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高等数学教学教案极限存在准则两个重要极限（优秀版）word资料§1.6极限存在准则两个重要极限授课次序061 ,, n11 {},{},22 n nb=+⋅⋅⋅+数列单调减少且有下界，零或小于零的任何常数都是其下界。
下界里有个最大的吗？有！数列单调增加且有上界，1或大于1的任何常数都是其上界．上界里有个最小的吗？也有！现在请用一下你的想象力：对于单调增加有上界的数列}nx，它的图像是数轴上的一个点列，点列中的点在数轴上会不停的向前走，但是不可能越过它的最小上界a．由于数列有无穷多项，从某一项之后的所{}lim n n a n N →∞∴∀>单调增加，这意味着所以，§1. 6极限存在准则 两个重要极限准则I如果数列{x n }、{y n }及{z n }满足下列条件:(1)y n ≤x n ≤z n (n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅), (2)a y n n =∞→lim , a z n n =∞→lim ,那么数列{x n }的极限存在, 且a x n n =∞→lim .证明: 因为a y n n =∞→lim , a z n n =∞→lim , 根据数列极限的定义, ∀ε >0, ∃N 1>0, 当n >N 1时, 有|yn -a |<ε ; 又∃N 2>0,当n >N 2时, 有|z n -a |<ε . 现取N =max{N 1, N 2}, 则当 n >N 时, 有 |y n -a |<ε , |zn -a |<ε 同时成立, 即 a -ε<y n <a +ε , a -ε<z n <a +ε , 同时成立.又因y n ≤x n ≤z n , 所以当 n >N 时, 有a -ε<y n ≤x n ≤z n <a +ε , 即 |x n -a |<ε . 这就证明了a x n n =∞→lim .简要证明: 由条件(2), ∀ε >0, ∃N >0, 当n >N 时, 有|y n -a |<ε 及|z n -a |<ε , 即有 a -ε<y n <a +ε , a -ε<z n <a +ε , 由条件(1), 有 a -ε<y n ≤x n ≤z n <a +ε , 即 |x n -a |<ε . 这就证明了a x n n =∞→lim .准则I ' 如果函数f (x )、g (x )及h (x )满足下列条件:(1) g (x )≤f (x )≤h (x ); (2) lim g (x )=A , lim h (x )=A ; 那么lim f (x )存在, 且lim f (x )=A .注 如果上述极限过程是x →x 0, 要求函数在x 0的某一去心邻域内有定义, 上述极限过程是x →∞, 要求函数当|x |>M 时有定义, 准则I 及准则I ' 称为夹逼准则.下面根据准则I '证明第一个重要极限: 1sin lim 0=→xx x .证明 首先注意到, 函数x x sin 对于一切x ≠0都有定义. 参看附图: 图中的圆为单位圆,因为 S ∆AOB <S 扇形AOB <S ∆AOD , 所以21sin x <21x <21tan x , 即sin x <x <tan x . 不等号各边都除以sin x , 就有x x x cos 1sin 1<<, 或1sin cos <<xx x .注意此不等式当-2 π<x <0时也成立. 而1cos lim 0=→x x , 根据准则I ', 1sin lim 0=→x x x .简要证明: 参看附图, 设圆心角∠AOB =x (20π<<x ). 显然 BC < AB <AD , 因此 sin x < x <备注栏高等数学课程教学设计方案中央电大教务处教学管理科（20XX年04月15日）浏览人次627（修订稿）一、课程概况1. 课程的性质、任务“高等数学”课程是中央广播电视大学水利水电专业的一门必修的重要基础理论课，是为培养学生的基本素质、学习后续课程服务的。
授课班级： [班级名称]授课教师： [教师姓名]授课时间： [具体日期]授课学时： [学时数]教学目标：1. 知识与技能目标：- 理解数列极限和函数极限的概念。
- 掌握极限的四则运算法则。
- 熟悉一些常见的极限公式及其应用。
2. 过程与方法目标：- 通过实例分析，培养学生观察、分析和解决问题的能力。
- 通过小组讨论，提高学生的合作意识和团队协作能力。
3. 情感态度与价值观目标：- 培养学生对数学的热爱，激发学生的求知欲。
- 培养学生严谨的数学思维和科学态度。
教学内容：1. 数列极限：- 数列极限的定义。
- 数列极限的性质。
- 常见的数列极限。
2. 函数极限：- 函数极限的定义。
