16.5三角形中位线定理

三角形中位线定理【学习目标】1. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．2. 掌握中点四边形的形成规律.【要点梳理】要点一、三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的12，每个小三角形的面积为原三角形面积的14.（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.要点二、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.【典型例题】类型一、三角形的中位线1、（优质试题•北京）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．（1）求证：BM=MN；（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．【思路点拨】（1）根据三角形中位线定理得MN=AD，根据直角三角形斜边中线定理得BM=AC，由此即可证明．（2）首先证明∠BMN=90°，根据BN2=BM2+MN2即可解决问题．【答案与解析】（1）证明：在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，∴MN∥AD，MN=AD，在RT△ABC中，∵M是AC中点，∴BM=AC，∵AC=AD，∴MN=BM．（2）解：∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC=30°，由（1）可知，BM=AC=AM=MC，∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°，∵MN∥AD，∴∠NMC=∠DAC=30°，∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，∴BN2=BM2+MN2，由（1）可知MN=BM=AC=1，∴BN=【总结升华】本题考查三角形中位线定理、直角三角形斜边中线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．举一反三：【变式】如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴正半轴上，B点坐标为（3，2），OB与AC交于点P，D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点，则四边形DEFG的周长为_____.【答案】5；解：∵四边形OABC是矩形，∴OA＝BC，AB＝OC；BA⊥OA，BC⊥OC．∵B点坐标为（3，2），∴OA＝3，AB＝2．∵D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点，∴DE＝GF＝1.5； EF＝DG＝1．∴四边形DEFG的周长为（1.5＋1）×2＝5．2、如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，AH是高．（1）若BC=10，AH=8，则四边形ADEF的面积为．（2）求证：∠DHF=∠DEF．HF EDCBA【思路点拨】（1）由三角形面积公式可知：△BDE、△EFC的面积都等于△ABC面积的四分之一，进而可求出四边形ADEF的面积．（2）首先证明四边形ADEF是平行四边形，进而可得∠DEF=∠DAF，再利用直角三角形的中线性质得线段相等，从而得角等，最终可得到∠DAF=∠DEF，即可证出∠DHF=∠DEF．【答案解析】（1）解：∵BC=10，AH=8，∴S△ABC=×8×10=40，∵点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，∴△BDE、△EFC的面积都等于△ABC面积的，∴四边形ADEF的面积=40﹣20=20，故答案为：20；（2）证明：∵D、E、F分别是△ABC各边中点，∴DE∥AC，EF∥AB，∴四边形ADEF是平行四边形，∴∠DEF=∠DAF，∵AH是△ABC的高∴△ABH、△ACH是直角三角形，∵点D、点F是斜边AB、AC中点，∴DH=DA，HF=AF，∴∠DAH=∠DHA ，∠FAH=∠FHA ，∴∠DAH+∠FAH=∠FHA+∠DHA ，即∠DAF=∠DHF ，∴∠DEF=∠DHF ．【总结升华】此题主要考查了平行四边形的性质与判定，三角形的中位线定理，直角三角形的性质，解决题目的关键是证明∠DHF=∠DAF 与∠DAF=∠DEF ．3、如图所示，在△ABC 中，M 为BC 的中点，AD 为∠BAC 的平分线，BD ⊥AD 于D ，AB ＝12，AC ＝18，求MD 的长．【思路点拨】本题中所求线段MD 与已知线段AB 、AC 之间没有什么联系，但由M 为BC 的中点联想到中位线，另有AD 为角平分线和垂线，根据等腰三角形“三线合一”构造等腰三角形ABN ，D 为BN 的中点，DM 即为中位线，不难求出MD 的长度．【答案与解析】解：延长BD 交AC 于点N ．∵ AD 为∠BAC 的角平分线，且AD ⊥BN ，∴ ∠BAD ＝∠NAD ，∠ADB ＝∠ADN ＝90°，在△ABD 和△AND 中，BAD NAD AD =ADADB ADN ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝ ∴ △ABD ≌△AND(ASA)∴ AN ＝AB ＝12，BD ＝DN ．