极坐标与参数方程4-4经典题型汇编 好用

1．极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴.已知直线l的参数方程为1222x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 8cos ρθθ=.（Ⅰ）求C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求弦长||AB .2．已知直线l 经过点1(,1)2P ，倾斜角α＝6π，圆C的极坐标方程为)4πρθ=-.(1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程；(2)设l 与圆C 相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积． 3．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==，圆C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=．（I ）求圆心C 的直角坐标；(Ⅱ)由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 4．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x 轴的正半轴重合，且两坐标系有相同的长度单位，圆C 的参数方程为12cos 12sin x y αα=+⎧⎨=-+⎩（α为参数），点Q的极坐标为7)4π。

（1）化圆C 的参数方程为极坐标方程；（2）直线l 过点Q 且与圆C 交于M ，N 两点，求当弦MN 的长度为最小时，直线l 的直角坐标方程。

5．在极坐标系中，点M 坐标是)2,3(π，曲线C 的方程为)4sin(22πθρ+=；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ⋅的值． 6．（本小题满分10分） 选修4-4坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin 22cos 2y x ，(α为参数)M 是曲线1C 上的动点，点P 满足OM OP 2=，（1）求点P 的轨迹方程2C ；（2）在以D 为极点，X 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与曲线1C ，2C 交于不同于原点的点A,B 求AB7．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐V 标方程为πcos =13ρθ⎛⎫-⎪⎝⎭，M ，N 分别为曲线C 与x 轴、y 轴的交点． （1）写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标；（2）求直线OM 的极坐标方程．8．在直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为：2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系，曲线C 2是极坐标方程为：cos ρθ=， (1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)若P ，Q 分别是曲线C 1和C 2上的任意一点，求PQ 的最小值.9．已知圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l的参数方程为1221122x t x t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ （t 为参数），点A的极坐标为24π⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，设直线l 与圆C 交于点P 、Q .（1）写出圆C 的直角坐标方程；（2）求AP AQ ⋅的值.10．已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos 2sin x ty t=⎧⎨=⎩（β为参数）上，对应参数分别为t α=与2t α=（0＜α＜2π），M 为PQ 的中点。

一、解答题 ：1．选修4﹣4：坐标系与参数方程已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同．直线l 的极坐标方程为：10)4ρ=πθ-，点P （2cosα，2sinα+2），参数α∈[0，2π]．（Ⅰ）求点P 轨迹的直角坐标方程；（Ⅱ）求点P 到直线l 距离的最大值．【答案】（Ⅰ）x 2cos y 2sin 2=α⎧⎨=α+⎩且参数α∈[0，2π]，所以点P 的轨迹方程为x 2+（y ﹣2）2=4．（Ⅱ）因为10)4ρ=πθ-，所以)104πθ-=， 所以ρsinθ﹣ρcosθ=10，所以直线l 的直角坐标方程为x ﹣y+10=0．法一：由（Ⅰ） 点P 的轨迹方程为x 2+（y ﹣2）2=4，圆心为（0，2），半径为2．d ==，所以点P 到直线l距离的最大值2．法二：d )4|4π==α++，当74πα=，max d 2=，即点P 到直线l距离的最大值2．【解析】考点： 参数方程化成普通方程；点到直线的距离公式；简单曲线的极坐标方程｡专题： 计算题｡分析： （Ⅰ）x 2cos y 2sin 2=α⎧⎨=α+⎩消去θ即求出P 轨迹的直角坐标方程； （Ⅱ）直线l的极坐标方程即为)104πθ-=，化直角坐标方程为x ﹣y+10=0，利用直线和圆的位置关系可解．或利用点线距结合三角函数知识求解．2． 选修4－4：坐标系与参数方程设过原点O 的直线与圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的另一个交点为P ，点M 为线段OP 的中点．(Ⅰ)求圆C 的极坐标方程；(Ⅱ)求点M 轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．【答案】(Ⅰ)圆(x －1)2＋y 2＝1的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(Ⅱ)设点P 的极坐标为(ρ1，θ1)，点M 的极坐标为(ρ，θ)，∵点M 为线段OP 的中点，∴ρ1＝2ρ，θ1＝θ.将ρ1＝2ρ，θ1＝θ代入圆的极坐标方程，得ρ＝cos θ.∴点M 轨迹的极坐标方程为ρ＝cos θ，它表示圆心在点⎝⎛⎭⎫12，0，半径为12的圆．