相对论铯原子钟实验
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知识点6：时间延缓效应
c2
如果在S’系两个事件是同地发生的，则∆t’称为固有时（原 时），记为∆t0，则
∆t = γ∆t0
时间延缓（时间膨胀）
=γ
1 >1
1− u2 / c2
则 ∆t = γ∆t0
S系记录下的两个事件的时间间隔大于S’系中记录到的固有时,这一效应称为时 间延缓(time dilation)
2019/1/21
第8章 相对论
2
说明 (1)在运动惯性系中测得的时间间隔比固有时间短，这就是相对论的时间延缓或运动时钟变慢.
3
(2) 时间是相对的，到底谁的钟慢，要看对哪个惯性系而言。不同惯性系 的共同结论是：对本惯性系作相对运动的时钟变慢.
将铯原子钟放在飞机上分别沿赤道向东和向西绕地球飞行一周回到原处与静止在地面上的铯原子钟比较实验结果与相对论理论预言的时间延缓完全符合因而所谓双生子佯谬应为双生子效应才合理
知识点6：
时间延缓效应
8-2-2 时间延缓
设在S’系中相距为∆x’的两点分别发生了两个事件，这两个 事件的时间间隔为∆t’,则由洛伦兹变换，在S系中这两个事 件的时间间隔为
2019/1/21
第8章 相对论
5
例题8-3.在惯性系S中的同一地点发生的两个事件A和B, B比A晚4s,在 另一惯性系中观察则事件B比A晚5s.试问这两个参考系之间的相对速 度多大？在S’系中,A、B是否还是同地事件？
解: ∆τ = 4 s, ∆t′ = 5s
∆t ′ = ∆τ
1− (u / c) 2
解得
u=c
1−
∆τ
2
=c
1 − 4 2
= 3c
∆t′
5 5
如果在S’系两个事件是同地发生的，则∆t’称为固有时（原 时），记为∆t0，则
∆t = γ∆t0
时间延缓（时间膨胀）
=γ
1 >1
1− u2 / c2
则 ∆t = γ∆t0
S系记录下的两个事件的时间间隔大于S’系中记录到的固有时,这一效应称为时 间延缓(time dilation)
2019/1/21
第8章 相对论
2
说明 (1)在运动惯性系中测得的时间间隔比固有时间短，这就是相对论的时间延缓或运动时钟变慢.
3
(2) 时间是相对的，到底谁的钟慢，要看对哪个惯性系而言。不同惯性系 的共同结论是：对本惯性系作相对运动的时钟变慢.
将铯原子钟放在飞机上分别沿赤道向东和向西绕地球飞行一周回到原处与静止在地面上的铯原子钟比较实验结果与相对论理论预言的时间延缓完全符合因而所谓双生子佯谬应为双生子效应才合理
知识点6：
时间延缓效应
8-2-2 时间延缓
设在S’系中相距为∆x’的两点分别发生了两个事件，这两个 事件的时间间隔为∆t’,则由洛伦兹变换，在S系中这两个事 件的时间间隔为
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第8章 相对论
5
例题8-3.在惯性系S中的同一地点发生的两个事件A和B, B比A晚4s,在 另一惯性系中观察则事件B比A晚5s.试问这两个参考系之间的相对速 度多大？在S’系中,A、B是否还是同地事件？
解: ∆τ = 4 s, ∆t′ = 5s
∆t ′ = ∆τ
1− (u / c) 2
解得
u=c
1−
∆τ
2
=c
1 − 4 2
= 3c
∆t′
5 5
铯钟航行和GPS星钟降频实验到底证明了什么？
铯钟航行和GPS 星钟降频实验到底证明了什么？张建勋为了检验时间膨胀效应，1970年美国华盛顿大学Hafele 设计并实施了铯原子钟环球飞行实验，如图1所示。
图中实线圆代表地球的赤道，R 为地球半径。
地球以ω的角速度自西向东图1.铯原子钟环球飞行实验示意图绕地轴O 旋转。
两组完全相同的铯原子钟经调校同步，一组放在地面，一组放在飞机上。
起初均位于地球赤道上P 处，然后让飞机起飞，飞行高度为h .绕赤道飞行一周再降落回P 处,比较静止在地面上的钟与飞机上的钟分别记录的时间。
用0τ表示地面钟的计时，用τ表示飞机上钟的计时。
