最新中考数学热点冲刺2 规律探究问题

重难点02 规律探究型问题【命题趋势】规律探究型问题是中考数学中的常考问题，题目数量一般是一个题，各种题型都有可能出现，一般以选择题或者填空题中的压轴题形式出现，主要命题方式有数式规律、图形变化规律、点的坐标规律等。

基本解题思路：从简单的、局部的、特殊的情形出发，通过分析、比较、提炼，发现其中规律，进而归纳或猜想出一般结论，最后验证结论的正确性。

探索规律题可以说是每年中考的必考题，预计2020年中考数学中仍会作为选择题或填空题的压轴题来考察。

所以掌握其基本的考试题型及解题技巧是非常有必要的。

【满分技巧】一．从简单的情况入手﹕从简单的情况入手﹕求出前三到四个结果，探究其规律，通过归纳猜想总结正确答案二．新定义型问题一般与代数知识结合较多，多关注初中数学中以下几个部分的代数知识﹕二．关注问题中的不变量和变量﹕在探究规律的问题中，一般都会存在变量和不变量（也就是常量），我们要多关注变量，看看这些变量是如何变化的，仔细观察变量的变化与序号（一般为n）之间的关系，我们找到这个关系就找到了规律所在．三．掌握一些数学思想方法规律探索型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律.它体现了“特殊到一般”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力.题型可涉及填空、选择或解答.【限时检测】（建议用时：30分钟）一、选择题1. (2019 贵州省毕节地区)下面摆放的图案，从第二个起，每个都是前一个按顺时针方向旋转90°得到，第2019个图案中箭头的指向是（）A．上方B．右方C．下方D．左方【答案】C【解析】如图所示：每旋转4次一周，2019÷4＝504…3，则第2019个图案中箭头的指向与第3个图案方向一致，箭头的指向是下方．故选：C．2. (2019 河北省)对于题目：“如图1，平面上，正方形内有一长为12、宽为6的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数n．”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长x，再取最小整数n．甲：如图2，思路是当x为矩形对角线长时就可移转过去；结果取n＝13．乙：如图3，思路是当x为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取n＝14．丙：如图4，思路是当x为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去；结果取n＝13．下列正确的是（）A．甲的思路错，他的n值对B．乙的思路和他的n值都对C．甲和丙的n值都对D．甲、乙的思路都错，而丙的思路对【答案】B【解析】甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，但是计算错误，应为n＝14；乙的思路与计算都正确；乙的思路与计算都错误，图示情况不是最长；故选：B．3. (2019 湖北省鄂州市)如图，在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3…A n在x轴上，B1、B2、B3…B n在直线y＝x上，若A1（1，0），且△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1、S2、S3…S n．则S n可表示为（）A．22n B．22n﹣1C．22n﹣2D．22n﹣3【答案】D【解析】△△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，△A1B1△A2B2△A3B3△…△A n B n，B1A2△B2A3△B3A4△…△B n A n+1，△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，△直线y＝x与x轴的成角△B1OA1＝30°，△OA1B1＝120°，△△OB1A1＝30°，△OA1＝A1B1，△A1（1，0），△A 1B 1＝1，同理△OB 2A 2＝30°，…，△OB n A n ＝30°， △B 2A 2＝OA 2＝2，B 3A 3＝4，…，B n A n ＝2n ﹣1， 易得△OB 1A 2＝90°，…，△OB n A n +1＝90°， △B 1B 2＝，B 2B 3＝2，…，B n B n +1＝2n ， △S 1＝×1×＝，S 2＝×2×2＝2，…，S n ＝×2n ﹣1×2n＝；故选：D ．4. (2019 湖南省娄底市)如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为120︒的¶AB 多次复制并首尾连接而成．现有一点P 从(A A 为坐标原点）出发，以每秒23π米的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点P 的纵坐标为( )A ．2-B ．1-C ．0D ．1【答案】B【解析】点运动一个¶AB 用时为1202221803ππ⨯÷=秒． 如图，作CD AB ⊥于D ，与¶AB 交于点E ．在Rt ACD ∆中，90ADC ∠=︒Q ，1602ACD ACB ∠=∠=︒，30CAD ∴∠=︒，112122CD AC ∴==⨯=，211DE CE CD ∴=-=-=，∴第1秒时点P 运动到点E ，纵坐标为1；第2秒时点P 运动到点B ，纵坐标为0； 第3秒时点P 运动到点F ，纵坐标为1-； 第4秒时点P 运动到点G ，纵坐标为0； 第5秒时点P 运动到点H ，纵坐标为1；⋯，∴点P 的纵坐标以1，0，1-，0四个数为一个周期依次循环，201945043÷=⋯Q ，∴第2019秒时点P 的纵坐标为是1-．故选：B ．5. (2019 湖南省张家界市)如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC 绕点O 顺时针旋转45°后得到正方形OA 1B 1C 1，依此方式，绕点O 连续旋转2019次得到正方形OA 2019B 2019C 2019，那么点A 2019的坐标是（ ）A ．（，﹣）B ．（1，0）C ．（﹣，﹣） D ．（0，﹣1）【答案】A【解析】△四边形OABC 是正方形，且OA ＝1， △A （0，1），△将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，△A1（，），A2（1，0），A3（，﹣），…，发现是8次一循环，所以2019÷8＝252 (3)△点A2019的坐标为（，﹣）故选：A．6. (2019 山东省菏泽市)在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2……第n次移动到点A n，则点A2019的坐标是（）A．（1010，0）B．（1010，1）C．（1009，0）D．（1009，1）【答案】C【解析】A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，1），A6（3，1），…，2019÷4＝504…3，所以A2019的坐标为（504×2+1，0），则A2019的坐标是（1009，0）．故选：C．7. (2019 云南省)按一定规律排列的单项式：x3，﹣x5，x7，﹣x9，x11，……，第n个单项式是（）A．（﹣1）n﹣1x2n﹣1B．（﹣1）n x2n﹣1C．（﹣1）n﹣1x2n+1D．（﹣1）n x2n+1【答案】A【解析】△x3＝（﹣1）1﹣1x2×1+1，﹣x5＝（﹣1）2﹣1x2×2+1，x7＝（﹣1）3﹣1x2×3+1，﹣x9＝（﹣1）4﹣1x2×4+1，x11＝（﹣1）5﹣1x2×5+1，……由上可知，第n个单项式是：（﹣1）n﹣1x2n+1，故选：A．8. (2019 四川省广元市)如图，过点A0（0，1）作y轴的垂线交直线l：y＝x于点A1，过点A1作直线l 的垂线，交y轴于点A2，过点A2作y轴的垂线交直线l于点A3，…，这样依次下去，得到△A0A1A2，△A2A3A4，△A4A546，…，其面积分别记为S1，S2，S3，…，则S100为（）A．（）100B．（3）100C．3×4199D．3×2395【答案】D【解析】△点A0的坐标是（0，1），△OA0＝1，△点A1在直线y＝x上，△OA1＝2，A0A1＝，△OA2＝4，△OA3＝8，△OA4＝16，得出OA n＝2n，△A n A n+1＝2n•，△OA198＝2198，A198A199＝2198•，△S1＝（4﹣1）•＝，△A2A1△A200A199，△△A0A1A2△△A198A199A200，△＝（）2，△S＝2396•＝3×2395故选：D．9. (2019 河南省)如图，在△OAB中，顶点O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D的坐标为（）A．（10，3）B．（﹣3，10）C．（10，﹣3）D．（3，﹣10）【答案】D【解析】△A（﹣3，4），B（3，4），△AB＝3+3＝6，△四边形ABCD为正方形，△AD＝AB＝6，△D（﹣3，10），△70＝4×17+2，△每4次一个循环，第70次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转90°，△点D的坐标为（3，﹣10）．故选：D．10. (2019 内蒙古赤峰市)如图，小聪用一张面积为1的正方形纸片，按如下方式操作：△将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角形扔掉；△在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第2019次操作时，余下纸片的面积为（）A．22019B．C．D．【答案】C【解析】正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，第一次：余下面积，第二次：余下面积，第三次：余下面积，当完成第2019次操作时，余下纸片的面积为，故选：C．二、填空题11. (2019 山东省泰安市)在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，……，点A1，A2，A3，A4，……在直线l 上，点C1，C2，C3，C4，……在x轴正半轴上，则前n个正方形对角线长的和是．【答案】（2n﹣1）【解析】由题意可得，点A1的坐标为（0，1），点A2的坐标为（1，2），点A3的坐标为（3，4），点A4的坐标为（7，8），……，△OA1＝1，C1A2＝2，C2A3＝4，C3A4＝8，……，△前n个正方形对角线长的和是：（OA1+C1A2+C2A3+C3A4+…+C n﹣1A n）＝（1+2+4+8+…+2n﹣1），设S＝1+2+4+8+…+2n﹣1，则2S＝2+4+8+…+2n﹣1+2n，则2S﹣S＝2n﹣1，△S＝2n﹣1，△1+2+4+8+…+2n﹣1＝2n﹣1，△前n个正方形对角线长的和是：×（2n﹣1），故答案为：（2n﹣1），12. (2019 山东省潍坊市)如图所示，在平面直角坐标系xoy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线，l0，l1，l2，l3，…都与x轴垂直，相邻两直线的间距为l，其中l0与y轴重合若半径为2的圆与l1在第一象限内交于点P1，半径为3的圆与l2在第一象限内交于点P2，…，半径为n+1的圆与l n在第一象限内交于点P n，则点P n的坐标为．（n为正整数）【答案】（n,2n+1 ）【解析】连接OP 1，OP 2，OP 3，l 1、l 2、l 3与x 轴分别交于A 1、A 2、A 3，如图所示： 在Rt△OA 1P 1中，OA 1＝1，OP 1＝2， △A 1P 1＝＝＝，同理：A 2P 2＝＝，A 3P 3＝＝，……，△P 1的坐标为（ 1，），P 2的坐标为（ 2，），P 3的坐标为（3，），……，…按照此规律可得点P n 的坐标是（n ，），即（n ，2n+1 ）故答案为：（n ，2n+1 ）．13. (2019 浙江省衢州市)如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形。