3．选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：x 2＋y 2＝1，以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：ρ(2cos θ－sin θ)＝6.(Ⅰ)将曲线C 1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的3、2倍后得到曲线C 2，试写出直线l 的直角坐标方程和曲线C 2的参数方程；(Ⅱ)在曲线C 2上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，并求出此最大值．【答案】(Ⅰ)由题意知，直线l 的直角坐标方程为2x －y －6＝0，∵曲线C 2的直角坐标方程为⎝⎛⎭⎫x 32＋⎝⎛⎭⎫y 22＝1， ∴曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)． (Ⅱ)设点P 的坐标(3cos θ，2sin θ)，则点P 到直线l 的距离为d ＝|23cos θ－2sin θ－6|5＝|4sin （60°－θ）－6|5， ∴当sin(60°－θ)＝－1时，点P ⎝⎛⎭⎫－32，1，此时d max ＝|4＋6|5＝2 5.4．选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l 经过点P ⎝⎛⎭⎫12，1，倾斜角α＝π6，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4. (Ⅰ)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程；(Ⅱ)设l 与圆C 相交于两点A ，B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积．【答案】(Ⅰ)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12＋t cos π6，y ＝1＋t sin π6，即⎩⎨⎧x ＝12＋32t ，y ＝1＋12t (t 为参数)． 由ρ＝2cos(θ－π4)得ρ＝cos θ＋sin θ，所以ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 得(x －12)2＋(y －12)2＝12. (Ⅱ)把⎩⎨⎧x ＝12＋32t ，y ＝1＋12t 代入(x －12)2＋(y －12)2＝12，得t 2＋12t －14＝0. |P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝14.5．选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l 经过点P ⎝⎛⎭⎫12，1，倾斜角α＝π6，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4. (Ⅰ)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程；(Ⅱ)设l 与圆C 相交于两点A ，B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积．【答案】(Ⅰ)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12＋t cos π6，y ＝1＋t sin π6，即⎩⎨⎧x ＝12＋32t ，y ＝1＋12t(t 为参数)． 由ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4得ρ＝cos θ＋sin θ，所以ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，得⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y －122＝12. (Ⅱ)把⎩⎨⎧x ＝12＋32t ，y ＝1＋12t 代入⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y －122＝12，得t 2＋12t －14＝0. |P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝14.6．选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：x 2＋y 2＝1，以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：ρ(2cos θ－sin θ)＝6.(Ⅰ)将曲线C 1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的3、2倍后得到曲线C 2，试写出直线l 的直角坐标方程和曲线C 2的参数方程；(Ⅱ)在曲线C 2上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，并求出此最大值．【答案】(Ⅰ)由题意知，直线l 的直角坐标方程为2x －y －6＝0，∵曲线C 2的直角坐标方程为⎝⎛⎭⎫x 32＋⎝⎛⎭⎫y 22＝1， ∴曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)． (Ⅱ)设点P 的坐标(3cos θ，2sin θ)，则点P 到直线l 的距离为d ＝|23cos θ－2sin θ－6|5＝|4sin （60°－θ）－6|5， ∴当sin(60°－θ)＝－1时，点P ⎝⎛⎭⎫－32，1， 此时d max ＝|4＋6|5＝2 5.7． 选修4－4：坐标系与参数方程设过原点O 的直线与圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的另一个交点为P ，点M 为线段OP 的中点．(Ⅰ)求圆C 的极坐标方程；(Ⅱ)求点M 轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．【答案】(Ⅰ)圆(x －1)2＋y 2＝1的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(Ⅱ)设点P 的极坐标为(ρ1，θ1)，点M 的极坐标为(ρ，θ)，∵点M 为线段OP 的中点，∴ρ1＝2ρ，θ1＝θ.