飞机向东飞行时为东τ，向西飞时为西τ.Hafele 假定地球是在一个非转动参考系K 中以等角速度ω旋转（自转），在K 系中有引力场存在，这个引力场与地球的引力场相同。
他就是在K 系中计算环球航行原子钟飞行一周后的读数与地面上原子钟的读数之差的。
其理论根据，一是狭义相对论的时间膨胀公式：t u d 1d 22c -=τ(1)其中，τd 是K 系中以速度u 运动的原子钟的时间间隔（固有时间隔），t d 是静止在K 系中的原子钟的相应读数（坐标时间隔）。
将(1)式应用于0τ和东τ二钟，分别得t t d 21d 1d 2222220⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≈-=c R c R ωωτ(2)t v v t u d 221d 1d 222222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-≈-=c R R c ωωτ(3)其中东τ在K 中的速度为R c RR R R ωωω+≈++++=v h v h v u 2)1(11(.二是广义相对论弱引力场中，“两只钟的快慢之差正比于它们的引力势之差”的近似公式：020220d d (d d )ττττc g c GM c GM h R R h ≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+(4)由(2)(3)(4)式得，既考虑狭义相对论效应又考虑广义相对论效应的二钟读数关系为0222d )2(211d τωτ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=v v h R c c g (5)忽略飞机钟偶尔偏离赤道平面和向东方向的误差，可得航行一周两钟的读数之差为⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-=∆02220d )2(21)d d (τωτττv v h R c c g (6)可以看出，Hafele 的整个推导过程是分两块来做的：先明确地按狭义相对论效应和广义相对论效应，分别独立地进行推导，然后强行将两种效应按线性关系加在一起。
铯原子钟调查报告
铯原子钟调查报告1.铯原子钟简介一种精密的计时器具。
日常生活中使用的时间精准到1分钟也就够了，但在近代的社会生产、科学研究和国防建设等部门，对时间的要求就高得多。
它们要求时间要准到千分之一秒，甚至百万分之一秒。
为了适应这些高精度的要求，人们制造出了一系列精密的计时器具，铯钟就是其中的一种。
铯钟又叫“铯原子钟”。
它利用铯原子内部的电子在两个能级间跳跃时辐射出来的电磁波作为标准，去控制校准电子振荡器，进而控制钟的走动。
这种钟的稳定程度很高，中国最新研制的铯原子喷泉钟NIM5，精度达到了连续走时1500万年，累积误差小于1秒【1】。
现在国际上，普遍采用铯原子钟的跃迁频率作为时间频率的标准，广泛使用在天文、大地测量和国防建设等各个领域中。
2.铯原子钟历史二十世纪30年代，美国哥伦比亚大学实验室的拉比和他的学生在研究原子及其原子核的基本性质时所获得的成果，使基于上述原子计时器的时钟研制取得了实质性进展。
二战后，美国国家标准局和英国国家物理实验室都宣布，要以原子共振研究为基础来确定原子时间的标准。
世界上第一个原子钟是由美国国家物理实验室的埃森和帕里合作建造完成的，当时这个钟需要一个房间的设备，另一名科学家扎卡来亚斯使得原子钟成为一个更为实用的仪器。
1954年，他与麻省的摩尔登公司一起建造了以他的便携式仪器为基础的商用原子钟。
两年后该公司生产出了第一个原子钟，并在四年内售出50个，如今用于GPS的铯原子钟都是这种原子钟的后代。
1967年，第十三届国际度量衡会议采用铯-133原子钟所发出特定波长的频率，作为秒的基准依据。
当此原子钟某特定波长所发出的光振动9,192,631,770 次所经过的时间，定义为一秒。
