勾股定理逆定理的五种应用

勾股定理逆定理的五种应用

“如果一个三角形的三条边长分别为a、b、c，且有，那么这个

三角形是直角三角形。”这就是勾股定理的逆定理。它是初中几何中极其重要的一个定理，有着广泛的应用。下面举例说明。

一. 用于判断三角形的形状

例1. 如图1，中，，，

，求证：是直角三角形

证明：由已知得：

，即c是最长边

是直角三角形

二. 用于求角度

例2. 如图2，点P是等边内一点，且，，，求的度数

解：因，以点B为定点，将旋转到达的位置，连结PP”，则

为等边三角形

在中

由勾股定理的逆定理知

三. 用于求边长

例3. 如图3，在中，D是BC边上的点，已知，，，，求DC的长。

解：在中，由可知

又由勾股定理的逆定理知

在中

四. 用于求面积

例4. 如图4，已知，AB＝3，BC＝4，CD＝12，DA＝13。求四边形ABCD的面积。

解：连结AC，在中，由勾股定理得

在中

由勾股定理的逆定理知

五. 用于证明垂直

例5. 如图5，已知正方形ABCD中，，，求证：

证明：连结FC，设AF＝1，则DF＝3，，

在、、中

由勾股定理的逆定理知

即