝，＝ OB ＝4，60B ∴∠︒＝，2AB OB AO ===，OB OD =∴△OBD 是等边三角形6030BOD COD OB BD ∴∠=︒∠︒，＝，＝，2AB OB OB BD ＝，＝， BD AD ∴=，2111304442223603ADO OCD ABO OCD S S S S S ππ⨯⨯∴⨯⨯-⨯-=--△△阴扇形扇形＝＝．故答案为∶433π-．【点睛】本题主要考查了扇形的面积，等边三角形的判定和性质等知识，学会添加辅助线和数据公式是解题关键．16.在半径为5cm圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为8cm，另一条弦长为6cm，则这两条弦之间的距离为_____．1cm或7cm【详解】试题分析：两种情况进行讨论：①弦A和CD在圆心同侧；②弦A和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可解：①当弦A和CD在圆心同侧时，如图，∵AB=8cm，CD=6cm，∴AE=4cm，CF=3cm，∵OA=OC=5cm，∴EO=3cm，OF=4cm，∴EF=OF-OE=1cm；②当弦A和CD在圆心异侧时，如图，∵AB=8cm，CD=6cm，∴AF=4cm，CE=3cm，∵OA=OC=5cm，∴EO=4cm，OF=3cm，∴EF=OF+OE=7cm．故答案为1cm或7cm．考点：勾股定理，垂径定理点评：本题考查了勾股定理和垂径定理，解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算．17.如图，PA，PB是⊙O是切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠BAC=25°，则∠P=_________度．50【分析】首先利用切线长定理可得PA=PB，再根据∠OBA=∠BAC=25°，得出∠ABP的度数，再根据三角形内角和求出．【详解】∵PA ，PB 是⊙O 是切线，A ，B 为切点，∴PA =PB ，∠OBP =90°，∵OA =OB ，∴∠OBA =∠BAC =25°，∴∠ABP =90°﹣25°=65°，∵PA =PB ，∴∠BAP =∠ABP =65°，∴∠P =180°﹣65°﹣65°=50°，故答案为：50．18.已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列结论：①240b ac ->；②abc >0；③8a +c >0；④9a +3b +c >0．其中，正确结论的序号为_____．①②③【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断即可．【详解】解：∵抛物线与x 轴有两个交点，∴240b ac ∆=->，故①正确；由图象可知，a >0，c <0，∵对称轴直线x =-2ba=1，∴b =-2a <0，∴abc >0，故②正确；∵对称轴x =-2ba=1时，∴b =-2a ，∵当x =-2时，y >0，∴4a -2b +c >0，∴8a +c >0，故③正确；与图象知，图象与x 轴的一个交点在-2和-1之间，∵对称轴x =1，∴图象与x 轴的另一个交点在3和4之间，∴x =3时，y <0，∴9a +3b +c <0，故④错误；故答案为：①②③．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，关键是对二次函数性质的掌握和运用．19.我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为______．289【分析】设直角三角形的三边分别为,,a b c ，较长的直角边为,a 较短的直角边为,b c 为斜边，由切线长定理可得，直角三角形的内切圆的半径等于2a b c +-，即6a b c +-=，根据小正方的面积为49，可得()249a b -=，进而计算2c 即22a b +即可求解．【详解】解：设四个全等的直角三角形的三边分别为,,a b c ，较长的直角边为,a 较短的直角边为,b c 为斜边， 直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，∴()23492a b c a b +-=-=，，∴6a b c +-=①，7a b -=②，131,22c c a b +-∴==，222a b c += ③，22213122c c c +-⎛⎫⎛⎫∴+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得=17c 或5c =-（舍去），大正方形的面积为2217289c ==，故答案为：289．【点睛】本题考查了切线长定理，勾股定理，解一元二次方程，二元一次方程组，掌握直角三角形的内切圆的半径等于2a b c +-是解题的关键．20.如图，已知抛物线24y ax bx =++与x 轴、y 轴正半轴分别交于点A 、B 、D ，且点B 的坐标为（4，0），点C 在抛物线上，且与点D 的纵坐标相等，点E 在x 轴上，且BE AB =，连接CE ，取CE 的中点F ，则BF 的长为______．A 、B 关于对称轴对称，C 、D 关于对称轴对称得到，连结AC ，由中位线定理得AC=2BF ，求出AC 长即可得解．【详解】∵点C 在抛物线上，且与点D 的纵坐标相等，D （0，4），B （4，0），∴BD =∵A 、B 关于对称轴对称，C 、D 关于对称轴对称，∴AC ＝BD ＝，连AC ，BE=AB ，CE 的中点是F ，∴BF ＝12AC ＝．故答案为：．