山东交通学院期末考试线性代数课程试卷答案和评分标准(B)卷

线性代数20－21学年第二学期期末考试试卷一、填空题（将答案写在答题纸的相应位置，不写解答过程。

每空3分，共15分）1．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0410******** ＝______________________. 2．设A 是n 阶矩阵，秩（A ）<n ，且A *≠0，则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中所含解向量的个数为_____________________.3．若A ，B 均为3阶矩阵，且｜A ｜＝2，B ＝－3E ，则｜AB ｜＝_____________________. 4．设A 为n 阶矩阵，若行列式｜5E －A ｜＝0，则A 必有一特征值为__________________.5．二次型3223222122x x x x x +--的秩为_____________________. 1．若A ，B 为3阶矩阵，且｜A ｜＝3，B ＝－3E ，则｜AB ｜＝_____________________. 2．若向量组α1＝（1，0，0），α2＝（2，t,4）,α3=(0,0,6)线性相关，则t=_____________. 3．设矩阵A ＝⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛332313322212312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a ，其中a i b i ≠0(i =1,2,3).则秩（A ）＝_______________. 4．设A 为n 阶矩阵，若齐次线性方程组Ax =0只有零解，则非齐次线性方程组Ax=b 的解的个数为_____________________.5.()()===⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A R A 则秩设,,3,2,1,321 αββα____________________()==A R A 则秩已知1101001100001100001100101 .1________________________.2224, 4., ,000200011132200233121232221是负定的二次型时取值为．当则相似与．已知矩阵x x x tx x x x f t y x y B x A ++---===⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=., ,222252322323121232221==+=+++++=b a y y f x bx x x x ax x x x f 则经正交变换化为标准形．已知二次型二、选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代号写在答题纸的相应位置。

线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题 5 分，共 25 分）1 3 1 1.若0 5 x 0，则__________。

1 2 2x1 x2 x3 02．若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解，则应满足。

x1x2x303．已知矩阵A，B，C (c ij )s n，满足 AC CB ，则 A 与 B 分别是阶矩阵。

4．已知矩阵A为 3 3的矩阵，且| A| 3，则| 2A|。

5．n阶方阵A满足A23A E 0 ，则A1。

二、选择题（每小题 5 分，共 25 分）6．已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时，该二次型为正定？（）A. 40 B.4 4C. 0 t4 4 1t5t D. t2 5 5 5 51 42 1 2 37．已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ，求x的值（）0 4 3 0 0 5A.3B.-2C.5D.-58 ．设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（）A. A0B. A 1 0C.r (A) nD.A 的行向量组线性相关9 ．过点（ 0， 2， 4）且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为（）1xy 2 z 4A.312xy 2 z 4C.31 2x y2 z 4B.32 2x y2 z 4D.322103 1 ．已知矩阵 A, 其特征值为（）51A. 12, 2 4 B. C.12,24D.三、解答题（每小题 10 分，共 50 分）1 12,2, 22441 1 00 2 1 3 40 2 1 30 1 1 011.设B, C 0 2 1 且 矩 阵满足关系式0 0 1 1 00 10 0 0 2T X(C B)E，求。

a1 12212. 问 a 取何值时，下列向量组线性相关？111, 2a ,3。

2 1 21 a22x 1 x 2x 3 313.为何值时，线性方程组x 1 x 2x 3 2有唯一解，无解和有无穷多解？当方x 1 x 2x 32程组有无穷多解时求其通解。

命题人： 审批人： 试卷分类（A 卷或B 卷） A试 卷学期： 2005 至 2006 学年度 第 二 学期 课程： 线性代数 专业：班级：姓名： 学号：一、计算行列式xa a a x a aa xD n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= (10分)二、⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2500380000120025的逆阵（10分）三、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3, 已知η1, η2, η3η1=(2, 3, 4, 5)T, η2+η3=(1, 2, 3, 4)T,求该方程组的通解. （12分）四、已知R 3的两个基为a 1=(1, 1, 1)T , a 2=(1, 0, -1)T , a 3=(1, 0, 1)T ；b 1=(1, 2, 1)T , b 2=(2, 3, 4)T , b 3=(3, 4, 3)T .求由基a 1, a 2, a 3到基b 1, b 2, b 3的过渡矩阵P .（12分）设 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211λλλλλx x x x x x x x x 问λ为何值时, 此方程组（1）有唯一解（2）无解（3）有无穷多解? （15分）六、（1）判定向量组 (-1, 3, 1)T, (2, 1, 0)T, (1, 4, 1)T是线性相关还是线性无关；（2）试用施密特法把向量组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=931421111) , ,(321a a a正交化（16分）。

