动点问题—二次函数中等腰三角形存在性问题
方法总结：
假设结论成立；
当所给条件中没有说明哪条边是等腰三角形的底、哪条是腰时，要对其进行分类讨论，假设某两条边相等，等到三种情况；
设未知量，求边长，在每种情况下，直接或间接设出所求点的坐标，并用所设点坐标表示出假设相等的两条边的长或第三边的长；
④计算求解，根据等腰三角形的性质或利用勾股定理或相似三角形的性质列等量关系式，根据等量关系式求解即可。
典型例题：
例1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．
例2.如图，抛物线y=﹣221x+nmx与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．
例3．如图，二次函数212yxbxc的图象经过A(2，0)，B(0，－6)两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积．
（3）在x轴上是否存在一点P，使△ABP为等腰三角形，若存在，求出P的坐标，若不存在，说明理由.
例4. （2014•绵阳）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点M（﹣2，），顶点坐标为N（﹣1，），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
二次函数中的等腰三角形问题 个性化教案 个性化教案 个性化教案 个性化教案
式；交点式：y=a（x－x1）（x－x2），通常要知道图像与x轴的两个交点坐标x1，x2才能求出此解析式；对于y=ax2+bx+c而言，其顶点坐标为（－2ba，244acba）．对于y=a（x－h）2+k而言其顶点坐标为（h，k），•由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点．
考点2 等腰三角形的性质
1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一性质”）。 个性化教案
3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
7.等腰三角形是轴对称图形，（不是等边三角形的情况下）只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
9.等腰三角形的腰与它的高的关系 个性化教案
直接的关系是：腰大于高。间接的关系是：腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。
考点3 相似三角形的性质
1.相似三角形对应角相等，对应边成正比例。
2.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。
3.相似三角形周长的比等于相似比。
4.相似三角形面积的比等于相似比的平方。
5.相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方
6.若a/b =b/c，即b²=ac，b叫做a,c的比例中项 个性化教案
7.c/d=a/b 等同于ad=bc.
动点问题—二次函数中等腰三角形存在性问题
方法总结：
假设结论成立；
当所给条件中没有说明哪条边是等腰三角形的底、哪条是腰时，要对其进行分类讨论，假设某两条边相等，等到三种情况；
设未知量，求边长，在每种情况下，直接或间接设出所求点的坐标，并用所设点坐标表示出假设相等的两条边的长或第三边的长；
④计算求解，根据等腰三角形的性质或利用勾股定理或相似三角形的性质列等量关系式，根据等量关系式求解即可。
典型例题：
例1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．
例2.如图，抛物线y=﹣221x+nmx与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．
例3．如图，二次函数212yxbxc的图象经过A(2，0)，B(0，－6)两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积．
（3）在x轴上是否存在一点P，使△ABP为等腰三角形，若存在，求出P的坐标，若不存在，说明理由.
例4. （2014•绵阳）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点M（﹣2，），顶点坐标为N（﹣1，），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
中考二次函数中等腰三角形存在问题
如图1-1，在平面直角坐标系xOy中，已知点D的坐标为(3,4)，点P是x轴正半轴上
的一个动点，如果△DOP是等腰三角形，求点P的坐标．
图1-1
分三种情况讨论等腰三角形△DOP：①DO＝DP，②OD＝OP，③PO＝PD．
①当DO＝DP时，以D为圆心、DO为半径画圆，与x轴的正半轴交于点P，此时
点D在OP的垂直平分线上，所以点P的坐标为(6,0)（如图1-2）．
②当OD＝OP＝5时，以O为圆心、OD为半径画圆，与x轴的正半轴交于点P(5,0)
（如图1-3）．
③当PO＝PD时，画OD的垂直平分线与x轴的正半轴交于点P，设垂足为E（如图
1-4）．
在Rt△OPE中，3
cos
5OE
DOP
OP，5
2OE，所以25
6OP
．
此时点P的坐标为25
(,0)
6．1.2．如图，已知抛物线2
yaxbxc
（a≠0）经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣
3）三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点B的距离之和最短时，求点P
的坐标；
（3）点M也是直线l上的动点，且△MAC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的
点M的坐标．
3.如图，抛物线2
yaxbxc
（a
、b
、c
为常数，a
≠0）经过点A
（﹣1，0），B
（5，﹣6），
C
（6，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，在直线AB
下方的抛物线上是否存在点P
使四边形PACB
的面积最大？若存在，请求
出点P
的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点Q
为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出△QAB
为等腰三角形的点Q
一共有几个？
并请求出其中某一个点Q
的坐标．
3.如图，在平面直角坐标系中，直线y
=﹣2x
+10与x
轴，y
轴相交于A
，B
两点，点C
的坐标是
（8，4），连接AC
，BC
．
（1）求过O
，A
，C
三点的抛物线的解析式，并判断△ABC
的形状；
（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点M
