高二数学9月月考试题 理

河北省张家口市宣化区宣化第一中学2020-2021学年高二第一学期数学9月月考试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.为了研究某班学生的脚长错误!未找到引用源。

单位：厘米错误!未找到引用源。

和身高错误!未找到引用源。

单位：厘米错误!未找到引用源。

的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为错误!未找到引用源。

，已知错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

，该班某学生的脚长为24厘米，据此估计其身高为错误!未找到引用源。

厘米．A. 160B. 163C. 166D. 1702.如图茎叶图记录了在一次数学模拟考试中甲、乙两组各五名学生的成绩错误!未找到引用源。

单位：分错误!未找到引用源。

已知甲组数据的中位数为106，乙组数据的平均数为错误!未找到引用源。

，则x，y的值分别为错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

A. 5，7B. 6，8C. 6，9D. 8，83.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么下列两个事件是对立事件的是错误!未找到引用源。

A. “至少1名男生”与“至少1名女生”B. “恰好1名男生”与“恰好2名女生”C. “至少1名男生”与“全是男生”D. “至少1名男生”与“全是女生”4.已知错误!未找到引用源。

，则错误!未找到引用源。

A. 2015B. 错误!未找到引用源。

C. 2016D. 错误!未找到引用源。

5.已知条件p：错误!未找到引用源。

；条件q：直线错误!未找到引用源。

与圆错误!未找到引用源。

相切，则错误!未找到引用源。

是错误!未找到引用源。

的错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

A. 充分必要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件6.有5支彩笔错误!未找到引用源。

除颜色外无差别错误!未找到引用源。

，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为错误!未找到引用源。

2022-2023学年河南省洛阳市新安县第一高级中学高二上学期9月月考数学试题一、单选题1．直线tan120x =︒的倾斜角是（ ） A ．60° B ．90°C ．120°D ．不存在【答案】B【分析】根据直线的方程，利用斜率和倾斜角的关系求解.【详解】解：因为直线tan120x =︒= 所以直线的倾斜角是90°， 故选：B2．平面α的斜线l 与它在这个平面上射影l'的方向向量分别为()1,0,1a =，()0,1,1b =，则斜线l 与平面α所成的角为（ ） A ．30° B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C【分析】由题意结合线面角的概念可得a 与b 所成的角(或其补角)即为l 与α所成的角，由cos ,||||a ba b a b ⋅<>=⋅即可得解. 【详解】由题意a 与b 所成的角(或其补角)即为l 与α所成的角， 因为11cos ,,,[0,]2||||2a b a b a b a b π⋅<>===<>∈⋅⨯， 所以,60a b <>=，所以斜线l 与平面α所成的角为60°. 故选：C.【点睛】本题考查了利用空间向量求线面角，考查了运算求解能力，属于基础题. 3．如图，空间四边形OABC 中，点M 在线段OA 上，且2OM MA =，N 为BC 的中点，MN xOA yOB zOC =++，则x ，y ，z 的值分别为（ ）A ．12，23-，12B ．23-，12，12C ．12，12，23-D ．23，23，12-【答案】B【分析】利用空间向量的基本定理求解.【详解】因为12()23MN ON OM OB OC OA =-=+-，211322a b c =-++，所以23x =-，12y =，12z =.故选：B.4．下列条件使M 与A ､B ､C 一定共面的是（ ） A ．2OM OA OB OC =-+ B ．0OM OA OB OC +++= C ．121532OM OA OB OC =++D ．0MA MB MC ++=【答案】D【分析】利用共面向量定理判断.【详解】A 选项：MA MB MC OA OM OB OM OC OM ++=-+-+-，30OA OB OC OM =++-≠，∴M ，A ，B ，C 四点不共面；B 选项：由0OM OA OB OC +++=，得()OM OA OB OC =-++，系数和不为1， ∴M ，A ，B ，C 四点不共面；C 选项：1211532++≠，∴M ，A ，B ，C 四点不共面；D 选项：0MA MB MC OA OM OB OM OC OM ++=-+-+-=， 即()13OM OA OB OC =++， 所以能使M 与A ､B ､C 一定共面.故选：D.5．直线l 1与l 2为两条不重合的直线，则下列命题： ①若l 1∥l 2，则斜率k 1=k 2； ②若斜率k 1=k 2，则l 1∥l 2； ③若倾斜角12αα=，则l 1∥l 2； ④若l 1∥l 2，则倾斜角α1=α2. 其中正确命题的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】①若l 1∥l 2，则分当斜率存在时、当斜率不存在时两种情况，判断命题①错误；②若斜率k 1=k 2，则l 1∥l 2，判断命题②正确；③若倾斜角12αα=，则l 1∥l 2，判断命题③正确；④若l 1∥l 2，则倾斜角12αα=，判断命题④正确即可得到答案.【详解】解：直线l 1与l 2为两条不重合的直线：①若l 1∥l 2，当斜率存在时，则斜率k 1=k 2，当斜率不存在时，两条直线都垂直与x 轴，所以命题①错误；②若斜率k 1=k 2，则l 1∥l 2，所以命题②正确； ③若倾斜角12αα=，则l 1∥l 2，所以命题③正确；④若l 1∥l 2，则倾斜角12αα=，所以命题④正确，所以正确的命题个数共3个. 故选：C.【点睛】本题考查两条直线的位置关系，是基础题.6．经过点()3,0B ，且与直线250x y +-=垂直的直线方程为（ ） A ．230x y -+= B ．260x y +-= C ．230x y --= D ．230x y +-=【答案】C【分析】由于所求直线与直线250x y +-=垂直，从而可求出所求直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程【详解】因为直线250x y +-=的斜率为2-， 所以与直线250x y +-=垂直的直线的斜率为12，因为所求直线经过点()3,0B ，所以所求直线方程为1(3)2y x =-，即230x y --=，故选：C7．“1a =-”是“直线240x ay ++=与直线(1)20a x y -++=平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据两直线平行可知：12120A B B A +=求出a ，代入验证，再由充分条件、必要条件的定义即可求解.【详解】解：当两直线平行，∴12(1)0a a ⨯--=，解得2a =或1a =-， 当2a =，两直线重合，舍去； 当1a =-时，两直线平行．所以“1a =-”是“直线240x ay ++=与直线(1)20a x y -++=平行”的充要条件． 故选：C8．下列说法正确的是（ ）A ．斜率和倾斜角具有一一对应的关系B ．直线的截距式方程适合于不过原点的所有直线C ．经过点()1,1且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-=D ．()()()()121121y y x x x x y y --=--表示经过()11,P x y ，()22,Q x y 的直线方程 【答案】D【分析】根据倾斜角和斜率的定义，以及两点式和截距式的定义，逐个选项进行判断即可. 【详解】对于A ，倾斜角为90时，没有对应斜率，故A 错误；对于B ，直线的截距式方程适合于不过原点，不垂直于x 轴，不垂直于y 轴的所有直线，故B 错误； 对于C ，经过点()1,1且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线，还包括y x =这条直线，故C 错误； 对于D ，根据两点式的定义，选项D 明显正确； 故选：D9．若直线l ：20(0,0)ax by a b -+=>>过点(1,2)-，当21a b+取最小值时直线l 的斜率为A ．2B ．12C D ．【答案】A【分析】将点带入直线可得212a b+=，利用均值不等式“1”的活用即可求解． 【详解】因为直线l 过点()1,2-，所以220a b --+=，即212a b+=，所以21212141()(4)(44222a b b a a b a b a b ++=+=++≥+= 当且仅当4b aa b=，即2a b =时取等号 所以斜率2ab=，故选 A 【点睛】本题考查均值不等式的应用，考查计算化简的能力，属基础题．10．已知{},,a b c 是空间的一个单位正交基底，向量23p a b c =++，{},,a b a b c +-是空间的另一个基底，向量p 在基底{},,a b a b c +-下的坐标为（ ） A ．31,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．31,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．13,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．13,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【分析】设()()p x a b y a b zc =++-+，根据空间向量基本定理建立关于,,x y z 的方程，解之即可得解.【详解】解：设()()p x a b y a b zc =++-+()()23c a b y a x c x y b z =++-+=++，所以123x y x y z +=⎧⎪-=⎨⎪=⎩，解得32123x y z ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，所以向量p 在基底{},,a b a b c +-下的坐标为31,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：A.11．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1B C 上运动，则下列结论不正确的是（ ）A ．直线1BD ⊥平面11AC DB ．三棱锥11P ACD -的体积为定值C ．异面直线AP 与1AD 所成角的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．直线1C P 与平面11AC D 所成角的正弦值的最大值为63【答案】C【分析】对于A ，根据线面垂直的判定定理，结合正方体的性质以及线面垂直的性质定理，可得答案；对于B ，根据三棱锥的体积公式，证明底面11AC D 上的高为定值，利用线面平行判定以及性质定理，可得答案；对于C ，根据异面直线夹角的定义，作图，结合等边三角形的性质，可得答案；对于D ，由题意，建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量以及平面的法向量，根据公式，结合二次函数的性质，可得答案. 【详解】对于A ，连接11B D ，记1111AC B D E =，如下图：在正方体1111ABCD A B C D -中，1BB ⊥平面1111D C B A ，11A C ⊂平面1111D C B A ，111BB AC ∴⊥，在正方形1111D C B A 中，1111AC B D ⊥，1111BB B D B ⋂=，111,B D BB ⊂平面11BB D ，∴11A C ⊥平面11BB D ，1BD ⊂平面11BB D ，111AC BD ∴⊥，同理可得：11DC BD ⊥，1111AC DC C ⋂=，111,A C DC ⊂平面11AC D ，1BD ∴⊥平面11AC D ，故A 正确；对于B ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//CB DA ，1DA ⊂平面11AC D ，1CB ⊄平面11AC D ，1//CB ∴平面11AC D ，则1P CB ∀∈，P 到平面11AC D 的距离相同，即三棱锥11P AC D -中底面11AC D 上的高为一个定值，故B 正确； 对于C ，连接1AB ，AC ，AP ，作图如下：在正方体1111ABCD A B C D -中，易知1ACB 为等边三角形，则1π3APC AB C ∠≥∠=， 11//DA CB ，APC ∴∠为异面直线1DA 与AP 所成角或者补角，则异面直线1DA 与AP 所成角的取值范围ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故C 错误； 对于D ，在正方体1111ABCD A B C D -中，以D 为原点，分别以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如下图：设该正方体的边长为2，则()0,0,0D ，()10,0,2D ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()12,2,2B ，()10,2,2C ，设()1,01CP CB λλ=≤≤，且(),,P x y z ，则()12,0,2CB =，(),2,CP x y z =-，即2202x y z λλλ=⎧⎪-=⋅⎨⎪=⎩，可得()2,2,2P λλ，则()12,0,22C P λλ=-，由A 可知1BD ⊥平面11AC D ，则平面11AC D 的一个法向量为()12,2,2BD =--， 设直线CP 与平面11AC D 所成角为θ，则12221404444sin 88412432211143222BD CP BD CPλλθλλλλλ⋅-++-====⋅-+⋅⋅-+⎛⎫⋅-+⎪⎝⎭， 由[]0,1λ∈，则当12λ=时，sin θ取得最大值为63，故D 正确. 故选：C.12．如图，在三棱锥-P ABC 中，5AB AC PB PC ====，4PA =，6BC =，点M 在平面PBC 内，且15AM =，设异面直线AM 与BC 所成的角为α，则cos α的最大值为（ ）A 2B 3C ．25D 5【答案】D【分析】设线段BC 的中点为D ，连接AD ，过点P 在平面PAD 内作PO AD ⊥，垂足为点O ，证明出PO ⊥平面ABC ，然后以点O 为坐标原点，CB 、AD 、OP 分别为x 、y 、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设BM mBP nBC =+，其中0m ≥，0n ≥且1m n +≤，求出363m n +-的最大值，利用空间向量法可求得cos α的最大值.【详解】设线段BC 的中点为D ，连接AD ，5AB AC ==，D 为BC 的中点，则AD BC ⊥，6BC =，则3BD CD ==，224AD AB BD ∴=-=，同理可得4PD =，PD BC ⊥，PDAD D =，BC ∴⊥平面PAD ，过点P 在平面PAD 内作PO AD ⊥，垂足为点O ，因为4PA PD AD ===，所以，PAD 为等边三角形，故O 为AD 的中点，BC ⊥平面PAD ，PO ⊂平面PAD ，则BC PO ⊥，PO AD ⊥，AD BC D =，PO ∴⊥平面ABC ，以点O 为坐标原点，CB 、AD 、OP 分别为x 、y 、z 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系O xyz -，因为PAD 是边长为4的等边三角形，O 为AD 的中点，则sin 6023OP PA == 则()0,2,0A -、()3,2,0B 、()3,2,0C -、(0,0,23P ， 由于点M 在平面PBC 内，可设(()()3,2,236,0,036,2,23BM mBP nBC m n m n m m =+=--+-=---， 其中0m ≥，0n ≥且1m n +≤，从而()()()3,4,036,2,23336,42,23AM AB BM m n m m m n m m =+=+---=---， 因为15AM =()()222336421215m n m m --+-+=， 所以，()()22233616161423m n m m m --=-+-=--+， 故当12m =时，216161m m -+-有最大值3，即()23633m n +-≤， 故33633m n -+-363m n +-3 所以，()6336635cos cos ,615615AM BC m n AM BC AM BCα⋅--=<>==≤=⋅. 故选：D.【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.二、填空题13．若()1,1,0a =，()1,0,2b =-，则与a b +反方向的单位向量是______．【答案】0,⎛ ⎝⎭【分析】由与a b +反方向的单位向量为||a ba b +-+代入可得结果. 【详解】∵(1,1,0)a =，(1,0,2)b =-∴(0,1,2)a b +=，2||01a b +=+=∴a b +反方向的单位向量为(0,1,2)(0,||a b a b +-=-=+故答案为：(0,. 14．有一光线从点()3,5A -射到x 轴以后，再反射到点()2,15B ，则这条光线的入射光线所在直线的方程为______． 【答案】4+70x y +=【分析】根据对称性可知：点()2,15B 关于x 轴对称的点在入射光线所在的直线上，求出点()2,15B 关于x 轴对称的点的坐标即可求解.【详解】因为点()2,15B 关于x 轴对称的点的坐标为()2,15B '-，由直线的对称性可知：这条光线的入射光线经过点()3,5A -和()2,15B '-， 所以条光线的入射光线所在直线的方程为51515(2)32y x ++=---， 也即4+70x y +=， 故答案为：4+70x y +=.15．若直线10ax y +-=与连接()()2,3,3,2A B -的线段总有公共点，则a 的取值范围是______.【答案】(]1,1,3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【分析】画出图形，由图可得，要使直线与线段AB 总有公共点，需满足PA a k -≥或PB a k -≤，从而可求得答案【详解】得直线10ax y +-=的斜率为a -，且过定点()0,1P ，则由图可得，要使直线与线段AB 总有公共点，需满足PA a k -≥或PB a k -≤， 11,3PA PB k k ==-，1a -≥或13a -≤-，1a ∴≤-或13a ≥. 故答案为：(]1,1,3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭16．点P 是棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面A 1B 1C 1D 1上一点，则1PA PC ⋅的取值范围是__.【答案】[﹣12，0]【分析】建立空间直角坐标系，设出点P 的坐标为（x ，y ，z ），则由题意可得0≤x ≤1，0≤y ≤1，z ＝1，计算PA •1PC =x 2﹣x ，利用二次函数的性质求得它的值域即可．【详解】解：以点D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴，以DD 1所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示； 则点A （1，0，0），C 1（0，1，1），设点P 的坐标为（x ，y ，z ），由题意可得 0≤x ≤1，0≤y ≤1，z ＝1； ∴PA =（1﹣x ，﹣y ，﹣1），1PC =（﹣x ，1﹣y ，0），∴PA •1PC =-x （1﹣x ）﹣y （1﹣y ）+0＝x 2﹣x +y 2﹣y 22111222x y ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由二次函数的性质可得，当x ＝y 12=时，PA •1PC 取得最小值为12-；当x ＝0或1，且y ＝0或1时，PA •1PC 取得最大值为0， 则PA •1PC 的取值范围是[12-，0]．故答案为：[12-，0]．【点睛】本题主要考查了向量在几何中的应用与向量的数量积运算问题，是综合性题目．三、解答题17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱P A 的长为2，且P A 与AB 、AD 的夹角都等于60°，M 是PC 的中点，设AB a =，AD b =，c AP =.(1)试用,,a b c 表示向量BM ； (2)求BM 的长.【答案】(1)111222b ac -+6【分析】利用空间向量基本定理用基底表示BM ；（2）在第一问的基础上运用空间向量数量积运算法则进行运算.【详解】（1）()1122BM BC CM AD CP AD CB BA AP =+=+=+++111111222222AD AD AB AP b a c =--+=-+ （2）22222111111111222444222BM b a c b a c a b c b a c ⎛⎫=-+=++-⋅+⋅-⋅ ⎪⎝⎭11111131021214422222=++-+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=，所以62BM =BM18．已知ABC 的三个顶点(,)A m n ､(2,1)B ､(2,3)C -. (1)求BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 的方程为2360x y -+=，BC 边上高线AE 过原点，求点A 的坐标. 【答案】(1)240x y +-=(2)3,32A ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）利用两点式求得BC 边所在直线方程；（2）由题意可得2360-+=m n ，求出BC 边上高线AE 的方程，将点(,)A m n 代入AE 的方程，解关于,m n 的方程组即可求解.【详解】（1）由()2,1B 、()2,3C -可得311222BC k -==---， 所以BC 边所在直线方程为()1122y x -=--，即240x y +-=. （2）因为BC 边上中线AD 的方程为2360x y -+=， 所以点(,)A m n 在直线2360x y -+=上，可得2360-+=m n ， 因为12BC k =-，所以BC 边上高线AE 的斜率2AE k =，因为BC 边上高线AE 过原点，所以AE 的方程为2y x =，可得2n m =， 由23602m n n m -+=⎧⎨=⎩可得：323m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以点A 的坐标为3,32⎛⎫⎪⎝⎭.19．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 满足AD ∥BC ，且12AB AD AA BD DC =====，(Ⅰ)求证:AB ⊥平面11ADD A ;(Ⅱ)求直线AB 与平面11B CD 所成角的正弦值. 【答案】(Ⅰ) 证明见解析；(Ⅱ)66【解析】(Ⅰ)证明1AA AB ⊥，根据222AB AD BD +=得到AB AD ⊥，得到证明.(Ⅱ) 如图所示，分别以1,,AB AD AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，平面11B CD 的法向量()1,1,2n =，()2,0,0AB =，计算向量夹角得到答案.【详解】(Ⅰ) 1AA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，故1AA AB ⊥.2AB AD ==，22BD =，故222AB AD BD +=，故AB AD ⊥.1AD AA A ⋂=，故AB ⊥平面11ADD A .(Ⅱ)如图所示：分别以1,,AB AD AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()12,0,2B ，()2,4,0C ，()10,2,2D .设平面11B CD 的法向量(),,n x y z =，则11100n B C n B D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即420220y z x y -=⎧⎨-+=⎩，取1x =得到()1,1,2n =，()2,0,0AB =，设直线AB 与平面11B CD 所成角为θ 故26sin cos ,626n AB n AB n ABθ⋅====⋅. 【点睛】本题考查了线面垂直，线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 20．已知直线l ：5530ax y a --+=．(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)若直线l 的横截距和纵截距绝对值相等，求a 的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)1a =±或3【分析】（1）将直线l 的方程化为点斜式，求出直线所过定点，即可证明结论成立；（2）直线l 的横截距和纵截距绝对值相等，分三种情况讨论：①横截距和纵截距为0，②横截距和纵截距相反，③横截距和纵截距相等，分别求出此时a 的值即可. 【详解】（1）解：直线l 的方程可整理为：3155y a x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 则l 的斜率为a ，且过定点13,55A ⎛⎫⎪⎝⎭，∵13,55A ⎛⎫⎪⎝⎭在第一象限，所以不论a 取何值，直线l 总经过第一象限． （2）解：由（1）知，直线过定点1355A ⎛⎫⎪⎝⎭，，当直线过原点时，此时，3a =；当直线截距相反且不过原点时，1k =，此时1a =； 当直线截距相等且不过原点时，1k =-，此时1a =-； 综上所述，1a =±或3．21．如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，1PD DC ==，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥．(1)求BC ；(2)求点B 到平面P AM 的距离． 【答案】(1)2 (2)77【分析】（1）建立空间直角坐标系，设2BC a =，写出各点坐标，利用0PB AM ⋅=列出方程，求出22a =，从而得到BC 的长； （2）求出平面P AM 的法向量，利用点到平面的距离公式进行求解.【详解】（1）∵PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，不妨以点D 为坐标原点，DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系D xyz -，设2BC a =，则()0,0,0D 、()0,0,1P 、()2,1,0B a 、(),1,0M a 、()2,0,0A a ， 则()2,1,1PB a =-，(),1,0AM a =-，∵PB AM ⊥，则2210PB AM a ⋅=-+=，解得2a = 故22BC a ==；（2）设平面PAM 的法向量为()111,,m x y z =，则2AM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()2,0,1AP =-， 由111120220m AM x y m AP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩，取12x =，可得()2,1,2m =，()0,1,0AB =，∴点B 到平面P AM 的距离177AB m d m⋅===22．如图①，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，222AB AD CD ===.将ADC △沿AC 折起，使得AD BC ⊥，如图②.（1）求证：平面ADC ⊥平面ABC .（2）在线段BD 上是否存在点E ，使得二面角E AC D --的平面角的大小为π4？若存在，指出点E的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，点E 在线段BD 上靠近点D 的三等分点处.【分析】（1）先证明AC BC ⊥，再由线面垂直的判定定理证明BC ⊥平面ADC ，由面面垂直的判定定理即可证明；（2）以C 为原点，以CA ，CB 所在的直线分别为x 轴、y 轴，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，然后用坐标法求解即可【详解】（1）在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，222AB AD CD ===， ∴由平面几何知识易得π3ABC ∠=， ∴在ACB △中，222π21221cos 33AC =+-⨯⨯⨯=. 又222AC BC AB +=，∴AC BC ⊥. 在题图②中，∵AD BC ⊥，ADAC A =，∴BC ⊥平面ADC .又BC ⊂平面ABC ，∴平面ADC ⊥平面ABC .（2）在线段BD 上存在点E ，使得二面角E AC D --的平面角的大小为π4. 以C 为原点，以CA ，CB 所在的直线分别为x 轴、y 轴，建立空间直角坐标系，如图.由平面ADC ⊥平面ABC ，ADC △是顶角为2π3的等腰三角形，知z 轴与ADC △底边上的中线平行，又由（1）易得3AC =∴()0,0,0C ，()3,0,0A，()0,1,0B ，312D ⎫⎪⎪⎝⎭，∴()3,0,0CA =，112,23BD ⎛⎫⎪ ⎪⎝=⎭-. 令()01BE tBD t =≤≤，则,,12t E t ⎫⎝-⎪⎪⎭， ∴3,1,22t CE t =-⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. 设平面ACE 的一个法向量为(),,m x y z =，则00CA m CE m ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即()0102t t y z =+-+=， ∴()0210x t y tz =⎧⎨-+=⎩，令y t =，则()21z t =-，∴()()0,,21m t t =-. 由（1）知，平面ADC 的一个法向量为()0,1,0n =.要使二面角E AC D --的平面角的大小为π4，则2πcos 4m n m n t ⋅=== 解得23t =或2t =（舍去）. ∴在线段BD 上存在点E ，使得二面角E AC D --的平面角的大小为π4，此时点E 在线段BD 上靠近点D 的三等分点处.。