七、已知3阶矩阵A 的特征值为3,2,1-, 求A A A 7523+-.（10分）求一个正交变换将二次型322322213214332),,(x x x x x x x x f +++=化成标准形（15分）大学 试 卷 评分标准及参考答案学期： 2005 至 2006 学年度 第 二 学期 课程： 线性代数一、计算行列式xa a a x a aa xD n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= (10分) 解 将第一行乘(-1)分别加到其余各行, 得ax x a ax x a a x x a aa a x D n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅=000 0 000 , -------------------------4分 再将各列都加到第一列上, 得ax ax a x aaa a n x D n -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-+=0000 0 0000 )1(-------------------8分 =[x +(n -1)a ](x -a )n -1.-------------------------------------------------10分二、⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025的逆阵（10分） 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2538B -------------------------------------------2分则⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--5221122511A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--8532253811B ----------6分于是 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----850032000052002125003800001200251111B A B A -------10分四、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3, 已知η1, η2, η3η1=(2, 3, 4, 5)T, η2+η3=(1, 2, 3, 4)T,求该方程组的通解. （12分） 解：由于方程组中未知数的个数是4, 系数矩阵的秩为3, 所以对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量, -----------------------------------------------------------------------4分 且由于η1, η2, η3均为方程组的解, 由非齐次线性方程组解的结构性质得2η1-(η2+η3)=(η1-η2)+(η1-η3)= (3, 4, 5, 6)T为其基础解系向量--------------------------------------------------------------------10分 故此方程组的通解为：x =k (3, 4, 5, 6)T +(2, 3, 4, 5)T , (k ∈R ).---------------------12分五、已知R 3的两个基为a 1=(1, 1, 1)T , a 2=(1, 0, -1)T , a 3=(1, 0, 1)T ；b 1=(1, 2, 1)T , b 2=(2, 3, 4)T , b 3=(3, 4, 3)T .求由基a 1, a 2, a 3到基b 1, b 2, b 3的过渡矩阵P .（12分） 解：设e 1, e 2, e 3是三维单位坐标向量组, 则⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=111001111) , ,() , ,(321321e e e a a a ----------------------------------------2分1321321111001111) , ,() , ,(-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=a a a e e e -------------------------------------4分 于是 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=341432321) , ,() , ,(321321e e e b b b -----------------------------------------6分 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-341432321111001111) , ,(1321a a a ---------------------------10分由基a 1, a 2, a 3到基b 1, b 2, b 3的过渡矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1010104323414323211110011111P .-----------------------12分设 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211λλλλλx x x x x x x x x 问λ为何值时, 此方程组（1）有唯一解（2）无解（3）有无穷多解? （15分） 解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21111111λλλλλB ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+----22)1)(1()2)(1(00)1(11011 ~λλλλλλλλλλr . ----------6分 (1)要使方程组有唯一解, 必须R (A )=3. 因此当λ≠1且λ≠-2时方程组有唯一解.-----9分 (2)要使方程组无解, 必须R (A )<R (B ), 故 (1-λ)(2+λ)=0, (1-λ)(λ+1)2≠0.因此λ=-2时, 方程组无解. ----------------------------------------------------------------------------12分 (3)要使方程组有有无穷多个解, 必须R (A )=R (B )<3, 故 (1-λ)(2+λ)=0, (1-λ)(λ+1)2=0.因此当λ=1时, 方程组有无穷多个解.---------------------------------------------------------------15分六、（1）判定向量组 (-1, 3, 1)T, (2, 1, 0)T, (1, 4, 1)T是线性相关还是线性无关；（2）试用施密特法把向量组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=931421111) , ,(321a a a 正交化（16分）。

大学线性代数期末试卷一、选择题（每小题3分，共12分）1、B A ,是两个n 阶方阵，且都可逆，则下列式子正确的是（ ）A ．BA AB = B ．B A B A +=+C ．BA AB =-1 D ．B A B A T T +≠+2、若矩阵m n A ⨯可以通过初等行变换变为矩阵m n B ⨯，b 是一个n 维非零向量，则结论（ ）成立A ．方程组b Ax =和方程组b Bx =同解B ．) () (b B R b A R =C ．若方程组0=Ax 有无穷多解，则方程组0=Ax 和0=Bx 有相同的基础解系D ．上述结论都不正确3、设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111010112 , 010********P P ，则下列说法错误的是（ ）A ．A A P =61B ．)()(1A R AP R =C ．)()(21A R AP P R =D ．)()(2A R AP R ≠ 4、设β,,,,21n a a a Λ都是n 维向量，则下列结论成立的是（ ） A ．β,,,,21n a a a Λ不一定线性相关B ．若,),,,(21n a a a R n =Λ 则β一定可由n a a a ,,,21Λ唯一线性表示C ．若,),,,(21n a a a R n <Λ,),,,,(21n a a a R n =βΛ则β可由n a a a ,,,21Λ线性表示D ．上述结论都不正确二、填空题（每空格4分，共20分）1、已知A 是三阶方阵，且2=A ，则=A 3________;=--1*)2(A A __________2、11143122101123x x x --是关于x 的三次多项式，则该式中x 项前的系数为_______3、设,22111101121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k A 则当_____=k 时，2)(=A R4、设A 是三阶方阵，2)(=A R ，又知21,ηη是非齐次方程组)0( ≠=b b Ax 的两个无关解，则 b Ax =的通解为__________________ 三、求下列行列式（共12分）1、(8分)112101111123212----2、（4分）nx y xy xy x1O O(空白处全为零元素)三、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=210412145 , 134012B , 012101321C A ，求1. B A T (6分)2. C A 23-(6分)3. 若B AX =，求矩阵X (8分)五、设向量组)2,7,5,1();0,2,1,1();1,3,2,1();0,4,2,2(4321====T T T T a a a a 1、求),,,(4321a a a a R （8分） 2、求向量组4321,,,a a a a 的一个极大无关组 （8分） 3、将其余向量表示为极大无关组的线性组合 （4分）六、（1）(12分)求方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+=+=+-+=+-+102123214322143214321x x x x x x x x x x x x x 的通解(注意：不能用中学的高斯消元法解题)(2)(4分)当λ取何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=-+++++=+++++=+++λλλλλλλλ24232143214321)1()1( 22)2()21(321x x x x x x x x x x x x 有唯一解，无解，无穷多解试卷标准答案一、选择题（每小题3分，共12分） 1、( C ) 2、（ C ） 3、（ D ） 4,、（ B ）二、填空题（每空格4分，共20分） 1、_54_;16272、4-3、 1- ，2)(=A R4、设A 是三阶方阵，2)(=A R ，又知21,ηη是非齐次方程组)0( ≠=b b Ax 的两个无关解，则 b Ax =的通解为 ())(112为任意常数其中k k ηηη+-三、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=210412145 , 134012B , 012101321C A 求B A T (6分),C A 23-(6分)若B AX =,求X (8分)解：解：B A T =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--013102211⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-134012=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--761714;(6分)=-C A 23⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------416521727 (6分)(法一)先用初等行变换法求出=-1A 81⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---251462231(5分); 则==-B A X 181⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----234261694(3分)(法二)对()B A ,进行初等行变换，当把A 变成单位阵时，B 就变成了==-B A X 181⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----234261694 (8分)四、1、(8分)112101111123212----)1(113-⨯↔r r r1120321211121011---)1(2221312-⨯--r r r r r 112521031101011-----)1(232423-⨯-+r r r r r 710021031101011----34r r +500210031101011---=5111⨯⨯⨯=52、(4分)nx y xy xy x1O O按第一行展开()xyxy y x x n ΛΛM M M ΛΛΛ01001211⋅-+⋅+-按第一列展开 ()21--⋅-n n n y y x =()1--+n n y x五、设向量组)2,7,5,1();0,2,1,1();1,3,2,1();0,4,2,2(4321====T T T T a a a a 求),,,(4321a a a a R (8分);向量组4321,,,a a a a 的一个极大无关组(8分);将其余向量表示为极大无关组的线性组合(4分)。