将ρ1＝2ρ，θ1＝θ代入圆的极坐标方程，得ρ＝cos θ.∴点M 轨迹的极坐标方程为ρ＝cos θ，它表示圆心在点⎝⎛⎭⎫12，0，半径为12的圆．8．选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线l 过点P (2，3)且倾斜角为α，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点． (Ⅰ)若|AB |≥13，求直线l 的倾斜角α的取值范围；(Ⅱ)求弦AB 最短时直线l 的参数方程．【答案】(Ⅰ)∵曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3， ∴曲线C 的直角方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.设圆心C 到直线l 的距离为d ，∵|AB |≥13，∴d ≤32. 当直线斜率不存在时，|AB |＝23<13，不成立；当直线斜率存在时，设l ：y －3＝k (x －2)，∴d ＝|k |1＋k 2≤32，∴－3≤k ≤ 3. ∴0≤α≤π3或2π3≤α<π， ∴直线倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π3∪⎣⎡⎭⎫2π3，π. (Ⅱ)当|AB |＝13时，斜率k ＝±3，∴直线l ：y －3＝±3(x －2)，∴直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32和ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝332.9．选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C 参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2 2. (Ⅰ)写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(Ⅱ)求曲线C 上的点到直线l 的最大距离．【答案】(Ⅰ)由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22得ρ(cos θ＋sin θ)＝4，∴l ：x ＋y －4＝0. 由⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ，得C ：x 23＋y 2＝1. (Ⅱ)在C ：x 23＋y 2＝1上任取一点P (3cos θ，sin θ)，则点P 到直线l 的距离为 d ＝|3cos θ＋sin θ－4|2＝⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3－42≤3 2.∴当sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝－1，即θ＝－56π时，d max ＝3 2.。

教学辅导教案学生姓名年级高二学科数学上课时间教师姓名课题极坐标与参数方程综合复习1．已知a∈R，函数f (x)＝(－x2＋ax)e x(x∈R，e为自然对数的底数)．（1）当a＝2时，求函数f (x)的单调递增区间；（2）是否存在a使函数f (x)为R上的单调递减函数，若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．解：（1）当a＝2时，f (x)＝(－x2＋2x)e x，∴f ′(x)＝(－2x＋2)e x＋(－x2＋2x)e x＝(－x2＋2)e x．令f ′(x)>0，即(－x2＋2)e x>0，∵e x>0，∴－x2＋2>0，解得－2<x<2．∴函数f (x)的单调递增区间是(－2，2)．（2）若函数f (x)在R上单调递减，则f ′(x)≤0对x∈R都成立，即[－x2＋(a－2)x＋a]e x≤0对x∈R都成立．∵e x>0，∴x2－(a－2)x－a≥0对x∈R都成立．∴Δ＝(a－2)2＋4a≤0，即a2＋4≤0，这是不可能的．故不存在a使函数f (x)在R上单调递减．2．已知函数f (x)＝x3＋ax2＋bx＋5，记f (x)的导数为f ′(x)．（1）若曲线f (x)在点(1，f （1）)处的切线斜率为3，且x＝23时，y＝f (x)有极值，求函数f (x)的解析式；（2）在（1）的条件下，求函数f (x)在[－4，1]上的最大值和最小值．解：（1）f ′(x)＝3x2＋2ax＋b．依题意f ′（1）＝3，)32(f'＝0，得⎪⎩⎪⎨⎧=++⋅=++34)32(33232baba，解之得⎩⎨⎧-==42ba．所以f (x)＝x3＋2x2－4x＋5．（2）由（1）知，f ′(x)＝3x2＋4x－4＝(x＋2)(3x－2)．令f ′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝23．当x变化时，f (x)，f ′(x)的变化情况如下表：x －4(－4，－2)－2(－2，23)23)1,32( 1第1 页共24 页单调递减区间为),1(+∞-a．（3）由已知，转化为f (x)max＜g(x)max．g(x)max＝2，由（2）知，当a≥0时，f (x)在(0，＋∞)上单调递增，值域为R，故不符合题意．(或者举出反例：存在f (e3)＝a e3＋3＞2，故不符合题意．)当a＜0时，f (x)在)1,0(a-上单调递增，在),1(+∞-a上单调递减，故f (x)的极大值即为最大值，f )1(a-＝－1＋ln)1(a-＝－1－ln(－a)，所以2＞－1－ln(－a)，解得a＜－1e3．综上，a的取值范围是a＜－1e3．1．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，由曲线21:C y x=上的点(,)x y按坐标变换''122x xy y⎧=-⎪⎨⎪=⎩得到曲线2C．（1）求曲线2C的极坐标方程；（2）若射线(0)3πθρ=>和θπ=与曲线2C的交点分别为点,A B，求||AB．解：（1）''122x xy y⎧=-⎪⎨⎪=⎩，即''1222x xy y⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入21:C y x=-，得'2'21y x=+，即曲线2C的方程为221y x=+.由cos,sinx yρθρθ==，所以2C的极坐标方程为22sin2cos1ρθρθ=+，即11cosρθ=-.