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征及中位线定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．三、解答题（共70分）21.用配方法或者公式法求下列函数的顶点坐标（1）281y x x =++（2）223y x x=-+（1）()4,15--；（2）39,48⎛⎫ ⎪⎝⎭．【分析】（1）根据配方法将函数解析式化为顶点式，即可写出该函数的顶点坐标；（2）根据顶点坐标公式，可以计算出该函数顶点的横纵坐标，即可写出该函数的顶点坐标．【小问1详解】解：()2281415y x x x =++=+-，∴该函数的顶点坐标为()4,15--；【小问2详解】解：∵223y x x =-+，∴2a =-，3b =，0c =，∴顶点横坐标33244b x a =-=-=-，纵坐标()()224203494428ac b y a ⨯-⨯--===⨯-，∴该函数的顶点坐标为39,48⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查二次函数的最值，解答本题的关键是会用配方法和公式法求二次函数的顶点坐标．22.已知某二次函数的图象的顶点为()2,2-，且过点()1,3-．（1）求此二次函数的关系式．（2）判断点()1,9P 是否在这个二次函数的图象上，并说明理由．（1）()222y x =++；（2）点()1,9P 不在这个二次函数的图象上，理由见解析．【分析】（1）由题意，设二次函数的解析式是()222y a x =++，再把点()1,3-代入，即可求出a ，即可得出解析式；（2）把点P 的坐标分别代入，看看两边是否相等即可．【详解】解：（1）由顶点()2,2-，可设关系式为：()222y a x =++，将点()1,3-代入上式可得：()21223a -++=，解得：1a =，∴此二次函数的关系式为()222y x =++．（2）点()1,9P 不在这个二次函数的图象上．∵当1x =时，()2122119y =++=≠，∴点()1,9P 不在这个二次函数的图象上．【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征的应用，能正确求出函数的解析式是解此题的关键．23.如图，ABC 与O 交于D ，E 两点，AB 是直径且长为12，∥OD BC ．（1）证明：CD DE =；（2）若4=AD ，求CE 的长度．（1）见解析；（2）83CE =【分析】（1）根据圆内接四边形的性质，以及平角的性质，平行的性质，进行角度的转化，求得C DEC ∠=∠，进而证明CD =DE ；（2）连接OE ，AE ，在Rt ABE 与Rt ACE 中，设CE x =，根据222222,AE AC CE AE AB EB =-=-，列出方程解方程即可求得CE ．【详解】解：（1）证明：∵四边形ABED 内接于O ，∴180DEB A ∠+∠=︒．∵180DEB CED ∠+∠=︒，∴DEC A ∠=∠．∵∥OD BC ，∴C ADO ∠=∠．∵OA OD =，∴A ADO ∠=∠．∴C DEC ∠=∠，∴CD DE =．（2）连接OE ，AE ，由（2）得AB =BC =12∴∠AOE =2∠B ，∠B =∠AOD∴∠AOE =2∠AOD∴∠AOD =∠DOE ∴AD =DE∴AC =2AD =8∵AB 是直径：∠AEB =90°在Rt ABE 与Rt ACE 中，222222,AE AC CE AE AB EB =-=-设CE =x ，则BE =12-x∴AC 2-CE 2=AB 2-BE 2即2222812(12)x x -=--．解得：83x =．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，平行线的性质，勾股定理，圆周角定理，掌握以上知识是解题的关键．24.如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (-1,3)，B (-4,0)，C (0,0)（1）写出△ABC 的外心坐标；（2）将△ABC 绕原点O 顺时针方向旋转90°得到11A B O ，画出11A B O（3）在（2）的基础上，求A 旋转路径的长度（1）()2,1-（2）见解析（3）102【分析】（1）根据网格的特点，作,AB OB 的垂直平分线DE ，FG 交于点()2,0-，即△ABC 的外心坐标为()2,1-；（2）分别作出点A 、B 绕原点O 顺时针方向旋转90°得到的对应点，再顺次连接即可得；（3）根据弧长公式计算可得；【小问1详解】如图所示，取,AB OB 的垂直平分线DE ，FG 交于点()2,1-，即△ABC 的外心坐标为()2,1-，故答案为：()2,1-；【小问2详解】如图所示，11A B O 即为所求；【小问3详解】解：∵190OA AOA ==∠=︒，∴A 点旋转到1A 点所经过的路径长为901802ππ⋅=．【点睛】本题考查了求三角形的外心坐标，画旋转图形，勾股定理与网格，求弧长，综合运用以上知识是解题的关键．25.已知二次函数2232y x x m =+﹣﹣：（1）若二次函数图象与x 轴有交点，求m 的取值范围．（2）当二次函数的图象经过点16（﹣，）时，确定m 的值，并求出此二次函数与坐标轴的交点坐标．（1）258m ≥-（2）=3m ；函数与y 轴交于（0，1），函数与x 轴交于10（，）或12（．【分析】（1）根据二次函数图像与x 轴有交点，可得判别式的取值范围，将系数代入求解即可；（2）将点-16（，）代入函数表达式即可求出m 的值，再分别求出当=0x 时y 的值以及当=0y 时x 的值即可．