最新数学北师版初中九年级上册2.5一元二次方程的根与系数的关系1精选习题

北师大版九年级上册 2.5 一元二次方程 的根与系数的关系 同步练习（含答案）一、选择题：1、已知21,x x 是一元二次方程04722=+-x x 的两根，则21x x +与21x x ⋅的值分别是（ ）A 、2,27--B 、2,27-C 、2,27D 、2,27- 2、已知一元二次方程0252=+-x x 的两根分别是21,x x ，则2121x x x x ⋅-+的值是（ ）A 、7-B 、3-C 、7D 、33、若关于x 的一元二次方程022=+-m x x 的有一个根是 -1，则另一个根是（ ） A 、1 B 、3- C 、3 D 、44、已知3是关于x 的方程052=+-c x x 的一个根，则这个方程的另一个根是（ ） A 、2-=x B 、2=x C 、5=x D 、6=x5、如果关于x 的一元二次方程02=++q px x 的两个根分别是1,221==x x ，则p ，q 的值分别是（ ）A 、2,3-B 、23-，C 、32-，D 、32，6、已知实数21,x x 满足721=+x x ，1221=⋅x x ，则以21,x x 为根的一元二次方程是（ ）A 、012172=+-x x B 、01272=++x xC 、01272=-+x xD 、01272=--x x7、已知一元二次方程0132=--x x 的两根分别是21,x x ，则221221x x x x +的值是（ ）A 、6-B 、6C 、3-D 、38、已知21,x x 是关于x 的一元二次方程032=-+bx x 的两根，且满足532121=-+x x x x ，那么b =（ ）A 、4B 、4-C 、3D 、3- 二、填空题：9、关于x 的方程062=-+kx x 的一个根为-3，则另一个根是________；10、已知一元二次方程0562=--x x 的两根分别是b a ,，则=+ba 11_______； 11、已知21,x x 是一元二次方程012=-+x x 的两根，则=+2221x x _______；12、已知关于x 的一元二次方程032=--x x 的两个实数根分别是βα，，则=++)3)(3(βα_______； 三、解答题：13、已知方程0652=-+kx x 的一个根为2，求另一个根的k 的值；14、设21,x x 是一元二次方程05722=+-x x 的两根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：（1）2221x x +；（2）221)(x x -；15、已知21,x x 是一元二次方程03422=-+x x 的两根，利用根与系数的关系，求下列各式的值；（1）)1)(1(21++x x ； （2）1221x x x x +；16、已知关于x 的方程01)4(222=+---a x a x ；（1）当a 为何值时，方程的一根为0？（2）当a 为何值时，两根互为相反数？（3）求证：无论a 为何值，方程的两根不可能互为倒数；参考答案：1~8 CDCBA ACA9、2； 10、56-； 11、3； 12、9；13、另一根为53-；7-=k ； 14、（1）435；（2）49；15、（1）2512231)1)(1(212121-=+--=+++=++x x x x x x ； （2）314)(21212212122211221-=-+=+=+x x x x x x x x x x x x x x ；16、（1）当a=1时，方程的一根为0；（2）当a =2时，两根互为相反数； （3）互为倒数的两个数的积为1， ∴12121-=+-=⋅a x x解得：a =-1这时方程为2x 2+3x +2=0∵△=32-4×2×2=-7<0 方程没有实数根 ∴方程的两根不可能互为倒数；。

初中数学北师大版九年级上学期第二章 2.5 一元二次方程的跟与系数的关系一、单选题1.若一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两根为x1，x2，则（1+x1）+x2（1﹣x1）的值是（）A. 4B. 2C. 1D. ﹣22.若α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，且＝﹣，则m等于（）A. ﹣2B. ﹣3C. 2D. 33.若，，则以，为根的一元二次方程是（）A. B. C. D.4.已知，是方程的两个实数根，则的值是( )A. 2023B. 2021C. 2020D. 20195.已知关于x的一元二次方程x2-bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=-2，则b与c的值分别是( )A. b=-1，C=2B. b=1，C=-2C. b=1，c=2D. b=-1，c=-26.兰兰和笑笑分别解一道关于X的一元二次方程，兰兰因把一次项系数看错，解得方程两根为-2和6，笑笑因把常数项看错，解得方程两根为3和4，则原方程是（）A. x2+7x-12=0B. x2-7x-12=0C. x2+7x+12=0D. x2-7x+12=0二、填空题7.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是________.8.已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有一个根为1，则方程的另一个根为________.9.若矩形的长和宽是方程2x2-16x+m=0(0<m≤32)的两根，则矩形的周长为________三、计算题10.已知x1、x2是方程x2+2x﹣3＝0的两个根，（1）求x1+x2；x1x2的值；（2）求x12+x22的值．四、解答题11.阅读材料：已知方程a22a 1=0，1 2b b2=0且ab≠1，求的值.解：由a22a 1=0及1 2b b2=0，可知a≠0，b≠0，又∵ab≠1，.1 2b b2=0可变形为，根据a22a 1=0和的特征.、是方程x22x 1=0的两个不相等的实数根，则，即.根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答.已知：3m27m 2=0，2n2+7n 3=0且mn≠1，求的值.五、综合题12.如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，若x2-2 x+2=0的两根是x1、x2，且OC=x1+x2，OA=x1x2（1）求B点的坐标.（2）把△ABC沿AC对折，点B落在点B′处，线段AB′与x轴交于点D，求直线BD的解析式．（3）在平面上是否存在点P，使D、C、B、P四点形成的四边形为平形四边形？若存在，请直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由.答案解析部分一、单选题1.答案：A解：根据题意得x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，所以（1+x1）+x2（1﹣x1）＝1+x1+x2﹣x1x2＝1+1﹣（﹣2）＝4。