（未化简，保留上式也可）（2）将(0)3πθρ=>代入11cosρθ=-，得2ρ=，即||2OA=，(2,)3Aπ，θπ=代入11cosρθ=-，得12ρ=，即1||2OB=，1(,)2Bπ.所以2121||22cos()432ABππ=+--=．2．极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）设点Q和点G的极坐标分别为()32,,2,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，若直线l经过点Q，且与曲线C相交于,A B两点，求GAB∆的面积．【解析】（Ⅰ）曲线C化为：22sin8cos0ρθρθ-=，再化为直角坐标方程为28y x=，直线l 的参数方程为2cos,sin,x ty tαα=+⎧⎨=⎩（t为参数）．（Ⅱ）由（Ⅰ）将点32,2Qπ⎛⎫⎪⎝⎭的极坐标化为直角坐标得()0,2-，易知直线l的倾斜角4πα=，所以直线l的参数方程为22,22,2x ty t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得2228222t t⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得：()2282320,824322560t t--=∆=+⨯=>，设12,t t为方程282320t t--=的两个根，则121282,32t t t t+=⋅=-，所以()2121212425616AB t t t t t t=-=+-⋅==．由极坐标与直角坐标互化公式得G点的直角坐标()2,0-，易求点G到直线l的距离为2sin454222d PG=⋅︒=⨯=，所以11162216222GABS d AB∆=⨯⨯=⨯⨯=．【学科问题】1．能够根据圆的参数方程解决最值问题．2．能够利用参数方程化为普通方程解决有关问题．3．直线参数方程的综合应用．4．参数方程的应用．【学生问题】1．学习风格2．先行知识分析：（1）理解曲线参数方程的有关概念（2）了解参数方程化为普通方程的意义（3）掌握参数方程化为普通方程的基本方法学习目标：（1）极坐标与直角坐标的互化；（2）常见曲线的参数方程的一般形式；（3）直线参数方程中参数的几何意义．目标分解：1．理解曲线参数方程的有关概念．2．了解参数方程化为普通方程的意义．3．极坐标与直角坐标的互化．4．直线参数方程中参数的几何意义．5．能够利用参数方程化为普通方程解决有关问题．考点1 极坐标1．极坐标系与极坐标（1）极坐标系：如图所示，在平面上取一个定点O叫做极点；自点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系(如图)．（2）极坐标：设M是平面上的任一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的极径，记为ρ；∠叫做点M的极角，记为θ.有序数对(),ρθ称为以极轴Ox为始边，射线OM为终边的xOMMρθ．点M的极坐标，记作(),ρ≥，θ可取任意实数．一般地，不做特殊说明时，我们认为0双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的参数方程为sectanx ay bϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ为参数)．抛物线pxy22=的参数方程为222x pty pt⎧=⎨=⎩(t为参数)．3．参数方程和普通方程的互化（1）曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．（2）如果知道变数,x y中的一个与参数t的关系，例如()x f t=，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系()y g t=，那么，()()x f ty g t=⎧⎪⎨=⎪⎩就是曲线的参数方程．1．在极坐标系中，已知曲线:cos()14Cπρθ+=，过极点O作射线与曲线C交于点Q，在射线OQ上取一点P，使2OP OQ⋅=．（1）求点P的轨迹1C的极坐标方程；（2）以极点O为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy，若直线:3l y x=-与（1）中的曲线1C相交于点E（异于点O），与曲线21222:22x tCy t⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数）相交于点F，求EF的值．解：（1）设(,)Pρθ，(,)Qρθ'，则=2ρρ'，又cos()14πρθ'+=，2ρρ'=，∴2cos()14πθρ+=∴2cos()cos sin4πρθθθ=+=-为所求1C的极坐标方程．（2）2C的极坐标方程1(cos sin)2ρθθ+=，把23πθ=代入2C得131=+22ρ，把3πθ=-代入1C 得231=+22ρ，∴1231EF ρρ=+=+． 2．在极坐标系中，已知三点()0,0,2,,22,24O A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （1）求经过,,O A B 的圆1C 的极坐标方程；（2）以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角 坐标系，圆2C 的参数方程为1cos 1sin x a y a θθ=-+⎧⎨=-+⎩（θ是参数），若圆1C 与圆2C 外切，求实数a 的值． 解：（1）()0,0,2,,22,24O A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对应的直角坐标分别为()()()0,0,0,2,2,2O A B ，则过,,O A B 的圆的普通方程为22220x y x y +--=，又因为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，代入可求得经过,,O A B 的圆1C 的极坐标方程为22cos 4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（2）圆21cos :1sin x a C y a θθ=-+⎧⎨=-+⎩（θ是参数）对应的普通方程为()()22211x y a +++=，因为圆1C 与圆2C 外切，所以222a +=，解得2a =±．3．