第一章 行列式一、填空1. 按自然数从小到大为标准次序，则排列3421的逆序数为 5 ，32514的逆序数 为 5 .2.四阶行列式中含有因子a a 2311的项44322311a a a a -，42342311a a a a .3.按定义，四阶行列式有!4项，其中有12项带正号，有12项带负号.4.在函数xx x xxx f 21112)(---=中，3x 的系数是2-. 5. =cbac ba222111))()((b c a c a b ---.6.设210132113---=D ，A ij 为元素a ij 的代数余子式)3,2,1,(=j i ，则=-+33231342A A A 37.二、选择1. 四阶行列式a b a b b a b a 4433221100000000的值等于（ D ） （A ） b b b b a a a a 43214321- （B ） b b b b a a a a 43214321+（C ） ))((43432121b b a a b b a a -- （D ） ))((41413232b b a a b b a a --2.设1211123111211)(xxxx x f -=，则x 3的系数为 （ C ）（A ）2 （B ）1 （C ）1- （D ）2- 3.在五阶行列式)det(a ij 中，下列各项中不是)det(a ij 的项为 （ A ） （A ）a a a a a 5552214331 （B ）a a a a a 5412452331- （C ）a a a a a 5145342312 （D ）a a a a a 33522514414.行列式1111111111111111--+---+---x x x x 的值为 （ D ）（A ）0 （B ）22)1()1(-+x x （C ）2x （D ）4x三、计算 1.2605232112131412- 21r r +=====26052321260514120=（因有两行相同）2.ef cfbfde cd bdaeacab--- 123r ar d r f÷=====÷÷ec b e c b e c b adf ---123c bc c c e ÷=====÷÷111111111---abcdef 2131r r r r +=====+abcdef abcdef 4020200111=- 3.dcb a10110011001--- 12r ar +=====d c b a ab 1011011010---+1c =====dc a ab 10111--+32 c dc +=====010111-+-+cd c ad a ab 3r =====cdad ab +-+111ad cd ab +++=)1)(1( 四、证明1.322)(11122b a b b a ab ab a -=+证 1112222b b a a b aba +1323c c c c -=====-1002)(22222b b a b a b b ab b a ----122c c -=====120)(222b b a b b ab b a --- 3)(b a -=2.0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a证=++++++++++++2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(d d d d c c c c b b b b a a a a 433221c c c c c c -=====--5232125232125232125232122222++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a4332c c c c -=====-022122212221222122222=++++d d c cb b a a （因有两列相同）3.01111210100000100001a x a x a x a a a a a a xx x n n n n nn ++++=------证： 递推法，按第一列展开，建立递推公式1011)1(021-*---+=++x xa xD D n n n =0022)1(a xD a xD n n n +=-++又 n a D =1，于是=+1n D 0a xD n +011)(a a xD x n ++=+0112a x a D x n ++=-= =01111a x a x a D x n n n++++-- .0111a x a xa x a n n n n ++++=--五、计算1.x a a a x a aa x D n=解x a a a x aa a x D n =121[(1)] n r r r r x n a +++=====÷+-])1([a n x ++xa a ax a11112,,i c ac i n -======])1([a n x ++a x ax --111].)1([)(1a n x a x n -+-=-2.1111)()1()()1(1111n a a a n a a a n a a a D n n n n n n n ------=---+，提示：利用范德蒙德行列式的结果 解 ：将行列式上下翻转，即为范德蒙德行列式，若再将行列式左右翻转，由于上下翻转与左右翻转交换次数相等，故行列式于上下翻转再左右翻转其值不变.于是，利用范德蒙德行列式的结果，可得nnnn a n a n a a n a n a D)1()(11111+--+--=+∏+≤<≤-=11).(n i j j i3.nnnnn d c d c b a b a D11112=，其中未写出的元素都是0解： n D 22222n nr r c c ↔=====↔)1(20-n n nn nD d c b a )1(2)(--=n n n n n D c b d a即有递推公式n D 2)1(2)(--=n n n n n D c b d a又111111112c b d a d c b a D -==，利用这些结果递推得n D 2 )(n n n n c b d a -=.)()(11111∏=-=-nk k k k k c b d a c b d a4.nn a a a D +++=11111111121，其中021≠n a a a解 12212332311000010001000100011n n n n na a a c c a a D c c a a a a -----=====---+111213121111121100010000010*******0011()(1)nn ni i nn i ia a a a a a a a a a a a ------===+=+∑∑5.问λ，μ取何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++02003213.21321x x x x x x x x x μμλ有非零解？解： 方程组的系数行列式必须为01211111μμλ=D 32r r -=====)1(01111--=λμμμλ故只有当0=μ或1=λ时，方程组才可能有非零解.当0=μ，原方程组成为⎪⎩⎪⎨⎧=+=++0031321x x x x x λ 显然1,1,1321-=-==x x x λ是它的一个非零解. 当1=λ，原方程组成为⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++02003213.21321x x x x x x x x x μμ 显然1,0,1321==-=x x x 是它的一个非零解. 因此，当0=μ或1=λ时，方程组有非零解.第一章 练习题1.381141102---解： 利用对角线法则3108)1(2)1()4(1811)1()1(03)4(2⨯⨯-⨯-⨯--⨯-⨯-⨯⨯+-⨯-⨯+⨯-⨯=D4-=2.yxyx x y x y y x y x+++解： 利用对角线法则)(2)()()()(33333y x y x y x yx y x y x yx y y x x D +-=--+-+++++=3.7110251020214214解： 12r r D ↔=====-711002510421420212131410r r r r -=====--711020215042702021---- 42r r ↔=====42702021507110221----3242157r r r r +=====+0459008517007110221= 4.4321532154215431543254321 解： 从最后一行开始，后行减去前行1114111411141114111154321----=D 12,,5i c c i -======0510050105015000143211----=D 51215i i c c =+=====∑050005000505000043213----1875)5(34=-⨯=5. 利用范德蒙德行列式计算四阶行列式cb a db a dc a dc bd c b a d c b a d c b a++++++++33332222解： D 414()r r r a b c d +=====÷+++1111)(33332222dcba d cb a dc b ad c b a +++把行列式的最后一行依次与前面的行交换，共交换三次得333322221111)(d c b a d c b a d c b a d c b a D +++-=))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-=6.证明na a a 10011121)1(2132∑=-=ni in a a a a a ，其中 021≠n a a a 证： 化行列式为下三角形行列式D112,i inr r a i n -======n a a b * 0002n a a ba 32= 其中，∑=-=ni ia ab 211，于是).1(2132∑=-=n i i n a a a a a D7.=n D )det(a ij ，其中j i a ij -=解： 032131221011210------=n n n n n n D n 11221n n n n r rr r r r ----=====--1111111111111210--------n n12n n c c c c +=====+.2)1()1(112001220132121----=---------n n n n n n n8.求满足下列方程的实数z y x ,,：11000100011=zy x z y x解： 将D 按第一行展开得，,0222=++z y x 解得.0===z y x9. 问λ取何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(3213.21321x x x x x x x x x λλλ有非零解？解： 方程组的系数行列式必须为0λλλ----=111132421D 13r r ↔=====421132111-----λλλ 21312(1)r r r r λ-=====--2)1(4301210111λλλλλ--+-----2)1(43121λλλλ--+----=21c c +=====2331λλλλλ----)3)(2(---=λλλ 故32,0或=λ，并且当0=λ时，21-=x ，12=x ，13=x ；当2=λ时，21-=x ，32=x ，13=x ；当3=λ时，11-=x ，52=x ，23=x ；均是原方程组的非零解. 因此，当32,0或=λ时，方程组有非零解.第二章 矩阵及其运算 （一）一．填空1.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321a a a A ，()123B b b b = ，则AB =11121212223313233a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；BA = 112233()a b a b a b ++；()T AB =112131122232132333a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭；T T A B =()T BA ；T T B A = ()T AB . 2. 