结构力学：第三章 静定梁与静定刚架
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李廉锟《结构力学》笔记和课后习题(含考研真题)详解-第3章 静定梁与静定刚架【圣才出品】
第3章 静定梁与静定刚架
3.1 复习笔记【知识框架】
【重点难点归纳】
一、单跨静定梁 ★★★★
1．内力
表3-1-1 内力的基本概念
图3-1-1
图3-1-22．内力与外力间的微分关系及积分关系（1）由平衡条件导出的微分关系式
计算简图如图3-1-3所示，微分关系式为
（Ⅰ）
d d d d d d s
s N
F q x
x M F
x F p x
x ⎧=⎪⎪⎪=
⎨⎪⎪=-⎪⎩-（）（）
图3-1-3
（2）荷载与内力之间的积分关系
如图3-1-4
所示，结合式（Ⅰ）可得梁的内力积分公式，积分公式及其几何意义见表3-1-2。
图3-1-4
表3-1-2 内力的积分公式及几何意义
3．叠加法作弯矩图
表3-1-3 常用叠加法及其作图步骤
图3-1-5
图3-1-6
二、多跨静定梁 ★★★★
多跨静定梁是由构造单元（如简支梁、悬臂梁）多次搭接而成的几何不变体系，其计算简图见图3-1-7，几何构造、计算原则、传力关系见表3-1-4。
结构力学第三章
第 3章
静定梁和静定刚架的受力分析
本章教学基本要求：灵活运用隔离体平衡法（截面 法）计算指定截面的内力；熟练掌握静定梁和静定平 面刚架内力图的作法；了解空间刚架内力图绘制的方 法。
●
本章教学内容的重点：绘制静定梁和静定平面刚架 的内力图，这是本课程最重要的基本功之一。
●
本章教学内容的难点：用隔离体平衡法计算任一指 定截面的内力；用区段叠加法绘弯矩图；根据弯矩图 和所受荷载绘出剪力图和轴力图。
N dN
x
l
微分关系: dQ( x) / dx q( x)
dM ( x) / dx Q( x) d 2 M ( x) / dx2 q( x) Pl 1.无荷载分布段(q=0),Q图 为水平线,M图为斜直线. M图
自由端无外力偶 则无弯矩. Q图
dx 截面弯矩等于该截面一 侧的所有外力对该截面 的力矩之和
Q( x)
Q dQ
例3-2: 作内力图
M图
Q图
铰支端无外力偶 则该截面无弯矩.
1.无荷载分布段(q=0),Q图为水平线,M图为斜直线. 2.均布荷载段(q=常数),Q图为斜直线,M图为抛物线, 且凸向与荷载指向相同.
ql2 / 2
Q=0的截面为抛 物线的顶点.
ql / 2
ql
2
M图
Q图
例3-3: 作内力图
0
20kN/m
10kN 10
10
10kN
10
10
10kN
10 A F B 10
10 G 10
10 C D 10 10 H E
M图(kN· m)
30 H D 10 20kN/m E
20
A F B 10 Q图(kN) 10kN· m D 2m 30kN 10kN C
静定梁和静定刚架的受力分析
本章教学基本要求：灵活运用隔离体平衡法（截面 法）计算指定截面的内力；熟练掌握静定梁和静定平 面刚架内力图的作法；了解空间刚架内力图绘制的方 法。
●
本章教学内容的重点：绘制静定梁和静定平面刚架 的内力图，这是本课程最重要的基本功之一。
●
本章教学内容的难点：用隔离体平衡法计算任一指 定截面的内力；用区段叠加法绘弯矩图；根据弯矩图 和所受荷载绘出剪力图和轴力图。
N dN
x
l
微分关系: dQ( x) / dx q( x)
dM ( x) / dx Q( x) d 2 M ( x) / dx2 q( x) Pl 1.无荷载分布段(q=0),Q图 为水平线,M图为斜直线. M图
自由端无外力偶 则无弯矩. Q图
dx 截面弯矩等于该截面一 侧的所有外力对该截面 的力矩之和
Q( x)
Q dQ
例3-2: 作内力图
M图
Q图
铰支端无外力偶 则该截面无弯矩.