在直角坐标系中，直线2cos ,:1sin x t a l y t a=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0a π≤<），在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线:4cos C ρθ=． （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点(2,1)P ，若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，且2AP PB =u u u r u u u r，求tan a ．解：（Ⅰ）:4cos C ρθ=，得到2:4cos C ρρθ=，因为cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩则曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-=.（Ⅱ）将2cos ,:1sin ,x t a l y t a =+⎧⎨=+⎩代入2240x y x +-=，得到22sin 30t t a +-=.12122sin ,3,t t a t t +=-⎧⎨=-⎩g又因为2AP PB =u u u r u u u r ，则122t t =-，所以1212122sin ,3,2,t t a t t t t +=-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩g 解得：6sin 4a =，10cos 4a =或10cos 4a =-，则15tan 5a =或15tan 5a =-． 4．已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==242222t y t x （t 是参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程)4cos(2πθρ+=． （Ⅰ）判断直线l 与曲线C 的位置关系；（Ⅱ）设M 为曲线C 上任意一点，求y x +的取值范围．解：（Ⅰ）直线l 的普通方程为420x y -+=，曲线C 的直角坐标系下的方程为2222()()122x y -++=，圆心22(,)22-到直线420x y -+=的距离为52512d ==>，所以直线l 与曲线C 的位置关系为相离．（Ⅱ）设22(cos ,sin )22M θθ+-+，则cos sin 2sin()[2,2]4x y πθθθ+=+=+∈-．5．已知曲线C 的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L 的参数方程是3212x t m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）． （1）求曲线C 的直角坐标方程和直线L 的普通方程；（2）设点P （m ，0），若直线L 与曲线C 交于A ，B 两点，且|P A |•|PB |=1，求实数m 的值． 解：（1）曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，化为22cos ρρθ=，可得直角坐标方程：sin()224πρθ+=．（1）写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）设点P 为曲线C 上的动点,求点P 到直线l 距离的最大值．解：（1）曲线C 的普通方程为2213x y +=，直线l 的直角坐标方程为40x y +-=． （2） 设点P 坐标为(3cos ,sin )θθ，点P 到直线l 的距离|3cos sin 4|222sin()32d θθπθ+-==-+所以点P 到直线l 距离的最大值为32．8．在平面直角坐标系x y O 中，3+2cos ,12sin )A αα+点的直角坐标为（（α为参数）．在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，直线l 的极坐标方程为2cos()6m πρθ+=．m （为实数）． （1）试求出动点A 的轨迹方程（用普通方程表示）；（2）设A 点对应的轨迹为曲线C ，若曲线C 上存在四个点到直线l 的距离为1，求实数m 的取值范围．解：（1）由32cos 12sin x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（α为参数）消去参数得：22(3)(1)4x y -+-=．故动点A的普通方程为22(3)(1)4x y -+-=．（2）由（1）知，动点A 的轨迹是以（3，1）为圆心，2为半径的圆．由2cos()6mπρθ+=展开得：3cos sin 0m ρθρθ--=，∴l 的普通方程为：30x y m --=，要使圆上有四个点到l 的距离为1，则必须满足212m-<，解得(0,4)m ∈．1．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．3．己知曲线C 的极坐标方程是ρ= 4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是（t 是参数）．（I ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（II ）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且|AB |=14，求直线的倾斜角a 的值． 解：（I ）由=4cos ρθ得：22(2)4x y -+=．（II ）将1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入圆的方程并整理得22cos 30t t α--=．设A 、B 两点对应的参数分别为1t 、2t ，则12122cos 3t t t t α+=⎧⎨=-⎩∴22121212()44cos 1214AB t t t t t t α=-=+-=+=，∴24cos 2α=，故2cos 2α=±，即4πα=或34πα=． 4．已知曲线C 的参数方程为2cos 2sin x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，C 在点()1,1处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求l 的极坐标方程；（2）过点13(,)44M -任作一直线交曲线C 于,A B 两点，求||AB 的最小值．