- 函数极限的性质。
- 常见的函数极限。
3. 极限的四则运算法则：- 极限的四则运算法则。
- 运算法则的应用。
4. 常见的极限公式：- 常见的极限公式。
- 公式的应用。
教学重点：1. 数列极限和函数极限的定义。
2. 极限的四则运算法则。
3. 常见的极限公式及其应用。
教学难点：1. 理解数列极限和函数极限的概念。
2. 掌握极限的四则运算法则。
3. 应用常见的极限公式解决实际问题。
教学方法：1. 讲授法：系统讲解数列极限和函数极限的概念、性质、运算法则和常见公式。
2. 案例分析法：通过实例分析，帮助学生理解和掌握极限的相关知识。
3. 小组讨论法：通过小组讨论，提高学生的合作意识和团队协作能力。
4. 练习法：通过课堂练习和课后作业，巩固学生对极限知识的掌握。
教学过程：一、导入- 回顾数列和函数的基本概念。
- 引入数列极限和函数极限的定义。
二、数列极限- 讲解数列极限的定义。
- 分析数列极限的性质。
- 举例说明常见的数列极限。
三、函数极限- 讲解函数极限的定义。
- 分析函数极限的性质。
- 举例说明常见的函数极限。
四、极限的四则运算法则- 讲解极限的四则运算法则。
- 举例说明运算法则的应用。
五、常见的极限公式- 介绍常见的极限公式。
两个重要极限教案教学目标：1. 理解极限的定义和性质。
2. 掌握两个重要极限的表达式和应用。
3. 能够运用两个重要极限解决实际问题。
教学内容：第一章：极限的定义和性质1.1 极限的定义1.2 极限的性质1.3 极限的存在条件第二章：两个重要极限2.1 极限lim(x->0) (sin x / x) = 12.2 极限lim(x->∞) (sin x / x) = 02.3 两个重要极限的证明和应用第三章：极限的计算方法3.1 直接计算法3.2 因式分解法3.3 代数运算法第四章：无穷小和无穷大4.1 无穷小的定义和性质4.2 无穷大的定义和性质4.3 无穷小和无穷大的比较第五章：极限的运算法则5.1 极限的基本运算法则5.2 极限的复合运算法则5.3 极限的逆运算教学过程：第一章：1.1 引入极限的概念，引导学生理解极限的定义。
1.2 引导学生通过举例和观察，总结极限的性质。
1.3 引导学生探讨极限的存在条件，并举例说明。
第二章：2.1 引导学生理解两个重要极限的表达式，并通过图形和实例进行解释。
2.2 引导学生掌握两个重要极限的证明方法，并能够运用到实际问题中。
2.3 引导学生通过练习题，巩固两个重要极限的应用。
第三章：3.1 引导学生学习直接计算法，并通过例子进行演示。
3.2 引导学生学习因式分解法，并通过例子进行演示。
3.3 引导学生学习代数运算法，并通过例子进行演示。
第四章：4.1 引导学生理解无穷小的概念，并通过例子进行解释。
4.2 引导学生理解无穷大的概念，并通过例子进行解释。
4.3 引导学生掌握无穷小和无穷大的比较方法，并能够运用到实际问题中。
第五章：5.1 引导学生学习极限的基本运算法则，并通过例子进行演示。
5.2 引导学生学习极限的复合运算法则，并通过例子进行演示。
5.3 引导学生学习极限的逆运算，并通过例子进行演示。
教学评价：1. 课堂讲解的清晰度和连贯性。
2. 学生的参与度和积极性。
课程名称：大学文科数学授课班级：XX级XX班授课时间：2课时教学目标：1. 理解极限的概念，掌握极限的计算方法。
2. 能够运用极限解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。
教学重点：1. 极限的概念。
2. 极限的计算方法。
教学难点：1. 极限概念的理解。
2. 极限计算中的复杂性。
教学过程：第一课时一、导入1. 回顾初等数学中的极限概念，引导学生思考极限在现实生活中的应用。
2. 引出本节课的主题——大学文科数学中的极限。
二、新课讲解1. 极限的概念：- 介绍极限的定义，包括数列极限和函数极限。
- 通过实例讲解极限的概念，如函数在一点处的极限、数列的极限等。
- 强调极限在数学中的重要性，以及它在其他学科中的应用。
2. 极限的计算方法：- 讲解直接计算法、夹逼法、洛必达法则等极限计算方法。
- 通过实例演示这些方法的运用，使学生掌握计算技巧。
三、课堂练习1. 学生独立完成课后习题，巩固所学知识。
2. 教师巡视指导，解答学生在练习中遇到的问题。
四、课堂小结1. 总结本节课的重点内容，强调极限的概念和计算方法。
2. 引导学生思考极限在实际问题中的应用。
第二课时一、复习1. 复习上一节课的内容，检查学生对极限概念和计算方法的掌握情况。
2. 学生分享自己在练习中的心得体会。
二、深化讲解1. 讲解极限计算中的难点问题，如分段函数的极限、无穷小量与无穷大量等。
2. 通过实例讲解如何处理这些难点问题。
