勾股定理,数与形的完美结合

勾股定理数形结合勾股定理是数学中非常重要的概念之一，指的是一个直角三角形的两条直角边平方和等于斜边平方，即a²+b²=c²。

这个简单的公式在很多领域都有广泛的应用，例如在建筑、物理、航空、地理、计算机等领域。

在数学中，勾股定理可以用来推导其它三角形的性质和关系，例如三角形面积公式，三角恒等式等。

同时，勾股定理也与许多数学图形和形式紧密相关，例如矩形、正方形、梯形、圆等。

矩形是一个具有四个直角的平面图形。

以矩形为例，可以利用勾股定理推导出其边长和对角线的关系：假设矩形的长为a，宽为b，则矩形的对角线的长度为c，根据勾股定理可以得到a²+b²=c²。

因此，可以得出矩形对角线的长度为sqrt(a²+b²)。

正方形是一个四边相等、四角相等的矩形。

因此，正方形的对角线长度可以利用勾股定理计算。

如果设正方形的边长为a，则正方形对角线长度为sqrt(2a²)。

可以看出，正方形的对角线长度是其边长的sqrt(2)倍。

梯形是一个上底和下底不相等的四边形。

如果将梯形划分成两个直角三角形，可以利用勾股定理求出梯形的高：假设梯形上底长度为a，下底长度为b，斜边长度为c，梯形高为h，则有a²-h²=d，b²-(c-h)²=d，其中d是梯形的高平方。

将这两个式子相加可以消去h²，得到(a²-b²+c²)/2 = h²，从而可以得到梯形的高，即h=sqrt{(a²-b²+c²)/2}。

圆和勾股定理总结勾股定理作为数学中的重要概念，可以与许多数形结合进行应用，例如矩形、正方形、梯形、圆等。

在应用勾股定理时，需要注意图形的性质和特点，根据不同的情况灵活运用公式，才能得出正确的结论。

勾股定理数形结合的例子(一)勾股定理数形结合1. 什么是勾股定理？勾股定理是数学中的一个重要定理，描述了直角三角形中的边长关系。

定理表述如下：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两个直角边的平方和。

即，对于一个直角三角形，设直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c，那么有以下关系成立：c^2 = a^2 + b^22. 勾股定理与数学运算勾股定理不仅是一个数学定理，它也可以与数学中的其他概念和运算进行结合，形成更多的数学性质和特性。