解：（1）sin 24πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；曲线C 的普通方程为222x y +=，其在点()1,1处的切线l 的方程为2x y +=，对应的极坐标方程为cos sin 2ρθρθ+=,即sin 24πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（2）曲线C 的方程222x y +=可知曲线C 为圆心在原点半径为2的圆．设圆心()0,0到直线AB 的距离为d ，则可得2222AB d ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，222AB d ∴=-．由分析可知12d OM ≤=，2min12272AB ⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭．归纳总结1．在求出曲线的参数方程后，通常利用消参法得出普通方程．一般地，消参数经常采用的是代入法和三角公式法，但将曲线的参数方程化为普通方程，不只是把其中的参数消去，还要注意,x y 的取值范围在消参前后应该是一致的，也就是说，要使得参数方程与普通方程等价，即它们二者要表示同一曲线．2．直线的参数方程及应用根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：（1）直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为12,t t，则弦长12l t t=-；（2）定点M是弦12M M的中点⇒12t t+=；（3）设弦12M M中点为M，则点M对应的参数值122Mt tt+=(由此可求12M M及中点坐标)．3．圆与圆锥曲线的参数方程及应用解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．如果问题中的方程都是参数方程，那就要至少把其中的一个化为直角坐标方程．4．化参数方程为普通方程的方法: 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④恒等式(三角的或代数的)消元法．参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围，这一点最易忽视．5．利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法经过点()000,P x y，倾斜角为α的直线l的参数方程为0cossinx x ty y tαα=+⎧⎨=+⎩(t为参数)．若,A B 为直线l上两点，其对应的参数分别为12,t t，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为0t，则以下结论在解题中经常用到：(1) 1202t tt+=；(2) 1202t tPM t+==；(3)21AB t t=-；(4)12PA PB t t⋅=⋅．1．已知曲线221:149x yC+=，直线l：2,22,x ty t=+⎧⎨=-⎩（t为参数）．（I）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；（II）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30︒的直线，交l于点A，PA的最大值与最小值．（2）若把曲线1C上各点的横坐标压缩为原来的21倍,纵坐标压缩为原来的23倍，得到曲线2C，设点P是曲线2C上的一个动点，求它到直线λ的距离的最小值．解：（1）λ的普通方程为1),1(3Cxy-=的普通方程为.122=+yx联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,1),1(322yxxy解得λ与1C的交点为)0,1(A,)23,21(-B,则1||=AB．（2）2C的参数方程为θθθ(.sin23,cos21⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==yx为参数).故点P的坐标是)sin23,cos21(θθ,从而点P 到直线λ的距离是]2)4sin(2[432|3sin23cos23|+-=--=πθθθd,由此当1)4sin(-=-πθ时,d取得最小值，且最小值为)12(46-．一、（第1天）1．在极坐标系中，直线cos3sin10ρθρθ--=与圆2cosρθ=交于A，B两点，则||AB=______．解：分别将直线方程和圆方程化为直角坐标方程：直线为310x y--=过圆22(1)1x y-+=圆心，因此2AB=，故填：2．2．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为cos1sinx a ty a t=⎧⎨=+⎩（t为参数，a>0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（I）说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（II）直线C3的极坐标方程为θα=，其中α满足tanα=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．解：cos1sinx a ty a t=⎧⎨=+⎩（t均为参数）,∴()2221x y a+-=①，∴1C为以()01，为圆心，a为半2ρ=2，|MN |=1ρ－2ρ=2，因为2C 的半径为1，则2C MN V的面积o 121sin 452⨯⨯⨯=12． 5．将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C ． （Ⅰ）写出C 的参数方程；(Ⅱ)设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.【解析】（Ⅰ）设11(,)x y 为圆上的点，在已知变换下位C 上点（x ，y ），依题意，得112x x y y =⎧⎨=⎩ 由22111x y +=得22()12y x +=，即曲线C 的方程为2214y x +=.，故C 得参数方程为 cos 2sin x t y t ⎧⎨⎩＝＝ （t 为参数）.(Ⅱ)由2214220y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩解得：10x y =⎧⎨=⎩，或02x y =⎧⎨=⎩.不妨设12(1,0),(0,2)P P ,则线段12P P 的中点坐标为1(,1)2,所求直线的斜率为12k =，于是所求直线方程为111()22y x -=-，化极坐标方程，并整理得2cos 4sin 3ρθρθ-=-，即34sin 2cos ρθθ=-. 教学反思。

