第三章例题(2)

【例题3-1】某承重砖墙混凝土基础的埋深为 1.5m ，上部结构传来的轴向压力F k ＝200kN/m 。

持力层为粉质粘土，其天然重度γ =17.5kN/m 3，孔隙比e =0.843，液性指数I L =0.76，地基承载力特征值f ak ＝150 kPa ，地下水位在基础底面以下。

试设计此基础。

【解】(1) 地基承载力特征值的深宽修正先按基础宽度b 小于3m 考虑，不作宽度修正。

由于持力层土的孔隙比及液性指数均小于0.85，查表2-7，得ηd =1.6。

kPa178.0= )5.05.1(5.176.1150= )5.0(0d ak a -⨯⨯+-+=d f f γη (2) 按承载力要求初步确定基础宽度m 35.1= )5.120178(200= a min ⨯--=d f F b G k γ初步选定基础宽度为1.40 m 。

(3) 基础剖面布置初步选定基础高度H =0.3m 。

大放脚采用标准砖砌筑，每皮宽度b 1 = 60 mm, h 1 = 120mm ，共砌5皮，大放脚的底面宽度b 0 = 240+2×5×60 = 840 mm ，如图3-2所示。

(4) 按台阶的宽高比要求验算基础的宽度基础采用C15素混凝土砌筑，而基底的平均压力为【例题3-2】某厂房采用钢筋混凝土条形基础，墙厚240mm ，上部结构传至基础顶部的轴心荷载N =350kN /m ，弯矩M =28.0m/m kN ⋅，如图3-5所示。

条形基础底面宽度b 已由地基承载力条件确定为2.0m ，试设计此基础的高度并进行底板配筋。

【解】(1) 选用混凝土的强度等级为C20，查《混凝土结构设计规范》(GB50010-2002)得f t ＝1.1Mpa ；底板受力钢筋采用HRB335级钢筋，查得y f ＝300MPa ；纵向分布钢筋采用HPB235级钢筋。

(2) 基础边缘处的最大和最小地基净反力：kPa133.0217.0= 0.20.2860.2350622min max j ⨯±=±=b M b N p(3) 验算截面I 距基础边缘的距离： ()m 88.024.00.221I =-⨯=b (4) 验算截面的剪力设计值：()[]()[]kN/m174.7= 0.13388.00.21788.00.220.2288.0 22min j I max j I II ⨯+⨯-⨯⨯=+-=p b p b b b b V (5) 基础的计算有效高度：mm 9.2261.17.07.1747.0t I 0=⨯=≥f V h 基础边缘高度取200mm ，基础高度h 取300mm ，有效高度h 0=300－40=260mm >226.9mm ，合适。