四川省广安市广安中学2021-2022高二数学9月月考试题 文（含解析）一、单选题（共12小题,每小题5分，共60分)1.如图，长方体1111ABCD A B C D -中，13,2,1AB BC BB ===，则线段1BD 的长是（ ）A. 14B. 27C. 28D. 32【答案】A 【解析】【分析】 利用体对角线公式直接计算即可.【详解】2221194114BD AB AD AA =++=++=，故选A.【点睛】本题考查长方体体对角线的计算，属于基础题.2.如图，O A B ∆'''是水平放置的OAB ∆的直观图，则OAB ∆的周长为 ( )A. 10213+B. 32C. 10D. 12【答案】A【解析】【分析】 OAB ∆为直角三角形，且6OA =，4OB =，从而可计算OAB ∆的周长.【详解】因为45A O B '''∠=︒，所以90AOB ∠=︒，因为3A O ''=，4B O ''=，所以6AO =，4BO =，故3616213AB =+=所以周长为6421310213++=+，故选A.【点睛】本题考查斜二测画法，属于基础题.3.已知直线l 是平面a 的斜线，则a 内不存在与l （ ）A. 相交的直线B. 平行的直线C. 异面的直线D. 垂直的直线【答案】B【解析】【分析】根据平面的斜线的定义，即可作出判定，得到答案．【详解】由题意，直线l 是平面α的斜线，由斜线的定义可知与平面相交但不垂直的直线叫做平面的斜线，所以在平面α内肯定不存在与直线l 平行的直线．故答案为：B【点睛】本题主要考查了直线与平面的位置关系的判定及应用，其中解答中熟记平面斜线的定义是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．4.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为1BD 的中点，则PAC 在该正方体各个面上的正投影（实线部分）可能是（ ）A. ①④B. ①②C. ②③D. ②③【答案】A【解析】【分析】 由题意需要从三个角度对正方体进行平行投影，首先确定关键点P ，A ，C 在各个面上的投影，再把它们连接起来，即得到在各个面上的投影．【详解】从上下方向上看，△PAC 的投影为①图所示的情况；从左右方向上看，△PAC 的投影为④图所示的情况；从前后方向上看，△PAC 的投影为④图所示的情况；故选：A ．【点睛】本题考查平行投影和空间想象能力，关键是确定投影图的关键点，如顶点等，再依次连接即可得在平面上的投影图．5.设,m n 是两条不同的直线，αβ，是两个不同的平面，则下列命题中正确的个数为 ①若αβ⊥，,m n αβ⊂⊂，则m n ⊥②若,,m n αβαβ⊂⊂∥，则n m ∥③若,,m n m n αβ⊥⊂⊂，则αβ⊥④若,,m n m n αβ⊥∥∥，则αβ⊥A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】A【解析】【分析】根据面面垂直的定义判断①③错误，由面面平行的性质判断②错误，由线面垂直性质、面面垂直的判定定理判定④正确．【详解】如图正方体1111ABCD A B C D -，平面ABCD 是平面α，平面11BCC B 是平面β，但两直线BC 与1B C 不垂直，①错； 平面ABCD 是平面α，平面1111D C B A 是平面β，但两直线11B C 与AB 不平行，②错； 直线11A B 是直线m ，直线BC 是直线n ，满足m n ⊥，但平面11A B CD 与平面ABCD 不垂直，③错；由,m n m α⊥∥得n α⊥，∵n β，过n 作平面γ与平面β交于直线l ，则//n l ，于是l α⊥，∴αβ⊥，④正确．∴只有一个命题正确．故选A ．【点睛】本题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系．对一个命题不正确，可只举一例说明即可．对正确的命题一般需要证明．6.三棱锥P ABC -中，,PA PB PC PO ==⊥平面,ABC O 为垂足，则O 是ABC ∆的（ ）A. 重心B. 内心C. 外心D. 垂心【答案】C【解析】【分析】连接,,OA OB OC ，可证OA OB OC ==即O 是ABC ∆的外心.【详解】如图，连接,,OA OB OC ，因为PO ⊥平面ABC ，AO ⊂平面ABC ，所以PO AO ⊥，同理PO BO ⊥，因为PA PB =，PO PO =，所以Rt POB Rt POA ∆≅∆，所以OA OB =，同理OA OC =，故O 是ABC ∆的外心.故选C.【点睛】在三棱锥P ABC -中，如果PA PB PC ==，那么P 在平面ABC 内的射影为ABC ∆的外心，如果,PA BC PB AC ⊥⊥，则那么P 在平面ABC 内的射影为ABC ∆的垂心.7.如图，扇形OAB 的圆心角为90︒，半径为1，则该扇形绕OB 所在直线旋转一周得到的几何体的表面积为（ ）A. 34πB. 2πC. 3πD. 4π【答案】C【解析】【分析】以OB 所在直线为旋转轴将整个图形旋转一周所得几何体是一个半球，利用球面的表面积公式及圆的表面积公式即可求得．【详解】由已知可得：以OB 所在直线为旋转轴将整个图形旋转一周所得几何体是一个半球，其中半球的半径为1，故半球的表面积为：22223r r πππππ+=+=故答案为：C【点睛】本题主要考查了旋转体的概念，以及球的表面积的计算，其中解答中熟记旋转体的定义，以及球的表面积公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8.已知直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，M 为11A C 的中点，则AM 与1BC 所成角的余弦值为( )D. 4【答案】D【解析】【分析】取AC 的中点N ，连接1C N ，则1//AM C N ,所以异面直线AM 与1BC 所成角就是直线AM 与1C N 所成角，在1BNC ∆中，利用余弦定理，即可求解．【详解】由题意，取AC 的中点N ，连接1C N ，则1//AM C N ,所以异面直线AM 与1BC 所成角就是直线AM 与1C N 所成角，设正三棱柱的各棱长为2,则11C N BC BN ===设直线AM 与1C N 所成角为θ，在1BNC ∆中，由余弦定理可得cos θ==，即异面直线AM 与1BC D ．【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．9.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，F 是棱11A D 上的动点．下列说法正确的是（ ）A. 对任意动点,F 在平面11ADD A 内不存在．．．与平面CBF 平行的直线 B. 对任意动点,F 在平面ABCD 内存在．．与平面CBF 垂直的直线 C. 当点F 从1A 运动到1D 的过程中，二面角F BC A --的大小不变．．D. 当点F 从1A 运动到1D 的过程中，点D 到平面CBF 的距离逐渐变大．．【答案】C【解析】【分析】不论F 在11A D 任意位置，平面CBF 即平面11A D CB ，再求解.【详解】因为AD 在平面11ADD A 内，且平行平面CBF ，故A 错误；平面CBF 即平面11A D CB ，又平面11A D CB 与平面ABCD 斜相交，所以在平面ABCD 内不存在与平面CBF 垂直的直线，故B 错误；平面CBF 即平面11A D CB ，平面11A D CB 与平面ABCD 是确定平面，所以二面角不改变，故C 正确；平面CBF 即平面11A D CB ，点D 到平面11A D CB 的距离为定值，故D 错误.故选C.【点睛】本题考查空间线面关系，属于综合题.本题的关键在于平面CBF 的确定.10.如图所示：在正方体1111ABCDA B C D ﹣中，设直线1A B 与平面11A DCB 所成角为1θ，二面角1A DCA ﹣﹣的大小为2θ，则12θθ，为（ ）A. 3045o o ，B. 4530o o ，C. 3060o o ，D. 6045o o ，【答案】A【解析】【分析】 连结BC 1，交B 1C 于O ，连结A 1O ，则∠BA 1O 是直线A 1B 与平面A 1DCB 1所成角θ1，由BC⊥DC，B 1C⊥DC，知∠BCB 1是二面角A 1﹣DC ﹣A 的大小θ2，由此能求出结果．【详解】连结BC 1，交B 1C 于O ，连结A 1O ，∵在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，BC 1⊥B 1C ，BC 1⊥DC， ∴BO⊥平面A 1DCB 1，∴∠BA 1O 是直线A 1B 与平面A 1DCB 1所成角θ1， ∵BO＝12A 1B ，∴θ1＝30°；∵BC⊥DC，B 1C⊥DC，∴∠BCB 1是二面角A 1﹣DC ﹣A 的大小θ2， ∵BB 1＝BC ，且BB 1⊥BC，∴θ2＝45°．故选：A ．【点睛】本题考查线面角、二面角的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题．11.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. 32B. 16C. 323D. 803【答案】D【解析】【分析】 根据三视图可知几何体为一个三棱柱111ABC A B C -切掉一个三棱锥111C A B D -，分别求解出三棱柱和三棱锥的体积，作差即可得到结果.【详解】由三视图可知，几何体为一个三棱柱111ABC A B C -切掉一个三棱锥111C A B D - 如下图所示：则D 为1AA 中点1111444322ABC A B C V -∴=⨯⨯⨯=，1111116424323C A BD V -=⨯⨯⨯⨯= ∴所求几何体体积：11111116803233ABC A B C C A B D V V V --=-=-= 本题正确选项：D【点睛】本题考查多面体体积的求解问题，关键是能够通过割补的方式来进行求解.12.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点E 在线段11A C 上, F ，M 分别是AD ，CD 的中点, 则下列结论中错误的是( )A. 11//FM ACB. BM ⊥平面1CC FC. 三棱锥B CEF -的体积为定值D. 存在点E ，使得平面BEF //平面11CC D D【答案】D【解析】【分析】根据空间中的平行与垂直关系，和三棱锥的体积公式，对选项中的命题判断其真假性即可．【详解】对于A ，连接AC ，易知：11//,//,FM AC AC AC 故11//FM AC ，正确；对于B ，易知：,,90CDF BCM CFD BMC DCF BMC ≅∴∠=∠∴∠+∠= ， 1,BM CF BM CC ∴⊥⊥,故BM ⊥平面1CC F ，正确；对于C ，三棱锥B CEF -的体积等于三棱锥E BCF -的体积,此时E 点到平面BCF 的距离为1，底面积为12，故体积为定值，正确； 对于D,BF 与CD 相交，即平面BEF 与平面11CC D D 始终有公共点，故二者相交，错误； 故选：D【点睛】本题考查了空间中的线面位置关系的判断和棱锥的体积计算问题，涉及到三棱锥的体积为定值问题，要考虑到动点（棱锥的顶点）在直线上，而直线与平面（棱锥的底面）平行，这样不论动点怎样移动，棱锥的高都不变，底面积为定值，高为定值，体积就是定值，考查学生的空间想象能力，是综合题．二、填空题（每小题5分，共20分)13.已知球的表面积为4π，则该球的体积为________． 【答案】43π 【解析】【分析】先根据球的表面积公式24S R π=求出半径，再根据体积公式343V R π=求解. 【详解】设球半径为R ，则244S R ππ==，解得1R =，所以34433V R ππ== 【点睛】本题考查球的面积、体积计算，属于基础题.14.如图，有一圆锥形粮堆，其正(主)视图是边长为6m 的正ABC △，粮堆母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是________________m.【答案】35 【解析】圆锥的底面半径为3m ，周长是6πm,展开图中大圆半径为6m ，则圆心角为6π6π=， 即圆锥侧面展开图的圆心角是180度。

2021北京八一中学高二（上）9月月考数学考生须知：1.本试卷满分100分。

2.在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和学号。

3.试题答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4.在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5.考试结束时，将本试卷、答题卡一并交回。

一、选择题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（3分）已知点A（2，﹣1，3）、B（1，2，3），则＝（）A．（2，﹣1，3）B．（1，2，3）C．（﹣1，3，0）D．（1，﹣3，0）2．（3分）若直线l的方向向量为＝（1，0，2），平面α的法向量为＝（﹣2，0，﹣4），则直线l与平面α的位置关系为（）A．平行B．垂直C．在平面内D．斜交3．（3分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若，则＝（）A．B．C．D．4．（3分）已知平面α内有一点A（2，﹣1，2），平面α的一个法向量为，则下列四个点中在平面α内的是（）A．P1（1，0，3）B．P2（1，﹣1，1）C．P3（2，﹣3，1）D．P4（﹣2，0，1）5．（3分）如图，已知矩形ABFE与矩形EFCD所成二面角D﹣EF﹣B的平面角为锐角，记二面角D﹣EF﹣B的平面角为α，直线EC与平面ABFE所成角为β，直线EC与直线FB所成角为γ，则（）A．β＞α，β＞γB．α＞β，β＞γC．α＞β，γ＞βD．α＞γ，γ＞β6．（3分）已知＝（2，1，﹣3），＝（﹣1，2，3），＝（7，6，λ），若，，共面，则λ等于（）A．﹣3B．3C．﹣9D．97．（3分）四棱锥S﹣ABCD中，＝（4，﹣1，0），＝（0，3，0），＝（﹣3，1，﹣4），则这个四棱锥的高h为（）A．1B．2C．3D．48．（3分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是AB，CC1的中点，则下列说法正确的是（）A．A1E∥平面BFD1B．A1E⊥平面ADFC．A1，E，B，F四点共面D．二面角D1﹣BF﹣B1的平面角为钝角9．（3分）对于任意非零空间向量，给出下列三个命题：①若a1＝a2＝a3＝1，则为单位向量；②；③＝0．其中真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．310．（3分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P为线段AC1上的动点（包含端点），则下列说法正确的是（）A．存在点P使得D1P与B1C不垂直B．不存在点P使得|D1P|+|A1P|＝2成立C．不存在点P使得D1P与BC所成角为D．存在点P使得平面BCP与平面DCP所成角为二、填空题共5小题，每小题4分，共20分.11．（4分）如图，已知矩形ABCD中，AD＝4，CD＝3，P A⊥平面ABCD，并且P A＝，则PC的长为．12．（4分）已知＝（1，3，m），＝（2n，6，﹣4），若∥，则•＝．13．（4分）已知空间三点O（0，0，0），A（﹣1，1，0），B（0，2，1），在直线OA上有一点满足BH⊥OA，则点H的坐标为．14．（4分）中国古代数学名著《九章算术•商攻》中，阐述：“斜解立方，得两堵．斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”若称为“鳖臑”的某三棱锥如图所示，P A⊥平面ABC，AB⊥BC，P A＝AB ＝BC＝4，则PB与AC所成的角等于；PC与AB之间的距离等于．15．（4分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB＝3，AA1＝4，P是侧面BCC1B1内的动点，且AP⊥BD1，记AP与平面BCC1B1所成的角为θ，则tanθ的最大值为．三、解答题共5小题，共50分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．（10分）已知空间向量＝（2，4，﹣2），＝（﹣1，0，2），＝（x，2，﹣1）．（Ⅰ）若∥，求；（Ⅰ）若⊥，求cos＜，＞的值．17．（10分）如图，已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°，设．（Ⅰ）求的值；（Ⅰ）求的值．18．（10分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA＝4，CB＝4，，∠ACB＝90°，点M在线段A1B1上．（1）若A1M＝3MB1，求异面直线AM和A1C所成角的余弦值；（2）若直线AM与平面ABC1所成角为30°，试确定点M的位置．19．（12分）如图所示，平面ABCD⊥平面BCEF，且四边形ABCD为矩形，四边形BCEF为直角梯形，BF∥CE，BC⊥CE，DC＝CE＝4，BC＝BF＝2．（Ⅰ）求证：AF∥平面CDE；（Ⅰ）求平面CDE与平面AEF所成锐二面角的余弦值；（Ⅰ）求点C到平面AEF的距离．20．（8分）已知集合S n＝{X|X＝（x1，x2，…，x n），x i∈{0，1}，i＝1，2，…，n}（n≥2），对于A＝（a1，a2，…，a n）∈S n，B＝（b1，b2，…，b n）∈S n，定义A与B的差为A﹣B＝（|a1﹣b1|，|a2﹣b2|，…，|a n﹣b n|）；A与B之间的距离为d（A，B）＝|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…+|a n﹣b n|．（Ⅰ）写出A＝（1，0，1，0）与B＝（0，0，1，1）的差A﹣B和距离d（A，B）；（Ⅰ）证明：∀A，B，C∈S n，有A﹣B∈S n；证明：d（A﹣C，B﹣C）＝d（A，B）；（Ⅰ）证明：∀A，B，C∈S n，d（A，B），d（B，C），d（A，C）三个数中至少有一个是偶数．2021北京八一中学高二（上）9月月考数学参考答案一、选择题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．【分析】利用空间向量坐标运算法则直接求解．【解答】解：∵点A（2，﹣1，3）、B（1，2，3），∴＝（﹣1，3，0）．故选：C．【点评】本题考查向量的求法，考查空间向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．【分析】推导出直线l的方向向量和平面α的法向量平行，由此能求出直线l与平面α的位置关系为垂直．【解答】解：直线l的方向向量为＝（1，0，2），平面α的法向量为＝（﹣2，0，﹣4），∵＝﹣2，∴∥，∴直线l与平面α的位置关系为垂直．故选：B．【点评】本题考查直线与平面的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．【分析】根据空间向量的线性运算法则，计算即可．【解答】解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，所以＝+＝+＝﹣﹣＝﹣﹣＝﹣+﹣．故选：D．【点评】本题考查了空间向量的线性运算应用问题，是基础题．4．【分析】设所求点的坐标为P（x，y，z），由•＝0，逐一验证选项，即可．【解答】解：设所求点的坐标为P（x，y，z），则＝（x﹣2，y+1，z﹣2），∵平面α的一个法向量为，∴•＝3（x﹣2）+（y+1）+2（z﹣2）＝3x+y+2z﹣9＝0，对于选项A，3x+y+2z﹣9＝3×1+0+2×3﹣9＝0，符合，对于选项B，3x+y+2z﹣9＝3×1﹣1+2×1﹣9≠0，不符合，对于选项C，3x+y+2z﹣9＝3×2﹣3+2×1﹣9≠0，不符合，对于选项D，3x+y+2z﹣9＝3×（﹣2）+0+2×1﹣9≠0，不符合，故选：A．【点评】本题考查平面的法向量，空间向量数量积的运算，考查运算求解能力，属于基础题．5．【分析】过C作CO⊥平面ABFE，垂足为O，连结EO，则α＝∠AED，β＝∠CEO，γ＝∠CEF，由此能求出结果．【解答】解：过C作CO⊥平面ABFE，垂足为O，连结EO，∵矩形ABFE与矩形EFCD所成二面角D﹣EF﹣B的平面角为锐角，记二面角D﹣EF﹣B的平面角为α，直线EC与平面ABFE所成角为β，直线EC与直线FB所成角为γ，∴α＝∠AED，β＝∠CEO，γ＝∠CEF，∵CF＞CO，∴α＞β，γ＞β．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，考查线面角、二面角、线线角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．6．【分析】由，，共面，设＝m，列方程组能求出λ的值．【解答】解：＝（2，1，﹣3），＝（﹣1，2，3），＝（7，6，λ），∵，，共面，∴设＝m，则（2，1，﹣3）＝（﹣m+7n，2m+6n，3m+λn），∴，解得m＝﹣，n＝，解得λ＝﹣9．故选：C．【点评】本题考查实数值的求法，考查共面向量定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．【分析】先求出平面ABCD的一个法向量，则在法向量上的投影的绝对值即为这个四棱锥的高．【解答】解：设平面ABCD的法向量为＝（x，y，z），则，即，∴，取z＝1，则＝（0，0，1），∴这个四棱锥的高h＝＝4，故选：D．【点评】本题主要考查了平面的法向量，考查了向量数量积的几何意义，是基础题．8．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果判断A，B．利用异面直线的判断方法判断C，利用D1在面BCC1B1上的射影为C1判断D．【解答】解：设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，A1（2，0，2），E（2，1，0），B（2，2，0），F（0，2，1），D1（0，0，2），D（0，0，0）对于A，＝（﹣2，﹣2，2），＝（﹣2，0，1），设平面BFD1的一个法向量＝（x，y，z），所以得，令x＝1，则z＝2，y＝1，平面BFD1的一个法向量＝（1，1，2），又＝（0，1，﹣2），所以＝﹣3，所以A1E不平行于面BFD1，所以A错误；对于B，＝（2，0，0），＝（0，2，1），＝（0，1，﹣2），∴，∴A1E⊥DA，A1E⊥DF，∴A1E⊥平面ADF，故B正确；对于C，∵A1E⊂面ABB1A1，BF⊄面ABB1A1，且B∉A1E，所以直线A1E与BF为异面直线，故C错误；对于D，∵D1C1⊥面BCC1B1，所以二面角D1﹣BF﹣B1的平面角为锐角，故D错误．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．9．【分析】直接利用单位向量，向量的模，向量的共线和向量的垂直的应用判断①②③的结论．【解答】解：对于任意非零空间向量，对于①：若a1＝a2＝a3＝1，则||＝，故该向量不为单位向量，故①错误；对于②：，反之不一定成立，故②错误；对于③：＝0，故③正确．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：单位向量，向量的共线，向量的垂直，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．10．【分析】利用线面垂直的定义易判断A选项，取特殊位置可验证B，C．【解答】解：A：因为P在面D1C1BA内，而B1C⊥面D1C1BA，所以B1C⊥D1P，所以无论P怎么移动，都有B1C⊥D1P，不存在P点使D1P与BC1不垂直，故A错．B：当P在正方体中心时，|O1P|+|A1P|＝，当P在A或C1时，|D1P|+|A1P|＝1+即：，故存在点P，使|D1P|+|A1P|＝2成立，故B错．C：因为BC∥A1D1，即D1P与BC所成的角即D1P与A1D1所成的角，P在C1时，D1P与A1D1的夹角为，P在A时，D1P与A1D1夹角为，而＜＜，所以存在符合条件的点P，故C错．故选：D．【点评】本题考查了立体几何动态点问题，属于难题．二、填空题共5小题，每小题4分，共20分.11．【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC，由线面垂直的性质得到P A⊥AC，由勾股定理求解PC即可．【解答】解：连接AC，在矩形ABCD中，AD＝4，CD＝3，则AC＝，因为P A⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，则P A⊥AC，在Rt△P AC中，AC＝5，P A＝，则．故答案为：6．【点评】本题考查了空间中线段长度的求解，线面垂直的性质定理的应用，勾股定理的应用，考查了逻辑推理能力、空间想象能力与运算能力，属于基础题．12．【分析】∥，可得，解得m，n．再利用数量积运算性质即可得出．【解答】解：∵∥，∴，解得m＝﹣2，n＝1．∴＝2+18+（﹣2）×（﹣4）＝28．故答案为：28．【点评】本题考查了向量共线定理、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13．【分析】根据空间向量的坐标表示与线性运算和数量积运算，求解即可．【解答】解：由O（0，0，0），A（﹣1，1，0），B（0，2，1），∴＝（﹣1，1，0），且点H在直线OA上，可设H（﹣λ，λ，0），则＝（﹣λ，λ﹣2，﹣1），又BH⊥OA，∴＝0，即（﹣λ，λ﹣2，﹣1）•（﹣1，1，0）＝0，即λ+λ﹣2＝0，解得λ＝1，∴点H（﹣1，1，0）．故答案为：（﹣1，1，0）．【点评】本题考查了空间向量的坐标表示与运算问题，是基础题．14．【分析】由异面直线所成角的定义结合三角形中位线定理找出PB与AC所成的角，求解三角形可得PB与AC 所成的角；再找出PC与AB的公垂线，进一步求解三角形可得PC与AB之间的距离．【解答】解：如图，分别取BC，P A，AB的中点为E，F，H，连接EF，EH，FH，由三角形中位线定理可得，EH∥AC，FH∥PB，则∠EHF（或其补角）即为PB与AC所成的角，∵P A＝AB＝BC＝4，∴PB＝AC＝，则EH＝FH＝，AF＝2，AE＝，EF＝，∴cos∠EHF＝＝，∴∠EHF＝120°，则PB与AC所成的角等于60°；取PC中点为O，连接CH，PH，AO，BO，由已知求解三角形可得AO＝BO＝PC＝，PH＝CH，则OH为异面直线PC与AB的公垂线，∴OH＝，即PC与AB之间的距离等于2．故答案为：60°；．【点评】本题考查空间中异面直线所成角及距离的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．15．【分析】以D为原点，以DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，求出AP与平面BCC1B1所成的角的正弦值的最大值，进一步可得tanθ的最大值．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设P（a，3，c），（0≤a≤3，0≤c≤4），则A（3，0，0），B（3，3，0），D1（0，0，4），＝（a﹣3，3，c），＝（﹣3，﹣3，4），平面BCC1B1的法向量＝（0，1，0），∵AP⊥BD1，∴•＝﹣3（a﹣3）﹣9+4c＝0，解得c＝，∴＝（a﹣3，3，），∵AP与平面BCC1B1所成的角为θ，∴sinθ＝＝＝，∴当a＝时，sinθ取最大值为，此时cosθ＝，∴tanθ的最大值为：＝．故答案为：．【点评】本题考查线面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，训练了利用空间向量求解空间角，考查运算求解能力，是中档题．三、解答题共5小题，共50分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．【分析】（Ⅰ）利用空间向量共线定理，列式求解x的值，由向量模的坐标运算求解即可；（Ⅰ）利用向量垂直的坐标表示，求出x的值，从而得到，由空间向量的夹角公式求解即可．【解答】解：（Ⅰ）空间向量＝（2，4，﹣2），＝（﹣1，0，2），＝（x，2，﹣1），因为∥，所以存在实数k，使得，所以，解得x＝1，则＝；（Ⅰ）因为⊥，则，解得x＝﹣2，所以，故cos＜，＞＝＝．【点评】本题考查了空间向量的坐标运算，空间向量共线定理的应用，向量数量积的坐标运算以及空间向量夹角公式的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．17．【分析】（Ⅰ）由图得到＝++，再由向量模的运算即可求得答案；（Ⅰ）表示出•＝•（﹣），代入数据运算即可．【解答】解：（Ⅰ）由图可得＝+＝++，所以||²＝|++|²＝²+²+²+2•+2•+2•＝2²+1²+1²+2×2×1×cos120°+2×1×1×cos90°+2×2×1×cos120°＝4+1+1﹣2﹣2＝2，则||＝；（Ⅰ）因为＝﹣，所以•＝•（﹣）＝•﹣•＝2×1×cos120°﹣2×1×cos120°＝0．【点评】本题考查平面向量数量积的运算性质，考查向量模的求解，数形结合思想，属于中档题．18．【分析】（1）以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由向量法求出直线AM和A1C所成角的余弦值；（2）点M在线段A1B1上，设，求出平面ABC1所法向量，利用夹角公式求出x，代入求出M 的坐标．【解答】解：（1）以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（4，0，0），，，因为A1M＝3MB1，所以，所以，，所以．所以异面直线AM和A1C所成角的余弦值为；（2）由A（4，0，0），B（0，4，0），，得，，设平面ABC1的法向量为，由得，令a＝1，则b＝1，，所以平面ABC1的一个法向量为，因为点M在线段A1B1上，设，所以，因为直线AM与平面ABC1所成角为30°，所以，由，得，解得x＝2或x＝6，为点M在线段A1B1上，所以x＝2，即点是线段A1B1的中点．【点评】考查向量法求直线与平面，异面直线所成的角，考查空间想象能力和数学运算能力，中档题．19．【分析】以C为原点，CB所在直线为x轴，CE所在直线为y轴，CD所在直线为z轴建立空间直角坐标系．（Ⅰ）为平面CDE的一个法向量，证明AF∥平面CDE，只需证明＝0×2+2×0+（﹣4）×0＝0；（Ⅰ）求出平面CDE的一个法向量、平面AEF一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面CDE与平面AEF 所成锐二面角的余弦值；（Ⅰ）由点到面的距离公式可得．【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形BCEF为直角梯形，四边形ABCD为矩形，∴BC⊥CE，BC⊥CD，又∵平面ABCD⊥平面BCEF，且平面ABCD∩平面BCEF＝BC，∴DC⊥平面BCEF．以C为原点，CB所在直线为x轴，CE所在直线为y轴，CD所在直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系．根据题意我们可得以下点的坐标：A（2，0，4），B（2，0，0），C（0，0，0），D（0，0，4），E（0，4，0），F（2，2，0），则＝（0，2，﹣4），＝（2，0，0）．∵BC⊥CD，BC⊥CE，∴为平面CDE的一个法向量．又＝0．AF⊄平面CDE．∴AF∥平面CDE．（Ⅰ）由（I）知＝（2，0，0）为平面CDE的一个法向量，由（I）知＝（﹣2，4，﹣4），＝（0，2，﹣4）设平面AEF的一个法向量＝（x，y，z），则，∴，令z＝1，则y＝2，x＝2，∴平面AEF的一个法向量＝（2，2，1），cos＜＞＝＝，平面CDE与平面AEF所成锐二面角的余弦值为；（III）由（I）知＝（2，0，4），又平面AEF的一个法向量＝（2，2，1），所以点C到平面AEF的距离d＝＝，【点评】本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角及三角函数及空间坐标系等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力．20．【分析】（Ⅰ）由题中的定义计算距离d（A，B）即可；（Ⅰ）由题中的定义首先证明：∀A，B，C∈S n，有A﹣B∈S n，然后证明d（A﹣C，B﹣C）＝d（A，B）即可．（Ⅰ）结合（Ⅰ）中的结论和奇数偶数的性质即可证得题中的结论．【解答】（Ⅰ）解：由题意得，A﹣B＝（|0﹣1|，|1﹣1|，|0﹣1|，|0﹣0|，|1﹣0|）＝（1，0，1，0，1），d（A，B）＝|0﹣1|+|1﹣1|+|0﹣1|+|0﹣0|+|1﹣0|＝3．（Ⅰ）证明：设A＝（a1，a2，…，a n），B＝（b1，b2，…，b n），C＝（c1，c2，…，c n）∈S n，因为a i，b i∈{0，1}，所以|a i﹣b i|∈{0，1}（i＝1，2，n），从而A﹣B＝（|a1﹣b1|，|a2﹣b2|，⋯，|a n﹣b n|）∈S n，由题意知a i，b i，c i∈{0，1}（i＝1，2，⋯，n），当c i＝0时，|a i﹣c i|﹣|b i﹣c i|＝|a i﹣b i|，当c i＝1时，|a i﹣c i|﹣|b i﹣c i|＝|（1﹣a i）﹣（1﹣b i）|＝|a i﹣b i|．所以．（Ⅰ）证明：设A＝（a1，a2，…，a n），B＝（b1，b2，…，b n），C＝（c1，c2，…，c n）∈S n，d（A，B）＝k，d（A，C）＝l，d（B，C）＝h，记0＝（0，0，…，0）∈S n，由（Ⅰ）可知：，因为|a i﹣b i|∈{0，1}，，所以|b i﹣a i|（i＝1，2，⋯，n）中1的个数为k，|c i﹣a i|（i＝1，2，⋯，n）中1的个数为l，设t是使|b i﹣a i|＝|c i﹣a i|＝1成立的i的个数．则h＝l+k﹣2t，由此可知，k，l，h三个数不可能都是奇数，即d（A，B），d（A，C），d（B，C）三个数中至少有一个是偶数．【点评】本题主要考查数列中的新定义及其应用，反证法及其应用等知识，属于中等题．。