【小问1详解】解：∵函数与x 轴有交点∴2=3820m --≥ （），∴258m ≥-，【小问2详解】∵图象经过点-16（，），∴236m ++=，得=3m ，∴2231y x x =-+，当=0x 时，=1y ，函数与y 轴交于（0，1），当=0y 时，=1x 或12，函数与x 轴交于10（，）或12（，0）．【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系以及用待定系数法求解函数表达式，熟练掌握根一元二次方程根的情况与二次函数与x 轴交点个数的关系是解题的关键．26.如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠C ＝90°，以AD 为直径的⊙O 与BC 相切于点E ，交CD 于点F ，连接DE ．（1）证明：DE 平分∠ADC ；（2）已知AD ＝4，设CD 的长为x （2＜x ＜4）．①当x ＝2.5时，求弦DE 的长度；②当x 为何值时，DF •FC 的值最大？最大值是多少？（1）见解析；（210；②x ＝3时，DF •CF 的值最大，最大值为2【分析】（1）连接OE ，根据已知可推出AB ∥OE ∥CD ，可得∠OED ＝∠CDE ，再根据OD ＝OE ，可得∠OED ＝∠ODE ，即可证明；（2）①连接AF 交OE 于H ，由现有条件可推出AB ＝1.5，然后可证四边形ABCF 是矩形，可得AH ＝FH ，AB ＝CF ＝HE ＝1.5，OH ＝OE ﹣EH ＝0.5，可得AH 22AO OH -()2220.5-152，根据勾股定理即可得出答案；②设AB ＝CF ＝m ，根据OE ＝12（AB +CD ），可得x +m ＝4，即可得DF •CF 的函数表达式，根据函数的性质即可得出答案．【详解】（1）证明：如图，连接OE ，∵BC 是⊙O 的切线，∴OE ⊥BC ，∵AB ∥CD ，∠C ＝90°，∴∠B ＝90°，∴AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，∴AB ∥OE ∥CD ，∴∠OED ＝∠CDE ，∵OD ＝OE ，∴∠OED ＝∠ODE ，∴∠ODE ＝∠CDE ，∴ED 平分∠ADC ；（2）①连接AF 交OE 于H ，∵AB ∥OE ∥CD ，AO ＝OD ，∴BE ＝EC ，∴OE ＝12（AB +CD ），∵OE ＝2，CD ＝2.5，∴AB ＝1.5，∵AD是⊙O的直径，∴∠AFD＝90°，∵∠B＝∠C＝9°，∴四边形ABCF是矩形，∴AF∥BC，∵OE⊥BC，∴OE⊥AF，∴AH＝FH，AB＝CF＝HE＝1.5，∴OH＝OE﹣EH＝0.5，∴AH 15 2，∴AH＝FH＝CE＝2，∴DE；②设AB＝CF＝m，∵OE＝12（AB+CD），∴x+m＝4，∴m＝4﹣x，∴DF•CF＝（（4﹣x）（2x﹣4）＝﹣2x2+12x﹣16＝﹣2（x﹣3）2+2，∵﹣2＜0，∴x＝3时，DF•CF的值最大，最大值为2．【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，掌握知识点是解题关键．27.如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）在第三象限内，F 为抛物线上一点，以A 、E 、F 为顶点的三角形面积为3，求点F 的坐标；（3）点P 从点D 出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t 秒，当t 为何值时，以P 、B 、C 为顶点的三角形是直角三角形？直接写出所有符合条件的t 值．（1）y=﹣x 2﹣2x+3（2）点F 的坐标为（3212-，3212--）（3）当t 为43秒或2秒或3秒或143秒时，以P 、B 、C 为顶点的三角形是直角三角形．【分析】【详解】（1）先由直线AB 的解析式为y=x+3，求出它与x 轴的交点A 、与y 轴的交点B 的坐标，再将A 、B 两点的坐标代入y=﹣x 2+bx+c ，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式．∵y=x+3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，∴当y=0时，x=﹣3，即A 点坐标为（﹣3，0），当x=0时，y=3，即B 点坐标为（0，3）．将A （﹣3，0），B （0，3）代入y=﹣x 2+bx+c ，得93b c 0{c 3--+==，解得b 2{c 3=-=．∴抛物线的解析式为y=﹣x 2﹣2x+3．（2）设第三象限内的点F 的坐标为（m ，﹣m 2﹣2m+3），运用配方法求出抛物线的对称轴及顶点D 的坐标，再设抛物线的对称轴与x 轴交于点G ，连接FG ，根据S △AEF =S △AEG +S △AFG ﹣S △EFG =3，列出关于m 的方程，解方程求出m 的值，进而得出点F 的坐标．如图1，设第三象限内的点F 的坐标为（m ，﹣m 2﹣2m+3），则m ＜0，﹣m 2﹣2m+3＜0．∵y=﹣x 2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，∴对称轴为直线x=﹣1，顶点D 的坐标为（﹣1，4）．设抛物线的对称轴与x 轴交于点G ，连接FG ，则G （﹣1，0），AG=2．∵直线AB 的解析式为y=x+3，∴当x=﹣1时，y=﹣1+3=2．∴E 点坐标为（﹣1，2）．