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=121x A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=012y B ，若BA AB =，则=x 1 ；=y 2 . 3. 设A 为3阶方阵，且2-=A ，则2A = 4 ；=-T A 2 16 ；*A = 4 .4. 设101A λ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则kA =101k λ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.5. 设101020101A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，而2n ≥为正整数，则12n n A A --= 0 （零矩阵） . 6. 已知3A E =，则1A -=2A .二．选择1. 设n 阶方阵,,A B C 满足关系式ABC E =，其中E 为n 阶单位矩阵，则必有（ D ）. （A ） ACB E = （B ）CBA E = (C) BAC E = （D ）BCA E =2. 设A 、B 均为n 阶方阵，满足0AB =，则必有 （ C ） （A ） 0A =或0B = （B ）0BA = (C) 0A =或0B = （D ）0A B +=3. 设A 、B 都是n 阶方阵，则下列命题中正确的是 （ D ） （A ）若0≠A 且0≠B ，则0≠AB . （B ）若A 、B 都是对称阵，则AB 是对称阵. (C)若AB 不可逆，则A 、B 都不可逆. （D ）若AB 可逆，则A 、B 都可逆.三．计算与证明1. 设111111111A ⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪-⎝⎭, 123124051B ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭，求32AB A -及T A B . 解：32AB A -1111233111124111051⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=--- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭1112111111⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭21322217204292-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭111123111124111051T A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=--- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭058056290⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭2. 13121400121134131402⎛⎫⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭ ⎪-⎝⎭6782056-⎛⎫= ⎪--⎝⎭3. ()111213112312222321323333a a a x x x x a a a x a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()1111212313121222323131********x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x ⎛⎫⎪=++++++ ⎪⎪⎝⎭222111222333121213132323222a x a x a x a x x a x x a x x =+++++4. 设,A B 为n 阶方阵，且A 为对称阵，证明TB AB 也是对称阵. 证明：已知：TA A =则 ()()TTTTTTTTB AB B B A B A B B AB === 从而 T B AB 也是对称阵.第二章 矩阵及其运算 （二）一．填空1. 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1211A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1011B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=B O O A C ，则 =C -1 .2. 设1200n a a A a ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，（120n a a a ≠）. 则1A -=1210101n a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭3. 设A 为三阶可逆矩阵，且1123012001A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，则A *=123012001---⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭4. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=543022001A ，则=-*1)(A 10A ；=*-)(1A 10A .5.设A 为m 阶方阵，B 为n 阶方阵，且a A =，b B =，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=O B A O C ，则=C (1)mnab -. 6．设A 为3阶矩阵，且A ＝12，则1*(2)5A A --=16- . 二．选择题1. 设A 为n 阶可逆矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，则必有（ A ） （A ） 1-*=n AA （B ） A A =* （C ） nA A =*（D ） 1-*=A A2. 设A 、B 都是n 阶方阵，则下列等式中正确的是 （ D ） （A ）BA AB = （B ）TTTB A AB =)( （C ）111)(---=B A AB （D ）BA AB =3. 已知A 为n 阶方阵，且满足关系式0432=++E A A ，则()=+-1E A ( C )（A ）1A E -+ （B ）12E A +（C ） 12E A -- （D ）4A E +三．计算与证明1. 求下列方阵的逆阵（1） 5200210000120011⎛⎫ ⎪⎪⎪- ⎪⎝⎭解：115221A ⎛⎫=⎪⎝⎭，1111225A --⎛⎫= ⎪-⎝⎭，221211A -⎛⎫= ⎪⎝⎭，122121113A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭， 112002500120033110033A --⎛⎫⎪- ⎪ ⎪= ⎪⎪⎪-⎪⎝⎭. （2） 121342541-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭解：2A =, 故1A -存在 . 11A A A -*=2101313221671-⎛⎫⎪ ⎪=-- ⎪⎪--⎝⎭. 2. 解下列矩阵方程 (1) 25461321X -⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解：125461321X --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭35461221--⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭22308-⎛⎫= ⎪⎝⎭.（2）211113210432111X -⎛⎫-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭解：1211113210432111X --⎛⎫-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭22182533-⎛⎫ ⎪= ⎪-- ⎪⎝⎭.(3) 010100143100001201001010120X -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 解：11010143100100201001001120010X ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭210134102-⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭(4) 设,AX B X +=其中01011111,20,10153A B -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦求.X 解：由,AX B X +=得 ()E A X B -=故 1().X E A B -=- 而 21331213311330()10E A -⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪-⎝⎭所以 2133213311330113112020.05311X --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 3. 设1P AP -=Λ, 其中1411P --⎛⎫=⎪⎝⎭, 1002-⎛⎫Λ= ⎪⎝⎭, 求11A . 解：1P AP -=Λ故1A P P -=Λ所以11111A P P-=Λ3P = 1411P *⎛⎫= ⎪-⎝⎭ 1141113P -⎛⎫= ⎪-⎝⎭而 11111110100202--⎛⎫⎛⎫Λ== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故11111414103311021133A ⎛⎫ ⎪--⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭27312732683684⎛⎫= ⎪--⎝⎭. 4. 设A 为n 阶方阵，并且满足Θ=--E A A 22,证明：A 及E A 2+都可逆，并求1-A 及1)2(-+E A . 解：由已知得：E E A A =-⋅)(21，故A 可逆，且)(211E A A -=- 又E E A E A 4)3)(2(-=-+, 故E A 2+可逆，且)3(41)2(1E A E A --=+-.5. 设0kA =(k 为正整数),证明121()k E A E A A A ---=++++证明: 由 0kA =有 21()()k E A A A E A -++++-2121k k k E A A A A A A A --=++++----E =因此 121()k E A E A A A ---=++++第二章 练习题1.设A 为4阶方阵，1,3A =求134A A *--. 解：111,3A A A A *--==11111343433A A A A A *----∴-=⋅-=-41311(3)81A =-=⋅243.= 2. 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=130210005A ，求1-A .解： ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2211A O O A A51111-=-A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----==*-132********122A A A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-71737271 ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---717307271000511221111A OO A A 3. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=121011322A ，解矩阵方程E AXA =*（其中*A 是矩阵A 的伴随矩阵）. 解：计算得1-=A ，并且A 可逆 因为E E A AA -==*，故由已知E AXA =*得A EA A AXA ==*所以A AX =-解得E X -=解：A BA BA A 61=-- A BA E A6)(1=--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-=--123)(611E AB 4. 设三阶矩阵A ，B 满足关系式BA A BA A +=-61，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=714131A ，求B .5. 设A 为n 阶方阵，并且满足Θ=-+E A A 2, 证明：A 及E A -都可逆，并求1-A 及1)(--E A .解：由已知得：E E A A =+⋅)(，故A 可逆，且E A A +=-1 又E E A E A -=+-)2)((, 故E A -可逆，且)2()(1E A E A +-=-- .6．设34432022O A O ⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 求8A 及4A . 解： 34432022O A O ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，令13443A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ 22022A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 则12A O A OA ⎛⎫=⎪⎝⎭故8182A O A OA ⎛⎫=⎪⎝⎭8182A O OA ⎛⎫= ⎪⎝⎭8888816121210A A A A A ===444414426450052022O A O A OA O ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪==⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭. 7．设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆,求1O A B O -⎛⎫⎪⎝⎭．解 ： 将1O A B O -⎛⎫⎪⎝⎭分块为1234C C CC ⎛⎫⎪⎝⎭其中 1C 为s n ⨯矩阵, 2C 为s s ⨯矩阵3C 为n n ⨯矩阵,4C 为n s ⨯矩阵则n n s s O A B O ⨯⨯⎛⎫⎪⎝⎭1234C C C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭E ==ns E O O E ⎛⎫⎪⎝⎭由此得到1334411122n s AC E C A AC O C OBC O C O BC E C B --⎧=⇒=⎪=⇒=⎪⎨=⇒=⎪⎪=⇒=⎩（A 、B 均可逆）故 111O A O B B O AO ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．第三章 矩阵的初等变换与线性方程组（一）一、填空1. 设A 为n 阶方阵，若有n 阶初等方阵s P P P ,,21，使 ),(),(21B E E A P P P s = ,则=-1As P P P 21 .2. 设A 是34⨯矩阵，且A 的秩)(A R =2，而⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=301020201B ,则=)(AB R 2 .8. 设x 为n 维列向量，1=x x T ，令Txx E H 2-=，证明H 是对称阵，且THH E =. 证明：因为 H xx E xx E xx E H T T T T T T=-=-=-=2)(2)2(，所以H 是对称阵.又 ==2H HHT4)2)(2()2(2+=--=-E xx E xx E xx E T T T T T T xx xx xx 4))((-+=-+=E xx x x x x E T T T 4)(4E xx xx T T =-443. 设四阶方阵A 的秩)(A R =2，则其伴随矩阵*A 的秩为)(*A R = 0 .二．选择1.从矩阵A 中划去一行得到矩阵B ，则A 、B 的秩的关系为（ A ）(A) 1)()()(-≥≥A R B R A R (B) 1)()()(->≥A R B R A R (C) 1)()()(->>A R B R A R (D) 1)()()(-≥>A R B R A R 2.在秩是r 的矩阵中（ C ） (A) 没有等于0的1-r 阶子式 (B) 没有等于0的r 阶子式(C) 等于0的1-r 阶子式和等于0的r 阶子式都可能有 (D) 所有1-r 阶子式等于0三．计算与证明1.把矩阵化为行最简形矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---8701111121324321 解：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000031100313010317001 2.用初等变换求解矩阵方程B AX =,其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=520321,102123111B A 解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==-13122018971B A X 3.试利用矩阵的初等变换，求方阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323513123A 的逆阵1-A .解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=-210212112332671A4.求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=443112112013A 的秩.解：秩为25.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A ，求k 为何值时可使)(A R 等于：（1） 1 ；（2） 2 ；（3） 3 .解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+----)2)(1(300)1(3)1(20321~k k k k k A （1） 当1=k 时，R(A)=1 （2） 当2-=k 时，R(A)=2（3） 当1≠k 且2-≠k 时，R(A)=3第三章 矩阵的初等变换与线性方程组（二）1.求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++02220202432143214321x x x x x x x x x x x x 的解.解：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-134334C2.求非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=-+-=+-=++69413283542432z y x z y x z y x z y x 的解.解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-021112C3.设有⎪⎩⎪⎨⎧--=-+--=--+=-+-1)5(4224)5(2122)2(321321321λλλλx x x x x x x x x ，问λ为何值时，此方程组有唯一解、无解或无穷解？并在有无穷解时求其解. 解：)10()1(2λλ--=A（1）1≠λ且10≠λ时，有唯一解；（2）10=λ时，无解；（3）1=λ时，无穷解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00110201221C C第三章 练习题1.求作一个秩是4的方阵，使它的两个行向量是（1,0,1，0,0）和（1，-1,0,0,0）解：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00000010000010000011001012.求下列矩阵的秩，并求一个最高阶非零子式：（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443112112013解：秩为2，01113≠-（2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------815073131213123解：秩为3，087312123≠----3.非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=-+=+-22223212321321x x x x x x x x x λλ，当λ取何值时有解？并求出它的通解.解：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+---)1)(2(000)1(2330121~λλλλB (1)当2-=λ时， ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛022111C(2)当1=λ时， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001111C4.设A 为n m ⨯矩阵，证明：（1）方程m E AX =有解的充分必要条件是m A R =)(； （2）方程n E YA = 有解的充分必要条件是n A R =)(. 解：（1）m E AX =有解),()(E A R A R =⇔（必要性）显然，m A R ≤)(；另一方面，m E A R ≥),(，故m A R =)( （充分性）m E A R A R m ≤≤=),()(（2）方程n E YA =有解⇔方程n TT E Y A =有解⇔n A R T =)(（由1）⇔n A R =)(5. 设A 为n m ⨯矩阵，证明：若AY AX =，且n A R =)(，则Y X = 证明：Θ=-)(Y X A因为n A R =)(，所以方程Θ=-)(Y X A 只有零解，即Θ=-Y X ,即Y X =6.证明1)(=A R 的充分必要条件是存在非零列向量α及非零行向量T β，使TA βα⋅=. 证明：（充分）1)()(=≤αR A R ,另一方面TA βα⋅=，α和Tβ又都是非零向量，故1)(≥A R ，因此1)(=A R（必要）由于1)(=A R 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ΘΘΘ1~A ,所以()TQ P Q P A αβ=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ΘΘΘ=0010011 7.已知三阶矩阵0≠B ，且B 的每一个列向量都是以下方程组的解：)(0302022321321321*⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+x x x x x x x x x λ（1） 求λ的值； （2） 证明0=B .解：（1）设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=11312221λA ，由题设0,0=≠AB B ,知0)1(5=--=λA故1=λ（2）由1=λ，知2)(=A R ,由0=AB ，知3)()(≤+B R A R ,故1)(≤B R又已知1)(≥B R ，因此1)(=B R 从而0=B第四章 向量组的线性相关性（一）一、选择1．若向量组γβα,,线性无关，δβα,,线性相关，则 （ C ） （A ）α必可由δγβ,,线性表示；（B ）β必可由δγα,,线性表示； (C) δ必可由γβα,,线性表示； (D) β必不可由δγα,,线性表示。