以下是一些使用勾股定理与数学运算结合的例子：•平方数与勾股定理勾股定理可以用来解释平方数的性质。

一个数如果是一个完全平方数（即可以表示为某个整数的平方），那么它可以表示为两个较小平方数之和。

举个例子，25是一个完全平方数，可以表示为3^2 + 4^2，符合勾股定理的条件。

•勾股三元组勾股三元组是指满足勾股定理的三个正整数（a，b，c）。

例如，3、4、5就是一个勾股三元组，因为3^2 + 4^2 =5^2。

勾股三元组在数学中有很多有趣的性质。

例如，勾股三元组中的两个较小数一定是互质的（即它们的最大公约数为1）。

•勾股定理与几何构造勾股定理可以用来进行几何构造。

通过勾股定理，可以制作出各种形状的直角三角形。

例如，给定直角边的长度为3和4，我们可以使用勾股定理计算出斜边的长度为5。

知道三边长度后，我们可以利用这些边构造一个完整的直角三角形。

•勾股定理与三角函数勾股定理与三角函数之间有着密切的关系。

三角函数中的正弦函数、余弦函数和正切函数可以与勾股定理相互转化。

例如，sinA = a/c，cosA = b/c，tanA = a/b，其中A为直角三角形的一个锐角。

通过这些等式，我们可以将勾股定理中的边长关系转化为三角函数的形式。

3. 总结勾股定理作为数学中的重要定理，不仅与数学运算有密切关系，还可以用于解释平方数的性质、构造直角三角形以及转化为三角函数等。

通过深入理解勾股定理的数形结合，我们可以更好地应用数学知识解决实际问题。

17．1勾股定理第1课时勾股定理1．经历探索及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想；(重点)2．掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题；(重点)3．了解利用拼图验证勾股定理的方法．(难点)一、情境导入如以下图的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由假设干个图形组成，而每个图形的根本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说说其中的奥秘吗？二、合作探究探究点一：勾股定理【类型一】直接运用勾股定理如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，CD⊥AB于D，求：(1)AC的长；(2)S△ABC；(3)CD的长．解析：(1)由于在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，根据勾股定理即可求出AC的长；(2)直接利用三角形的面积公式即可求出S△ABC；(3)根据面积公式得到CD·AB＝BC·AC即可求出CD.解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，∴AC＝AB2－BC2＝12cm；(2)S△ABC＝12CB·AC＝12×5×12＝30(cm2)；(3)∵S△ABC＝12AC·BC＝12CD·AB，∴CD＝AC·BCAB＝6013cm.方法总结：解答此类问题，一般是先利用勾股定理求出第三边，然后利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积，然后根据面积相等得出一个方程，再解这个方程即可．【类型二】分类讨论思想在勾股定理中的应用在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，试求△ABC的周长．解析：此题应分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论．解：此题应分两种情况说明：(1)当△ABC为锐角三角形时，如图①所示．在Rt△ABD中，BD＝AB2－AD2＝152－122△ACD中，CD＝AC2－AD2＝132－122＝5，∴BC＝5＋9＝14，∴△ABC的周长为15＋13＋14＝42；(2)当△ABC为钝角三角形时，如图②所示．在Rt△ABD中，BD＝AB2－AD2＝152－122△ACD中，CD＝AC2－AD2＝132－122＝5，∴BC＝9－5＝4，∴△ABC的周长为15＋13＋4＝32.∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32.方法总结：解题时要考虑全面，对于存在的可能情况，可作出相应的图形，判断是否符合题意．【类型三】勾股定理的证明探索与研究：方法1：如图：对任意的符合条件的直角三角形ABC 绕其顶点A旋转90°得直角三角形AED，所以∠BAE＝90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE的面积相等，而四边形ABFE的面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和．根据图示写出证明勾股定理的过程；方法2：如图：该图形是由任意的符合条件的两个全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的，你能根据图示再写出一种证明勾股定理的方法吗？解析：方法1：根据四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和进行解答；方法2：根据△ABC和Rt△ACD的面积之和等于Rt△ABD和△BCD的面积之和解答．解：方法1：S正方形ACFD＝S四边形ABFE＝S△BAE＋S△BFE，即b2＝12c2＋12(b＋a)(b－a)，整理得2b2＝c2＋b2－a2，∴a2＋b2＝c2；方法2：此图也可以看成Rt△BEA绕其直角顶点E顺时针旋转90°，再向下平移得到．∵S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD，S四边形ABCD ＝S△ABD＋S△BCD，∴S△ABC＋S△ACD＝S△ABD＋S△BCD，即12b2＋12ab＝12c2＋12a(b－a)，整理得b2＋ab＝c2＋a(b－a)，b2＋ab＝c2＋ab－a2，∴a2＋b2＝c2.方法总结：证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规那么的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理证明勾股定理．探究点二：勾股定理与图形的面积如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，假设正方形A、B、C、DE的面积是________．解析：根据勾股定理的几何意义，可得正方形A、B的面积和为S1，正方形C、D 的面积和为S2，S1＋S2＝S3，即S3＝2＋5＋1＋2＝10.故答案为10.方法总结：能够发现正方形A、B、C、D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A、B、C、D的面积和即是最大正方形的面积．三、板书设计1．勾股定理如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.2．勾股定理的证明“赵爽弦图〞、“刘徽青朱出入图〞、“詹姆斯·加菲尔德拼图〞、“毕达哥拉斯图〞．3．勾股定理与图形的面积课堂教学中，要注意调动学生的积极性．让学生满怀激情地投入到学习中，提高课堂效率．勾股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点，为了突破这一难点，设计一些拼图活动，并自制精巧的课件让学生从形上感知，再层层设问，从面积(数)入手，师生共同探究突破本节课的难点．4．5一次函数的应用第1课时利用一次函数解决实际问题1．根据问题条件找出能反映出实际问题的函数；(重点)2．能利用一次函数图象解决简单的实际问题，开展学生的应用能力；(重点) 3．建立一次函数模型解决实际问题．(难点)一、情境导入联通公司话费收费有A套餐(月租费15元，通话费每分钟0.1元)和B套餐(月租费0元，通话费每分钟0.15元)两种．设A 套餐每月话费为y1(元)，B套餐每月话费为y2(元)，月通话时间为x分钟．(1)分别表示出y1与x，y2与x的函数关系式；(2)月通话时间为多长时，A、B两种套餐收费一样？(3)什么情况下A套餐更省钱？二、合作探究探究点：一次函数与实际问题利用图象(表)解决实际问题我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费的方法收费：月用水10t以内(包括10t)的用户，每吨收水费a元；月用水超过10t的用户，10t水仍按每吨a元收费，超过10t的局部，按每吨b元(b>a)收费．设某户居民月用水x t，应收水费y元，y与x之间的函数关系如以下图．(1)求a的值，并求出该户居民上月用水8t应收的水费；(2)求b的值，并写出当x>10时，y与x 之间的函数表达式；(3)上月居民甲比居民乙多用4t水，两家共收水费46元，他们上月分别用水多少吨？解析：(1)用水量不超过10t时，设其函数表达式为y＝ax，由上图可知图象经过点(10，15)，从而求得a的值；再将x＝8代入即可求得应收的水费；(2)可知图象过点(10，15)和(20，35)，利用待定系数法可求得b的值和函数表达式；(3)分别判断居民甲和居民乙用水比10t多还是比10t少，然后用相对应的表达式分别求出甲、乙上月用水量．解：(1)当0≤x≤10时，图象过原点，所以设y＝ax.把(10，15)代入，解得ayx(0≤x≤10)．当x＝8时，y×8＝12，即该户居民的水费为12元；(2)当x>10时，设y＝bx＋m(b≠0)．把(10，15)和(20，35)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧10b＋m＝15，20b＋m＝35，解得⎩⎪⎨⎪⎧b＝2，m＝－5，即超过10t的局部按每吨2元收费，此时函数表达式为y＝2x－5(x>10)；(3)因为10×1.5＋10×1.5＋4×2＝38<46，所以居民乙用水比10t多．设居民乙上月用水x t，那么居民甲上月用水(x＋4)t.y甲＝2(x＋4)－5，y乙＝2x，得[2(x＋4)－5]＋(2x－5)＝46，解得x t，居民乙用水12t.方法总结：此题的关键是读懂图象，从图象中获取有用信息，列出二元一次方程组得出函数关系式，根据关系式再得出相关结论．广安某水果店方案购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示：元，那么这两种水果各购进多少千克？(2)假设该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果店在销售完这批水果时获利最多？此时利润为多少元？解析：(1)根据方案购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，进而利用该水果店预计进货款为1000元，得出等式求出即可；(2)利用两种水果每千克的利润表示出总利润，再利用一次函数增减性得出最大值即可．解：(1)设购进甲种水果x千克，那么购进乙种水果(140－x)千克，根据题意可得5x ＋9(140－x)＝1000，解得x＝65，∴140－x ＝75(千克)．答：购进甲种水果65千克，乙种水果75千克；(2)由图表可得甲种水果每千克利润为3元，乙种水果每千克利润为4元．设总利润为W，由题意可得W＝3x＋4(140－x)＝－x＋560，故W随x的增大而减小，那么x 越小，W越大．∵该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，∴140－x≤3x，解得x≥35，∴当x＝35时，W最大＝－35＋560＝525(元)，故140－35＝105(千克)．答：当购进甲种水果35千克，购进乙种水果105千克时，此时利润最大为525元．方法总结：利用一次函数增减性得出函数最值是解题关键．如图①，底面积为30cm2的空圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体〞，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h(cm)与注水时间t(s)之间的关系如图②所示．请根据图中提供的信息，解答以下问题：(1)圆柱形容器的高为多少？匀速注水的水流速度(单位：cm3/s)为多少？(2)假设“几何体〞的下方圆柱的底面积为15cm2，求“几何体〞上方圆柱的高和底面积．解析：(1)根据图象，分三个局部：注满“几何体〞下方圆柱需18s；注满“几何体〞上方圆柱需24－18＝6(s)；注满“几何体〞上面的空圆柱形容器需42－24＝18(s)，再设匀速注水的水流速度为x cm3/s，根据圆柱的体积公式列方程，再解方程；(2)由图②知几何体下方圆柱的高为a cm，根据圆柱的体积公式得a·(30－15)＝18×5，解得a＝6，于是得到“几何体〞上方圆柱的高为5cm，设“几何体〞上方圆柱的底面积为S cm2，根据圆柱的体积公式得5×(30－S)＝5×(24－18)，再解方程即可．解：(1)根据函数图象得到圆柱形容器的高为14cm，两个实心圆柱组成的“几何体〞的高度为11cm，水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体〞到注满用了42－24＝18(s)，这段高度为14－11＝3(cm)．设匀速注水的水流速度为x cm3/s，那么18·x＝30×3，解得x＝5，即匀速注水的水流速度为5cm3/s；(2)由图②知“几何体〞下方圆柱的高为a cm，那么a·(30－15)＝18×5，解得a＝6，所以“几何体〞上方圆柱的高为11－6＝5(cm)．设“几何体〞上方圆柱的底面积为S cm2，根据题意得5×(30－S)＝5×(24－18)，解得S＝24，即“几何体〞上方圆柱的底面积为24cm2.方法总结：此题考查了一次函数的应用：把分段函数图象中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题．【类型二】建立一次函数模型解决实际问题某商场欲购进A、B两种品牌的饮料共500箱，两种饮料每箱的进价和售价如下表所示．设购进A种饮料x箱，且所购进的两种饮料能全部卖出，获得的总利润为y元．(1)求y关于x的函数表达式；(2)如果购进两种饮料的总费用不超过20000元，那么该商场如何进货才能获利最多？并求出最大利润．(注：利润＝售价－本钱)解析：由表格中的信息可得到A、B两种品牌每箱的利润，再根据它们的数量求出利润，进而利用函数的图象性质求出最大利润．解：(1)由题意，知B种饮料有(500－x)箱，那么y＝(63－55)x＋(40－35)(500－x)＝3xy＝3x＋2500(0≤x≤500)；(2)由题意，得55x＋35(500－x)≤x≤125.∴当x＝125时，y最大值＝3×125＋2500＝2875.∴该商场购进A、B两种品牌的饮料分别为125箱、375箱时，能获得最大利润2875元．方法总结：此类题型往往取材于日常生活中的事件，通过分析、整理表格中的信息，得到函数表达式，并运用函数的性质解决实际问题．解题的关键是读懂题目的要求和表格中的数据，注意思考的层次性及其中蕴含的数量关系．【类型三】两个一次函数图象在同一坐标系内的问题为倡导低碳生活，绿色出行，某自行车俱乐部利用周末组织“远游骑行〞活动．自行车队从甲地出发，途经乙地短暂休息完成补给后，继续骑行至目的地丙地，自行车队出发1小时后，恰有一辆邮政车从甲地出发，沿自行车队行进路线前往丙地，在丙地完成2小时装卸工作后按原路返回甲地，自行车队与邮政车行驶速度均保持不变，，如图表示自行车队、邮政车离甲地的路程y(km)与自行车队离开甲地时间x(h)的函数关系图象，请根据图象提供的信息解答以下各题：(1)自行车队行驶的速度是________km/h；(2)邮政车出发多少小时与自行车队首次相遇？(3)邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地多远？解析：(1)由速度＝路程÷时间就可以求出结论；(2)由自行车的速度就可以求出邮政车的速度，再由追击问题设邮政车出发a小时两车相遇建立方程求出其解即可；(3)由邮政车的速度可以求出B的坐标和C的坐标，由自行车的速度就可以D的坐标，由待定系数法就可以求出BC，ED的解析式就可以求出结论．解：(1)由题意得，自行车队行驶的速度是72÷3＝24km/h.(2)由题意得，邮政车的速度为24×2.5＝60(km/h)．设邮政车出发a小时两车相遇，由题意得24(a＋1)＝60a，解得a＝23.答：邮政车出发23小时与自行车队首次相遇；(3)由题意，得邮政车到达丙地所需的时间为135÷60＝94(h)，∴邮政车从丙地出发的时间为94＋2＋1＝214(h)，∴B(214，135)，C，0)．自行车队到达丙地的时间为：135÷24＋0.5＝458＋0.5＝498(h)，∴D(498，135)．设BC 的解析式为y1＝k1x＋b1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧135＝214k1＋b1，0k1＋b1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k1＝－60，b1＝450，∴y1＝－60x＋450，设ED的解析式为y2＝k2x＋b2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧72k 2＋b 2，135＝498k 2＋b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝24，b 2＝－12，∴y 2＝24xy 1＝y 2时，－60x ＋450＝24x －12，解得x ＝5.5.y 1＝－60×5.5＋450＝120.答：邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地120km.方法总结：此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与一元一次方程的综合运用，解答时求出函数的解析式是关键．三、板书设计一次函数与实际问题1．建立一次函数模型解实际问题 2．利用图象(表)解决实际问题对于分段函数的实际应用问题中，学生往往无视了自变量的取值范围，同时解决有交点的两个一次函数图象的问题还存在一定的困难，有待在以后的教学中加大训练,力争逐步提高.。

