高三数学知识点内接圆

外切球和内切球知识点总结一、外切球和内切球的定义1. 外切球在几何学中，外切球是指一个球与另外一个几何体（通常是一个多边形或圆柱体）相切于凸多边形或凸多面体的每一侧面的情况。

外切球的直径等于两相切多边形（或多面体）的对边之和。

以正方形为例，外切球的定义如下：对于一个正方形，以正方形的每一条边为切点做球的切线，则球的外切球的半径等于正方形的边长的一半。

2. 内切球内切球是指一个球刚好被另外一个几何体（通常是一个多边形或圆柱体）所包围，并且与该几何体的每一边或面都相切的情况。

内切球的直径等于围绕这个球的多边形（或多面体）的对边之和。

以正方形为例，内切球的定义如下：对于一个正方形，用正方形的每个顶点作为球的切点，那么这个球就是正方形的内切球。

二、外切球和内切球的性质1. 外切球的性质外切球的性质主要有以下几点：（1）外切球的半径等于多边形（或多面体）的对角线的一半。

（2）对于任意多边形，外切球与多边形的外切圆心在一条直线上。

（3）外切球的切点在多边形（或多面体）的中点处。

（4）外切球的半径等于多边形（或多面体）的外接圆的半径。

2. 内切球的性质内切球的性质主要有以下几点：（1）内切球的半径等于多边形（或多面体）的内切圆的半径。

（2）对于任意多边形，内切球的内切圆心和多边形的顶点在一条直线上。

（3）内切球的切点在多边形（或多面体）的中点处。

（4）内切球的半径等于多边形（或多面体）的外接圆的半径减去多边形（或多面体）的半径。

三、外切球和内切球的应用外切球和内切球在数学、物理、工程等领域都有着重要的应用，下面将分别介绍它们在不同领域的具体应用。

1. 数学领域在数学领域，外切球和内切球主要应用于解决几何问题和优化问题。

例如，外切球和内切球可以用来求解多边形（或多面体）的面积、体积、周长等问题，同时也可以用来解决某些最优化问题，比如求解最大最小值等。

此外，外切球和内切球还可以应用于解决一些具体的数学难题，比如利用外切球和内切球的性质证明某些几何定理、求解某些不等式等。

三角形的内切圆三角形的内切圆是指一个能够完全嵌入于三角形内部、与三角形的三条边相切于一点的圆。

内切圆可以从许多不同角度来研究，它具有许多有趣的性质和应用。

本文将介绍三角形的内切圆的定义、性质和一些相关应用。

首先，让我们来定义三角形的内切圆。

给定一个三角形ABC，假设它的三条边分别为a、b和c。

现在我们想要找到一个圆，使得该圆内切于三角形ABC，并且与三角形的三边分别相切于点D、E和F。

圆心O位于三角形的内部，并且到三角形的三边的距离相等，我们将其距离记为r。

这个圆就是三角形ABC的内切圆。

三角形的内切圆具有许多有趣的性质。

首先，内切圆的圆心和三角形的每个顶点以及内切点D、E和F在一条直线上，这条直线叫做内切圆的欧拉线。

此外，内切圆的半径r等于三角形的面积S除以半周长s 的差值，即r = S/s，其中S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]，s为半周长。

