《导数各种题型及解法总结》
基础知识梳理
1.常见题型
2.在解题中常用的有关结论(需要熟记):
3.解题方法规律总结
虑判别式、对称轴、区间端点函数值的符号等因素。
2. 已知函数(含参数)在某区间上单调，求参数的取值范围，有三种方法：
①子区间法；②分离参数法；③构造函数法。
3. 注意分离参数法的运用：含参数的不等式恒成立问题，含参数的不等式在某区间上有解， 含参
数的方程在某区间上有实根(包括根的个数)等问题，都可以考虑用分离参数法，前 者是求函数的最值，后者是求函数的值域。
4. 关于不等式的证明：通常是构造函数，考察函数的单调性和最值。有时要借助上一问的有
关单调性或所求的最值的结论，对其中的参数或变量适当赋值就可得到所要证的不等式。 对于含有正整数n 的带省略号的不定式的证明，先观察通项，联想基本不定式(上述结论 中的13)，确定要证明的函数不定式(往往与所给的函数及上一问所得到的结论有关) ， 再对自变量x 赋值，令x 分别等于1、2、…….、n,把这些不定式累加，可得要证的不定式。)
5. 关于方程的根的个数问题：一般是构造函数，有两种形式，一是参数含在函数式中，二是
参数被分离，无论哪种形式，都需要研究函数在所给区间上的单调性、极值、最值以及区 间端点的函数值，结合函数图象， 确立所满足的条件，再求参数或其取值范围。
一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立;
1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：
第一步：令f (x) =0得到两个根；第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；
其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题, 2、常见处理方法有三种：
第一种：分离变量求最值 -----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论( >0,=0,<0 )
第二种：变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元)； 例1：设函数y 二f(x)在区间D 上的导数为f(x)， f (x)在区间D 上的导数为g(x)，若在区间 D 上,
(2)若对满足 m 兰2的任何一个实数 m ，函数f (x)在区间(a,b )上都为“凸函数”，求b-a 的最大值.
g(x) -.0恒成立，则称函数y = f(x)在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数,
(1 )若y = f (x)在区间0,3 1上为“凸函数”，求m 的取值范围； 4
f(x 7 6 3 mx 3x
1
例2:设函数f (x) x3 2ax2 -3a2x b(0 ：：： a ::: 1, b R)
3
(I)求函数f (x)的单调区间和极值；
(n)若对任意的x引a+1,a+2],不等式flx/a恒成立，求a的取值范围. (二次函数区间最值的例子)
点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴(重视单调区间)与定义域的关系
第三种：构造函数求最值
题型特征：f(x) g(x)恒成立h(x)二f (x)-g(x) • 0恒成立；从而转化为第一、二种题型
3 2 3 t — 6 2
例3 ；已知函数f(x^x3 ax2图象上一点P(1,b)处的切线斜率为-3 ,g(x)=x3—x-(t 1)x 3 (t 0) (I)求a,b的值；(n)当x・[-1,4]时，求f (x)的值域；
(川)当[1,4]时，不等式f(x) _g(x)恒成立，求实数t的取值范围。
二、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围
解法1：转化为f'(x) -0或f'(x)"在给定区间上恒成立，回归基础题型精彩文档
解法2:利用子区间(即子集思想)；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；
做题时一定要看清楚“在(m,n)上是减函数”与“函数的单调减区间是(a,b)”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集
1 3 a 十1 2
例4:已知a R，函数f (x) x x (4a - 1)x .
12 2
(I)如果函数g(x)二f (x)是偶函数，求f (x)的极大值和极小值；
(n)如果函数f (x)是(一二，：：)上的单调函数，求a的取值范围.
13 1 2 例5、已知函数f (x) x3 (2 - a)x2 (1 - a)x(a _ 0).
3 2
(I)求f (x)的单调区间；(II )若f (x)在［0，1］上单调递增，求a的取值范围。子集思想
三、题型二：根的个数问题
题1函数f(x)与g(x)(或与x轴)的交点======即方程根的个数问题
解题步骤
第一步：画出两个图像即“穿线图”(即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减
再增”还是“先减后增再减”；
主要看极大值和极小值与0的关系;
且f (x)在区间(2,上为增函数. k 的取值范围.
根的个数知道，部分根可求或已知。
3 1 2
例7、已知函数f (x) =ax x -2x c
2
(1 )若X =-1是f (x)的极值点且f (x)的图像过原点，求f (x)的极值；
1 2
(2)若g(x) =^bx -x d ，在(1 )的条件下，是否存在实数 b ，使得函数g(x)的图像与函数f (x)的 图像恒有含x =-1的三个不同交点？若存在，求出实数 b 的取值范围；否则说明理由。 …
题2:切线的条数问题====以切点x o 为未知数的方程的根的个数
例7、已知函数f (x)二ax 3 bx 2
cx 在点x 处取得极小值一4,使其导数f '(x) - 0的x 的取值范围为(1,3), 求：(1) f (x)的解析式；(2)若过点P(-1,m)可作曲线y = f(x)的三条切线，求实数 m 的取值范围.第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式
(组)； 第三步：解不等式(组)即可； 1
(k +1) 1 例 6、已知函数 f (x) x 3
x 2， g(x) kx ， 3
2 3 (1) 求实数k 的取值范围；