常考的规律探究问题题型解读|模型构建|通关试练模型01数与式、图形的规律问题数式规律和图形规律探究问题的特点是：问题的结论不是直接给出，而是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境等，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论.模型02平面直角坐标系中的规律问题(旋转、平移、翻滚、渐变等)平面直角坐标系中的规律探究问题由于问题背景的不同，这类题的解题策略是：由特例观察、分析、归纳一般规律，然后利用规律解决问题.具体思维过程是“特殊---一般----特殊”.这类问题体现了“特殊与一般”的数学思想方法，解答时往往体现“探索、归纳、猜想”等思维特点，对分析问题、解决问题的能力具有很高的要求.模型01数与式、图形的规律问题考|向|预|测数与式、图形的规律问题该题型主要以选择、填空形式出现，难度系数不大，需要学生学会分析各式或图形中的“变”与“不变”的规律--重点分析“怎样变”，应结合各式或图形的序号进行前后对比分析.主要考查学生阅读理解、观察图形的变化规律的能力，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，利用规律解决问题．答|题|技|巧第一步：读懂题意，标序号；第二步：根据已有规律模仿或归纳推导隐藏规律，析各式或图形中的“变”与“不变”的规律--重点分析“怎样变”；第三步：猜想规律与“序号”之间的对应关系，并用关于“序号”的式子表示出来；第四步：验证所归纳的结论，利用所学数学知识解答1(2023·湖南)观察下列按顺序排列的等式：a1=1-13，a2=12-14，a3=13-15，a4=14-16，⋯，试猜想第n个等式(n为正整数)：a n=．2(2023·安徽)(规律探究)如下图，是由若干个边长为1的小正三角形组成的图形，第(2)个图比第(1)个图多一层，第(3)个图比第(2)个图多一层，依次类推.(1)第(9)个图中阴影三角形的个数为；非阴影三角形的个数为．(2)第n个图形中，阴影部分的面积与非阴影部分的面积比是441∶43，求n.(3)能否将某一个图形中的所有小三角形重新拼接成一个菱形，如果能，请指出是第几个图形，如果不能说明理由.模型02平面直角坐标系中的规律问题考|向|预|测平面直角坐标系中的规律问题(旋转、平移、翻滚、渐变等)该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型需要分析变化规律得到一般的规律(如点变的循环规律或点运动的循环规律，点的横、纵坐标的变化规律等).主要考查对点的坐标变化规律，一般我们需要结合所给图形，找到点或图形的变化规律或者周期性，最后利用正确运用数的运算.答|题|技|巧第一步：观察点或图形的变化规律，根据图形的变化规律求出已知关键点的坐标；第二步：分析变化规律得到一般的规律看是否具有周期性(如点变的循环规律或点运动的循环规律，点的横、纵坐标的变化规律等)第三步：周期性的求最小周期看余数，不是周期性的可以罗列求解几组以便发现规律，根据最后的变化次数或者运动时间登，确定要求的点与哪个点重合或在同一象限，或与哪个关键点的横纵坐标相等；第四步：利用有理数的运算解题旋转型1(2023·四川)如图所示，矩形ABOC的顶点O为坐标原点，BC=2，对角线OA在第二象限的角平分线上．若矩形从图示位置开始绕点O以每秒45°的速度顺时针旋转，则第2025秒时，点A的对应坐标为()A.2,0B.0,2C.2,2D.-2,-2平移型2(2023·杭州)如图，直角坐标平面xOy 内，动点P 按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点(-1，0)运动到点(0，1)，第2次运动到点(1，0)，第3次运动到点(2，-2)，⋯⋯，按这样的运动规律，动点P 第2018次运动到点A.(2018，0)B.(2017，0)C.(2018，1)D.(2017，-2)翻滚型3(2023·安徽)如图所示，在平面直角坐标系中，△A 1A 2A 3，△A 3A 4A 5，△A 5A 6A 7，⋯都是等边三角形，其边长依次为2，4，6，⋯其中点A 1的坐标为2,0 ，点A 2的坐标为1,-3 ，点A 3的坐标为0,0 ，点A 4的坐标为2,23 ，⋯，按此规律排下去，则点A 100的坐标为()A.1,503B.1,513C.2,503D.2,5131(2023·山东)我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，我们把第2行从左到右数第1个定为a 2,1 ，我们把第4行从左到右数第3个定为a 4,3 ，由图我们可以知道：a 2,1 =1,a 4,3 =3，按照图中数据规律，a 8,5 +a 9,6 的值为．2(2023·河南)如图，找出其变化的规律，则第1349个图形中黑色正方形的数量是．摆成，⋯⋯；按图中所示规律，第n个图需要棋子枚．五角星的个数为()A.n2+1B.n2-1C.2n-1D.2n+15(2023·广东)正六边形ABCDEF在数轴上的位置如图，点A、F对应的数分别为0和1，若正六边形ABCDEF绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为2，则连续翻转2022次后，数轴上2022这个数所对应的点是()A.A点B.B点C.C点D.D点6(2023·辽宁)如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=3x+3与两坐标轴交于A、B两点，以AB为边作等边△ABC，将等边△ABC沿射线AB方向作连续无滑动地翻滚．第一次翻滚：将等边三角形绕B点顺时针旋转120°，使点C落在直线l上，第二次翻滚：将等边三角形绕点C顺时针旋转120°，使点A落在直线l上⋯⋯当等边三角形翻滚2023次后点A的对应点坐标是()A.2023,20233D.2021,20243C.2021,20223B.2022,202437(2023·河南)如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在x轴、y轴上，其坐标分别为-6,0，、0,-8AD=20，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点D的坐标为()A.10,12D.12,-10C.-12,10B.-10,-128(2023·江西吉安·期末)规律探究题：如图是由一些火柴棒摆成的图案：按照这种方式摆下去，摆第2023个图案用几根火柴棒()A.8093B.8095C.8092D.80919(23-24·河南新乡·期末)汉字文化正在走进人们的日常消费生活．如图所示图形都是由同样大小的圆点和线段按照一定的规律排列组成的篆书简化“汉”字，其中，图①中共有12个圆点，图②中共有18个圆点，图③中共有25个圆点，图④中共有33个圆点⋯依此规律则图⑩中共有圆点的个数是()A.63B.75C.88D.10210(23-24·湖北武汉·期末)已知点A0-1,3，记A0关于直线m(直线m上各点的横坐标都为0)的对称点为A1，A1关于直线n(直线n上各点的纵坐标都为1)的对称点为A2，A2关于直线p(直线p上各点的横坐标都为-2)的对称点为A3，A3关于直线q(直线q上各点的纵坐标都为3)的对称点为A4，A4关于直线m的对称点为A5，A5关于直线n的对称点为A6，⋯⋯依此规律A2023的坐标是()A.2021,-2021D.-2025,2027C.-2021,-2017B.-2025,-202111(23·山东济宁·期末)如图，OP=1，过点P作PP1⊥OP且PP1=1，得OP1=2；再过点P，作P1P2⊥OP1，且P1P2=1，得OP2=3；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2⋯依此法继续作下去，得OP2021=()A.2023B.2022C.2021D.202012(23·广西贵港·期末)请看杨辉三角，并观察下列等式：(a+b)1=a+b(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4根据前面各式的规律，则(a+b)6=.13(23-24·辽宁沈阳·期中)汉字文化正在走进人们的日常消费生活．下列图形都是由同样大小的圆点和线段按照一定的规律排列组成的篆书简化“汉”字，其中，图①中共有12个圆点，图②中共有18个圆点，图③中共有25个圆点，图④中共有33个圆点⋯依此规律，则图⑧中共有圆点的个数是．14(2023·四川资阳·一模)如图，李明从A点出发沿直线前进5米到达B点后向左旋转的角度为α，再沿直线前进5米，到达点C后，又向左旋转α角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了45米，则每次旋转的角度α为．15(22-23·江苏)我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表(图①)，即杨辉三角．现在将所有的奇数记“1”，所有的偶数记为“0”，则前4行如图②，前8行如图③，求前32行“1”的个数为．16(2023九年级上·全国·期末)在平面直角坐标系中，抛物线y=x2的图象如图所示．已知A点坐标为(1,1)，过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x 轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4⋯，依次进行下去，则点A2023的坐标为．17(22-23九年级上·全国·期末)(规律探究题)下表是按一定规律排列的一列方程，仔细观察，大胆猜想，科学推断，完成练习.序号方程方程的解1x2-2x-3=0x1=-1，x2=32x2-4x-12=0x1=-2，x2=63x2-6x-27=0x1=-3，x2=9⋯⋯⋯(1)这列方程中第10个方程的两个根分别是x1=，x2=.(2)这列方程中第n个方程为.18(22-23·福建莆田·期中)探究规律题按照规律填上所缺的单项式并回答问题：(1)a,-2a2,3a3,-4a4,,；(2)试写出第2017个和第2018个单项式；(3)试写出第n个单项式；(4)试计算：当a=-1时，a+(-2a2)+3a3+(-4a4)+⋯+99a99+(-100a100)的值.19(23-24·河南安阳)探究规律，完成相关题目．定义“*”运算：(+2)*(+4)=+(22+42)；(-4)*(-7)=+(-4)2+(-7)2；(-2)*(+4)=-(-2)2+(+4)2；(+5)*(-7)=-(+5)2+(-7)2；0*(-5)=(-5)*0=(-5)2；(+3)*0=0*(+3)=(+3)2．0*0=02+02=0(1)归纳*运算的法则：两数进行*运算时，．(文字语言或符号语言均可)特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，(2)计算：+1*0*-2．(3)是否存在有理数m，n，使得m-1*n+2=0，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．20(23-24·浙江杭州·期中)探究规律，完成相关题目：小明说：“我定义了一种新的运算，叫※(加乘)运算．”然后他写出了一些按照※(加乘)运算的运算法则进行运算的算式：(+5)※(+2)=+7；(-3)※(-5)=+8；(-3)※(+4)=-7；(+5)※(-6)=-11；(0)※(+8)=8；(0)※(-8)=8；(-6)※(0)=6；(+6)※(0)=6．小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※(加乘)运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？(1)观察以上式子，类比计算：①-1 2※-15=，-23※+1 =；(2)计算：(-2)※[0※(-1)]；(括号的作用与它在有理数运算中的作用一致，写出必要的运算步骤)(3)若1-a※b-3=0．计算：1a×b +1a+2×b+2+1a+4×b+4+1a+6×b+6+1的值．a+8×b+8常考的规律探究问题题型解读|模型构建|通关试练模型01数与式、图形的规律问题数式规律和图形规律探究问题的特点是：问题的结论不是直接给出，而是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境等，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论.模型02平面直角坐标系中的规律问题(旋转、平移、翻滚、渐变等)平面直角坐标系中的规律探究问题由于问题背景的不同，这类题的解题策略是：由特例观察、分析、归纳一般规律，然后利用规律解决问题.具体思维过程是“特殊---一般----特殊”.这类问题体现了“特殊与一般”的数学思想方法，解答时往往体现“探索、归纳、猜想”等思维特点，对分析问题、解决问题的能力具有很高的要求.模型01数与式、图形的规律问题考|向|预|测数与式、图形的规律问题该题型主要以选择、填空形式出现，难度系数不大，需要学生学会分析各式或图形中的“变”与“不变”的规律--重点分析“怎样变”，应结合各式或图形的序号进行前后对比分析.主要考查学生阅读理解、观察图形的变化规律的能力，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，利用规律解决问题．答|题|技|巧第一步：读懂题意，标序号；第二步：根据已有规律模仿或归纳推导隐藏规律，析各式或图形中的“变”与“不变”的规律--重点分析“怎样变”；第三步：猜想规律与“序号”之间的对应关系，并用关于“序号”的式子表示出来；第四步：验证所归纳的结论，利用所学数学知识解答1(2023·湖南)观察下列按顺序排列的等式：a 1=1-13，a 2=12-14，a 3=13-15，a 4=14-16，⋯，试猜想第n 个等式(n 为正整数)：a n =．【答案】1n -1n +2．【详解】根据题意可知，a 1=1-11+2，a 2=12-12+2，a 3=13-13+2，a 4=14-14+2，⋯∴a n =1n -1n +2．2(2023·安徽)(规律探究)如下图，是由若干个边长为1的小正三角形组成的图形，第(2)个图比第(1)个图多一层，第(3)个图比第(2)个图多一层，依次类推.(1)第(9)个图中阴影三角形的个数为；非阴影三角形的个数为．(2)第n 个图形中，阴影部分的面积与非阴影部分的面积比是441∶43，求n .(3)能否将某一个图形中的所有小三角形重新拼接成一个菱形，如果能，请指出是第几个图形，如果不能说明理由.【详解】(1)第(1)(2)(3)个图中阴影部分小三角形的个数分别是：1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，由此可推测第(9)个图中阴影部分小三角形的个数是(9+1)2=102=100(个)，空白三角形的个数为2×(9+2-1=21);故答案为：100；21；(2)第n 个图形中阴影三角形与非阴影三角形的个数比是：n +1 22n +2 -1=44143，解得，n =20或n =-6443(舍去)经检验，n =20符合要求，所以，n =20；(3)设第(m )个图形可重新拼成一个菱形，第(m )个图形总的三角形个数为m +2 2=m 2+4m +4, 由于可以拼一个菱形，则是一含有60度角的菱形，即两个等边三角形构成的菱形，每个等边三角形中含小三角形数为x 2,则有：2x 2=m +2 2解得，m =±2x -2∴m 不是正整数，∴不可能拼成一个菱形．例3．(2023·江西)规律探究与猜想：①方程x 2-3x +2=0的解为x 1=1，x 2=2；②方程x 2-5x +6=0的解为x 1=2，x 2=3；③方程x 2-7x +12=0的解为x 1=3，x 2=4；④方程x 2-9x +20=0的解为x 1=4，x 2=5；⋯⋯(1)根据以上各方程及其解的特征，请解答下列问题：①方程x2-19x+90=0的解为______．②第个方程为______，其解为______．(2)请用公式法解方程x2-9x+20=0，验证猜想结论的正确性．【详解】(1)解：方程x2-3x+2=x2+(-1-2)x+(-1)×(-2)=(x-1)(x-2)=0，解为x1=1，x2=2；方程x2-5x+6=x2+(-2-3)+(-2)×(-3)=(x-2)(x-3)=0，解为x1=2，x2=3；方程x2-7x+12=x2+(-3-4)+(-3)×(-4)=(x-3)(x-4)=0，解为x1=3，x2=4；⋯①x2-19x+90=x2+(-9-10)+(-9)×(-10)=(x-9)(x-10)=0，解为x1=9,x2=10；②第个方程为x2+-n-(n+1)x+(-n)×-(n+1)=(x-n)x-(n+1)=0∴第个方程为x2-(2n+1)x+n2+n=0，解为x1=n,x2=n+1．(2)解：x2-9x+20=0Δ=(-9)2-4×1×20=1，∴x1=9-12=4,x2=9+12=5．故结论正确．模型02平面直角坐标系中的规律问题考|向|预|测平面直角坐标系中的规律问题(旋转、平移、翻滚、渐变等)该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型需要分析变化规律得到一般的规律(如点变的循环规律或点运动的循环规律，点的横、纵坐标的变化规律等).主要考查对点的坐标变化规律，一般我们需要结合所给图形，找到点或图形的变化规律或者周期性，最后利用正确运用数的运算.答|题|技|巧第一步：观察点或图形的变化规律，根据图形的变化规律求出已知关键点的坐标；第二步：分析变化规律得到一般的规律看是否具有周期性(如点变的循环规律或点运动的循环规律，点的横、纵坐标的变化规律等)第三步：周期性的求最小周期看余数，不是周期性的可以罗列求解几组以便发现规律，根据最后的变化次数或者运动时间登，确定要求的点与哪个点重合或在同一象限，或与哪个关键点的横纵坐标相等；第四步：利用有理数的运算解题旋转型1(2023·四川)如图所示，矩形ABOC的顶点O为坐标原点，BC=2，对角线OA在第二象限的角平分线上．若矩形从图示位置开始绕点O以每秒45°的速度顺时针旋转，则第2025秒时，点A的对应坐标为()A.2,0B.0,2C.2,2D.-2,-2【答案】B 【详解】解：∵四边形ABOC 是矩形，∴OA =BC =2，∵每秒旋转45°，8次一个循环，2025÷8=253⋅⋅⋅⋅⋅⋅1，∴第2025秒时，点A 的对应点A 2025落在y 轴正半轴上，∴点A 2025的坐标为0,2 ．