内切圆还有一些重要的性质。

首先，内切圆与三角形的每个外接圆相切于同一点D、E和F，并且它们的半径相等。

其次，内切圆的半径和三角形的面积成正比，当半径增加时，面积也增加，反之亦然。

此外，内切圆的面积等于三角形的面积，且内切圆的周长等于三角形的周长。

内切圆还有一些实际应用。

例如，在制作方程式赛车时，车轮的形状通常是一个内切圆，这样可以确保车轮与地面的接触面积最大，提供更好的牵引力和操控性能。

此外，在建筑和工程中，内切圆也被广泛应用，例如在圆形井盖、管道等设计中。

通过研究三角形的内切圆，我们可以更深入地了解几何学中的一些基本概念和性质。

同时，内切圆还有一些实际应用，使我们更好地理解它们在现实世界中的意义。

总结起来，三角形的内切圆是指一个能够完全嵌入于三角形内部、与三角形的三条边相切于一点的圆。

它具有许多有趣的性质，包括与三角形的每个外接圆相切、与三角形的三个顶点和内切点在一条直线上等。

它也有一些实际应用，如在方程式赛车和建筑工程中的应用。

通过研究三角形的内切圆，我们可以深入了解几何学中的一些基本概念和性质。

三角形的内切圆知识点总结三角形的内切圆是指能够与三角形的三条边都相切的圆。

它在三角形中起到了重要的几何作用，不仅在数学中有重要的应用，也在实际生活中有许多实际意义。

本文将从三角形的内切圆的定义、性质、构造方法、应用等方面进行探讨。

一、内切圆的定义三角形的内切圆是指能够与三角形的三条边都相切的圆。

换句话说，内切圆的圆心与三角形的三边的交点都在同一条直线上。

内切圆的半径被称为三角形的内切圆半径，通常用r表示。

二、内切圆的性质1. 内切圆的圆心与三角形的三边的交点都在同一条直线上，这条直线被称为内切圆的欧拉线。

2. 内切圆的半径与三角形的三边的长度有一定的关系。

根据欧拉定理，内切圆的半径r等于三角形的周长p与面积S的比值的一半，即r = S/p。

3. 内切圆的半径r与三角形的三个内角的正弦值的倒数之和有关，即1/r = (sinA + sinB + sinC)/p，其中A、B、C分别为三角形的三个内角。

4. 内切圆的圆心与三角形的三个内角的平分线相交。

三、内切圆的构造方法1. 根据内切圆的定义，可以通过直接计算三角形的内切圆半径和圆心的坐标来构造内切圆。

2. 另一种构造内切圆的方法是利用三角形的角平分线和垂直平分线的性质。

首先，通过角平分线找到三个内角的平分线交点，然后通过垂直平分线找到三个内边的中点，最后通过这些点来确定内切圆的圆心和半径。

四、内切圆的应用1. 在数学中，内切圆广泛应用于三角形的面积、周长、角度、长度等问题的计算中。

通过内切圆的性质，可以简化计算过程，提高计算的准确性。

2. 在几何建模中，内切圆可以用来确定三角形的外接圆和外接圆的圆心。

通过内切圆和外接圆的关系，可以更好地理解和描述三角形的形状和结构。

3. 在工程和建筑中，内切圆的应用十分广泛。

例如，在建筑物的设计和施工中，内切圆可以用来确定柱子和墙壁的形状和位置，从而提高建筑物的稳定性和美观性。

三角形的内切圆是与三角形的三条边都相切的圆，具有一系列重要的性质和应用。

内切圆公式大全全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：内切圆是指一个圆完全嵌入在一个多边形内部，并且切正多边形的每一边。

内切圆在几何问题和工程设计中有着广泛的应用，因此了解内切圆的相关知识和公式是非常重要的。

在本文中，我们将分享一些关于内切圆的公式大全，希望能够帮助大家更好地理解和应用。

一、内切圆的半径计算公式1. 内切圆的半径公式：对于一个正五边形，其内切圆的半径r可以通过下面的公式来计算：r = a * sqrt(10 + 2 * sqrt(5))/10a代表正五边形的边长。

二、内切圆和外接圆的关系公式1. 内切圆和外接圆的半径关系：对于任意多边形，其内切圆的半径r和外接圆的半径R之间存在着以下关系：R = 2r三、内切圆和多边形边长的关系2. 内切圆和多边形内角的关系：对于一个正n边形，其内切圆和内角之间存在以下关系：角A = 180 - (n-2)*180/nA表示正n边形的内角。

四、常见多边形的内切圆公式总结第二篇示例：内切圆，俗称内切圆，是指一个圆与一个给定的多边形（三角形、四边形、正多边形）相切。

内切圆在数学中有着重要的应用，特别是在几何学和工程学中。

在实际生活和工程中，我们常常需要计算内切圆的半径、圆心和切点等信息。

内切圆的相关公式是很有必要了解和掌握的。

在几何中，内切圆与多边形的关系是一个经典问题，经常出现在数学竞赛和学习中。

内切圆的半径、圆心和切点等可以通过一些简单的公式来求解，下面我们就来介绍一下关于内切圆的一些常用公式。

我们来看一下内切圆的半径计算公式。

对于一个三角形ABC，假设其三边分别为a、b、c，内切圆的半径r可以用以下公式来表示：\[r = \frac{2S}{a+b+c}\]其中S表示三角形ABC的面积，可以通过海伦公式来计算。