三、课堂练习1. 学生完成课后习题，进一步巩固所学知识。
2. 教师巡视指导，解答学生在练习中遇到的问题。
四、课堂小结1. 总结本节课的重点内容，强调极限在数学和其他学科中的应用。
2. 鼓励学生在生活中发现极限的应用，提高数学素养。
教学反思：1. 本节课通过实例讲解，使学生更好地理解极限的概念和计算方法。
2. 在课堂练习中，教师应关注学生的个体差异，给予个别指导。
3. 鼓励学生在生活中发现极限的应用，提高数学素养。
一、教学目标1. 知识目标：（1）理解极限的概念，掌握极限的计算方法。
（2）了解连续函数的定义，掌握连续函数的性质。
2. 能力目标：（1）培养学生运用极限概念分析和解决实际问题的能力。
（2）提高学生运用连续函数性质进行证明的能力。
3. 情感目标：（1）激发学生对数学的兴趣，培养良好的学习习惯。
（2）培养学生的团队合作精神和创新意识。
二、教学内容1. 极限的概念及计算2. 极限的性质3. 连续函数的定义及性质4. 举例说明三、教学过程（一）导入1. 回顾一元函数的概念，引导学生思考一元函数的极限问题。
2. 提出问题：如何描述函数在某一点的极限行为？（二）讲授新课1. 极限的概念及计算（1）介绍极限的定义，以数列极限为例，阐述极限的思想。
（2）讲解极限的计算方法，如夹逼准则、单调有界准则等。
（3）通过例题，让学生掌握极限的计算技巧。
2. 极限的性质（1）介绍极限的性质，如极限的线性、保号性等。
（2）通过例题，让学生理解并掌握极限的性质。
3. 连续函数的定义及性质（1）介绍连续函数的定义，以函数在某一点的连续性为例，阐述连续性的思想。
（2）讲解连续函数的性质，如连续函数的可导性、可积性等。
（3）通过例题，让学生掌握连续函数的性质。
4. 举例说明（1）选取实际生活中的例子，如速度、加速度等，让学生运用极限和连续的概念进行分析。
（2）通过小组讨论，让学生展示自己的解题思路。
（三）课堂小结1. 回顾本节课所学内容，总结极限和连续的概念、性质及计算方法。
2. 强调学习过程中要注意的问题，如极限的计算方法的选择、连续函数性质的运用等。
（四）布置作业1. 完成课后习题，巩固所学知识。
2. 查阅资料，了解极限和连续在现实生活中的应用。
四、教学反思1. 本节课通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性。
2. 注重培养学生的逻辑思维能力和解题技巧，提高学生的综合素质。
3. 鼓励学生积极参与课堂讨论，培养学生的团队合作精神和创新意识。
第三册(选修Ⅱ)第二章极限教材分析本章内容是数学归纳法，数学归纳法应用举例， 数列的极限，函数的极限，极限的四则运算，函数的连续性极限是微积分中的重要概念，极限的思想方法在数学中有着广泛的应用本章的教学时间约需12课时，具体分配如下（仅供参考）：2.1数学归纳法应用举例3课时2.2数列的极限1课时2.3函数的极限2课时2.4极限的四则运算3课时2.5 函数的连续性1课时小结与复习2课时一、内容与要求（一）本章的教学内容1.数学归纳法是一种用于证明与自然数n 有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确，教学重点应该是方法的应用．但是我们认为不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练．对方法作简单的灌输，学生必然疑虑重重．为此，我们设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来．这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机．数学归纳法产生的过程分二个阶段，第一阶段从对归纳法的认识开始，到对不完全归纳法的认识，再到不完全归纳法可靠性的认识，直到怎么办结束．第二阶段是对策酝酿，从介绍递推思想开始，到认识递推思想，运用递推思想，直到归纳出二个步骤结束．把递推思想的介绍、理解、运用放在主要位置，必然对理解数学归纳法的实质带来指导意义，也是在教学过程中努力挖掘、渗透隐含于教学内容中的数学思想的一种尝试．理解数学归纳法中的递推思想，还要注意其中第二步，证明n=k+1命题成立时必须用到n=k 时命题成立这个条件．中学数学中的许多重要结论，用数学归纳法加以证明，可以使学生对有关知识的掌握深化一步.2．本章引言从我国魏晋时期杰出数学家刘徽创立的“割圆术”说起，引出了极限的思想和方法，形象具体地帮助学生初步认识极限，激发他们学习极限的兴趣，并由此自然过渡到数列极限的内容数列的极限是最简单的一种极限，它可以看作是自变量以取正整数的形式趋向于无穷时的特殊的函数极限本章2.2节中，对于数列极限的概念分两个阶段讨论首先，通过观察几个特殊数列的变化趋势，归纳出数列极限的描述式定义；接着，通过深入讨论“当项数n 无限增大时，无穷数列{n a }中的项n a 无限趋近于一个常数a”本章在2.3节中采用直观描述的方法，给出函数极限的定性定义让学生尽早进入微积分主体部分（本书的后续内容）的学习3．