故选：B ．平移型2(2023·杭州)如图，直角坐标平面xOy 内，动点P 按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点(-1，0)运动到点(0，1)，第2次运动到点(1，0)，第3次运动到点(2，-2)，⋯⋯，按这样的运动规律，动点P 第2018次运动到点A.(2018，0)B.(2017，0)C.(2018，1)D.(2017，-2)【答案】B 【详解】解:∵2018÷4=504余2，∴第2014次运动为第505循环组的第2次运动，横坐标为504×4+2-1=2017，纵坐标为0，∴点的坐标为(2017，0)．故选B ．翻滚型3(2023·安徽)如图所示，在平面直角坐标系中，△A 1A 2A 3，△A 3A 4A 5，△A 5A 6A 7，⋯都是等边三角形，其边长依次为2，4，6，⋯其中点A 1的坐标为2,0 ，点A 2的坐标为1,-3 ，点A 3的坐标为0,0 ，点A 4的坐标为2,23 ，⋯，按此规律排下去，则点A 100的坐标为()A.1,503D.2,513C.2,503B.1,513【答案】C【详解】解：观察所给图形，发现x轴上方的点是4的倍数，∵100÷4=25，∴点A100在x轴上方，∵A3A4=4，∴A54,0，∵A5A7=6，∴A7-2,0，∵A8A7=8，∴点A8的坐标为2,43，同理可知，点A4n的坐标为2,2n3，∴点A100的坐标为2,503. 故选：C．1(2023·山东)我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，我们把第2行从左到右数第1个定为a2,1，我们把第4行从左到右数第3个定为a4,3=，由图我们可以知道：a2,1 1,a4,3+a9,6的值为．=3，按照图中数据规律，a8,5【详解】解：如图所示，按照图中数据规律，a8,5=35，a9,6=56，∴a8,5+a9,6=35+56=91，故答案为：912(2023·河南)如图，找出其变化的规律，则第1349个图形中黑色正方形的数量是．【答案】2024个【详解】解：根据题意，可得当n为偶数时，第n个图形中黑色正方形的数量为n+n2个，当n为奇数时，第n个图形中黑色正方形的数量为n+n+12个，∴n=1349时，黑色正方形的个数为1349+1349+12=2024个．故答案为：2024个．3(2023·陕西)如图，第1个图用了6枚棋子摆成；第2个图用了9枚棋子摆成；第3个图用了12枚棋子摆成，⋯⋯；按图中所示规律，第n个图需要棋子枚．【答案】3(n+1)【详解】根据题意有，第1个图形棋子数为：3+3×1，第2个图形棋子数为：3+3×2，第3个图形棋子数为：3+3×3，⋯⋯，第n个图形棋子数为：3+3×n=3(n+1)，∴第n个图需要棋子3(n+1)枚，故答案为：3(n+1)．4(2023·云南)如图图形是同样大小的小五角星按一定规律组成的，按此规律排列，则第n个图形中小五角星的个数为()A.n2+1B.n2-1C.2n-1D.2n+1【答案】A【详解】解：则第1个图形中小五角星的个数为：12+1=2；则第4个图形中小五角星的个数为：1+22=5；则第3个图形中小五角星的个数为：1+32=10；则第4个图形中小五角星的个数为：1+42=17；⋯⋯；则第n个图形中小五角星的个数为：1+n2，故选：A．5(2023·广东)正六边形ABCDEF在数轴上的位置如图，点A、F对应的数分别为0和1，若正六边形ABCDEF绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为2，则连续翻转2022次后，数轴上2022这个数所对应的点是()A.A点B.B点C.C点D.D点【答案】A【详解】解：当正六边形在转动第一周的过程中，F、E、D、C、B、A分别对应的点为1、2、3、4、5、6，∴翻转6次为一循环，∵2021÷6=337，∴数轴上2022这个数所对应的点是A点．故选：A．6(2023·辽宁)如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=3x+3与两坐标轴交于A、B两点，以AB为边作等边△ABC，将等边△ABC沿射线AB方向作连续无滑动地翻滚．第一次翻滚：将等边三角形绕B点顺时针旋转120°，使点C落在直线l上，第二次翻滚：将等边三角形绕点C顺时针旋转120°，使点A落在直线l上⋯⋯当等边三角形翻滚2023次后点A的对应点坐标是()A.2023,20233D.2021,20243B.2022,20243C.2021,20223【答案】D【详解】解：∵直线l：y=3x+3与两坐标轴交于A、B两点，∴A-1,0，，B0,3∴AB=2，OA=1，OB=3，=3，OA∴∠BAO=60°，如图，等边△ABC经过第1次翻转后，A1-1,23，过点A2作A2M⊥x轴于点M，则AA2=3AB=6，∵∠A2AM=60°，=3，∴AM=AA2cos∠A2AM=6×12A2M=AA2sin∠A2AM=6×3=33，2等边△ABC经过第2次翻转后，A23,33，等边△ABC经过第3次翻转后，点A仍在点A2处，∴每经过3次翻转，点A向右平移3个单位，向上平移33个单位，∵2023÷3=674⋯⋯1，第2次与第3次翻转后点A处在同一个点，∴点A经过2023次翻转后，向右平移了3×674=2022个单位，向上平移了33×674+23=20243个单位，∴等边三角形翻滚2023次后点A的对应点坐标是2021,20243，故选：D．7(2023·河南)如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在x轴、y轴上，其坐标分别为-6,0、0,-8，AD=20，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点D的坐标为()A.10,12B.-10,-12C.-12,10D.12,-10【答案】B 【详解】解：如图，过点D 作DT ⊥x 轴于点T ．矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴上，其坐标分别为-6,0 、0,-8 ，∴OA =6，OB =8，∴AB =OA 2+OB 2=10，∵∠ATD =∠AOB =∠BAD =90°，∴∠DAT +∠BAO =90°，∠BAO +∠ABO =90°，∴∠DAT =∠ABO ，∴△ATD ∽△BOA ，∴AD AB =AT OB =DT OA，即2010=AT 8=DT 6，∴AT =16，DT =12，∴OT =AT -OA =16-6=10，∴D 10，12 ，∵矩形ABCD 绕点O 顺时针旋转，每次旋转90°，则第1次旋转结束时，点D 的坐标为12,-10 ；则第2次旋转结束时，点D 的坐标为-10,-12 ；则第3次旋转结束时，点D 的坐标为-12,10 ；则第4次旋转结束时，点D 的坐标为10,12 ；⋯发现规律：旋转4次一个循环，∴2022÷4=505⋯2，则第2021次旋转结束时，点D 的坐标为-10,-12 ．故选：B ．8(2023·江西吉安·期末)规律探究题：如图是由一些火柴棒摆成的图案：按照这种方式摆下去，摆第2023个图案用几根火柴棒()A.8093B.8095C.8092D.8091【答案】A 【详解】观察图形的变化可知：摆第1个图案要用火柴棒的根数为：5；摆第2个图案要用火柴棒的根数为：9=5+4=5+4×1；摆第3个图案要用火柴棒的根数为：13=5+4+4=5+4×2；⋯则摆第n个图案要用火柴棒的根数为：5+4n-1=4n+1；故第2023个图案要用火柴棒的根数为：4×2023+1=8093故选：A9(23-24·河南新乡·期末)汉字文化正在走进人们的日常消费生活．如图所示图形都是由同样大小的圆点和线段按照一定的规律排列组成的篆书简化“汉”字，其中，图①中共有12个圆点，图②中共有18个圆点，图③中共有25个圆点，图④中共有33个圆点⋯依此规律则图⑩中共有圆点的个数是()A.63B.75C.88D.102【答案】D【详解】解：由题意知，图①中共有12个圆点，图②中共有12+6=18个圆点，图③中共有12+6+7=25个圆点，图④中共有12+6+7+8=33个圆点，⋯∴图⑩中共有圆点12+6+7+8+9+10+11+12+13+14=102，故选：D．10(23-24·湖北武汉·期末)已知点A0-1,3，记A0关于直线m(直线m上各点的横坐标都为0)的对称点为A1，A1关于直线n(直线n上各点的纵坐标都为1)的对称点为A2，A2关于直线p(直线p上各点的横坐标都为-2)的对称点为A3，A3关于直线q(直线q上各点的纵坐标都为3)的对称点为A4，A4关于直线m的对称点为A5，A5关于直线n的对称点为A6，⋯⋯依此规律A2023的坐标是()A.2021,-2021D.-2025,2027C.-2021,-2017B.-2025,-2021【答案】B【详解】解：∵直线m上各点的横坐标都为0，即直线m为y轴，∴A11，3，在第一象限，∵直线n上各点的纵坐标都为1，即直线n为直线y=1；∴A21，-1，在第四象限，∵直线p上各点的横坐标都为-2，即直线p为直线x=-2，∴A3-5，-1，在第三象限，∵直线q上各点的纵坐标都为3，即直线q为直线y=3，∴A4-5，7，在第二象限，∴A55，7在第三象限，，在第一象限，A65，-5，在第四象限，A7-9，-5∴每四个点坐标所在象限为一个循环，∵2023=4×505+3，∴A2023与A3在同一象限，∵A3-5，-1，A7-9，-5，∴可知，第三象限的点坐标的特征为A n -n +2 ，-n -2 ，∴A 2023-2025，-2021 ，故选：B ．11(23·山东济宁·期末)如图，OP =1，过点P 作PP 1⊥OP 且PP 1=1，得OP 1=2；再过点P ，作P 1P 2⊥OP 1，且P 1P 2=1，得OP 2=3；又过点P 2作P 2P 3⊥OP 2且P 2P 3=1，得OP 3=2⋯依此法继续作下去，得OP 2021=()A.2023B.2022C.2021D.2020【答案】B【详解】解：由勾股定理得：OP 1=OP 2+OP 12=12+12=2，OP 2=OP 12+P 1P 22=(2)2+12=3，OP 3=OP 22+P 2P 32=(3)2+12=2，⋯，依此类推可得：OP n =(OP n -1)2+(P n -1P n )2=(n )2+12=n +1，∴OP 2021=2021+1=2022，故选：B ．12(23·广西贵港·期末)请看杨辉三角，并观察下列等式：(a +b )1=a +b(a +b )2=a 2+2ab +b 2(a +b )3=a 3+3a 2b +3ab 2+b 3(a +b )4=a 4+4a 3b +6a 2b 2+4ab 3+b 4根据前面各式的规律，则(a +b )6=.【答案】a 6+6a 5b +15a 4b 2+20a 3b 3+15a 2b 4+6ab 5+b 6【详解】解：(a +b )6=a 6+6a 5b +15a 4b 2+20a 3b 3+15a 2b 4+6ab 5+b 6故本题答案为：a 6+6a 5b +15a 4b 2+20a 3b 3+15a 2b 4+6ab 5+b 6.13(23-24·辽宁沈阳·期中)汉字文化正在走进人们的日常消费生活．下列图形都是由同样大小的圆点和线段按照一定的规律排列组成的篆书简化“汉”字，其中，图①中共有12个圆点，图②中共有18个圆点，图③中共有25个圆点，图④中共有33个圆点⋯依此规律，则图⑧中共有圆点的个数是．【答案】75【详解】解：在图①中，圆点个数为y1=12个．在图②中，圆点个数为y2=y1+2+4=18个．在图③中，圆点个数为y3=y2+2+5=25个．在图④中，圆点个数为y4=y3+2+6=33个．..．以次类推，在图⑧中，圆点个数为y8=y7+(2+10)=y6+(2+9)+12=y5+(2+8)+11+12=y4+(2+7)+10+11+12=33+9+10+11+12=75．故答案为：75．14(2023·四川资阳·一模)如图，李明从A点出发沿直线前进5米到达B点后向左旋转的角度为α，再沿直线前进5米，到达点C后，又向左旋转α角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了45米，则每次旋转的角度α为．【答案】40°．【详解】连续左转后形成的正多边形边数为：45÷5=9，则左转的角度是360°÷9=40°．故答案是：40°．15(22-23·江苏)我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表(图①)，即杨辉三角．现在将所有的奇数记“1”，所有的偶数记为“0”，则前4行如图②，前8行如图③，求前32行“1”的个数为．【答案】243【详解】观察图②和图③可知，前8行中包含3个前4行的图形，中间三角形中的数字均为0，∴前8行中“1”的个数是前4行中“1”的个数的3倍，即前8行中“1”的个数为9×3=27(个)，同理可知前16行中“1”的个数是前8行中“1”的个数的3倍，即前16行中“1”的个数为27×3=81(个)，前32行中“1”的个数是前16行中“1”的个数的3倍，即前32行中“1”的个数为81×3=243(个)，故答案为：243．16(2023九年级上·全国·期末)在平面直角坐标系中，抛物线y =x 2的图象如图所示．已知A 点坐标为(1,1)，过点A 作AA 1∥x 轴交抛物线于点A 1，过点A 1作A 1A 2∥OA 交抛物线于点A 2，过点A 2作A 2A 3∥x 轴交抛物线于点A 3，过点A 3作A 3A 4∥OA 交抛物线于点A 4⋯，依次进行下去，则点A 2023的坐标为．【答案】-1012,10122【详解】解：∵A 点坐标为(1,1)，∴直线OA 为y =x ,A 1(-1,1)，∵A 1A 2∥OA ，∴直线A 1A 2为y =x +2，解y =x +2y =x 2得x =-1y =1 或x =2y =4 ，∴A 2(2,4)，∴A 3(-2,4)，∵A 3A 4∥OA ，∴直线A 3A 4为y =x +6，解y =x +6y =x2 得x =-2y =4 或x =3y =9 ，∴A 4(3,9)，∴A 5(-3,9)⋯，∴A2023-1012,10122,故答案为：-1012,10122．17(22-23九年级上·全国·期末)(规律探究题)下表是按一定规律排列的一列方程，仔细观察，大胆猜想，科学推断，完成练习.序号方程方程的解1x2-2x-3=0x1=-1，x2=32x2-4x-12=0x1=-2，x2=63x2-6x-27=0x1=-3，x2=9⋯⋯⋯(1)这列方程中第10个方程的两个根分别是x1=，x2=.(2)这列方程中第n个方程为.【答案】(1)-10；30；(2)x2-2nx-3n2=0【详解】(1)由表格中的规律可知，第10个方程的解为x1=-10，x2=30；(2)根据表格中的规律可知，第n个方程的解是x1=-n，x2=3n，∴根据根与系数的关系可知：第n个方程就是x2-2nx-3n2=0．18(22-23·福建莆田·期中)探究规律题按照规律填上所缺的单项式并回答问题：(1)a,-2a2,3a3,-4a4,,；(2)试写出第2017个和第2018个单项式；(3)试写出第n个单项式；(4)试计算：当a=-1时，a+(-2a2)+3a3+(-4a4)+⋯+99a99+(-100a100)的值.【详解】解：(1)由前几项的规律可得：第五项、第六项依次为：5a5，-6a6；(2)第2007个单项式为：2017a2017，第2018个单项式为：-2018a2018；(3)第n个单项式的系数为：n×(-1)n+1，次数为n，故第n个单项式为：(-1)n+1nan．(4)原式=-1-2-3⋯-100=-5050.19(23-24·河南安阳)探究规律，完成相关题目．定义“*”运算：(+2)*(+4)=+(22+42)；(-4)*(-7)=+(-4)2+(-7)2；(-2)*(+4)=-(-2)2+(+4)2；；(+5)*(-7)=-(+5)2+(-7)20*(-5)=(-5)*0=(-5)2；(+3)*0=0*(+3)=(+3)2．0*0=02+02=0(1)归纳*运算的法则：两数进行*运算时，．(文字语言或符号语言均可)特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，(2)计算：+1*0*-2．(3)是否存在有理数m，n，使得m-1=0，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．*n+2【详解】(1)解：归纳*运算的法则∶两数进行*运算时，同号得正，异号得负，并把两数的平方相加．特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，等于这个数的平方．(2)解：+1 *0*-2 ，=+1 *-2 2，=+1 *4，=+12+42 ，=1+16，=17；(3)解：m -1 *n +2 =0，=±m -1 2+n +2 2 =0，∴m -1=0，n +2=0，解得：m =1，n =-2，20(23-24·浙江杭州·期中)探究规律，完成相关题目：小明说：“我定义了一种新的运算，叫※(加乘)运算．”然后他写出了一些按照※(加乘)运算的运算法则进行运算的算式：(+5)※(+2)=+7；(-3)※(-5)=+8；(-3)※(+4)=-7；(+5)※(-6)=-11；(0)※(+8)=8；(0)※(-8)=8；(-6)※(0)=6；(+6)※(0)=6．小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※(加乘)运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？(1)观察以上式子，类比计算：①-12 ※-15=，-23 ※+1 =；(2)计算：(-2)※[0※(-1)]；(括号的作用与它在有理数运算中的作用一致，写出必要的运算步骤)(3)若1-a ※b -3 =0．计算：1a ×b +1a +2 ×b +2 +1a +4 ×b +4 +1a +6 ×b +6+1a +8 ×b +8的值．【详解】(1)解：①-12 ※-15 =-12 +-15 =12+15=710，故答案为：710．②-23 ※+1 =--23 +1 =-23+1 =-53，故答案为：-53．(2)解：(-2)※[0※(-1)]=-2 ※+1=-1+2=-3．(3)∵1-a ※b -3 =0，∴1-a +b -3 =0，。