∵ AC ＝18，∴ NC ＝AC －AN ＝18－12＝6，∵ D 、M 分别为BN 、BC 的中点，∴ DM ＝12CN ＝162⨯＝3． 【总结升华】当条件中含有中点的时候，可以将它与等腰三角形的“三线合一”、三角形的中线、中位线等联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线等图形． 举一反三：【变式】如图所示，四边形ABCD 中，Q 是CD 上的一定点，P 是BC 上的一动点，E 、F 分别是PA 、PQ 两边的中点；当点P 在BC 边上移动的过程中，线段EF 的长度将( )．A．先变大，后变小 B．保持不变 C．先变小，后变大 D．无法确定【答案】B；解：连接AQ．∵ E、F分别是PA、PQ两边的中点，∴ EF是△PAQ的中位线，即AQ＝2EF．∵ Q是CD上的一定点，则AQ的长度保持不变，∴线段EF的长度将保持不变．4、我们给出如下定义：有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形．请解答下列问题：（1）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且CD=CA，点E、F分别为BC、AD的中点，连接EF并延长交AB于点G．求证：四边形AGEC是等邻角四边形；（2）如图2，若点D在△ABC的内部，（2）中的其他条件不变，EF与CD交于点H，图中是否存在等邻角四边形，若存在，指出是哪个四边形，不必证明；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）运用中位线的性质，找出对应相等的角；（2）根据题意易知满足条件的四边形即为第一题的四边形．【答案与解析】解：（1）取AC的中点H，连接HE、HF∵点E为BC中点∴EH为△ABC的中位线∴EH∥AB，且EH=12AB同理FH∥DC，且FH=12DC∵AB=AC，DC=AC∴AB=DC，EH=FH∴∠1=∠2∵EH∥AB，FH∥DC∴∠2=∠4，∠1=∠3∴∠4=∠3∵∠AGE+∠4=180°，∠GEC+∠3=180°∴∠AGE=∠GEC∴四边形AGEC是邻角四边形（2）存在等邻角四边形，为四边形AGHC．【总结升华】本题考查了三角形的中位线以及等腰三角形的性质的综合运用．本题较灵活，要求学生能够把题中的条件转化成角，从而找出相等的角来解题．举一反三：【变式】如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D；解：连接DE并延长交AB于H，∵CD∥AB，∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE，∵E是AC中点，∴AE=CE，∴△DCE≌△HAE，∴DE=HE，DC=AH，∵F是BD中点，∴EF是△DHB的中位线，∴EF=12 BH，∴BH=AB-AH=AB-DC=2，∴EF=1．类型二、中点四边形5、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．（1）求证：四边形EFGH是正方形；（2）若AD＝2，BC＝4，求四边形EFGH的面积．【思路点拨】 （1）先由三角形的中位线定理求出四边相等，然后由AC⊥BD 入手，进行正方形的判断．（2）连接EG ，利用梯形的中位线定理求出EG 的长，然后结合（1）的结论求出2EH ＝92，也即得出了正方形EHGF 的面积．【答案与解析】证明：（1）在△ABC 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，故可得：EF ＝12AC ，同理FG ＝12BD ，GH ＝12AC ，HE ＝12BD ， 在梯形ABCD 中，AB ＝DC ，故AC ＝BD ，∴EF＝FG ＝GH ＝HE ，∴四边形EFGH 是菱形．设AC 与EH 交于点M ，在△ABD 中，E 、H 分别是AB 、AD 的中点，则EH∥BD，同理GH∥AC，又∵AC⊥BD，∴EH⊥HG，∴四边形EFGH 是正方形．（2）连接EG ．在梯形ABCD 中，∵E、G 分别是AB 、DC 的中点，∴EG＝12（AD ＋BC ）＝3． 在Rt△EHG 中， ∵222EH GH EG +=，EH ＝GH ，∴2EH ＝92，即四边形EFGH 的面积为92． 【总结升华】此题考查了等腰梯形的性质及三角形、梯形的中位线定理，解答本题的关键是根据三角形的中位线定理得出EH ＝HG ＝GF ＝FE ，这是本题的突破口． 举一反三：【变式】如图，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．（1）判断四边形EFGH 的形状，并说明你的理由；（2）连接BD 和AC ，当BD 、AC 满足何条件时，四边形EFGH 是正方形．【答案】解：（1）四边形EFGH是平行四边形．理由：连接AC，∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF∥AC，且EF＝12 AC，同理，HG∥AC，且HG＝12 AC，∴EF∥HG，且EF＝HG，∴四边形EFGH是平行四边形；（2）当BD＝AC，且BD⊥AC时，EFGH是正方形．理由：连接AC，BD，∵E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴EF＝GH＝12AC，EH＝FG＝12BD，EH∥BD，GH∥AC，∵BD＝AC，BD⊥AC，∴EH＝EF＝FG＝GH，EH⊥GH，∴四边形ABCD是菱形，∠EHG＝90°，∴四边形EFGH是正方形．。