第三章_正交试验设计中的方差分析2-例题分析第三章中的例题分析是关于正交试验设计中的方差分析的。

本例题分析主要涉及到两个因素和一个响应变量，通过正交试验设计的方法，对这两个因素的影响进行分析。

首先，我们需要了解正交试验设计的基本原理。

正交试验设计是一种实验设计方法，通过选择合适的试验因素和水平，使得每个试验条件都能够得到充分的信息，从而降低试验误差，提高试验效率。

在正交试验设计中，试验因素之间是相互独立的，这样可以更好地分析每个因素对响应变量的影响。

在本例题中，我们有两个因素，分别记作因素A和因素B，每个因素有两个水平。

我们还有一个响应变量Y，需要确定因素A、因素B和Y之间的关系。

接下来，我们需要进行方差分析。

方差分析是一种用于比较不同因素对响应变量的影响的统计方法。

在本例题中，我们可以使用两因素方差分析来分析因素A和因素B对响应变量Y的影响。

首先，我们需要计算总平方和（SST），表示响应变量的总变异。

然后，我们需要计算因素A的平方和（SSA），表示因素A对响应变量的影响，以及因素B的平方和（SSB），表示因素B对响应变量的影响。

同时，我们还需要计算交互作用的平方和（SSAB），表示因素A和因素B之间的交互作用对响应变量的影响。

接下来，我们可以计算各个平方和的自由度和均方差，从而得到F值。

F值可以用来判断因素对响应变量的影响是否显著。

如果F值大于临界值，则说明该因素对响应变量的影响是显著的。

最后，我们可以进行多重比较，比较每个因素水平之间的差异。

多重比较可以帮助我们确定哪些因素水平之间的差异是显著的。

通过以上的分析，我们可以得出因素A、因素B和响应变量Y之间的关系。

同时，我们还可以根据多重比较的结果，确定哪些因素水平之间的差异是显著的。

总结起来，本例题分析主要涉及到正交试验设计中的方差分析。

通过对两个因素和一个响应变量进行分析，我们可以确定因素对响应变量的影响是否显著，并确定哪些因素水平之间的差异是显著的。

第三章例1 设A 为n 阶方阵, 若存在正整数k 和向量, 使, 且.证明: 向量组线性无关.证明: （利用线性无关定义证明） 假设有常数, 使得1120k k A A λαλαλα-++= （1）将（1）两边左乘, 可得122120k k k k A A A λαλαλα--++=由已知条件, 可知上式从第二项全等于零, 所以, 又由条件, 所以. 类似地, 将（1）两边左乘, 可得； 类似地可证得，所以向量组线性无关.例2 设向量组线性相关, 向量组线性无关, 问:（1）能否由线性表示？ 证明你的结论; （2）能否由线性表示？ 证明你的结论. 解: （1）能由线性表示.证明：由于向量组线性无关, 那么其部分组也线性无关。

又由已知条件有线性相关, 故能由线性表示. (2) 4α不能由123,,ααα线性表示.证明:假设4α能由123,,ααα线性表示,即存在不全为零的常数123,,λλλ,使得4112233ααλαλαλ=++由(1)的结论,我们可以设12233k k ααα=+,代入上式,可得421223133()()k k αλλαλλα=+++即4α可由23,αα线性表示,从而234,,ααα线性相关,与已知条件矛盾.因此假设不成立, 4α不能由123,,ααα线性表示.例3 设两向量组()()()123(1)1,2,3,3,0,1,9,6,7TTTααα=-==- ()()()123(2)0,1,1,,2,1,,1,0TTTa b βββ===已知两向量组的秩相等,且3β能由123,,ααα线性表示,求a,b. 解:令123123(,,),(,,)A B αααβββ==由于矩阵A 已知, 可以先对A 进行初等变换求秩.12231313913913925206061206123331701020000r r A r r r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪=--+-- ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭因此()2r A =,且12,αα为(1)的一个极大无关组.由已知条件两向量组的秩相等,所以()2r B =,从而0B =,即0121011a bB a b ==-= 所以a b =.又由条件3β能由123,,ααα线性表示而12,αα为(1)的一个极大无关组.所以3β能由12,αα线性表示,则1230ααβ=,即123132012100310b b ααβ⎛⎫⎪==-= ⎪⎪-⎝⎭,解得 5b =,所以有5a b ==.例4求向量组()11,1,1,3,T α=-()21,3,5,1Tα=-,()32,6,10,Ta α=-,()44,1,6,10Tα=-,()53,2,1,Tc α=-的秩和一个极大无关组.解:对以12345,,,,ααααα为列构成的矩阵A,做初等变换112431124313612024311510610612243110046291124311243024310243100077000110028110203A a c a c Ba c a c ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥+--⎣⎦⎣⎦----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦当a=2且c=3时, ,B 中第1.2.4列线性无关, 此时向量组的秩为3, 是一个极大无关组；当时, , B 中第1.2.3.4列线性无关, 此时向量组的秩为4, 是一个极大无关组；当, , B 中第1.2、4、5列线性无关此时向量组的秩为4, 是一个极大无关组.例5设向量组（1）的秩为3；向量组（2）的秩为4,证明:向量组的秩为4.证明: （要证明的秩为4, 可通过证明线性无关来得到想要的结论） 由向量组（2）的秩为4, 可知线性无关, 又由向量组（1）的秩为3, 可知线性相关, 从而可由线性表示, 即存在不全为零的常数, 使得, 不妨设, 将代入, 可得14112422343345()()()0k k l k k l k k l k αααα-+-+-+= 由于线性无关, 所以1412421234343400000k k l k k l k k k k k k l k -=⎧⎪-=⎪⇒====⎨-=⎪⎪=⎩故线性无关, 从而该向量组的秩为4.例6 设向量组的秩为r, , , , , 证明向量组12,,,m βββ的秩为r证明:(由推论等价的向量组有相同的秩, 此题只需证明两个向量组等价即可)由已知可由线性表示, 且有下式成立1212(1)()m m m βββααα+++=-+++从而,于是有, 即也可由, 故向量组与向量组等价, 从而他们的秩相等, 从而向量组的秩为r.。