2022-2023学年广西玉林市北流市实验中学高二上学期9月月考数学试题一、单选题1．直线220x y -+=在x 轴上的截距是（ ） A ．1- B ．1 C ．2- D ．2【答案】A【分析】根据截距的概念运算求解.【详解】令0y =，则2020x -+=，解得1x =- ∴直线220x y -+=在x 轴上的截距是1- 故选：A.2．过点(2,3)A 且平行于直线250x y +-=的直线的方程为（ ） A ．240x y -+= B ．270x y +-= C ．280x y +-= D ．4250x y +-=【答案】B【分析】根据平行设直线方程为20x y C ++=，代入点计算得到答案.【详解】设直线方程为20x y C ++=，将点(2,3)A 代入直线方程得到430C ++=，解得7C =-.故直线方程为：270x y +-=. 故选：B.3．“2a =”是“直线1l ：2430ax y ++=与直线2l ：()2150x a y ---=垂直”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】求出两直线垂直的充要条件后再根据充分必要条件的定义判断． 【详解】若12l l ⊥，则()22410a a --=，解得2a =或12a =. 所以由2a =可以得到12l l ⊥，反之则不然，故“2a =”是“12 l l ⊥”的充分不必要条件. 故选：A.4．已知直线l 的方向向量(1,2,1)a =-，平面α的法向量(2,2,2)b =--，则直线l 与平面α的位置关系是（ ） A ．//l αB ．l α⊥C ．l α⊂D ．以上选项都不对 【答案】D【分析】计算得到0a b ⋅=，得到a b ⊥，即直线l 与平面α的位置关系是l α∥或l α⊂，得到答案.【详解】(1,2,1)a =-，(2,2,2)b =--，则2420a b ⋅=-+=，故a b ⊥， 故直线l 与平面α的位置关系是l α∥或l α⊂. 故选：D.5．已知平面α，β的法向量分别为()2,3,a λ=和()4,,2b μ=-（其中,R λμ∈），若//αβ，则λμ+的值为（ ） A ．52-B ．-5C ．52D ．5【答案】D【分析】根据平面平行得到//a b ，故()()2,3,4,,2k λμ=-，计算得到答案.【详解】//αβ，则//a b ，故()()2,3,4,,2k λμ=-，即2432kk kμλ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩，解得61μλ=⎧⎨=-⎩. 故5λμ+=. 故选：D .【点睛】本题考查了法向量的平行问题，意在考查学生的计算能力. 6．直线3460x y +-=关于y 轴对称的直线方程是（ ） A ．3x -4y -6=0 B ．4x -3y -6=0 C ．3x -4y +6=0 D ．4x -3y +6=0【答案】C【分析】求出直线3460x y +-=与y 轴的交点，并求出直线3460x y +-=的斜率，由此可得出所求直线的方程.【详解】直线3460x y +-=交y 轴于点30,2⎛⎫⎪⎝⎭，且直线3460x y +-=的斜率为34k =-， 故所求直线的斜率为34，故所求直线的方程为3324y x -=，即3460x y -+=. 故选：C.7．在空间中，已知()2,4,0AB =，()1,3,0BC =-，则ABC ∠的大小为（ ） A ．135︒B ．90C ．120 D ．45【答案】A【分析】结合向量夹角公式计算出ABC ∠的大小. 【详解】()()2,4,0,1,3,0BA BC =--=-， 212102cos 241619102BA BC ABC BA BC⋅--∠====-+⋅+⋅，由于0180ABC ︒≤∠≤︒，所以135ABC ∠=︒. 故选：A8．在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为（ ）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6【答案】D【分析】平移直线1AD 至1BC ，将直线PB 与1AD 所成的角转化为PB 与1BC 所成的角，解三角形即可.【详解】如图，连接11,,BC PC PB ，因为1AD ∥1BC ， 所以1PBC ∠或其补角为直线PB 与1AD 所成的角，因为1BB ⊥平面1111D C B A ，所以11BB PC ⊥，又111PC B D ⊥，1111BB B D B ⋂=， 所以1PC ⊥平面1PBB ，所以1PC PB ⊥， 设正方体棱长为2，则1111122,22BC PC D B === 1111sin 2PC PBC BC ∠==，所以16PBC π∠=. 故选：D二、多选题9．在以下命题中，不正确的命题有（ ） A ．a b a b -=+是,a b 共线的充要条件 B ．若//a b ，则存在唯一的实数λ，使a b λ=C ．对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若223OP OA OB OC =+-，则P ，A ，B ，C 四点共面D ．若{},,a b c 为空间的一个基底，则{},,a b b c c a +++构成空间的另一个基底 【答案】AB【分析】利用a b a b -≤+等号成立的条件可判断A ；利用0与任意向量共线可判断B ；利用共面定理可判断C ；利用基底的概念可判断D【详解】对于A ：向量,a b 同向时，a b a b -≠+，故A 错误； 对于B ：需要强调0b ≠，故B 错误；对于C ：因为2231+-=，则由共面定理知P ，A ，B ，C 四点共面，故C 正确； 对于D ：{},,a b c 为空间的一个基底，则,,a b c 不共面，故,,a b b c c a +++也不共面， 所以{},,a b b c c a +++构成空间的另一个基底，故D 正确； 故选：AB10．已知直线1:0l x ay a +-=和直线2:(23)20l ax a y a --+-=，则（ ）A ．2l 始终过定点12(,)33B ．若2l 在x 轴和y 轴上的截距相等，则1a =C ．若12l l ⊥，则0a =或2D ．若12l l //，则1a =或3-【答案】AC【分析】结合直线所过定点的求法、直线的截距、直线平行和垂直等知识对选项进行分析，由此确定正确选项.【详解】2:(23)20l ax a y a --+-=化为(21)320a x y y -++-=， 由210x y -+=且320y -=解得12,33x y ==，即直线2l 恒过定点12(,)33，故A 正确；若2l 在x 轴和y 轴上截距相等，则2l 过原点或其斜率为1-，则2a =或()1123aa a -=-⇒=--，故B 错误；若12l l ⊥，则1(32)0a a a ⨯+⨯-=解得0a =或2，故C 正确； 若12l l //，则先由1(32)a a a ⨯-=⨯解得1a =或3-， 再检验当1a =时12,l l 重合，故D 错误. 故选：AC11．下列各命题正确的是（ ）A ．点()1,2,3-关于平面xOz 的对称点为()1,2,3B ．点1,1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭关于y 的对称点为1,1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．点()2,1,3-到平面yOz 的距离为1D ．设{},,i j k 是空间向量单位正交基底且以i ，j ，k 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立了一个空间直角坐标系，若324m i j k =-+，则()3,2,4m =- 【答案】ABD【分析】利用空间直角坐标系中的点的对称关系、距离、坐标分析判断 【详解】对于A ，点()1,2,3-关于平面xOz 的对称点为()1,2,3，所以A 正确， 对于B ，点1,1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭关于y 的对称点为1,1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以B 正确，对于C ，点()2,1,3-到平面yOz 的距离为2，所以C 错误，对于D ，由于{},,i j k 是空间向量单位正交基底且以i ，j ，k 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立了一个空间直角坐标系，且324m i j k =-+，所以，所以D 正确，故选：ABD12．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，下列四个结论中正确的是（ ）A ．直线1BC 与直线1AD 所成的角为90B ．直线1BC 与平面1ACDC ．1BD ⊥平面1ACDD ．点1B 到平面1ACD【答案】ABC【分析】如图建立空间直角坐标系，求出1B C 和1AD 的坐标，由110AD BC ⋅=可判断A ；证明10AC B D ⋅=，110AD B D ⋅=可得1AC B D ⊥，11AD B D ⊥，由线面垂直的判定定理可判断C ；计算11cos ,B D B C 的值可得线面角的正弦值，再由同角三角函数基本关系求出夹角的余弦值可判断B ；利用向量求出点1B 到平面1ACD 的距离可判断D ，进而可得正确选项.【详解】如图以D 为原点，分别以1,,DA DC DD 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()1,0,0A ()0,1,0C ，()10,0,1D ，()11,1,1B ， 对于A ：()11,0,1B C =--，()11,0,1AD =-，因为()()()111100110B AD C =⋅-⨯-+⨯+-⨯=，所以11AD BC ⊥，即11B C AD ⊥，直线1B C 与直线1AD 所成的角为90，故选项A 正确；对于C ：因为 ()1,1,0AC =-，()11,0,1AD =-，()11,1,1B D =---，所以11100AC B D ⋅=-+=，111010AD B D ⋅=+-=，所以1AC B D ⊥，11AD B D ⊥， 因为1ACAD A =，所以1B D ⊥平面1ACD ，故选项C 正确；对于B ：由选项C 知：1B D ⊥平面1ACD ，所以平面1ACD 的一个法向量()11,1,1B D =---，因为()11,0,1B C =--，所以111111cos ,3B D B C B D B C B DB C⋅===即直线1B C 与平面1ACD，所以直线1B C 与平面1ACD 所成角的余弦值为=B 正确； 对于D ：因为()11,0,1B C =--，平面1ACD 的一个法向量()11,1,1B D =---，所以点1B 到平面1ACD 的距离为11123332B D B C d B D⋅===，故选项D 不正确 故选：ABC.三、填空题13．直线l 3320x y +-=的倾斜角是______ 【答案】56π【分析】将一般式方程整理为斜截式方程可得直线斜率，由斜率和倾斜角关系求得倾斜角.【详解】3320x y +-=得：323y x =+， 所以直线的斜率为[]30k θπ=∈，， ∴直线的倾斜角为56π. 故答案为：56π. 14．过原点且方向向量为()1,2a =-的直线方程为______． 【答案】20x y +=【分析】利用直线的方向向量可得直线的斜率，进而得出直线的方程． 【详解】解：过原点且方向向量为(1,2)a =-的直线的斜率为221-=-， 故方程为：2y x =-，即20x y +=. 故答案为：20x y +=．15．函数()2225618f x x x x x -+-+________．【答案】29【解析】根据题意，其几何意义为点(),0P x 到点()1,2A ，()3,3B 两点的距离之和，故y PA PB PC PB BC =+=+≥，再根据距离公式求解即可.【详解】解：因为()()()2222256181439f x x x x x x x =-++-+=-++-+，几何意义为点(),0P x 到点()1,2A ，()3,3B 两点的距离之和，()1,2A 关于x 轴的对称点()1,2C -，()()22313229y PA PB PC PB BC =+=+≥=-++=，当且仅当,,B P C 三点共线时y 的值最小为29BC = 故答案为：29【点睛】本题考查两点之间距离公式的妙用，涉及函数最值的求解，属基础题. 16．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,O 是底面1111D C B A 的中心，则O 到平面11ABC D 的距离为______．2【解析】以D 为原点，1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到平面的距离即可.【详解】以D 为原点，1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 易得11,,122O ⎛⎫⎪⎝⎭,()()11,0,0,.0,0,1A D()()10,1,0,1,0,1AB AD ==-,设平面11ABC D 的法向量为(),,n x y z =, 1·0·0AB n y AD n x z ⎧==⎪⎨=-+=⎪⎩,令1x =,则()1,0,1n =，11,,122AO ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,O ∴到平面11ABC D 的距离11·2242AO n d n -+===, 故答案为：24.【点睛】本题考查点到平面的距离的求法，常用的方法有等体积法，垂线法，空间向量方法，利用空间向量方法求解是比较方便的方法.四、解答题17．已知点(1,1)(2,4)、-A B . (1)求直线AB 的倾斜角(2)过点(1,0)P 的直线m 与过(1,1)(2,4)、-A B 两点的线段有公共点，求直线m 斜率的取值范围.【答案】(1)4πα=(2)[)14,2，-⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）利用两点式得到直线斜率，从而可得直线AB 的倾斜角； （2）求出直线PA 与直线PB 的斜率，从而可得结果. 【详解】(1)由已知得：直线AB 的斜率()41121k -==--tan 1,α∴=又[)0,,4παπα∈∴=(2)直线PA 的斜率101112-==---PA k 直线PB 的斜率40421-==-PB k 过点直线m 与过AB 、两点的线段有公共点，∴直线m 斜率的取值范围为[)14,2，-⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦18．已知直线11:42m l y x =-+与直线22:55nl y x =+垂直，垂足为()1,H p ，求过点H ，且斜率为m pm n++的直线方程. 【答案】42y x =-+【分析】根据垂直关系得到10m =，结合垂足在直线上得到H (1，-2)及12n =-，从而可得直线方程.【详解】解：∵12l l ⊥∴2145m -⨯=-解得10m =，∴直线l 1的方程为5122y x =-+.又∵点()1,H p 在直线l 1上，∴511222p =-⨯+=-，即H (1，-2).又∵点H (1，-2)在直线l 2上，22155n-=⨯+.解得12n =-，∴所求直线的斜率为4m pm n+=-+，其方程为()241y x +=--，即42y x =-+ 19．已知点(3,5)A -和(2,15)B ，P 为直线10x y -+=上的动点. (1)求(3,5)A -关于直线10x y -+=的对称点0(A x '，0)y ， (2)求PA PB +的最小值. 【答案】(1)(4,2)- 293【分析】（1）根据点,A A '的中点在直线10x y -+=上，直线AA '和直线10x y -+=垂直，列出方程，解方程即可得出答案；（2）PA PB PA PB A B ''+=+≥，当且仅当,,P A B '三点共线时，取等号，即可求出PA PB +的最小值为A B '，代入即可得出答案.【详解】(1)(3,5)A -关于直线10x y -+=的对称点设为0(A x '，0)y ，则0000351022513x y y x -++⎧-+=⎪⎪⎨-⎪=-+⎪⎩，解得04x =，02y =-， 所以A '的坐标为(4,2)-.(2)由（1）及已知得：PA PB PA PB A B ''+=+≥，当且仅当,,P A B '三点共线时，取等号， 则PA PB +的最小值为：||A B '20．已知(,4,1)a x =，(2,,1)b y =--，(3,2,)c z =-，//a b ，b c ⊥.（1）求实数x ，y ，z 的值；（2）求a c +与b c +夹角的余弦值.【答案】（1）x =2，y =-4，z =2；（2）219-. 【分析】（1）直接利用向量平行和向量垂直即可求出x ，y ，z 的值；（2）先求出()5,2,3,a c += ()1,6,1b c +=-利用向量的夹角公式即可求解.【详解】（1）因为(,4,1)a x =，(2,,1)b y =--，(3,2,)c z =-，//a b ，b c ⊥. 所以()()41,232021x y z y ==-⨯+⨯--=--， 解得：x =2，y =-4，z =2.（2）由（1）知：(2,4,1)a =，(2,4,1)b =---，(3,2,2)c =-，所以()5,2,3,a c += ()1,6,1b c +=-.设a c +与b c +夹角为θ[]()0,θπ∈，则2cos 19θ==-即a c +与b c +夹角的余弦值为219-. 21．如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D1的底面是菱形，AA1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB1，A1D 的中点.（1）证明：MN ∥平面C1DE ；（2）求点C 到平面C1DE 的距离．【答案】（1）见解析；（2）41717. 【分析】（1）利用三角形中位线和11//A D B C 可证得//ME ND ，证得四边形MNDE 为平行四边形，进而证得//MN DE ，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）根据题意求得三棱锥1C CDE -的体积，再求出1C DE ∆的面积，利用11C CDE C C DE V V --=求得点C 到平面1C DE 的距离，得到结果.【详解】（1）连接ME ，1B CM ，E 分别为1BB ，BC 中点 ME ∴为1B BC ∆的中位线1//ME B C ∴且112ME B C = 又N 为1A D 中点，且11//A D B C 1//ND B C ∴且112ND B C = //ME ND ∴ ∴四边形MNDE 为平行四边形//MN DE ∴，又MN ⊄平面1C DE ，DE ⊂平面1C DE//MN ∴平面1C DE（2）在菱形ABCD 中，E 为BC 中点，所以DE BC ⊥， 根据题意有3DE =，117C E =， 因为棱柱为直棱柱，所以有DE ⊥平面11BCC B ，所以1DE EC ⊥，所以113172DEC S ∆=⨯⨯， 设点C 到平面1C DE 的距离为d ，根据题意有11C CDE C C DE V V --=，则有11113171343232d ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯， 解得44171717d ==， 所以点C 到平面1C DE 的距离为41717. 【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，点到平面的距离的求解，在解题的过程中，注意要熟记线面平行的判定定理的内容，注意平行线的寻找思路，再者就是利用等积法求点到平面的距离是文科生常考的内容. 22．如图，已知四棱锥P -ABCD 的底面为直角梯形，AB DC ∥，90DAB ∠=︒，PA ⊥底面ABCD ，且112PA AD DC AB ====，M 是棱PB 的中点.(1)证明：平面PAD ⊥平面PCD ；(2)求平面AMC 与平面BMC 的夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)23【分析】（1）根据线面垂直的判定定理先证明DC ⊥平面P AD ，再根据面面垂直的判定定理证明平面PAD ⊥平面PCD ；（2）建立空间直角坐标系，求出相关各点的坐标，继而求得相关向量的坐标，再求出相关平面AMC 和平面BMC 的法向量，根据向量的夹角公式求得答案【详解】(1)∵PA ⊥底面ABCD ，DC ⊂底面ABCD ，∴PA DC ⊥,又由题设知AD DC ⊥，且直线P A 与AD 是平面P AD 内的两条相交直线， ∴DC ⊥平面P AD .又DC ⊂平面PCD ，∴平面PAD ⊥平面PCD .(2)∵PA AD ⊥，PA AB ⊥，AD AB ⊥，∴以A 为坐标原点，以AD 为x 轴，以AB 为y 轴，以AP 为z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系.则()0,0,0A ，()0,2,0B ，()1,1,0C ，()0,0,1P ,10,1,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 10,1,2AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭,(1,1,0)AC =, 设平面AMC 的法向量为()1,,n x y z =，则由1100n AM n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得1020y z x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，得2z y x y =-⎧⎨=-⎩， 令1y =，得()11,1,2n =--为平面AMC 的一个法向量. 由10,1,2BM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11,0,2MC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 设平面BMC 的一个法向量为()2,,n a b c =，则2200n BM n MC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即102102b c a c ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 令1a = ,可得平面BMC 的一个法向量为()21,1,2n =. ∴1212122cos ,3n n n n n n ⋅==-,2 3.故所求平面AMC与平面BMC的夹角的余弦值为。