1、已知在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3x t y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线C的极坐标方程为24s 30co ρρθ-+=.①求直线l 普通方程和曲线C 的直角坐标方程；②设点P 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的取值范围.2、已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ，(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A 、B 、C 、D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2，π3)．(Ⅰ) 求点A 、B 、C 、D 的直角坐标；(Ⅱ) 设P 为C 1上任意一点，求|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围．3、在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(Ⅰ)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(Ⅱ)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．4、在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为(4，π2)，判断点P 与直线l 的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．5、在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α.(α为参数)．M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.6、已知P 为半圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A 的坐标为(1,0)，O为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为π3.(1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标； (2)求直线AM 的参数方程．7、在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．8、在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)．(1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系．1、【答案】①直线l 0y -+=.曲线C 的直角坐标方程为：22430x y x +-+=【或22(2)1x y -+=】. ②曲线C 的标准方程为22(2)1x y -+=，圆心(2,0)C ，半径为1；∴圆心(2,0)C 到直线l 的距离为:d ==所以点P 到直线l 的距离的取值范围是1]-+ 2、解：(Ⅰ)由已知可得A (2cos π3，2sin π3)，B (2cos(π3＋π2)，2sin(π3＋π2))，C (2cos(π3＋π)，2sin(π3＋π))，D (2cos(π3＋3π2)，2sin(π3＋3π2))，即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1)． (Ⅱ)设P (2cos φ，3sin φ)，令S ＝|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，则 S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ.因为0≤sin 2φ≤1，所以S 的取值范围是[32，52]．3、解：(Ⅰ)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2， 圆C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ. 解⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2ρ＝4cos θ，得ρ＝2，θ＝±π3，故圆C 1与圆C 2交点的坐标为(2，π3)，(2，－π3)．注：极坐标系下点的表示不唯一．(Ⅱ)法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝t ，－3≤t ≤ 3.(或参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝y ，－3≤y ≤3)法二：将x ＝1代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ.于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝tan θ，－π3≤θ≤π3. 4、 (1)把极坐标系的点P (4，π2)化为直角坐标，得P (0,4)，因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线 l 上． (2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为 (3cos α，sin α)，从而点Q 到直线l 的距离d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos α＋π6＋42＝2cos(α＋π6)＋22，由此得，当cos(α＋π6)＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.5、 (1)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y2.由于M 点在C 1上， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2cos α，y2＝2＋2sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.