,考试作弊将带来严重后果！期末考试《 线性代数》试卷A1. 考前请将密封线内填写清楚；所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； ．考试形式：开（闭）卷；单项选择题（每小题2分，共30分）。

．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6 35 24 1C ,6 5 43 2 1B ,4 32 1A ，则下列矩阵运算无意义的是【 】A . BAC B. ABC C . BCA D. CAB设n 阶方阵A 满足A 2–E =0，其中E 是n 阶单位矩阵，则必有 【 】A. A=A -1B. A=-EC. A=ED. det(A)=1设A 为3阶方阵，且行列式det(A)=12-,则*A = 【 】 A. 14-B. 14C. 1-D. 1 设A 为n 阶方阵，且行列式det(A)=0，则在A 的行向量组中 【 】A.必存在一个行向量为零向量B.必存在两个行向量，其对应分量成比例C. 存在一个行向量，它是其它n-1个行向量的线性组合D. 任意一个行向量都是其它n-1个行向量的线性组合．设向量组321,,a a a 线性无关，则下列向量组中线性无关的是 【 】A ．133221,,a a a a a a --- B. 212132,,a a a a - C. 32322,2,a a a a + D. 3121,,a a a a +6.向量组(I): )3(,,1≥m a a m 线性无关的充分必要条件是 【 】A.(I)中任意一个向量都不能由其余m-1个向量线性表出B.(I)中存在一个向量,它不能由其余m-1个向量线性表出C.(I)中任意两个向量线性无关D.存在不全为零的常数0,,,111≠++m m m a k a k k k 使7．设a 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 存在非零解的充分必要条件是【 】A ．A 的行向量组线性相关B . A 的列向量组线性相关 C. A 的行向量组线性无关 D. A 的列向量组线性无关 8.设i a 、i b 均为非零常数（i =1，2，3），且齐次线性方程组⎩⎨⎧=++=++00332211332211x b x b x b x a x a x a的基础解系含2个解向量，则必有 【 】 A.03221= b b a a B.02121≠ b b a a C.332211b a b a b a == D. 02131= b b a a 9.方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++ax x x x x x x x x 32132132123 3 12 12 有解的充分必要的条件是【 】A. a=-3B. a=-2C. a=3D. a=210. 设η1，η2，η3是齐次线性方程组Ax = 0的一个基础解系，则下列向量组中也为该方程组的一个基础解系的是 【 】A. 可由η1，η2，η3线性表示的向量组B. 与η1，η2，η3等秩的向量组C.η1－η2，η2－η3，η3－η1D. η1，η1+η3，η1+η2+η3 11. 已知非齐次线性方程组的系数行列式为0，则【 】A. 方程组有无穷多解B. 方程组可能无解，也可能有无穷多解C. 方程组有唯一解或无穷多解D. 方程组无解12. n 阶方阵A 相似于对角矩阵的充分必要条件是A 有n 个 【 】A.互不相同的特征值B.互不相同的特征向量C.线性无关的特征向量D.两两正交的特征向量13. 下列子集能作成向量空间R n 的子空间的是 【 】A. }0|),,,{(2121=a a a a a nB. }0|),,,{(121∑==ni in aa a aC. 121{(,,,)|1}n a a a a = D. }1|),,,{(21∑=n inaa a a14. 下列矩阵中为正交矩阵的是 【 】A. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1- 1 01 1 00 0 1 B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1- 22 151C. 1 -10 -1⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 1 00 -1⎡⎤⎢⎥⎣⎦15.若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=8020001 a a A 正定,则实数a 的取值范围是 【 】 A ．a < 8 B. a ＞4 C ．a ＜-4 D ．-4 ＜a ＜4二、填空题（每小题2分，共20分）。