最新 Word热门专题 2规律研究问题规律研究型问题是中考数学中的常考问题，题目数目一般是一个题，各样题型都有可能出现，一般多以选择题或许填空题中的压轴题形式出现，主要命题方式有数式规律、图形变化规律、点的坐标规律等。

基本解题思路：从简单的、局部的、特别的情况出发，经过剖析、比较、提炼，发现此中规律，从而概括或猜想出一般结论，最后考证结论的正确性。

研究规律题能够说是每年中考的必考题，估计 2020 年中考数学中仍会作为选择题或填空题的压轴题来观察。

因此掌握其基本的考试题型及解题技巧是特别有必需的。

能够理解而且运用符号表示数、数目关系和变化规律．中考学会经过经过察看、猜想、概括、总结有关实数、代数式、图形、坐标等有关的规律问题。

要求经过合情推理研究数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，在多种形式的数学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力．考向 1图形设计规律研究1． (2019江苏省徐州市) 阅读理解20cm 的图案．已知长度为10cm 、用 10cm20cm 的矩形瓷砖，可拼得一些长度不一样但宽度均为20cm 、 30cm 的全部图案以下：试试操作如图，将小方格的边长看作10cm ，请在方格纸中画出长度为40cm 的全部图案．概括发现察看以上结果，研究图案个数与图案长度之间的关系，将下表增补完好．图案的长度10cm 20cm 30cm 40cm 50cm 60cm 全部不一样图案的个数12 3【答案】如图，5，【分析】如图：依据作图可知40cm 时，全部图案个数 5 个；50cm 时，全部图案个数8 个；60cm 时，全部图案个数13 个；故答案为5， 8， 13；考向 2图形性质规律研究1.(2019 江苏省扬州市 ) 如图，在△ABC中，AB＝ 5，AC＝ 4，若进行以下操作，在边BC上从左到右挨次取点D1、 D2、 D3、D4、；过点D1作 AB、 AC的平行线分别交AC、 AB于点 E1、F1；过点D1作AB、AC的平行线分别交AC、 AB于点E2、F2；过点D3作AB、AC的平行线分别交 AC、AB于点E3、F3，则4（D1E1+D2E2+ +D2019 E2019）+5（D1F1+D2F2+ +D2019 F2019）＝．【答案】 40380【分析】∵ D1F1∥ AC， D1E1∥AB，∴，即，∵AB＝5， BC＝4，∴4D1E1+5D1F1＝20，同理 4D2E2+5D2F2＝20，， 4D2019E2019+5D2019F2019＝20，∴4（D1E1+D2E2+ +D2019E2019） +5（D1F1+D2F2+ +D2019F2019）＝ 20×2019＝ 40380；故答案为40380．2. (2019 江苏省连云港市 ) 问题情境：如图 1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点 B、C重合），垂直于 AE的一条直线 MN分别交 AB、AE、 CD于点 M、 P、 N．判断线段 DN、MB、 EC之间的数目关系，并说明原因．问题研究：在“问题情境”的基础上．（1）如图 2，若垂足P恰巧为AE的中点，连结BD，交 MN于点 Q，连结 EQ，并延伸交边AD 于点 F．求∠ AEF的度数；（2）如图 3，当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时，连结AN，将△APN沿着AN翻折，点P 落在点 P'处，若正方形 ABCD的边长为4，AD的中点为 S，求 P' S 的最小值．问题拓展：如图4，在边长为 4 的正方形ABCD中，点 M、 N分别为边AB、 CD上的点，将正方形 ABCD沿着 MN翻折，使得 BC的对应边 B' C'恰巧经过点A，C' N交 AD于点 F．分别过点A、 F 作 AG⊥ MN， FH⊥ MN，垂足分别为G、 H．若 AG＝，请直接写出FH的长．【分析】解：线段DN、 MB、 EC之间的数目关系为：DN+MB＝ EC；原因以下：∵四边形 ABCD是正方形，∴∠ ABE＝∠ BCD＝90°， AB＝BC＝ CD，AB∥ CD，过点 B 作 BF∥ MN分别交 AE、CD于点 G、 F，如图1所示：∴四边形 MBFN为平行四边形，∴NF＝ MB，∴BF⊥ AE，∴∠ BGE＝90°，∴∠ CBF+∠ AEB＝90°，∵∠ BAE+∠ AEB＝90°，∴∠ CBF＝∠ BAE，在△ ABE和△ BCF中，，∴△ ABE≌△ BCF（ ASA），∴BE＝ CF，∵DN+NF+CF＝ BE+EC，∴DN+MB＝ EC；问题研究：解：（ 1）连结AQ，过点Q作HI∥AB，分别交AD、 BC于点 H、 I ，如图2所示：∵四边形 ABCD是正方形，∴四边形 ABIH为矩形，∴H I ⊥ AD，HI⊥ BC，HI＝ AB＝AD，∵BD是正方形 ABCD的对角线，∴∠ BDA＝45°，∴△ DHQ是等腰直角三角形， HD＝ HQ， AH＝ QI，∵MN是 AE的垂直均分线，∴A Q＝ QE，在 Rt△AHQ和 Rt△QIE中，，∴R t△AHQ≌Rt△QIE（HL），∴∠ AQH＝∠QEI，∴∠ AQH+∠ EQI＝90°，∴∠ AQE＝90°，∴△ AQE是等腰直角三角形，∴∠ EAQ＝∠ AEQ＝45°，即∠ AEF＝45°；（2）连结AC交BD于点O，如图 3 所示：则△ APN的直角极点P在 OB上运动，设点 P 与点 B 重合时，则点 P′与点 D重合；设点 P 与点 O重合时，则点 P′的落点为O′，∵AO＝ OD，∠ AOD＝90°，∴∠ ODA＝∠ ADO′＝45°，当点 P 在线段 BO上运动时，过点P 作 PG⊥CD于点 G，过点 P′作 P′ H⊥ CD交 CD延伸线于点 H，连结 PC，∵点 P 在 BD上，∴AP＝PC，在△ APB和△ CPB中，，∴△ APB≌△ CPB（ SSS），∴∠ BAP＝∠ BCP，∵∠ BCD＝∠ MPA＝90°，∴∠ PCN＝∠ AMP，∵AB∥ CD，∴∠ AMP＝∠ PNC，∴∠ PCN＝∠ PNC，∴PC＝ PN，∴AP＝ PN，∴∠ PNA＝45°，∴∠ PNP′＝90°，∴∠ P′ NH+PNG＝90°，∵∠ P′ NH+∠ NP′ H＝90°，∠ PNG+∠NPG＝90°，∴∠ NPG＝∠ P′ NH，∠ PNG＝∠ NP′ H，由翻折性质得：PN＝P′ N，在△ PGN和△ NHP'中，，∴△ PGN≌△ NHP'（ ASA），∴PG＝ NH，GN＝ P' H，∵BD是正方形 ABCD的对角线，∴∠ PDG＝45°，易得 PG＝ GD，∴GN＝ DH，∴DH＝ P' H，∴∠ P' DH＝45°，故∠ P' DA＝45°，∴点 P'在线段 DO'上运动；过点 S 作 SK⊥ DO'，垂足为 K，∵点 S 为 AD的中点，∴DS＝2，则 P' S 的最小值为；问题拓展：解：延伸 AG交 BC于 E，交 DC的延伸线于Q，延伸 FH交 CD于 P，如图4：则 EG＝ AG＝，PH＝FH，∴AE＝5，最新 Word在 Rt△中，＝＝ 3，ABE BE∴CE＝ BC﹣BE＝1，∵∠ B＝∠ ECQ＝90°，∠ AEB＝∠ QEC，∴△ ABE∽△ QCE，∴＝＝3，∴QE＝AE＝，∴AQ＝ AE+QE＝，∵AG⊥ MN，∴∠ AGM＝90°＝∠ B，∵∠ MAG＝∠ EAB，∴△ AGM∽△ ABE，∴＝，即＝，解得： AM＝，由折叠的性质得：AB'＝ EB＝3，∠ B'＝∠ B＝90°，∠ C'＝∠ BCD＝90°，∴B' M＝＝，AC'＝1，∵∠ BAD＝90°，∴∠ B' AM＝∠ C' FA，∴△ AFC'∽△ MAB'，∴＝＝，解得：AF＝，∴DF＝4﹣＝，∵AG⊥ MN，FH⊥ MN，∴AG∥ FH，∴ AQ∥ FP，∴△ DFP∽△ DAQ，∴＝，即＝，解得： FP＝，∴FH＝FP＝．考向 3与坐标有关规律研究1．(2019 江苏省连云港市) 如图，将一等边三角形的三条边各8 均分，按顺时针方向（图中8 的箭头方向）标明各均分点的序号0、1、2、 3、4、 5、 6、 7、 8，将不一样边上的序号和为两点挨次连结起来，这样就成立了“三角形”坐标系．在成立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点 A 的坐标可表示为（1，2，5），点 B 的坐标可表示为（4，1， 3），按此方法，则点C的坐标可表示为．【剖析】依据点 A 的坐标可表示为（1，2，5），点 B 的坐标可表示为（4，1，3）获得经过点的三条直线对应着等边三角形三边上的三个数，挨次为左、右，下，即为该点的坐标，于是获得结论．【解答】：依据题意得，点C的坐标可表示为（2， 4， 2），故答案为：（ 2， 4， 2）．【评论】此题观察了规律型：点的坐标，等边三角形的性质，找出题中的规律是解题的重点．2． (2019 山东省菏泽市 ) 在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O 出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向挨次不停挪动，每次挪动 1 个单位长度，其移动路线以下图，第一次挪动到点A1，第二次挪动到点 A2第 n 次挪动到点 A，则点 A2019n的坐标是（）A．（ 1010，0）B．（ 1010，1）C．（ 1009，0）D．（ 1009， 1）【答案】 C【分析】剖析依据图象可得挪动 4 次图象达成一个循环，从而可得出点A2019的坐标．A1（0，1）， A2（1，1）， A3（1，0）， A4（2，0）， A5（2，1）， A6（3，1），，2019÷4＝5043，因此 A2019的坐标为（504×2＋1，0），则 A2019的坐标是（1009，0）．应选： C．2．(2019 湖南省娄底市 ) 如图，在单位长度为 1 米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为120 的弧多次复制并首尾连结而成．现有一点 P 从A( A为坐标原点）出发，AB以每秒2米的速度沿曲线向右运动，则在第2019 秒时点 P 的纵坐标为 () 3A． 2 B． 1 C． 0 D．1 【答案】 B【分析】点运动一个弧AB用时为120 22 2 秒．180 3如图，作 CD AB 于D，与弧AB交于点 E ．在 Rt ACD 中， Q ADC 90 ， ACD 1，ACB 602CAD 30 ，CD 1AC 1 2 1 ，2 2DE CE CD 2 1 1 ，第 1 秒时点 P 运动到点 E ，纵坐标为1；第 2 秒时点 P 运动到点 B ，纵坐标为0；第 3 秒时点 P 运动到点F，纵坐标为 1 ；第 4 秒时点 P 运动到点 G ，纵坐标为 0；第 5 秒时点 P 运动到点 H ，纵坐标为 1；，点 P 的纵坐标以1， 0， 1 ， 0 四个数为一个周期挨次循环，Q 2019 4 504 3，第 2019 秒时点 P 的纵坐标为是 1 ．应选： B ．3. (2019湖南省张家界市) 如图，在平面直角坐标系中，将边长为 1 的正方形OABC绕点 O 顺时针旋转45°后获得正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O 连续旋转2019 次获得正方形OA2019 B2019C2019，那么点 A2019的坐标是（）A．（，﹣）B．（ 1， 0）C．（﹣，﹣）D．（0，﹣1）【答案】 A【分析】∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，∴A（0，1），∵将正方形OABC绕点 O逆时针旋转45°后获得正方形OA1B1C1，∴A 1（， ）， A 2（ 1，0）， A 3（ ，﹣ ）， ，发现是 8 次一循环，因此 2019÷8＝252 余3，∴点 A 2019 的坐标为（，﹣ ）应选： A ．4．(2019 山东省潍坊市 ) 以下图， 在平面直角坐标系 xoy 中，一组齐心圆的圆心为坐标原点 O ，它们的半径分别为1， 2，3， ，依据“加 1”挨次递加；一组平行线， l ，l ， l 2，1l 3， 都与 x 轴垂直，相邻两直线的间距为l ，此中 l 0 与 y 轴重合若半径为 2 的圆与 l 1 在第一象限内交于点 P ，半径为 3 的圆与 l2 在第一象限内交于点 P ， ，半径为 n ＋ 1 的圆与 ln12在第一象限内交于点 P n ，则点 P n 的坐标为．（n 为正整数）【答案】 A【分析】连结 OP 1， OP 2，OP 3， l 1、 l 2、 l 3 与 x 轴分别交于 A 1、 A 2、A 3，以下图：在 Rt △ OA 1P 1 中， OA 1＝ 1， OP 1＝ 2，∴A1P1＝＝＝，同理：A2P2＝＝，A3P3＝＝，，∴P1的坐标为（ 1 ，），P2的坐标为（ 2 ，），P3的坐标为（3，），，依据此规律可得点P n的坐标是（n，），即（n，）故答案为：（ n，）．考向 4 与函数有关的规律1．(2019 山东省淄博市 ) 如图，△ OA1B1，△ A1 A2 B2 ，△ A2 A3B3，是分别以 A1 ，A2，A3 ，为直角极点，一条直角边在x 轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C1 (x1， y1 ) ，C2 (x2， y2 ) ， C3 (x3， y3 ) ，均在反比率函数 y 4( x 0) 的图象上．则 y1 y2 y10 的x值为 ( )A．2 10B．6C．4 2D．2 7 【答案】 A【分析】过C1、 C2、 C3分别作x轴的垂线，垂足分别为D1、 D2、 D3其斜边的中点 C1在反比率函数 y 4C(2,2) 即 y1 2 ，，xOD1D1A1 2 ，设 A1D2 a ，则 C2 D2 a 此时 C2 (4 a, a) ，代入 y 4得： a(4 a) 4 ，x解得： a 2 2 2 ，即： y2 2 2 2 ，同理： y3 2322，y4 2 4 2 3 ，y1y2y10 2 2 2 2 2 3 2 2 2 10 2 9 2 10 ，应选： A．2．(2019 山东省德州市 ) 如图，点 A1、A3、A5 在反比率函数 y k的图象上，点 A2 、( x 0)xA4、 A6 在反比率函数 y k的图象上，(x 0)xOA1 A2 A1 A2 A3A2 A3 A4 60 ，且 OA1 2 ，则 A n (n 为正整数）的纵坐标为．（用含 n 的式子表示）【答案】 A【分析】过A1作 A1D1⊥ x 轴于 D1，∵OA1＝2，∠ OA1A2＝∠α＝60°，∴△ OA1E 是等边三角形，∴A1（1，），∴k＝，∴y＝和y＝－，过 A2作 A2D2⊥ x 轴于 D2，∵∠ A2EF＝∠ A1A2A3＝60°，∴△ A2EF是等边三角形，设 A2（ x，－Rt△EA2D2中，∠），则 A2D2＝EA2D2＝30°，，∴ED2＝，∵OD2＝2＋＝x，解得：x1＝1－（舍），x2＝1＋，∴EF＝＝＝＝2（－1）＝2－2，A2D2＝＝＝，即 A2的纵坐标为－；过 A3作 A3D3⊥ x 轴于 D3，同理得：△ A3FG是等边三角形，设 A3（ x，），则A3D3＝，Rt△FA3D3中，∠FA3D3＝30°，∴FD3＝，∵3＝2＋2 －2＋＝，OD x解得： x1 ＝（舍）， x2＝＋；∴GF＝＝＝2（－）＝ 2 － 2 ，A3D3＝＝＝（－），即 A3的纵坐标为（－）；n n＋ 1（）；∴A （ n 为正整数）的纵坐标为：（－1）故答案为：（－1）n＋1（）；3. (2019 山东省东营市 ) 如图，在平面直角坐标系中，函数y＝x 和 y＝﹣x 的图象分别为直线 l 1， l 2，过 l 1上的点 A1（1，）作 x 轴的垂线交 l 2于点 A2，过点 A2作 y 轴的垂线交 l 1于点 A3，过点 A3作 x 轴的垂线交l 2于点 A4，挨次进行下去，则点A2019的横坐标为．【答案】﹣ 31009【分析】由题意可得，A1（1，），A2（1，﹣），A3（﹣3，﹣），A4（﹣3，3 ），A5（9，3 ）， A6（9，﹣9），，可得 A2n＋1的横坐标为（﹣3）n∵2019＝2×1009＋ 1，∴点 A2019的横坐标为：（﹣3）1009＝﹣31009，故答案为：﹣ 31009．4． (2019 山东省泰安市 ) 在平面直角坐标系中，直线l ：＝＋ 1 与y轴交于点1，如图所y x A示，挨次作正方形OA1B1C1，正方形 C1A2B2C2，正方形 C2A3B3C3，正方形 C3A4B4C4，，点 A1，A2，A3， A4，在直线 l 上，点 C1， C2， C3， C4，在 x 轴正半轴上，则前n 个正方形对角线长的和是．【答案】2（ 2n﹣ 1）【分析】由题意可得，点 A1的坐标为（0，1），点 A2的坐标为（1，2），点 A3的坐标为（3，4），点 A4的坐标为（7，8），，∴OA1＝1， C1A2＝2， C2A3＝4， C3A4＝8，，∴前 n 个正方形对角线长的和是：（OA1＋C1A2＋C2A3＋C3A4＋＋C n﹣1A n）＝（1＋2＋ 4 n﹣ 1＋8＋＋ 2），设 S＝1＋2＋4＋8＋＋2n﹣1，则2S＝2＋4＋8＋＋2n﹣1＋2n，则 2S﹣S＝2n﹣ 1，∴S＝2n﹣1，∴1＋ 2＋ 4＋ 8＋＋ 2n﹣1＝ 2n﹣ 1，∴前 n 个正方形对角线长的和是：n×（2﹣1），n故答案为：2（ 2 ﹣1），。