三角形的中位线三角形是几何学中最常见的形状之一，其特点是由三条边和三个顶点组成。

在三角形中，中位线是指连接两个顶点与对边中点的线段。

本文将介绍三角形的中位线的性质、定理以及应用。

中位线的性质1.中位线互相平分三角形的三条中位线相互平分。

即，三条中位线的交点（中心）与三个顶点之间的线段长度相等。

2.中位线长度关系在一个三角形中，任意两条中位线的长度之和等于第三条中位线的长度的两倍。

设三角形的三个顶点为A、B、C，对应的中位线为DE、FG、HI。

则有：–DE + FG = 2 * HI–FG + HI = 2 * DE–HI + DE = 2 * FG其中，D、G、I分别为边BC、AC、AB中点。

中位线的定理在三角形中，中位线的长度和所连接的两个顶点构成的线段的长度之间存在一定的关系。

以下是一些常见的中位线定理：1.中位线定理在一个三角形中，中位线的长度等于所连接的两个顶点构成的线段长度之和的一半。

设三角形的三个顶点为A、B、C，对应的中位线为DE、FG、HI。

则有：–DE = (AB + AC) / 2–FG = (BC + BA) / 2–HI = (CA + CB) / 22.中位线与面积的关系中位线所分割的三角形的面积等于原始三角形的面积的一半。

设三角形的三个顶点为A、B、C，对应的中位线为DE、FG、HI。

则有：–面积(ABC) = 2 * 面积(DEI)–面积(ABC) = 2 * 面积(EFG)–面积(ABC) = 2 * 面积(FHI)其中，面积(三角形)表示这个三角形的面积。

3.垂直性中位线与所连接的两个顶点构成的线段相互垂直。

设三角形的三个顶点为A、B、C，对应的中位线为DE、FG、HI。

则有：–DE ⊥ AB–FG ⊥ BC–HI ⊥ AC中位线的应用中位线作为三角形的重要属性，被广泛应用于几何学和实际生活中的问题解决。

下面是一些中位线的应用场景：1.三角形重心三角形的中位线交点即为三角形的重心，表示三角形内三条中线的交点。

16.5 三角形中位线定理（1）【学习目标】1、理解三角形中位线的概念，掌握三角形中位线定理，会准确运用这个定理．2、经历探索三角形中位线定理的过程，理解它与平行四边形的内在联系，体会几何命题的证明思路和方法．3、培养推理意识，形成自己的几何问题分析思路，体会几何知识在日常生活中的应用价值．【温故知新】(1)平行四边形的性质(2) 平行四边形的判定(3)三角形中线：。

如图所示：△ABC中，D、E、F分别是三边中点，试做出此三角形的所有中线。

【探索新知】看书76—78页，完成下面内容：知识点:1、三角形中位线定义：连接的线段叫做三角形的中位线．试在上图中画出三角形的所有中位线，由图可知，一个三角形有条中位线。

你能说出三角形中线和三角形中位线的区别吗?2、三角形中位线定理：。

几何符号语言：∵∴，（）已知：求证：证明：【分层测试】A层1、在△A B C中，D、E分别为A B、A C的中点,D E=3c m,∠C＝70°,那么B C=c m,∠A E D ＝°B2、如图(1)ΔABC 的周长是16cm ，则联结它的各边中点得到的△DEF 的周长为____ ，若一个三角形三条中位线组成的三角形周长是15 cm ，则原三角形的周长是__ _ ．3、图（2）Rt ΔABC 中,∠C=90°,点D 、E 、F 分别是三边中点，若DE=4cm,则CF=____。