教育界/ EDUCATION CIRCLE2021年第16期（总第440期）课例点评▲【摘要】勾股定理被称为“几何学的基石”，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，体现了“数”与“形”的互相转换，表明了数形结合思想在数学教学中有不可忽视的作用。

基于此，本文探讨了如何在“勾股定理”教学的各个环节渗透数形结合思想，旨在为中学数学教师的教学提供一些新的视角。

【关键词】数形结合思想；勾股定理；教学设计借助数学文化　渗透数形结合思想——“勾股定理”教学设计与思考江苏省南京市第二十九中学初中部　韩茂芳“数”与“形”是数学知识的两种表现形式，“数”体现在用数学语言表征数学概念、数学性质与数学定理等，而“形”是实物、图象与图形的表征。

勾股定理是中国传统数学文化代表之一，在教学中，为了让学生更深层次地领悟知识、感悟数形结合的思想，教师可以借助数学文化把数形结合思想融入各个教学环节中。

┈一、基于渗透数形结合思想的“勾股定理”教学设计（一）教材分析“勾股定理”是人教版数学教材八年级下册的内容，学生已经初步掌握开方、解方程、三角形等相关知识。

教师可以结合八年级学生具有较强的好奇心和求知欲的特点，在教学中分层、分阶段地渗透数形结合的思想。

基于此，教师可以借助数学文化载体，对定理的由来、探索证明方法、应用过程中渗透数形结合思想进行设计，为学生后续学习平面几何乃至立体几何做好铺垫［1］。

（二）教学目标（1）让学生主动探索“发现”勾股定理的证明过程，并会用面积法证明勾股定理。

（2）在探索与证明勾股定理的过程中渗透数形结合的思想方法，培养学生发现问题和总结规律的能力。

（3）在学生动手操作过程中，培养学生的合作学习的能力，使学生体会到勾股定理中“数”与“形”的关系，感受到数学中的美。

┈（三）教学重点、难点教学重点：探索勾股定理的推导过程。

教学难点：运用数形结合的思想证明勾股定理。

（四）教学过程【第一环节】实践操作，提出猜想，导入课题1.小组合作，感知数与形之间的奥秘教师课前准备好三张直角三角形纸片（三边长是勾股数），通过PPT展示以下任务。