北京市首都师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题一、单选题1．已知i 1i z=-，则z = （ ）A ．0B ．1C D ．22．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AB AD AA --=u u u r u u u r u u u r（ ）A ．1AC uuu rB ．1AC u u u rC ．1D B u u u u rD ．1DB u u u u r3．已知()2,3,1A --，()6,5,3B -，则AB u u u r的坐标为（ ） A ．()8,8,4--B ．()8,8,4-C ．()8,8,4-D ．()8,8,4--4．如图，已知正方体ABCD A B C D -''''的棱长为1，AA DB ''⋅=u u u r u u u u r（ ）A．1B C D ．1-5．设1n u r ，2n u u r分别是平面α，β的法向量，其中()11,,2n y =-u r ，()2,2,1n x =-u u r ，若αβ∥，则x y +=（ ）A ．92-B ．72- C ．3 D ．726．已知直线1l 的方向向量为()0,0,1u =r，直线2l 的方向向量为()1v =-r ，则直线1l 与2l 所成角的度数为（ ）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒7．已知n r 为平面α的一个法向量，a r 为直线l 的一个方向向量，则“a n ⊥r r”是“//l α”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知点,,,O A B C 为空间不共面的四点，且向量a OA OB OC =++r u u u r u u u r u u u r ，向量b OA OB OC =+-r u u u r u u u r u u u r，则与,a b r r不能构成空间基底的向量是( )A ．OA u u u rB ．OB u u u rC ．OC u u u rD ．OA u u u r 或OB u u u r9．在空间直角坐标系Oxyz 中，点()2,1,1A 在坐标平面Oxz 内的射影为点B ，且关于y 轴的对称点为点C ，则B ，C 两点间的距离为（ ）AB ．C ．D 10．在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD 中，M ，N 分别为BC ，AD 的中点，则AM 和CN 夹角的余弦值为（ ）A ．23B C ．13D ．23-二、填空题11．已知向量()2,3,1a =-r ，则与a r共线的单位向量为.12．已知向量()2,0,1a =-r ，(),2,1b m =-r 且a b ⊥r r，则m =，a b +=r r .13．已知直线l 经过()1,0,1A ，()2,0,0B 两点，则点()2,1,4P 到直线l 的距离为.14．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0AB =u u u r ，()0,2,0AC =u u u r ，()0,0,2AD =u u u r .则CD u u u r 与CB u u ur 的夹角的余弦值为；CD u u u r 在CB u u u r 的投影向量a =r . 15．以下关于空间向量的说法：①若非零向量a r ，b r ，c r满足//a b r r ，//b c r r ，则//a c r r②任意向量a r ，b r ，c r满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r③若{},,OA OB OC u u u r u u u r u u u r 为空间向量的一组基底，且221333OD OA OB OC =+-u u u r u u u r u u u r u u u r，则A ，B ，C ，D四点共面④已知向量()1,1,a x =r ，()3,,9b x =-r ，若310x <，则,a b r r 为钝角其中正确命题的序号是.三、解答题16．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，E 为线段11B C 的中点.(1)求证：11AA D E ⊥； (2)求平面1D BE 的法向量； (3)求点1A 到平面1D BE 的距离.17．如图，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，高为4，D 为1CC 的中点，E 为11A B 的中点.(1)求证：1//C E 平面1A BD ；(2)求直线BC 与平面1A BD 所成角的正弦值.18．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，4AB =，2AD =，1AA =60BAD ∠=︒，1145BAA DAA ∠=∠=︒，AC 与BD 相交于点O ，设AB a u u u r r=，AD b =u u u r r ，1AA c =u u u r r .(1)试用基底{},,a b c r r r表示向量1OA u u u r ；(2)求1OA 的长；(3)求直线1OA 与直线BC 所成角.19．如图，四棱锥S --ABCD P 为侧棱SD 上的点．（1）求证：AC ⊥SD ；（2）若SD ⊥平面P AC ，求平面P AC 与平面ACD 的夹角大小；（3）在（2）的条件下，侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面P AC ．若存在，求SE ∶EC 的值；若不存在，试说明理由．。

安徽省六安市第一中学2017-2018学年高二9月月考数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知数列{}{},n n a b 满足11,12n n a a b =+=，121n n n b b a +=-，则2017b =（ ）A ．20172018 B ．20182017 C ．20152016 D ．201620152．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第九日所织尺数为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．113.在等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则10122a a -的值为（ ） A ．20 B ．22 C ．24 D ．284. 在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若ABC ∆的面积为S ，且()222S a b c =+-，则tan C 等于（ ） A ．34 B ．43 C ．43- D ．34- 5.已知在ABC ∆中45,A AC =︒=若ABC ∆的解有且仅有一个，则BC 满足的条件是（ ） A ．4BC = B．BC ≥．4BC ≤≤ D ．4BC =或BC ≥6.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足643a b c ==，则sin 2sin sin AB C=+（ ）A ．1114-B ．127C ．1124-D ．712- 7.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()cos cos 1,2A C B a c -+==，则C =（ ） A ．6π或56π B ．6π C ．3π或23π D ．3π 8. 已知等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若对于任意的自然数n ，都有2343n n S n T n -=-，则()3153392102a a a b b b b ++=++（ ）A ．1941 B ．1737 C ．715 D ．20419. 在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，a 上的高为h ，且3a h =，则c bb c +的最大值为（ ）A ．3B ．2 D 10.已知首项为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1008a 和1009a 是方程2201720180x x --=的两根，则使0n S >成立的正整数n 的最大值是（ ）A ．1008B ．1009C ．2016D ．2017 11. 在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若111,,tan tan tan A B C依次成等差数列，则（ ）A.,,a b c 依次成等差数列依次成等差数列 C.222,,a b c 依次成等差数列D.333,,a b c 依次成等差数列12. 在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知22sin cos sin cos 4sin ,cos c A A a C C B B +=D 是线段AC 上一点，且23BCD S ∆=，则AD AC=（ ） A ．49 B ．59C ．23D ．109 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在等差数列{}n a 中，2526,15,n n a a b a ===，则数列{}n b 的前5项和5S = ．14. 在ABC ∆中，60,A BC ∠=︒=,D 是AB 边上的一点，CD =CBD ∆的面积为 1，则AC 边的长为 ．15.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()94=18,309,336k k S a k S -=>=，则k = ．16.已知三角形ABC 中，BC 边上的高与BC 边长相等，则2AC AB BC AB AC AB AC ++⋅的最大值是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 等差数列{}n a的前n项和为n S，若575,49a S=-=-（1）求数列{}n a的通项公式n a和前n项和n S；（2）求数列{}n a的前24项和24T.18.已知,,a b c分别是ABC∆角,,A B C的对边，满足sin4sin4sinac A C c A+=（1）求a的值；（2）ABC∆的外接圆为圆O(O在ABC∆内部)，3,43OBCS b c∆=+=，判断ABC∆的形状，并说明理由.19. 如图，在四边形ABCD中，:2:3,73ABC AB BC ACπ∠===，.（1）求sin ACB∠的值；（2）若314BCD CDπ∠==，，求ACD∆的面积.20. 在ABC∆中，内角,,A B C所对的边分别为,,a b c，且cos cos2cosa Bb Ac A+=.（1）若ABC∆的面积3S，求证：2a（2）如图，在（1）的条件下，若,M N分别为,AC AB的中点，且13BMCN=，求,b c.21. 已知数列{}n a中，()*1111,22,4nna a n n Na-==-≥∈，数列{}n b满足()*11nnb n Na=∈-. （1）求证:数列{}n b是等差数列，写出{}n b的通项公式；（2）求数列{}n a的通项公式及数列{}n a中的最大项与最小项.22.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，()2*11,22n n a S na n n n N ==-+∈. （1）求证：数列{}n a 为等差数列，并分别写出n a 和n S 关于n 的表达式； （2）是否存在自然数n ，使得3212112423n nS S S S n+++++=？若存在，求出n 的值；若不存在，请说明理由； （3）设()()*27n n c n N n a =∈+，()*123n n T c c c c n N =++++∈，若不等式()32n mT m Z >∈对*n N ∈恒成立，求m 的最大值.试卷答案一、选择题1-5: ABCCD 6-10:ABABC 11、12：CB 二、填空题三、解答题17.解：（1）由题得1145767492a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=-⎪⎩，1132a d =-⎧⎨=⎩ ∴215n a n =-，()14n S n n =-（2）当17n ≤≤时，0n a <，当8n >时，0n a > ()()724=771449,242414240S S ⨯-=-=⨯-=∴()2472472472338T S S S S S =+-=-= 18.解：（1）由正弦定理可知，sin ,sin 22a cA C R R==，则 2sin 4sin 4sin 44ac A C c A a c c ac +=⇔+=，∵0c ≠，∴()222444420a c c ac a a a +=⇔+=⇔-=，可得2a =. （2）记BC 中点为D，12OBC S BC OD OD ∆=⋅⋅==120BOC ∠=︒， 圆O的半径为r =，由正弦公式可知sin 2a A r =，故60A =︒， 由余弦定理可知，2222cos a b c bc A =+-，由上可得224b c bc =+-，又4b c +=，则2b c ==，故ABC ∆为等边三角形.19.解：（1）由:2:3AB BC =，可设2,3AB x BC x ==.又∵3AC ABC π=∠=，∴由余弦定理，得()()22232232cos3x x x x π=+-⨯⨯，解得1x =，∴23AB BC ==，，由正弦定理，得2sinsinAB ABCACBAC∠∠===（2）由（1）得cos ACB∠=因为34BCDπ∠=，所以34ACD ACBπ∠+∠=,333sin sin sin cos cos sin444ACD ACB ACB ACBπππ⎛⎫∠=-∠=∠-∠⎪⎝⎭(214+=+=又因为1CD=，所以1sin2S AC CD ACD=⨯⨯∠=20.解：（1）由cos cos2cosa Bb Ac A+=，得sin cos sin cos2sin cosA B B A C A+=，即()sin2sin cosA B C A+=，所以1cos2A=，∴3Aπ=，由1sin2S bc A=2bc=.在ABC∆中，由余弦定理可得()22222a b c bc b c bc bc=+-=-+≥=，所以a.（2）因为,M N分别为,AC AB的中点，在ABM∆中，由余弦定理可得222142bBM c bc=+-，在ACN∆中，由余弦定理可得222142cCN b bc=+-，由BMCN=可得2222113142442b cc bc b bc⎛⎫+-=+-⎪⎝⎭，整理得()()820c b c b+-=，所以2c b=，由2bc=，可得1,2b c==.21. 解：（1）因为11111111111121n nn n nnb ba a aa-----=-=------111111nn naa a---=-=-，所以{}n b是等差数列，又143b=-，故()471133nb n n=-+-⋅=-.（2）由（1）得13117373nann=+=+--，要使na最大，则需370n->且37n-最小，所以3n=，故()3max52na a==，要使na最小，则需370n-<且37n-最小，所以2n=，故()2min2na a==-.22．解:（1）由()2*22n nS na n n n N=-+∈，得()()()()211121212n nS n a n n n--=---+-≥相减得()()()()111441141n n n n na na n a n n a n a n--=---+⇒---=-()142n na a n-⇒-=≥故数列{}n a 是以1为首项，以4为公差的等差数列， 所以()()*11443n a n n n N =+-⨯=-∈，()()12*22n n n a a S n n n N +==-∈（2）由知()*21nS n n N n=-∈，所以 ()321213521223n n nS S S S n n+++++=++++-+()2121222n n n n n +-⎡⎤⎣⎦=+=+ 由221124n n +=，得10n =，即存在满足条件的自然数10n = （3）()()2111172121n n c n a n n n n ⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭，123111111122231n n T c c c c n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()1112121n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭， ∵()()()()11102221221n n n n T T n n n n ++-=-=>++++，∴1n n T T +<，即n T 单调递增故()1min 14n T T ==，要使32n m T >恒成立，只需1324m <成立，即()8m m Z <∈，故max 7m =.。