海伦公式是用来计算三角形面积的公式，其表达式如下：\[S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]其中p是三角形ABC的半周长，即\(p = \frac{a+b+c}{2}\)。

关于圆锥内切球的几个结论本文将介绍关于圆锥内切球的几个结论： 一圆锥内有一个半径为R 的内切球，如图是它的轴截面图形。

已知圆锥的母线与底面的夹角为2θ结论一：圆锥的母线长与底面半径之和等于22tan (1tan )Rθθ- 证明：设圆锥底面半径为r ,母线AB AC l ==，全面积为S ，O 为内切于圆锥的球心，延长AO 交BC 于D ，则AD BC ⊥D,E为切点，则OE AC ⊥,,,OD OE R DC r DCO θ===∠=且,tan R r θ∴=在四边形ODCE 中,2ODC OEC π∠=∠=则O,D,C,E 四点共园，所以 2AOE DCE θ∠=∠=,tan 2,tan 2Rt AOE AE R l r R θθ∆=-=在中，即222tan 22tan 221tan tan tan (1tan )R R Rl r AE EC DC R r θθθθθθ∴+=++=+=+=--结论二：圆锥全面积等于2222tan (1tan )R S πθθ=-，体积V 322213tan (1tan )R πθθ=⋅- 证明：22222()tan (1tan )R Sr rl r l r ππππθθ=+=+=- ，h =221tan R θ- 故23222221122133tan 1tan 3tan (1tan )R RR V r h πππθθθθ==⋅=⋅-- 结论三：当tan 2θ=时，圆锥的全面积，体积最小，23min min 88,3S R V R ππ==证明：22222()tan (1tan )R S r rl r l r ππππθθ=+=+=-，欲使S 最小，只要分母最小，又23222221122133tan 1tan 3tan (1tan )R R R V r h πππθθθθ==⋅=⋅-- 2224tan (1tan )tan tan θθθθ-=-=2211(tan )24θ--+21tan tan 22S θθ∴==当，即最小，V 最小，23min min 88,3S R V R ππ==结论四：圆锥的全面积与球表面积之比等于圆锥体积与球体积之比，即：2212tan (1tan )S V S V θθ==-球表面积球证明：2222223222232221tan (1tan )42tan (1tan )2113tan (1tan )42tan (1tan )312tan (1tan )R S S R R V V R S V S V πθθπθθπθθθθπθθ-==-⋅-==-∴==-球表面积球球表面积球例1：轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为1cm,求球的体积？解：根据已知知6πθ=，tan Rr θ==1，根据V =343R π 所以V =27cmπ例2：球与它的外切等边圆锥的体积之比解：根据已知知6πθ=，据结论2212tan (1tan )V Vθθ=-球得：222tan (1tan )V Vθθ=-=球49例3：半径为1的球内切于一个圆锥，求这个圆锥体积的最小值？解：由结论知，当tan 2θ=时，圆锥的体积最小，最小为3min 83V R π==83π例4：圆锥外切于半径为R 的球，求圆锥体积最小时的高？解：由结论知当tan 2θ=时，圆锥体积最小，高221tan Rh θ=-=4R。