《勾股定理（一）》说课稿各位评委、老师：，大家好！今天我说课的内容是义务教育课程标准实验教科书湘教版数学八年级上册第三章第六节《勾股定理》第一课时，本节课主要是观察——猜想——证明勾股定理已及对勾股定理的简单应用。

一、教材背景分析1、教材的地位和作用分析勾股定理揭示了直角三角形三边之间的准确数量关系，其中体现出来的“数形统一”的数学思维方法很好地将几何与代数两大门类有机地结合起来。

它既是直角三角形性质的延拓，又是学生后续学习解直角三角形、圆、三角函数乃至高中立体几何、解析几何的基础。

勾股定理不仅在数学的发展中起到重要作用，在物理学和日常生活中也有着广泛的应用。

2、学生学情分析八年级学生在数学的学习过程中已经开始由形象思维向抽象思维过渡，喜欢动手实践，具有了一定的自主探究能力。

在本节课以前，学生已经学习了有关直角三角形的一些知识及利用割补法求面积的数学思维，但对利用图形面积来探求数式运算规律的方法还不太熟悉。

3、教学重点与难点教学重点：勾股定理的探索过程与应用教学难点：勾股定理的证明二、教学目标设计新课程理念下的课堂不仅要传授给学生知识，更重要的是让学生经历知识形成的过程。

根据数学课程标准、教学原则，结合学生的实际情况，我将这节课的教学目标确定如下：1、知识与技能2、过程与方法让学生经历“观察——猜测——证明——应用”的数学探究过程，在动手实践中体会“特殊到一般”和“数形结合”的数学思想方法。