∵S △AEF =S △AEG +S △AFG ﹣S △EFG =12×2×2+12×2×（m 2+2m ﹣3）﹣12×2×（﹣1﹣m ）=m 2+3m ，∴以A 、E 、F 为顶点的三角形面积为3时，m 2+3m=3，解得m 1=32-+，m 2=32--（舍去）．当m=32-+时，﹣m 2﹣2m+3=﹣m 2﹣3m+m+3=﹣3+m+3=m=32-+．∴点F 的坐标为（3212-+，3212-+）．（3）方法1：设P 点坐标为（﹣1，n ），．∵B （0，3），C （1，0），∴BC 2=12+32=10．分三种情况：①如图2，如果∠PBC=90°，那么PB 2+BC 2=PC 2，即（0+1）2+（n ﹣3）2+10=（1+1）2+（n ﹣0）2，化简整理得6n=16，解得n=83．∴P 点坐标为（﹣1，83）．∵顶点D 的坐标为（﹣1，4），∴PD=4﹣83=43．∵点P 的速度为每秒1个单位长度，∴t 1=43秒．②如图3，如果∠BPC=90°，那么PB 2+PC 2=BC 2，即（0+1）2+（n ﹣3）2+（1+1）2+（n ﹣0）2=10，化简整理得n 2﹣3n+2=0，解得n=2或1．∴P 点坐标为（﹣1，2）或（﹣1，1），∵顶点D 的坐标为（﹣1，4），∴PD=4﹣2=2或PD=4﹣1=3．∵点P 的速度为每秒1个单位长度，∴t 2=2秒，t 3=3秒．③如图4，如果∠BCP=90°，那么BC 2+PC 2=PB 2，即10+（1+1）2+（n ﹣0）2=（0+1）2+（n ﹣3）2，化简整理得6n=﹣4，解得n=23-．∴P 点坐标为（﹣1，23-）．∵顶点D 的坐标为（﹣1，4），∴PD=4+23=143．∵点P 的速度为每秒1个单位长度，∴t 4=143秒．方法2：以BC 的中点为圆心，BC 为直径画圆，与抛物线的对称轴交于点2P ，3P ，分别过点B ，C 作BC 的垂线与抛物线的对称轴交于点1P ，4P ，当点P 分别运动到以上四个点的位置时，以P ，B ，C 为顶点的三角形是直角三角形．①如图所示，过点B 作BH DE ⊥，垂足为点H ，易得1BCO BPH ，∴1BO CO BH PH =．∴113PH =．∴1114133DP DH PH =+=+=．∵点P 的速度为每秒1个单位长度，∴143t =秒．②如图所示，设抛物线的对称轴与x 轴交于点Q ，易得4C BCO P Q ，∴4BO CO CQ P Q=．∴423P Q =．∴44214433DP DQ P Q =+=+=．∵点P 的速度为每秒1个单位长度，∴2143t =．③如图所示，设BC 的中点为M ，过点M 作MN DE ⊥，垂足为点N ，并连接2MP ，3MP ，∴2311110222MP MP BC BC ====，32MN =．∴在2Rt MNP 与3Rt MNP 中，22231031222NP NP ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．∴2251222DP DN NP =-=-=，3351322DP DN NP =+=+=．∵点P 的速度为每秒1个单位长度32t =秒，43t =秒．综上所述，当t 为43秒或2秒或3秒或143秒时，以P 、B 、C 为顶点的三角形是直角三角形．28.面直角坐标系中，O 为原点，点(12,0)A ，点(0,5)B ，线段AB 的中点为点C ．将ABO 绕着点B 逆时针旋转，点O 对应点为1O ，点A 的对应点为1A ．（1）如图①，当点1O 恰好落在AB 上时，①此时1CO 的长为__________；②点P 是线段OA 上的动点，旋转后的对应点为1P ，连接11,BP PO ，试求11BP PO +最小时点P 的坐标；（2）如图②，连接11,CA CO ，则在旋转过程中，11CAO △的面积是否存在最大值？若存在，直接写出最大值，若不存在，说明理由．（1）①1.5②20,07⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）存在最大值，最大值为69【分析】（1）①利用勾股定理求出AB ，可得结论．②如图2中，连接AA 1，OO 1．利用相似三角形的性质解决问题即可．（2）因为O 1A 1=12是定值，直线O 1A 1与B 为圆心，OB 为半径的圆相切，当CO 1最大时，△O 1A 1C 的面积最大．【小问1详解】解：①∵点(12,0)A ，点(0,5)B ，∴OA =12，OB =5，∴AB 13==，∵线段AB 的中点为点C ，∴BC =6.5，由旋转可得，BO 1=OB =5，∴O 1C =BC -BO 1=6.5-5=1.5，故答案为：1.5；②作点B 关于x 轴的对称点1B ，连接1111,,,BP PO PB O B ，过点1O 作1O G OB ⊥于G ，则1BP PB =，∴111BP PO PB PO +=+，由对称性可知，111PB PO PB PO +=+，∴11O B 与x 轴的交点即为所求的点P ，∵OG OA ∥，∴1BGO BOA △∽△，∴11BO GO BG BA AO BO==，∵1(0,5)-B ，∴1513125GO BG ==，∴16013GO =，2513BG =，∴254051313OG =-=，∴16040,1313O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，易求得直线11O B 的解析式为754y x =-，令0y =，得207x =，∴满足条件的点P 的坐标为20,07⎛⎫⎪⎝⎭；【小问2详解】解：如图，因为O 1A 1=12是定值，直线O 1A 1与B 为圆心，OB 为半径的圆相切，当CO 1最大时，△O 1A 1C 的面积最大，面积最大时，O 1在CB 的延长线时，此时CO 1=5+6.5=11.5，∴△O 1A 1C 的面积的最大值=11112O C O A ⋅=112 6.5692⨯⨯=∴的面积存在最大值，最大值为69．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．。