初中-数学-打印版初中-数学-打印版 《2.5一元二次方程的根与系数的关系》填空题与选择题：1、若一元二次方程)0(,02≠=++a c bx ax 有一个根为-1，则a 、b 、c 的关系是______．2、一元二次方程0132=--x x 与032=--x x 的所有实数根的和等于____．3、若α、β为实数且｜α+β－3｜+（2－αβ）2=0，则以α、β为根的一元二次方程为 ．（其中二次项系数为1）4、已知a a -=12，b b -=12，且b a ≠，则=--)1)(1(b a ．5、已知关于x 的方程0142=-+-k x x 的两根之差等于6，那么=k ______．6、已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ）．AB 、3C 、6D 、97、已知三角形两边长分别为2和9，第三边的长为二次方程048142=+-x x 的一根，则这个三角形的周长为（ ）．A ．11B ．17C ．17或19D ．198、已知x 1，x 2，是关于x 的方程222(2)210x m x m -++-=的两个实根，且满足22120x x -=，求m 的值．1、设x 1，x 2是一元二次方程22510x x -+=的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：（1）)3)(3(21--x x ； （2）2221)1()1(+++x x（3）112112+++x x x x （4）||21x x - （5）)31)(31(1221x x x x ++（6）3231x x + （7）21x x 2、已知方程0122=++mx x 的两实根是21x x 和，方程02=+-n mx x 的两实根是71+x 和72+x ，求m 和n 的值．。

北师大版数学九上册 2.5一元二次方程根与系数的关系 同步习题及答案[预习自测]一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有两个根分别为x 1、x 2，则x 1+x 2 = x 1x 2 =[知识点1]一元二次方程根与系数的关系1. 若x 1+x 2=3，x 12+x 22=5，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是（ ）A.x 2-3x+2=0B.x 2+3x-2=0C.x 2+3x+2=0D.x 2-3x-2=02．若x 1、x 2是方程2x 2-6x+3=0的两个根，则1x 1+1x 2的值为( ) A ．-2 B ．2 C ． 12 D ．92 3．已知菱形ABCD 的边长为5，两条对角线交于O 点，且OA 、OB 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根，则m 等于() A ．3- B ．5 C ．53-或D ．53-或 4.若方程22(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，则k 的值是 _____ ．5．设12,x x 是方程20x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程20x qx p ++=的两实根，则p = _____ ，q = _____ ． 6. 已知关于x 的一元二次方程x 2-2√2x+m=0有两个不相等的实数根。

（1）求实数m 的最大整数值；（2）在（1）的条件下，方程的实数根是x 1，x 2，求代数式x 12+x 22- x 1x 2的值。

[提高训练]7．已知关于x 的一元二次方程2(41)210x m x m +++-=．(1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2) 若方程的两根为12,x x ，且满足121112x x +=-，求m 的值．8．已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=的两根是一个矩形两边的长．(1) k 取何值时，方程存在两个正实数根？(2)k 的值．9．已知关于x 的方程2(1)(23)10k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根12,x x ．(1) 求k 的取值范围；(2) 是否存在实数k ，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请您说明理由．10．已知关于x 的方程230x x m +-=的两个实数根的平方和等于11．求证：关于x 的方程22(3)640k x kmx m m -+-+-=有实数根．11．若12,x x 是关于x 的方程22(21)10x k x k -+++=的两个实数根，且12,x x 都大于1．(1) 求实数k 的取值范围；(2) 若1212x x =，求k 的值．12.设m 是不小于-1的实数，使得关于x 的方程x 2+2（m-2）x+m 2-3m+3=0有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）若1x 1 +1x 2 =1，求13−2m 的值； （2）求mx 11−x 1+mx 21−x 2-m 2的最大值。

北师大版九年级上册2.5 一元二次方程的根与系数的关系一、选择题1. 若是关于x的一元二次方程的一个解，则方程的另一个解是（）A．2 B．﹣1 C．0 D．﹣22. 已知方程，下列判断正确的是（）B．方程两实数根的积等于C．方程有两个不相等的实数根D．方程无实数根3. 已知是一元二次方程的两个实数根，下列结论错误的是（）A．B．C．D．4. 已知是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根为（）A．B．C．D．A．x﹣3x+2＝0 B．x+3x-2＝0 C．x+3x+2＝0 D．x﹣3x﹣2＝0 6. 一元二次方程的两实数根为，则的值为（）A．B．C．D．7. 设，是一元二次方程的两个根，那么的值等于（）A．B．C．D．A．0 B．7 C．13 D．69. 已知a，b是一元二次方程的两根，则的值是（）B．C．D10. 已知，是方程的两根，则代数式的值是（）A．B．C．D．二、填空题11. 关于x的方程有一个根为，则另一个根为 _____．12. 已知α、β是方程的两个根，则_______________．13. 方程的两根为，，则______．14. 已知方程的两根分别为、，则的值为______．三、解答题16. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)若，求k的值．17. 先化简，再求值，其中，是方程的两个根．18. 关于x的一元二次方程有两个实数根．(1)求m的取值范围；(2)若是方程的两个根，且，求m的值．19. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．(1)求a的取值范围；(2)若满足，求a的值．。