三角形内切圆的定义
三角形内切圆是指一个圆，恰好与三角形的三条边都相切。

换
句话说，这个圆与三角形的每条边都有且仅有一个公共点，并且这
个点是切点。

三角形内切圆的圆心被称为圆的内心，通常用I表示，而这个圆的半径通常被称为内切圆半径，通常用r表示。

从几何角度来看，三角形内切圆的圆心是三条角平分线的交点，也是三条角平分线到三角形三顶点距离的垂直平分线的交点。

内切
圆的半径等于三角形的面积除以半周长，其中半周长是三条边长之
和的一半。

三角形内切圆在数学和几何学中有许多重要的性质和应用。

例如，内切圆与三角形的三条边之间有着特定的关系，可以用于解决
许多与三角形相关的问题。

此外，内切圆也与三角形的面积、周长
和角度等参数之间存在着一些有趣的数学关系，可以用于推导和证
明一些几何定理。

在工程和建筑领域，内切圆的概念也被广泛应用。

例如，在建
筑设计中，内切圆可以用于确定某些结构的最佳布局和尺寸，以及
优化材料的使用。

在制图和计算机辅助设计中，内切圆的概念也有
着重要的应用，例如用于创建特定形状的曲线和表面。

总之，三角形内切圆是一个重要且有趣的几何概念，它在数学、几何学以及工程和建筑领域都有着广泛的应用和意义。

通过深入理
解内切圆的性质和特点，我们可以更好地理解和应用这一概念，从
而解决实际问题并推动相关领域的发展。

高中内切球知识点总结一、内切球概念及性质内切球通常指一个几何图形内部与该图形的每一条边或面都相切的球；或指一个凸多面体内与每个面都相切的球。

在高中数学中，我们通常研究的是平面图形的内切圆和立体图形的内切球。

1. 内切球的定义内切圆：对于一个给定的平面图形，如果存在一个圆，使得该圆恰好与这个图形的边界相切，那么我们称这个圆为这个图形的内切圆。

内切球：对于一个给定的凸多面体，如果存在一个球，使得该球恰好与这个多面体的每个面相切，那么我们称这个球为这个多面体的内切球。

2. 内切球的性质（1）内切球与多边形的关系内切圆与圆内接多边形的面积关系：对于一个正多边形，其内切圆的半径r、多边形的边长a和面积S的关系为：S = πr² = 1/2 * a * r * n（n为边数）内切球与圆锥体的关系：对于一个圆锥体，其内切球与底面和侧面的关系为：r = 1/3 * h （r为内切球的半径，h为圆锥体的高）内切球与立体图形的关系：对于一个立体图形，其内切球的体积一般为4/3πr³，而其立体图形的体积为（4/3πr³） = 1/3 * 原立体图形的体积（2）内切球的作用在实际生活中，内切球有很多实际应用，比如在工程结构中，内切球可以用来计算空心圆柱体的体积；在建筑设计中，内切球可以用来计算建筑物内部的空间利用率等。

二、内切球相关定理和性质内切球相关定理和性质是指与内切球相关的一些数学定理和性质，这些定理和性质在解决内切球问题时起到了重要的作用，通常在高中数学中会涉及到下面这些内切球相关定理和性质：1. 内切球定理关于内切圆和多边形的定理：对于一个正多边形，其内切圆的半径r、多边形的边长a和面积S的关系为：S = πr² = 1/2 * a * r * n（n为边数）。

2. 内切球性质关于内切球和圆锥体的性质：对于一个圆锥体，其内切球与底面和侧面的关系为：r = 1/3 * h（r为内切球的半径，h为圆锥体的高）。

三角形的内切圆知识点总结三角形的内切圆是指能够与三角形的三条边都相切的圆。

它是三角形的一个特殊圆形，具有一些独特的性质和应用。

本文将从几何性质、相关公式和应用等方面对三角形的内切圆进行总结。

一、内切圆的几何性质1. 内切圆与三角形的三条边相切，因此它的圆心必定在三角形的内部，可以通过三角形的三条角平分线的交点来确定。

2. 内切圆的半径是由三边长确定的，具体公式为：内切圆半径r =2 * 三角形的面积 / 三角形的周长。

3. 内切圆的圆心到三角形三边的距离相等，即内切圆的圆心到三角形三边的距离分别等于内切圆的半径。

4. 内切圆与三角形的三个内角的角平分线相交于同一点，即内切圆的圆心与三角形三个内角的角平分线交于同一点。

二、内切圆的相关公式1. 内切圆的半径公式：内切圆半径 r = 2 * 三角形的面积 / 三角形的周长。

2. 内切圆的圆心坐标公式：设三角形的三个顶点坐标分别为(x1, y1)，(x2, y2)，(x3, y3)，则内切圆的圆心坐标为：圆心横坐标 x = (a * x1 + b * x2 + c * x3) / (a + b + c)圆心纵坐标 y = (a * y1 + b * y2 + c * y3) / (a + b + c)其中，a、b、c分别为三角形三个内角的角平分线所对应的边的长度。

