《集合的表示方法》ppt课件

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法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也 可以表示元素个数有限的集合． 2．在用描述法表示集合时应注意：
(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)， 是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式？
(2)元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字 母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能 被外表的字母形式所迷惑.
{x R | x 7 3}
五、集合的表示方式总结
例2 用描述法和列举法描述以下集合
(1)方程 x2 -2=0 的所有实数根组成的集合 A={x R | x2 2=0 } 或A { 2， 2}
(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合 B={x Z | 10<x<20 }
或B={11,12,13,14,15,16,17,18,19 }
例 不等式 x 7 3 的解集 {x R | x 7 3}
集合的表示方式
(1)列举法 把集合中的元素一一列举出来，以逗号隔开，并
用花括号“{ }〞括起来的表示集合的方法叫做列举法.
{2, 3, 5, 7,11,13,17,19}
(2)描述法： 用集合所含元素的共同特征表示集合的 方法称为描述法。
八、课堂检测
1答案解析： 1解析 ∵0∈N且－＜0＜，∴0∈A. 答案 B 2解析 集合{0,1,2,3,4,5,6,7}表示前7个自然数，故用描述法可表示为{x∈N|x≤7}． 答案 B 3解析 由x2＋x－2＝0，得x＝－2或x＝1. 又x∈N，∴x＝1. 答案 {1} 4解析 ∵x∈A，∴当x＝－1时，y＝|x|＝1； 当x＝0时，y＝|x|＝0；当x＝1时，y＝|x|＝1. 答案 {0,1} 5解 (1)∵x∈N*，y∈N*， ∴x＝1，y＝3或x＝2，y＝2或x＝3，y＝1， ∴A＝{(1,3)，(2,2)，(3,1)}． (2){(x，y)|x＜0，y＞0}．

a
“可倒数集”，试写出一个“可倒数集”：___________.
ห้องสมุดไป่ตู้
【解析】1.选B.∵x=x1+x2，且x1∈A,x2∈B, ∴A*B中的元素有：1+1=2,1+2=3,2+2=4,3+2=5.
∴所有元素数字之和为2+3+4+5=14.
2.本题是一道开放题.由“可倒数集”的定义可知，满足题设 的集合有无数个，因此答案不唯一，如{1,2, }1.
集合的表示
一、列举法表示集合
花括号“｛｝”
判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何一个集合都可以用列举法表示.( ) (2)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}.( ) (3){0,1}和{(0,1)}是相同的集合.( ) 提示：(1)错误. 并不是所有的集合都可以用列举法表示，如 不等式x＞3的解集就不能用列举法表示.
【解析】1.x＝1时，y＝0；x＝2时，y＝1；x＝3时，y＝2； x＝4时，y＝3.故B={0,1,2,3}. 答案：{0,1,2,3} 2.首先此集合为点集，且有无穷个点，适宜用描述法表示.另 外阴影部分中点横、纵坐标都有限制条件，可表示为 {(x，y)|－1≤x≤2， －≤1y≤1，且xy≥0}.
【互动探究】若将题2(2)改为“坐标平面内坐标轴上的点组 成的集合”,结果如何？ 【解析】对x轴：纵坐标为0，横坐标为任意实数；对y轴：横 坐标为0，纵坐标为任意实数.故坐标轴上的点满足xy=0.用集 合表示为{(x,y)|xy=0}.
【拓展提升】用描述法表示集合的三个注意点 (1)先定性，即弄清集合是数集、点集还是其他类型.一般地， 数集用一个字母代表其元素，点集用一个有序实数对来表示. (2)竖线后要说明该集合中元素具有的共同特征，如方程、不 等式、函数或几何图形等. (3)若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明 其含义并指出其取值范围.

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第一章：集合
小结 集合的表示方法： 列举法 描述法 维恩图法
作业 ：课后习题
13
9
第一章：集合
解：
（1）{x｜x>3}； （2）{x｜x是两组对边分别平行的四边形}； （3）{x｜x=2n，n∈Z}.
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第一章：集合
拓展
3 维恩图法：闭合的曲线。
1,2,3
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第一章：集合
练习：用适当的方法表示下列集合。
（1）平方等于1的实数全体； （2）方程X²-2X-3=0的解集; （3）正奇数的全体； （4）不大于3的全体实数.
1.列举法 例如：(1){1,2,3}； (2){指南针，造纸术，活字印刷术，火药}.
3
第一章：集合
列举法的概念：
当集合的元素不多时，我们常常把集 合的元素一一列举出来，写在花括号内表 示这个集合，这种表示集合的方法叫做列 举法。
4
第一章：集合
例题：用列举法表示下列集合
（1）大于3且小于10的奇数的全体构成的集合； （2）中国古代四大美女的全体构成的集合； （3）一元二次方程X²-5X+6=0的解集。
5
第一章：集合
解：（1）{3,5,7} （2）{西施，貂蝉，王昭君，杨贵妃} （3）{2,3}
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第一章：集合
2 性质描述法
我们来看正偶数2,4,6,8，…的全体构成的集 合，它的每一个元素都具有性质
“能被2整除，且大于0” 而这个集合外的元素都不具有这种性质。
我们常用上述性质把正偶数集合表示为 {x∈Z∣x能被2整除，且大于0}.
或{x∈Z∣x=2n， n∈N+}.
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第一章：集合
花括号内竖线左边的x表示该集合的任 意一个元素，并标出元素的取值范围，在 竖线的右边写出只有集合内的元素x才具有 的性质。 简记为：{x∈I∣p（x）}