3、情感态度与价值观通过实验，让学生感受到数学所具有的探索性和创造性，激发学生探究热情，培养学生良好的团队合作意识和创新精神。

通过对我国古代数学成就的了解，增强民族自豪感，激发学习热情。

三、教法与学法在教法上，我遵循教师为主导、学生为主体、共同参与为主线的教学理念，以“问题教学法”“实验教学法”层层递进，引导学生参与探究，以此突出重点。

以“动画演示法”展示形象直观的动态图形，贯穿数形结合的思想方法，以此突破难点。

第17章勾股定理专项训练专训1.巧用勾股定理求最短路径的长名师点金：求最短距离的问题，第一种是通过计算比较解最短问题；第二种是平面图形，将分散的条件通过几何变换(平移或轴对称)进行集中，然后借助勾股定理解决；第三种是立体图形，将立体图形展开为平面图形，在平面图形中将路程转化为两点间的距离，然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程(距离)．用计算法求平面中最短问题1．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人从A走到B，为了避免拐角C走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了________步路(假设2步为1 m)，却踩伤了花草．(第1题)2．小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如图，以往从黄石A坐客车到武昌客运站B，现在可以在黄石A坐“武黄城际列车”到武汉青山站C，再从青山站C 坐市内公共汽车到武昌客运站B.设AB＝80 km，BC＝20 km，∠ABC＝120°.请你帮助小明解决以下问题：(1)求A，C之间的距离．(参考数据21≈4.6)(2)若客车的平均速度是60 km/h，市内的公共汽车的平均速度为40 km/h，“武黄城际列车”的平均速度为180 km/h，为了在最短时间内到达武昌客运站，小明应选择哪种乘车方案？请说明理由．(不计候车时间)(第2题)用平移法求平面中最短问题3．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是50 cm，30 cm，10 cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬到B点，至少需爬( )A．13 cm B．40 cm C．130 cm D．169 cm(第3题)(第4题)4．如图，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝4，DE＝EF＝2，则AF的长是________．用对称法求平面中最短问题5．如图，在正方形ABCD中，AB边上有一点E，AE＝3，EB＝1，在AC上有一点P，使EP＋BP最短，求EP＋BP的最短长度．(第5题)6．高速公路的同一侧有A、B两城镇，如图，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA′＝2 km，BB′＝4 km，A′B′＝8 km.要在高速公路上A′、B′之间建一个出口P，使A、B 两城镇到P的距离之和最小．求这个最短距离．(第6题)用展开法求立体图形中最短问题类型1 圆柱中的最短问题(第7题)7．如图，已知圆柱体底面圆的半径为2π，高为2，AB，CD分别是两底面的直径．若一只小虫从A点出发，沿圆柱侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是________(结果保留根号)．类型2 圆锥中的最短问题8．已知：如图，观察图形回答下面的问题：(1)此图形的名称为________．(2)请你与同伴一起做一个这样的物体，并把它沿AS剪开，铺在桌面上，则它的侧面展开图是一个________．(3)如果点C是SA的中点，在A处有一只蜗牛，在C处恰好有蜗牛想吃的食品，但它又不能直接沿AC爬到C处，只能沿此立体图形的表面爬行，你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗？2·1·c·n·j·y(4)SA的长为10，侧面展开图的圆心角为90°，请你求出蜗牛爬行的最短路程．(第8题)类型3 正方体中的最短问题9．如图，一个正方体木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．(1)请你在正方体木柜的表面展开图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；(2)当正方体木柜的棱长为4时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．(第9题)类型4 长方体中的最短问题10．如图，长方体盒子的长、宽、高分别是12 cm，8 cm，30 cm，在AB的中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从E处沿盒子表面爬到C处去吃，求小虫爬行的最短路程．(第10题)专训2.巧用勾股定理解折叠问题名师点金：折叠图形的主要特征是折叠前后的两个图形绕着折线翻折能够完全重合，解答折叠问题就是巧用轴对称及全等的性质解答折叠中的变化规律．利用勾股定理解答折叠问题的一般步骤：(1)运用折叠图形的性质找出相等的线段或角；(2)在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一线段的长为x ，将此直角三角形的三边长用数或含有x 的代数式表示出来；(3)利用勾股定理列方程求出x ；(4)进行相关计算解决问题．巧用全等法求折叠中线段的长1．(中考·泰安)如图①是一直角三角形纸片，∠A ＝30°，BC ＝4 cm ，将其折叠，使点C 落在斜边上的点C ′处，折痕为BD ，如图②，再将图②沿DE 折叠，使点A 落在DC ′的延长线上的点A ′处，如图③，则折痕DE 的长为( )(第1题) A.83cm B ．2 3 cm C ．2 2 cm D ．3 cm巧用对称法求折叠中图形的面积2．如图所示，将长方形ABCD 沿直线BD 折叠，使点C 落在点C ′处，BC ′交AD 于E ，AD ＝8，AB ＝4，求△BED 的面积．(第2题)巧用方程思想求折叠中线段的长3．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG.(1)求证：△ABG≌△AFG；(2)求BG的长．(第3题)巧用折叠探究线段之间的数量关系4．如图，将长方形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC 于点F，连接CE.(1)求证：AE＝AF＝CE＝CF；(2)设AE＝a，ED＝b，DC＝c，请写出一个a，b，c三者之间的数量关系式．(第4题)专训3.利用勾股定理解题的7种常见题型名师点金：勾股定理建立起了“数”与“形”的完美结合，应用勾股定理可以解与直角三角形有关的计算问题，证明含有平方关系的几何问题，作长为n(n为正整数)的线段，解决实际应用问题及专训一、专训二中的最短问题、折叠问题等，在解决过程中往往利用勾股定理列方程(组)，有时需要通过作辅助线来构造直角三角形，化斜为直来解决问题．利用勾股定理求线段长1．如图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，点D为AC边的中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE＝4，FC＝3，求EF的长．(第1题)利用勾股定理作长为n的线段2．已知线段a，作长为13a的线段时，只要分别以长为和的线段为直角边作直角三角形，则这个直角三角形的斜边长就为13a.利用勾股定理证明线段相等3．如图，在四边形ABFC中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＝2AB2－CD2.求证：AB＝BC.(第3题)利用勾股定理证明线段之间的平方关系4．如图，∠C＝90°，AM＝CM，MP⊥AB于点P.求证：BP2＝BC2＋AP2.(第4题)利用勾股定理解非直角三角形问题5．如图，在△ABC 中，∠C ＝60°，AB ＝14，AC ＝10.求BC 的长．(第5题)利用勾股定理解实际生活中的应用6．在某段限速公路BC 上(公路视为直线)，交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60 km/h ⎝ ⎛⎭⎪⎫即503 m/s ，并在离该公路100 m 处设置了一个监测点A.在如图的平面直角坐标系中，点A 位于y 轴上，测速路段BC 在x 轴上，点B 在点A 的北偏西60°方向上，点C 在点A 的北偏东45°方向上．另外一条公路在y 轴上，AO 为其中的一段．(1)求点B 和点C 的坐标；(2)一辆汽车从点B 匀速行驶到点C 所用的时间是15 s ，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速．(参考数据：3≈1.7)(第6题)利用勾股定理探究动点问题7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5 cm ，AC ＝3 cm ，动点P 从点B 出发沿射线BC 以1 cm/s 的速度移动，设运动的时间为t 秒．(1)求BC 边的长；(2)当△ABP 为直角三角形时，借助图①求t 的值；(3)当△ABP 为等腰三角形时，借助图②求t 的值．(第7题)答案专训11．4(第2题)2．解：(1)如图，过点C 作AB 的垂线，交AB 的延长线于点E.