三、内切圆的应用1. 几何问题求解：内切圆可以用于求解三角形的面积、周长、角度等几何问题。

通过求解内切圆的半径和圆心坐标，可以推导出一些与三角形相关的几何问题。

2. 优化问题求解：内切圆可以用于优化问题的求解。

例如，在给定三角形的面积不变的情况下，求解能够使内切圆半径最大的三角形，或者求解能够使内切圆的面积最大的三角形等。

3. 工程应用：内切圆在工程中有着广泛的应用。

例如，在建筑设计中，内切圆可以用于确定柱子、柱形结构的尺寸和布局，以保证结构的稳定性和均匀性。

另外，在制造业中，内切圆可以用于确定零件的加工和装配尺寸，提高产品质量和工艺效率。

三角形的外心与内切圆关系性质解析三角形是几何学中最基本的图形之一，它具有丰富的性质与关系。

其中，外心与内切圆是三角形中重要的概念。

本文将对三角形的外心与内切圆的关系性质进行解析。

一、外心与内切圆的定义1. 外心：三角形的外接圆的圆心被称为外心，它是三条边的垂直平分线的交点。

外接圆的半径等于外心到三角形任意顶点的距离。

2. 内切圆：三角形内切圆的圆心被称为内心，它是三角形三条内切线的交点。

内切圆的半径等于内心到三条边的距离。

二、外心与内切圆的位置关系1. 外心与内心的连线垂直于三角形的一条边：外心与内心之间的连线垂直于三角形的一条边。

根据垂直平分线的性质可知，外心与该边的中点相重合。

2. 外心是三角形三条高的交点：三角形的高是指从三个顶点到对边的垂线段。

外心是三条高的交点，同时也是三条边上的垂直平分线的交点。

3. 内心是三角形内角的平分线的交点：三角形的内心是三个内角的平分线的交点。

内心到三条边的距离相等，等于内切圆的半径。

4. 内切圆切分三角形的面积：三角形被内切圆切分成三个小三角形，每个小三角形的面积等于半周长与边长之差的乘积。

三、外心与内切圆的关系性质1. 外心、内心和重心共线：重心是三角形三条中线的交点，它也是三角形内接圆三条角平分线的交点。

根据欧拉定理可知，外心、内心和重心三点共线，且内心与重心在外心与重心的连线上的一半距离。

2. 内切圆半径与外接圆半径的关系：内切圆半径r和外接圆半径R之间有如下关系：r = R / 2，即内切圆半径是外接圆半径的一半。

3. 外心到顶点的距离等于外接圆半径：外心到三角形任意顶点的距离等于外接圆的半径，即OA = OB = OC = R，其中O为外心，A、B、C为三角形的顶点。

4. 内心到顶点的距离等于内切圆半径：内心到三角形任意顶点的距离等于内切圆的半径，即IA = IB = IC = r，其中I为内心。

四、应用与拓展外心与内切圆的关系性质不仅在几何学中有重要应用，也在其他学科中有广泛的拓展。

高三数学内切球知识点在高中数学中，内切球是一个重要的几何概念，它与圆锥曲线和三角形有着密切的联系。

本文将介绍内切球的概念、性质以及相关定理和公式。

一、内切球的概念内切球是指一个球与给定的几何体（通常是一个多边形或三维几何体）的每一条边或面都有且只有一个公共点的球。

这个公共点是边或面的内切点，同时也是球的圆心。

二、内切球的性质1. 内切球的圆心和几何体表面上的内切点在同一条直线上，这条直线被称为内切球的切线。

2. 内切球的半径是几何体边长或面积的一半。

3. 内切球的半径和外接球的半径满足关系：r = (a + b + c)/4，其中a、b、c是三角形的三边长。

三、内切球的相关定理和公式1. 三角形内切圆的半径公式：r = Δ/s，其中r是内切圆的半径，Δ是三角形的面积，s是三角形的半周长。

2. 三角形内切圆的圆心到三边的距离：d = 2Δ/(a + b + c)，其中d是内切圆圆心到三边的距离，a、b、c是三角形的三边长。

3. 直角三角形的内切圆半径：r = (a + b - c)/2，其中r是内切圆的半径，a、b是直角三角形的两条直角边长，c是斜边长。

4. 正多边形的内切圆半径：r = a/(2tan(π/n))，其中r是内切圆的半径，a是正多边形的边长，n是正多边形的边数。

四、内切球的应用1. 内切球可以用于计算多边形的面积和周长，通过内切圆的半径公式可以求得多边形的面积和半周长。

2. 内切球还可以用于构造几何体，通过给定的几何体的边或面的内切点，可以确定内切球的位置和大小，进而构造出内切球。

五、总结内切球作为一个重要的数学概念，在几何学中有着广泛的应用。

通过了解内切球的概念和性质，以及掌握与其相关的定理和公式，我们可以更好地理解和应用几何学知识。

希望本文对你在高三数学学习中有所帮助。

以上就是关于高三数学内切球的知识点的介绍。

希望通过本文的阅读，你对内切球有了更深入的了解，并能够运用这些知识解决实际问题。

知识点：三角形内切圆和三角形各边都相切的圆叫做三角形的 _________ ，三角形内切圆的圆心叫三角形的__ 例1. （2009湖北省荆门市）Rt △ ABC 中，C 90° AC 6, BC 8 .则△ ABC 的内切圆半径r ________ .例2. △ ABC 中, AB= AC = 5, BC = 6,求厶ABC 的内切圆的半径长。