2024年中考数学复习重难点题型训练—规律探索题（含答案解析）类型一数式规律1．（2023·云南·统考中考真题）按一定规律排列的单项式：2345,a ，第n 个单项式是（）AB1n -CnD1n -【答案】Ca ，指数为1开始的自然数，据此即可求解．【详解】解：按一定规律排列的单项式：2345,a ，第nn ，故选：C ．【点睛】本题考查了单项式规律题，找到单项式的变化规律是解题的关键．2．（2023·山东·统考中考真题）已知一列均不为1的数123n a a a a ，，，，满足如下关系：1223121111a a a a a a ++==--，34131111n n na a a a a a +++==-- ，，，若12a =，则2023a 的值是（）A ．12-B ．13C ．3-D ．2【答案】A【分析】根据题意可把12a =代入求解23a =-，则可得312a =-，413a =，52a =……；由此可得规律求解．【详解】解：∵12a =，∴212312a +==--，3131132a -==-+，411121312a -==+，51132113a +==-，…….；由此可得规律为按2、3-、12-、13四个数字一循环，∵20234505.....3÷=，∴2023312a a ==-；故选A ．【点睛】本题主要考查数字规律，解题的关键是得到数字的一般规律．3．（2023·湖南常德·统考中考真题）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数202023若排在第a 行b 列，则a b -的值为()11122113223114233241……A ．2003B ．2004C ．2022D ．2023【答案】C【分析】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致．【详解】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致，故202023在第20列，即20b =；向前递推到第1列时，分数为201912023192042-=+，故分数202023与分数12042在同一行．即在第2042行，则2042a =．∴2042202022.a b -=-=故选：C ．【点睛】本题考查了数字类规律探索的知识点，解题的关键善于发现数字递变的周期性和趋向性．4．（2023·四川内江·统考中考真题）对于正数x ，规定2()1xf x x =+，例如：224(2)213f ⨯==+，1212212312f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+，233(3)312f ⨯==+，1211313213f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+，计算：11111(1)1011009932f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)(3)(99)(100)(101)f f f f f +++++= （）A ．199B ．200C ．201D ．202【答案】C【分析】通过计算11(1)1,(2)2,(3)223f f f f f ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，⋯可以推出11111(1)(2)(3)(99)(100)(101)1011009932f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭结果．【详解】解：2(1)1,11f ==+ 12441212(2),,(2)2,112323212f f f f ⨯⎛⎫⎛⎫====+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+122331113(3),,(3)2,113232313f f f f ⨯⨯⎛⎫⎛⎫====+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+…2100200(100)1100101f ⨯==+，1212100()11001011100f ⨯==+，1(100)(2100f f +=，11111(1)(2)(3)(99)(100)(101)1011009932f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21001=⨯+201=故选：C ．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，找到数字变化规律是解本题的关键．5.（2021·湖北鄂州市·中考真题）已知1a 为实数﹐规定运算：2111a a =-，3211a a =-，4311a a =-，5411a a =-，……，111n n a a -=-．按上述方法计算：当13a =时，2021a 的值等于（）A．23-B．13C．12-D．23【答案】D 【分析】当13a =时，计算出23421,,3,32a a a ==-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，会发现呈周期性出现，即可得到2021a 的值．【详解】解：当13a =时，计算出23421,,3,32a a a ==-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，会发现是以：213,,32-，循环出现的规律，202136732=⨯+ ，2021223a a ∴==，故选：D ．【点睛】本题考查了实数运算规律的问题，解题的关键是：通过条件，先计算出部分数的值，从中找到相应的规律，利用其规律来解答．6.（2021·湖北随州市·中考真题）根据图中数字的规律，若第n 个图中的143q =，则p的值为（）A．100B．121C．144D．169【答案】B 【分析】分别分析n 的规律、p 的规律、q 的规律，再找n 、p 、q 之间的联系即可．【详解】解：根据图中数据可知：1,2,3,4n =，……22221,2,3,4,p =……222221,31,41,51,q =----……则2p n =，2(1)1q n =+-，∵第n 个图中的143q =，∴2(1)1=143q n =+-，解得：11n =或13n =-(不符合题意，舍去)∴2=121p n =，故选：B ．【点睛】本题主要考查数字之间规律问题，将题中数据分组讨论是解决本题的关键．7.（2021·山东济宁市·中考真题）按规律排列的一组数据：12，35，□，717，926，1137，…，其中□内应填的数是（）A．23B．511C．59D．12【答案】D 【分析】分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，根据规律即可得到答案．【详解】观察这排数据发现，分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，∴第n 个数据为：2211n n -+当3n =时W 的分子为5，分母为23110+=∴这个数为51102=故选：D ．【点睛】本题考查了数字的探索规律，分子和分母分别寻找规律是解题关键．8.（2021·湖北十堰市·）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（）A．2025B．2023C．2021D．2019【答案】B 【分析】根据数字的变化关系发现规律第n 行，第n 列的数据为：2n(n-1)+1，即可得第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，再依次加2，到第32行，第13列的数据，即可．解：观察数字的变化，发现规律：第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1，∴第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2，∴第32行，第13列的数据为：1985+2×(32-13)=2023，故选：B．【点睛】本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律，利用规律解决问题．9.（2020•天水）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S，用含S的式子表示这组数据的和是（）A．2S2﹣S B．2S2+S C．2S2﹣2S D．2S2﹣2S﹣2【分析】根据已知条件和2100＝S，将按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，求和，即可用含S的式子表示这组数据的和．【解析】∵2100＝S，∴2100+2101+2102+…+2199+2200＝S+2S+22S+…+299S+2100S＝S（1+2+22+…+299+2100）＝S（1+2100﹣2+2100）＝S（2S﹣1）＝2S2﹣S．10．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）观察下列式子：21110-=⨯；22221-=⨯；23332-=⨯；24443-=⨯；25554-=⨯；…依此规律，则第n （n 为正整数）个等式是．【答案】()21n n n n -=-【分析】根据等式的左边为正整数的平方减去这个数，等式的右边为这个数乘以这个数减1，即可求解．【详解】解：∵21110-=⨯；22221-=⨯；23332-=⨯；24443-=⨯；25554-=⨯；…∴第n （n 为正整数）个等式是()21n n n n -=-，故答案为：()21n n n n -=-．【点睛】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键．11．（2023·山东临沂·统考中考真题）观察下列式子21312⨯+=；22413⨯+=；23514⨯+=；……按照上述规律，2n =．【答案】()()111n n -++【分析】根据已有的式子，抽象出相应的数字规律，进行作答即可．【详解】解：∵21312⨯+=；22413⨯+=；23514⨯+=；……∴()()2211n n n ++=+，∴()()2111n n n -++=．故答案为：()()111n n -++【点睛】本题考查数字类规律探究．解题的关键是从已有的式子中抽象出相应的数字规律．12．（2023·四川成都·统考中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m ，n 的平方差，且1m n ->，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，221653=-，16就是一个智慧优数，可以利用22()()m n m n m n -=+-进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是；第23个智慧优数是．【答案】1545【分析】根据新定义，列举出前几个智慧优数，找到规律，进而即可求解．【详解】解：依题意，当3m =，1n =，则第1个一个智慧优数为22318-=当4m =，2n =，则第2个智慧优数为224214-=当4m =，1n =，则第3个智慧优数为224115-=，当5m =，3n =，则第5个智慧优数为225316-=当5m =，2n =，则第6个智慧优数为225221-=当5m =，1n =，则第7个智慧优数为225324-=……6m =时有4个智慧优数，同理7m =时有5个，8m =时有6个，12345621+++++=第22个智慧优数，当9m =时，7n =，第22个智慧优数为2297814932-=-=，第23个智慧优数为9,6m n ==时，2296813645-=-=，故答案为：15，45．【点睛】本题考查了新定义，平方差公式的应用，找到规律是解题的关键．13．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：()3,5；()7,10；()13,17；()21,26；()31,37…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n 个数对：．【答案】()221,22n n n n ++++【分析】根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，可发现第n 个数对的第一个数为：()11n n ++，第n 个数对的第二个位：()211n ++，即可求解．【详解】解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，…即：121⨯+，231⨯+，341⨯+，451⨯+，561⨯+，…则第n 个数对的第一个数为：()2111n n n n ++=++，每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，…即：221+；231+；241+；251+；261+…，则第n 个数对的第二个位：()221122n n n ++=++，∴第n 个数对为：()221,22n n n n ++++，故答案为：()221,22n n n n ++++．【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的排列规律，利用拐弯出数字的差的规律解决问题．14．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）点Q 的横坐标为一元一次方程37322x x +=-的解，纵坐标为a b +的值，其中a ，b 满足二元一次方程组2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩，则点Q 关于y 轴对称点Q '的坐标为___________．【答案】()5,4--【分析】先分别解一元一次方程37322x x +=-和二元一次方程组2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩，求得点Q的坐标，再根据直角坐标系中点的坐标的规律即可求解．【详解】解：37322x x +=-，移项合并同类项得，525x =，系数化为1得，5x =，∴点Q 的横坐标为5，∵2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩①②，由2+⨯①②得，3=12b -，解得：4b =-，把4b =-代入①得，24=4a +，解得：0a =，∴=04=4a b +--，∴点Q 的纵坐标为4-，∴点Q 的坐标为()5,4-，又∴点Q 关于y 轴对称点Q '的坐标为()5,4--，故答案为：()5,4--．【点睛】本题考查解一元一次方程和解二元一次方程组、代数值求值、直角坐标系中点的坐标的规律，熟练掌握解一元一次方程和解二元一次方程组的方法求得点Q 的坐标是解题的关键．15．（2023·湖北恩施·统考中考真题）观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：2-，4，8-，16，32-，64，……①0，7，4-，21，26-，71，……②根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为；取每行数的第2023个数，则这两个数的和为．【答案】1024202422024-+【分析】通过观察第一行数的规律为(2)n -，第二行数的规律为(2)1n n -++，代入数据即可.【详解】第一行数的规律为(2)n -，∴第①行数的第10个数为10(2)1024-=；第二行数的规律为(2)1n n -++，∴第①行数的第2023个数为2023(2)-，第②行数的第2023个数为2023(2)2024-+，∴202422024-+，故答案为：1024；202422024-+．【点睛】本题主要考查数字的变化，找其中的规律，是今年考试中常见的题型.16.（2021·湖南怀化市·中考真题）观察等式：232222+=-，23422222++=-，2345222222+++=-，……，已知按一定规律排列的一组数：1002，1012，1022，……，1992，若1002=m ，用含m 的代数式表示这组数的和是___________．【答案】100(21)m -【分析】根据规律将1002，1012，1022，……，1992用含m 的代数式表示，再计算0199222+++ 的和，即可计算1001011011992222++++ 的和．【详解】由题意规律可得：2399100222222++++=- ．∵1002=m∴23991000222222=2m m +++++== ，∵22991001012222222+++++=- ，∴10123991002222222=++++++ 12=2m m m m =+=．102239910010122222222+=++++++ 224=2m m m m m =++=．1032399100101102222222222=++++++++ 3248=2m m m m m m =+++=．……∴1999922m =．故10010110110199992222222m m m ++++=+++ ．令012992222S ++++= ①12310022222S ++++= ②②-①，得10021S-=∴10010110110199992222222m m m ++++=+++ =100(21)m -故答案为：100(21)m -．【点睛】本题考查规律问题，用含有字母的式子表示数、灵活计算数列的和是解题的关键．17.（2022·湖南怀化）正偶数2，4，6，8，10，……，按如下规律排列，2468101214161820……则第27行的第21个数是______．【答案】744【分析】由图可以看出，每行数字的个数与行数是一致的，即第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数••••••••第n行有n个数，则前n行共有(1)2n n+个数，再根据偶数的特征确定第几行第几个数是几．【详解】解：由图可知，第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数，•••••••第n行有n个数．∴前n行共有1+2+3+⋯+n=(1)2n n+个数．∴前26行共有351个数，∴第27行第21个数是所有数中的第372个数．∵这些数都是正偶数，∴第372个数为372×2=744．故答案为：744．【点睛】本题考查了数字类的规律问题，解决这类问题的关键是先根据题目的已知条件找出其中的规律，再结合其他已知条件求解．18.（2021·四川眉山市·中考真题）观察下列等式：1311 212x===+⨯；2711623x ===+⨯；313111234x ===+⨯；……根据以上规律，计算12320202021x x x x ++++-= ______．【答案】12016-【分析】根据题意，找到第n 个等式的左边为1与1n(n 1)+的和；利用这个结论得到原式＝112+116+1112+…+1120202021⨯﹣2021，然后把12化为1﹣12，16化为12﹣13，120152016⨯化为12015﹣12016，再进行分数的加减运算即可．【详解】11(1)n n =++，20201120202021x =+⨯12320202021x x x x ++++- ＝112+116+1112+…+1120202021⨯﹣2021＝2020+1﹣12+12﹣13+…+12015﹣12016﹣2021＝2020+1﹣12016﹣2021＝12016-．故答案为：12016-．【点睛】本题考查了二次根式的化简和找规律，解题关键是根据算式找的规律，根据数字的特征进行简便运算．19.（2022·安徽）观察以下等式：第1个等式：()()()22221122122⨯+=⨯+-⨯，第2个等式：()()()22222134134⨯+=⨯+-⨯，第3个等式：()()()22223146146⨯+=⨯+-⨯，第4个等式：()()()22224158158⨯+=⨯+-⨯，……按照以上规律．解决下列问题：(1)写出第5个等式：________；(2)写出你猜想的第n 个等式（用含n 的式子表示），并证明．【答案】(1)()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯(2)()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，证明见解析【分析】（1）观察第1至第4个等式中相同位置的数的变化规律即可解答；（2）观察相同位置的数变化规律可以得出第n 个等式为()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，利用完全平方公式和平方差公式对等式左右两边变形即可证明．(1)解：观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知第5个等式为：()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯，故答案为：()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯；(2)解：第n 个等式为()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，证明如下：等式左边：()2221441n n n +=++，等式右边：[][]22(1)21(1)2n n n n +⋅+-+⋅[][](1)21(1)2(1)21(1)2n n n n n n n n =+⋅+++⋅⋅+⋅+-+⋅[](1)411n n =+⋅+⨯2441n n =++，故等式()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅成立．【点睛】本题考查整式规律探索，发现所给数据的规律并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关键．20.（2021·贵州铜仁市·中考真题）观察下列各项：112，124，138，1416，…，则第n 项是______________．【答案】12nn +【分析】根据已知可得出规律：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+…即可得出结果．【详解】解：根据题意可知：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+，第四项：41144162=+，…则第n 项是12n n +；故答案为：12nn +．【点睛】此题属于数字类规律问题，根据已知各项的规律得出结论是解决此类题目的关键．0.618≈这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设12a =，b =11111S a b =+++，2222211S a b =+++，…，10010010010010011S a b=+++，则12100S S S +++= _______．【答案】5050【分析】利用分式的加减法则分别可求S 1=1，S 2=2，S 100=100，•••，利用规律求解即可．【详解】解： 12a =，b =11122ab =⨯=∴，1112211112a ba ba b b ba bS a a ++++=+==+++++++ ，222222222222222222221112a b a b S a b a b a b a b ++++=+=⨯=⨯=+++++++，…，10101001001001010101010010011100100111a b S a b a b a b +++=+=⨯=+++++∴12100S S S +++= 121005050++⋯⋯+=故答案为：5050【点睛】本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得1ab =，找出的规律是本题的关键．22.（2021·江西中考真题）下表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全下表第四行空缺的数字是______．【答案】3【分析】通过观察每一个数字等于它上方相邻两数之和．【详解】解：通过观察杨辉三角发现每一个数字等于它上方相邻两数之和的规律，例如：第3行中的2，等于它上方两个相邻的数1，1相加，即：211=+；第4行中的3，等于它上方两个相邻的数2，1相加，即：321=+；⋅⋅⋅⋅⋅⋅由此规律：故空缺数等于它上方两个相邻的数1，2相加，即空缺数为：3，故答案是：3．【点睛】本题考查了杨辉三角数的规律，解题的关键是：通过观察找到数与数之间的关系，从来解决问题．23.（2022·山东泰安）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：若有序数对(),n m 表示第n 行，从左到右第m 个数，如()3,2表示6，则表示99的有序数对是_______．【答案】()10,18【分析】分析每一行的第一个数字的规律，得出第n 行的第一个数字为211n +-（），从而求得最终的答案．【详解】第1行的第一个数字：()2111=+-1第2行的第一个数字：()22121=+-第3行的第一个数字：()25131=+-第4行的第一个数字：()210141=+-第5行的第一个数字：()217151=+-…..，设第n 行的第一个数字为x ，得()211x n =+-设第1n +行的第一个数字为z ，得21z n =+设第n 行，从左到右第m 个数为y 当99y =时221(1)991n n +-≤<+∴22(1)98n n -≤<∵n 为整数∴10n =∴21182x n =+-=（）∴9982118m =-+=故答案为：()10,18．【点睛】本题考查数字规律的性质，解题的关键是熟练掌握数字规律的相关性质．24.（2022·浙江舟山）观察下面的等式：111236=+，1113412=+，1114520=+，……(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n 的等式表示，n 为正整数）(2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．【答案】(1)1111(1)n n n n =+++(2)见解析【分析】（1）根据所给式子发现规律，第一个式子的左边分母为2，第二个式子的左边分母为3，第三个式子的左边分母为4，…；右边第一个分数的分母为3，4，5，…，另一个分数的分母为前面两个分母的乘积；所有的分子均为1；所以第（n+1）个式子为1111(1)n n n n =+++．（2）由（1）的规律发现第（n+1）个式子为1111(1)n n n n =+++，用分式的加法计算式子右边即可证明．(1)解：∵第一个式子()1111123621221=+=+++，第二个式子()11111341231331=+=+++，第三个式子()11111452041441=+=+++，……∴第（n+1）个式子1111(1)n n n n =+++；(2)解：∵右边=111111(1)(1)(1)(1)n n n n n n n n n n n n ++=+==+++++=左边，∴1111(1)n n n n =+++．【点睛】此题考查数字的变化规律，分式加法运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中各分母的变化规律．类型二图形规律25．（2023·重庆·统考中考真题）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（）A ．39B ．44C ．49D ．54【答案】B 【分析】根据各图形中木棍的根数发现计算的规律，由此即可得到答案．【详解】解：第①个图案用了459+=根木棍，第②个图案用了45214+⨯=根木棍，第③个图案用了45319+⨯=根木棍，第④个图案用了45424+⨯=根木棍，……，+⨯=根，第⑧个图案用的木棍根数是45844故选：B．【点睛】此题考查了图形类规律的探究，正确理解图形中木棍根数的变化规律由此得到计算的规律是解题的关键．25．（2023·重庆·统考中考真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（）A．14B．20C．23D．26【答案】B【分析】根据前四个图案圆圈的个数找到规律，即可求解.=⨯-；【详解】解：因为第①个图案中有2个圆圈，2311=⨯-；第②个图案中有5个圆圈，5321=⨯-；第③个图案中有8个圆圈，8331=⨯-；第④个图案中有11个圆圈，11341…，⨯-=；所以第⑦个图案中圆圈的个数为37120故选：B.【点睛】本题考查了图形类规律探究，根据前四个图案圆圈的个数找到第n个图案的规律为31n -是解题的关键.27．（2023·山东日照·统考中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算1234100+++++ 时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到100(1100)12341002⨯++++++= ．人们借助于这样的方法，得到(1)12342n n n ++++++= （n 是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点(),i i i A x y ，其中1,2,3,,,i n = ，且,i i x y 是整数．记n n n a x y =+，如1(0,0)A ，即120,(1,0)a A =，即231,(1,1)a A =-，即30,a = ，以此类推．则下列结论正确的是（）A ．202340a =B ．202443a =C ．2(21)26n a n -=-D ．2(21)24n a n -=-【答案】B 【分析】利用图形寻找规律()211,1n A n n ---，再利用规律解题即可．【详解】解：第1圈有1个点，即1(0,0)A ，这时10a =；第2圈有8个点，即2A 到()91,1A ；第3圈有16个点，即10A 到()252,2A ，；依次类推，第n 圈，()211,1n A n n ---；由规律可知：2023A 是在第23圈上，且()202522,22A ，则()202320,22A 即2023202242a =+=，故A 选项不正确；2024A 是在第23圈上，且()202421,22A ，即2024212243a =+=，故B 选项正确；第n 圈，()211,1n A n n ---，所以2122n a n -=-，故C 、D 选项不正确；故选B ．【点睛】本题考查图形与规律，利用所给的图形找到规律是解题的关键．28.（2022·江西）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（）A．9B．10C．11D．12【答案】B 【分析】列举每个图形中H 的个数，找到规律即可得出答案．【详解】解：第1个图中H 的个数为4，第2个图中H 的个数为4+2，第3个图中H 的个数为4+2×2，第4个图中H 的个数为4+2×3=10，故选：B．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中H 的个数，找到规律：每个图形比上一个图形多2个H 是解题的关键．29.（2022·重庆）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（）A．32B．34C．37D．41【答案】C 【分析】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n 个图形的算式，然后再解答即可．【详解】解：第1个图中有5个正方形；第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1；第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2；第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3；．．．第n 个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1；当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37．故选：C．【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键．30.（2021·广西玉林市·中考真题）观察下列树枝分杈的规律图，若第n 个图树枝数用n Y 表示，则94Y Y -=（）A．4152⨯B．4312⨯C．4332⨯D．4632⨯【答案】B【分析】根据题目中的图形，可以写出前几幅图中树枝分杈的数量，从而可以发现树枝分杈的变化规律，进而得到规律21nn Y =-，代入规律求解即可．【详解】解：由图可得到：11223344211213217211521n n Y Y Y Y Y =-==-==-==-==-则：9921Y =-，∴944942121312Y Y -=--+=⨯，故答案选：B．【点睛】本题考查图形规律，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答31.（2021·黑龙江大庆市·中考真题）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______个交点【答案】190【分析】根据题目中的交点个数，找出n 条直线相交最多有的交点个数公式：1(1)2n n -．【详解】解：2条直线相交有1个交点；3条直线相交最多有1123322+==⨯⨯个交点；4条直线相交最多有11236432++==⨯⨯个交点；5条直线相交最多有1123410542+++==⨯⨯个交点；⋯20条直线相交最多有120191902⨯⨯=．故答案为：190．【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n 条直线相交最多有1(1)2n n -．32．（2023·四川遂宁·统考中考真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为4CH ，乙烷的化学式为26C H ，丙烷的化学式为38C H ……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为．【答案】1226C H 【分析】根据碳原子的个数，氢原子的个数，找到规律，即可求解．【详解】解：甲烷的化学式为4CH ，乙烷的化学式为26C H ，丙烷的化学式为38C H ……，碳原子的个数为序数，氢原子的个数为碳原子个数的2倍多2个，十二烷的化学式为1226C H ，故答案为：1226C H ．【点睛】本题考查了规律题，找到规律是解题的关键．33．（2023·山西·统考中考真题）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n 个图案中有个白色圆片（用含n 的代数式表示）【答案】()22n +【分析】由于第1个图案中有4个白色圆片4221=+⨯，第2个图案中有6个白色圆片6222=+⨯，第3个图案中有8个白色圆片8223=+⨯，第4个图案中有10个白色圆片10224=+⨯，⋯，可得第(1)n n >个图案中有白色圆片的总数为22n +．【详解】解：第1个图案中有4个白色圆片4221=+⨯，第2个图案中有6个白色圆片6222=+⨯，第3个图案中有8个白色圆片8223=+⨯，第4个图案中有10个白色圆片10224=+⨯，⋯，∴第(1)n n >个图案中有()22n +个白色圆片．故答案为：()22n +．【点睛】此题考查图形的变化规律，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．解题关键是总结归纳出图形的变化规律．34．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）在求123100++++ 的值时，发现：1100101+=，299101+= ，从而得到123100++++= 101505050⨯=．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作11a =；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作25a =；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作39a =；按此方法继续下去，则123n a a a a ++++= ．（结果用含n 的代数式表示）【答案】22n n -/22n n -+【分析】根据题意得出()14143n a n n =+-=-，进而即可求解．【详解】解：依题意，()1231,5,9,14143n a a a a n n ===⋅⋅⋅=+-=-，，∴123n a a a a ++++= ()21432122n n n n n n +-==-=-，故答案为：22n n -．【点睛】本题考查了图形类规律，找到规律是解题的关键．35.（2022·山东泰安）观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022时，n 的值为____________．【答案】不存在【分析】首先根据n=1、2、3、4时，“•”的个数分别是3、6、9、12，判断出第n 个图形中“•”的个数是3n；然后根据n=1、2、3、4，“○”的个数分别是1、3、6、10，判断出第n 个“○”的个数是()12n n +；最后根据图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022，列出方程，解方程即可求出n 的值是多少即可．【详解】解：∵n=1时，“•”的个数是3=3×1；n=2时，“•”的个数是6=3×2；n=3时，“•”的个数是9=3×3；n=4时，“•”的个数是12=3×4；……∴第n 个图形中“•”的个数是3n；又∵n=1时，“○”的个数是1=1(11)2⨯+；n=2时，“○”的个数是2(21)32⨯+=，n=3时，“○”的个数是3(31)62⨯+=，n=4时，“○”的个数是4(41)102⨯+=，……∴第n 个“○”的个数是()12n n +，由图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022()1320222n n n +∴-=①，()1320222n n n +-=②解①得：无解解②得：12n n ==故答案为：不存在【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．36.（2022·四川遂宁）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为______．【答案】127【分析】由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数．【详解】解：∵第一代勾股树中正方形有1+2=3（个），第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个），第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15（个），.....．∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26=127（个），故答案为：127．【点睛】本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律．37.（2021·湖南常德市·中考真题）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有11⨯个正方形，所有线段的和为4，第二个图形有22⨯个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有33⨯个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n 个网格所有线段的和为____________．(用含n 的代数式表示)【答案】2n 2+2n【分析】本题要通过第1、2、3和4个图案找出普遍规律，进而得出第n 个图案的规律为S n =4n+2n ×(n-1)，得出结论即可．【详解】解：观察图形可知：第1个图案由1个小正方形组成，共用的木条根数141221,S =⨯=⨯⨯第2个图案由4个小正方形组成，共用的木条根数262232,S =⨯=⨯⨯第3个图案由9个小正方形组成，共用的木条根数383243,S =⨯=⨯⨯第4个图案由16个小正方形组成，共用的木条根数4104254,S =⨯=⨯⨯…由此发现规律是：第n 个图案由n 2个小正方形组成，共用的木条根数()22122,n S n n n n =+=+ 故答案为：2n 2+2n．【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类，熟练找出前四个图形的规律是解题的关键．38.（2021·黑龙江绥化市·中考真题）下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形…，依此规律，则第n 个图形中三角形个数是_______．【答案】21n n +-【分析】此题只需分成上下两部分即可找到其中规律，上方的规律为(n-1)，下方规律为n 2，结合两部分即可得出答案．【详解】解：将题意中图形分为上下两部分，则上半部规律为：0、1、2、3、4……n-1，下半部规律为：12、22、32、42……n 2，∴上下两部分统一规律为：21n n +-．故答案为：21n n +-．【点睛】本题主要考查的图形的变化规律，解题的关键是将图形分为上下两部分分别研究．类型三与函数有关规律39．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P 为位似中心作正方形123PA A A ，正方形456,PA A A ⋯，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形123PA A A 的顶点坐标分别为()()()123,0,2,1,1,0P A A ---，()32,1A --，则顶点100A 的坐标为（）。