1.无荷载分布段(q=0),Q图为水平线,M图为斜直线. 2.均布荷载段(q=常数),Q图为斜直线,M图为抛物线, 且凸向与荷载指向相同.
ql2 / 2
Q=0的截面为抛 物线的顶点.
ql / 2
ql
2
M图
Q图
例3-3: 作内力图
0
20kN/m
10kN 10
10
10kN
10
10
10kN
10 A F B 10
10 G 10
10 C D 10 10 H E
M图(kN· m)
30 H D 10 20kN/m E
20
A F B 10 Q图(kN) 10kN· m D 2m 30kN 10kN C
第三章—静定梁和静定刚架
q
图（1） 图（2）
M
N
Q
P P
P
M
N
Q
FBX FBY
FAX FAY
P
FN 3 FN 2 FN1
§3-1 静定梁的内力计算的回顾
三．荷载与内力之间的微分关系
qy
由平衡条件可导出 微分关系如下：
M
N
qx
O
Q dx y
M dM
N dN x
Q dQ
dN dx
qx
dQ dx
qy
dM dx
FQ
BC
Q C
MC 0 Y 0
MC 26KN m QC 9KN
M E 16KN m
G EF
QE
7kN
ME 0 Y 0
M E 30 KN m QE 7KN
§3-2 分段叠加法作弯矩图
MG 0 Y 0
MG 0 QG 7KN
MG
G
QG
7kN
Step3: 绘制内力图 A BC D E F G
§3-3 静定多跨梁
【例3.2】 试求图示梁的内力图
解： Step1: 分层求支反力
ABC部分：
MB 0 Y 0
RC 0.5P RB 1.5P
P
A BC
RB
RC
DE RD
CDE部分：
M D 0 RE 0.25 P Y 0 RD 0.75P
P
AB
a 2a
P
AB
RE
F MF
RF
C D EF
a 2a a
C D
E F
EF部分：
ME 0 Y 0
M F 0.25Pa RF 0.25P
§3-3 静定多跨梁
图（1） 图（2）
M
N
Q
P P
P
M
N
Q
FBX FBY
FAX FAY
P
FN 3 FN 2 FN1
§3-1 静定梁的内力计算的回顾
三．荷载与内力之间的微分关系
qy
由平衡条件可导出 微分关系如下：
M
N
qx
O
Q dx y
M dM
N dN x
Q dQ
dN dx
qx
dQ dx
qy
dM dx
FQ
BC
Q C
MC 0 Y 0
MC 26KN m QC 9KN
M E 16KN m
G EF
QE
7kN
ME 0 Y 0
M E 30 KN m QE 7KN
§3-2 分段叠加法作弯矩图
MG 0 Y 0
MG 0 QG 7KN
MG
G
QG
7kN
Step3: 绘制内力图 A BC D E F G
§3-3 静定多跨梁
【例3.2】 试求图示梁的内力图
解： Step1: 分层求支反力
ABC部分：
MB 0 Y 0
RC 0.5P RB 1.5P
P
A BC
RB
RC
DE RD
CDE部分：
M D 0 RE 0.25 P Y 0 RD 0.75P
P
AB
a 2a
P
AB
RE
F MF
RF
C D EF
a 2a a
C D
E F
EF部分：
ME 0 Y 0
M F 0.25Pa RF 0.25P
§3-3 静定多跨梁
李廉锟《结构力学》(上册)配套题库【课后习题】(静定梁与静定刚架)【圣才出品】
第3章静定梁与静定刚架复习思考题1．用叠加法作弯矩图时，为什么是竖标的叠加，而不是图形的拼合？答：因为有时叠加弯矩图时的基线与杆轴不重合，如果用图形拼合，不能完全保证叠加后弯矩值是实际同一点的两个弯矩相加后的值。
2．为什么直杆上任一区段的弯矩图都可以用简支梁叠加法来作？其步骤如何？答：（1）因为根据内力分析可以求出直杆任一区段两端的内力，所以直杆任一区段两端均可以看成两端有外力（集中力或集中力偶）的简支梁。