《线性代数》期末试卷A答案及评分标准A卷2015—2016学年第一学期《线性代数》期末试卷答案（32学时必修）专业班级姓名学号开课系室应用数学系考试日期 2016年1月15日注意事项：1．请用黑色或蓝色笔在试卷正面答题（请勿用铅笔答题），反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共七道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；4. 本试卷正文共7页。

说明：试卷中的字母E 表示单位矩阵；*A 表示矩阵A 的伴随矩阵；)(A R 表示矩阵A 的秩；1-A 表示可逆矩阵A 的逆矩阵.一、填空题（请从下面6个题目中任选5个小题，每小题3分；若6个题目都做，按照前面5个题目给分）1．5阶行列式中，项4513523124a a a a a 前面的符号为【负】.2.设1352413120101311--=D ，)4,3,2,1(4=i A i 是D 的第4行元素的代数余子式，则4443424122A A A A +-+ 等于【 0 】.3．设102020103B ??= ? ?-??，A 为34?矩阵，且()2A =R ，则()AB =R 【 2 】. 4．若向量组123(1,1,0),(1,3,1),(5,3,)t ==-=ααα线性相关，则=t 【 1 】.5．设A 是3阶实的对称矩阵，????? ??-=1m m α是线性方程组0=Ax 的解，-=m m 11β是线性方程组0)(=+x E A 的解，则常数=m 【 1 】.6．设A 和B 是3阶方阵，A 的3个特征值分别为0,3,3-，若AB B E =+，则行列式=+-|2|1E B 【 -8 】.二、选择题（共5个小题，每小题3分）1. 设A 为3阶矩阵，且21||=A ，则行列式|2|*-A 等于【 A 】.(A) 2-； (B) 21-； (C) 1-； (D) 2.2. 矩阵110120001??的逆矩阵为【 A 】．(A) 210110001-?? ?- ? ；(B) 210110001?? ? ? ???； (C) 110120001-??- ? ?；110110001??.3．设A 是n 阶非零矩阵，满足2A A =，若A E ≠，则【 A 】．(A) ||0A =； (B) ||1A =； (C) A 可逆； (D) A 满秩.4. 设300300026,110,001342A B==- ? ?--1-=AB C ，则1C -的第3行第1列的元素为【D 】．(A) 4； (B) 8； (C) 0； (D) 1-.5．设323121232221321222222),,(x ax x ax x ax x x x x x x f +++++=，a 是使二次型),,(321x x x f 正定的正整数，则必有【 B 】．(A) 2=a ； (B) 1=a ； (C) 3=a ； (D) 以上选项都不对.三、求解下列各题(共3小题，每小题7分)1. 若,,αβγ线性无关，2,αβ+2k βγ+，3βγ+线性相关，求k . 解：因为2,αβ+2k βγ+与3βγ+线性相关，所以必定存在不全为零的数321，，λλλ，使得0=3+++2+2+321）（）（）（γβλγβλβαλk----------2分整理得：0=3+++2+2+323211γλλβλλλαλ）（）（k 由于,,αβγ线性无关，因此可得由于321，，λλλ不全为零，即上述齐次线性方程组有非零解，因此0=30122001k ，由此得k = 6. ----------7分 2. 设()011201-????? ??=A ，--=03112211a B ，若2)(=+B AB R ，求a .解：由2)(=+B AB R 可知0=+B AB ，由此可得 0=+B E A又 02=12201012=+≠--E A----------2分因此 0=B因此可得 5=-a . ----------7分3. 设矩阵2001000240021603,A a B t -==- ? ? ? ?????，且,A B 相似，求a 与t 的值．解：由,A B 相似可知,A B 的特征值相同，而易知B 的特征值为 -1,t ,3，因此A 的特征值也为 -1,t ,3 利用特征值的性质可得21132(4)3t a t a ++=-++??-=-?----------5分解得12a t ==,. ----------7分四、（共2小题，每小题8分） 1．求向量组的一个最大无关组，并将其余向量用这一最大无关组表示出来. 解：令()123410311301,,,217242140A αααα?? ?--== ?, 把A 进行行变换，化为行最简形，()123410300110~00010000A C ββββ??== ? ?----------6分则421，，βββ是C 的列向量组的一个最大无关组，且421303ββββ++=，故421，，ααα是A 的列向量组的一个最大无关组，且421303αααα++=.----------8分2. 问a 满足什么条件，才能使得21403003A a ??= ? ???共有两个线性无关的特征向量？解：由0=30030412=λλλλ----a E A ，得A 的特征值：3==2=321λλλ，要使A 有两个线性无关的特征向量，则特征值3对应一个线性无关的特征向量，即0=)3(x E A -的解空间的维数为1，则2=)3(E A R -， ----------6分而114300000A E a -?? ?-= ? ???，因此可知0≠a . ----------8分五、问λ为何值时，线性方程组13123123,4226423x x x x x x x x +=??++=+??++=+?λλλ无解，有无穷多解，并在有无穷多解时求出其通解．解：记方程组的增广矩阵为，则101 412261423B ?? ?=+ ? ?+??λλλ，对其进行行变换，化为行阶梯形：101 012320001B λλλ?? ?→--+ ? ?-+??，易知，当1≠λ时，3)(2)(=≠=B R A R ，方程组无解；当1=λ时，2)()(==B R A R ，方程组有无穷多解； ----------6分当1=λ时，101101210000B ??→-- ? ?，与原方程组同解的方程组为1323121x x x x =-+??=-?，由此可得原方程组的通解为()123112110x x k k R x -=+-∈ ? ? ?. ----------12分六、求实二次型32312123222132184444),,(x x x x x x x x x x x x f -+-++=的秩，并求正交变换Py x =，化二次型为标准形．解：记二次型的矩阵为----=442442221A ,122~000,000A -??故二次型f的秩为----------4分由0442442221=-------=-λλλλE A ，可得：0，9321===λλλ，当，91=λ求解0)9(=-x E A 的一个基础解系：??=11-211ξ，单位化：?=3232-311p ,当，032==λλ求解0=Ax 的一个基础解系：=????? ??=102-，01232ξξ，正交化：[][]==?==15452--，012222323322ηηηξηξηξη，单位化：?===3515541552-15452-35，0125132p p ， ----------12分令()321p p p P =，则可得正交变换Py x =，二次型的标准形为：232221321009),,(y y y y y y f ++=. ----------14分七、（请从下面2个题目中任选1个，若2个题目都做，按照第1题给分）1. “设A 是n 阶实的反对称矩阵，则对于任何n 维实的列向量α，α和αA 正交，且E A -可逆”．您认为该结论成立吗？请说明理由. 解：该结论成立。