热点专题2 规律探究问题规律探究类试题有助于引导学生在平时的学习过程中进行自觉地探索，使学生在自主探索的过程中更好地理解代数式的意义和作用，培养学生探究能力。

规律探究题目是中考数学中的常考类型，往往出现在选择题或填空题的压轴位置上，基本解题方法：从特殊情况入手→探索发现规律→猜想结论→验证猜想→应用结论。

规律探究问题主要有以下两种题型：题型一：数字或数式类探究型问题； 题型二：图形类探究型问题。

考向1 数字或数式类探究型问题例：（2019•萝光区期末）观察一列数：1，3，5，7，9，11，13，按照这列数的排列规律，你认为第n 个数应该是( ) A ．21n B ．1(1)(21)n nC ．1(1)(21)n nD ．(1)(21)n n练习：1．（2019•金湾区二模）观察下列关于x 、a 的单项式的特点：223x a ，2265x a ，23128x a ，242013x a ，253021x a 按此规律，第10个单项式是( ) A ．2990144x a B ．2990144x a C ．210110233x a D ．210110233x a 2．（2019•三水区一模）观察下列等式： ①211 ②22343③2345675④2456789107请根据上述规律判断下列等式正确的是( ) A ．21009101030262017 B ．21009101030272018C ．21010101130282019 D ．210101011302920203．（2018•肇庆市一模）任意大于1的正整数m 的三次幂均可“分裂”成m 个连续奇数的和，如：3235，337911，3413151719，按此规律，若3m 分裂后，其中有一个奇数是203，则m 的值是A ．13B ．14C ．15D ．164．（2019•乳源县二模）观察下列各式：21131222；21241333；21351444；根据上面的等式所反映的规律， （1）填空：21150__________；2112019__________；（2）计算：22221111(1)(1)(1)(1)2342019 5．（2019212121(21)(21)；323232(32)(32)；434343(43)(43)；则：（1109（21n n __________； （3）利用这一规律计算：)(20201)324320202019的值．考向2 图形类探究型问题例1：（2019•龙门县二模）下列图案是用长度相同的小木棒按一定规律拼搭而成，图案①需8根小木棒，图案②需15根小木棒，，按此规律，图案⑦需小木棒的根数是( )A ．49B ．50C ．55D ．56 例2：（2018•罗定市二模）如图，ABC 中，90A ，ABAC ，顶点B 为(4,0)，顶点C 为(1,0)，将ABC 关于y 轴轴对称变换得到△111A B C ，再将△111A B C 关于直线2x（即过(2,0)垂直于x 轴的直线）轴对称变换得到△222A B C ，再将△222A B C 关于直线4x 轴对称变换得到△333A B C ，再将△333A B C 关于直线6x轴对称变换得到△444A B C ，按此规律继续变换下去，则点10A 的坐标为__________．练习：1．（2018•东城区二模）如图，已知Rt △1AC C 中，190AC C ，30A，11CC ，作12C C AC 于点2C ，231C C AC 于点3C ，34C C AC 于点41n n C C C 于点n C ，分別记线段1CC ，12C C ，23C C ，，1n n C C 的长为1a ，23n a a a ，计算并观察其中的规律得(n a )A ．112nB ．12nC ．13)nD ．N 2．（2019•南沙区一模）如图，在直角坐标系中，有一等腰直角三角形OBA ，90OAB，直角边OA 在x轴正半轴上，且1OA ，将Rt OBA 绕原点O 顺时针旋转90，同时扩大边长的1倍，得到等腰直角三角形11OB A （即12)AO AO ．同理，将Rt △11OB A 顺时针旋转90，同时扩大边长1倍，得到等腰直角三角形22OB A 依此规律，得到等腰直角三角形20192019OB A ，则点2019B 的坐标为( )A ．2019(2，20192)B ．2019(2，20192)C ．2018(2，20182)D ．2018(2，20182)3．（2019•罗定市二模）如图所示，第1个图案是由黑白两种颜色的六边形地面砖组成的，第2个，第3个图案可以看成是由第1个图案经过平移而得，那么第n 个图案中有白色六边形地面砖( )块．A ．64(1)nB ．64nC ．42nD ．42n4．（2018 •新兴县二模）在平面坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为(1,0)，点D 的坐标为(0,2)，延长CB 交x 轴于点1A ，作正方形111A B C C ，正方形111A B C C 的面积为__________，延长11C B 交x 轴于点2A ，作正方形2221A B C C ，按这样的规律进行下去，正方形2018201820182017A B C C 的面积为__________．5．（2019•揭东县二模）如图，在矩形ABCD 中，2AD ，1CD ，连接AC ，以对角线AC 为边，按逆时针方向作矩形ABCD 的相似矩形11AB C C ，再连接1AC ，以对角线1AC 为边作矩形11AB C C 的相似矩形221AB C C ，，按此规律继续下去，则矩形201920192018AB C C 的面积为__________．。

2023年九年级数学中考专题：规律探索题一、单选题1．将一些相同的“O”按如图所示摆放，观察每个图形中的“O”的个数，若第n个图形中“O”的个数是78，则n的值是（）……第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形A．11B．12C．13D．142．桌子上有8只杯口朝上的茶杯，每次翻转3只，经过n次翻转可使这8只杯子的杯口全部朝下，则n的最小值为（）．A．3B．4C．5D．63．如图所示，图（1）中含“○”的矩形有1个，图（2）中含“○”的矩形有7个，图（3）中含“○”的矩形有17个，按此规律，图（6）中含“○”的矩形有（）A．70B．71C．72D．734．如下表，从左到右在每一个小格中都填入一个整数，使任意三个相邻的格子所填的整数之和都相等，则第2017个格子中的整数是()A．-2B．6C．-4D．125．一个由小菱形组成的装饰链，断去了一部分，剩下部分如图所示，则断去部分的小菱形的个数可能是（）A．6 个B．7个C．8个D．9 个6．将正整数1至2016按一定规律排列如表：平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（）A．2000B．2019C．2100D．21487．把几个不同的数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：{1，2}；{1，4，7}；我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素．规定：当整数x是集合的一个元素时，100－x也必是这个集合的元素，这样的集合又称为黄金集合，例如{－1，101}就是一个黄金集合．若一个黄金集合所有元素之和为整数m，且1180＜m＜1260，则该黄金集的元素的个数是（）A．23B．24C．24或25D．268．将一列有理数﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，……，如图所示有序排列．根据图中的排列规律可知，有理数-5 在“峰1”中D的位置．则有理数-2021在“峰”中A，B，C，D，E中的位置．题中两空分别代表（）A．403D B．404D C．403A D．404E二、填空题9．幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行，每一竖行以及两条对角线上的数字之和都是15，则a的值为____________．10．下表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全下表第四行空缺的数字是______．11．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O 出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A 1（0，1），A 2（1，1），A 3（1，0），A 4（2，0），…那么点A 2020的坐标为________________．12．在一次猜数字游戏中，小红写出如下一组数：1，69415,,,57311…，小军猜想出的第六个数字是1813，也是正确的，根据此规律，第n 个数是_____． 13．一列数按如下的规律排列：1213214321,,,,,,,,,1121231234，则从左边第一数开始数，34为第______个数. 14．下列单项式：-x 、2x 2、-3x 3、4x 4…-19x 19、20x 20…根据你发现的规律，第2015个单项式是___________.15．根据以下图形变化的规律，第2016个图形中黑色正方形的数量是______．16．如图，C 在直线BE 上，∠ABC 与∠ACE 的角平分线交于点1A ，∠A=m,若再作∠1A BE 、∠1A CE 的平分线，交于点2A ；再作∠2A BE 、∠2A CE 的平分线，交于点3A ；……；依次类推，则A n 为_______.三、解答题17．仔细观察下列等式：第1个：52﹣12=8×3第2个：92﹣52=8×7第3个：132﹣92=8×11第4个：172﹣132=8×15…（1）请你写出第6个等式：；（2）请写出第n个等式，并加以验证；（3）运用上述规律，计算：8×7+8×11+…+8×399+8×403．18．图∠是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图∠；再分别连接图∠中间小三角形三边的中点，得到图∠．（1）图∠有个三角形；图∠有个三角形；（2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有多少个三角形（用n的代数式表示结论）．19．如图，是用三角形(黑色)和六边形(白色)按一定规律拼成的图案．（1）图∠中六边形与三角形的个数各是多少？（2）如果按这样的规律继续拼下去，第n个图案中，六边形的个数是多少？三角形的个数又是多少？(用含n的代数式表示)（3）能否拼成一个同时含有108个六边形和228个三角形的图案？20．观察下列有规律的数：111111,,,,,2612203042⋯根据据规律可知：（1）第7个数，第n个数是（n是正整数）；（2）1132是第个数；（3）计算：1111111 261220304220182019+++++++⨯．参考答案：1．B2．B3．B4．C5．C6．D7．C8．D9．210．311．(1010,0)12．3 21n n+13．1914．-2015x201515．302416．2nm17．（1）252﹣212=8×23；（2）第n个等式是：（4n+1）2﹣（4n﹣3）2=8（4n﹣1），验证见解析；（3）164000．18．（1）5，9；（2）43n-19．（1）观察图形发现有3个六边形，8个三角形；（2）第n个图形有n个六边形，有(22n+)个三角形；（3）不能20．（1）156，1n(n1)+；（2）11；（3）20182019．答案第1页，共1页。

专题01 平面直角坐标系规律探究问题【知识点梳理】1、关于x 轴、y 轴或原点对称的点的坐标的特征点P （a ，b ）与关于x 轴对称点的坐标为 （a ，-b ） 点P （a ，b ）与关于y 轴对称点的坐标为 （-a ，b ） 点P （a ，b ）与关于原点对称点的坐标为 （-a ，-b ） 口诀：关于谁对称，谁不变，另一个变号，关于原点对称都变号 2、点的平移点P （a ，b ）沿x 轴向右（或向左）平移m 个单位后对应点的坐标是(a ±m,b )； 点P （a ，b ）沿y 轴向上（或向下）平移n 个单位后对应点的坐标是(a,b ±n ). 口诀：横坐标右加左减，纵坐标上加下减.3、两点间的距离：在x 轴或平行于x 轴的直线上的两点P 1 (x 1,y )，P 2 (x 2,y )间的距离为|x 1−x 2| 在y 轴或平行于y 轴的直线上的两点P 1 (x ,y 1)，P 2 (x ,y 2)间的距离为|y 1−y 2| 任意两点P 1 (x 1,y 1)，P 2 (x 2,y 2)，则线段P 1P 2的中点坐标为(x 1+x 22,y 1+y 22)任意两点P 1 (x 1,y 1)，P 2 (x 2,y 2)，则线段P 1P 2=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2【典例分析】【例1y)经过某种变换后得到点P ′(−y +1,x +2)，我们把点P ′(−y +1,x +2)叫做点P(x,y)的终结点．已知点P 1的终结点为P 2，点P 2的终结点为P 3，点P 3的终结点为P 4，这样依次得到P 1、P 2、P 3、P 4、…、nP 、…，若点p 1的坐标为（2，0），则点P 2022的坐标为_____。