华科附中2022-2023学年上学期9月月考高二数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若复数z 满足(1i)i z −=，则下列说法正确的是（ ） A. z 的虚部为1i 2B. z 的共轭复数为11i 22z =−+ C. z 对应的点在第二象限 D. 1z =【答案】C 【解析】【分析】根据已知条件及复数的除法法则，再利用复数的概念及共轭复数，结合复数的几何意义及复数的摸公式即可求解.【详解】由(1i)i z −=，得()()()i 1i i 1i11i 1i 1i 1i 222z ×+−+====−+−−×+， 对于A ，复数z 的虚部为12，故A 不正确；对于B ，复数z 共轭复数为11i 22z =−−，故B 不正确；对于C ，复数z 对应的点为12 −，所以复数z 对应的点在第二象限，故C 正确； 对于D，z =D 不正确. 故选：C.2. 在下列条件中，一定能使空间中的四点,,,M A B C 共面的是（ ）A. 2OM OA OB OC −−B. 111532OM OA OB OC =++C. 20MA MB MC ++=D. 0OM OA OB OC +++=【答案】C 【解析】【分析】根据向量共面定理，OM xOA yOB zOC =++，若A ，B ，C 不共线，且A ，B ，C ，M 共面，则其充要条件是1x y z ++=，由此可判断出答案. 的【详解】根据向量共面定理，OM xOA yOB zOC =++，若A ，B ，C 不共线，且A ，B ，C ，M 共面，则其充要条件是1x y z ++=， 由此可得A ，B ，D 不正确，选项C ：2MA MB MC −=−，所以,,,M A B C 四点共面， 故选：C.3. 已知向量(2,0,1)n =为平面α的法向量，点(1,2,1)A −在α内，则点(1,2,2)P 到平面α的距离为（ ）A.B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】直接利用点到面的距离的向量求法求解即可 【详解】因为(1,2,1)A −，(1,2,2)P所以(2,0,1)PA =−− ，因为平面α的法向量(2,0,1)n =，所以点P 到平面α的距离||||PA n d n ⋅=.故选：B【点睛】此题考查利用向量求点到面的距离，属于基础题4. 已知A ，B ，C ，D ，E 是空间中的五个点，其中点A ，B ，C 不共线，则“存在实数x ，y ，使得DE x AB y AC =+是“//DE 平面ABC ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用存在实数x ，y ，使得DE x AB y AC =+⇔//DE 平面ABC 或DE ⊂平面ABC ，结合充分必要条件的定义即可求解.【详解】若//DE 平面ABC ，则,,DE AB AC 共面，故存在实数x ，y ，使得DE x AB y AC =+，所以必要性成立；若存在实数x ，y ，使得DE x AB y AC =+ ，则,,DE AB AC 共面，则//DE 平面ABC 或DE ⊂平面ABC ，所以充分性不成立；所以 “存在实数x ，y ，使得DE x AB y AC =+是“//DE 平面ABC ”的必要不充分条件，故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查空间向量共面的问题，理清存在实数x ，y ，使得DE xAB y AC =+⇔//DE 平面ABC 或DE ⊂平面ABC 是解题的关键，属于基础题.5. 在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2sin 0,0,,1,2c b C B b a π−=∈，则ABC 的面积为（）A.或14 B.或14C.D.或34 【答案】C 【解析】B ，然后利用余弦定理求得c ，代入三角形面积公式即可. 【详解】因为2sin 0c bC −=，由正弦定理sin 2sin sin 0C B C −=， 因为0,,sin 02C C π∈≠，所以1sin 2B =，因为0,2B π∈，所以6B π=，根据余弦定理得2222cos b c a c a B +−⋅⋅，得1c =或2c =，所以11222ABC S =×=或11122ABC S =×= ， 故选：C.6. 为庆祝中国共产党成立100周年，甲、乙、丙三个小组进行党史知识竞赛，每个小组各派5位同学参赛，若该组所有同学的得分都不低于7分，则称该组为“优秀小组”（满分为10分且得分都是整数），以下为三个小组的成绩数据，据此判断，一定是“优秀小组”的是（ ） 甲：中位数为8，众数为7乙：中位数为8，平均数为8.4 丙：平均数为8，方差小于2 A. 甲 B. 乙C. 丙D. 无法确定【答案】A 【解析】【分析】根据题意，结合“优秀小组”的定义依次分析选项，综合可得答案.【详解】甲：中位数为8，众数为7，可知甲组的得分依次为：7、7、8、9、10，根据“优秀小组”的概念可知甲组一定是“优秀小组”当乙组得分依次为：6、8、8、10、10时，中位数为8，平均数为8.4，但乙组不符合“优秀小组”的概念，当丙组得分依次为：6、8、8、8、10时，丙：平均数为8，方差为825<，但丙组不符合“优秀小组”的概念. 故选：A.7. 如图，已知电路中有5个开关，开关5S 闭合的概率为13，其它开关闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率为（ ）A. 78B.1516 C. 2324D. 45【答案】A 【解析】【分析】设开关i S 闭合为事件i A ，{1,2,3,4,5}i ∈，由所设事件表示事件灯不亮，利用概率乘法公式求其概率，再利用对立事件概率公式求事件灯亮的概率.【详解】设开关i S 闭合为事件i A ，{1,2,3,4,5}i ∈，则事件灯不亮可表示为12345A A A A A ⋅⋅⋅⋅，由已知12341()()()()2P A P A P A P A ====，51()3P A =， ∴ 1234511121()(1)42238P A A A A A ⋅⋅⋅⋅=−×××=， ∴ 事件灯亮的概率78P =， 故选：A.8. 已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为3，点P 在11A C B △的内部及其边界上运动，且DP =，则点P 的轨迹长度为( )A.B. 2πC.D. 3π【答案】A 【解析】【分析】连接1B D 、11B D 、BD ，1111A C B D E = ，连接BE 交1B D 于O ，证明1B D ⊥平面11A C B 得DO ⊥OP ，求出OP 长度，确定O 的位置，确定P 的轨迹形状，从而可求P 的轨迹长度． 【详解】连接1B D 、11B D 、BD ，则1111AC B D ⊥，111A C DD ⊥，1111B D DD D = ， ∴11A C ⊥平面11B DD ，∴111A C B D ⊥， 同理11A B B D ⊥，∴1B D ⊥平面11A C B ． 设1111A C B D E = ，连接BE 交1B D 于O ，由△BOD ∽△1EOB 且BD =12B E 可知OD =12B O ，则123OD B D ==，连接OP ，则OD OP ⊥，∴OP可得点P 的轨迹为以点O 为半径的圆在11A C B △内部及其边界上的部分，OB =2OE ，E 为11A C 中点，及△11A BC 为等边三角形可知O 为△11A BC 中心， OE=1133BE =<OF =，OE =，πcos 6OE EOF EOF OF ∠∠==， 则∠OFE =∠1A =π3，∴OF ∥1A B ，同理易知OG ∥11A C ， 故四边形1A FOG 是菱形，则π.3FOG ∠=∴ FG长度为π3，故点P的轨迹长度为3π． 故选：A ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. PM 2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一.划分等级为：PM 2.5日均值在335/m g µ以下，空气质量为一级：PM 2.5日均值在335~75/m g µ，空气质量为二级：PM 2.5日均值超过375/m g µ为超标.如图是某地12月1日至10日PM 2.5的日均值（单位：3/m g µ）变化的折线图，关于PM 2.5日均值说法正确的是（ ）的A. 这10天的日均值的80%分位数为60B. 前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差C. 这10天的日均值的中位数为41D. 前5天的日均值的方差小于后5天的日均值的方差 【答案】BD 【解析】【分析】根据百分位数、极差、中位数、方差等知识确定正确答案. 【详解】10个数据为：30,32,34,40,41,45,48,60,78,80，100.88×=，故80%分位数为6078692+=，A 选项错误. 5天的日均值的极差为413011−=，后5天的日均值的极差为804535−=，B 选项正确. 中位数是4145432+=，C 选项错误. 根据折线图可知，前5天数据波动性小于后5天数据波动性，所以D 选项正确. 故选：BD10. 下列命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A ，B 为两个随机事件，则()()()P A B P A P B =+ ；③若事件A ，B 满足1()3P A =，3()4P B =，1()4P AB =，则A ，B 相互独立；④若事件A ，B 满足()()1P A P B +=，则A 与B 是对立事件．其中错误的命题是（ ） A. ① B. ②C. ③D. ④【答案】BD 【解析】【分析】利用互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义及概率的基本性质依次判断4个命题作答. 【详解】对于①：对立事件一定是互斥事件，①正确；对于②：若A ，B 为两个随机事件，则()()()()P A B P A P B P A B =+− ，②错误； 对于③：由()()()113434P AB P A P B ==×=，得A ，B 相互独立，③正确； 对于④：记事件A 为抛一枚硬币正面朝上，事件B 为掷一枚骰子出现偶数点，则()0.5P A =，()0.5P B =，满足()()1P A P B +=，显然事件A 与B 可以同时发生，它们不是对立事件，④错误.故选：BD11. 已知空间四点()0,0,0O ，()0,1,2A ，()2,0,1B −，()3,2,1C ，则下列说法正确的是（ ）A. 2OA OB ⋅=−B. 以OA ，OBC. 点O 到直线BCD. O ，A ，B ，C 四点共面 【答案】AC 【解析】【分析】直接利用空间向量，向量的模，向量垂直的充要条件，共面向量基本定理，向量的夹角，判定A 、B 、C 、D 的结论即可．【详解】空间四点()0,0,0O ，)0,1,2A ，()2,0,1B −，()3,2,1C ，则()0,1,2OA =，()2,0,1OB =− ，所以OA =，OB = ，对于A ：2OA OB ⋅=−，故A 正确；对于B ：2cos ,5OA OB OA OB OA OB ⋅==−，所以sin AOB ∠=，所以以OA ，OB 为邻边的平行四边形的面积sin SOA OB AOB ∠=，故B 错误；对于C ：由于()2,0,1OB =−，()1,2,2BC = ，所以0OB BC ⋅=，故OB BC ⊥ ，所以点O 到直线BC 的距离||d OB ==，故C 正确；对于D ：根据已知的条件求出：()0,1,2OA =，()2,0,1OB =− ，()3,2,1OC =，假设,,OA OB OC 共面，则存在实数λ和µ使得OC OA OB λµ=+，所以3=22=1=2µλλµ−，无解，故,,OA OB OC 不共面，故D 错误； 故选：AC ．12. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D −中，E 为侧面11BCC B 的中心，F 是棱11C D 的中点，若点P 为线段1BD 上的动点，则下列说法正确的是（ ）A. PE PF ⋅的最小值为148B. 若12BP PD =，则平面PAC 截正方体所得截面的面积为98C. PF 与底面ABCD 所成的角的取值范围为0,4πD. 若正方体绕1BD 旋转θ角度后与其自身重合，则θ的最小值是23π【答案】BCD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设()101BP BD λλ=≤≤ ，得()1,1,P λλλ−−，利用空间向量法求得数量积PE PF ⋅，计算最小值判断A ；由线面平行得线线平行确定截面的形状、位置，从而可计算出截面面积判断B ；过P 作11B D 的垂线，垂足为Q ，连接FQ ，则PFQ ∠为所求角.设=PQ x ，运用余弦定理求出QF ，由tan PQPFQ FQ∠=，计算判断C ；结合正方体的对称性，利用1BD 是正方体的外接球直径判断D ． 【详解】以D 为原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz −.由正方体棱长为1，则11,1,22E，()1,1,0B ，()10,0,1D ，10,,12F ，()1,0,0A .对于A ，()11,1,1BD =−−，设()1,,BP BD λλλλ==−− ，()01λ≤≤，所以()1,1,P λλλ−−，11,,22PE λλλ =−− ，11,,12PF λλλ =−−−， ()()211171113()2221248PE PF λλλλλλλ⋅=−−+−+−−=−−， 所以712λ=时，1()48min PE PF ⋅=− ，故A 错误； 对于B ，12BP PD =，则P 是1BD 上靠近1D 的三等分点，112,,333P，取AC 上靠近C 的三等分点G ，则12,,033G，120,,33PG =−.显然PG与平面11CDD C 的法向量()1,0,0DA = 垂直，因此//PG 平面11CDD C ，所以截面PAC 与平面11CDD C 的交线与PG 平行， 作//CM PG 交11D C 于点M ，设()0,,1M k ，则()0,1,1CMk =− ，由//CM PG ，可得()21133k −−=，解得12k =，则M 与F 重合，因此取11D A 中点N ，易得//NF AC ， 所以截面为ACFN ，且为等腰梯形，AC =NF =，AN CF ==梯形的高为h ，截面面积为1928S =，故B 正确； 对于C ，过P 作11B D 的垂线，垂足为Q ，连接FQ ，则PFQ ∠为所求角．设=PQ x，则1D Q =，由余弦定理知，222111222424FQ x x x =+−⋅=−+. 因为P 为线段1BD 上的动点，所以01x ≤≤.当=0x时，tan 0PQPFQ FQ∠==.tan PQPFQ FQ∠=， 当01x <≤时，，11x≥， 所以tan 1PFQ ∠≤，故0,4PFQ π∠∈，C 正确；对于D ，()1,0,0A ，()0,1,0C ，()1,1,0B ，()10,0,1D ，()1,1,0AC =−，()11,1,1BD =−−，则11100AC BD ⋅=−+=，1AC BD ∴⊥ ，同理11AB BD ⊥ . 所以1BD是平面1ACB 一个法向量，即1BD ⊥平面1ACB ，设垂足为1O ，则1111123AO C B O C AO B π∠=∠=∠=，1BD 是正方体的外接球的直径，因此正方体绕1BD 旋转θ角度后与其自身重合，至少旋转23π，故D 正确． 故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 如图，平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，1||||1===ABAD AA ，∠BAD ＝∠BAA 1＝120°，∠DAA 1＝60°，则线段AC 1的长度是_______．的【解析】【分析】利用11AC AB AD AA =++，即可求解． 【详解】 11AC AB AD AA =++，∴22221111222AC AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+++++111111211()211()211222=+++×××−+×××−+×××2=，1AC ∴．【点睛】本题考查了空间向量的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．14. 已知向量{},,a b c 是空间的一个基底，向量{},,a b a b c +− 是空间的另一个基底，一向量P在基底{}a b c ，，下的坐标为()1,2,3，则向量P在基底{},,a b a b c +− 下的坐标为__________．【答案】31,,322 −【解析】【分析】设()()()()p x a b y a b zc x y a x y b zc =++−+=++−+，可得 123x y x y z +=−== ，所以解出x ，y ，z 即可．【详解】设()()()()p x a b y a b zc x y a x y b zc =++−+=++−+；123x y x y z +=∴−= =，解得：31,,322x y z ==−=；p ∴ 在基底{},,a b a b c +− 下的坐标为：31,,322 −．故答案为：31,,322 −． 15. 祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家、天文学家．他一生钻研自然科学，其主要贡献在数学、天文历法和机械制造三方面，特别是在探索圆周率π的精确度上，首次将“π”精确到小数点后第七位，即π＝3.1415926…，在此基础上，我们从“圆周率”第三到第八位有效数字中随机取两个数字a ，b ，则事件“||5a b −≥”的概率为_______． 【答案】415【解析】【分析】根据给定条件，列出从4，1，5，9，2，6中任取两个数字的所有结果，再求出两个数字差的绝对值不小于5的个数即可作答.【详解】依题意，“圆周率”第三到第八位有效数字分别是4，1，5，9，2，6，从中任取两个数字a ，b 的不同结果是：(1，2)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(1，9)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(2，9)，(4，5)，(4，6)，(4，9)，(5，6)，(5，9)，(6，9)，共15种，它们等可能，事件“||5a b −≥”记为M ，它含有的结果有：(1，6)，(1，9)，(2，9)，(4，9)，共4种，于是得4()15P M =， 所以事件“||5a b −≥”的概率为415. 故答案为：41516. 设空间向量,,i j k 是一组单位正交基底，若空间向量a满足对任意的,,x y a xi y j −− 的最小值是2，则3a k +的最小值是_________．【答案】1 【解析】【分析】以,i j 方向为,x y 轴，垂直于,i j 方向为z 轴建立空间直角坐标系，根据条件求得a坐标，由3a k +的表达式即可求得最小值.【详解】以,,i j k方向为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()1,0,0i = ，()0,1,0j = ，()0,0,1k = 设(),,a r s t = 则a xi y j −−=，当,r x s y ==时a xi y j −−的最小值是2， 2t ∴=± 取(),,2a x y = 则()3,,5a k x y +=3a k ∴+=又因为,x y 是任意值，所以3a k +的最小值是5. 取(),,2ax y =− 则()3,,1a k x y +=3a k ∴+=又因为,x y 是任意值，所以3a k +的最小值是1. 故答案为：1.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸． 17. 已知()3,2,1a =− ，()2,1,2b = ． （1）求a 与b夹角的余弦值；（2）当()()ka b a kb +⊥−时，求实数k 的值．【答案】（1（2）32k或23k =− 【解析】【分析】（1）根据空间向量夹角公式求得正确答案.（2）根据()()ka b a kb +⊥−列方程，从而求得k 的值.【小问1详解】cos ,a b a ba b⋅==⋅【小问2详解】由于()()ka b a kb +⊥− ，所以()()0ka b a kb +⋅−=， 所以()22210ka k a b kb +−⋅−= ，()22146190,6560k k k k k +−−=−−=， 解得32k或23k =−. 18. 袋中有6个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球、黄球、绿球，从中任意取一球，得到黑球或黄球的概率是12，得到黄球或绿球的概率是23，试求： （1）从中任取一球，得到黑球．黄球．绿球的概率各是多少？ （2）从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？ 【答案】（1）111,,362；（2）1115【解析】【分析】（1）从中任取一球，分别记得到黑球、黄球、绿球为事件A ，B ，C ，由于A ，B ，C 为互斥事件，列出方程组，由此能求出从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率．（2）黑球、黄球、绿球个数分别为2，1，3，得到的两个球同色的可能有：两个黑球只有1种情况，两个绿球共3种情况，而从6个球中取出2个球的情况共有15种，由此能求出得到的两个球颜色不相同的概率．【详解】（1）解：从中任取一球，分别记得到黑球、黄球、绿球为事件A ，B ，C ， 由于A ，B ，C 为互斥事件，根据已知得()()()11()()22()()3P A P B P C P A P B P B P C++=+=+=，解得1()31()61()2P A P B P C===，∴从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率分别是111,,362；（2）由（1）知黑球、黄球、绿球个数分别为2，1，3，得到的两个球同色的可能有：两个黑球只有1种情况，两个绿球共3种情况， 而从6个球中取出2个球的情况共有15种， 所以所求概率为1315154+=， 则得到的两个球颜色不相同的概率是41111515−=． 19. 某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有20人，按年龄分成5组，其中第一组：[)20,25，第二组：[)25,30，第三组：[)30,35，第四组：[)35,40，第五组：[]40,45，得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计这20人的平均年龄和第80百分位数； （2）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和52，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，求这20人中35~45岁所有人的年龄的方差. 【答案】（1）32.25，第80百分位数为37.5 （2）10 【解析】【分析】（1）直接根据频率分布直方图计算平均数和百分位数；（2）利用分层抽样得第四组和第五组分别抽取4人和2人，进而设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为4x ，5x ，方差分别为24s ，25s ，第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为z ，方差为2s ，进而根据方差公式，代入计算即可得答案. 【小问1详解】设这20人的平均年龄为x ，则22.50.0527.50.3532.50.337.50.242.50.132.25x =×+×+×+×+×=.设第80百分位数为a ，由50.02(40)0.040.2a ×+−×=，解得37.5a =. 【小问2详解】由频率分布直方图得各组人数之比为1:7:6:4:2，故各组中采用分层随机抽样的方法抽取20人，第四组和第五组分别抽取4人和2人， 设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为4x ，5x ，方差分别为24s ，25s ， 则437x =，543x =，2452s =，251s =， 设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为z ，方差为2s . 则4542396x x z+=，()(){}222224545142106s s x z s x z =×+−+×+−= ， 因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10，据此，可估计这m 人中年龄在35~45岁的所有人的年龄方差约为10. 20. 已知函数()2sin cos x x f x x +−（1）若123f α = ，且π0,2α ∈，求sin α的值； （2）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若122C f=−，求a b 的取值范围． 【答案】（1；（2a b <<【解析】【分析】（1）化简()f x 解析式，由123f α = 得到1sin 3π3α−= ，从而求得cos 3πα −，进而求得sin α.（2）由122C f=−求得C ，利用正弦定理化简a b ，通过tan B 取值范围，求得a b 的取值范围. 【详解】（1）因为()2sin cos x x f x x +1cos 21πsin 2sin 2223x x x −+−=−， 的由123f α = ，得1sin 3π3α −= ，因π0,2α ∈，所以ππ36π3α−<−<，所以πcos 3α−所以ππsin sin 33αα =−+ππππsin cos cos sin 3333αα=−+−1132=×=． （2）由π1sin 232C f C =−=−，因为π0,2C∈ ，所以πππ336C −<−<， 所以ππ36C −=−，即π6C =． 由正弦定理sin sin a bA B=，可得，5πsin sin cos 6sin sin 2sin B a A B b B B B− ===+．因为ABC 是锐角三角形，所以π025ππ062B B <<<−<，即ππ32B <<．所以cos 12sin 2tan aB b B B =+ 由ππ32B <<，得tan B >a b << 21. 如图，在等腰直角三角形PAD 中，90A ∠=°，8AD =，3AB =，B ，C 分别是PA ，PD 上的点，且//AD BC ，M ，N 分别为BP ，CD 的中点，现将BCP 沿BC 折起，得到四棱锥P ABCD −，连结MN ．为（1）证明：//MN 平面PAD ；（2）在翻折的过程中，当4PA =时，求平面PBC 与平面PCD 夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析（2 【解析】【分析】（1）取AB 的中点E ，连接EM ，EN ，利用面面平行的判定证明平面//MNE 平面PAD ，再利用面面平行的性质即可证明；（2）以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出相关平面的法向量，利用面面角的空间向量求法即可得到答案. 【小问1详解】在四棱锥P ABCD −中，取AB 的中点E ，连接EM ，EN ，因为M ，N 分别为BP ，CD 的中点，//AD BC ，则ME PA //，//EN AD ，因为PA ⊂平面PAD ，ME ⊄平面PAD ，则//ME 平面PAD ，同理可得，//EN 平面PAD ， 又ME EN E ∩=，ME ，EN ⊂平面MNE ，故平面//MNE 平面PAD ，因为MN ⊂平面MNE ， 故//MN 平面PAD ； 【小问2详解】因为在等腰直角三角形PAD 中，90∠=°，//AD BC ， 所以BCPA ⊥，则在四棱锥P ABCD −中，BC PB ⊥，BC AB ⊥，因为//AD BC ，则AD PB ⊥，AD AB ⊥，又PB AB B ∩=，,PB AB ⊂平面PAB ， 故AD ⊥平面PAB ，又PA ⊂平面PAB ，故PA AD ⊥，因为8AD =，3AB =，4PA =，则5PB =，所以222AB PA PB +=，故PA AB ⊥． 以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则：(3,0,0)B ，()0,0,4P ，(0,8,0)D ，(3,5,0)C ，故(3,0,4),(3,5,4),(0,8,4)PB PC PD =−=−=−，设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z = ，则3403540n PB x z n PC x y z ⋅=−= ⋅=+−= ， 令4x =，则3z =，故(4,0,3)n = ；设平面PCD 的法向量为(,,)m a b c = ，则8403540m PD b c m PC a b c ⋅=−= ⋅=+−= ， 令1b =，则1a =，2c =，故(1,1,2)m = ，所以|||cos ,|||||m n m n m n ⋅== ， 故平面PBC 与平面PCD． 22. 如图，三棱柱111ABC A B C 中，AB ⊥侧面11BB C C ，已知13BCC π∠=，1BC =，12AB C C==，点E 是棱1C C 的中点．（1）求证：1C B ⊥平面ABC ；（2）在棱CA 上是否存在一点M ，使得EM 与平面11A B E，若存在，求出CM CA 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）存在，13CM CA =或523CM CA = 【解析】【分析】（1）利用余弦定理解得1BC =1BC BC ⊥，证得AB ⊥侧面11BB C C ， 1AB BC ⊥，继而可证1C B ⊥平面ABC ； （2）以B 为原点，分别以BC ，1BC 和BA 的方向为x ，y 和z 轴的正方向建立空间直角坐标系，假设存在点M ，设(),,M x y z ，由EM 与平面11A B E，可求解.【详解】（1）由题意，因为1BC =，12CC =，13BCC π∠=，利用余弦定理2221112cos 60BC BC CC BC CC =+−×°，解得1BC =22211BC BC CC ∴+=，1BC BC ∴⊥，AB ⊥ 侧面11BB C C ，1AB BC ∴⊥． 又AB BC B ∩= ，AB ，BC ⊂平面ABC ，∴直线1C B ⊥平面ABC ．（2）以B 为原点，分别以BC ，1BC 和BA 的方向为x ，y 和z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则有(0,0,2)A，1(B −，12E，1(2)A −，设平面11A B E 的一个法向量为(,,)m x y z = ，11(0,0,2)A B =−，13,22A E =−， 11100m A B m A E ⋅= ⋅=，203202z x y z −= ∴ −=，令y =1x =，m ∴= ， 假设存在点M ，设(),,M x y z ，CM CA λ=，[0,1]λ∈， (1,,)(1,0,2)x y z λ∴−=−，(1,0,2)M λλ∴−，1,22EM λλ ∴=−利用平面11A B E的一个法向量为m =，2693850λλ−+=．即(31)(235)0λλ−−=，13λ∴=或523λ=，13CM CA ∴=或523CM CA =． 【点睛】本题考查了空间向量和立体几何综合问题，考查了学生逻辑推理，空间向量和数学运算能力，属于中档题.。