（2）设有直杆任一区段简支梁AB，具体步骤如下①分解作用区段AB上的荷载；②分别作出分解荷载下的弯矩图；③求解出区段AB两端的弯矩M A和M B；④将两端弯矩M A和M B绘出并连以直线（虚线）；⑤以步骤④中的虚线为基线叠加各个分解荷载下的弯矩图（竖标叠加），得最终弯矩图。
3．试判断图3-1所示刚架中截面A、B、C的弯矩受拉边和剪力、轴力的正负号。
图3-1答：轴力以受压为负，受拉为正；剪力以使截面顺时针旋转为正。
（1）截面A：左边受拉，剪力为负，轴力为负；（2）截面B：右边受拉，剪力为正，轴力为正；（3）截面C：左边受拉，剪力为正，轴力为正。
4．怎样根据静定结构的几何构造情况（与地基按两刚片、三刚片规则组成，或具有基本部分与附属部分等）来确定计算反力的顺序和方法？答：（1）与地基按两刚片，例如简支梁，支座反力只有三个，对某一端点取矩直接解除约束反力。
（2）与地基按三刚片规则组成，例如三铰刚架，支座反力有四个，考虑结构整体的三个平衡方程外，还需再取刚架的左半部（或右半部，一般取外荷载较少部分）为隔离体建立一个平衡方程方可求出全部反力。
（3）具有基本部分与附属部分时，按先附属后基本的计算顺序，求解支座反力。
5．当不求或少求反力而迅速作出弯矩图时，有哪些规律可以利用？答：当不求或少求反力而迅速作出弯矩图时，如下规律可以利用（1）结构上若有悬臂部分及简支梁部分（含两端铰接直杆承受横向荷载）弯矩图可先行绘制出；（2）直杆的无荷区段弯矩图为直线和铰处弯矩为零；（3）刚结点的力矩平衡条件；（4）外力与杆轴重合时不产生弯矩；（5）外力与杆轴平行及外力偶产生的弯矩为常数；（6）对称性的合理利用；（7）区段叠加法作弯矩图。
结构力学 第三章 静定梁和静定平面钢架
２、截面法 若要求某一横截面上的内力，假想用一平面沿杆轴垂直方向将该 截面截开，使结构成两部分；在截开后暴露的截面上用力（内力）代 替原相互的约束。
对于截开后结构的两部分上，截面上的内力已成为外力，因此，
由任一部分的静力平衡条件，均可列出含有截面内力的静力平衡方程。 解该方程即将内力求出。
３、截面内力 截开一根梁式杆件的截面上有三个内力（分量），即：轴力ＦN 、 剪力ＦQ和弯矩Μ 。
dFN/dx=-qx
dFQ/dx=-qy dM/dx=Q
d2M/dx2=-qy
增量关系： DFN=-FPx
DFQ=-FPy
DM=m
１）微分关系及几何意义： dFN/dx=-qx dFQ/dx=-qy dM/dx=Q d2M/dx2=-qy （１）在无荷载区段，ＦQ图为水平直线；
当ＦQ≠０时，Μ图为斜直线;
右右为正。
ＦQ＝截面一侧所有外力在杆轴垂直方向上投影的代数和。左上为正， 右下为正。
Μ ＝截面一侧所有外力对截面形心力矩代数和。弯矩的竖标画在杆
件受拉一侧。
例3-1-1 求图（a）所示简支梁在图示荷载下截面的内力。
解：1）支座反力 ∑ΜA=0 FBy×4﹣10×4×2﹣100× (4/5)×2=0 Fby=60kN (↑) ∑ΜB=0 FAy=60kN (↑) ∑Fx= 0 FAx+100×(3/5)=0 FAx=－60kN (← ) 由 ∑Ｆy= 0 校核，满 足。
(下侧受拉)
区段叠加法求Ｅ、Ｄ截面弯矩； ΜE＝20×42/8＋120/2＝100kNm ΜＤ＝40×4/4＋120/2＝100kNm
(下侧受拉) (下侧受拉)
内力应考虑
说明：集中力或集中力偶作用点，注意对有突变的 分两侧截面分别计算。
《静定梁与静定刚架》课件
优化材料分布
根据刚架的受力特点，合理分布材 料，使材料得到充分利用，降低成 本。
注意事项
注意梁的挠度和侧弯
根据载荷大小和分布，合理选择截面尺寸和材料，以控制梁的挠度和侧弯在允许 范围内。
考虑施工条件限制
在设计和施工过程中，应充分考虑施工条件限制，如施工空间、吊装能力等。
注意事项
• 注意载荷变化的影响：载荷的大小和分布可能会 发生变化，应在设计时充分考虑这些因素对梁的 影响。
静定刚架的应用实例
工业厂房
静定刚架在工业厂房中应用广泛，如厂房的柱、梁、支撑等 结构，能够承受较大的荷载，保证厂房的正常运行。