北师大版九年级数学上册第二章2.5 一元二次方程的根与系数的关系同步练习题一、选择题1．已知x1，x2是一元二次方程x2＋2x－k－1＝0的两根，且x1x2＝－3，则k的值为(B)A．1 B．2 C．3 D．42．若一元二次方程x2－2x－1＝0的两根分别为x1，x2，则1x1＋1 x2的值为(B)A．1 B．-2 C．3 D．-43．已知关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根分别为x1，x2.若b＋2c＝0，则1x1＋1x2＋x1x2x1＋x2的值为（D）．A．52 B．-32C．32D．-524．若一元二次方程x2－3x－2＝0的两根分别是m，n，则m3－3m2＋2n＝（A）A．6 B．5 C．3 D．45．对于任意实数a，b，定义：a◆b＝a2＋ab＋b2.若方程(x◆2)－5＝0的两根记为m，n，则m2＋n2＝（D）．A．3 B．4 C．5 D．66.已知关于x 的方程ax 2＋bx ＋1＝0的两根为x 1＝1，x 2＝2，则方程a(x ＋1)2＋b(x ＋1)＋1＝0的两根之和为（A ）．A ．1B ．2C ．3D ．4 二、填空题7．已知关于x 的一元二次方程x 2－2kx －8＝0的一个根是2，则此方程的另一个根是－4．8．已知关于x 的方程x 2＋mx －2n ＝0的两根之和为－2，两根之积为1，则m ＋n 的值为32．9．写一个以5，－2为根的一元二次方程(化为一般形式)x 2－3x －10＝0．10．已知m ，n 是一元二次方程x 2－2x －3＝0的两根，则m ＋n ＋mn ＝－1．11．若x 1＋x 2＝3，x 21＋x 22＝5，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是x 2－3x ＋2＝0．12．已知实数m ，n 满足条件m 2－7m ＋2＝0，n 2－7n ＋2＝0，则n m＋m n 的值是452或2． 13．已知a ，b 是方程x 2＋2x －5＝0的两个实数根，则a 2b ＋ab 2的值为10．14．已知关于x 的方程kx 2－3x ＋1＝0有两个实数根，分别为x 1和x 2.当x 1＋x 2＋x 1x 2＝4时，k ＝1．15．若方程2x 2＋4x －3＝0的两根为x 1，x 2，则1x 21＋1x 22＝289．三、解答题16．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－3x －1＝0的两根，不解方程求下列各式的值：(1)x 21＋x 22；解：x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝32－2×(－1) ＝11.(2)1x 1＋1x 2. 解：1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝3－1＝－3.17．已知关于x的一元二次方程x2－2(a－1)x＋a2－a－2＝0有两个不相等的实数根x1，x2.(1)若a为正整数，求a的值；(2)若x1，x2满足x21＋x22－x1x2＝16，求a的值．解：(1)∵关于x的一元二次方程x2－2(a－1)x＋a2－a－2＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝[－2(a－1)]2－4(a2－a－2)＞0.解得a＜3.∵a为正整数，∴a＝1或2.(2)∵x21＋x22－x1x2＝16，∴(x1＋x2)2－3x1x2＝16.∵x1＋x2＝2(a－1)，x1x2＝a2－a－2，∴[2(a－1)]2－3(a2－a－2)＝16.解得a1＝－1，a2＝6.又由(1)知a＜3，∴a＝－1.18．已知x 1，x 2是一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根，求使x 1x 2＋x 2x 1－2的值为整数的实数k 的整数值．解：根据题意，得Δ＝(－4k)2－4×4k(k＋1)≥0，且k≠0，解得k ＜0.∵x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝k ＋14k ，∴x 1x 2＋x 2x 1－2＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 1x 2－2 ＝（x 1＋x 2）2x 1x 2－4＝1k ＋14k －4 ＝－4k ＋1.∵k 为整数，且－4k ＋1为整数，∴k ＋1＝±1，±2，±4. 又∵k＜0，∴k ＝－5，－3，－2.19．已知关于x 的方程3x 2＋2x －m ＝0没有实数解，求实数m 的取值范围．解：∵3x 2＋2x －m ＝0没有实数解， ∴Δ＝4－4×3×(－m)＜0，解得m ＜－13.故实数m 的取值范围是m ＜－13.20．已知实数m ，n 满足3m 2＋6m －5＝0，3n 2＋6n －5＝0，求mn＋nm的值． 解：若m≠n，∵实数m ，n 满足3m 2＋6m －5＝0，3n 2＋6n －5＝0， ∴m ，n 是方程3x 2＋6x －5＝0的两根． ∴m ＋n ＝－2，mn ＝－53.∴m n ＋n m ＝m 2＋n 2mn ＝（m ＋n ）2－2mn mn （－2）2－2×（－53）－53＝－225. 若m ＝n ，则m n ＋nm ＝1＋1＝2.综上可知，m n ＋n m 的值为－225或2.21．已知关于x的一元二次方程x2－2x＋m－1＝0.(1)当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？(2)若方程的两根都是正数，求m的取值范围；(3)设x1，x2是这个方程的两个实数根，且1＋x1x2＝x21＋x22，求m 的值．解：(1)∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝(－2)2－4(m－1)＝－4m＋8＞0.∴m＜2.∴当m＜2时，方程有两个不相等的实数根．(2)设x1，x2是这个方程的两个实数根，则x1＞0，x2＞0，∴x1x2＝m－1＞0.∴m＞1.∵方程的两根都是正数，∴Δ≥0.∴m≤2.∴m的取值范围是1＜m≤2.(3)由题意可得x1＋x2＝2，x1x2＝m－1.∵1＋x1x2＝x21＋x22，∴1＋x1x2＝(x1＋x2)2－2x1x2，即1＋m－1＝22－2(m－1)．解得m＝2.22．已知k 为非负实数，关于x 的方程x 2－(k ＋1)x ＋k ＝0和kx 2－(k ＋2)x ＋k ＝0.(1)求证：前一个方程必有两个非负实数根；(2)当k 取何值时，上述两个方程有一个相同的实数根？ 解：(1)证明：x 2－(k ＋1)x ＋k ＝0，Δ＝[－(k ＋1)]2－4k ＝k 2－2k ＋1＝(k －1)2≥0，∴方程x 2－(k ＋1)x ＋k ＝0的根为x ＝（k ＋1）±（k －1）22.∴x 1＝k ，x 2＝1. ∵k 为非负实数，∴方程x 2－(k ＋1)x ＋k ＝0必有两个非负实数根． (2)方程kx 2－(k ＋2)x ＋k ＝0中，∵k ≥0，当k≠0时，Δ＝(k ＋2)2－4k 2＝(k ＋2＋2k)(k ＋2－2k)＝(3k ＋2)(2－k)．∵k ＞0，∴3k ＋2＞0.∴要使(3k ＋2)(2－k)≥0，需满足2－k≥0， 即k≤2，且k≠0.当k ＝0时，x ＝0.∴k ≤2时，方程有实数根．当相同的根是k 时，把x ＝k 代入方程kx 2－(k ＋2)x ＋k ＝0，得k 3－(k ＋2)k ＋k ＝0，解得k ＝0或k ＝1＋52或k ＝1－52.∵k 为非负实数，∴k ＝0或1＋52.满足k≤2.当相同的根是1时，把x ＝1代入方程kx 2－(k ＋2)x ＋k ＝0，得k －(k ＋2)＋k ＝0，解得k ＝2.满足k≤2.∴当k ＝2或0或1＋52时，上述两个方程有一个相同的实数根．。