∵∠ABC ＝120°，∴∠BCE ＝30°.在Rt △CBE 中，∵BC ＝20 km ，∴BE ＝10 km.由勾股定理可得CE ＝10 3 km.在Rt △ACE 中，∵AC2＝AE2＋CE2＝(AB ＋BE)2＋CE2＝8 100＋300＝8 400， ∴AC ＝2021≈20×4.6＝92(km)．(2)选择乘“武黄城际列车”．理由如下：乘客车需时间t1＝8060＝113(h)，乘“武黄城际列车”需时间t2≈92180＋2040＝1190(h)． ∵113>1190，∴选择乘“武黄城际列车”．(第3题)3．C 点拨：将台阶面展开，连接AB ，如图，线段AB 即为壁虎所爬的最短路线．因为BC ＝30×3＋10×3＝120(cm)，AC ＝50 cm ，在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝16 900，所以AB ＝130 cm.所以壁虎至少爬行130 cm.5．解：如图，连接BD 交AC 于O ，连接ED 与AC 交于点P ，连接BP.(第5题)易知BD ⊥AC ，且BO ＝OD ，∴BP ＝PD ，则BP ＋EP ＝ED ，此时最短．∵AE ＝3，AD ＝1＋3＝4，由勾股定理得ED2＝AE2＋AD2＝32＋42＝25＝52，∴ED ＝BP ＋EP ＝5.6．解：如图，作点B 关于MN 的对称点C ，连接AC 交MN 于点P ，则点P 即为所建的出口．此时A 、B 两城镇到出口P 的距离之和最小，最短距离为AC 的长．作AD ⊥BB ′于点D ，在Rt △ADC 中，AD ＝A ′B ′＝8 km ，DC ＝6 km.∴AC ＝AD2＋DC2＝10 km ，∴这个最短距离为10 km.(第6题)7．2 2 点拨：将圆柱体的侧面沿AD 剪开并铺平得长方形AA ′D ′D ，连接AC ，如图．线段AC 就是小虫爬行的最短路线．根据题意得AB ＝2π×2π×12＝2.在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝22＋22＝8，∴AC ＝8＝2 2.(第7题)8．解：(1)圆锥 (2)扇形(3)把此立体图形的侧面展开，如图所示，AC 为蜗牛爬行的最短路线．(4)在Rt △ASC 中，由勾股定理，得AC2＝102＋52＝125，∴AC ＝125＝5 5.故蜗牛爬行的最短路程为5 5. (第8题)(第9题)9．解：(1)蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AC ′1和AC1.(2)如图，AC ′1＝42＋（4＋4）2＝4 5. AC1＝（4＋4）2＋42＝4 5.所以蚂蚁爬过的最短路径的长是45. 10．解：分为三种情况：(1)如图①，连接EC ，在Rt △EBC 中，EB ＝12＋8＝20(cm)，BC ＝12×30＝15(cm)． 由勾股定理，得EC ＝202＋152＝25(cm)．(2)如图②，连接EC.根据勾股定理同理可求CE ＝673 cm>25 cm. (3)如图③，连接EC.根据勾股定理同理可求CE ＝122＋（30＋8＋15）2＝ 2 953(cm)>25 cm. 综上可知，小虫爬行的最短路程是25 cm.(第10题)专训21．A2．解：由题意易知AD ∥BC ，∴∠2＝∠3.∵△BC ′D 与△BCD 关于直线BD 对称，∴∠1＝∠2.∴∠1＝∠3.∴EB ＝ED.设EB ＝x ，则ED ＝x ，AE ＝AD －ED ＝8－x.在Rt △ABE 中，AB2＋AE2＝BE2，∴42＋(8－x)2＝x2.∴x ＝5.∴DE ＝5.∴S △BED ＝12DE ·AB ＝12×5×4＝10. 解题策略：解决此题的关键是证得ED ＝EB ，然后在Rt △ABE 中，由BE2＝AB2＋AE2，利用勾股定理列出方程即可求解．2-1-c-n-j-y3．(1)证明：在正方形ABCD 中，AD ＝AB ，∠D ＝∠B ＝90°.∵将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，∴AD ＝AF ，DE ＝EF ，∠D ＝∠AFE ＝90°.∴AB ＝AF ，∠B ＝∠AFG ＝90°.又∵AG ＝AG ，∴Rt △ABG ≌Rt △AFG(HL)．(2)解：∵△ABG ≌△AFG ，∴BG ＝FG.设BG ＝FG ＝x ，则GC ＝6－x ，∵E 为CD 的中点，∴CE ＝DE ＝EF ＝3，∴EG ＝3＋x.∴在Rt △CEG 中，32＋(6－x)2＝(3＋x)2，解得x ＝2.∴BG ＝2.4．(1)证明：由题意知，AF ＝CF ，AE ＝CE ，∠AFE ＝∠CFE ，又四边形ABCD 是长方形，故AD ∥BC ，∴∠AEF ＝∠CFE.∴∠AFE ＝∠AEF.∴AE ＝AF ＝EC ＝CF.(2)解：由题意知，AE ＝EC ＝a ，ED ＝b ，DC ＝c ，由∠D ＝90°知，ED2＋DC2＝CE2，即b2＋c2＝a2.专训3(第1题)1．解：如图，连接BD.∵等腰直角三角形ABC 中，点D 为AC 边的中点，∴BD ⊥AC ，BD 平分∠ABC(等腰三角形三线合一)，∴∠ABD ＝∠CBD ＝45°，又易知∠C ＝45°， ∴∠ABD ＝∠CBD ＝∠C.∴BD ＝CD.∵DE ⊥DF ，BD ⊥AC ，∴∠FDC ＋∠BDF ＝∠EDB ＋∠BDF.∴∠FDC ＝∠EDB.在△EDB 与△FDC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EBD ＝∠C ，BD ＝CD ，∠EDB ＝∠FDC ，∴△EDB ≌△FDC(ASA)，∴BE ＝FC ＝3.∴AB ＝7，则BC ＝7.∴BF ＝4.在Rt △EBF 中，EF2＝BE2＋BF2＝32＋42＝25，∴EF ＝5.2．2a ；3a3．证明：∵CD ⊥AD ，∴∠ADC ＝90°，即△ADC 是直角三角形．由勾股定理，得AD2＋CD2＝AC2.又∵AD2＝2AB2－CD2，∴AD2＋CD2＝2AB2.∴AC2＝2AB2.∵∠ABC＝90°，∴△ABC是直角三角形．由勾股定理，得AB2＋BC2＝AC2，∴AB2＋BC2＝2AB2，故BC2＝AB2，即AB＝BC.方法总结：当已知条件中有线段的平方关系时，应选择用勾股定理证明，应用勾股定理证明两条线段相等的一般步骤：①找出图中证明结论所要用到的直角三角形；②根据勾股定理写出三边长的平方关系；③联系已知，等量代换，求之即可．(第4题)4．证明：如图，连接BM.∵PM⊥AB，∴△BMP和△AMP均为直角三角形．∴BP2＋PM2＝BM2，AP2＋PM2＝AM2.同理可得BC2＋CM2＝BM2.∴BP2＋PM2＝BC2＋CM2.又∵CM＝AM，∴CM2＝AM2＝AP2＋PM2.∴BP2＋PM2＝BC2＋AP2＋PM2.∴BP2＝BC2＋AP2.(第5题)5．思路导引：过点A 作AD ⊥BC 于D ，图中出现两个直角三角形——Rt △ACD 和Rt △ABD ，这两个直角三角形有一条公共边AD ，借助这条公共边可建立起两个直角三角形之间的联系．解：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D.∴∠ADC ＝90°.又∵∠C ＝60°，∴∠CAD ＝90°－∠C ＝30°，∴CD ＝12AC ＝5. ∴在Rt △ACD 中，AD ＝AC2－CD2＝102－52＝5 3. ∴在Rt △ABD 中，BD ＝AB2－AD2＝11.∴BC ＝BD ＋CD ＝11＋5＝16.方法总结：利用勾股定理求非直角三角形中线段的长的方法：作三角形一边上的高，将其转化为两个直角三角形，然后利用勾股定理并结合条件，采用推理或列方程的方法解决问题．【来源：6．思路导引：(1)要求点B 和点C 的坐标，只要分别求出OB 和OC 的长即可．(2)由(1)可知BC 的长度，进而利用速度公式求得汽车在这段限速路上的速度，并与503比较即可． 解：(1)在Rt △AOB 中，∵∠BAO ＝60°，∴∠ABO ＝30°，∴OA ＝12AB. ∵OA ＝100 m ，∴AB ＝200 m.由勾股定理，得OB ＝AB2－OA2＝2002－1002＝1003(m)．在Rt △AOC 中，∵∠CAO ＝45°，∴∠OCA ＝∠OAC ＝45°.∴OC ＝OA ＝100 m ．∴B(－1003，0)，C(100，0)． (2)∵BC ＝BO ＋CO ＝(1003＋100)m ，1003＋10015≈18>503， ∴这辆汽车超速了．7．解：(1)在Rt △ABC 中，BC2＝AB2－AC2＝52－32＝16，∴BC ＝4 cm.(2)由题意知BP ＝t cm ，①如图①，当∠APB 为直角时，点P 与点C 重合，BP ＝BC ＝4 cm ，即t ＝4；②如图②，当∠BAP 为直角时，BP ＝t cm ，CP ＝(t －4)cm ，AC ＝3 cm ，在Rt △ACP 中，AP2＝32＋(t －4)2，在Rt △BAP 中，AB2＋AP2＝BP2，即52＋[32＋(t －4)2]＝t2，解得t ＝254. 故当△ABP 为直角三角形时，t ＝4或t ＝254.(第7题(2))(3)①如图①，当BP ＝AB 时，t ＝5；②如图②，当AB ＝AP 时，BP ＝2BC ＝8 cm ，t ＝8；(第7题(3))③如图③，当BP ＝AP 时，AP ＝BP ＝t cm ，CP ＝|t －4|cm ，AC ＝3 cm ，在Rt △ACP 中，AP2＝AC2＋CP2，所以t2＝32＋(t －4)2，解得t ＝258. 综上所述：当△ABP 为等腰三角形时，t ＝5或t ＝8或t ＝258.第17章 勾股定理 专项训练专训1.