设备支撑
在大型设备或机械的支撑结构中，静定刚架也得到了广泛应 用，能够提供稳定可靠的支撑，确保设备的正常运行和使用 寿命。
静定梁与静定刚架的比较与选择
受力特点
静定梁和静定刚架在受力特点上有所不同。静定梁主要承受弯矩和剪力作用，而静定刚架 则主要承受轴力和弯矩作用。因此，在选择时需要根据实际需求和受力特点进行比较。
静定梁在受力时，其支座反力的 大小和方向可以通过截面的平衡
条件求出。
静定梁的内力计算
静定梁的内力计算可以通过截面的平衡条件进行，不需要引入未知数和求解方程组 。
静定梁的内力包括剪力和弯矩，可以通过截面的平衡条件求出剪力和弯矩的大小和 方向。
静定梁的内力计算可以通过手算或使用计算软件进行，手算需要掌握截面的平衡条 件和内力的计算方法。
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW ERA
04
静定梁与静定刚架的应用实例
静定梁的应用实例
桥梁结构
静定梁广泛应用于桥梁设计中，如简 支梁桥、连续梁桥等，具有结构简单 、受力明确、施工方便等优点。
根据刚架的受力特点，合理分布材 料，使材料得到充分利用，降低成 本。
注意事项
注意梁的挠度和侧弯
根据载荷大小和分布，合理选择截面尺寸和材料，以控制梁的挠度和侧弯在允许 范围内。
考虑施工条件限制
在设计和施工过程中，应充分考虑施工条件限制，如施工空间、吊装能力等。
注意事项
• 注意载荷变化的影响：载荷的大小和分布可能会 发生变化，应在设计时充分考虑这些因素对梁的 影响。
静定刚架的应用实例
工业厂房
静定刚架在工业厂房中应用广泛，如厂房的柱、梁、支撑等 结构，能够承受较大的荷载，保证厂房的正常运行。
设备支撑
在大型设备或机械的支撑结构中，静定刚架也得到了广泛应 用，能够提供稳定可靠的支撑，确保设备的正常运行和使用 寿命。
静定梁与静定刚架的比较与选择
受力特点
静定梁和静定刚架在受力特点上有所不同。静定梁主要承受弯矩和剪力作用，而静定刚架 则主要承受轴力和弯矩作用。因此，在选择时需要根据实际需求和受力特点进行比较。
静定梁在受力时，其支座反力的 大小和方向可以通过截面的平衡
条件求出。
静定梁的内力计算
静定梁的内力计算可以通过截面的平衡条件进行，不需要引入未知数和求解方程组 。
静定梁的内力包括剪力和弯矩，可以通过截面的平衡条件求出剪力和弯矩的大小和 方向。
静定梁的内力计算可以通过手算或使用计算软件进行，手算需要掌握截面的平衡条 件和内力的计算方法。
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW ERA
04
静定梁与静定刚架的应用实例
静定梁的应用实例
桥梁结构
静定梁广泛应用于桥梁设计中，如简 支梁桥、连续梁桥等，具有结构简单 、受力明确、施工方便等优点。
静定梁与静定刚架
（二）绘内力图：
H A
=0
V
A =130KN
X 0 Y 0 M 0
C
NC 0 QC 130 KN M C 130 KN .M
第3章 例题: 试绘制图示外伸梁的内力图。
解：
10KN/m A HA=0 4m C 2m D B E 30KN.m 20KN
（1）计算支座反力
2m
2kN E
2m F
F
2m
G 2kN
2m
（b）
A
4kN/m B
C
G 2kN
G
B
11kN 4
4kN
4
（d）
8 7
（e） 9
4 M（kN.m） 2 2
Q（kN）
2
第3章 例题2： 图示三跨静定梁，全长承受均布荷载q，试确定铰E、F的位置，使中 间一跨支座的负弯矩与跨中正弯矩数据数值相等。
第3章
3.3 静定平面刚架的内力计算 一、刚架的组成 1、刚架的特征 由若干梁和柱用刚结点联结而成的结构。具有刚结点是 刚架的主要特征。 2、刚架的应用 刚架在工程上有广泛的应用。
（1）斜梁的倾角为常数，而曲梁各截面的的倾角是变量。 （2）计算曲梁的倾角时，可先写出曲梁的轴线方程y=f(x),而后对x求一 阶导数，进而确定倾角：
