变量的相关性

第三课 变量的相关性栏目一：知识要点一、知识清单1.两个变量的有关系两个变量的有关系两个变量常见的关系可分为函数关系和相关关系，函数关系中两个变量的关系是确定的，而相关关系中两个变量的关系是不确定的。

的，而相关关系中两个变量的关系是不确定的。

2.两个变量的相关性 (1) (1)正相关：正相关：在散点图中在散点图中,,点散布在从左下角到右上角的区域点散布在从左下角到右上角的区域..对于两个变量的这种相关关系对于两个变量的这种相关关系,,我们将它称为正相关我们将它称为正相关. .(2)(2)负相关：在散点图中负相关：在散点图中负相关：在散点图中,,点散布在从左上角到右下角的区域点散布在从左上角到右下角的区域,,两个变量的这种相关关系称为负相关负相关. .(3)(3)线性相关关系、回归直线线性相关关系、回归直线线性相关关系、回归直线如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,,就称这两个变量之间具有线性相关关系相关关系,,这条直线叫做回归直线这条直线叫做回归直线. . 3.回归方程 (1)(1)最小二乘法最小二乘法最小二乘法求回归直线使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法求回归直线使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法. . (2)(2)回归方程回归方程回归方程若已知两个具有线性相关关第的变量的一组数据：1122(,),(,),...,(,)n n x y x y x y ，则这组数据相应的点对应的回归方程为 y = bx a + ，其中a 、b 是由最小二乘法确定的待定系数，计算公式为 1122211()()()nni i i i i i n ni i i i x x y y x y nx y b x x x nx a y bx ====ì---ïï==ïí--ïï=-ïîåååå其中x =n1å=ni i x 1，y =n1å=ni i y 1， a 为回归方程的斜率，b 为截距．为截距．二、方法清单求样本数据的线性回归方程的算法步骤：求样本数据的线性回归方程的算法步骤：第一步，计算平均数x y ，；第二步，求和；，åå==ni i n i i i x y x 121第三步，计算 1122211()();()nni i i i i i nn i ii i x x y y x y nx y b a y bx x x x nx ====---===---åååå ， 第四步，写出回归方程第四步，写出回归方程.y b x aÙ=+ 三、教材挖掘1.1. 回归直线一定经过样本中心点，即y b x a Ù=+过点(,)x y （其中x =n1å=ni ix1，y =n1å=ni iy1）.这是高考涉及最多的关于线性回归方程的知识点.2.2.两个变量的相关系数两个变量的相关系数两个变量的相关系数若相应于变量x 的取值i x ，变量y 的观察值为i y （1i n ££），则两个变量的相关系数r 的计算公式为：12211()()()()niii nni i i i x x y y r x x y y ===--=--ååå（其中x =n1å=ni ix1，y =n1å=ni iy1）.（1）统计中用相关系数r 来衡量两个变量之间线性相关性的强弱来衡量两个变量之间线性相关性的强弱. . （2）当0r >时表明,x y 正相关，当0r <时表明,x y 负相关负相关. .栏目二：课前基础自测1. （2009宁夏海南卷理）对变量x , y 有观测数据理力争（,i i x y ）（i =1,2,…，10），得散点图1；对变量,u v 有观测数据（,i i u v ）（i =1,2,…，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断（可以判断（）x y x y设回归直线方程y a bx=+ ,根据中的三组数据及12inx yb y bxnx=，学生编号学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 数学分数x 60 65 70 75 80 85 90 95 物理分数y 72 77 80 84 88 90 93 95 化学分数z6772768084879092（参考数据：x ，y ，z x y x z x 550456105018x =y bx 1755)x z x =å755z x年份 2002 2004 2006 2008 2010 年份需求量（万吨） 236 246 257 276 286 需求量（万吨）+---´-´´+´+yx b2.2.了解最小二乘法的思想了解最小二乘法的思想了解最小二乘法的思想,,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程. . （二） 命题规律1.1.以考查线性回归系数为主以考查线性回归系数为主以考查线性回归系数为主,,同时可考查利用散点图判断两个变量间的相关关系同时可考查利用散点图判断两个变量间的相关关系; ;2.2.以实际生活为背景以实际生活为背景以实际生活为背景,,重在考查回归方程的求法重在考查回归方程的求法; ;3.3.在高考题中本部分的命题主要是以选择、填空题为主，属于中档题目。

甲校 优秀 非优秀 总计 15 45 60 乙校 20 30 50 总计 35 75 110
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
2 110 × （ 15 × 30 － 20 × 45 ） K2的观测值k＝ ≈2.829>2.706， 60×50×35×75
故在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为两个学校的数学 成绩有差异．
n
.
通过求 Q＝ [yi－(b xi＋a )]2 的最小值而得出回
i＝1
归直线的方法， 即求回归直线， 使得样本数据的点到它 的距离的平方和最小，这一方法叫作最小二乘法．
复习目标 课前预习 高频考点 课时小结
－ x· y xiyi－n－
i ＝1
n
(5) 相关系数： r＝
n 2 2 －2 xi －n－ x y2 i －n y i＝1 i＝1
高频考点
课时小结
解析 (1)从甲校抽取 110× 1 000
1 200 1 200＋1 000
＝60(人)，
从乙校抽取 110× 故 x＝10，y＝7.
1 200＋1 000
＝50(人)，
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
1学成绩的优秀率为50×100%＝40%. (3)表格填写如图，
甲校 优秀 非优秀 总计 乙校 总计
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
参考数据与公式：
2 n （ ad － bc ） 由列联表中数据计算K2＝ . （a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
临界值表
P(K2≥k0) k0 0.10 0.05 0.010
2.706 3.841 6.635