线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题5分，共25分）1. 若022150131=---x ，则=c __________。

2．若齐次线性方程组ïîïíì=++=++=++000321321321x x x x x x x x x l l 只有零解，则l 应满足 。

3．已知矩阵n s ij c C B A ´=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。

4．已知矩阵A 为3´3的矩阵，且3||=A ，则=|2|A 。

5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。

二、选择题 （每小题5分，共25分）6．已知二次型3231212322214225x x x x x tx x x x f +-+++=,当t 取何值时，该二次型为正定？（ ）A.054<<-tB.5454<<-tC.540<<tD.2154-<<-t7．已知矩阵B A x B A ~,50060321,340430241且÷÷÷øöçççèæ=÷÷÷øöçççèæ-=，求x 的值（ ）A.3B.-2C.5D.-58．设A 为n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（ ） A. 0¹A B. 01¹-A C.n A r =)( D.A 的行向量组线性相关9．过点（0，2，4）且与两平面2312=-=+z y z x 和的交线平行的直线方程为（ ）A.14322-=-=-z y xB.24322-=-=z y xC.14322+=+=-z y x D.24322+=+=z y x10．已知矩阵÷÷øöççèæ-=1513A ,其特征值为（） A.4,221==l lB.4,221-=-=l lC.4,221=-=l l D.4,221-==l l三、解答题 （每小题10分，共50分）11.设,1000110001100011÷÷÷÷øöççççèæ---=B ÷÷÷÷÷øöçççççèæ=2000120031204312C 且矩阵C 满足关系式EX B C T=-)(， 求C 。