1995年在法国研制成功的冷原子钟（铯原子喷泉），利用了“激光冷却和囚禁原子原理和技术”，使原子钟的水平又提高了一个数量级。
目前，世界上只有法国、美国、中国、德国等少数几个国家研制成功。
今天，名为NIST F-1的原子钟是世界上最精确的铯原子钟，但它并不能直接显示钟点，它的任务是提供“秒”这个时间单位的准确计量。
悖论的三种类别
悖论的三种类型——摘自《推理的迷宫》悖论，这个词有很多含义，其中最基本的含义是“矛盾”。
悖论从一系列合理前提出发，而后从这些前提推演出一个结论来颠覆其前提。
依据矛盾的生成方式和生成点（如果能找到生成点的话），可以对悖论进行粗略的分类。
第一种是谬误型悖论。
这种悖论是通过一个微妙而隐蔽的推理错误生成一个矛盾。
有很多诡计能通过代数的方法“证明”2等于1，在多数情况下这些诡计的核心在于以0为分母，用这种方法迷惑我们。
如：1.令x=12.很明显x=x3.两边取平方x2=x24.两边同时减去x2 x2-x2=x2-x25.因式分解x2-x2=（x+x）（x-x）6.消掉相同的因式（x-x）x=x+x7.即x=2x8.根据x=1，得1=2谬误型悖论中，悖论是一个假象。
一旦你发现了其中的错误，一切都恢复正常。
第二种是挑战常识型悖论。
著名的例子就是“孪生子悖论”。
相对论认为，时间流逝的速度因观察者的运动而不同。
设想一对相同的孪生兄弟，让其中一个登上火箭前往天狼星，而后返回地球。
根据相对论，此人将发现他比他的孪生兄弟年轻许多。
在日常生活中，没有任何东西令我们相信时间是相对的。
从摇篮到坟墓，一对孪生兄弟始终同岁。
在孪生子悖论问世之初，它与常识的冲突如此这剧烈，以至于很多人（包括法国哲学家享里·柏格森，Henri Bergson）引用这个悖论证明相对论是错误的。
今天，孪生子悖论已被接受为事实，其结论已被大量实验证实。
1972年，物理学家约瑟夫·黑费勒（Joseph Hafele）设计的一个实验把铯原子钟装进喷气客机环球飞行，这个实验证明，当飞机乘客回家时，要比其他所有人年轻，相差一个微乎其微但可以测量的瞬间。
如果一个宇航员用接近光速的速度旅行，他返回时，要比呆在家里的原来与他同龄的人年轻——没有哪个物理学家怀疑这个结论。
在这类悖论中，矛盾令人惊奇但可以解决，解决方法是明显的：必须放弃原来的假定。
无论最初的假定多么根深蒂固，一旦放弃它，矛盾迎刃而解。
相对论时空观与牛顿力学的局限性
车上甲认为的1秒钟，地面乙认为不止1秒。乙觉得车上的一切进程都变慢了。
这说明：“时间间隔” 是相对的。
“长度”的相对性（定性讨论）
静止系观察者乙认
v
甲
为C、D两事件同时发生，
运动系甲观察者如何认 C
乙
D
为？
根据相对运动的规律，火车相对车站以速度v 运动，可以看为火车不动、车站 以－v 相对火车运动。因此甲认为，位于－v 方向反向位置的 D 事件先发生，即： 位于 v 方向前方位置的事件 D 先发生。
牛顿力学的成就与局限性
1.牛顿力学的成就 牛顿力学的基础是牛顿运动定律。牛顿力学在 宏观、低速的广阔领域里与实际相符， 显示了牛顿运动定律的正确性和牛顿力学的魅力。 2.牛顿力学的局限性 （1）物体在以接近光速运动时所遵从的规律，有些是与牛顿力学的结论并不相同的。 （2）电子、质子、中子等微观粒子不仅具有粒子性，同时还具有波动性，它们的运 动规律在很多情况下不能用牛顿力学来说明，而量子力学 能够很好地描述微观粒子运动 的规律。 （3）基于实验检验的牛顿力学不会被新的科学成就所否定，而是作为某些条件下的 特殊情形，被包括在新的科学成就之中。当物体的运动速度远小于光速c时，相对论物理 学与牛顿力学的结论没有区别；当另一个重要常数即普朗克常量h可以忽略不计时，量子 力学和牛顿力学的结论没有区别。相对论与量子力学都没有否定过去的科学，而只认为 过去的科学是自己在一定条件下的特殊情形。
运动系观察者甲认为运动系同时发生的两个事件A和B，静止系观察者乙认为： 运动系中位于运动反向位置的事件A先发生。 这说明：“同时” 是相对的。