证垂直在解题中的应用名师点金：证垂直的方法：(1)在同一平面内，垂直于两条平行线中的一条直线；(2)等腰三角形中“三线合一”；(3)勾股定理的逆定理：在几何中，我们常常通过证垂直，再利用垂直的性质来解各相关问题．利用三边的数量关系说明直角1．如图，在△ABC 中，点D 为BC 边上一点，且AB ＝10，BD ＝6，AD ＝8，AC ＝17，求CD 的长．(第1题)利用转化为三角形法构造直角三角形2．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝5，CD＝5，AD＝4，求S四边形ABCD.(第2题)利用倍长中线法构造直角三角形3．如图，在△ABC中，D为边BC的中点，AB＝5，AD＝6，AC＝13，求证：AB⊥AD.(第3题)利用化分散为集中法构造直角三角形4．在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，点P为△ABC内一点，将CP绕点C顺时针旋转α得到CD，连接AD.(1)如图①，当α＝60°，PA＝10，PB＝6，PC＝8时，求∠BPC的度数；(2)如图②，当α＝90°时，PA＝3，PB＝1，PC＝2时，求∠BPC的度数．(第4题)利用“三线合一”法构造直角三角形5．如图①，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，D为AB的中点，M，N分别为AC，BC 上的点，且DM⊥DN.(1)求证：CM＋CN＝2BD；(2)如图②，若M，N分别在AC，CB的延长线上，探究CM，CN，BD之间的数量关系．(第5题)专训2.全章热门考点整合应用名师点金：本章主要学习了勾股定理、勾股定理的逆定理及其应用，勾股定理揭示了直角三角形三边长之间的数量关系．它把直角三角形的“形”的特点转化为三边长的“数”的关系，是数形结合的典范，是直角三角形的重要性质之一，也是今后学习直角三角形的依据之一．本章的考点可概括为：两个概念，两个定理，两个应用．两个概念a．互逆命题1．有下列命题：①直角都相等；②内错角相等，两直线平行；③如果a＋b>0，那么a>0，b>0；④相等的角都是直角；⑤如果a>0，b>0，那么ab>0；⑥两直线平行，内错角相等．(1)③和⑤是互逆命题吗？(2)你能说出③和⑤的逆命题各是什么吗？(3)请指出哪几个命题是互逆命题．b．互逆定理2．下列四个定理中，存在逆定理的有( )个．(1)有两个角相等的三角形是等腰三角形；(2)全等三角形的对应角相等；(3)同位角相等，两直线平行．A．0 B．1 C．2 D．33．写出下列各命题的逆命题，并判断是不是互逆定理．(1)全等三角形的对应边相等；(2)同角的补角相等．两个定理a．勾股定理4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是BC上一点，AD＝BD.若AB＝8，BD＝5，求CD的长．(第4题)b．勾股定理的逆定理5．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设c为最长边．当a2＋b2＝c2时，△ABC是直角三角形；当a2＋b2≠c2时，利用代数式a2＋b2和c2的大小关系，可以判断△ABC的形状(按角分类)．(1)请你通过画图探究并判断：当△ABC三边长分别为6，8，9时，△ABC为________三角形；当△ABC三边长分别为6，8，11时，△ABC为________三角形．(2)小明同学根据上述探究，有下面的猜想：“当a2＋b2>c2时，△ABC为锐角三角形；当a2＋b2<c2时，△ABC为钝角三角形．”请你根据小明的猜想完成下面的问题：当a＝2，b＝4时，最长边c在什么范围内取值时，△ABC是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形？2-1-c-n-j-y两个应用a．勾股定理的应用6．如图，在公路l旁有一块山地正在开发，现需要在C处爆破．已知C与公路上的停靠站A的距离为300 m，与公路上的另一停靠站B的距离为400 m，且CA⊥CB.为了安全起见，爆破点C周围半径250 m范围内(包括250 m)不得有人进入．问：在进行爆破时，公路AB 段是否有危险？需要暂时封锁吗？(第6题)b．勾股定理逆定理的应用7．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距5 n mile的A，B两个基地前去拦截，6分钟后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行40 n mile，乙巡逻艇每小时航行30 n mile，航向为北偏西37°，问：甲巡逻艇的航向？(第7题)答案专训11．解：∵AD2＋BD2＝100＝AB2，∴△ABD为直角三角形，且∠ADB＝90°.在Rt△ACD中，CD2＋AD2＝AC2，∴CD ＝AC2－AD2＝172－82＝15.2．解：连接AC.在Rt △ACB 中，AB2＋BC2＝AC2，∴AC ＝3，∴AC2＋AD2＝CD2.∴△ACD 为直角三角形，且∠CAD ＝90°，∴S 四边形ABCD ＝12×2×5＋12×3×4＝6＋ 5.(第3题)3．证明：如图，延长AD 至点E ，使DE ＝AD ，连接CE ，BE.∵D 为BC 的中点，∴CD ＝BD.又∵AD ＝DE ，∠ADC ＝∠BDE ，∴△ADC ≌△EDB ，∴BE ＝AC ＝13.在△ABE 中，AE ＝2AD ＝12，∴AE2＋AB2＝122＋52＝169.又∵BE2＝132＝169，∴AE2＋AB2＝BE2，∴△ABE 是直角三角形，且∠BAE ＝90°，即AB ⊥AD.点拨：本题运用倍长中线法构造全等三角形证明线段相等，再利用勾股定理的逆定理证明三角形为直角三角形，从而说明两条线段垂直．4．解：(1)如图①，连接DP ，易知△DCP 为等边三角形，易证得△CPB ≌△CDA ，∴∠BPC ＝∠ADC，∠CDP＝60°，AD＝6，DP＝8，∴AD2＋DP2＝AP2，∴∠ADP＝90°，∴∠ADC＝150°，∴∠BPC＝150°.(第4题)(2)如图②，连接DP，易得△DCP为等腰直角三角形，易证得△CPB≌△CDA，∴∠BPC＝∠ADC，∠CDP＝45°，AD＝1，DP＝2CD＝22，∴AD2＋DP2＝AP2，∴∠ADP＝90°，∴∠ADC＝135°，∴∠BPC＝135°.5．(1)证明：如图①，连接CD，∵DM⊥DN，∴∠MDC＋∠CDN＝90°.∵∠ACB＝90°，AC＝CB，D为AB的中点，∴CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝45°，∴∠CDN＋∠NDB＝90°.∴∠MDC＝∠NDB.∵CD⊥AB，∠BCD＝45°，∴CD＝BD.在△CMD和△BND中，∵∠MDC＝∠NDB，∠MCD＝∠NBD，CD＝BD，∴△CMD≌△BND，∴CM＝BN.∴CM＋CN ＝BN＋CN＝BC.在Rt△CBD中，∠B＝45°，∠CDB＝90°，∴BC＝2BD.∴CM＋CN＝2BD.(2)解：CN－CM＝2BD，如图②，连接CD，证法同(1)．(第5题)专训二1．解：(1)由于③的题设是a＋b>0，而⑤的结论是ab>0，故⑤不是由③交换命题的题设和结论得到的，所以③和⑤不是互逆命题．(2)能．③的逆命题是如果a>0，b>0，那么a＋b>0.⑤的逆命题是如果ab>0，那么a>0，b>0.(3)①与④，②与⑥分别是互逆命题．2．C3．解：(1)逆命题：三条边对应相等的两个三角形全等．原命题与其逆命题都是真命题且都是定理，所以它们是互逆定理．2·1·c·n·j·y(2)逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角．原命题是真命题，但其逆命题是假命题，所以它们不是互逆定理．4．解：设CD＝x，在Rt△ABC中，有AC2＋(CD＋BD)2＝AB2，整理，得AC2＝AB2－(CD＋BD)2＝64－(x＋5)2.①在Rt△ADC中，有AC2＋CD2＝AD2，整理，得AC2＝AD2－CD2＝25－x2.②由①②两式，得64－(x＋5)2＝25－x2，解得x＝1.4，即CD的长是1.4.点拨：勾股定理反映了直角三角形三边长之间的数量关系，利用勾股定理列方程思路清晰、直观易懂．5．解：(1)锐角；钝角(2)a2＋b2＝22＋42＝20，∵c为最长边，2＋4＝6，∴4≤c<6.①由a2＋b2>c2，得c2<20，0<c<25，∴当4≤c＜25时，这个三角形是锐角三角形；②由a2＋b2＝c2，得c2＝20，c＝25，∴当c＝25时，这个三角形是直角三角形；③由a2＋b2<c2，得c2>20，c>25，∴当25<c<6时，这个三角形是钝角三角形．6．思路导引：要判断公路AB 段是否需要暂时封锁，只需要判断点C 到公路l 的距离是否大于250 m ．若大于250 m ，则不需要暂时封锁；若小于或等于250 m ，则需要暂时封锁． 解：如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D.在Rt △ABC 中，因为BC2＋AC2＝AB2，BC ＝400 m ，AC ＝300 m ，(第6题)所以AB2＝4002＋3002＝5002，所以AB ＝500 m.因为SRt △ABC ＝12AB ·CD ＝12BC ·AC ， 所以500×CD ＝400×300，所以CD ＝240 m.因为240<250，所以公路AB 段有危险，需要暂时封锁．7．解：AC ＝40×0.1＝4(n mile)，BC ＝30×0.1＝3(n mile)．因为AB ＝5 n mile ，所以AB2＝BC2＋AC2，所以∠ACB ＝90°.因为∠CBA ＝90°－37°＝53°，所以∠CAB ＝37°，所以甲巡逻艇的航向为北偏东53°.。