本章在第2.4节安排了数列极限的四则运算和函数极限的四则运算极限的四则运算是建立在极限的概念的基础上的由于本章不重在研究理论，所以教材中并未给出这些法则的理论依据，而是重在让学生学会使用这些法则安排了一些具有代表性的例题，结合它们介绍了使用极限四则运算法则的基本方法和技巧这些题目的难度都不大，安排它们的目的是让学生掌握最基本的极限运算4．在微积分中我们所研究的函数主要是连续函数，而连续的概念是建立在极限的概念的基础上的 2.5节安排了“函数的连续性”在介绍完连续函数的概念及性质后，又介绍了已经学过的基本初等函数的连续性及对于连续函数求极限的方法（如果函数f(x)在点x0处有定义而且连续，那么0 ()(lim x x f x f x→=（二）本章的教学要求1. 理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题数学归纳法原理的了解，关键是讲清数学归纳法的两步骤及其作用，数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n=n0时，命题成立，再假设当n=k(k≥n0，k∈N*)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立，这是问题的重点和难点.2．从数列和函数的变化趋势理解数列极限和函数极限的概念掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限3．了解函数在一点处的连续性的定义，知道已学过的基本初等函数及由它们经过有限次四则运算所产生的函数在定义域里每一点都连续；会从几何直观上理解闭区间上的连续函数有最大值和最小值二、教学中应注意的几个问题（一）突出重点、把握难点、打好基础归纳法是一种由特殊到一般的推理方法．分为完全归纳法和不完全归纳法二种．由于不完全归纳法中推测所得结论可能不正确，因而必须作出证明，证明可用数学归纳法进行．数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思想是递推（递归）思想，它的操作步骤必须是二步．极限的概念是续内容导数的基础由于极限的概念中关系到“无限”，而中学生以往的数学学习中主要接触的是“有限”的问题，很少涉及“无限”的问题因此，对极限概念如何从变化趋势的角度来正确理解成为本章的难点为了解决这个难点，我们提出如下建议：第一，结合具体例子，通过比较数值的变化及图象，在“无限趋近”的解释上多加考虑，首先要让学生对它形成正确的初般”的归纳，讲具体例子时，注意从中提炼、概括涉及极限的本质特征，为归纳出一般概念做好准备；讲一般概念时，注意结合具体例子予以解释说明，克服抽象理解的困难第三，注意到对极限概念及思想的深入理解不是一次就能完成的，而是需要一个较长的过程因此，在教学中要有计划地、分阶段地、由浅入深地引导学生认识和理解极限的概念和思想，以定性的认识为主，并适当地让学生对极限有一些定量化的认识，注意全章教学的整体效果（二）把握教学要求理解“归纳法”和“数学归纳法”的含意和本质；掌握数学归纳法证题的初步掌握归纳与推理的方法；培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质培养学生对于数学内在美的感悟能力让学生掌握极限的初步概念和一些基本的运算，理解极限的思想和方法，并不要求一些繁难的运算在安排教学内容时，也是从这个出发点出发例如在讲述极限（数列极限、函数极限）的四则运算时，教材安排的题目只是一些基本的题目，难度都不大，安排他们主要是让学生掌握基本的四则运算，加深对概念的理解对于函数的连续性，由于一些基本初等函数以及复合函数的概念学生没有接触过，因此，也只是让学生知道已学过的基本初等函数及由他们经过有限次四则运算所产生的函数在定义域里每一点都连续，会从几何直观上理解闭区间上的连续函数有最大值和最小值（三）结合本章内容对学生进行思想教育1．通过介绍刘徽“割圆术”，对学生进行爱国主义教育刘徽是我国魏晋时期杰出的数学家，他毕生研究《九章算术》，并做了注释，求出圆周率3927π==，提出“出入相补原理”，成为中国古代数学证明的基本3.14161250思想方法之一可以通过介绍中华民族的勤奋与智慧，激发学生的民族自豪感，为祖国的繁荣昌盛而努力学习的热情2．通过对极限内容的教学，使学生从量变中认识质变，从有限中认识无限，从近似中认识精确，帮助他们树立运动变化的辩证唯物主义观点。