【答案】（1，4）．解析：解：P 1 坐标为（2，0），则P 2坐标为（1，4），P 3坐标为（-3，3），P 4坐标为（-2，-1），P 5坐标为（2，0），∴P n 的坐标为（2，0），（1，4），（-3，3），（-2，-1）循环， ∵2022=4×505+2， ∴P 2022 坐标与P 2点重合， 故答案为（1，4）．【练1】在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ），我们把点P′（y -1，-x+1）叫做点P 的伴随点．已知点A 1的伴随点为A 2，点A 2的伴随点为A 3，点A 3的伴随点为A 4，…，这样依次得到点A 1，A 2，A 3，…，A n ，…．若点A 1的坐标为（3，2），则A 2023的坐标为________【答案】（-3，0）解析：解：∵A1（3，2），A2（1，-2），A3（-3，0），A4（-1，4），A5（3，2），…，∴点A n的坐标4个一循环．∵2023=505×4+3，∴点A2023的坐标与点A2的坐标相同．∴A2023的坐标为（-3，0），故答案为：（-3，0）．【练2】某同学在平面直角坐标系内设计了一个动点运动的编程．若一个动点从点A1（1，3）出发，沿A2（3，5）→A3（7，9）→…运动，则点A2022的坐标为（）A．（22021﹣1，22021+1）B．（22022﹣1，22022+1）C．（22022﹣2，22022+2）D．（22021﹣2021，22021+2021）【答案】B【解析】解：∵一个动点从点A1（1，3）出发，沿A2（3，5）→A3（7，9）→…运动，∴A n（2n﹣1，2n+1），∴A2022的坐标为：（22022﹣1，22022+1），故选：B．【练3】对点（x，y）的一次操作变换记为P1（x，y），定义其变换法则如下：P1（x，y）＝（x+y，x﹣y）；且规定P n（x，y）＝P1（P n﹣1（x，y））（n为大于1的整数）．如P1（1，2）＝（3，﹣1），P2（1，2）＝P1（P1（1，2））＝P1（3，﹣1）＝（2，4），P3（1，2）＝P1（P2（1，2））＝P1（2，4）＝（6，﹣2）．则P2022（1，﹣1）＝．【答案】（21011，21011）【解析】解：由题意可得：P1（1，﹣1）＝（0，2），P2（1，﹣1）＝（2，﹣2）P3（1，﹣1）＝（0，4），P4（1，﹣1）＝（4，﹣4）P5（1，﹣1）＝（0，8），P6（1，﹣1）＝（8，﹣8）…当n为奇数时，P n（1，﹣1）＝（0，），当n为偶数时，P n（1，﹣1）＝（2n2，2n2），∴P2022（1，﹣1）应该等于（21011，21011）．故答案是：（21011，21011）．【例2】如图，在平面直角坐标系中，A1（1，2），A2（2，0），A3（3，﹣2），A4（4，0）…根据这个规律，探究可得点A2022的坐标是（）A．（2022，0）B．（2022，2）C．（2021，﹣2）D．（2022，﹣2）【答案】A【解析】解：观察图形可知，点A1（1，2），A2（2，0），A3（3，﹣2），A4（4，0）…的横坐标依次是1、2、3、4、…、n，纵坐标依次是2、0、﹣2、0、2、0、﹣2、…，四个一循环，2022÷4＝505…2，故点A2022坐标是（2022，0）．故选：A．【练1】如图，动点P1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），……，按这样的运动规律，经过第2022次运动后，动点P的坐标是（）A．（2021，0）B．（2020，1）C．（2022，0）D．（2022，1）【答案】C【解析】分析图象可以发现，点P的运动每4次位置循环一次．每循环一次向右移动四个单位，∴2022=4×505+2．当第505循环结束时，点P位置在（2020，0），在此基础之上运动两次到（2022，0）．故选C．【练2】如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点O运动到点P1（1，1），第二次运动到点P2（2，0），第三次运动到P3（3，﹣2），…，按这样的运动规律，第2022次运动后，动点P2022的坐标是（）A．（2022，1）B．（2022，2）C．（2022，﹣2）D．（2022，0）【答案】D【解析】解：观察图象，动点P第一次从原点O运动到点P1（1，1），第二次运动到点P2（2，0），第三次运动到P3（3，﹣2），第四次运动到P4（4，0），第五运动到P5（5，2），第六次运动到P6（6，0），…，结合运动后的点的坐标特点，可知由图象可得纵坐标每6次运动组成一个循环：1，0，﹣2，0，2，0；∵2022÷6＝337，∴经过第2022次运动后，动点P的纵坐标是0，故选：D．【练3】如图，平面直角坐标系中，一个点从原点O出发，按向右→向上→向右→向下的顺序依次不断移动，每次移动1个单位，其移动路线如图所示，第1次移到点A1，第二次移到点A2，第三次移到点A3，…，第n次移到点A n，则点A2022的坐标是_____________.【答案】（1011,1）.【解析】观察图象可知，点A的纵坐标每4个点循环一次，∵2022=505×4+2，∴点A2022的纵坐标与点A2的纵坐标相同，∵A2（1，1），A6（3,1），A10（5,1）……，∴点A2022的坐标是（1011,1）.【例3】如图，在平面直角坐标系上有个点A（-1，O），点A第1次向上跳动一个单位至点A1（-1，1），紧接着第2次向右跳动2个单位至点A2(1，1)，第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，…，依次规律跳动下去，点A第2022次跳动至点A2022的坐标是( )A.(-505, 1011)B.(505, 1010)C.(-506, 1010)D.(506, 1011)【答案】D【解析】解：设第n次跳动至点A n，观察，发现：A（-1，0），A1（-1，1），A2（1，1），A3（1，2），A4（-2，2），A5（-2，3），A6（2，3），A7（2，4），A8（-3，4），A9（-3，5），…，∴A4n（-n-1，2n），A4n+1（-n-1，2n+1），A4n+2（n+1，2n+1），A4n+3（n+1，2n+2）（n为自然数）．∵2022=505×4+2，∴A2022（505+1，505×2+1），即（506，1011）．故选：D．【练1】如图所示，在平面直角坐标系上有个点P（1,0），点P第1次向上跳动1个单位至点P1(1,1)，紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2(−1,1)，第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位……依此规律跳动下去，点P第99次跳动至点P99的坐标是_____【答案】（-25，50）【解析】解：由题中规律可得出如下结论：设点Px的横坐标的绝对值是n，则在y轴右侧的点的下标分别是4（n-1）和4n-3，在y轴左侧的点的下标是：4n-2和4n-1；判断P199的坐标，就是看99=4（n-1）和99=4n-3和99=4n-2和99=4n-1这四个式子中哪一个有负整数解，从而判断出点的横坐标.由上可得：点P第99次跳动至点P99的坐标是（-25，50）故答案为：（-25，50）.【练2】如图，在平面直角坐标系上有点A0(1,0)，点A0第一次跳动至点A1(−1,1)，第二次点A1跳动至点A2(2,1)，第三次点A跳动至点A3(−2,2)，第四次点A3跳动至点A4(3,2)，……依2此规律跳动下去，则点A2021与点A2022之间的距离是（）A．2023B．2022C．2021D．2020【答案】A【解析】观察发现，第2次跳动至点的坐标是（2，1），第4次跳动至点的坐标是（3，2），第6次跳动至点的坐标是（4，3），第8次跳动至点的坐标是（5，4），…第2n次跳动至点的坐标是（n+1，n），则第2022次跳动至A2022点的坐标是（1012，1011），第2021次跳动至点A2021的坐标是（﹣1011，1011）．∵点A2021与点A2022的纵坐标相等，∴点A2021与点A2022之间的距离=1012﹣（﹣1011）=2023．故选：A．【练3】在平面直角坐标系内原点O（0，0）第一次跳动到点A1（0，1），第二次从点A1跳动到点A2（1，2），第三次从点A2跳动到点A3（﹣1，3），第四次从点A3跳动到点A4（﹣1，4），…，按此规律下去，则点A2021的坐标是（）A．（673，2021）B．（674，2021）C．（﹣673，2021）D．（﹣674，2021）【答案】B【解析】解：因为A1（0，1），A2（1，2），A3（﹣1，3），A4（﹣1，4），A5（2，5），A6（﹣2，6），A7（﹣2，7），A8（3，8），…A3n﹣1（n，3n﹣1），A3n（﹣n，3n），A3n+1（﹣n，3n+1）（n为正整数），∵3×674﹣1＝2021，∴n＝674，所以A2021（674，2021），故选：B．【例4】如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1）（1，1）,（1，2），（2，2）……根据这个规律，第2022个点的坐标为________【答案】（45，6）【解析】解：观察图形，可知：第1个点的坐标为（1，0），第4个点的坐标为（1，1），第9个点的坐标为（3，0），第16个点的坐标为（1，3），…，∴第（2n-1）2个点的坐标为（2n-1，0）（n为正整数）．∵2025=452，∴第2025个点的坐标为（45，0）．又∵2025-3=2022，∴第2022个点在第2025个点的上方3个单位长度处，∴第2022个点的坐标为（45，3）．故答案为：（45，3）．【练1】如图，一个蒲公英种子从平面直角坐标系的原点O出发，向正东走3米到达点A1，再向正北方向走6米到达点A2，再向正西方向走9米到达点A3，再向正南方向走12米到达点A4，再向正东方向走15米到达点A5，以此规律走下去，当种子到达点A10时，它在坐标系中坐标为（）A．（﹣12，﹣12）B．（15，18）C．（15，﹣12）D．（﹣15，18）【答案】B【解析】解：根据题意可知：O A1＝3，A1A2＝6，A2A3＝9，A3A4＝12，A4A5＝15，A5A6＝18，A9A10＝30，∴A1点坐标为（3，0），A2点坐标为（3，6），A3点坐标为（﹣6，6），A4点坐标为（﹣6，﹣6），A5点坐标为（9，﹣6），A6点坐标为（9，12），以此类推，A9点坐标为（15，﹣12），所以A10点横坐标为15，纵坐标为﹣12+30＝18，∴A10点坐标为（15，18），故选：B．【练2】如图，一个点在第一象限及x轴、y轴上移动，在第一秒钟，它从原点移动到点（1，0），然后按照图中箭头所示方向移动，即（0，0）→（1，0）→（1，1）→（0，1）→（0，2）→…，且每秒移动一个单位，那么第2022秒时，点所在位置的坐标是（ ）A ．（2，44）B ．（41，44）C ．（44，41）D ．（44，2）【答案】【解析】解：观察可发现，点到（0，2）用4＝22秒，到（3，0）用9＝32秒，到（0，4）用16＝42秒，则可知当点离开x 轴时的横坐标为时间的平方，当点离开y 轴时的纵坐标为时间的平方， 此时时间为奇数的点在x 轴上，时间为偶数的点在y 轴上, ∵2022＝452﹣3＝2025﹣3，∴第2025秒时，动点在（45，0），故第2022秒时，动点在（45，0）向左一个单位，再向上2个单位， 即（44，2）的位置． 故选：D ．【练3】如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,1)，(3,0)，(3,−1)…根据这个规律探索可得，第99个点的坐标为( )A.(14,−1)B.(14,0)C.(14,1)D.(14,2)【答案】C【解析】解：在横坐标上，第一列有一个点，第二列有2个点…第n 个有n 个点， 并且奇数列点数对称而偶数列点数y 轴上方比下方多一个， 所以奇数列的坐标为(n,n−12)，(n,n−12−1)，…，(n,1−n 2)；偶数列的坐标为(n,n2)，(n,n2−1)，…，(n,1−n2)， ∵1+2+3+4+……+13=91∴第99个点位于第14列自上而下第7行．−6)，即(14,1)．代入上式得(14,142故选C．【例5】如图，在平面直角坐标系中，将边长为3，4，5的直角△ABO沿x轴向右滚动到△AB1C1的位置，再到△A1B1C2的位置…依次进行下去，发现A（3，0），A1（12，3），A2（15，0）…那么点A2022的坐标为．【答案】（12135，0）【解析】解：∵∠AOB＝90°，点A（3，0），B（0，4），根据勾股定理得AB＝5，根据旋转可知：OA+AB1+B1C2＝3+5+4＝12，所以点A1（12，3），A2（15，0）；继续旋转得A3（24，3），A4（27，0）；…发现规律：A2n﹣1（12n，3），A2n（12n+3，0），∵2022＝2n，∴n＝1011，∴点A2022的坐标为（12135，0），故答案为：（12135，0）．【练1】如图，动点P从（0，3）出发沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2022次碰到长方形的边时点P的坐标为．【答案】（0，3【解答过程】解：如图所示：经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），∵2022÷6＝337∴当点P第2022次碰到矩形的边时与P点起点位置重合，∴点P的坐标为（0，3）．故答案为：（0，3）．【练2】如图，将边长为2的等边三角形沿x轴正方向连续翻折2019次，依次得到点P1,P2,P3,...,P2022，则点P2022的坐标是（）A.(2022,2)B.(2022,√3)C.(4043,2)D.(4043, √3)【答案】D【解析】解：由题意可知P1是1P的横坐标是3，P3的横坐标是5，P4的横坐标是7…依此类推下去，P n的横坐标是2n-1,∴P2022的横坐标是2×2022-1=4043纵坐标都是√3，故选：D．连续作旋转变换，依【练3】如图，在直角坐标系中，已知点A(−3,0)，B(0,4)，对OAB次得到Δ1，Δ2，Δ3，Δ4，…，则∆2022的直角顶点的坐标为______.【答案】（8088，0）【解析】解：∵点A（-3，0）、B（0，4），∴AB=√32+42=5由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：4+5+3=12，∵2022÷3=674，∴∆2022的直角顶点是第674个循环组的最后一个三角形的直角顶点；∵674×12=8088，∴∆2022的直角顶点的坐标为（8088，0）.故答案为（8088，0）.【例6】如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推……则正方形OB2021B2022C2022的顶点B2022的坐标是_____.【答案】（0,-22011）【解析】解：∵正方形OA1B1C1的边长为1，∴OB1=√2∴OB2=2∴B2（0，2），同理可知B3（-2，2），B4（-4，0），B5（-4，-4），B6（0，-8），B7（8，-8），B9（16，16），B10（0，32）．由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标的符号相同，每次正方形的边长变为原来的√2倍，∵2022÷8=252⋯⋯6，∴B8n+6（0，-24n+3），∴B2022（0,-22011）．故答案为：（0,-22011）．【练1】如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAA1的直角边OA在x轴上，点A1在第一象限，且OA＝1，以点A1为直角顶点，0A1为一直角边作等腰直角三角形OA1A2，再以点A2为直角顶点，OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3…依此规律，则点A2022的坐标是_____．【答案】（0,-22011）【解析】解：由等腰直角三角形的性质，可知：A 1（1，1），A 2（0，2），A 3（﹣2，2），A 4（0，﹣4），A 5（﹣4，﹣4），A 6（0，﹣8），A 7（8，﹣8），A 8（16，0），A 9（16，16），A 10（0，32），A 11（﹣32，32），…，∵2022＝252×8+6∴点A 8n+6的坐标为（0，24n+3）（n 为自然数）．∴点A 2022的坐标为（0，24×252+3），即（0,-22011），故答案为：（0,-22011）．【练2】在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为（1，0），点D 的坐标为（0，2）.长CB 交x 轴于点A 1，作正方形A 1B 1C 1C ；延长C 1B 1交x 轴于点2A ，作正方形A 2B 2C 2C 1……按这样的规律进行下去，第2022个正方形的面积为_____．【答案】5×(32)4042.【解析】解：∵点A 的坐标为（1,0），点D 的坐标为（0,2）∴正方形ABCD 的边长为√5，设其面积为S 1=5，依此类推，接下来的面积依次为S 2,S 3,S 4⋯⋯第2022个正方形的面积为S 2022，又∵三角形相似，∴ OA OD =A 1B AB =A 2B 1A 1B 1=⋯=12. ∴ S 2=5×94，S 3=5×(94)2…… ∴S 2022=5×(94)2022−1=5×(94)2021=5×(32)4042.【练3】如图，在平面直角坐标系xOy中，B1（0，1），B2（0，3），B3（0，6），B4（0，10），…，以B1B2为对角线作第一个正方形A1B1C1B2，以B2B3为对角线作第二个正方形A2B2C2B3，以B3B4为对角线作第三个正方形A3B3C3B4，…，如果所作正方形的对角线B n B n+1都在y 轴上，且B n B n+1的长度依次增加1个单位长度，顶点A n都在第一象限内（n≥1，且n为整数），那么A1的纵坐标为；用n的代数式表示A n的纵坐标：．【答案】2；【解析】解：作A1D⊥y轴于点D，则B1D＝B1B2÷2＝（3﹣1）÷2＝1，∴A1的纵坐标＝B1D+B1O＝1+12，同理可得A2的纵坐标＝OB2+（B2B3）÷2＝3+（6﹣3）÷2 4.5，∴A n的纵坐标为，故答案为2，．。