第三章例题例3-1：某人借款5000元，年利率为10％，则5年后应还款多少?例3-2：某人现在存款2000元，年利率为10%，每半年计息一次，复利计息。

问3年末存款金额为多少？例3-3：某项目有两个贷款方案：（1）年利率16%，每年计息一次；（2）年利率15%，每月计息一次。

问：应选择哪个贷款方案？例3-4：有一项目，投资40万元，年收益10万元，年经营费用6万元，12年末该项目结束并预计有残值10万元。

试画出其现金流量图。

例3-5：某企业购置一台新设备，方案实施时，立即投入20000元，第二年初又投入15000元，第5年初又投入10000元。

若所有投资均为银行借款，年利率为5%，问第10年末应还款多少？例3-6：某人计划5年后从银行提取10万元，如果银行利率为5％，问现在应在银行存入多少钱？例3-7-1：小李将每年领到的240元独生子女费逐年存入银行，年利率5%，当独生子女14岁时，按复利计算，其本利和为多少？例3-7-2：某大学生在大学四年学习期间，每学年年初从银行借款4000元用以支付学费，若按年利率6%计复利，第四学年末一次归还全部本息需要多少钱？例3-8:某厂欲积累一笔设备更新基金，金额为50万元，用于4年后更新设备，如果银行利率为5%,问每年年末至少要存款多少？例3-9:某工程1年建成，第二年初开始生产，服务期5年，每年净收益为5万元，投资收益率为10％时，恰好能够在寿命期内把期初投资全部收回，问该工程期初投入的资金是多少？例3-10:某投资项目贷款200万元，贷款利率为10％，贷款期限5年，若在贷款期内每年年末等额偿还贷款，问每年年末应还款多少恰好在5年内还清全部贷款？例3-11:某企业拟购买一台设备，其年收益额第一年为10万元，此后直至第八年末逐年递减3000元，设年利率为15%，按复利计息，试求该设备8年的收益现值及等额支付序列收益年金。

例3-12-1:某企业在2002年年末有金额1000万元，若年利率为8%，利用复利进行计算。

第三章 2 热力学第一定律问题？汽缸内有一定质量的气体，压缩气体的同时给汽缸加热。

那么，气体内能的变化会比单一方式（做功或传热）更明显。

这是为什么呢？热力学第一定律焦耳的实验一方面表明，以不同的方式对系统做功时，只要系统始末两个状态是确定的，做功的数量就是确定的；另一方面也向我们表明，为了改变系统的状态，做功和传热这两种方法是等价的。

也就是说，一定数量的功与确定数量的热相对应。

在焦耳之前，人们还没有认识到做功与热传递在改变系统内能方面是等价的。

焦耳做实验的本意是要探究两者的关系。

我们在上节课已经知道，单纯地对系统做功（热力学系统的绝热过程），内能的变化量与功的关系是ΔU ＝ W单纯地对系统传热，则内能的变化量与传递热量的关系是ΔU ＝ Q既然做功与传递热量对改变系统的内能是等价的，那么，当外界既对系统做功又对系统传热时，内能的变化量就应该是ΔU ＝ Q ＋ W也就是说，一个热力学系统的内能增量等于外界向它传递的热量与外界对它所做的功的和。

这个关系叫作热力学第一定律（first law of thermodynamics ）。

可见，“问题”栏目中的汽缸内气体内能的变化量等于活塞对气体所做的功与通过加热向汽缸内气体传递的热量之和。

思考与讨论一定质量的气体，膨胀过程中是外界对气体做功还是气体对外界做功？如果膨胀时气体对外做的功是 135 J ，同时向外放热 85 J ，气体内能的变化量是多少？内能是增加了还是减少了？请你通过这个例子总结功和热量取正、负值的物理意义。

热力学第一定律的应用在运用热力学第一定律解决问题时，需要首先确定研究对象。

对于公式ΔU ＝Q ＋W ，我们可以这样理解：外界对系统做功有助于系统内能的增加，因此，外界对系统做功时，W 取正值；而系统对外界做功时，W 取负值。

同理，外界对系统传递热量有助于系统内能的增加，U 1U 2F因此，外界对系统传递的热量Q取正值；而系统向外界传递的热量Q就取负值。