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离散数学 3.1 集合的概念及表示法
二、集合的表示法
2、描述集合中元素的方法
1) 列举法 b、部分列举法：
列举集合的部分元素，其他元素可从列举的元
素 归纳出来 ， 用省略号代替。 例如A表示“全体小写英文字母”的集合， 则 A={a, b, … , y, z} 注： 列举法仅适用于描述元素个数有限的集合 或 元素具有明显排列规律的集合。
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离散数学 3.1 集合的概念及表示法
二、集合的表示法
2、描述集合中元素的方法
1) 列举法 a、全部列举法： 以任意顺序写出集合的所有元素, 元素间用逗号 并将其放在花括号内。 隔开， 例如“所有小于5的正整数”， 这个集合的元素为 1, 2, 3, 4, 再没有别的元素了。 如果把这个集合命名为A, 就可记为 A={1, 2, 3, 4}
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离散数学 3.1 集合的概念及表示法
一、集合的基本概念
3、集合的分类
1) 有限集合 集合的元素个数是有限的。
2) 无限集合 集合的元素个数是无限的。
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离散数学 3.1 集合的概念及表示法
二、集合的表示法
1、符号表示法
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说明：用描述法表示集合时，要注意以下几点：
（1）写清楚该集合中元素的代表符号 （2）特征性质必须是明确的； （3）多层描述时应当准确使用“且”、“或”
（4）若元素范围为R，，“ R ”可以省略不写；
（5）有的集合可以直接写出元素名称，并用{ } 括起来表示这类元素的全体，如{实数}
描述法的语言形式有三种： 文字语言、符号语言、图形语言
例3：用列举法表示下列集合：
(1)A x N 0 x 5
(2) A x x2 5x 6 0
例4：用描述法表示下列集合： (1)1, 1
(2)大于3的全体偶数构成的集合
(3)在平面内，线段AB的垂直平分线
3、韦恩（Venn）图法： 用封闭的曲线内部表示集合。（形象直观） 如：集合{x|x为young中的字母}
2、描述法： 定义：把集合中元素的公共属性描述出来，写在
大括号内表示集合的方法。
xR x能被2整除且大于0 xR x 2n,n N
一般地，如果在集合 I中，属于集合A的任意一个元素
都具有性质p x，而不属于集合A的元素都不具有性质p x， 则性质p x叫做集合A的一个特征性质，
故，集合A可以用它的特征性质p x描述为A x I p x
（5）适用情况： ①集合是有限集，元素又不太多 ②集合是有限集（或无限集），元素较多， 有一定的规律，可列出几个元素为代表，其 他元素用省略号表示
一般形式： a1, a2, a3, , an 或 a1, a2, a3, , an
例1：用列举法表示下列集合：
（1）小于10的所有自然数组成的集合 （2）方程方程x2-2=0的所有实根组成的集合 （3）由1～20中的所有质数组成的集合
a的取值范围。