类型二图形规律1．（2023·重庆·统考中考真题）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（）A．39B．44C．49D．54【答案】B【分析】根据各图形中木棍的根数发现计算的规律，由此即可得到答案．+=根木棍，【详解】解：第①个图案用了459+⨯=根木棍，第②个图案用了45214+⨯=根木棍，第③个图案用了45319+⨯=根木棍，第④个图案用了45424……，+⨯=根，第⑧个图案用的木棍根数是45844故选：B．【点睛】此题考查了图形类规律的探究，正确理解图形中木棍根数的变化规律由此得到计算的规律是解题的关键．2．（2023·重庆·统考中考真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（）A．14B．20C．23D．26【答案】B【分析】根据前四个图案圆圈的个数找到规律，即可求解.=⨯-；【详解】解：因为第①个图案中有2个圆圈，2311第②个图案中有5个圆圈，5321=⨯-；第③个图案中有8个圆圈，8331=⨯-；第④个图案中有11个圆圈，11341=⨯-；…，所以第⑦个图案中圆圈的个数为37120⨯-=；故选：B.【点睛】本题考查了图形类规律探究，根据前四个图案圆圈的个数找到第n 个图案的规律为31n -是解题的关键.3.如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意知，原图形中各行、各列中点数之和为10，符合此要求的只有，故选D．【名师点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是得出原图形中各行、各列中点数之和为10．4．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P 为位似中心作正方形123PA A A ，正方形456,PA A A ⋯，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形123PA A A 的顶点坐标分别为()()()123,0,2,1,1,0P A A ---，()32,1A --，则顶点100A 的坐标为（）A．()31.34B．()31,34-C．()32,35D．()32,0【答案】A 【分析】根据图象可得移动3次完成一个循环，从而可得出点坐标的规律()323n A n n --，．【详解】解：∵()121A -，，()412A -，，()703A ，，()1014A ，，L ，∴()323n A n n --，，∵1003342=⨯-，则34n =，∴()1003134A ，，故选：A．【点睛】本题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律．5.将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（）A．9B．10C．11D．12【答案】B 【分析】列举每个图形中H 的个数，找到规律即可得出答案．【详解】解：第1个图中H 的个数为4，第2个图中H 的个数为4+2，第3个图中H 的个数为4+2×2，第4个图中H 的个数为4+2×3=10，故选：B．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中H 的个数，找到规律：每个图形比上一个图形多2个H 是解题的关键．A．40452πB．2023π【答案】A【分析】曲线11112DA B C D A …是由一段段得到1114(1)22n n AD AA n -==⨯-+，7.把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第②个图案中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数为（）A．15B．13C．11D．9【答案】C 【分析】根据第①个图案中菱形的个数：1；第②个图案中菱形的个数：123+=；第③个图案中菱形的个数：1225+⨯=；…第n 个图案中菱形的个数：()121n +-，算出第⑥个图案中菱形个数即可．【详解】解：∵第①个图案中菱形的个数：1；第②个图案中菱形的个数：123+=；第③个图案中菱形的个数：1225+⨯=；…第n 个图案中菱形的个数：()121n +-，∴则第⑥个图案中菱形的个数为：()126111+⨯-=，故C 正确．故选：C．【点睛】本题主要考查的是图案的变化，解题的关键是根据已知图案归纳出图案个数的变化规律．8.如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为（）A．148B．152C．174D．202【分析】观察各图可知，后一个图案比前一个图案多2（n+3）枚棋子，然后写成第n个图案的通式，再取n＝10进行计算即可求解．【解析】根据图形，第1个图案有12枚棋子，第2个图案有22枚棋子，第3个图案有34枚棋子，…第n个图案有2（1+2+…+n+2）+2（n﹣1）＝n2+7n+4枚棋子，故第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为102+7×10+4＝100+70+4＝174（枚）．故选：C．9.把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为（）A．10B．15C．18D．21【分析】根据前三个图案中黑色三角形的个数得出第n个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+……+n，据此可得第⑤个图案中黑色三角形的个数．【解析】∵第①个图案中黑色三角形的个数为1，第②个图案中黑色三角形的个数3＝1+2，第③个图案中黑色三角形的个数6＝1+2+3，……∴第⑤个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5＝15，故选：B．10.观察下列树枝分杈的规律图，若第n 个图树枝数用n Y 表示，则94Y Y -=（）A．4152⨯B．4312⨯C．4332⨯D．4632⨯【答案】B【分析】根据题目中的图形，可以写出前几幅图中树枝分杈的数量，从而可以发现树枝分杈的变化规律，进而得到规律21nn Y =-，代入规律求解即可．【详解】解：由图可得到：11223344211213217211521n n Y Y Y Y Y =-==-==-==-==-则：9921Y =-，∴944942121312Y Y -=--+=⨯，故答案选：B．【点睛】本题考查图形规律，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．11.用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（）A．32B．34C．37D．41【答案】C 【分析】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n 个图形的算式，然后再解答即可．【详解】解：第1个图中有5个正方形；第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1；第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2；第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3；．．．第n 个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1；当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37．故选：C．【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键．12.在平面直角坐标系中，等边AOB ∆如图放置，点A 的坐标为()1,0，每一次将AOB ∆绕着点О逆时针方向旋转60︒，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到11AOB ∆，第二次旋转后得到22A OB ∆，…，依次类推，则点2021A 的坐标为（）A．()202020202,32--B．()202120212,32C．()202020202,2⨯D．()201120212,2-【答案】C【分析】由题意，点A 每6次绕原点循环一周，利用每边扩大为原来的2倍即可解决问题．【详解】解：由题意，点A 每6次绕原点循环一周，20216371......5÷= ，2021A ∴点在第四象限，202120212OA =，202160xOA ∠=︒，∴点2020A 的横坐标为20212020122=2⨯，纵坐标为20212020=3222-⨯-，()2020202020212,2A ∴，故选：C．【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，规律型问题，解题的关键是理解题意，学会探究规律的方法，属于中考常考题型．13.如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形…，按这样的方法拼成的第（n+1）个正方形比第n 个正方形多个小正方形．【分析】观察不难发现，所需要的小正方形的个数都是平方数，然后根据相应的序数与正方形的个数的关系找出规律解答即可．【解析】∵第1个正方形需要4个小正方形，4＝22，第2个正方形需要9个小正方形，9＝32，第3个正方形需要16个小正方形，16＝42，…，∴第n+1个正方形有（n+1+1）2个小正方形，第n 个正方形有（n+1）2个小正方形，故拼成的第n+1个正方形比第n 个正方形多（n+2）2﹣（n+1）2＝2n+3个小正方形．故答案为：2n+3．【答案】66n +/66n +【答案】22n n -/22n n -+【分析】根据题意得出()14143n a n n =+-=-，进而即可求解．【详解】解：依题意，()1231,5,9,14143n a a a a n n ===⋅⋅⋅=+-=-，，a a a a ++++= ()2143212n n n n n n +-18.观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有__________个〇．【答案】6058【解析】由图可得，第1个图象中〇的个数为：1+3×1=4，第2个图象中〇的个数为：1+3×2=7，第3个图象中〇的个数为：1+3×3=10，第4个图象中〇的个数为：1+3×4=13，…∴第2019个图形中共有：1+3×2019=1+6057=6058个〇，故答案为：6058．【名师点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现图形中〇的变化规律，利用数形结合的思想解答．【答案】()2023,3-【分析】先确定前几个点的坐标，然后归纳规律，按规律解答即可．【详解】解：由图形可得：()()2352,0,3,0,A A A 如图：过1A 作1A B x ⊥轴，∵12,OA A20.如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n=__________．【答案】1010【解析】根据题意分析可得：第1幅图中有1个．第2幅图中有2×2-1=3个．第3幅图中有2×3-1=5个．第4幅图中有2×4-1=7个．…可以发现，每个图形都比前一个图形多2个．故第n幅图中共有（2n-1）个．当图中有2019个菱形时，2n-1=2019，n=1010，故答案为：1010．【名师点睛】本题考查规律型中的图形变化问题，难度适中，要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律．21.观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022时，n的值为____________．【答案】不存在【分析】首先根据n=1、2、3、4时，“•”的个数分别是3、6、9、12，判断出第n个图形中“•”的个数是3n；然后根据n=1、2、3、4，“○”的个数分别是1、3、6、10，判断出第n 个“○”的个数是()12n n +；最后根据图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022，列出方程，解方程即可求出n 的值是多少即可．【详解】解：∵n=1时，“•”的个数是3=3×1；n=2时，“•”的个数是6=3×2；n=3时，“•”的个数是9=3×3；n=4时，“•”的个数是12=3×4；……∴第n 个图形中“•”的个数是3n；又∵n=1时，“○”的个数是1=1(11)2⨯+；n=2时，“○”的个数是2(21)32⨯+=，n=3时，“○”的个数是3(31)62⨯+=，n=4时，“○”的个数是4(41)102⨯+=，……∴第n 个“○”的个数是()12n n +，由图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022()1320222n n n +∴-=①，()1320222n n n +-=②解①得：无解解②得：12n n ==故答案为：不存在【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．【答案】202223【分析】过点1A 作1A M x ⊥轴，先求出130AOM ∠=︒，再根据等边三角形的性质、()12,0A ，12OA ∴=，当2x =时，233y =，即M ⎛ ⎝23.将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，……，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为___________．【答案】1275【分析】首先得到前n个图形中每个图形中的黑色圆点的个数，得到第n个图形中的黑色圆点的个数为()12n n+，再判断其中能被3整除的数，得到每3个数中，都有2个能被3整除，再计算出第33个能被3整除的数所在组，为原数列中第50个数，代入计算即可．【详解】解：第①个图形中的黑色圆点的个数为：1，第②个图形中的黑色圆点的个数为：()1222+⨯=3，第③个图形中的黑色圆点的个数为：()1332+⨯=6，第④个图形中的黑色圆点的个数为：()1442+⨯=10，第n个图形中的黑色圆点的个数为()1 2n n+，则这列数为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，，其中每3个数中，都有2个能被3整除，33÷2=161，16×3+2=50，则第33个被3整除的数为原数列中第50个数，即50512⨯=1275，故答案为：1275．【点睛】此题考查了规律型：图形的变化类，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．24.如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______个交点【答案】190【分析】根据题目中的交点个数，找出n条直线相交最多有的交点个数公式：1(1) 2n n-．【详解】解：2条直线相交有1个交点；3条直线相交最多有1123322+==⨯⨯个交点；4条直线相交最多有11236432++==⨯⨯个交点；5条直线相交最多有1123410542+++==⨯⨯个交点；⋯20条直线相交最多有12019190 2⨯⨯=．故答案为：190．【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n条直线相交最多有1(1) 2n n-．25.如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需要3根火柴棍，拼第二个图形共需要5根火柴棍；拼第三个图形共需要7根火柴棍；……照这样拼图，则第n 个图形需要___________根火柴棍．【答案】2n+1【分析】分别得到第一个、第二个、第三个图形需要的火柴棍，找到规律，再总结即可．【详解】解：由图可知：拼成第一个图形共需要3根火柴棍，拼成第二个图形共需要3+2=5根火柴棍，拼成第三个图形共需要3+2×2=7根火柴棍，拼成第n个图形共需要3+2×（n-1）=2n+1根火柴棍，故答案为：2n+1．【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出运算规律解决问题．26.如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第___个图形共有210个小球．【答案】20【分析】根据已知图形得出第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+ +n=()12n n +，列一元二次方程求解可得．【详解】解：∵第1个图形中黑色三角形的个数1，第2个图形中黑色三角形的个数3=1+2，第3个图形中黑色三角形的个数6=1+2+3，第4个图形中黑色三角形的个数10=1+2+3+4，……∴第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5+ +n=()12n n +，当共有210个小球时，()12102n n +=，解得：20n =或21-(不合题意，舍去)，∴第20个图形共有210个小球．故答案为：20．【点睛】本题考查了图形的变化规律，解一元二次方程，解题的关键是得出第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+……+n．27.如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形（1）将一个“7”字图形按如图摆放在平面直角坐标系中，记为“7”字图形ABCDEF，其中顶点A 位于x 轴上，顶点B，D 位于y 轴上，O 为坐标原点，则OBOA的值为__________．（2）在（1）的基础上，继续摆放第二个“7”字图形得顶点F 1，摆放第三个“7”字图形得顶点F 2，依此类推，…，摆放第n 个“7”字图形得顶点F n-1，…，则顶点F 2019的坐标为__________．【答案】（1）12；（2）606255(，【解析】（1）∵∠ABO+∠DBC=90°，∠ABO+∠OAB=90°，∴∠DBC=∠OAB，∵∠AOB=∠BCD=90°，∴△AOB∽△BCD，∴OB DCOA BC=，∵DC=1，BC=2，∴OB OA =12，故答案为：12．（2过C 作CM⊥y 轴于M，过M 1作M 1N⊥x 轴，过F 作FN 1⊥x轴．根据勾股定理易证得BD ==CM=OA=5，DM=OB=AN=5，∴C（5），∵AF=3，M 1F=BC=2，∴AM 1=AF-M 1F=3-2=1，∴△BOA≌ANM 1（AAS），∴NM 1=OA=255，∵NM 1∥FN 1，∴1111251553M N AM FN AF FN ==，，∴FN 1=655，∴AN 1=355，∴ON 1=OA+AN 1=253555555+=，∴F（555，655），同理，F 1（857555，F 2（55，），F 3（1459555，），F 4（55，），…F 2019），即（【名师点睛】此题考查了平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键28.如图，正方形1ABCB 中，AB =，AB 与直线l 所夹锐角为60︒，延长1CB 交直线l 于点1A ，作正方形1112A B C B ，延长12C B 交直线l 于点2A ，作正方形2223A B C B ，延长23C B 交直线l 于点3A ，作正方形3334A B C B ，…，依此规律，则线段20202021A A =________．【答案】202033【分析】利用tan30°计算出30°角所对直角边，乘以2得到斜边，计算3次，找出其中的规律即可.【详解】∵AB 与直线l 所夹锐角为60︒，正方形1ABCB 中，AB =，∴∠11B AA =30°，∴11B A =1B A 3=1，∴1113=2=2(3AA -；∵11B A =1，∠122B A A =30°，∴22B A =11B A tan30°=33133⨯=，∴21123=23A A -⨯；∴线段20202021A A =202112020332(33-⨯=,故答案为：20203)3.【点睛】本题考查了正方形的性质，特殊角三角函数值，含30°角的直角三角形的性质，规律思考，熟练进行计算，抓住指数的变化这个突破口求解是解题的关键.29.如图，菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，1AB =，延长CD 至1A ，使1DA CD =，以1AC 为一边，在BC 的延长线上作菱形111ACC D ，连接1AA ，得到1ADA ∆；再延长11C D 至2A ，使1211D A C D =，以21A C 为一边，在1CC 的延长线上作菱形2122A C C D ，连接12A A ，得到112A D A ∆……按此规律，得到202020202021A D A ∆，记1ADA ∆的面积为1S ，112A D A ∆的面积为2S ……202020202021A D A ∆的面积为2021S ，则2021S =_____．【答案】40382【分析】由题意易得60,1BCD AB AD CD ∠=︒===，则有1ADA ∆为等边三角形，同理可得112A D A ∆…….202020202021A D A ∆都为等边三角形，进而根据等边三角形的面积公式可得134S =，2S =242n n S -=，然后问题可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴1AB AD CD ===，//,//AD BC AB CD ，∵120ABC ∠=︒，∴60BCD ∠=︒，∴160ADA BCD ∠=∠=︒，∵1DA CD =，∴1DA AD =，∴1ADA ∆为等边三角形，同理可得112A D A ∆…….202020202021A D A ∆都为等边三角形，过点B 作BE⊥CD 于点E，如图所示：∴sin 2BE BC BCD =⋅∠=，∴1121133244A D BE A S D =⋅==，同理可得：2222133244S A D ==⨯=，2233233444S A D ==⨯=∴由此规律可得：242n n S -=，∴2202144038202122S ⨯-==⋅；故答案为40382【点睛】本题主要考查菱形的性质、等边三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握菱形的性质、等边三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键．30.将一些相同的“〇”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”的“〇”的个数，则第30个“龟图”中有___________个“〇”．【答案】875【分析】设第n 个“龟图”中有a n 个“〇”（n 为正整数），观察“龟图”，根据给定图形中“〇”个数的变化可找出变化规律“a n ＝n 2−n＋5（n 为正整数）”，再代入n＝30即可得出结论．【详解】解：设第n 个“龟图”中有a n 个“〇”（n 为正整数）．观察图形，可知：a 1＝1＋2＋2＝5，a 2＝1＋3＋12＋2＝7，a 3＝1＋4＋22＋2＝11，a 4＝1＋5＋32＋2＝17，…，∴a n ＝1＋（n＋1）＋（n −1）2＋2＝n 2−n＋5（n 为正整数），∴a 30＝302−30＋5＝875．故答案是：875．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中“〇”个数的变化找出变化规律“a n ＝n 2−n＋5（n 为正整数）”是解题的关键．31.下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形…，依此规律，则第n个图形中三角形个数是_______．n n+-【答案】21【分析】此题只需分成上下两部分即可找到其中规律，上方的规律为(n-1)，下方规律为n2，结合两部分即可得出答案．【详解】解：将题意中图形分为上下两部分，则上半部规律为：0、1、2、3、4……n-1，下半部规律为：12、22、32、42 (2)n n+-．∴上下两部分统一规律为：21n n+-．故答案为：21【点睛】本题主要考查的图形的变化规律，解题的关键是将图形分为上下两部分分别研究32.如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…按此规律摆下去，第n个图案有个三角形（用含n的代数式表示）．【分析】根据图形的变化发现规律，即可用含n的代数式表示．【解析】第1个图案有4个三角形，即4＝3×1+1第2个图案有7个三角形，即7＝3×2+1第3个图案有10个三角形，即10＝3×3+1…按此规律摆下去，第n 个图案有（3n+1）个三角形．故答案为：（3n+1）．33.如图，四边形ABCD 是矩形，延长DA 到点E，使AE＝DA，连接EB，点F 1是CD 的中点，连接EF 1，BF 1，得到△EF 1B；点F 2是CF 1的中点，连接EF 2，BF 2，得到△EF 2B；点F 3是CF 2的中点，连接EF 3，BF 3，得到△EF 3B；…；按照此规律继续进行下去，若矩形ABCD 的面积等于2，则△EF n B 的面积为．（用含正整数n 的式子表示）【分析】先求得△EF 1D 的面积为1，再根据等高的三角形面积比等于底边的比可得EF 1F 2的面积，EF 2F 3的面积，…，EF n﹣1F n 的面积，以及△BCF n 的面积，再根据面积的和差关系即可求解．【解析】∵AE＝DA，点F 1是CD 的中点，矩形ABCD 的面积等于2，∴△EF 1D 和△EAB 的面积都等于1，∵点F 2是CF 1的中点，∴△EF 1F 2的面积等于12，同理可得△EF n﹣1F n 的面积为12n−1，∵△BCF n 的面积为2×12n ÷2=12n，∴△EF n B 的面积为2+1﹣1−12−⋯−12n−1−12n =2﹣（1−12n ）=2n +12n．故答案为：2n +12n．。