激光原理(含答案)
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1、试证明：由于自发辐射，原子在E2能级的平均寿命
211/s A τ=。
(20分)
证明：根据自发辐射的性质，可以把由高能级E2的一个原子自发地跃迁到E1的自发跃迁几率21A 表示
为
21212
1()sp
dn A dt n = （1）
式中21()sp
dn 表示由于自发跃迁引起的由E2向E1跃迁的原子数
因在单位时间内能级E2所减少的粒子数为
221()sp dn dn dt dt =- （2）
把（1）代入则有
2
212dn A n dt =- （3）
故有
22021()exp()
n t n A t =- （4）
自发辐射的平均寿命可定义为
2200
1()s n t dt n τ∞
=⎰ （5）
式中
2()n t dt
为t 时刻跃迁的原子已在上能级上停留时间间隔dt 产生的总时间，因此上述广义积分为所
有原子在激发态能级停留总时间，再按照激发态能级上原子总数平均，就得到自发辐射的平均寿命。
将
（4）式代入积分（5）即可得出
210
21
1
exp()s A t dt A τ∞
=-=
⎰
2、一光束通过长度为1m 的均匀激励的工作物质，如果出射光强是入射光强的两倍，试求该物质的增益系数。
(20分)
解： 若介质无损耗，设在光的传播方向上z 处的光强为I(z)，则增益系数可表示为
()1()dI z g dz I z =
故
()(0)exp()I z I gz =
根据题意有
(1)2(0)(0)exp(1)I I I g ==⨯
解得
1ln(2)0.693g cm -==
3、某高斯光束
0 1.2,10.6.mm um ωλ==今用F=2cm 的锗透镜来聚焦,当束腰与透镜的距离为10m,1m,0
时,求焦斑大小和位置,并分析结果 (30分)
解：由高斯光束q 参数的变化规律有(参书P77: 图2.10.3) 在z=0 处
2
00(0)/q q i πωλ
== （1）
在A 处（紧挨透镜L 的“左方”）
(0)A q q l
=+ （2）
在B 处（紧挨透镜L 的“右方”）
111B A q q F =-
（3）
在C 处
C B C
q q l =+ （4）
又高斯光束经任何光学系统变换时服从所谓ABCD 公式，由此得
00C Aq B
q Cq D +=
+ （5）
其中
11
01011/101C A B l l C D F ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （6）
则
22
222
0022222
200()()()
()()()()
C C l F l F q l F i F l F l πωπωλλπωπωλλ--=++-+-+ （7）
在像方高斯光束的腰斑处有
{}Re 1/0
C q =，得
22
0222
0()()
0()()C l F l l F F l πωλπω
λ--+=-+ （8）
解得像方束腰到透镜的距离
2'
22
2
0()
()()
C F l F l l F F l πωλ-==+
-+ （9）
将（9）代入（8）得出
222
2
0()
()()
C F l F q i
F l πωλ-=-+ （10）
由此求得
220'2
220
01
111Im (1)()C l q F F πωπωλωλ
⎧⎫=-
=-+⎨⎬⎩⎭ （11。
1）
()22
2
002
22
0'F F l ωωπωλ=
⎛⎫-+ ⎪
⎝⎭ （11。
2）
当 0l cm = 时， 有'
2.00;l cm = '0
3.16nm ω=； 当 1l m = 时， 有'
2.03;l cm = '00.50nm ω=； 当 10l m = 时， 有'
2.00;l cm = '0 5.77pm ω=；
讨论： F 一定时，
0'
ω 随 l 的变化情况。
①
当l <F 时，0'2
ω随l 的减小而减小，因而当 l =0 时，
0'ω达到最小值
(
)0min 'ω=
=
此时由（9）式得出得像方束腰最小时的位置为
()21'11l F F f F ⎡⎤=-<⎢⎥
+⎢⎥⎣⎦
像方束腰最小时的腰斑放大率
()
'
min 0
1
k ωω=
=
<
若进一步有 F f << ，则最小束腰大小和位置分别为：
()00min 'F
f ωω≈
'l F ≈
在这种情况下，像方腰斑就处在透镜的前焦面上，且透镜的焦距越小，焦斑半径0'ω也越小，聚焦效果
越好。
② 当l >F 时,
0'ω随l 的增大而单调减小，当 l →∞ 时， 0'ω达最小, 此时，最小腰斑及位置为
()0min '0
ω≈，
'l F ≈
一般地，当 l F >> 时，
(
)()2
2
11l
l
l F
F F
>>⇒-≈
可得到
()
0'F l λ
ωπω≈
，
'l F ≈
若进一步有 l f >> ， 则
()0max 0'F λωπω=
可得到 00'F l ωω≈
③当l =F 时，
0'ω达最大值：
()0max 0'F λ
ωπω=
只有0200'1F
F f ωλωπω==< ，即 F f < 时，透镜才有聚焦作用。
综上，无论l 的值为多大，只要满足条件
()0
0max 'ωω< ，即 F f <，则透镜总有一定的聚焦作
用。
4、设粒子数密度为n 的红宝石被一矩形脉冲激励光照射,其激励跃迁几率可表示为
{
00
0130
()p W t t t t W t <≤>=
求激光上能级粒子数密度n2(t),并画出相应的波形(30分) 解： 红宝石激光器为三能级系统，其速率方程组为
3
11333231()dn nW n S A dt =-+ （1） 2221210221213321
()(,)()l dn f
n n N n A S n S dt f συυν=---++ （2）
123n n n n
++= （3）
2
212102()(,)l l l Rl
dN N f n n N dt f συυντ=-- （4）
由于
3213
S W ，使
30
n ≈， 因此
3/0
dn dt ≈，
于是由式（1）可得
332
1131
()
n S n W t η= （5）
式中
1323231/()S S A η=+表示E3能级向E2能级无辐射跃迁的量子效率，将（5）式代入（2）式，并
考虑到在未形成自激振荡或在阈值附近时受激辐射很微弱的情况，（2）式中的第一项可忽略不计，从而得出
221211322()
()[()]dn A n t W t n n t dt ηη=-- （6）
式中
2212121/()A A S η=+为E2能级向基态跃迁的荧光效率。
① 当0
0t t <≤时，
13p
W W =
有
121
2121212
()1exp(())p p p W n
A n t W t A W ηηηηη⎡⎤=--+⎢⎥⎣
⎦+ （7）
② 当
t t >时，
130
W =
有
21
22002
()()exp(())
A n t n t t t η=-
- （8）
其变化波形如下图所示。