例3.任意△ ABC 中内切圆I 和边BC CA AB 分别相切于点 D E 、F ,求证：△ DEF 是锐角三 角形。

♦随堂检测1.已知O O 的半径为5 cm,点P 到圆心O 的距离为6 cm,那么点P 的位置（ ）同步测试1 : （2009年宁夏自治区）如图，O C 是边长为2的等边三角形ABC 勺内切圆，则图中阴影部分的面积为 _______________ .同步测试2:如图7-255，在矩形ABCD 中, AB=6 BC=8连结AC, △ ABC 和厶ADC 的内切圆分别为O O 和OQ,与AC 的切点分别为E 、F ,贝U EF 的长是（）(A)2 (B)7. 5 (C)13(D)15 B D C图 7-255A. 一定在O O 的内部B. 一定在O O 的外部 长为7 cc,则OA 的中点B 在O O 的_______5.如图，等边三角形 ABC 的内切圆半径为3，则△ ABC 的周长为 ____________6.如图，/ AB(=90 ° , O 为射线BC 上一点，以点 O 为圆心、1 BO 长为半径作O Q 当射线2BA 绕点B 按顺时针方向旋转 _____ 度时与O 0相切.C. 一定在O O 的上D.不能确定2. 如图，AB 是圆O 的直径，AC 是圆O 的切线，A 为切点，连结 BC 交圆O 于点D,连结AD 若/ ABC= 45°,则下列结论正确的是(1AC C . AC AB D . AD DC2 右图是其截面图， O 为钢管的圆心•如果钢管的半径为 25 cm ,A. 50 cm B . 25 3 cm C 5^-3 cmD . 50 3 cm34切，若线段 OA 的长为10 c 血，贝U OA 的中点B 在O O 的;若线段OA 的7.如图，等腰△ OAB中，OA OB，以点0为圆心作圆与底边AB相切于点C .求证：AC BC .9.如图，已知AB为半O 0的直径，EALAB于点A D是EA上一点, 且/DBA=30 ° , DB交O 0于点C,连结0C并延长交EA于点P.(1)写出三个不同类型的结论：(2)若0 0的半径为3 cm,求四边形OADC勺面积10.(2009年本溪)如图所示，AB是O0直径，OD丄弦BC于点F，且交O0于点E ,若AEC ODB.(1 )判断直线BD和O0的位置关系，并给出证明;8时，求BD的长.1. ( 2009河池)如图1,在O O 中，AB 为O O 的直径，AC 是弦,OC 4 , OAC 60°.(1) 求/ AOC 的度数；(2) 在图1中，P 为直径BA 延长线上的一点，当 CP 与O O 相切时，求PO 的长；(3)如图2, —动点M 从A 点出发，在O O 上按逆时针方向运动， 当S A MAO S ^CAO 时,2. (2009年潍坊)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，半径为1的圆的圆心0在坐标原点，且 与两坐标轴分别交于 A 、B 、C 、D 四点.抛物线y ax 2 bx c 与y 轴交于点D ，与直 线y x 交于点M 、N ，且MA 、NC 分别与圆0相切于点A 和点C .(1) 求抛物线的解析式；(2) 抛物线的对称轴交 x 轴于点E ,连结DE ，并延长DE 交圆O 于F ,求EF 的长.(3) 过点B 作圆O 的切线交DC 的延长线于点P ，判断点P 是否在抛物线上，说明理由.3AC \ XZ B r \ 2 2 3.( 09湖南怀化)如图，已知二次函数 y (x m) km 的图象与x 轴相交于两个不同 的点A(x ，)、B(X2,0)，与y 轴的交点为C •设△ ABC 的外接圆的圆心为点 P .(1) 求。