dy tan ; dx
tan1 (tan )
（3）角以由x轴的正方向逆时针转到切线方向时为正，反时针方向为负。
例题：试求图示曲梁C截面的内力值。已知曲梁轴线方程为：
y 4f 4 4 (l x) x 2 (12 1.5) 1.5 1.75m l2 12
4f 4 4 tan yx 1.5 2 (l 2 x) x1.5 2 (12 2 1.5) 1 l 12 2 450 sin con 0.707 2
结构力学静定梁和静定刚架资料
结构力学静定梁和静定刚架资料结构力学是工程力学的一个分支，研究物体在外力作用下的变形和内力分布规律。
其中，静定梁和静定刚架是结构力学的重要内容之一静定梁是指在不受外力作用时，能够完全确定所有节点位移和反力的梁结构。
静定梁有简支梁、悬臂梁和梁端固定支座等形式。
简支梁两端支座可以完全阻止梁端的旋转和位移；悬臂梁一端支座可以完全阻止梁端的旋转和位移，另一端自由；梁端固定支座可以完全阻止梁端的旋转和位移。
静定梁的位移和反力可以通过平衡方程和变形方程来确定。
平衡方程是指梁在平衡状态下，受力平衡的方程；变形方程是指弹性力学中描述梁变形规律的方程。
通过求解平衡方程和变形方程，可以得到静定梁的位移和反力。
静定刚架是指在不受外力作用时，能够完全确定所有节点位移和反力的结构。
静定刚架有平面静定刚架和空间静定刚架两种形式。
平面静定刚架的节点位移约束包括平移约束和转动约束，能够通过平衡方程和变形方程来确定。
空间静定刚架的节点位移约束包括平移约束和转动约束，能够通过平衡方程和变形方程来确定。
求解静定刚架的位移和反力，也可以利用平衡方程和变形方程来进行。
静定梁和静定刚架在工程结构设计中具有重要的应用价值。
在结构静力学分析中，静定梁和静定刚架是最基本的结构，能够为后续的结构分析提供重要的参考。
在建筑、桥梁、机械以及其他各种工程结构中，都广泛应用了静定梁和静定刚架的理论和方法。
通过对静定梁和静定刚架的分析和设计，可以提高结构的稳定性和安全性，确保工程的正常运行。
总之，静定梁和静定刚架是结构力学中的重要内容，研究物体在外力作用下的变形和内力分布规律。
静定梁和静定刚架在工程结构设计中具有广泛的应用，是结构静力学分析的基础。
通过对静定梁和静定刚架的研究和设计，可以提高结构的稳定性和安全性，确保工程的正常运行。
静定梁与静定刚架-快速绘制M图
第三章 静定梁与静定刚架
第2页
3. 受集中荷载P作用时，M为折线，折点在集中力作用点处， 且凸向与P方向一致。
P
P
4. 受集中力偶 m 作用时，在m作用点处M有跳跃（突变），跳 跃量为m，且左右直线均平行。
m
平行
m
结构力学电子教案
二. 铰处 M = 0
第三章 静定梁与静定刚架
第3页
三. 刚结点力矩平衡
Pa Pa
Pa Pa
Pa Pa
属悬臂部分，相应的 M图为水平线。
两段的剪力相等铰处
的M为零，M图的坡
度（斜率）相等，两 条线平行。
铰处的M为零，相应
的M图为一斜直线。
结构力学电子教案
第三章 静定梁与静定刚架
第9页
例4 试作图示刚架的弯矩图。各杆杆长均为l。
m m
m
m m
在m作用点处M 有跳跃 （突变），跳跃量为m，
40
20
20
M 0
M=0
M =？0
10
30
M 0
20
20
结构力学电子教案
第三章 静定梁与静定刚架
第4页
四. 集中力 P 与某些杆轴线重合时，M为零
P
M=0
P M=0
剪力Q为零时， M图为直线。
五. 剪力Q为常值时，
M图为斜线；剪力Q为零
P
时， M为常值， M图为
直线。
剪力Q为常值时， P
且左右直线均平行。
Q= 0，M为一直线
结构力学电子教案
第三章 静定梁与静定刚架
例5 试作图示刚架的弯矩图。
2Pa
2Pa
第10页
铰处的M为零，且梁
[精品]李廉锟版结构力学课件3静定梁与静定刚架
FSⅣ B
MⅣ
FyB =36 kN
天水师范学院
School of Civil