静止系观察者乙认为静止系中同时发生的两个事件C和D，以速度v 运动的运动 系观察者甲认为：静止系中位于 v 方向前方的事件 D 先发生。
相对论
P事件
S ‘系
P ( x, y, z, t )
变换关系：如伽利略变换关系（经典） 洛仑兹变换关系（相对论）
§1 伽利略变换与力学相对性原理
一、伽利略变换
y
y
S ut
0 z
S
u
x x ut y y 伽利略变换 z z P ( x, y, z , t ) ( x , y, z , t ) t t
实验验证了孪生子效应确实是存在的。
孪生子佯谬
★两种时空观对照
经典时空观： 空间是绝对的，时间是绝对的，空间 、时间和物质运动三者没有联系。 相对论时空观： 1、时间、空间有着密切联系，时间、空间 与物质运动是不可分割的。 2、不同惯性系各有自己的时间坐标，并相互 发现对方的钟走慢了。
3、不同惯性系各有自己的空间坐标，并相 互发现对方的“尺”缩短了。 4、作相对运动的两个惯性系中所测得的运动 物体的速度，不仅在相对运动的方向上的 分量不同，而且在垂直于相对运动方向上 的分量也不同
1、时间与空间不可分割 2、u<<c 退化为伽利略变换 3、u>c ,变换式失去意义， 光速是一切物体运动速率 的极限
两事件：
P ( x , y , z , t ) ( x , y , z , t )
S系
y
y
P1
u
P2
o z
o x x
（如发射炮弹） z P ( x , y , z , t ) ( x , y , z , t )
o z z
u
P1
o x x
P2
( x2 , t2 ) ( x2 , t2 )
u x 2 由洛仑兹变换有： t t2 t1 c 2 1
《原子钟实验和μ子衰变时间观察证伪狭义相对论》
《原子钟实验和μ子衰变时间观察证伪狭义相对论》incinc (Xia Cheng)xc7979@摘要：现今几乎所有的相对论教材或宣传资料中都将Hafele-Keating实验（原子钟实验）和运动的μ子衰变时间延长（μ子“寿命”延长）的观察作为对狭义相对论的实验支持，然而，实际情况恰恰相反，本文通过严格的理论分析阐明这个实验和观察不但不能支持狭义相对论，而是证伪了狭义相对论。
关键词：Hafele-Keating实验原子钟实验μ子（Muon）衰变时间证伪狭义相对论一）原子钟实验１）实验结果原子钟是目前世界上已知最精确的计时装置，美国的时间和频率标准就是源自一台名叫NISTF1的铯喷泉原子钟，它在6千万年里误差不超过1秒，铯133则被普遍地选用作原子钟[1]。
1970年，Hafele在理论上论证了利用环球航行的原子钟检验该效应的可能性[2]。
1971年十月，Hafele 和Keating携带四只铯原子钟进行了称之为 Hafele-Keating 的实验[3]。
该实验简要结果如下[4]：飞行后的原子钟时间减去地面的原子钟时间（单位：纳秒，即10-9秒）向东飞行向西飞行理论预言时间膨胀-184±18 96±10引力效应144±14 179±18总的结果-40±23 275±21四只原子钟的实验结果原子钟（编号）120 -57 277原子钟361 -74 284原子钟408 -55 266原子钟447 -51 266平均值-59±10 273±7上述实验总的结果表明，加上广义相对论的因素，运动的原子钟所表示的时间确实会慢，而且慢的程度与狭义相对论的理论预言接近。
为庆祝Hafele.Keating实验25周年，铯原子钟的诞生之地英国国家物理实验室重复了当年的实验。
他们携带一个原子钟从伦敦飞到华盛顿，之后返回。
理论预言它将与留在实验室的铯原子钟相差39.8纳秒，实验结果是39.0±2纳秒[5]。
7-5 相对论时空观与牛顿力学的局限性 (教学课件)-高中物理人教版(2019)必修第二册
轻。这个结果是由狭义相对论所推测出的
（钟慢效应）。
这一现象可以通过实验来验证：我们
能够在地面上探测到大气层上层产生的μ
子（曾被称为μ介子），如果没有钟慢效
应，那些μ子在到达地面之前就已经衰变
了。