由此能总结出集合元素有什么特性？
互异性 一个集合中的任何两个元素都互不相同。
也就是说，集合中的元素互不相同
探究3： 将某学校高一（1）班全体学生组成的集合记为集合A， 改变这个班同学的座次，集合A是否发生改变？
集合A不发生改变，即不管班里的学生怎么改变座次，学生改 变座次后的集合仍然还是学生改变座次之前的集合.
描述法 通过描述元素满足的条件表示集合的方法叫作描述法。
一般地可将集合表示为{x及x的范围|x满足的条件}
例如，集合 D={x∈R|x<10}也可表示为D={x|x<10}； 集合E={x∈Z|x=2k+1,k∈Z}也可表示为E={x|x=2k+1,k∈Z}.
思考：你能用列举法表示不等式 x-7<3的解集吗?
如上述思考中不等式x-7<3的解是x<10，因为满足x<10的实数 有无数个，所以x-7<3的解集无法用列举法表示，
但是，我们可以利用解集中元素的共同特征，即：x是实数， 且x<10，因此把解集表示为{x|x<10}.
整数集Z可以分为奇数集和偶数集。 对于每一个x∈Z，如果它能表示为x=2k+1(k∈Z)的形式，那么它 是一个奇数;反之，如果x是一个奇数，那么它能表示为x=2k+1(k∈Z) 的形式。 所以，x=2k+1(k∈Z)是所有奇数的一个共同特征，于是奇数集可 以表示为：{x|x=2k+1,k∈Z}.
5、集合的表示方法
思考：从上面的例子看到，我们可以用自然语言描述一个集合。 除此之外，还可以用什么方式表示集合呢? 列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来 表示集合的方法叫做列举法。
“地球上的四大洋”组成的集合可以表示为{太平洋，大西洋， 印度洋，北冰洋}； “方程x2-3x+2=0的所有实数根”组成的集合可以表示为{1，2}.

③互异性，即同一集合中的元素是互不相同的．
能够确定的不同的对象所构成的整体叫做集合（简称集）。
练习1
1、下列说法中，正确的有______．（填序号）
2
①单词 book 的所有字母组成的集合的元素共有 4 个；
②集合 M 中有 3 个元素 a，b，c，其中 a，b，c 是△ABC 的三
边长，则△ABC不可能是等腰三角形；
5
∉
A
集合与元素的关系
集合与元素的关系：
①属于，如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A，记作a∈A
；
②不属于，如果 a 不是集合 A 中的元素，就说 a 不属于集合 A，记
作 a∉A．
0
∉
Ф
集合的三大特性
集合三要素：
①确定性，即同一集合中的元素必须是确定的；
②无序性，即同一集合中的元素之间不考虑顺序；
4
6
习题：
能正确表示集合 M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合 N＝{x∈R|x2－x＝0}
关系的Venn 图是（B）。
总结
集合
THANK YOU
习题：
1、被 3 除余 2 的正整数集合；
解：（1）
{x|x＝3n＋2，n∈N}
2、平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．
（2）
{(x，y)|xy＝0}
三、韦恩图：用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称
为韦恩图，一般画成椭圆或矩形．
问题3 使用韦恩图表示中0-10之间的偶数集合。
0
10
2
8ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
集合
集合的概念与表示方法
你眼中的
集合
你眼中的
集合

4－x＝－1
4
时，4－x
＝－4∈Z，x＝5∈N；
4－x＝－4 时，4－4 x ＝－1∈Z，x＝8∈N；
4－x＝－2
4
时，4－x
＝－2∈Z，x＝6∈N.
综上，A＝{0，2，3，5，6，8} .
答案：{0，2，3，5，6，8 }
1．用列举法表示集合的三个步骤 (1)求出集合的元素． (2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次． (3)用“{ }”括起来． 2．在用列举法表示集合时的关注点 (1)用列举法书写集合时，先应明确集合中的元素是什么． (2)元素不重复，元素无顺序．如集合{1，2，3，4}与{2，1，4，3}表示同一集合．
当 a，b 为正数，c 为负数时，x＝－1；
当 b，c 为正数，a 为负数时，x＝－1；
当 a 为正数，b，c 为负数时，x＝1；
当 b 为正数，a，c 为负数时，x＝－1；
当 c 为正数，a，b 为负数时，x＝1； 当 a，b，c 全为负数时，x＝1. 故 x 的所有可能取值构成的集合为
{－1，1，3，－3} . 答案：{－1，1，3，－3 }
【思考】 {(x，y)|y＝x2＋2}能否写为{x|y＝x2＋2}或{y|y＝x2＋2}呢？ 提示：不能，(x，y)表示集合的元素是有序实数对或点，而x或y则表示集合的 元素是数，所以用描述法表示集合时一定要弄清集合的元素是什么．
3．区间及其表示 (1)一般区间的表示． 设a，b∈R，且a<b，规定如下：
【补偿训练】
设 a，b，c 为非零实数，则 x＝|aabb| ＋|bbcc| ＋|aabbcc| 的所有可能取值构成的集合为_____．
【解析】因为 a，b，c 为非零实数，
|ab|