北师大版九年级数学上册第二章2.5 一元二次方程的根与系数的关系同步练习题一、选择题1．已知x1，x2是一元二次方程x2＋2x－k－1＝0的两根，且x1x2＝－3，则k的值为(B) A．1 B．2 C．3 D．42．若一元二次方程x2－2x－1＝0的两根分别为x1，x2，则1x1＋1x2的值为(B)A．1 B．-2 C．3 D．-43．已知关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根分别为x1，x2.若b＋2c＝0，则1x1＋1x2＋x1x2x1＋x2的值为（D）．A．52B．-32C．32D．-524．若一元二次方程x2－3x－2＝0的两根分别是m，n，则m3－3m2＋2n＝（A）A．6 B．5 C．3 D．45．对于任意实数a，b，定义：a◆b＝a2＋ab＋b2.若方程(x◆2)－5＝0的两根记为m，n，则m2＋n2＝（D）．A．3 B．4 C．5 D．66.已知关于x的方程ax2＋bx＋1＝0的两根为x1＝1，x2＝2，则方程a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1＝0的两根之和为（A）．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题7．已知关于x的一元二次方程x2－2kx－8＝0的一个根是2，则此方程的另一个根是－4．8．已知关于x的方程x2＋mx－2n＝0的两根之和为－2，两根之积为1，则m＋n的值为32．9．写一个以5，－2为根的一元二次方程(化为一般形式)x2－3x－10＝0．10．已知m，n是一元二次方程x2－2x－3＝0的两根，则m＋n＋mn＝－1．11．若x1＋x2＝3，x21＋x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是x2－3x＋2＝0．12．已知实数m ，n 满足条件m 2－7m ＋2＝0，n 2－7n ＋2＝0，则n m ＋m n 的值是452或2．13．已知a ，b 是方程x 2＋2x －5＝0的两个实数根，则a 2b ＋ab 2的值为10．14．已知关于x 的方程kx 2－3x ＋1＝0有两个实数根，分别为x 1和x 2.当x 1＋x 2＋x 1x 2＝4时，k ＝1．15．若方程2x 2＋4x －3＝0的两根为x 1，x 2，则1x 21＋1x 22＝289．三、解答题16．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－3x －1＝0的两根，不解方程求下列各式的值： (1)x 21＋x 22；解：x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2 ＝32－2×(－1) ＝11.(2)1x 1＋1x 2. 解：1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝3－1＝－3.17．已知关于x 的一元二次方程x 2－2(a －1)x ＋a 2－a －2＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2.(1)若a 为正整数，求a 的值；(2)若x 1，x 2满足x 21＋x 22－x 1x 2＝16，求a 的值．解：(1)∵关于x 的一元二次方程x 2－2(a －1)x ＋a 2－a －2＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝[－2(a －1)]2－4(a 2－a －2)＞0.解得a ＜3. ∵a 为正整数， ∴a ＝1或2.(2)∵x 21＋x 22－x 1x 2＝16， ∴(x 1＋x 2)2－3x 1x 2＝16.∵x 1＋x 2＝2(a －1)，x 1x 2＝a 2－a －2， ∴[2(a －1)]2－3(a 2－a －2)＝16. 解得a 1＝－1，a 2＝6. 又由(1)知a ＜3， ∴a ＝－1.18．已知x 1，x 2是一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根，求使x 1x 2＋x 2x 1－2的值为整数的实数k 的整数值．解：根据题意，得Δ＝(－4k)2－4×4k(k＋1)≥0，且k≠0，解得k ＜0. ∵x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝k ＋14k ，∴x 1x 2＋x 2x 1－2＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 1x 2－2 ＝（x 1＋x 2）2x 1x 2－4＝1k ＋14k－4 ＝－4k ＋1.∵k 为整数，且－4k ＋1为整数，∴k ＋1＝±1，±2，±4. 又∵k＜0，∴k ＝－5，－3，－2.19．已知关于x 的方程3x 2＋2x －m ＝0没有实数解，求实数m 的取值范围． 解：∵3x 2＋2x －m ＝0没有实数解， ∴Δ＝4－4×3×(－m)＜0，解得m ＜－13.故实数m 的取值范围是m ＜－13.20．已知实数m ，n 满足3m 2＋6m －5＝0，3n 2＋6n －5＝0，求m n ＋n m 的值．解：若m≠n，∵实数m ，n 满足3m 2＋6m －5＝0，3n 2＋6n －5＝0， ∴m ，n 是方程3x 2＋6x －5＝0的两根． ∴m ＋n ＝－2，mn ＝－53.∴m n ＋n m ＝m 2＋n 2mn ＝（m ＋n ）2－2mn mn （－2）2－2×（－53）－53＝－225. 若m ＝n ，则m n ＋nm ＝1＋1＝2.综上可知，m n ＋n m 的值为－225或2.21．已知关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m －1＝0. (1)当m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？ (2)若方程的两根都是正数，求m 的取值范围；(3)设x 1，x 2是这个方程的两个实数根，且1＋x 1x 2＝x 21＋x 22，求m 的值． 解：(1)∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝(－2)2－4(m －1)＝－4m ＋8＞0.∴m＜2. ∴当m ＜2时，方程有两个不相等的实数根．(2)设x 1，x 2是这个方程的两个实数根，则x 1＞0，x 2＞0，∴x 1x 2＝m －1＞0.∴m＞1. ∵方程的两根都是正数，∴Δ≥0.∴m ≤2.∴m 的取值范围是1＜m≤2. (3)由题意可得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝m －1. ∵1＋x 1x 2＝x 21＋x 22，∴1＋x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2， 即1＋m －1＝22－2(m －1)．解得m ＝2.22．已知k 为非负实数，关于x 的方程x 2－(k ＋1)x ＋k ＝0和kx 2－(k ＋2)x ＋k ＝0. (1)求证：前一个方程必有两个非负实数根；(2)当k 取何值时，上述两个方程有一个相同的实数根？ 解：(1)证明：x 2－(k ＋1)x ＋k ＝0，Δ＝[－(k ＋1)]2－4k ＝k 2－2k ＋1＝(k －1)2≥0，∴方程x 2－(k ＋1)x ＋k ＝0的根为x ＝（k ＋1）±（k －1）22.∴x 1＝k ，x 2＝1. ∵k 为非负实数，∴方程x 2－(k ＋1)x ＋k ＝0必有两个非负实数根． (2)方程kx 2－(k ＋2)x ＋k ＝0中，∵k ≥0，当k≠0时，Δ＝(k ＋2)2－4k 2＝(k ＋2＋2k)(k ＋2－2k)＝(3k ＋2)(2－k)． ∵k ＞0，∴3k ＋2＞0.∴要使(3k ＋2)(2－k)≥0，需满足2－k≥0， 即k≤2，且k≠0.当k ＝0时，x ＝0.∴k ≤2时，方程有实数根．当相同的根是k 时，把x ＝k 代入方程kx 2－(k ＋2)x ＋k ＝0，得k 3－(k ＋2)k ＋k ＝0， 解得k ＝0或k ＝1＋52或k ＝1－52.∵k 为非负实数，∴k ＝0或1＋52.满足k≤2. 当相同的根是1时，把x ＝1代入方程kx 2－(k ＋2)x ＋k ＝0，得k －(k ＋2)＋k ＝0，解得k ＝2.满足k≤2.∴当k ＝2或0或1＋52时，上述两个方程有一个相同的实数根．。