东胜一中初三年级2022-2023学年第一学期期中试题（数学）一．选择题（共13小题）1．在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形是（ ）A．B．C．D．解析：解：A、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；B、此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，∴此图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误．C、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形是轴对称图形，旋转180°不能与原图形重合，不是中心对称图形，故此选项错误；D、此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，∴此图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．故选：A．2．将抛物线y＝﹣2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）A．y＝﹣2（x+2）2+3B．y＝﹣2（x﹣2）2+3C．y＝﹣2（x﹣2）2﹣3D．y＝﹣2（x+2）2﹣3解析：解：将抛物线y＝﹣2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣2）2+3，故选：B．3．直线y＝x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1＝0实数解的个数是（ ）A．0个B．1个C．2个D．1个或2个解析：解：∵直线y＝x+a不经过第二象限，∴a≤0，当a＝0时，关于x的方程ax2+2x+1＝0是一元一次方程，解为x＝﹣，当a＜0时，关于x的方程ax2+2x+1＝0是一元二次方程，∵Δ＝22﹣4a＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：D．4．已知二次函数y＝ax2+bx+c，其函数值y与自变量x之间的部分对应值如表所示：x…01234￿y…﹣4﹣10﹣1﹣4￿点A（x1，y1），B（x2，y2）在函数的图象上，当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，y1与y2的大小关系正确的是（ ）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1⩾y2D．y1⩽y2解析：解：设该二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），∵x＝0时y＝﹣4；x＝1时y＝﹣1；x＝2时y＝0，∴，解得，，∴此抛物线的解析式为：y＝x2+4x﹣4，∴抛物线开口向下，对称轴x＝﹣2，对称轴越近值越小，∴可知抛物线顶点为（﹣2，8），∵1＜x1＜2，3＜x2＜4，∴y1＜y2．故选：B．5．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ）A．200（1+x）2＝1000B．200+200×2x＝100C．200+2003x＝1000D．200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000解析：解：∵该超市一月份的营业额为200万元，且平均每月增长率为x，∴该超市二月份的营业额为200（1+x）万元，三月份的营业额为200（1+x）2万元，又∵第一季度的总营业额共1000万元，∴200+200（1+x）+200（1+x）2＝1000，即200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000．故选：D．6．下列命题中，真命题的个数是（ ）①经过三点一定可以作圆；②平分弦的直径必定垂直于这条弦；③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；④三角形的外心到三角形三边的距离相等．A．4个B．3个C．2个D．1个解析：解：①过不在同一直线上的三点一定可以作一个圆，错误；②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故错误，③同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，正确；④三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，错误；真命题有1个，故选：D．7．已知二次函数y＝ax2+2ax+1（其中x是自变量），当x≥1时，y随x的增大而增大，且﹣3≤x≤2时，y的最大值为9，则a的值为（ ）A．﹣1B．C．1D．﹣8解析：解：∵二次函数y＝ax2+2ax+1＝a（x+1）2﹣a+1（其中x是自变量），∴该函数的对称轴为直线x＝﹣1，∵当x≥1时，y随x的增大而增大，∴a＞0，又∵当﹣3≤x≤2时，y的最大值为9，∴x＝2时，y＝9，即9＝a（2+1）2﹣a+1，解得，a＝﹣1，故选：C．