D.2, 4 用集合可表示为{x | 2 x 4}
解析：{x | x 1} 用区间表示应该为 (1, ) ；{x | 3 x 2} 用区间表示应该为 (3,2] ； (,3]用集合表示应该为{x | x 3} ；故选 D.
D 5.将集合{1,5,9,13,17} 用描述法表示，其中正确的是 ( )
上述区间中，a，b分别称为区间的左、右端点，b-a称为区间的 长度．区间可以用数轴形象地表示．例如，区间[-2，1）可用下图表 示，注意图中-2处的点是实心点，而1处的点是空心点．
在用数轴表示区间时，实心点代表取得到，空心点代表取不到．
如果用“ ”表示“正无穷大”，用“ ”表示“负无穷大”，则： 实数集 R 可表示为区间 (， ) ； 集合{x | x a}可表示为区间[a， ) ；集合{x | x a} 可表示为区间(a， ) ； 集合{x | x a}可表示为区间 (，a] ；集合{x | x a} 可表示为区间(，a) .
类似地，上述区间也可用数轴来形象地表示.例如，区间[7,+∞)可以用下图表示.
例 2 用区间表示不等式 2x 1 x 的所有解组成的集合 A. 2
解：由
2x
1 2
x
可知
x
1 2
，所以
A
1 2
，
.
A 1.下列命题中，正确的有( )
①很小的实数可以构成集合；
②集合 y | y x2 1 与集合{(x, y) | y x2 1} 是同一个集合；
（1）所有非负整数组成的集合，称为自然数集，记作 N.
值得注意的是， 0N ，即 0 是自然数集 N 中的一个元素.
如果
a
N
，
b
N
，则一定有

核心素养
1.会用列举法表示有限集．
1.数学抽象：列举法、描述法表示
2.理解描述法的格式及其适用情况， 集合．
并会用描述法表示相关集合．
2.数学运算、直观想象：用描述法
3.学会在集合的不同表示法中作出选 表示的集合转化为用列举法表示的
择和转换．
集合．
【解】 若集合A只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0， 当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，x＝2.此时集合A＝{2}． 当k≠0时，则关于x的一元二次方程kx2－8x＋16＝0时方程解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}，满足．
综上所述，实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}．
解：当 a＝0 时，方程 ax2＋2x＋1＝0，即 2x＋1＝0， 解得 x＝－12 .此时 A＝－12 ； 当 a≠0 时，若集合 A 中有且只有一个元素，则方程 ax2＋2x＋1＝0 有两 个相等的实数根， 所以Δa≠＝04，－4a＝0， 解得 a＝1，此时 A＝{－1}． 综上，当 a＝0 或 a＝1 时，集合 A 中有且只有一个元素， 所以 a 的值组成的集合 B＝{0，1}．
(2)方程组
2x＋y＝8， x－y＝1
的解组成的集合 B.
解：解方程组2xx－＋y＝y＝18，
x＝3， 得y＝2，
所以 B＝{(3，2)}．
新知探究：集合的表示方法
思考 (1)你能用自然语言描述集合{0,3,6,9}吗?
“10以内能被3整除的所有自然数”
(2)你能用列举法表示不等式 x-7<3的实数解集吗? 满足“x<10”的实数有无数个，无法一一列举.
(2)3和4的所有正的公倍数构成的集合； 解：3和4的最小公倍数是12，因此3和4的所有正的公倍数构成的集合是{x|x ＝12n，n∈N*}．

(4)元素的取值范围,x∈R可省略不写,如集合D={x∈R|x<20},也可表示为
D={x|x<20};
(5)多层描述时,应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语,如
{x|x<-1,或x>1};
(6)“{
}”有“全体”的含义,描述法也可以简写成列举法的形式,例如:所有
直角三角形的集合可以表示为{x|x是直角三角形},也可以写成{直角三角
规律方法
列举法表示集合重结果、元素具体可见;描述法表示集合重过
程、元素性质清晰.表示集合时,除了考虑元素个数多少以外,还应综合考
虑是需要清楚具体元素,还是需要清楚元素的性质特征,再选择适当的表示
方法.
探究点四
集合表示方法的综合应用
问题8自然语言可以转换成集合语言,是否更需要理解集合语言的含义?
【例6】 (1) 判断集合A={x|x=4k±1,k∈Z}与集合B={y|y=2n-1,n∈Z}的元
P+Q
Q
1
2
6
0
1
2
6
由于集合的互异性,∴P+Q={1,2,3,4,6,7,8,11}.
P
2
3
4
8
5
6
7
11
规律方法
1.研究描述法表示的集合中的元素,可以利用列举法将元素列
举出来,由具体到一般,容易归纳元素的性质特征.事实上,对于y=2n-1,n∈Z,
由于n∈Z,因此n可以分为奇数与偶数.当n=2k(k∈Z)时,y=4k-1(k∈Z);当
的类型.一般地,数集用一个字母代表其元素,点集用一个有序实数对代表
其元素.
3.若描述部分出现代表已知元素以外的字母,则要对新字母说明其含义或