北师大新版九年级（上）中考题同步试卷：2.5 一元二次方程的根与系数的关系（01）一、选择题（共18小题）1．若关于x的方程x2+x﹣a+＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．a≥2B．a≤2C．a＞2D．a＜22．若关于x的一元二次方程4x2﹣4x+c＝0有两个相等实数根，则c的值是（）A．﹣1B．1C．﹣4D．43．一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根4．若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3＝0有实数根，则k的非负整数值是（）A．1B．0，1C．1，2D．1，2，35．若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2＝0有实数根，则整数a的最大值为（）A．﹣1B．0C．1D．26．下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．4x2﹣5x+2＝0B．x2﹣6x+9＝0C．5x2﹣4x﹣1＝0D．3x2﹣4x+1＝0 7．方程（m﹣2）x2﹣x+＝0有两个实数根，则m的取值范围（）A．m＞B．m≤且m≠2C．m≥3D．m≤3且m≠2 8．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+（2m+1）x+m﹣2＝0有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是（）A．m＞B．m＞且m≠2C．﹣＜m＜2D．＜m＜29．若关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≥B．k＞C．k＜D．k≤10．关于x的一元二次方程x2+x+m＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≥B．m≤C．m≥D．m≤11．下列方程有两个相等的实数根的是（）A．x2+x+1＝0B．4x2+2x+1＝0C．x2+12x+36＝0D．x2+x﹣2＝012．下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的方程是（）A．（x﹣1）2＝0B．x2+2x﹣19＝0C．x2+4＝0D．x2+x+l＝0 13．等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1＝0的两根，则n的值为（）A．9B．10C．9或10D．8或1014．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5＝0，下列说法正确的是（）A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定15．若一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根，则一次函数y＝（m+1）x+m﹣1的图象不经过第（）象限．A．四B．三C．二D．一16．一元二次方程x2+x+＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定根的情况17．一元二次方程4x2+1＝4x的根的情况是（）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根18．有两个一元二次方程M：ax2+bx+c＝0；N：cx2+bx+a＝0，其中a•c≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是（）A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x＝1二、填空题（共7小题）19．关于x的方程kx2﹣4x﹣＝0有实数根，则k的取值范围是．20．如果关于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0没有实数根，那么m的取值范围是．21．一元二次方程x2﹣5x+c＝0有两个不相等的实数根且两根之积为正数，若c是整数，则c＝．（只需填一个）．22．已知关于x的一元二次方程x2+x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．23．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是．24．关于x的一元二次方程2x2﹣4x+m﹣1＝0有两个相等的实数根，则m的值为．25．若关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1＝0无解，则a的取值范围是．三、解答题（共5小题）26．已知关于x的方程x2+2x+a﹣2＝0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．27．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2＝0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22＝31+|x1x2|，求实数m的值．28．关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等实根x1，x2．（1）求实数k的取值范围．（2）若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|＝x1•x2，求k的值．29．已知：关于x的方程x2+2mx+m2﹣1＝0（1）不解方程，判别方程根的情况；（2）若方程有一个根为3，求m的值．30．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝|m|．（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．北师大新版九年级（上）中考题同步试卷：2.5 一元二次方程的根与系数的关系（01）参考答案一、选择题（共18小题）1．C；2．B；3．B；4．A；5．B；6．A；7．B；8．D；9．D；10．D；11．C；12．B；13．B；14．B；15．D；16．B；17．C；18．D；二、填空题（共7小题）19．k≥﹣6；20．m＜﹣4；21．4；22．k≥1；23．k＜2且k≠1；24．3；25．a＜﹣1；三、解答题（共5小题）26．；27．；28．；29．；30．；北师大新版九年级（上）中考题同步试卷：2.5 一元二次方程的根与系数的关系（02）一、选择题（共14小题）1．方程x2﹣2x+3＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．只有一个实数根C．没有实数根D．有两个不相等的实数根2．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx+b 的大致图象可能是（）A．B．C．D．3．已知关于x的方程x2﹣2x+3k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜B．k＞C．k＜且k≠0D．k＞且k≠0 4．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+5﹣a＝0有实数根，则a的取值范围是（）A．a≥1B．a＞1C．a≤1D．a＜15．若关于x的方程x2+2x+a＝0不存在实数根，则a的取值范围是（）A．a＜1B．a＞1C．a≤1D．a≥16．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≤3B．m＜3C．m＜3且m≠2D．m≤3且m≠2 7．关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k≥﹣1C．k≠0D．k＜1且k≠0 8．判断一元二次方程式x2﹣8x﹣a＝0中的a为下列哪一个数时，可使得此方程式的两根均为整数？（）A．12B．16C．20D．249．已知一元二次方程2x2﹣5x+3＝0，则该方程根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．两个根都是自然数D．无实数根10．若一元二次方程x2+2x+a＝0的有实数解，则a的取值范围是（）A．a＜1B．a≤4C．a≤1D．a≥111．下列一元二次方程有两个相等实数根的是（）A．x2﹣2x+1＝0B．2x2﹣x+1＝0C．4x2﹣2x﹣3＝0D．x2﹣6x＝0 12．若a满足不等式组，则关于x的方程（a﹣2）x2﹣（2a﹣1）x+a+＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．以上三种情况都有可能13．下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（）A．x2﹣8＝0B．2x2﹣4x+3＝0C．9x2+6x+1＝0D．5x+2＝3x2 14．