数学高三内外接圆知识点数学中的内外接圆是高三学习中关于几何形状的一个重要知识点。

内外接圆可以应用于解决几何问题，例如确定三角形的外接圆和内切圆的半径、位置等。

本文将介绍内外接圆的定义、性质和相关公式。

一、内接圆内接圆是指一个圆与给定的多边形（通常是三角形）的所有边都相切。

对于给定的三角形ABC，假设圆O是其内接圆，圆心O 位于三角形的内部。

根据内接圆的性质，我们有以下结论：1. 内接圆的半径等于三角形的面积除以半周长，即r = Δ / s，其中r为内接圆的半径，Δ为三角形的面积，s为半周长。

2. 内接圆的圆心到三角形的顶点的距离等于圆心到三角形对边的距离。

3. 三角形的内接圆的半径相等，即三角形的三条边都与内接圆相切。

二、外接圆外接圆是指与给定的多边形（通常是三角形）的每条边都相切于一点，且这些点共线。

对于给定的三角形ABC，假设圆O是其外接圆，圆心O位于三角形的外部。

根据外接圆的性质，我们有以下结论：1. 外接圆的半径等于三角形的边长之积除以4倍三角形的面积，即R = abc / (4Δ)，其中R为外接圆的半径，a、b、c为三角形的边长，Δ为三角形的面积。

2. 外接圆的圆心位于三角形的垂直平分线交点处。

3. 三角形的外接圆过三个顶点，即三角形的三条边都与外接圆相切。

三、内外接圆的关系对于给定的三角形ABC，可以存在一个内接圆和一个外接圆。

内接圆和外接圆的圆心不一定位于同一个点，但内接圆的半径一定小于外接圆的半径。

1. 如果三角形的三边的中垂线交于一点，则该点为三角形内接圆和外接圆的圆心。

2. 如果三角形的某个角的角平分线与该边所对的外接圆相交，则该点为三角形内接圆的圆心。

3. 当三角形为等边三角形时，内接圆和外接圆重合于同一个圆。

四、例题现给定一个等边三角形ABC，其中AB=BC=AC=6cm。

求其内接圆和外接圆的半径。

解：根据内接圆的性质，等边三角形的内接圆的半径为r = Δ /s = (√3 / 4) * 6 / (3*6/2) = √3 cm。

三角形的内切圆和外接圆的性质三角形是初中数学学习中的重要内容之一，而三角形的内切圆和外接圆是三角形性质中的重要知识点。

了解和掌握内切圆和外接圆的性质，对于解决与三角形相关的问题具有重要的指导意义。

本文将从内切圆和外接圆的定义入手，分析其性质，并结合具体的例子进行说明，帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用这一知识。