8．函数y＝ax2﹣2x+1和y＝ax+a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A．B．C．D．解析：解：A、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象应该开口向下，故选项错误；B、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象应该开口向下，故选项错误；C、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x＝﹣＞0，故选项正确；D、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的对称轴x＝﹣＜0，故选项错误．故选：C．9．如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．若点D与圆心O不重合，∠BAC＝24°，则∠DCA的度数为（ ）A．40°B．41°C．42°D．43°解析：解：如图，连接BC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠B＝90°，∵∠BAC＝24°，∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣24°＝66°，根据翻折的性质，弧AC所对的圆周角为∠B，所对的圆周角为∠ADC，∴∠ADC+∠B＝180°，∵∠ADC+∠CDB＝180°，∴∠B＝∠CDB＝66°，∴∠DCA＝∠CDB﹣∠BAC＝66°﹣24°＝42°．故选：C．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，CD⊥AB，垂足为点D，动点M从点A 出发沿AB方向以cm/s的速度匀速运动到点B，同时动点N从点C出发沿射线DC方向以1cm/s的速度匀速运动．当点M停止运动时，点N也随之停止，连接MN．设运动时间为ts，△MND的面积为Scm2，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）A．B．C．D．解析：解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，∴∠B＝60°，BC＝AB＝2，AC＝BC＝6，∵CD⊥AB，∴CD＝AC＝3，AD＝CD＝3，BD＝BC＝，∴当M在AD上时，0≤t≤3，MD＝AD﹣AM＝3﹣t，DN＝DC+CN＝3+t，∴S＝MD•DN＝（3﹣t）（3+t）＝﹣t2+，当M在BD上时，3＜t≤4，MD＝AM﹣AD＝t﹣3，∴S＝MD•DN＝（t﹣3）（3+t）＝t2﹣，故选：B．二．填空题（共6小题）11．已知函数y＝（m+2）-2是关于x的二次函数．满足条件的m＝　﹣3或2　．解析：解：由题意得：m2+m﹣4＝2且m+2≠0，∴m＝﹣3或m＝2且m≠﹣2，∴m＝﹣3或2，故答案为：﹣3或2．12．已知关于x的方程k2x2+2（k﹣1）x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是k≤且k≠0解析：解：根据题意得k≠0且Δ＝4（k﹣1）2﹣4k2≥0，解得k≤且k≠0．13．在同一个平面直角坐标系xOy中，二次函数y1＝a1x2，y2＝a2x2，y3＝a3x2的图象如图所示，则a1，a2，a3的大小关系为　a3＞a2＞a1　（用“＞”连接）．解析：解：∵二次函数y1＝a1x2的开口最大，二次函数y3＝a3x2的开口最小，∴a3＞a2＞a1，故答案为：a3＞a2＞a1．14．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y＝﹣（x﹣4）2+3，由此可知铅球推出的距离是　10　m．解析：解：令函数式y＝﹣（x﹣4）2+3中，y＝0，0＝﹣（x﹣4）2+3，解得x1＝10，x2＝﹣2（舍去），即铅球推出的距离是10m．故答案为：10．15．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝﹣1，下列结论：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③3a＜﹣c；④若m为任意实数，则有a﹣bm≤am2+b；⑤若图象经过点（﹣3，﹣2），方程ax2+bx+c+2＝0的两根为x1，x2（|x1|＜|x2|），则2x1﹣x2＝5．其中结论正确的是②③⑤解析：解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴在y轴左侧，∴b＜0，∵抛物线与x轴交点在y轴上方，∴c＞0，∴abc＞0，①错误．∵﹣＝﹣1，∴b＝2a，∴2a﹣b＝0，②正确．由图象可得x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，∴3a+c＜0，∴3a＜﹣c，③正确．∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，∴当x＝﹣1时，y取最大值，∴a﹣b+c≥am2+bm+c，∴a﹣bm≥am2+b，④错误．若图象经过点（﹣3，﹣2），由抛物线对称性可得图象经过（1，﹣2），∵|x1|＜|x2|，∴x1＝1，x2＝﹣3为方程ax2+bx+c+2＝0的两根，∴2x1﹣x2＝﹣5，⑤正确．16．