（2）B 层 1、如图所示，△ABC 中，中线BD 、CE 相交于O ，F 、G 分别为OB 、OC 的中点。

求证：四边形DEFG 为平行四边形。

2、 如图所示，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别是三边中点．求证： AE 、DF 互相平分C 层 1、如图(3)所示，四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点．求证：四边形EFGH 是平行四边形。

变式2：四边形ABCD 是平行四边形时四边形EFGH 是什么特殊四边形？变式3：四边形ABCD 是矩形时呢？变式4：当四边形满足什么条件时，顺次连接它的四边中点所得的四边形是菱形？【自我反思】【作业】。

初中数学知识点归纳之三角形中
位线
1.三角形中线:连接三角形两边中点的线段称为三角形中线。

2、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的'一半。

提示：
(1)一个三角形有三条中线，它们又组成一个新的三角形。

每条中线都与第三条边有对应的位置关系和数量关系。

（三角形的中位线不仅可以证明直线平行，也可以证明线段的倍分关系）；
(2)三角形中的中线和三角形的中线不同，要用各自的定义来区分。

3、三角形中位线定理的作用：
位置关系:可以证明两条直线平行。

数量关系:可以证明线段的加倍关系。

常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：
结论1:三条中线组成一个三角形，其周长是原三角形的一半。

结论二:三条中线把原来的三角形分成四个全等的三角形。

结论三:三条中线把原来的三角形分成三个面积相等的平行四边形。

结论4:三角形的一条中线和与之相交的中线等分。

结论五:三角形中任意两条中线之间的夹角等于这个夹角所对应的三角形的顶角。

三角形的中位线的定义及定理
三角形的中位线是连接三角形的一个顶点与对应边的中点的线段。

一个三角形有三条中位线。

中位线的定理是指在一个三角形中，三条中位线相交于同一点，且这个点离每条中位线所在顶点的距离是其长度的两倍。

换句话说，三角形的三条中位线的交点是由顶点到对边中点的距离的两倍。

这个特殊的点被称为三角形的重心，也是三角形的重心在欧几里得几何学中的重要属性之一。

中位线的定理可以用于解决与三角形有关的问题，例如确定重心的坐标，计算中位线的长度，以及证明与中位线相关的几何性质。

直角三角形中位线定理定理：假如一个三角形是直角三角形，那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

假如直角三角形斜边上一点与直角顶点的连线与该点分斜边所得两条线段中任意一条相等，那么该点为斜边中点。

斜边中线定理逆命题其逆命定理：假如一个三角形是直角三角形，那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

假如直角三角形斜边上一点与直角顶点的连线与该点分斜边所得两条线段中任意一条相等，那么该点为斜边中点。

斜边中线定理逆命题其逆命题1：假如一个三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，且这条边为直角三角形的斜边。

逆命题1是正确的。

以该条边的中点为圆心，以中线长为半径作圆，那么该边成为圆的直径，该三角形的另一个顶点在圆上，该顶角为圆周角。

因为直径上的圆周角是直角，所以逆命题1成立。

原命题2：假如CD是直角三角形ABC斜边AB上的中线，那么它等于AB的一半。

逆命题2：假如线段BD的一端B是直角三角形ABC的顶点，另一端D在斜边AC上，且BD等于AC的一半，那么BD是斜边AC的中线。

逆命题2是不成立的。

举一个反例。

设直角三角形三边长分别为AB=3，BC=4，AC=5。

斜边的一半长为2.5,斜边上的高BE=〔3*4〕/5=2.4,在线段AE上上必能找到一点D，使BD=2.5，但BD并不是AC边的中线，因为AC边的中点在线段EC上。

逆命题3：假设直角三角形斜边上一点与直角顶点的连线等于该点分斜边所得两条线段中任意一条时，该点为斜边中点。

几何描绘：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜边AB上一点。

假设CD=AD或CD=BD，那么D是AB中点。

逆命题3成立，CD=AD那么∠A=∠ACD，而∠A+∠B=90°，∠ACD+∠BCD=90°，因此∠BCD=∠B。

等角对等边，有CD=DB，所以AD=BD，即D是斜边中点。

中位线定理中位线是在三角形或梯形中一条特殊的线段，与其所在的三角形或梯形有着特殊的关系。