四川省乐山市金河中学高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图所示的算法流程图中（注：“”也可写成“”或“”, 均表示赋值语句），第3个输出的数是（）A．1 B．C． D．参考答案：C2. 已知复数，则以下说法正确的是A．复数z的虚部为B．z的共轭复数C．D．复平面内与对应的点在第二象限参考答案：D ∵，∴复数z的虚部为，z的共轭复数，|z|，复平面内与z对应的点的坐标为（，），在第二象限．∴正确的是复平面内与z对应的点在第二象限．故选：D．3. 命题“?x∈R，（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4≥0”是假命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2] B．（﹣2，2] C．（﹣2，2）D．（﹣∞，2）参考答案：B【考点】命题的真假判断与应用．【分析】若命题“?x∈R，（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4≥0”是假命题，则命题“?x∈R，（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0”是真命题，故a﹣2=0，或，解得答案．【解答】解：若命题“?x∈R，（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4≥0”是假命题，则命题“?x∈R，（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0”是真命题，故a﹣2=0，或，解得：a∈（﹣2，2]，故选：B4. 若一组数据的茎叶图如图，则该组数据的中位数是（）A. 79B. 79.5C. 80D. 81.5参考答案：A【分析】由给定的茎叶图得到原式数据，再根据中位数的定义，即可求解.【详解】由题意，根据给定的茎叶图可知，原式数据为：，再根据中位数的定义，可得熟记的中位数为，故选A.【点睛】本题主要考查了茎叶图的应用，以及中位数的概念与计算，其中真确读取茎叶图的数据，熟记中位数的求法是解答的关键，属于基础题.5. 函数为偶函数，且在[0,+∞)上单调递减，则的一个单调递增区间为A．(－∞,0] B．[0,+∞) C．D．参考答案：C6. 给出下列四个命题，其中假命题的序号是（）①垂直于同一条直线的两条直线互相平行②两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内③若一个平面内有两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面互相平行④与两条异面直线都相交的两条直线是异面直线．A．①③④B．②③④C．①②③D．①②③④参考答案：A【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】①，在空间垂直于同一条直线的两条直线不一定互相平行；②，利用直线与平面的基本性质判断A的正误；③，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面互相平行‘’④，根据空间两条直线的位置关系分别判断即可．【解答】解；对于①，在同一平面垂直于同一条直线的两条直线互相平行，在空间垂直于同一条直线的两条直线不一定互相平行，故①错对于②，如图：∵a∩b=A，b∩c=B，a∩c=C，∴由两条相交直线a、b确定一个平面，不妨记为α，∴a?α，b?α；又∵C∈a，B∈b，∴B∈α，C∈α；又∵B∈c，C∈c，∴c?α；∴a、b、c三条直线共面．所以②正确．对于③，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面互相平行，故③错对于④：如图（1）a、b是异面直线，c、d与a、b都相交，但是cd是相交直线，所以A不正确；如图（2）c、d是异面直线，所以C不正确；如果c、d 平行则c、d确定唯一平面，所以a、b都在这个平面内，与a、b是异面直线矛盾，所以④不正确．故选：A【点评】本题考查空间直线与直线的位置关系，异面直线的判断，考查空间想象能力．属于中档题．7. 直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为2，AC=BC=1，∠ACB=90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E，要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为（）A．B．1 C．D．2参考答案：A【考点】直线与平面垂直的性质．【分析】作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连接C1F，则AB1⊥平面C1DF，点FB1B的中点即为所求，由C1D⊥平面AA1BB，AB1?平面AA1B1B，则C1D⊥AB1，AB1⊥DF，DF∩C1D=D，满足线面垂直的判定定理，则AB1⊥平面C1DF【解答】解：作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连接C1F，则AB1⊥平面C1DF，点F即为所求．∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1?平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1．又AB1⊥DF，DF∩C1D=D，∴AB1⊥平面C1DF．四边形AA1B1B为正方形，此时点F为B1B的中点．如图则有△AA1B1∽DB1F，即?．故选：A8. 光线沿直线射到直线上, 被反射后的光线所在的直线方程为(A) (B) (C) (D)参考答案：B9. 复数等于A. B. C.D.参考答案：A略10. 甲、乙两位同学在高一年级的5次考试中，数学成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是，则下列叙述正确的是（）A．＞，乙比甲成绩稳定B．＞，甲比乙成绩稳定C．＜，乙比甲成绩稳定D．＜，甲比乙成绩稳定参考答案：C【考点】茎叶图．【分析】分别求出甲、乙二人的平均成绩和方差，由此能求出结果．【解答】解：甲的平均成绩=（73+78+79+87+93）=82，甲的成绩的方差= [（73﹣82）2+（78﹣82）2+（79﹣82）2+（87﹣82）2+（93﹣82）2]=50.4，乙的平均成绩=（79+89+89+92+91）=88，乙的成绩的方差= [（79﹣88）2+（89﹣88）2+（89﹣88）2+（92﹣88）2+（91﹣88）2]=21.6，∴＜，乙比甲成绩稳定．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知点P和点A(1,2)在直线的异侧，则x的取值范围为参考答案：(,+)12. 若的展开式中的系数为，则常数的值为 .参考答案：解析：，令13. 若函数在其定义域的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围_______参考答案：[1 , )略14. 某医院有内科医生5名，外科医生6名，现要派4名医生参加赈灾医疗队，如果要求内科医生和外科医生中都有人参加，则有种选法（用数字作答）．参考答案：310略15. 设变量x、y满足约束条件且不等式x＋2y≤14恒成立，则实数a的取值范围是________．参考答案：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，显然a≥8，否则可行域无意义．由图可知x＋2y在点(6，a－6)处取得最大值2a－6，由2a－6≤14得，a≤10，故16. 已知函数，则不等式的解集为________.参考答案：【分析】构造新函数，研究新函数的性质（单调性与奇偶性等），从而得出的解集. 【详解】解：设因恒成立，故，故恒成立，所以恒成立，所以的定义域为R，因为，所以，即函数为奇函数，当时，为增函数，为增函数，根据复合函数的性质可得为增函数，而为增函数，为增函数，所以当时，函数为增函数，因为函数为奇函数，故在R上是单调递增函数，所以可转化为根据奇偶性可得，根据单调性可得，，解得：，故原不等式的解集为.【点睛】本题考查了不等式问题、函数的性质问题等等，解题的关键是要能构造出新的函数，研究出新的函数的性质，从而解决问题.17. 已知扇形的圆心角为（定值），半径为（定值），分别按图一、二作扇形的内接矩形，若按图一作出的矩形面积的最大值为，则按图二作出的矩形面积的最大值为▲．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2024—2025学年度上学期高二年级一调考试数学试卷（答案在最后）本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知1sin 12M x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭，πππ,,0,462N ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，则M N = （）A.π,06⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ B.π,04⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C.ππ,0,62⎧⎫-⎨⎩⎭ D.ππ,,046⎧⎫--⎨⎬⎩⎭2.在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B a = ，11A D b = ，1A A c =，则下列向量中与1D M相等的向量为（）A.1122a b c-++ B.1122a b c ++C.1122a b c -+D.1122a b c--+ 3.若函数()f x 在[2,)+∞上单调递减且对任意R x ∈满足(1)(3)f x f x +=-，则不等式(32)(4)f x f ->的解集是（）A.2,(2,)3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭B.2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C.(2,)+∞ D.2,23⎛⎫⎪⎝⎭4.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为3的正方形，PA ⊥底面ABCD ，6PA =，点G 在侧棱PB 上，且满足2PG GB =，则异面直线PC 和DG 的距离为（）A.14B.15C.7 D.775.空间中有三点(0,0,0)A ，(1,,2)B m ，(1,2,1)C --，且(1,1,1)n =-为平面ABC 的一个法向量，则以AB 、AC 为邻边的平行四边形的面积为（）A.32B.2C.3D.6.在矩形ABCD 中，2AB =，AD =，沿对角线AC 将矩形折成一个大小为θ的二面角B AC D --，当点B 与点D 之间的距离为3时，cos θ=（）A.13B.16 C.13-D.16-7.边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是1AA ，11A D 的中点，M 是DB 靠近点B 的四等分点，P 在正方体内部或表面，()0DP EF MF ⋅+= ，则||DP的最大值是（）A.1D.28.已知点A ，B ，C ，D ，P ，Q 都在同一个球而上，ABCD 为正方形，若直线PQ 经过球心，且PQ ⊥平面ABCD .则异而直线PA ，QB 所成的角的聂小值为（）A.60°B.45°C.30°D.15°二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.已知(0,1,1)a = ，(0,0,1)b =- ，则a 在b 上的投影向量为110,,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭B.若两个不同平面α，β的法向量分別是u ，v，且(2,0,4)u = ，(4,0,8)v =-- ，则//αβC.若233555OG OA OB OC =++，则A ，B ，C ，G 四点共面D.若向量p mx ny kz =++ ，（x ，y ，z 都是不共线的非零向量）则称p在基底{},,x y z 下的坐标为(,,)m n k ，若p 在单位正交基底{,,}a b c 下的坐标为(1,2,3)，则p 在基底{,,}a b a b c -+ 下的坐标为13,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭10.如图所示是一个以AB 为直径，点S 为圆心的半圆，其半径为4，F 为线段AS 的中点，其中C 、D 、E 是半圆圆周上的三个点，且把半圆的圆周分成了弧长相等的四段，若将该半圆围成上一个以S 为顶点的圆锥的侧面，则关于此圆锥，下列说法不正确的是（）A.CEF △为正三角形B.SA ⊥平面CEFC.//SD 平面CEFD.点D 到平面CEF 的距离为311.如图，点P 是边长为2的正方体1111ABCD A B C D -的表面上一个动点，则（）A.当点P 在侧面11BB C C 上时，四棱锥11P AA D D -的体积为定值B.存在这样的点P ，使得1111222AP AB AD AA =++C.当直线AP 与平面ABCD 所成的角为45°时，点P 的轨迹长度为π42+D.当33AP =时，点P 的轨迹长度为53π3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若复数z 满足383i z z +=+，则||z =___________.13.空间内四点(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，13,22C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，D 可以构成正四面体，则AD = ___________.14.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，4AD =，点E ，F 分别为11A B ，1BB 的中点，则平面1EFD 截正方体所得截面面积为___________，动点P 满足1AP xAB y AD z AA =++ ，且122x y z ++=，则当||AP取得取小值时二面角1A AD P --的余弦值为___________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD ，ABEF 的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且MA 和NF 的长度保持相等，记(0MA NF αα==<<.（1）求MN 的长；（2）当MN 的长最小时，求平面MNA 与平面MNB 夹角的余弦值.16.（本小题满分15分）如图，已知多面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，侧棱1BB ⊥底面ABCD ，且1111244CC AA BB DD === .（1）证明：1A C BD ⊥；（2）若AC =11BB =，120ABC ︒∠=，求直线BC 与平面111B C D 所成的角的正弦值.17.（本小题满分15分）如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AD =，12AA AB ==，M 为棱1DD 的中点.（1）若P 是线段BM 上的动点，试探究：11A M A P ⋅是否为定值？若是，求出该定值；否则，请说明理由；（2）过1A M 作该长方体外接球的截面，求截面面积的取值范围.18.（本小题满分17分）如图，三棱台111ABC A B C -，AB BC ⊥，1AC BB ⊥，平面11ABB A ⊥平面ABC ，6AB =，4BC =，12BB =，1AC 与1A C 相交于点D ，2AE EB =，且//DE 平面11BCC B .（1）求三棱锥111C A B C -的体积；（2）平面:11A B C 与平面ABC 所成角为α，1CC 与平面11A B C 所成角为β，求αβ+的值.19.（本小题满分17分）如图1，在平行四边形ABCD 中，24AB BC ==，60ABC ∠=︒，E 为CD 的中点，将ADE △沿AE 折起，连接BD 与CD ，得到的四棱锥如图2.图1图2（1）当BD 为何值时，平面ADE ⊥平面ABCE ？（2）设(01)BF BD λλ=≤≤，当BE DE ⊥时，是否存在实数λ，使得直线AF 与平面ABCE 所成角的正弦值为10？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由；（3）当三棱锥B CDE -的体积最大时，求三棱锥D ABE -的内切球的半径.月考卷参考答案一、选接题1.C 【解析】将πππ,,0,462N ⎧⎫=--⎨⎩⎭中的元表依次代入1sin 12x -≤≤验证，只有π6-，0，π2满足1sin 12x -≤≤，所以ππ,0,62M N ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭ .故选C.2.C 【解析】因为在平行六面体1111ABCD A B C D -中，11()22DM DB DA DC ==+=()111112A D AB -+，所以()111111111111111222D M D D DM A A A D A B A B A D A A =+=+-+=-+ 1122a b c =-+，故选C.3.D 【解祈】因为(1)(3)f x f x +=-，所以()f x 的对称轴为2x =，()f x 在(2,)+∞单调递减，则()f x 在(,2)-∞单调递增，又因为(32)(4)f x f ->，由对称性可得|322||42|x --<-，所以|34|2x -<，2342x -<-<，223x <<.故选D.4.A 【解析】如图，以点A 为原点，AB ，AD ，AP分别作为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则(3,0,0)B ，(3,3,0)C ，(0,3,0)D ，(0,0,6)P ，(1,0,4)G .所以(1,3,4)DG =- ，(3,3,6)PC =-，(3,0,0)DC = ，设(,,)n x y z = 为直线PC 和DG 的公垂线的方向向量，则有3403360n DC x y z n PC x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，可取(1,3,2)n = ，所以异面直线PC 和DG的距离为||||14DC n n ⋅==.故选A.5.D 【解析】平面ABC 的一个法向量为(1,1,1)n =-，则(1,1,1)(1,,2)0n AB m ⋅=-⋅= ，解得1m =-，故(1,1,2)B -，(1,1,2)AB =- ，(1,2,1)AC =--，则1cos 2||||AB ACA AB AC ⋅===⋅，则sin 2A ==，则平行四边形面积为11||||sin 22222AB AC A ⋅⨯=⨯=.故选D.6.B 【解析】分别作BE AC ⊥，DF AC ⊥，垂足为E ，F ，则,EB FD θ=〈〉.由2AB =，AD =可得4AC =，所以AD DCEB FD AC⋅===，1AE CF ==，2EF =.因为BD BE EF FD =++ ，则()222222||2BD BD BE EF FD BE EF FD BE FD ==++=+++⋅，即9343π)θ=+++-，故1cos 6θ=.故选B.7.B 【解析】如图，建立空间直角坐标系，设(,,)P x y z ，则(0,0,0)D ，11.0,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,0.12F ⎛⎫⎪⎝⎭，33,,044M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以11,0,22EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，13,,144MF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，则333,,442EF MF ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭ ，因为()0DP EF MF ⋅+=，又(,,)DP x y z = ，所以3330442x y z --+=，即2x yz +=，所以2222222||2x y DP x y z x y +⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，又01x ≤≤，01y ≤≤，所以22221111322x y x y ++⎛⎫⎛⎫++≤++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当且仅当1x y ==，此时1z =时，等号成立，所以||DP 的最故选B.8.A 【解析】设球的半径为(0)R R >，记ABCD 中心为O ，因为ABCD 为正方形，直线PQ 经过球心，且PQ ⊥平西ABCD .所以PQ 过点O 且PQ 的中点为球心，设球心为G ，以O 为原点，OB 、OC 、OP 分别为x ，y ，z 轴正半轴，建立空间直角坐标系O xyz -，设(0)OA OB OC OD r r ====>，(0,0,)G t ()R t R -<<，则(0,,0)A r -，(,0,0)B r ，(0,0,)P R t +，(0,0,)Q R t -，所以(0,,)PA r R t =--- ，(,0,)QB r t R =- ，所以22()()PA QB t R t R R t ⋅=-+-=- ，所以22||()PA r R t =++ 22||()QB r R t =+- 又222OG OB R +=，即222t r R +=.所以222222cos ,||||()()PA QBPA QB PA QB r R t r R t ⋅〈〉==⋅++⨯+-22222212222R t R R R R R t-==≤=-，当且仅当0t =时等号成立，设直线PA ，QB 所成的角为α则1cos |cos ,|2PA QB α=〈〉≤ ，又090α︒≤≤︒，所以min 60a =︒.故选A.二、选择题9.BD 【解析】对于A ，由于(0,1,1)a = ，(0,0,1)b =- ，则a 在b的投影向量为||cos ,2(0,0,1)(0,0,1)||2b a a b b 〈〉⋅=⨯-= ，故A 错误；对于B ：若两个不同平面α，β的法向量分别是u ，v ，且(2,0,4)u = ，(4,0,8)v =-- ，2u v -=，则//αβ，故B 正确；对于C ：由于2331555++≠，对于233555OG OA OB OC =++ ，故A ，B ，C ，G 四点不共面，故C 错误；对于D ：p 在单位正交基底{,,}a b c下的坐标为（1，2，3），即23(1,2,3)p a b c =++= ，所以p 在基底{,,a b a b c -+〉 下满足(1,2,3)()()()()x a b y a b zc x y a y x b zc =-+++=++-+(,,)x y y x z =+-，故1x y +=，2y x -=，3z =，解得12x =-，32y =，3z =，则p 在基底{,,}a b a b c -+ 下的坐标为13,,322⎛⎫-⎪⎝⎭，故D 正确.故选BD.10.ABD 【解析】选项A，该半圆围成的圆锥，如图所示，设四棱底面半径为r ，则2π4πr =，2r ∴=，4CE ∴=，F 为AS 的中点，O 为AD 的中点，//FO SD ∴，且122FO CE ==，90CFE ︒∴∠=，CEF △为等腰直角三角形，选项A 错误；选项B ，若SA ⊥平面CEF ，则90AFO ∠=︒，直角AOF △中，2AO OF AF ===，60AFO ︒∴∠=，选项B 错误；选项C ，//FO SD ，FO ⊂平面EFC ，//SD ∴平面EFC ，选项C 正确；选项D ，CE AD ⊥ ，CE SO ⊥，CE ∴⊥平面SAD ，∴平面CEF ⊥平面SAD ，D ∴到直线FO 的距离即为D 到平面CEF 的距离，又//FO SD ，D ∴到直线FO 的距离等于O 到直线SD，选项D 错误，故选ABD.11.ACD 【解析】略【解析】略13.136,263⎛± ⎝⎭【解析】由已知正四西体ABCD 的棱长为1，所以D 的竖坐标为正四面体的高，ABC △的外接圆半径为112sin 603︒⨯=，所以正四面体的高为3=，而横坐标，纵坐标即底面三角形ABC 的重心坐标，1011232D x ++==，003236D y ++==，所以1,,263D ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭，故答案为136,263⎛±⎝⎭.[只写对一个不给分]14.18；5【解析】略四、解答题15.解：（1）由题意可知，直线BC 、BE 、BA 两两垂直，以B 原点建立如图所示的空间直角坐标系，则(2,0,0)A ，(0,0,2)C ，(2,2,0)F ，(0,2,0)E ，因为MA NF α==，所以222M ⎛-⎝，2222N ⎛⎫--⎪⎝⎭.所以2||224MN αα=-+.（2）22||224(2)2MN ααα=-+=-+2α=时，||MN 最小.此时，M ，N 为AC 、BF 的中点，则(1,0,1)M ，(1,1,0)N ，取MN 的中点G ，连接AG ，BG ，则111,,22G ⎛⎫⎪⎝⎭，因为AM AN =，BM BN =，所以AG MN ⊥，BG MN ⊥.所以AGB ∠是平面MNA 与平面MNB 的夹角或其补角，因为111,,22GA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，111,,22GB ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭ .所以1cos 3||||GA GB GA GB GA GB ⋅〈⋅〉==-⋅，所以平面MNA 与平面MNB 夹角的余弦值是13.16.解：（1）因为1124AA BB =，所以11//BB AA ，又因为1BB ⊥平面ABCD ，所以1AA ⊥平面ABCD ，又因为BD ⊂平面ABCD ，所以1AA BD ⊥，因为四边形ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥，又因为1AC AA A = ，AC ，1AA ⊂平面1AA C ，所以BD ⊥平面1AA C ，又因为1A C 平面1AA C ，所以1BD A C ⊥.（2）设AC 交BD 于O ，以O 为原点，以OB 为x 轴，OC 为y 轴，过O 作11//OO AA 为z 轴建立空间直角坐标系，由图可知1(1,0,1)B ，1(1,0,1)D -，13,4)C ，(1,0,0)B ，3,0)C .，则11(2,0,0)D B = ，11(3,3)B C =- ，设平面111B C D 的一个法向量为(,,)n x y z =，则111100n D B n B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即20330x x z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩，令1z =-，则3,1)n =- ，(3,0)BC =- ，所以33cos ,224||||n BC n BC n BC ⋅〈〉===⨯⋅ .设直线BC 与平面111B C D 所成角为α，则3sin |cos |4a n BC =〈⋅〉= ，因此直线BC 与平面111B C D 所成角的正弦值为34.17.略18.（1）略（2）由题意及（1）得，以B 为坐标原点，分别以BA ，BC ，1BB 为x ，y ，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，(6,0,0)A ，(0,4,0)C ，1(0,0,2)B ，()13,0,2A ，1(0,2,2)C ，则11(3,0,0)B A = ，1(0,4,2)B C =- ，1)(0,2,2CC =- ，设平面11A B C 的一个法向量为(,,)n x y z =，由11130420n B A x n B C y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取1y =，则(0,1,2)n = ，平面ABC 的一个法向量为1(0,0,2)BB = ，所以11cos 5||n BB a n BB ⋅===⋅，11sin 10||n CC n CC β⋅===⋅ .又因为α，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 5α=，cos 10β=.cos()cos cos sin sin 1051052αβαβαβ+=-=⨯=，又(0,π)αβ+∈，所以π4αβ+=.19.略。

2022年辽宁省葫芦岛市南票中学高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件参考答案：C2. 若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（）A．B． C．D．参考答案：B略3. 长、宽、高分别为4、3、的长方体的外接球的体积为（）A. 3B.C.D. 9参考答案：B4. 若抛物线的焦点在直线上，则该抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.参考答案：A5. 若f（x）=，e＜b＜a，则（）A．f（a）＞f（b）B．f（a）=f（b）C．f（a）＜f（b）D．f（a）f（b）＞1参考答案：C 【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；导数的概念及应用．【分析】求导数，确定函数的单调性，即可得出结论．【解答】解：∵f（x）=，∴f′（x）=，∴函数在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，∵e＜b＜a，∴f（a）＜f（b），故选：C．【点评】本题考查利用导数确定函数的单调性，考查学生的计算能力，正确确定函数的单调性是关键．6. 、分别是定义在R上的奇函数与偶函数，当时，，且，则不等式的解集为（）A. B.C. D.参考答案：A略7. 将八位数135（8）化为二进制数为（）Ａ1110101（2）Ｂ1010101（2）Ｃ1011101（2）Ｄ1111001（2）参考答案：C略8. 关于函数有下述四个结论：①f(x)是偶函数②f(x)在区间（,）单调递增③f(x)在有4个零点④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是A. ①②④B. ②④C. ①④D. ①③参考答案：C【分析】化简函数，研究它的性质从而得出正确答案．【详解】为偶函数，故①正确．当时，，它在区间单调递减，故②错误．当时，，它有两个零点：；当时，，它有一个零点：，故在有个零点：，故③错误．当时，；当时，，又为偶函数，的最大值为2，故④正确．综上所述，①④正确，故选C．【点睛】画出函数的图象，由图象可得①④正确，故选C．9. 已知函数，若存在，使得有解，则实数a的取值范围是（)A. B. C. D.参考答案：B【分析】利用参数分离法进行转化,构造函数求出函数的最值即可得到结论.【详解】解:由,得:令,当时，当时，在递增,在递减,的最大值是,故所以B选项是正确的.【点睛】本题主要考查了利用导数研究能成立问题，关键是利用参数分离法，构造函数转化为求最值问题.10. 若三点共线则的值为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．参考答案：A 解析：二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知正实数x，y满足xy=9，则x+9y取得最小值时x= ，y= ．参考答案：9,1.【考点】基本不等式．【分析】由条件，运用基本不等式：a+b≥2（a，b＞0，a=b取得等号），即可得到所求最小值时x，y的值．【解答】解：由正实数x，y满足xy=9，可得x+9y≥2=6=6×3=18，当且仅当x=9y，即x=9，y=1时，取得最小值18．故答案为：9，1．12. 设过点的直线分别与轴的正半轴、轴的正半轴交于A、B两点，点与点P 关于轴对称，O点为坐标原点，若且则P点的轨迹方程是_________.参考答案：略13. 一只蚂蚁位于数轴处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位，设它向右移动的概率为，向左移动的概率为，则3秒后，这只蚂蚁在x=1处的概率为________.参考答案：【分析】3秒后，这只蚂蚁在x=1处的概率即求蚂蚁三次移动中，向右移动两次，向左移动一次的概率，由次独立重复试验的概率计算即可。