如图，正方形ABCD的中心与坐标原点O重合，将顶点D（1，0）绕点A（0，1）逆时针旋转90°得点D1，再将D1绕点B逆时针旋转90°得点D2，再将D2绕点C逆时针旋转90°得点D3，再将D3绕点D逆时针旋转90°得点D4，再将D4绕点A逆时针旋转90°得点D5……依此类推，则点D2022的坐标是　（﹣2023，2022）　．解析：解：∵将顶点D（1，0）绕点A（0，1）逆时针旋转90°得点D1，∴D1（1，2），∵再将D1绕点B逆时针旋转90°得点D2，再将D2绕点C逆时针旋转90°得点D3，再将D3绕点D逆时针旋转90°得点D4，再将D4绕点A逆时针旋转90°得点D5……∴D2（﹣3，2），D3（﹣3，﹣4），D4（5，﹣4），D5（5，6），D6（﹣7，6），……，观察发现：每四个点一个循环，D4n+2（﹣4n﹣3，4n+2），∵2022＝4×505+2，∴D2022（﹣2023，2022）；故答案为：（﹣2023，2022）．三．解答题（共9小题）17．解下列方程．（Ⅰ）x（3x+2）＝6（3x+2）；（Ⅱ）3x2﹣2x﹣4＝0．解析：解：（Ⅰ）x（3x+2）＝6（3x+2），x（3x+2）﹣6（3x+2）＝0，（3x+2）（x﹣6）＝0，3x+2＝0或x﹣6＝0，所以x1＝﹣，x2＝6；（Ⅱ）3x2﹣2x﹣4＝0，∵Δ＝（﹣2）2﹣4×3×（﹣4）＝4+48＝52，∴x＝＝＝，∴x1＝，x2＝．18．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+3m＝0．（1）若x＝1是这个方程的一个根，求m的值和它的另一根；（2）求证：无论m取任何实数，方程总有实数根；解析：（1）解：将x＝1代入原方程得：1﹣（m+3）+3m＝0，解得：m＝1，∴方程的另一根为3m÷1＝3m．∴m的值为1，方程的另一根为3．（2）证明：Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4×1×3m＝m2﹣6m+9＝（m﹣3）2．∵（m﹣3）2≥0，即Δ≥0，∴无论m取任何实数，方程总有实数根；19．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△ABC的三个顶点A（﹣2，2），B（0，5），C（0，2）．（1）将△ABC以点C为旋转中心顺时针旋转90°，得到△A1B1C，请画出△A1B1C的图形．（2）平移△A1B1C，使点A1的对应点A2坐标为（2，0），请画出平移后对应的△A2B2C2的图形．（3）若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．解析：解：（1）如图，△A1B1C即为所求．（2）如图，△A2B2C2即为所求．（3）如图，点（﹣1，﹣1）即为所求．20．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大．解析：解：设涨价x元，利润为y，则y＝（60﹣40+x）（300﹣10x）＝﹣10x2+100x+6000＝﹣10（x﹣5）2+6250因此当x＝5时，y有最大值6250．60+5＝65元每件定价为65元时利润最大．设每件降价a元，总利润为w，则w＝（60﹣40﹣a）（300+20a）＝﹣20a2+100a+6000＝﹣20（a﹣2.5）2+6125因此当a＝2.5时，w有最大值6125．每件定价为57.5元时利润最大．综上所知每件定价为65元时利润最大．21．为促进经济发展，方便居民出行．某施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道．抛物线的最高点P 离路面OM的距离为6m，宽度OM为12m．（1）按如图所示的平面直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式；（2）一货运汽车装载某大型设备后高为4m，宽为3.5m．如果该隧道内设双向行车道（正中间是一条宽1m的隔离带），那么这辆货车能否安全通过？（3）施工队计划在隧道口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A，D点在抛物线上．B，C点在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆AB，AD，DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．解析：解：（1）根据题意，顶点P的坐标为（6，6），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2+6，把点O（0，0）代入得：36a+6＝0，解得：，即所求抛物线的解析式为：（0≤x≤12）；（2）根据题意，当x＝6﹣0.5﹣3.5＝2时（或者当x＝6+0.5+3.5＝10）时，，∴这辆货车不能安全通过；（3）设A点的坐标为，则OB＝m，，根据抛物线的对称性可得CM＝OB＝m，∴BC＝12﹣2m，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝12﹣2m，，∴三根支杆AB，AD，DC的长度之和：＝，∴当m＝3，即OB＝3米时，三根支杆AB，AD，DC的长度之和的最大值为15．22．已知⊙O的直径为10，点A、点B、点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．（1）如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC、BD、CD的长；（2）如图②，若∠CAB＝60°，求BD的长．