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三角函数与圆同步教学讲义

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三角函数与圆
三角函数与圆的综合应用是中考中的热点问题之一.
三角函数是与角密切相关的函数，而圆中常会出现与角有关的求解问题，尤其会出现一些非特殊角求其三角函数值的问题，或已知三角函数值求圆中的有关线段长等问题.
例1、如图所示，已知AB为⊙O的直径，C为AB延长线上的点，以OC为直径的圆交⊙O于D，连结AD，BD，CD.
(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若AB=BC=2，求tan ∠A的值.
例2、(甘肃)已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CE切⊙O于C，AE⊥CE, 交⊙O于D.
(1)求证：DC=BC；(2)若DC:AB=3:5, 求sin∠CAD的值.
例3、(湖北)已知：如图C为半圆上一点，AC=CE，过点C作直径AB的垂线CP，P为垂足，弦AE分别交PC，CB于点D，F，
(1)求证：AD=CD；
(2)若DF=5/4，tan ∠ECB
=3/4，求PB的长.
例4、(河南)已知如图所示，在半径为4的⊙O中，AB、CD是两条直径，M为OB的中点，CM 的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC，连结DE，DE= .
(1)求EM的长；
(2)求sin ∠EOB的值.
例5、(河南)已知：如图AB是⊙O的直径，O为圆心，AB=20，DP与⊙O相切于点D，DP⊥PB，垂足为P，PB与⊙O交于点C，PD=8
(1)求BC的长；(2)连结DC，求tan ∠PCD的值；
(3)以A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，求直线BD的解析式.
巩固训练
1.如图C是⊙O外一点，由C作⊙O的两条切线，切点为B、D，BO的延长线交⊙O于E，交CD的延长线于A，若AE=2，AB=23
求：(1)BE的长；
(2)sin A的值.
2.△ABC中，AB=10，外接圆O的面积为25π，sin A，sin B是方程(m+5)x2-(2m-5)x+12=0的个两根，其中m≠-5.
(1)求m的值；(2)求△ABC的内切圆的半径.
3.如图抛物线y=ax2-3x+c交x轴正方向于A、B两点，交y轴正方向于C点，过A、B、C 三点作⊙D，若⊙D与y轴相切.
(1)求a、c满足的关系式；(2)设∠ACB=α，求tan α；
(3)设抛物线顶点为P，判断直线PA与⊙D
的位置关系，并证明.
4.如图已知A(5，-4)，⊙A与x轴分别相交于点B、C，⊙A与y轴相切于点D，
(1)求过D、B、C三点的抛物线的解析式
(2)连结BD，求tan ∠BDC的值；
(3)点P是抛物线顶点，线段DE是直径，直线PC与直线DE相交于点F，∠PFD的平分线FG 交DC于G，求sin ∠CGF的值.
优生堂家庭作业
校区：教室：科目：数学学生姓名：_____
第次课授课老师：作业等级：_____ 1. （2011安徽芜湖，8，4分）如图，直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O (0,0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点,则∠OBC 的余弦值为( ).
A．1
2
B．
3
4
C．
D．
4
5
2．（2011贵州安顺，14，4分）如图，点E(0，4)，O(0，0)，C(5，0)在⊙A上，BE是⊙A上的一条弦，则tan∠OBE= ．。