一元二次方程2x2+3x+1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定二、填空题（共11小题）15．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝．16．若关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（写出一个即可）．17．关于x的方程mx2+x﹣m+1＝0，有以下三个结论：①当m＝0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是（填序号）．18．若关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是．19．关于x的方程x2+2x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m＝．20．已知k＞0，且关于x的方程3kx2+12x+k+1＝0有两个相等的实数根，那么k的值等于．21．关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0没有实数根，则m的取值范围是．22．已知关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有实数根，则m的取值范围是．23．若一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x﹣5＝0没有实数根，则m的取值范围是．24．关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a＝，b＝．25．已知关于x的方程x2﹣2x+a＝0有两个实数根，则实数a的取值范围是．三、解答题（共5小题）26．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根为x1，x2，且满足5x1+2x2＝2，求实数m的值．27．已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+4＝0有两个相等的实数根，求m的值．28．已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣4）＝p2，p为实数．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）p为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由）29．已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0．（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．30．已知关于x的一元二次方程mx2+mx+m﹣1＝0有两个相等的实数根．（1）求m的值；（2）解原方程．北师大新版九年级（上）中考题同步试卷：2.5 一元二次方程的根与系数的关系（02）参考答案一、选择题（共14小题）1．C；2．B；3．A；4．A；5．B；6．D；7．D；8．C；9．A；10．C；11．A；12．C；13．C；14．A；二、填空题（共11小题）15．；16．0；17．①③；18．a＞﹣且a≠0；19．﹣1；20．3；21．m＞；22．m ≤1；23．m＜；24．4；2；25．a≤1；三、解答题（共5小题）26．；27．；28．；29．；30．；北师大新版九年级（上）中考题同步试卷：2.5 一元二次方程的根与系数的关系（03）一、选择题（共13小题）1．若关于x的方程式x2﹣x+a＝0有实数根，则a的值可以是（）A．2B．1C．0.5D．0.252．下列关于x的一元二次方程有实数根的是（）A．x2+1＝0B．x2+x+1＝0C．x2﹣x+1＝0D．x2﹣x﹣1＝0 3．已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣a＝0有两个相等的实数根，则a的值是（）A．4B．﹣4C．1D．﹣14．一元二次方程x2﹣4x+5＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根5．下列关于x的方程有实数根的是（）A．x2﹣x+1＝0B．x2+x+1＝0C．（x﹣1）（x+2）＝0D．（x﹣1）2+1＝06．关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．7．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，则b2﹣4ac满足的条件是（）A．b2﹣4ac＝0B．b2﹣4ac＞0C．b2﹣4ac＜0D．b2﹣4ac≥08．若+|n﹣2|＝0，且关于x的一元二次方程ax2+mx+n＝0有实数根，则a的取值范围是（）A．a≥8B．a＜8且a≠0C．a≤8D．a≤8且a≠0 9．下列方程没有实数根的是（）A．x2+4x＝10B．3x2+8x﹣3＝0C．x2﹣2x+3＝0D．（x﹣2）（x﹣3）＝1210．一元二次方程x2﹣2x+m＝0总有实数根，则m应满足的条件是（）A．m＞1B．m＝1C．m＜1D．m≤111．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有不相等实数根，则k的取值范围是（）A．k＞B．k≥C．k＞且k≠1D．k≥且k≠1 12．下列方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣4x+4＝0B．x2﹣2x+5＝0C．x2﹣2x＝0D．x2﹣2x﹣3＝0 13．关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x1+x2＞0，x1x2＞0，则m的取值范围是（）A．m≤B．m≤且m≠0C．m＜1D．m＜1且m≠0二、填空题（共12小题）14．如果关于x的方程x2﹣6x+m＝0有两个相等的实数根，那么m＝．15．关于x的一元二次方程x2﹣5x+k＝0有两个不相等的实数根，则k可取的最大整数为．16．若关于x的一元二次方程x2+x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝．17．如果关于x的方程x2﹣2x+k＝0（k为常数）有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是．18．一元二次方程2x2﹣3x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．19．关于x的一元二次方程x2﹣3x+b＝0有两个不相等的实数根，则b的取值范围是．20．若一元二次方程x2﹣6x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为．21．已知关于x的方程x2+（1﹣m）x+＝0有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是．22．关于x的反比例函数y＝的图象如图，A、P为该图象上的点，且关于原点成中心对称．△P AB中，PB∥y轴，AB∥x轴，PB与AB相交于点B．若△P AB的面积大于12，则关于x的方程（a﹣1）x2﹣x+＝0的根的情况是．23．关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．24．关于x的一元二次方程x2+a＝0没有实数根，则实数a的取值范围是．25．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0有两个相等的实数根，则k值为．三、解答题（共5小题）26．已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣（k﹣1）x+＝0有两个相等的实数根，求k的值．27．一元二次方程mx2﹣2mx+m﹣2＝0．（1）若方程有两实数根，求m的范围．（2）设方程两实根为x1，x2，且|x1﹣x2|＝1，求m．28．已知关于x的一元二次方程x2+2（m+1）x+m2﹣1＝0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x1，x2，且满足（x1﹣x2）2＝16﹣x1x2，求实数m的值．29．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．30．已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．北师大新版九年级（上）中考题同步试卷：2.5 一元二次方程的根与系数的关系（03）参考答案一、选择题（共13小题）1．D；2．D；3．D；4．D；5．C；6．B；7．B；8．D；9．C；10．D；11．C；12．B；13．B；二、填空题（共12小题）14．9；15．6；16．；17．k＜1；18．k＜；19．b＜；20．9；21．0；22．没有实数根；23．k＜；24．a＞0；25．﹣3；三、解答题（共5小题）26．；27．；28．；29．；30．；。