钟慢效应(相对时间)： ∆ =
∆
− ( )
思考1：有一种基本粒子叫μ子，当它低速运动时，它的平均寿命是3.0μs，
绕地球一周，回到原处后，分别比静止在地面上
的钟慢59纳秒和快273纳秒。
实验结果与理论预言符合的很好，
这是相对论的第一次宏观验证。
相对论的思想实验：双生子佯谬
有一对双生兄弟，其中一人跨上一宇
宙飞船作接近光速的长程太空旅行，而另
一个则留在地球。结果当旅行者回到地球
后，我们发现他比留在地球上的兄弟更年
思考2：事实上到达地面的μ子，大多产生于距地面8km的高空，科学家
们根据经典理论，可以计算出每秒到达地面的μ子个数，但这个理论数值
小于实际观察到μ子个数，这是为什么呢？
由于钟慢效应，对于地面观察者
看来，μ子的平均寿命，已不是3.0μs
了，而是约为21μs，在这段时间内，
μ子可以飞行更远的距离，更多的μ子
的结果应该是：闪光先到达后壁，后到达前壁。
闪光先到达后方侧壁
时间不再是绝对的，而是相对的——同时性是相对的
相对时空观
（1）同时是相对的
在经典物理学家的头脑中，如果两个事件在一
个参考系中看来是同时的，在另一个参考系中看来
也一定是同时的，但是如果接受爱因斯坦的两个假
设，我们会得出“同时是相对的”这样一个结论。
是一样的。
迈克尔逊－莫雷实验(Michelson-Morley Experiment)，是
（钟慢效应）。
这一现象可以通过实验来验证：我们
能够在地面上探测到大气层上层产生的μ
子（曾被称为μ介子），如果没有钟慢效
应，那些μ子在到达地面之前就已经衰变
了。
钟慢效应(相对时间)： ∆ =
∆
− ( )
思考1：有一种基本粒子叫μ子，当它低速运动时，它的平均寿命是3.0μs，
绕地球一周，回到原处后，分别比静止在地面上
的钟慢59纳秒和快273纳秒。
实验结果与理论预言符合的很好，
这是相对论的第一次宏观验证。
相对论的思想实验：双生子佯谬
有一对双生兄弟，其中一人跨上一宇
宙飞船作接近光速的长程太空旅行，而另
一个则留在地球。结果当旅行者回到地球
后，我们发现他比留在地球上的兄弟更年
思考2：事实上到达地面的μ子，大多产生于距地面8km的高空，科学家
们根据经典理论，可以计算出每秒到达地面的μ子个数，但这个理论数值
小于实际观察到μ子个数，这是为什么呢？
由于钟慢效应，对于地面观察者
看来，μ子的平均寿命，已不是3.0μs
了，而是约为21μs，在这段时间内，
μ子可以飞行更远的距离，更多的μ子
的结果应该是：闪光先到达后壁，后到达前壁。
闪光先到达后方侧壁
时间不再是绝对的，而是相对的——同时性是相对的
相对时空观
（1）同时是相对的
在经典物理学家的头脑中，如果两个事件在一
个参考系中看来是同时的，在另一个参考系中看来
也一定是同时的，但是如果接受爱因斯坦的两个假
设，我们会得出“同时是相对的”这样一个结论。
是一样的。
迈克尔逊－莫雷实验(Michelson-Morley Experiment)，是
铯原子钟 工作原理
铯原子钟工作原理铯原子钟是一种高精度的时间测量设备，其工作原理基于铯原子的共振频率。
在本文中，我们将详细介绍铯原子钟的工作原理及其在时间标准、导航系统等领域的应用。
铯原子钟的工作原理可以简单描述为：利用铯原子在特定条件下的电磁辐射吸收和发射，测量出铯原子的共振频率，并将其作为时间的基准。
我们需要了解铯原子的基本结构和性质。
铯原子是一种碱金属元素，其原子核由78个质子和相应数量的中子组成，电子结构为2-8-18-18-8-1。
在低温下，铯原子可以处于基态，即所有的电子都处于最低能级。
铯原子钟利用铯原子的一个特性，即当处于特定能级时，它能够吸收特定频率的电磁辐射。
具体来说，铯原子钟中使用的是铯-133同位素，该同位素的基态电子结构为2-8-18-18-8-1，其中最外层的电子处于S轨道。
当铯原子处于基态时，外层的S电子可以吸收一个特定频率的微波辐射，使其跃迁到一个稍高能级。
这个特定频率的微波辐射即为铯原子钟的工作频率。
为了测量铯原子的共振频率并将其作为时间的基准，铯原子钟采用了一系列的技术和装置。