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圆学课教案三角函数的应用

圆学课教案三角函数的应用

圆学课教案三角函数的应用教案主题：圆学课教案——三角函数的应用目标学生：高中数学学生课时：1课时引言：三角函数作为高中数学中的重要知识点，具有广泛的应用。

本节课主要介绍三角函数在圆学中的应用，帮助学生理解和掌握如何利用三角函数解决与圆相关的实际问题。

一、认识圆的相关概念（通过问题引入）1. 引入问题：在坐标平面上，如何描述一个圆的位置？2. 学生思考后，引导学生给出答案并解释。

3. 引导学生认识圆的直径、半径、圆心等概念。

4. 提示学生将圆的位置和相关概念与三角函数联系起来。

二、三角函数在圆学中的应用（通过例题演示）1. 例题1：已知一个圆的半径为5，求圆心角为60°的扇形的面积。

- 引导学生利用三角函数计算扇形的弧长。

- 提示学生计算扇形面积的公式。

- 学生自由操作计算，展示结果。

2. 例题2：一个圆的半径为10，圆心角为30°的扇形的弧长为多少？- 引导学生理解弧长与半径、圆心角之间的关系。

- 学生自由操作，利用正弦函数计算弧长。

3. 例题3：已知一个圆的半径为8，某个扇形的弧长为12，求该扇形的圆心角。

- 引导学生利用正弦函数解决该问题。

- 学生自由操作，展示结果。

4. 引导学生总结三角函数在圆学中的应用，并补充其他类似的问题。

三、综合练习与拓展（通过应用题训练）1. 给出一些实际问题，如岛上两个灯塔的夹角，两个餐桌之间的距离等，引导学生利用三角函数解决这些问题。

2. 学生分组完成实际问题练习，展示解题过程与结果。

3. 拓展：提高难度的应用题，如船的航向问题等，帮助学生进一步理解三角函数的应用。

四、小结与扩展1. 简要总结三角函数在圆学中的应用。

2. 引导学生思考其他数学知识与实际问题的联系，并扩展到其他学科领域。

3. 鼓励学生勇于思考和探索，提高实际问题解决能力。

五、课堂评价与反馈1. 针对课堂上的练习与讨论，给予积极的反馈和评价。

2. 指导学生对三角函数在圆学中的应用进行思考和总结。

单位圆与任意角的三角函数课件-高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册

单位圆与任意角的三角函数课件-高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册

已知任意角终边上除原点外的另外一点 , ，求角的正弦函数值和余弦函数值。
分析：如图设角的终边与单位圆交于点，则点
, ，且 = 1。点 , 在角的终边上，
则 = 2 + 2 ，分别过点, 作轴的垂线, ，
垂足为, ，易知△ ∽△ ，所以
点 , ，那么：
三角函数
的正弦函
数
的余弦函
数
定义
记法
符号表示
点的纵坐标

=
点的横坐标
=
概念剖析：
（1）是一个任意角，也就是实数（弧度数）所以，设是一个任意角实际上就
是说明它是一个任意的实数
（2）终边与单位圆的交点 , ，实际上给出了两对对应关系
2 11
,
3
6
上的最值。
例7、比较函数值的大小
（1）下列结论正确的是（ ）
A、400 > 50
B、220 < 590
C、130 > 500
D、 −40 < 310
（2）比较下列各组数的大小
6
6
①3, 4
② ,
对 点 练 习

1、在单位圆中， = − ：（1）画出角；（2）求角的正弦函数值和余弦函数
4
值。
2、若角的终边过点
1 3
,
2 2
，求，。
3、已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，若 4, 是角终边上一
点，且 =
2 5
− ，求的值。
5
3、常见的特殊角的三角函数值
实数对应点的纵坐标，实数对应点的横坐标。
由于对于任意一个角，它的终边是唯一确定的，所以交点 , 唯一确定，也
北师大版初中数学9年级下册锐角三角函数与圆-课件

北师大版初中数学9年级下册锐角三角函数与圆-课件


∴∠4+∠2=90°，即∠CDO=90°，
∴OD⊥CD.
又∵OD是 O的半径，
∴CD是 O的切线.
典例精讲
典例精讲
典例精讲
No
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典例精讲
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课堂小结
锐角三角函数与圆的关系应从圆的各种相关定理出发，掌 握垂径定理、切线的判定与性质、圆周角定理等知识，从 给定的条件中构造出直角三角形，运用锐角三角函数中的 边角关系，解决相应题目。
典例精讲
典例精讲
(1) 证明：∵∠CDA=∠CBD，∠C=∠C
= DC DC BC
，即CD2=CA•CB；
(2) 证明：如图，连接OD.
∵AB是 O的直径，∴∠ADB=90°，
∴∠1+∠3=90°.
∵OA=OD，∴∠2=∠3，
∴∠1+∠2=90°.
又∠CDA=∠CBD，即∠4=∠1，
初中数学知识点精讲课程
锐角三角函数与圆
锐角三角函数包括：正弦(sina)、余弦(cosa) 、正切(tana)，解题方式是构造直角三角形， 找准边角之间的关系。 圆的知识点主要有：垂径定理、圆周角定理、 切线的性质与判定、点与圆的位置关系、直线 与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等，要准 确的找出各个知识点之间的联系。
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写 作 与 笔 记 使 人 精 确 ； 史 鉴 使 人 明 智 ； 诗
06第六章 三角函数【讲义】

06第六章 三角函数【讲义】

第六章 三角函数一、基础知识定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。

若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。

角的大小是任意的。

定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。

360度=2π弧度。

若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=rL ,其中r 是圆的半径。

定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原点的距离为r,则正弦函数s in α=r y ,余弦函数co s α=r x ,正切函数tan α=x y ，余切函数cot α=yx，正割函数se cα=x r ,余割函数c s c α=.yr定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan α=αcot 1,s in α=αcsc 1，co s α=αsec 1；商数关系：tan α=αααααsin cos cot ,cos sin =；乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α；平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α.定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α, cot (π+α)=cot α;（Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α, cot (-α)=cot α; （Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α, cot (π-α)=-cot α; （Ⅳ）s in ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=co s α, co s ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=s in α, tan ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=cot α（奇变偶不变，符号看象限）。