北师大版数学九年级上册第二章第5节一元二次方程根与系数的关系同步练习1．若x 1、x 2是一元一次方程x 2－5x ＋6＝0的两个根，则x 1＋x 2的值是 ( )A ．1B ．5C ．－5D ．62．若x 1、x 2是一元一次方程x 2＋x －2＝0的两个根，则x 1·x 2的值是 ( )A ．－1B ．－2C ．1D ．23．以3和—2为根的一元二次方程是（ ）A ．x 2＋x －6＝0B ．x 2＋x ＋6＝0C ．x 2－x －6＝0D ．x 2－x ＋6＝04．已知x 2－(m －1)x －(2m －2)＝0两根之和等于两根之积，则m 的值为（ ）A ．1B ．—1C ．2D ．—25．已知方程3x 2－5x －7＝0的两根为x 1、x 2，则下列各式中正确的是 ( )A ．x 1＋x 2＝5，x 1·x 2＝7B ．x 1＋x 2＝－5，x 1·x 2＝－7C ．x 1＋x 2＝53，x 1·x 2＝－73D ．x 1＋x 2＝－53，x 1·x 2＝－736．设方程x 2＋x ﹣2＝0的两个根为α，β，那么α＋β﹣αβ的值等于（ ）A ．﹣3B ．﹣1C ．1D ．37．关于x 的一元二次方程x 2＋（a 2﹣3a ）x ＋a ＝0的两个实数根互为倒数，则a 的值为（ ）A ．﹣3B ．0C ．1D ．﹣3 或 08．关于x 的一元二次方程2x 2＋kx ﹣4＝0的一个根x 1＝﹣2，则方程的另一个根x 2和k 的值为（）A ．x 2＝1，k ＝2B ．x 2＝2，k ＝2C ．x 2＝1，k ＝﹣1D ．x 2＝2，k ＝﹣19．关于x 的一元二次方程x 2﹣5x ＋2p ＝0的一个根为1，则另一根为（ ）A ．﹣6B ．2C ．4D ．110．已知m 、n 是一元二次方程x 2﹣3x ﹣1＝0的两个实数根，则1m +1n ＝（ ）A ．3B ．﹣3C ．13D ．﹣1311．一元二次方程x 2－4x －c ＝0的一个根是3，则c ＝_________，另一个根是_________．12．一元二次方程x 2－x －3＝0两根的倒数和等于__________．13．关于x 的方程x 2＋px ＋a ＝0的根为x 1＝1＋2，x 2＝1－2，则p ＝______，q ＝____．14．若x 1、x 2是方程x 2－5x －7＝0的两根，那么（1）x 2 1＋x 2 2＝________；（2）(x 1－x 2)2＝__________；15．阅读材料：设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1，x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a．根据该材料填空：已知x 1、x 2是方程x 2＋6x ＋3＝0的两实数根，则x 1x 2＋ x 2x 1＝ ． 16．利用方程的根与系数的关系，求方程的两根之和、两根之积：（1）x 2－3x －5＝0 （2）2x 2＋5x －5＝017．已知x 1、x 2是一元二次方程2x 2－2x ＋1－3m ＝0的两个实数根，且x 1·x 2＋2(x 1＋x 2)＞0，求实数m的取值范围．18．已知实数a 、b 满足等式a 2－2a －1＝0，b 2－2b －1＝0，求b a ＋a b的值．19．已知关于x 的方程x 2－(k ＋1)x ＋14k 2＋1＝0的两根是一个长方形形两邻边的长． （1）k 为何值时，方程有两个实数根；（2）当该长方形形的对角线长为5时，求k ．（3）当k 为何值时，矩形变为正方形？20．关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2＋m＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围．（2）设出x1、x2是方程的两根，且x12＋x22＝12，求m的值．21．已知：关于x的一元二次方程x2＋πx﹣2＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）设方程的两根为x1、x2，且满足（x1﹣x2）2﹣17＝0，求m的值．22．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＋k＋2＝0的两个实数根．（1）求k的取值范围．（2）是否存在实数k ，使得等式1x 1＋1x 2＝k ﹣2成立？如果存在，请求出k 的值；如果不存在，请说明理由．答案1．B2．B3．C4．A5．C6．C7．C8．A9．C10．B11．－3；112．－1313．－2；－114．39；5315．10；16．（1）x 1＋x 2＝3，x 1•x 2＝-5；（2）x 1＋x 2＝-52，x 1•x 2＝-52．17．解：∵x 1、x 2是一元二次方程2x 2﹣2x ＋1﹣3m ＝0的两个实数根，∴x 1＋x 2＝1，x 1•x 2＝1－3m 2． 又∵x 1﹣x 2＋2（x 1＋x 2）＞0，∴1－3m 2＋2＞0 解得：m ＜53（4分）， 又∵原方程有实数根，∴b 2﹣4ac ＝（﹣2）2﹣4×2×（1﹣3m ）＝4﹣8＋24m ＝﹣4＋24m ≥0，∴m ≥16（7分） ∴16≤m ＜53（8分） 18解：当a ＝b 时，原式＝1＋1＝2；当a ≠b 时，可以把a 、b 看作方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两个根，∴a ＋b ＝2，ab ＝﹣1，∴b a ＋a b ＝a 2＋b 2ab ＝(a ＋b )2－2ab ab ＝4＋2－1＝﹣6． 综上所述：b a ＋a b的值为2或﹣6． 19．解：（1）△＝[﹣（k ＋1）]2﹣4×1×（14k 2＋1）＝2k ﹣3， ∵方程有两个实数根，∴△≥0，即2k ﹣3≥0，解得：k ≥32， ∴当k ≥32时，方程有两个实数根． （2）设方程x 2﹣（k ＋1）＋14k 2＋1＝0的两根分别为a 、b ， 则a ＋b ＝k ＋1，ab ＝14k 2＋1， ∵矩形的对角线长为5，即a 2＋b 2＝5，∴a 2＋b 2＝（a ＋b ）2﹣2ab ＝（k ＋1）2﹣2×（14k 2＋1）＝5， 整理得：k 2＋4k ﹣12＝0，解得：k ＝2或k ＝﹣6（舍去）． ∴当矩形的对角线长为5时，k 的值为2．（3）当矩形为正方形时，方程两根相等，∴△＝2k ﹣3＝0，解得：k ＝32． ∴当k 为32时，矩形变为正方形． 20．解：（1）根据题意得：△＝（2m ）2﹣4（m 2＋m ）＞0，解得：m ＜0．∴m 的取值范围是m ＜0．（2）根据题意得：x 1＋x 2＝﹣2m ，x 1x 2＝m 2＋m ，∵x 12＋x 22＝12，∴(x 1＋x 2)2﹣2x 1x 2＝12，∴（﹣2m ）2﹣2（m 2＋m ）＝12，∴解得：m 1＝﹣2，m 2＝3（不合题意，舍去），∴m 的值是﹣2．21．解：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2＋πx ﹣2＝0有两个实数根， ∴△＝[π]2﹣4×1×（﹣2）＝m ＋8≥0，且m ≥0， 解得：m ≥0．（2）∵关于x 的一元二次方程x 2＋πx ﹣2＝0有两个实数根x 1、x 2， ∴x 1＋x 2＝﹣π，x 1•x 2＝﹣2，∴（x 1﹣x 2）2﹣17＝（x 1＋x 2）2﹣4x 1•x 2﹣17＝0，即m ＋8﹣17＝0， 解得：m ＝9．22．解：（1）∵一元二次方程x 2﹣2x ＋k ＋2＝0有两个实数根， ∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（k ＋2）≥0，解得：k ≤﹣1．（2）∵x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ＋k ＋2＝0的两个实数根， ∴x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝k ＋2．∵1x 1＋1x 2＝k ﹣2， ∴x 1＋x 2x 1·x 2＝2k+2＝k ﹣2， ∴k 2﹣6＝0，解得：k 1＝﹣6，k 2＝6．又∵k ≤﹣1，∴k ＝﹣6．∴存在这样的k 值，使得等式1x 1＋1x 2＝k ﹣2成立，k 值为﹣6．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（1）x 1＝，x 2＝；（2）x 1＝，x 2＝；（3）x 1＝，x 2＝；（4）x 1＝，x 2＝；（5）x 1＝，x 2＝；（6）x 1＝，x 2＝；。