识别变量间的模式
了解数据分布特征
通过观察数据分布和趋势，发现变量间的潜在关系和模式。
通过计算变量的均值、中位数、方差等统计量，了解各变量的分布情况。
03
02
01
确定变量间的因果关系
通过分析时间序列数据或实验数据，利用相关系数和因果发现算法，推断变量间的因果关系。
05
变量相关性在实践中的案例分析
线性相关系数r的绝对值|r|越接近1，表示两个变量之间的线性关系越强。
r为正表示正相关，即一个变量增加时另一个变量也增加；r为负表示负相关，即一个变量增加时另一个变量减少。
03
非线性相关性的检验
01
02
非线性相关意味着两个变量之间的关系不是简单的比例关系，而是呈现出一种曲线或者其他复杂的形式。
线性相关是指两个变量之间的关系可以用一条直线近似表示，而当这种关系不能用直线表示时，则称为非线性相关。
VS
社会调查中的相关性分析是指通过调查数据，研究不同社会现象之间的相互关系。
详细描述
社会调查中的相关性分析采用问卷调查、访谈和观察等方法，收集数据并运用统计分析方法，如相关系数、回归分析和结构方程模型等，来研究不同社会现象之间的关联和影响。这种分析有助于了解社会问题的原因和影响，为政策制定和社会发展提供科学依据。
详细描述
也随之变化，并且这种变化呈现一定的规律性，我们称这两个变量之间存在线性关系。
线性相关性
描述两个变量之间线性关系的强度和方向，取值范围为-1到1。
线性相关系数
通过绘制散点图可以直观地观察两个变量之间的线性关系。
散点图
适用于非参数数据，不受变量值大小和分布的影响，适用于有序分类数据。
决定系数
决定系数是线性回归分析中的一个常用指标，它可以用来度量模型对数据的拟合程度。在非线性关系中，可以使用决定系数来度量模型对数据的拟合程度，从而间接地度量两个变量之间的相关性。

第2讲 变量的相关性、回归分析及独立性检验一、知识回顾1.如何判断两个变量的线性相关：如果在散点图中，2个变量数据点分布在一条直线附近，则这2个变量之间具有线性相关关系。

2.所求直线方程 ˆy=bx +a 叫做回归直线方程；其中 ⋅∑∑∑∑nnii i ii=1i=1nn222iii=1i=1(x-x)(y -y)x -nx yb ==,a =y -bx (x-x)x-nxy回归直线方程必过中心点(,)x y3．相关系数的∑nii (x-x)(y -y)r =性质• (1)|r|≤1．(2)|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小．4. ˆˆ=-i i y y i 残差e=实际值-预测值2^^211()===-∑∑nniiii i e y y 总残差平方和:残差平方和越小,即模型拟合效果越好5. 两个分类变量的独立性检验：(1)假设结论不成立,即“两个分类变量没有关系”.(2)在此假设下计算随机变量 22n（ad -bc）K =(a +b)(c +d)(a +c)(b +d)(3) 根据随机变量K 2查表得“两个分类变量没有关系”的概率,用1减去此概率即得有联系的概率 典型例题：例1．（宁夏海南卷）对变量x, y 有观测数据理力争（，）（i=1,2,…，10），得散点图1；对变量u ，v 有观测数据（，）（i=1,2,…，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断（ ）。

（A ）变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 （B ）变量x 与y 正相关，u 与v 负相关 （C ）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 （D ）变量x 与y 负相关，u 与v 负相关1x 1y 1u 1v变式1. (韶关一模文、理)甲、乙、丙、丁四位同学各自对A 、B 两变量的线性相关性作试验，）()A 甲 ()B 乙 ()C 丙 ()D 丁 例2.一系列样本点(,)(1,2,,)=⋅⋅⋅i i x y i n 的回归直线方程为23,∧=-y x 若117==∑nii X则1==∑ni i y变式1.某地第二季各月平均气温（℃）与某户用水量（吨）如下表，根据表中数据，用最小二乘法求得用水量关于月平均气温的线性回归方程是( )A B. C. D. 例3.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对照数据．（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆy bxa =+； （3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ （参考数值：3 2.543546 4.566.5⨯+⨯+⨯+⨯=）例4．(惠州一模)对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪x y y x 5.115ˆ-=x y5.115.6ˆ-=x y 5.112.1ˆ-=x y5.113.1ˆ-=x y0.0005300035000.00030.0004200015000.00020.0001400025001000月收入（元）频率/组距 第2讲 变量的相关性、回归分析及独立性检验课后作业：姓名： 学号：1．若施化肥量x 与小麦产量y 之间的回归直线方程为ˆ2504yx =+，当施化肥量为50kg 时，预计小麦产量为2.下表是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：月份x1 2 3 4用水量y5.443 5.2由散点图可知，用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是a x y +-=∧7.0，则=a3.一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（ ）A ．57.2 3.6B ．57.2 56.4C ．62.8 63.6D ．62.8 3.64．有一笔统计资料，共有11个数据如下（不完全以大小排列）：2,4,4,5,5,6,7,8,9,11,x ，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为（ ） A ．6B ．6C ．66D ．6.55.为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是（ ） A.5，10，15，20，25 B.2，4，8，16，32 C.1，2，3，4，5 D.7，17，27，37，476．(广州调研文、理)某校对全校男女学生共1600名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生人数应是 人．7. (韶关一模文、理)一个社会调查机构就某地居民的 月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分 布直方图（如下图）。