首先，铯原子钟中有一个铯原子腔，用于包含铯原子样品和提供稳定的环境条件。
铯原子样品通常以气态或蒸汽形式存在于腔中。
然后，铯原子钟中有一个高稳定性的微波振荡器，产生铯原子钟的工作频率的微波信号。
这个微波信号会被送入铯原子腔中，与铯原子样品进行相互作用。
如果微波信号的频率与铯原子的共振频率相匹配，铯原子将吸收能量并发生跃迁。
通过调节微波信号的频率，使其与铯原子的共振频率相匹配，可以观察到最大的吸收信号。
为了精确测量铯原子的共振频率，铯原子钟还利用了反馈和控制系统。
具体来说，当微波信号的频率与铯原子的共振频率相匹配时，反馈系统会保持微波信号的频率稳定，并将其作为时间的基准。
任何微小的频率变化都会被探测到并进行修正，以确保铯原子钟的准确性和稳定性。
铯原子钟在现代科学和技术中有着广泛的应用。
首先，铯原子钟是国际时间标准的重要组成部分。
铯的时钟原理及应用实例
铯的时钟原理及应用实例1. 铯的时钟原理铯（Cesium）是一种化学元素，其原子核内含有133个粒子，分别由78个中子和55个质子组成。
由于铯原子的特殊结构，它被广泛应用于原子钟中，成为现代时间测量中最重要的基准。
铯的时钟原理基于原子的稳定性和铯原子的特殊结构。
在一个外部电磁场的作用下，铯原子中的电子会从低能级跃迁到高能级。
通过精确控制激光的频率，可以使铯原子的外层电子从基态跃迁到激发态，然后再回到基态。
当激光的频率与铯原子的能级跃迁频率完全匹配时，铯原子会吸收激光的能量，这个频率被称为共振频率。
通过测量激光的频率，可以精确测量时间。
2. 铯的时钟应用实例铯的时钟在各个领域都有广泛的应用，下面列举了一些具体的应用实例：2.1 GPS定位系统铯的时钟被广泛应用于全球定位系统（GPS）中。
GPS系统通过多颗卫星发射定时信号，接收器接收到这些信号，并根据信号的延迟来计算出接收器与卫星之间的距离。
铯原子钟提供了高精度的计时信号，从而使GPS系统能够精准计算位置。
2.2 通信网络同步铯的时钟在通信网络中起着重要作用。
在电信系统中，精确的时间同步是确保数据传输的准确性和可靠性的关键。
铯原子钟能够提供非常准确的时间标准，用于确保通信设备的同步性，从而提高网络的可靠性和性能。
2.3 科学研究铯的时钟在科学研究中被广泛应用。
由于其高精度的时间测量能力，铯原子钟被用于天文学、物理学等领域的实验研究。
它可以帮助科学家们更好地研究宇宙的起源、运行和演化。
2.4 金融交易现代金融交易对时间的精确控制要求非常高。
铯原子钟被广泛应用于金融交易系统中，确保交易的时间戳准确无误。
这种高精度时间测量可以有效防止交易中的欺诈行为，保障金融交易的公平性和可靠性。
2.5 卫星导航除了在GPS系统中应用外，铯的时钟还被用于其他卫星导航系统中，例如北斗导航系统、伽利略导航系统等。
这些导航系统依赖精确的时间测量来提供准确的定位和导航服务。
结论铯的时钟原理基于铯原子的特殊结构和能级跃迁的性质。
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相对论铯原子钟实验
实验问题:
运动的时钟一定变慢吗,
东西两向飞行的原子钟指示是否一致,
地面上的钟为什么比空中的慢,
实验背景:
钟表的航行实验室对时钟延缓效应可以直接检验，上世纪出现的原子钟时的这种检验成为可能。
1970年，Hafele设计了一个检验时间膨胀效应的环球航行实验(即两只在地球上同步的原子钟，一只留在地球上，另一只放到飞机上绕地球航行，飞机飞行一周后降落到地面，然后将这两只原子钟的读数进行比较)。
在实际实验中，飞机是在地球的引力场中在不同高度上绕地球飞行的，因此，院子中速率的变化不仅受狭义相对论的运动学效应影响，也将受到引力场的影响，在理论上处理这一问题就必将涉及广义相对论。
实验原理:
假定地球是在一个非转动参考系K中以等角速度Ω旋转(自转)，如下图所示，
在非转动参考系K中有引力场存在，这个引力场与地球引力场相同。