一、内切圆的性质内切圆是指与三角形的三条边都相切于一点的圆。

内切圆的性质有以下几点：1. 内切圆的圆心与三角形的三条角平分线交于一点，这个点称为内切圆心。

内切圆心与三角形的顶点连线垂直。

例如，考虑一个等边三角形ABC，其内切圆的圆心O与三个顶点的连线AO、BO、CO垂直，且交于一点O。

2. 内切圆的半径等于三角形三边的和的一半除以三角形的半周长。

例如，对于一个任意形状的三角形ABC，设其内切圆的半径为r，三角形的半周长为s，则有r = s / (a + b + c)。

3. 内切圆的半径与三角形的面积成正比。

例如，对于一个任意形状的三角形ABC，设其内切圆的半径为r，三角形的面积为S，则有S = r * (a + b + c) / 2。

二、外接圆的性质外接圆是指可以将三角形的三个顶点都放在圆上的圆。

外接圆的性质有以下几点：1. 外接圆的圆心是三角形三个顶点的垂直平分线的交点。

例如，对于一个任意形状的三角形ABC，其外接圆的圆心O是三个顶点A、B、C的垂直平分线的交点。

2. 外接圆的半径等于三角形三边的长度乘积的一半除以三角形的面积。

例如，对于一个任意形状的三角形ABC，设其外接圆的半径为R，三角形的面积为S，则有R = a * b * c / (4S)。

3. 外接圆的直径等于三角形的任意一条边与该边对应的角的正弦值的倒数的乘积。

例如，对于一个任意形状的三角形ABC，设其外接圆的直径为D，三角形的一条边为a，对应的角为A，则有D = a / sinA。

三、应用举例1. 已知一个等边三角形ABC，求其内切圆的半径和外接圆的半径。

三角形的内切圆与切线三角形是几何学中最基本的图形之一，其内切圆和切线则是与三角形相关的重要概念。

本文将介绍三角形的内切圆及其性质，以及与内切圆相关的切线性质。

一、内切圆的定义与性质内切圆是指与三角形的三条边都相切的圆。

设三角形的三边分别为a、b、c，内切圆的半径为r，内切圆的圆心到三角形的三个顶点的距离分别为d1、d2、d3。

根据内切圆的定义可知，内切圆的圆心与三角形三条边的切点分别在同一条直线上，这条直线称为内切圆的切线。

因此，内切圆的切线有以下性质：1. 内切圆的半径等于三角形三条边的内切点到三角形各边的距离之和的一半，即r = (d1 + d2 + d3)/2。

2. 内切圆的半径与三角形的面积S之间存在以下关系：r = S/s，其中s为三角形的半周长，即s = (a + b + c)/2。

3. 内切圆的圆心到三角形三条边的切点的连线与三角形的垂心共线。

二、内切圆的切线性质除了与内切圆相关的性质外，切线也是我们需要了解的重要内容。

以下是与内切圆的切线相关的性质：1. 三角形的三条边上的切线交于一点，这个点称为三角形的内切点。

内切点是三角形的一个重要特征。

2. 内切点到三角形三个顶点的连线互相垂直。

3. 内切点到三角形三边的距离相等。

4. 内切点到三条边的切点的连线是三角形三条边的平分线。

通过研究三角形的内切圆与切线的性质，我们可以更深入地了解三角形的结构，并在解决几何问题时加以应用。

三、例题分析为了更好地理解和应用内切圆与切线的性质，我们来看一个具体的例题：已知三角形ABC的边长分别为AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm，求其内切圆的半径以及三个切点的坐标。

解：首先计算半周长s，s = (9 + 12 + 15)/2 = 18cm。

根据内切圆半径与面积的关系，计算内切圆的半径r：r = S/s，其中S为三角形的面积。

根据海伦公式，三角形ABC的面积S = √(s(s-a)(s-b)(s-c))，代入数值计算得S = √(18(18-9)(18-12)(18-15)) = 36cm²。

高三数学文科内切球知识点高三数学文科中，我们学习了很多有趣的概念和知识点，今天我要向大家介绍的是内切球。

内切球在几何中有着重要的地位，不仅在数学问题中起到了关键的作用，而且在实际生活中也有着广泛的应用。

一、内切球的定义和特性内切球是指一个球与一个几何体的内表面相切，且球心位于几何体内部的情况。

在三维空间中，内切球有许多有趣的特性，下面我将逐一介绍。

1. 内切球的存在性对于任意的三维几何体，都存在唯一的内切球。

这是因为不同的几何体在内部有不同的形状，而一个球能够与几何体的内部表面相切，必须满足几何体的形状特征。

2. 内切球的最大性质内切球占据了几何体的最大空间。

也就是说，在满足内切条件的情况下，内切球的半径是所有与几何体相切球中最大的一个。

这是因为内切球的球心位于几何体的内部，所以它能够最大程度地占据空间。

3. 内切球的切点内切球与几何体的内表面相切于一个点，这个点叫做切点。

切点是内切球的特有性质，通过切点我们可以推导出很多有趣的结论。

二、内切球的求解方法在高三数学文科中，我们通常需要求解内切球的半径和球心坐标。

下面我将介绍两种常用的求解方法。

1. 坐标法对于一些具有规则形状的几何体，我们可以采用坐标法来求解内切球的半径和球心坐标。

通过建立坐标系，我们可以列出几何体的方程，并与内切球的方程进行联立求解，从而得到内切球的半径和球心坐标。

2. 几何法对于一些不规则形状的几何体，我们可以采用几何法来求解内切球的半径和球心坐标。

几何法是通过观察和推理几何体的特性，结合一些几何定理来求解内切球的半径和球心坐标。

这种方法通常需要一定的几何直觉和分析能力，适合于对几何问题有较强兴趣和能力的同学。

三、内切球的应用举例内切球不仅仅是高中数学中的一个概念，它在实际生活中也有着广泛的应用。

下面我将举例说明内切球的应用。

1. 黄瓜切割问题假设我们有一个黄瓜，它的形状是近似于一个长方体。

我们需要切割出最大的立方体块。

通过找到黄瓜的内切球，我们可以确定如何切割黄瓜，使得每一刀都能够获得最大的立方体块。