结构力学 第三章 静定梁与静定刚架
§3-1 单跨静定梁 §3-2 多跨静定梁 §3-3 静定平面刚架 §3-4 少求或不求反力绘制弯矩图 §3-5 静定结构的特性
天水师范学院
School of Civil
15:21
§3-1 单跨静定梁
结构力学
静定结构定义
在荷载等因素作用下，其全部支座反力和任意 一截面的内力均可由静力平衡方程唯一确定的结构。
M Ⅳ 4410 208 15 4 4 32 72 kN =0
CD Ⅰ
FyA= 44 kN 2m 2m
15 kN/m Ⅱ
4m
3m
3m
32 kN m
EG
B
ⅢⅣ
FyB = 36 kN
2m 2m
也可以由截面Ⅳ-Ⅳ以
右隔离体的平衡条件 求得。
20 kN Fs1
可以判定所有截面的轴力均为零, 取截面Ⅰ-Ⅰ以左为
隔离体。
20 kN
15 kN/m
32 kN m
AC
D
FxA =0
Ⅰ
Ⅱ
EG
B
ⅢⅣ
FyA= 44 kN
FyB = 36 kN
2m 2m
4m
3m
3m
2m 2m
由 MⅠ 0
2200 kkNN
FFSsⅠ1
有
AC
44 kN
MM1Ⅰ
由
44 kN
15 kN/m
44 3 20 1 MⅠ 0 MⅠ 44 3 20 1 112 kN m
44 kN
FyB 36 kN
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E
FSⅢ MⅢ
MⅢ 0 4410 208 15 4 4 MⅢ 0
Y 0
MⅢ 4410 208 15 4 4 40 kN m
44 20 15 4 FSⅢ 0
FSⅢ 44 20 15 4 36 kN
§3-1 单跨静定梁
20 kN
A FxA =0
CD Ⅰ
FyA= 44 kN 2m 2m
（a）静定梁
Fx M Fy
（b）静定刚架
§3-1 单跨静定梁
静定结构的基本特征
几何特征： 几何不变且无多余联系。 静力特征： 未知力的数目=独立平衡方程式的数目。 超静定结构是有多余约束的几何不变体系,其反力和 任意一截面的内力不能由静力平衡条件唯一确定。
滚轴支座
F xA
计算简图
Fy
A
C
D
B
F yA
截面Ⅳ-Ⅳ的内力
20 kN
A FxA =0
CD Ⅰ
FyA= 44 kN 2m 2m
15 kN/m Ⅱ
4m
3m
3m
32 kN m
EG
B
ⅢⅣ
FyB = 36 kN
2m 2m
也可以由截面Ⅳ-Ⅳ以
右隔离体的平衡条件 求得。
20 kN Fs1
FSⅣ B
MⅣ
FyB =36 kN
§3-1 单跨静定梁
2. 内力图
有
AC
44 kN
MM1Ⅰ
由
44 kN
15 kN/m
20 kN
有 Fs2
M2 44 kN
443 201 MⅠ 0 MⅠ 443 201 112 kN m
Y 0 44 20 FSI 0
FSⅠ 44 20 24 kN
§3-1 单跨静定梁
取截面Ⅱ-Ⅱ以左为隔离体
20 kN
AC
D
FxA =0
如果荷载不垂直于杆轴线，则梁的内力就会有轴力。梁上 某一截面的轴力数值上等于该截面左侧（或右侧）所有外力 在沿截面的法线方向投影的代数和。
§3-1 单跨静定梁
按照这个规律，写出截面Ⅳ-Ⅳ的内力为：
FSⅣ 44 20 15 4 36 kN
MⅣ 4410 208 15 4 4 32 72 kN m
FS
F'S
FS
F'S
FN
+
F'N
-
M
M'
M FN
F'N M'
§3-1 单跨静定梁
求所示简支梁任一截面的内力。
FxA =0
解 (1)求出支座反力。
20 kN
AC
D
Ⅰ
15 kN/m Ⅱ
FyA= 44 kN
2m 2m
4m
3m
3m
32 kN m
EG
B
ⅢⅣ
FyB = 36 kN
2m 2m
由整体平衡： X 0
A dx q(x)
dFs q(x) dx
dM dx
Fs
Fs
Fs+dFs
合并写成
M A dx
M+dM
d2M dx 2
dFs dx
q(x)