下面我们再这个参考系中计算环球航行原子钟飞行一周后与地面上的原子钟读数之差。
由狭义相对论的时间膨胀效应可以知道，
其中dτ是在K系中以速度u移动的原子钟的时间间隔(固有间隔)，dt是静止在K系中的原子中的相应读数(坐标时间隔)。
考虑一只静止在地球赤道上的原子钟(τ0)，它在K系中运动的速度u0就是地球赤道上的切向速度，即u0=ΩR(R是地球半径，Ω是地球自转的角速度)因此，这只原子中的固有时间隔dτ0 与坐标时间隔dt之间的关系如下:
其中，由于ΩR《c，所以略去了高于(ΩR/c)^2的小项，以速度v相对于地面向东运动的另一只原子钟，它在K系中的速度u由狭义相对论的速度相加定理(考虑地球自西向东转动)给出:
其中，由于v/c《1，ΩR/c《1，所以略去了二阶以上的小项，这只飞行的原子钟的固有时间隔dτ与坐标时间隔dt之间的关系如下:
将上述方程中的坐标时间隔dt消去，就得到地球赤道平面内距地面为h的空中，以速度v向东绕地球飞行的原子钟的固有时间隔dτ，与静止在地球赤道上的原子钟的固有时间隔dτ0之间的关系为:
这就是狭义相对论的时间膨胀效应所欲言的运动学效应。
另一方面，这两只原子钟都处在地球的引力场中，因此必须考虑所谓的“引力红移”有关的贡献。
在广义相对论中，对于弱引力场最低次近似的情况，两只钟的速度之差正比于他们所在地点的引力势之差，因此，距地面为h的原子钟，与地面原子钟速度之差应该是:
其中g=GM/R^2是地球表面的引力加速度，由于h《R，方程略去了高于h/R比值的小项，方程是引力场的贡献。
则总的效应为:
如果原子钟不再地球赤道平面内，而且，飞行的原子钟的速度v偏离向东方向，那么方程应该为:
在实际实验中，飞行的原子钟速度v以及高度h都随时间而变化，因此，当原子钟绕地球航行一周后回到地面而与地面原子钟比较它们的读数时，两只原子钟的读书之差有上面方程的积分形式给出:
上面方程右边第一项是引力贡献，它总是正的，即地面上的原子钟比空中的原子钟走的慢;第二项和第三项是运动学效应，其中第三项的正负特性与飞行速度和方向有关，对于向东飞行的原子钟这一项是负的，向西飞行这一项是正的。
实验过程与结果:
1971年，Hafele和Keating完成了这种实验，他们将四只铯原子钟放到飞机上，飞机在赤道平面附近高度向东及向西绕地球航行一周后回到地面，然后将飞机上四个铯原子中
与意志静止在地面上的铯原子钟的读数进行比较，结果如下:
实验结论:
向东飞行时四只原子钟的读数比地球上的原子钟读数平均慢了59exp(-9)秒;而向西飞行时四只原于钟的读数比地球上的原子钟的读数平均快了273exp(-9)秒( 在实验误差之内这些结果与方程预言值相符。
实验思考:
我们分析一下这个实验，如果去高度h=0，即飞机擦地面飞行，那么在非转动的K系中的观察者看来，飞机上的钟于地面上的钟走得是同一条圆形轨道(假定两只钟都在地球赤道平面内)。
在飞机相对于地面向东飞行时，在K’系看来飞机上的钟总是比地面上的钟速度大，计算给出Δτ〈0，即向东飞行的钟总是比地面的中走的慢。
在飞机向西飞行时，Δτ的符号要视飞机飞行的速度v的大小而定;若v〈2ΩR，即在非转动系K中的观察者看来，地面钟的速度比飞行中的速度大，方程给出Δτ〉0，地面钟比飞机中走的慢，若v=2ΩR，此时地面上的钟与飞机上的钟在同一条圆轨道内以大小相等的速度向相反的方向运动，由方程得出Δτ=0，两只钟的速率相同，若v〉2ΩR，即地面中的速度比飞机的速度小，方程给出Δτ〈0，地面钟比飞机上的钟走得快。
综上所述，运动钟的速率快慢并不是相对的，在惯性系中作圆周运动的钟变慢了，切向速度越大钟走得越慢。
特别是，当两只钟在同一圆轨道内以大小相等的速
度反向飞行时，虽然两只钟相互之间有相对运动存在，但是这两只钟重新会合时它们的读数仍然是相同
的，上述各种结果与转动原判的横向多普勒频移试验的结果也是一致的。
这表明，狭义相对论的时间膨胀效应只有在惯性系中才能给出正确的预言。
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