2022-2023学年黑龙江省鸡西市虎林市高级中学高二上学期9月月考数学试题一、单选题1．若直线x +ny +3=0与直线nx +9y +9=0平行，则实数n 的值为（ ） A ．3 B ．-3 C ．1或3 D ．3或-3【答案】B【分析】根据两直线平行的公式求解即可.【详解】由题意知219n ⨯=，且193n ⨯≠，故3n =-. 故选：B2．与圆222430x y x y +-++=同圆心，且过点()1,1-的圆的方程是（ ） A ．222440x y x y +-+-= B ．222440x y x y +-++= C ．222440x y x y ++--= D ．222440x y x y ++-+=【答案】B【分析】根据同圆心,可设圆的一般式方程为22240+-++=x y x y m ,代入点即可求解.【详解】设所求圆的方程为22240+-++=x y x y m ，由该圆过点()1,1-，得m ＝4，所以所求圆的方程为222440x y x y +-++=. 故选：B3．已知00ab bc <<，，则直线0ax by c ++=通过（ ）象限 A ．第一、二、三 B ．第一、二、四 C ．第一、三、四 D ．第二、三、四【答案】A【分析】将直线化为斜截式，进而通过斜率和纵截距的范围得到直线所过的象限.【详解】由题意，直线0a c ax by c y x b b ++=⇒=--，因为00ab bc <<，，所以0,0a cb b->->，所以直线过第一、二、三象限. 故选：A.4．如图，在四面体O ABC -中，OA a =，OB b =，OC c =，且2OM MA =，BN NC =，则MN =（ ）A ．221332a b c ++B ．221332a b c +-C ．211322a b c -++D ．121232a b c -+【答案】C【分析】由平面向量的线性运算求解．【详解】连接ON ，因为BN NC =，所以1()2ON OB OC =+， 因为2OM MA =，所以23OM OA =，所以12211()23322MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++． 故选：C ．5．过点（2，－3）、斜率为12-的直线在y 轴上的截距为（ ）A ．2B ．－2C ．4D ．－4【答案】B【分析】根据点斜式公式，整理直线方程，令0x =，可得答案. 【详解】由题意得直线方程为()1322y x +=--，令x =0，解得y ＝－2． 故选：B ．6．过两条直线1:30l x y -+=与2:20l x y +=的交点，倾斜角为π3的直线方程为( )A 3320x y -=B 33360x y -=C 3340x y -=D 333120x y -=【答案】A【分析】联立两条直线的方程求出交点坐标，再根据直线方程的点斜式即可求解．【详解】由3020x y x y -=⎧⎨=⎩＋＋解得12x y =-⎧⎨=⎩，故两直线交点为(－1，2)，故直线方程是：)21y x -=＋20y -=＋． 故选：A ．7．已知线段AB 两端点的坐标分别为()2,3A -和()4,2B ，若直线:10l x my m ++-=与线段AB 有交点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()3,1,4⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．31,4⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．31,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．(]3,1,4⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【分析】判断出直线l 所过定点()1,1P -，结合图象求得m 的取值范围 【详解】直线:10l x my m ++-=恒过的定点()1,1P -，4,13AP BP k k =-=.当0m =时，直线l 方程为1x =，与线段AB 有交点，符合题意. 当0m ≠时，直线l 的斜率为1m-，则[)14,1,3m ⎛⎤-∈-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦，解得10m -≤<或304m <≤，综上，31,4m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.故选：C8．已知正方体1111ABCD A B C D -，P 是线段1A C 上一点，下列说法正确的是（ ）A ．若1113A P AC =，则直线AP 平面1BC DB ．若1112A P AC =，则直线AP平面1BC D C ．若1113A P AC =，则直线BP ⊥平面1ACD D ．若1112A P AC =，则直线BP ⊥平面1ACD 【答案】A【分析】以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，1为单位长度，利用直线和平面法向量的关系判断各选项即可.【详解】以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则()1,0,0A ，()11,0,1A ,()1,1,0B ，()0,1,0C ，()10,1,1C ，()0,0,0D ，1(0,0,1)D ,则()10,0,1AA =，()11,1,1AC =--，()0,1,0BA =-，()1,1,0DB =，()10,1,1DC =，(1,1,0)AC =-,1(1,0,1)AD =-当1113A P AC =时，()()1111111120,0,11,1,1,,33333A AP A A P AA AC ⎛⎫=+=+=+--=- ⎪⎝⎭， 设平面1BC D 的法向量为(),,m x y z =，则100m DB x y m DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩取1x =，则1y =-，1z =，则()1,1,1m =-为平面1BC D 的一个法向量，因为1120333AP m ⋅=--+=，所以AP m ⊥，又因为AP ⊄平面1BC D ，所以直线AP 平面1BC D ，故A 正确，B 不正确．当1113A P AC =时，()()()1111111220,1,00,0,11,1,1,,33333BP BA AA A P BA AA AC ⎛⎫=++=++=-++--=-- ⎪⎝⎭，设平面1ACD 的一个法向量为(,,)n x y z =， 则10n AC x y n AD x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1x =则1y =，1z =， 则()1,1,1n =为平面1ACD 的一个法向量，因为BP 与n 不共线，所以直线BP 与平面1ACD 不垂直，故C 不正确； 当1112A P AC =时，()()()1111111110,1,00,0,11,1,1,,22222BP BA AA A P BA AA AC ⎛⎫=++=++=-++--=-- ⎪⎝⎭，因为BP 与n 不共线，所以直线BP 与平面1ACD 不垂直，故D 不正确． 故选：A ．二、多选题9．已知直线l ：()2110a a x y ++-+=，其中R a ∈，下列说法正确的是（ ）A ．当1a =-时，直线l 与直线0x y +=垂直B ．若直线l 与直线0x y -=平行，则0a =C ．直线l 过定点()0,1D ．当0a =时，直线l 在两坐标轴上的截距相等 【答案】AC【分析】对于A ，代入1a =-，利用斜率之积为1-得知直线l 与直线0x y +=垂直； 对于B ，由两平行线的一般式有111222A B C A B C =≠求得a ，从而可判断正误； 对于C ，求定点只需令参数的系数为0即可，故直线l 过定点()0,1； 对于D ，代入0a =，分别求得直线l 在两坐标轴上的截距即可判断正误.【详解】对于A ，当1a =-时，直线l 的方程为10x y -+=，故l 的斜率为1，直线0x y +=的斜率为1-，因为1(1)1⨯-=-，所以两直线垂直，所以A 正确； 对于B ，若直线l 与直线0x y -=平行，则2110111a a -=≠++-，解得0a =或1a =-，所以B 错误；对于C ，当0x =时，则1y =，所以直线过定点()0,1，所以C 正确；对于D ，当0a =时，直线l 的方程为10x y -+=，易得在x 轴、y 轴上的截距分别是1,1-，所以D 错误. 故选：AC.10．已知空间向量(2,1,5)a =-，(4,2,)b x =-，则下列选项正确的为（ ） A ．若a b ∥，则10x = B ．若a b ⊥，则2x = C ．若3x =-，则3a b += D ．若0x =，则6cos ,6a b <>=- 【答案】BCD【分析】对于A 、B 分别根据向量平行和垂直的等价条件转换计算； 对于C 、D 分别代向量的模的公式及夹角公式计算可得. 【详解】向量(2,1,5)a =-，(4,2,)b x =- 对于A. 若a b ∥，则21542x-==-，所以10x =-，故此选项错误； 对于B. 若a b ⊥，()()241250x ⨯-+-⨯+=，则2x =，故此选项正确；对于C. 若3x =-，则(4,2,3)b =--，则()2,1,2,4143a b a b +=-∴+=++=，故此选项正确；对于D. 若0x =，则(4,2,0)b =-，所以302082cos ,a b a b a b⋅--<>===⋅，故此选项正确；故答案为：BCD11．圆上的点（2，1）关于直线x ＋y ＝0（ ） A ．225x y += B ．()()22135x y -+-= C ．()2225x y +-= D ．()()22115x y -++=【答案】AD【分析】由圆的几何关系可知圆心在直线x ＋y ＝0上，设出圆心坐标为（a ，－a ），利用圆心到圆上点的距离等于半径列方程即可求解.【详解】由题意可知圆心在直线x ＋y ＝0上，设圆心坐标为（a ，－a ）， 则()()22215a a -++=，解得a ＝0或a ＝1， ∴所求圆的方程为()()22115x y -++=或225x y +=, 故选：AD ．12． 在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别是棱11A D ，AB 的中点，则（ ）A ． 异面直线MD 与AC 所成角的余弦值为15B ． 11MCD N ⊥C ． 四面体11CABD 的外接球体积为 D ． 平面MNC 截正方体所得的截面是四边形 【答案】BC【分析】利用坐标法可判断AB ，利用正方体的性质可判断CD.【详解】如图建立空间直角坐标系，则()()()()()()111,0,2,2,0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,2,1,0M A C C D N ，∴()1,0,2DM =，()2,2,0AC =-，∴210cos ,10522AC DM ==⋅，A 错误；∴()11,2,0MC =-，()12,1,2D N =-，110MC D N ⋅=，∴11MC D N ⊥，B 正确； 由题可知四面体11CAB D 的外接球即为正方体的外接球，所以外接球半径满足223r =，3r =，∴34433V r ππ==，C 正确；延长CN 交DA 延长线与P ，连接MP 交1AA 于Q ，延长PM 交1DD 延长线于K ，连接CK 交11D C 于J ，则五边形QMJCN 为平面MNC 截正方体所得的截面，D 错误. 故选：BC.三、填空题13．若直线l 的一个方向向量为()1,2,1a =-，平面a 的一个法向量为()1,2,1b =--，则直线l 与平面α的位置关系是______．【答案】垂直或l α⊥【分析】由题意可得a 与b 共线，从而可得答案【详解】因为直线l 的一个方向向量为()1,2,1a =-，平面a 的一个法向量为()1,2,1b =--，且a b =-， 所以a 与b 共线，，所以直线l 与平面α的位置关系为垂直， 故答案为：垂直或l α⊥14．若方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，表示以（2，－4）为圆心，4为半径的圆，则F=_____ 【答案】4【详解】方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0配方得22224()().224D E D E Fx y +-+++=根据条件得：22242,4,4;224D E D E F+--=-=-=解得 4.F = 15．著名数学家华罗庚曾说过“数无形时少直觉，形少数时难人微”，事实上，很多代数问题都可以(),M x y 与点(),N a b 之间的______．【答案】【分析】设()f x ()f x 的几何意义为点(),0M x 到两定点()2,4A 与()1,3B 的距离，求出点()2,4A 关于x 轴的对称点为'A ，转化为求MA MB '+的最小值即可.【详解】设()f x则()f x∴()f x 的几何意义为点(),0M x 与两定点()2,4A ，()1,3B 之间的距离之和． 如图所示：设点()2,4A 关于x 轴的对称点为1A ，则1A 的坐标为（2，－4）． 则1MA MA =，1MA MB MA MB +=+ 要求()f x 的最小值，即求1MA MB +的最小值， 又()()221121432MA MB A B +≥=-+--即()22420210f x x x x x =-+-+52故答案为：5216．若圆222430x y x y +++-=上到直线20x y a ++= 2 的点恰有3个，则实数a 的值为___________.【答案】510a =510a =【分析】设圆心()1,2C --到直线:20l x y a ++=的距离为d ，由题意有2d = 利用点到直线距离公式列出等式即可求解.【详解】圆22:2430C x y x y +++-=，即()()22128x y +++=， 所以圆C 的圆心坐标为()1,2C --，半径22r =因为圆22:2430C x y x y +++-=上到直线:20l x y a ++=23个， 设圆心()1,2C --到直线:20l x y a ++=的距离为d ，则2d ==5a =5a =，故答案为：5a =5a =四、解答题17．已知空间中三点的坐标分别为()3,0,1A -，()3,1,0B ，()5,0,2C -，且a AB =，b AC =．(1)求向量a 与b 夹角的余弦值；(2)若ka b +与a b -互相垂直，求实数k 的值．【答案】(1)(2)2k =【分析】（1）求得向量a 与b 的坐标，根据向量的夹角公式即可求得答案；（2）表示出ka b +与a b -的坐标，根据ka b +与a b -互相垂直可得关于k 的方程，即可求得答案.【详解】（1）()0,1,1a AB ==，()2,0,1b AC ==-，所以1cos ,2a ba b a b ⋅-===⋅． （2）因为()2,,1ka b k k +=-，()2,1,2a b -=-，且ka b +与a b -互相垂直，所以()()22210k k ⨯-++-=，解得2k =．18．直线l 过点()2,1P -.(1)若直线l 与直线10x y ++=平行，求直线l 的方程；(2)若点()1,2A 到直线l 的距离为1，求直线l 的方程.【答案】(1)10x y +-=(2)20x -=或4350x y +-=【分析】（1）设出直线l 的方程，利用待定系数法求得正确答案.（2）根据直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，结合A 到直线l 的距离来求得直线l 的方程.【详解】（1）设直线方程为0,1x y c c ++=≠将()2,1P -代入得1c =-，所求直线方程是10x y +-=（2）若直线l 的斜率不存在，则过P 的直线为2x =，到A 的距离为1，满足题意；若直线l 的斜率存在，设斜率为k ，则l 的方程为210kx y k ---=.由A 到直线l 的距离为1，可得222213111k k k k k -----==++.解得43k =-， 所以直线方程为4421033x y ⎛⎫-----= ⎪⎝⎭，即4350x y +-=. 综上得所求的直线方程为20x -=或4350x y +-=.19．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为2，M 、N 分别为1A B 、AC 的中点．(1)证明：//MN 平面11BCC B ；(2)求1A B 与平面11A B CD 所成角的大小．【答案】(1)证明见解析(2)30°【分析】（1）以点D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系，求出MN和平面11BCC B 的法向量，利用空间向量证明即可，（2）求出平面11A B CD 的法向量，利用空间向量求解即可.【详解】（1）如图，以点D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系．则()2,0,0A ，()0,2,0C ，()12,0,2A ，(2,2,0)B ，()12,2,2B ，()2,1,1M ，()1,1,0N ． 所以()1,0,1MN =--，因为DC ⊥平面11BCC B ,所以平面11BCC B 的一个法向量为(0,2,0)DC =，因为0MN DC ⋅=，所以MN DC ⊥， 因为MN ⊂平面11BCC B ，所以//MN 平面11BCC B（2）()0,2,0DC =，()12,0,2DA =，()10,2,2A B =-．设平面11A B CD 的一个法向量为(),,n x y z =则122020DA n x z DC n y ⎧⋅=+=⎨⋅==⎩，令1z =，则=1x -，0y =， 所以()1,0,1n =-设1A B 与平面11A B CD 所成角为θ， 则11121sin cos ,2222A B n A B n A B n θ⋅-====⋅⋅． 因为0180θ︒≤<︒，所以1A B 与平面11A B CD 所成角为30°． 20．圆C 过点()60A ，，()1,5B ，且圆心在直线:2780l x y -+=上.（1）求圆C 的方程；（2）P 为圆C 上的任意一点，定点()8,0Q ，求线段PQ 中点M 的轨迹方程.【答案】（1）22(3)(2)13x y -+-=；（2）221113(1)24x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭. 【分析】（1）求得线段AB 垂直平分线的方程，与直线l 方程联立，求得圆心C 的坐标，由CA 求得半径，由此求得圆C 的方程.（2）设出M 点坐标，由此求得P 点坐标，将P 点的坐标代入圆C 的方程，化简求得M 点的轨迹方程.【详解】（1）直线AB 的斜率50116k -==--， 所以AB 的垂直平分线m 的斜率为1.AB 的中点的横坐标和纵坐标分别为61722x +==，95522y +==. 因此，直线m 的方程为57122y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.即10x y --=. 又圆心在直线l 上，所以圆心是直线m 与直线l 的交点.联立方程组102780x y x y --=⎧⎨-+=⎩， 解得32x y =⎧⎨=⎩所以圆心坐标为()3,2C，又半径r CA =则所求圆的方程是22(3)(2)13x y -+-=.（2）设线段PQ 的中点(),M x y ，()00,P x yM 为线段PQ 的中点，则008202x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， 解得00282x x y y =-⎧⎨=⎩ ()28,2P x y -代入圆C 中得22(283)(22)13x y --+-=，即线段PQ 中点M 的轨迹方程为221113(1)24x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭.【点睛】本小题主要考查圆的方程的求法，考查动点轨迹方程的求法，属于中档题.21．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，//BC AD ，2PA AB BC ===，4=AD ，E 为棱PD 的中点，F 是线段PC 上一动点.(1)求证：平面PBC ⊥平面PAB ；(2)若直线BF 与平面ABCD 3F EA D --的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)6【分析】（1）证明出BC ⊥平面PAB ，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设PF PC λ=，其中01λ≤≤，利用已知条件求出λ的值，然后利用空间向量法可求得二面角F EA D --的余弦值.【详解】（1）证明：因为AB AD ⊥，//BC AD ，则BC AB ⊥，PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，BC PA ∴⊥， PA AB A =，PA 、AB ⊂平面PAB ，BC ∴⊥平面PAB ，BC ⊂平面PBC ，因此，平面PBC ⊥平面PAB .（2）解：因为PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A 、()2,0,0B 、()2,2,0C 、()0,4,0D 、()0,2,1E 、()002P ,,，设()()2,2,22,2,2PF PC λλλλλ==-=-，()22,2,22BF BP PF λλλ=+=--，其中01λ≤≤， 易知平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1u =， 由已知可得()223cos ,2224u BFu BF u BF λλ⋅<>==⋅⨯-+12λ=， 所以，F 为PC 的中点，即()1,1,1F ，设平面AEF 的法向量为(),,m x y z =，()0,2,1AE =，()1,1,1AF =，则200m AE y z m AF x y z ⎧⋅=+=⎨⋅=++=⎩，取1y =，可得()1,1,2m =-，易知平面ADE 的一个法向量为()1,0,0n =， 所以，16cos ,6m nm n m n ⋅<>===⋅ 由图可知，二面角F EA D --的平面角为钝角，故二面角F EA D --的余弦值为622．已知圆22:(3)(4)4C x y -+-=.(1)若直线:(2)(1)10()l m x m y m m R -+-++=∈，证明:无论m 为何值，直线l 都与圆C 相交；(2)若过点(1,0)P 的直线m 与圆C 相交于,A B 两点，求ABC 的面积的最大值，并求此时直线m 的方程.【答案】(1)见详解；(2)ABC 的面积的最大值为2，此时直线方程为10x y --=或770x y --=.【分析】（1）只要证明直线l 过圆内一点即可；（2）根据题意，故设直线方程1(0)x my m =+≠，可得圆心到直线的距离d =AB ==221()2S AB d =⋅，利用函数求最值即可得解. 【详解】（1）转化l 的方程(2)(1)10m x m y m -+-++=可得：(1)210m x y x y -+-++=，由10210x y x y -+=⎧⎨-++=⎩，解得2,3x y ==， 所以直线l 恒过点(2,3)，由22(23)(34)24-+-=<，故点(2,3)在圆内，即直线l 恒过圆内一点，所以无论m 为何值，直线l 都与圆C 相交；（2）由C 的圆心为(3,4)，半径2r =，易知此时直线l 斜率存在且不为0，故设直线方程1(0)x my m =+≠，一般方程为10my x -+=，圆心到直线的距离d ==，所以AB == 所以2222221(42)(42)()4211m m S AB d m m ⎡⎤--=⋅=-⋅⎢⎥++⎣⎦， 令22(42)1m t m -=+， 可得224S t t =-，当2t =时2max 4S =，所以ABC 的面积的最大值为2， 此时由22(42)21m m -=+，解得27810m m -+=， 解得1m =或17m =，符合题意， 此时直线方程为10x y --=或770x y --=.。

HY2021年下学期第一次月考试卷高 二 数 学〔理科〕时量：120分钟 满分是：150分考前须知：1．在答题之前填写上好本人的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写上在答题卡上一、选择题〔每一小题5分，一共60分〕 1．sin 600的值等于〔 〕．A ．12B ．12- C ．2- D2．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4， 那么公差d 等于( )A ．3．在△ABC 中，假设8,3,7===c b a ，那么其面积等于〔 〕A 、12B 、28 D4．等比数列{}n a 中，354a a ⋅=，那么62a a ⋅等于 A ．4B ．8C ．16D ．325．假如0a b >>，那么以下不等式一定成立的是( ) 〔A 〕33log log a b < 〔B 〕11()()44a b > 〔C 〕11a b< 〔D 〕22a b <6．等差数列{}n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，那么它的前3m 项和是 ( ) A.130 B.170 C7． ΔABC 中, a =1, b=3, ∠A=30°,那么∠B 等于 〔 〕 A ．60° B ．60°或者120°C ．30°或者150° D ．120°8．设等比数列{}的公比q= , 前n 项和为，那么=〔 〕A ．5B ．C ．D ．9．在正实数集上定义一种运算*：当a b ≥时，a *3b b =；当a b <时，a *2b b =， 那么满足3*27x =的x 的值是( )A ．3B ．1或者9C ．1或者2D ．3或者3310．在ABC ∆中，，， 4530,2===C A a 那么ABC S ∆=〔 〕 A 、2 B 、22 C 、13+ D 、()1321+11．△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，那么△ABC 是〔 〕 A ．等腰三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形12．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：由散点图可知，用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是y ^＝－x ＋a ，那么a 等于( )A ．10.5B ．5.15C ．5.2D ．二、填空题〔每一小题5分，一共20分〕13．数列}{n a 中，11=a ，121+⋅=+n n a a ，求=7a ． 14．向量),1(x a =，)2,1(-=x b ，假设b a //，那么=x __________________．15．过点(1,2)A ，且与直线230x y -+=垂直的直线方程为 ．16．假设数列{}n a 的前n 项和()21n S n n =++1，那么此数列的通项公式 ．三、解答题〔满分是70分。