当某截面的剪力为dx零时，即—d—M— =0。该截面的弯矩即 为这一梁段中的极大值（或极小值）。
§3-1 单跨静定梁
dM dx
FS,
dFS q(x), dx
F20xkAN 0 Fs1
MA 0
20 2 15 4 6 32 FM1yB 12 0
44 kN
FyB 36 kN
15 kN/m
20 kN
Fs2
M B 0 FyA 12 201440kN15 4 6 3M22 0
FyA 44 kN
20 kN
15 kN/m
Fs3
M3 44 kN
§3-1 单跨静定梁
dFN p(x) dx
梁上 无外力 均布力作用
情况
(q向下)
集中力作用
处(FP向下)
集中力 偶M作 用处
铰处
斜直 剪力图 水平线 线(
)
一般 抛物 弯矩图 为斜 线(
直线 下凸)
为 零 处
有突 变(突 变值=
FP)
如 变 号
有 有尖 有 极 角(向 极 值 下） 值
(2) 分别求截面Ⅰ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ、Ⅲ-Ⅲ和Ⅳ-Ⅳ的内力。
可以判定所有截面的轴力均为零, 取截面Ⅰ-Ⅰ以左为
隔离体。
20 kN
15 kN/m
32 kN m
AC
D
FxA =0
Ⅰ
Ⅱ
EG
B
ⅢⅣ
FyA= 44 kN
FyB = 36 kN
2m 2m
4m
3m
3m
2m 2m
由 MⅠ 0
2200 kkNN
FFSsⅠ1
第三章 静定梁与静定刚架
§3-1 单跨静定梁 §3-2 多跨静定梁 §3-3 静定平面刚架 §3-4 少求或不求反力绘制弯矩图 §3-5 静定结构的特性
§3-1 单跨静定梁
静定结构定义
在荷载等因素作用下，其全部支座反力和任意 一截面的内力均可由静力平衡方程唯一确定的结构。
F F F xA
F yA
F yB
梁的内力图——弯矩图、剪力图、轴力图。
弯矩图--习惯绘在杆件受拉的一侧，不需标正 负号
轴力和剪力图--可绘在杆件的任一侧，但需标 明正负号
作内力图：1 由内力方程式画出图形; 2 利用微分关系画出图形。
§3-1 单跨静定梁
3. 荷载与内力的微分关系
在荷载连续分布的梁段上截取一微段梁
q(x)
由平衡方程ΣY=0 和ΣMA=0 可得
F yC
FyD FyB
§3-1 单跨静定梁
梁：受弯构件，但在竖向荷载下不产生水平推力；其 轴线通常为直线（有时也为曲线）。
单跨静定梁
从支承情况不同又分为：
简支梁
伸臂梁
悬臂梁
§3-1 单跨静定梁
1. 任意截面的内力计算
通常先求出支座反力，采用截面法，建立平衡 方程，计算控制截面的内力。
内力符号规定如下： 轴力以拉力为正； 剪力以绕微段隔离体顺时针转者为正； 当弯矩使杆件下侧纤维受拉者为正。
Ⅰ
FyA= 44 kN 2m 2m
15 kN/m Ⅱ
4m
32 kN m
EG
B
ⅢⅣ
FyB = 36 kN
2m 2m
3m
3m
15 kN/m
A C 2200kkNND
FSⅡ
由
Fs1
MⅡ
44 kN
MⅡ 0
Y 0
446 20 4 15 21 MⅡ 0
MⅡ 446 20 4 15 21 154 kN m 44 20 15 2 FSⅡ 0
15 kN/m Ⅱ
4m
32 kN m
EG
B
ⅢⅣ
FyB = 36 kN
2m 2m
3m
3m
计算梁上任一截面内力的规律如下：
梁上某一截面的2弯0 kN矩F数s1 值上等于该截面左侧（或右侧）所 有外力对该截面形心的力矩的代数和。
梁上某一截面的剪力数值上等于该截面左侧（或右侧）所 有外力在沿截面的切线方向投影的代数和。
FSⅡ 44 20 15 2 6 kN
§3-1 单跨静定梁
取截面Ⅲ-Ⅲ以左为隔离体
20 kN
AC
D
FxA =0
Hale Waihona Puke ⅠFyA= 44 kN 2m 2m
15 kN/m Ⅱ
4m
32 kN m
EG
B
ⅢⅣ
FyB = 36 kN
2m 2m
3m
3m
由
20 kN 15 kN/m
A
C
20 kN Fs1
44 kN
D