教学目标教学重点教学难点学情分析学法指导教学内容自学互帮导学法”课堂教学设计勾股定理逆定理（二）课时修改意见知识与能力：1 •掌握互逆命题的意义，会写一个命题的逆命题，并判断是否成立；理及逆定理解决实际问题。

过程与方法：进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。

情感态度与价值观：通过一系列富有探究性的问题，渗透与他人交流、合作的意识和探究精神.勾股定理的逆定理及其应用.建立实际问题转化成用勾股定理的逆定理的数学模型，解决数■学问题。

2、灵活应用勾股定八年级学生认知结构、心理特征趋于逐渐成熟时期，是学生由试验几何，向推理几何过渡的重要阶段。

这个时期的学生对所学知识有一种急于尝试和运用的冲动，若不能正确引导，则必将对其学习数学的积极性造成伤害。

通过对勾股定理逆定理的再探究，有利于更好的培养学生的分析思维能力，发展推理能力。

引导、尝试、发现、探究、合作交流。

效果预测教师活动学生活动（可能出现补救措施修改意见的问题）启动课堂 （知 识再现）［活动1］知识回顾：一、勾股定理及其逆定理的文字和几何语言的叙述：1、勾股定理（“形”到“数”的结合）：文字表达：直角三角形两直角边和平方和等于斜边的平方 几何语言表达：•••/C=902 . 2 2…a +b=c2、文字表达：如果三角形一边的平方等于其他两边的平方和，那 么这个三角形是直角三角形。

几何语言表述：a+b=C•••/ C=903、点评学生汇报。

独自写出 两个定理的两 种表达方式， 并作好汇报准 备。

学生汇报。

前因后果 可能混淆“数”与“形”的完美结 合，才产生勾股 定理及其逆定 理，怎样结合， 其结果可以让 学生讨论后加 深印象，并将定 理和逆定理区 别开来。

二、复习训练:1、如图，两个正方形的面积分别为64和49,则AC=2、由五根木棍，长度分别为3、4、5、12、13,若取其中三根木棍，组成三角形，有_______________________ 种取法；构成直角三角形的有. 种取法。