高二数学9月月考试题一、单选题（每小题5分）1.已知，则（ ）A. B.C.D.2.函数）A. B. C. D.3.函数是（ ）A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的偶函数C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数4.若函数是定义在上的奇函数，，，则（ ）A.2B.0C.60D.625.已知空间向量，，则在上的投影向量坐标是（ ）A. B. C. D.6.在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，点满足，则（ ）A. B.C. D.7.在空间直角坐标系中，若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（ ）A B. C.或 D.与斜交8.已知向量，，且平面，平面，若平面与平面的夹角的余弦的值为（ ）A.或 B.或1 C.或2D.二、多选题（每小题6分）9.三棱锥中，平面与平面的法向量分别为，，若，则二面角2i z =+izz =+3i 4-1i 4-3i4+1i 4+y =[3,4)(,3]-∞[3,)+∞(,4]-∞2π2cos 14y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭πππ2π2()f x R (2)()f x f x -=(1)2f =(1)(2)(30)f f f ++⋅⋅⋅+=(3,4,0)a =(3,1,4)b =- b a (3,4,0)--34,,055⎛⎫--⎪⎝⎭314,,555⎛⎫--⎪⎝⎭(3,1,4)--P ABC -A PBC H M 34AM AH = PM =131444PA PB PC -+111444PA PB PC ++111424PA PB PC -+113444PA PB PC -+l (1,2,1)a =-α(2,3,4)n =//l αl α⊥l α⊂//l αl α(1,2,1)m =- (,1,)n t t =- m ⊥ αn ⊥βαβt 121-151-12-A BCD -ABD BCD 1n 2n 12π,3n n =的大小可能为（ ）A. B. C.D.10.随机抽取8位同学对2024年数学新高考|卷的平均分进行预估，得到一组样本数据如下：97，98，99，100，101，103，104，106，则下列关于该样本的说法正确的有（ ）A.均值为101 B.极差为9C.方差为8D.第60百分位数为10111.已知空间中三点，，，则（ ）A.与是共线向量B.与向量方向相同的单位向量坐标是C.与D.在三、填空题（每小题5分）12.已知是定义在上的奇函数，当时，，当时，，则_______.13.已知向量，，，若，，共面，则_______.14已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是_______.四、解答题（五个大题共77分）15.（本题13分）（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记的内角，，的对边分别为，，，已知.（1）求.（2）若，求的周长.16（本题15分）某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为、、，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且.（1）求与的值；（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“诗词”A BD C --π6π32π35π6(0,1,0)A (2,2,0)B (1,3,1)C -AB AC AB ⎫⎪⎪⎭AB BC BC AB ()f x R 0x >2()22xxf x -=+0x <()22x x f x m n -=⋅+⋅m n +=(2,3,4)a x = (0,1,2)b = (1,0,0)c =a b c x =(2,,1)a t =--(2,1,1)b = a b t ABC △A B C a b c sin 2A A +=A 2a =sin sin 2C c B =ABC △m 13n 12434m n >m n社的同学增加校本选修学分2分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3分.求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于4分的概率.17.（本题15分）如图，在以，，，，，为顶点的六面体中（其中平面），四边形是正方形，平面，，且平面平面.（1）设为棱的中点，证明：，，，四点共面；（2）若，求六面体的体积.18.（本题17分）一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量（单位：kg ），将全部数据按区间，，，分成5组，得到图所示的频率分布直方图.（1）求图中的值；并估计该水果店过去200天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）若一次进货太多，水果不新鲜，进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能地满足顾客的需要（在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求）.请问，每天应该进多少水果？（3）在日销售量为苹果中用分层抽样方式随机抽6个苹果，再从这6苹果中随机抽取2个苹果，求抽取2个苹果都来自日销售量在的概率.19（本题17分）（2022年新高考天津数学高考真题）直三棱柱中，，，为的中点，为的中点，为的中点.A B C D E F F ∈EDC ABCD ED ⊥ABCD BF FE =FEB ⊥EDB M EB A C F M 24ED AB ==EFABCD [50,60)[60,70)⋅⋅⋅[90,100]a 85%[70,90]kg [80,90]111ABC A B C -12AA AB AC ===AC AB ⊥D 11A B E 1AA F CD（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求平面与平面夹角的余弦值.//EF ABC BE 1CC D 1ACD 1CC D高二数学9月月考试题参考答案一、单选题（每小题5分共40分）1.A2.A3.A4.A【详解】由题意，所以的周期为4，且关于直线对称，而，所以.5.B【详解】因为空间向量，，所以，，，则在上的投影向量坐标是：.6.B【详解】在正四面体中，因为平面，所以是的中心，连接，则，所以.7.C【解析】由可得，所以或，即可得正确选项.【详解】直线的方向向量为，平面的法向量为，因为，所以，所以或.8.B【详解】因为，所以，，，因为平面，平面，若平面与平面，，解得或1.二、多选题（每小题6分共18分）9.BC【详解】二面角的大小与法向量的夹角相等或互补，二面角的大小可能为或.10.ABD【详解】A选项，均值为，A正确；(2)()()(2)f x f x f x f x-==--=--()f x()f x1x=(1)(2)(3)(4)(0)(1)(1)(2)(2)(0)0f f f f f f f f f f+++=++-+===(1)(2)(30)(29)(30)(1)(2)(0)(1)022f f f f f f f f f++⋅⋅⋅+=+=+=+=+=(3,4,0)a=(3,1,4)b=-9405a b⋅=-++=-5a==b==ba 5134(3,4,0),,05555a b aa a⋅-⎛⎫⋅=⨯=--⎪⎝⎭P ABC-AH⊥PBC H PBC△PH()()211323PH PB PC PB PC=⨯+=+()33334444PM PA AM PA AH PA PH PA PA PH PA=+=+=+-=+-()3331311144434444PA PH PA PA PB PC PA PA PB PC=+-=+⨯+-=++a n⋅=a n⊥lα⊂//lαl(1,2,1)a=-α(2,3,4)n=(2,3,4)(1,2,1)2640a n⋅=⋅-=-+=a n⊥lα⊂//lα(1,2,1)m=-(,1,)n t t=-22m n t⋅=+m=n=m⊥αn⊥βαβ=25610t t-+=15t=∴A BD C--π3π2ππ33-=9798991001011031041061018+++++++=B 选项，极差为，B 正确；C 选项，方差为，C 错；D 选项，因为，故从小到大，选择第5个数作为第60百分位数，即101.11.BD 【详解】由已知，，，，因此与不共线，A 错；，所以与向量，B 正确；，，，C 错；在上的投影是，D 正确.三、填空题（每小题5分共15分）12.【详解】令，则，所以.因为是定义在上的奇函数，所以，所以，所以，，所以.13.【详解】由题意得，存在，使得，即，故解得，.14.【详解】由，得，解得，又，得，解得，所以与夹角为钝角，实数的取值范围为且.四、解答题（五个大题共77分）15.（本题13分）【解析】（1）由可得，即，由于，故，解得.（2）由题设条件和正弦定理，106979-=222(97101)(98101)(106101)169410492517882-+-+⋅⋅⋅+-+++++++==60%8 4.8⨯=(2,1,0)AB = (1,2,1)AC =- (3,1,1)BC =-1221-≠AB AC AB = AB ⎫=⎪⎪⎭6105AB BC ⋅=-++=- BC = cos ,AB BC AB BC AB BC⋅〈〉===BC AB BC AB AB⋅==5-0x <0x ->2()22xx f x -+-=+()f x R ()()f x f x -=-2()22422xx x x f x +--=--=-⨯-4m =-1n =-5m n +=-23m n a mb nc =+ (2,3,4)(0,1,2)(1,0,0)x m n =+2342nx m m=⎧⎪=⎨⎪=⎩2m =23x =(,1)(1,5)-∞-- 0a b ⋅<(2)2(1)10t -⨯++-⨯<5t <//a b 21211t --==1t =-a b t 5t <1t ≠-67=+sin 2A A +=1sin 12A A +=πsin 13A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππ4π(0,π),333A A ⎛⎫∈⇒+∈ ⎪⎝⎭ππ32A +=π6A =sin sin 2sin 2sin sin cos C c B B C C B B =⇔=又，，则，进而，于是，，由正弦定理可得，，即，解得，，故的周长为.16.（本题15分）【详解】（1）依题，解得.（2）由题令该新同学在社团方面获得本选修课学分的分数为，获得本选修课学分分数不低于4分为事件A ，则；；.故.17.（本题15分）【详解】（1）连接，由四边形是正方形，故，又平面，平面，故，由，，平面，故平面，又为棱的中点，，故，又平面平面，平面平面，平面，故平面，故，所以，，，四点共面；（2）设与交于点，连接，则，又平面，平面，则平面，又因为六面体，则平面平面，又平面，故，则四边形为矩形，则，且平面，又，故，则.18（本题17分）【详解】（1）由直方图可得，样本落在，，，的频率分别为，，0.2，0.4，0.3，由，解得.B (0,π)C ∈sin sin 0B C ≠cos B =π4B =7π12C A B π=--=sin sin(π)sin()sin cos sin cos C A B A B A B B A =--=+=+=sin sin sin a b c A B C ==2ππ7πsin sin sin 6412b c==b =c =+ABC △2++78=+11324131(1)1(1)34mn m n m n ⎧=⎪⎪⎪⎛⎫----=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎪⎩1214m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩i X ()4121123412P X =⨯⨯=()5111123424P X =⨯⨯=()6111123424P X =⨯⨯=1111()1224246P A =++=78+AC ABCD AC DB ⊥ED ⊥ABCD AC ⊂ABCD ED AC ⊥DE BD D = DE BD ⊂EDB AC ⊥EDB M EB BF FE =FM EB ⊥FEB ⊥EDB FEB EDB EB =FM ⊂EFB FM ⊥EDB //FM AC A C F M AC BD O OM //OM DE OM ⊂ACFM DE ⊂/ACFM //DE ACFM EFABCD CDEF ACFM CF =DE ⊂CDEF //DE CF OCFM 1CF =CF ⊥ABCD BF FE =122CF DE ==11204422333EFABCD E ABCD B EFC V V V --=+=⨯⨯+⨯⨯=557=++[50,60)[60,70)⋅⋅⋅[90,100]10a 10a 10100.20.40.31a a ++++=0.005a =则样本落在，，，频率分别为0.05，0.05，0.2，0.4，0.3，所以，该苹果日销售量的平均值为：.（2）为了能地满足顾客的需要，即估计该店苹果日销售量的分位数.依题意，日销售量不超过90kg 的频率为，则该店苹果日销售量的分位数在，所以日销售量的分位数为.所以，每天应该进95kg 苹果.（3）由日销售量为，的频率分别为0.2，0.4知，抽取的苹果来自日销售量中的有2个，不妨记为，，来自日销售量为的苹果有4个，不妨记为，，，，任意抽取2个苹果，有，，，，，，，，，，，，，，，共有15个基本事件，其中2个苹果都来自日销售中的有6个基本事件，由古典概型可得.19.（本题17分）【解析】（1）证明：在直三棱柱中，平面，且，则以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、、、、，则，易知平面的一个法向量为，则，故，平面，故平面.[50,60)[60,70)⋅⋅⋅[90,100]5060607070808090901000.050.050.20.40.383.5(kg)22222+++++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=85%85%10.03100.7-⨯=85%[90,100]85%0.850.7901095(kg)10.7-+⨯=-[70,80)[80,90][70,80)1a 2a [80,90]1b 2b 3b 4b ()12,a a ()11,a b ()12,a b ()13,a b ()14,a b ()21,a b ()22,a b ()23,a b ()24,a b ()12,b b ()13,b b ()14,b b ()23,b b ()24,b b ()34,b b [80,90]62155P ==557++111ABC A B C -1AA ⊥111A B C AC AB ⊥1111A C A B ⊥1A 1A A 11A B 11A C x y z (2,0,0)A (2,2,0)B (2,0,2)C 1(0,0,0)A 1(0,2,0)B 1(0,0,2)C (0,1,0)D (1,0,0)E 11,,12F ⎛⎫⎪⎝⎭10,,12EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭ABC (1,0,0)m =0EF m ⋅= EF m ⊥ EF ⊂/ ABC //EF ABC（2），，，设平面的法向量为，则，取，可得，.因此，直线与平面夹角的正弦值为.（3），，设平面的法向量为，则，取，可得，则因此，平面与平面.1(2,0,0)C C = 1(0,1,2)C D =- (1,2,0)EB =1CC D ()111,,u x y z = 111112020u C C x u C D y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩ 12y =(0,2,1)u =4cos ,5EB u EB u EB u ⋅==⋅BE 1CC D 451(2,0,2)AC = 1(0,1,0)A D =1ACD ()222,,v x y z = 122122200v A C x z v A D y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ 21x =(1,0,1)v =-cos ,u v u v u v ⋅〈〉===⋅ 1ACD 1CC D。

※精品试卷※四川省遂宁市安居育才卓同国际学校2018-2019学年高二数学上学期9月月考试题理（无答案）（时间120分钟满分150分）注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．若两直线的倾斜角分别为，则下列四个命题中正确的是（）A．若，则两直线的斜率： B．若，则两直线的斜率：C．若两直线的斜率：，则 D．若两直线的斜率：，则2．已知直线，若，则实数的值是（）A． 2或 B． C． 2 D．或13．下列说法中不正确的是( )A．两直线的斜率存在时，它们垂直的等价条件是其斜率之积为－1B．如果方程Ax＋By＋C＝0表示的直线是y轴，那么系数A，B，C满足A≠0，B＝C＝0C． Ax＋By＋C＝0和2Ax＋2By＋C＋1＝0表示两条平行直线的等价条件是A2＋B2≠0且C≠1D．与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程可设为Bx＋Ay＋m＝0(m为参数)4．已知从点发出的一束光线，经轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为( )A．B．C．D．5．已知直线的倾斜角为，直线经过，两点，且直线与垂直，则实数的值为A．─2 B．─3 C．─4 D．─56．若动点分别在直线上移动，则的中点到原点的距离的最小值是 ( ）A． B．C．D．7．已知实数满足，若只在点（4，3）处取得最大值，则的取值范围是( )A．B．C． D．8．若圆x2＋y2－6x－2y＋6＝0上有且仅有两个点到直线x－y＋a＝0(a是实数)的距离为1，则a的取值范围是( ) A．B．C．D．9．与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程是A．B．C．D．10．已知满足时, 的最大值为,则直线过定点（）A． B． C．D．11．数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称为欧拉线，已知的顶点,若其欧拉线方程为, 则顶点的坐标为 ( ）A．B．C．或 D．12．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果击中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A、B的距离之比为λ（0λ>，1λ≠），那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面，我们来研究与此相关的一个问题．已知圆：221x y+=和点1,02A⎛⎫-⎪⎝⎭，点()1,1B，M为圆O上动点，则2MA MB+的最小值为（）A．B．C．D．二.填空题（每小题5分，共计20分）13．圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的交点坐标为___________14．关于x44kx k=+-有两个不等的实数根，则实数k的取值范围为_______________.15．设两条直线的方程分别为，，已知a，b 是方程的两个实根，且，则这两条直线之间的距离的最小值是16．已知点A，O为坐标原点，点(,)P x y满足20yxy⎧-≤⎪⎪+≥⎨⎪≥⎪⎩,则||OA OPZOA⋅=的最大值是三.解答题（17题10分，18-22题各12分，共计70分）17. 已知直线与直线.(1)若这两条直线垂直,求k的值;(2)若这两条直线平行,求k的值.18．过点()2,1P作直线l分别交,x y轴的正半轴于,A B两点.（Ⅰ）当OA OB⋅取最小值时，求出最小值及直线l的方程；（Ⅱ）当OA OB+取最小值时，求出最小值及直线l的方程；（Ⅲ）当PA PB⋅取最小值时，求出最小值及直线l的方程.※精 品 试 卷 ※19．已知以点()1,2A -为圆心的圆与直线1:270l x y ++=相切，过点()2,0B -的直线l 与圆A 相交于,M N 两点， Q 是MN 的中点，MN =(1)求圆A 的标准方程； (2)求直线l 的方程.20．某颜料公司生产A ，B 两种产品，其中生产每吨A 产品，需要甲染料1吨，乙染料4吨，丙染料2吨，生产每吨B 产品，需要甲染料1吨，乙染料0吨，丙染料5吨，且该公司一天之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过50吨，160吨和200吨，如果A 产品的利润为300元/吨，B 产品的利润为200元/吨，设公司计划一天内安排生产A 产品x 吨，B 产品y 吨.（I ）用x ，y 列出满足条件的数学关系式，并在下面的坐标系中画出相应的平面区域； （II ）该公司每天需生产A ，B 产品各多少吨可获得最大利润，最大利润是多少?21．已知点及圆：.（1）若直线过点且与圆心的距离为1，求直线的方程； （2）若过点的直线与圆交于、两点，且，求以为直径的圆的方程； （3）若直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．22.在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为,且圆C 与x 轴交于M,N 两点,设直线l的方程为(1)当直线l 与圆C 相切时,求直线l 的方程; (2)已知直线l 与圆C 相交于A,B 两点 (i)若,求实数k 的取值范围;直线AM 与直线BN 相交于点P,直线AM,直线BN,直线OP 的斜率分别为,,,是否存在常数a,使得恒成立?若存在,求出a 的值;若不存在,说明理由.。

辽宁省本溪市高级中学2022高二数学9月月考试题本试卷共150分,考试时间120分钟。

一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，集合，则图中的阴影部分表示的集合是A．[1, 3] B．(1, 3]C．{-1,2,3} D．{-1,0,2,3}2．函数在闭区间[]0,m上有最大值3,最小值为2,的取值范围是A. B．C ．D ．3．已知, ,, 则的大小关系是A．a<b<c B．c<a<bC．a<c<b D．c<b<a4．已知函数其中,若的图像如图所示,则函数的图像大致为A ．B ．C ．D ．5．在下列条件中,可判定平面与平面平行的是A ．,都平行于直线B ．内存不共线的三点到的距离相等C ．, 是内的两条直线,且,D ．, 是两条异面直线,且, , ,6．点, 是圆上的不同两点,且点,关于直对称,则该圆的半径等于A．B．C ．D ．7．某学校为了调查高一年级的200名学生完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机抽取20名同学进行抽查；第二种由教务处对该年级的学生进行编号，从001到200，抽取学号最后一位为2的同学进行调查，则这两种抽样的方法依次是A．分层抽样，简单随机抽样B．简单随机抽样，分层抽样C．分层抽样，系统抽样D．简单随机抽样，系统抽样8．函数5()sin()2f x xπ=+是A ．奇函数 B．非奇非偶函数 C ．常数函数 D．偶函数9．一个口袋中装有大小和形状都相同的一个白球和一个黑球，那么“从中任意摸一个球得到白球”，这个事件是A．随机事件B．必然事件C ．不可能事件D．不能确定10．已知函数,则下列结论错误的是A ．的一个周期为B ．的图像关于直线对称C ．的一个零点为D．在区间上单调递减11．设是所在平面内一点，且，则A．B．C．D．12．已知角的终边过点，则A．B．C．3 D．-3二．填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分．13．设集合，，则________．14．设公比为的等比数列的前项和为, 若，则________ ．15．已知函数为常数在区间上的最大值为1，则________．16. 如图，在中，已知为边的中点.若，垂足为，则的值为________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．（70分）17. (10分)如图：某快递小哥从地出发，沿小路以平均时速20公里/小时，送快件到处，已知（公里）,，是等腰三角形,．(1) 试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到处？(2) 快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路追赶，若汽车平均时速60公里/小时，问，汽车能否先到达处？18. (12分)已知二次函数满足，且．（1）求函数的解析式；（2）求在区间上的最大值和最小值；（3）当时, 恒成立，求的取值范围．19（12分）已知圆和.（1）求证：圆和圆相交；（2）求圆和圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长．20. (12分)已知函数．(1) 求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；(2) 若，求的值．21. (12分) 某中学团委组织了“弘扬奥运精神，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六段[40,50]，[50,60]，…，[90,100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形给出的信息，回答下列问题．（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分；（3）从成绩是[40,50]和[90,100]的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率．22（12分）在数列中，，.（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的前项和.数学试卷答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．C 2．C 3． D 4． A 5． D 6． D7．D 8．D 9． A 10．B 11．D 12． A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. ;14. 或;15. ;16. .三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．17.解( 1 )（公里），中，由，得（公里）于是，由知，快递小哥不能在50分钟内将快件送到处．( 2 ) 在中，由，得（公里），在中，，由，得（公里），由（分钟）知，汽车能先到达处．18.解( 1 )根据题意，设二次函数的解析式为由得，则;又由，则．即，则有，解可得，，故.( 2 ) 根据题意，由的结论，，在上为减函数，在上为增函数，又由，，则，则在区间上的最大值为，最小值为根据题意，当时，恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，又由分析可得：，则有在上恒成立，；即a的取值范围为．( 3 ) 根据题意，当时，恒成立，即在上恒成立，由基本不等式的性质分析可得，则有在上恒成立，解可得a的取值范围，即可得答案．19．（1）证明：圆C1的圆心C1(1,3)，半径r1＝，圆C2的圆心C2(5,6)，半径r2＝4，两圆圆心距d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝＋4，|r1－r2|＝4－，∴|r1－r2|<d<r1＋r2，∴圆C1和C2相交（2）解：圆C1和圆C2的方程左、右分别相减，得4x＋3y－23＝0，∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0.圆心C2(5,6)到直线4x＋3y－23＝0的距离|201823|3169d+-==+，故公共弦长为216-9=2720.解( 1 )由，得，所以函数的最小正周期为因为，所以，所以函数在区间上的最大值为2，则最小值为-1( 2 ) 由（1）可知，又因为，所以，由，得，从而，所以.21.解( 1 ) 因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：f4＝1－（0．025＋0．015×2＋0．01＋0．005）×10＝0.3．其频率分布直方图如图所示：( 2 ) 依题意，60分及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为（0．015＋0．030＋0．025＋0．005）×10＝0．75．所以，估计这次考试的合格率是75%．利用组中值估算这次考试的平均分，可得：45·f1＋55·f2＋65·f3＋75·f4＋85·f5＋95·f6＝45×0．1＋55×0．15＋65×0．15＋75×0．3＋85×0．25＋95×0．05＝71．所以估计这次考试的平均分是71分.( 3 ) [40，50]与[90．100]的人数分别是6和3，所以从成绩是[40，50]与[90，100]的学生中选两人，将[40，50]分数段的6人编号为A1 ， A2 ， A6 ，将[90，100]分数段的3人编号为B1 ， B2 ， B3，从中任取两人，则基本事件构成集合Ω＝{（A1 ， A2），（A1 ， A3）（A1 ， A6），（A1 ， B1），（A1 ， B2），（A1 ， B3），（A2 ， A3），（A2 ， A4），，（B2 ， B3）}共有36个，其中，在同一分数段内的事件所含基本事件为（A1 ，A2），（A1 ， A3）（A1 ， A6），（A2 ， A3）（A5 ， A6），（B1 ， B2），（B1 ， B3），（B2 ， B3）共18个，故概率P＝＝.22．解：（1）的两边同时除以，得所以数列是首项为4，公差为2的等差数列.（2）由（1）得，所以，故，所以。