解析：解：（1）如图①，∵BC是⊙O的直径，∴∠CAB＝∠BDC＝90°．∵在直角△CAB中，BC＝10，AB＝6，∴由勾股定理得到：AC＝＝＝8．∵AD平分∠CAB，∴＝，∴CD＝BD．在直角△BDC中，BC＝10，CD2+BD2＝BC2，∴易求BD＝CD＝5；（2）如图②，连接OB，OD，∵AD平分∠CAB，且∠CAB＝60°，∴∠DAB＝∠CAB＝30°，∴∠DOB＝2∠DAB＝60°．又∵OB＝OD，∴△OBD是等边三角形，∴BD＝OB＝OD．∵⊙O的直径为10，则OB＝5，∴BD＝5．23．（原题初探）（1）小明在数学作业本中看到有这样一道作业题：如图1，P是正方形ABCD内一点，连结PA，PB，PC现将△PAB绕点B顺时针旋转90°得到的△P′CB，连接PP′．若PA＝，PB＝3，∠APB＝135°，则PC的长为　2　，正方形ABCD的边长为 ．（变式猜想）（2）如图2，若点P是等边△ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，请猜想∠APB的度数，并说明理由．（拓展应用）（3）聪明的小明经过上述两小题的训练后，善于反思的他又提出了如下的问题：如图3，在四边形ABCD中，AD＝3，CD＝2，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长度为 ．解析：解：（1）∵△PAB绕点B顺时针旋转90°得到的△P′CB，∴BP＝BP′＝3，P′C＝PA＝，∠PBP′＝90°，∠BP′C＝∠APB＝135°，∴△BPP′为等腰直角三角形，∴∠BP′P＝45°，PP′＝PB＝3，∴∠PP′C＝135°﹣45°＝90°，在Rt△PP′C中，由勾股定理得：PC＝＝＝2，过点A作AE⊥BP交BP的延长线于E，如图1所示：∵∠APB＝135°，∴∠APE＝180°﹣135°＝45°，∴△AEP是等腰直角三角形，∴AE＝PE＝PA＝×＝1，∴BE＝PB+PE＝3+1＝4，在Rt△AEB中，由勾股定理得：AB＝＝＝，故答案为：2，；（2）∠APB的度数为150°，理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝60°，将△BPC绕点B逆时针旋转60°，得到△BP′A，连接PP′，如图2所示：则△BPP′是等边三角形，∴PP′＝BP＝4，∠BPP′＝60°，∵AP＝3，AP′＝PC＝5，∴P'P2+AP2＝AP'2，∴△APP′为直角三角形，∴∠APP′＝90°，∴∠APB＝∠APP′+∠BPP′＝90°+60°＝150°；（3）∵∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，∴△BAC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝90°，AB＝AC，将△ABD绕点A顺时针旋转90°，得到△ACK，连接DK，如图3所示：由旋转的性质得：AK＝AD＝3，CK＝BD，∠KAD＝90°，∴△DAK是等腰直角三角形，∴DK＝AD＝3，∠ADK＝45°，∴∠CDK＝∠ADC+∠ADK＝45°+45°＝90°，∴△CDK是直角三角形，∴CK＝＝＝，∴BD＝，故答案为：．24．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A（﹣4，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数关系式；（2）点P是抛物上第三象限内的一动点，当点P运动到什么位置时，四边形ABCP的面积最大？求出此时点P的坐标和四边形ABCP的面积；（3）点M在抛物线对称轴上，点N是平面内一点，是否存在这样的点M、N，使得以点M、N、B、C 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解析：解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A（﹣4，0）、B（3，0）两点，∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4；（2）如图，设点P的坐标为（m，m2+m﹣4），则﹣4＜m＜0，m2+m﹣4＜0．连接OP．∵S四边形ABCP＝S△AOP+S△COP+S△BOC＝×4（﹣m2﹣m+4）+×4（﹣m）+×4×3＝﹣m2﹣m+14＝﹣（m+2）2+，∴当m＝﹣2时，四边形ABCP的面积最大，最大值为，此时点P的坐标为（﹣2，﹣）；（3）存在这样的点M、N，能够使得以点M、N、B、C为顶点的四边形是菱形．理由如下：∵OB＝3，OC＝4，∠BOC＝90°，∴BC＝＝5．设M点的坐标为（﹣，y），分两种情况讨论：（i）以BC为边长时，如果四边形CBMN是菱形，那么BM＝BC，即（3+）2+y2＝25，解得y＝±，即存在M（﹣，）或（﹣，﹣），能够使以点M、N、B、C为顶点的四边形是菱形；如果四边形BCMN是菱形，那么CM＝BC，即（0+）2+（y+4）2＝25，整理，得4y2+32y﹣35＝0，解得y＝﹣4±，即存在M（﹣，﹣4+）或（﹣，﹣4﹣），能够使以点M、N、B、C为顶点的四边形是菱形；（ii）以BC为对角线时，四边形MCNB是菱形，则BM＝CM，即（3+）2+y2＝（0+）2+（y+4）2，解得y＝﹣，即存在M（﹣，﹣），能够使以点M、N、B、C为顶点的四边形是菱形；综上可知，存在这样的点M、N，使得以点M、N、B、C为顶点的四边形是菱形，此时点M的坐标为：M1（﹣，），M2（﹣，﹣4+），M3（﹣，﹣），M4（﹣，﹣4﹣），M5（﹣，﹣）．。