2019年高考数学一轮复习： 第10章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第6节 几何概型学案 理 北师大版

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第2节排列与组合【选题明细表】知识点、方法题号排列1,5，12组合2，7排列与组合的综合应用3,4,6,8,9,10，11，13，14基础巩固（时间：30分钟)1。

(2017·濮阳市一模）某电视台曾在某时间段连续播放5个不同的商业广告，现在要在该时间段只保留其中的2个商业广告,新增播一个商业广告与两个不同的公益宣传广告,且要求两个公益宣传广告既不能连续播放也不能在首尾播放,则不同的播放顺序共有( B ）（A)60种（B)120种（C）144种 (D)300种解析:要在该时间段只保留其中的2个商业广告，有=20种方法，增播一个商业广告,利用插空法有3种方法,再在2个空中,插入两个不同的公益宣传广告，共有2种方法,根据分步乘法计数原理,共有20×3×2=120种方法.故选B。

2.(2017·太原市一模）现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各三张，从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张,不同的取法种数为（ C )(A）135 (B)172 （C)189 （D)162解析：由题意，不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张,有4种取法,两张红色卡片,共有种取法，故所求的取法共有—4-=189种.故选C。

第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理[考纲传真] (教师用书独具)1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题．(对应学生用书第169页)[基础知识填充]1．分类加法计数原理完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1m2种方法，…，在第n类办法中有m n种方法．那么，完成这件事共有(也称加法原理)2．分步乘法计数原理完成一件事需要经过n m2种方法，…，做第n步有m n3区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任何一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．( )(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．( )(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．( )(4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．( )[答案](1)×(2)√(3)√(4)×2．(教材改编)从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数有( )A．30 B．20 C．10 D．6D[从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两数和为偶数可分为两类：①取出的两数都是偶数，共有3种方法；②取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由分类加法计数原理得共有N＝3＋3＝6种．]3．书架的第1层放有4本不同的语文书，第2层放有5本不同的数学书，第3层放有6本不同的体育书．从第1,2,3层分别各取1本书，则不同的取法种数为( )A．3 B．15C．21 D．120D[由分步乘法计数原理知，从第1,2,3层各取1本书，不同的取法种数为4×5×6＝120.故选D．]4．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋b i，其中虚数有( ) A．30个B．42个C．36个D．35个C[∵a＋b i为虚数，∴b≠0，即b有6种取法，a有6种取法，由分步乘法计数原理知可以组成6×6＝36个虚数．]5．如图10­1­1，从A城到B城有3条路；从B城到D城有4条路；从A城到C城有4条路；从C城到D城有5条路，则某旅客从A城到D城共有________条不同的路线．图10­1­132 [不同路线共有3×4＋4×5＝32(条)．](1)7 (2)13[(1)至少买其中一本的实质是买一本或买两本或买三本，故分三类完成．第一类：买一本有3种；第二类：买两本有3种；第三类：买三本有1种．共有3＋3＋1＝7(种)买法．(2)①当a＝0时，有x＝－b2，b＝－1,0,1,2，有4种可能；②当a≠0时，则Δ＝4－4ab≥0，ab≤1，(ⅰ)当a＝－1时，b＝－1,0,1,2，有4种可能；(ⅱ)当a＝1时，b＝－1,0,1，有3种可能；(ⅲ)当a＝2时，b＝－1,0，有2种可能．所以有序数对(a，b)共有4＋4＋3＋2＝13个．]根据题目特点恰当选择一个分类标准分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，且只能属于某一类即标准明确，不重不漏[跟踪训练] 椭圆m ＋n＝1的焦点在x轴上，且m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，则这样的椭圆的个数为________.【导学号：79140337】10 [因为焦点在x轴上，所以m>n.以m的值为标准分类，可分为四类：第一类，m＝5时，使m>n，n有4种选择；第二类，m＝4时，使m>n，n有3种选择；第三类，m＝3时，使m>n，n有2种选择；第四类，m＝2时，使m>n，n有1种选择．由分类加法原理知，符合条件的椭圆共有4＋3＋2＋1＝10个．](1)(2016·全国卷Ⅱ)如图10­1­2，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )图10­1­2A．24 B．18C．12 D．9(2)从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，则可组成________个不同的二次函数，其中偶函数有________个(用数字作答)．(1)B(2)18 6[(1)分两步，第一步，从E→F，有6条可以选择的最短路径；第二步，从F→G，有3条可以选择的最短路径．由分步乘法计数原理可知有6×3＝18条可以选择的最短路程．(2)一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c 的取法有2种，由分步乘法计数原理知共有3×3×2＝18(个)二次函数．若二次函数为偶函数，则b ＝0，同上可知共有3×2＝6(个)偶函数．] 要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这件事对完成每一步的不同方法数要根据条件准确确定[跟踪训练乘坐电梯上楼，其中2人恰好乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有________种(用数字作答)．(2)设集合A ＝{－1,0,1}，B ＝{0,1,2,3}，定义A *B ＝{(x ，y )|x ∈A ∩B ，y ∈A ∪B }，则A *B 中元素的个数为________．(1)36 (2)10 [(1)从3人中选择两人同乘一部电梯有C 23＝3种选择，这两人乘坐的电梯有4种选择，最后1个乘坐的电梯有3种选择，所以不同的乘坐方式有3×4×3＝36种．(2)易知A ∩B ＝{0,1}，A ∪B ＝{－1,0,1,2,3}，图10­1­3A ．24B ．48C ．72D ．96(1)D (2)C [(1)个位数字是2或6时，不同的偶数个数为C 12·A 552＝120；个位数字是4，不同的偶数个数为A55＝120，则不同的偶数共有120＋120＝240个，故选D．(2)分两种情况：①A，C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B，D有1种，有4×3×2＝24(种)涂法．②A，C同色，先涂A有4种，E有3种，C有1种，B，D各有2种，有4×3×2×2＝48(种)涂法．故共有24＋48＝72种涂色方法．]在综合应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步，但在分步时可能又会用到分类加法计数原理对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地画出示意图或列出表格，化抽象为直观.[跟踪训练对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是( )A．48 B．18C．24 D．36(2)(2017·杭州调研)已知集合M＝{1,2,3,4}，集合A，B为集合M的非空子集，若对任意x∈A，y∈B，x<y恒成立，则称(A，B)为集合M的一个“子集对”，则集合M的“子集对”共有________个.【导学号：79140338】(1)D(2)17[(1)分类讨论：第一类，对于每一条棱，都可以与两个面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12＝24(个)；第二类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个．所以正方体中“正交线面对”共有24＋12＝36(个)．(2)当A＝{1}时，B有23－1种情况；当A＝{2}时，B有22－1种情况；当A＝{3}时，B有1种情况；当A＝{1,2}时，B有22－1种情况；当A＝{1,3}，{2,3}，{1,2,3}时，B均有1种情况，所以满足题意的“子集对”共有7＋3＋1＋3＋3＝17(个)．]。