2.5 一元二次方程的根与系数的关系1. 如果x x 12、是方程3x x 2720-+=的两个根，那么x x 12+=____x x 12=_____。

2. 如果x x 12、是方程2x x 2350--=的两个根，那么x x 12+=____x x 12=_____。

3、如果方程20542=--x x 的两个根是x 1和x 2，则21x x +=____ ；21x x =____4、已知方程0432=--x x 的两个根是x 1和x 2，则21x x += ____；21x x = ____.5. 如果方程26302x x -+=的两个实数根分别为x x 12、，那么x x 12的值是（ ） A. 3B. -3C. -32D. 32 6、已知方程22x x -=，则下列说中，正确的是 （ ）（A ）方程两根和是1 （B ）方程两根积是2（C ）方程两根和是1- （D ）方程两根积是两根和的2倍7. 如果x x 12、是方程x x 2310-+=的两个根，那么1112x x +的值等于（ ） A. -3B. 3C. 13D. -13 8、如果方程12=+mx x 的两个实根互为相反数，那么m 的值为（ ）A 、0B 、－1C 、1D 、±19、已知方程062=-+ax x 的一个根是2，求方程的另一个根及a 的值。

10、若x 1，x 2是方程x 2+x ﹣1=0，求下列关于两根代数式的值：（1）(x 1-x 2)2； （2）21x x -11、已知关于x 的方程03)1(222=-++-m x m x（1）当m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设1x 、2x 是方程的两根，且012)()(21221=-+-+x x x x ，求m 的值。