(α为参数)(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ. 射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2 3.6、 (1)由已知，M 点的极角为π3，且M 点的极径等于π3，故点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π3.(2)M 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，3π6，A (1,0)，故直线AM 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－1t ，y ＝3π6t ，(t 为参数)．7、解：在ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1,0)．因为圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4， 所以圆C 的半径PC ＝22＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.8、 解：(1)由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎪⎫0，233，又P 为线段MN 的中点，从而点P 的平面直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，故直线OP 的平面直角坐标方程为y ＝33x . (2)因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎪⎫0，233，所以直线l 的平面直角坐标方程为3x ＋3y －23＝0.又圆C 的圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝2，圆心到直线l 的距离d ＝|23－33－23|3＋9＝32＜r ，故直线l 与圆C 相交．。

考点突破练22 坐标系与参数方程(选修4—4)1.(2020·全国Ⅱ·理22)已知曲线C 1,C 2的参数方程分别为C 1:{x =4cos 2θ,y =4sin 2θ(θ为参数),C 2:{x =t +1t,y =t -1t(t 为参数).(1)将C 1,C 2的参数方程化为普通方程;(2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设C 1,C 2的交点为P ,求圆心在极轴上,且经过极点和P 的圆的极坐标方程.2.(2022·陕西榆林三模)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =4cosθ,y =3sinθ(θ为参数).以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ-12=0. (1)求C 的普通方程与直线l 的直角坐标方程.(2)若P 为C 上任意一点,A 为l 上任意一点,求|PA|的最小值.3.(2022·安徽怀南一模)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =t 2,y =2t (t 为参数),以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线l 的极坐标方程为2cos α-sin α=4ρ. (1)求曲线C 的普通方程;(2)若直线l 与曲线C 交于A ,B 两点,求以AB 为直径的圆的极坐标方程.4.(2022·陕西榆林二模)在数学中,有许多方程都可以表示心型曲线,其中有著名的笛卡尔心型曲线.如图,在直角坐标系中,以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,图中的曲线就是笛卡尔心型曲线,其极坐标方程为ρ=1-sin θ(0≤θ<2π,ρ≥0),M 为该曲线上一动点. (1)当|OM|=12时,求M 的直角坐标;(2)若射线OM 逆时针旋转π2后与该曲线交于点N ,求△OMN 面积的最大值.5.(2022·安徽合肥二模)在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为{x =1+√2t ,y =1-√2t(t 为参数).以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ2=acos2θ(a>0,ρ∈R ). (1)求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程;(2)若直线θ=π4(ρ∈R )与直线l 交于点M ,直线θ=π6(ρ∈R )与曲线C 交于点A ,B ,且AM ⊥BM ,求实数a 的值.6.(2022·安徽马鞍山一模)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =2sinα,y =2cosα+1(α为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的直角坐标方程为x+√3y-2√3=0. (1)写出曲线C 的普通方程和直线l 的极坐标方程;(2)若直线θ=π6(ρ∈R )与曲线C 交于A ,B 两点,与直线l 交于点M ,求|MA|·|MB|的值.7.(2022·河南郑州二模)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =1+cosα,y =sinα(α为参数).已知M是曲线C 1上的动点,将OM 绕点O 逆时针旋转90°得到ON ,设点N 的轨迹为曲线C 2.以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C 1,C 2的极坐标方程;(2)设点Q (1,0),若射线l :θ=π3与曲线C 1,C 2分别相交于异于极点O 的A ,B 两点,求△ABQ 的面积.8.(2022·山西太原一模)在平面直角坐标系中,直线l 的参数方程为{x =-2+35t ,y =2+45t (t 为参数),以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ+4ρsin θ-3=0,点P 的极坐标为2√2,3π4.(1)求点P 的直角坐标和曲线C 的直角坐标方程;(2)若直线l 和曲线C 交于A ,B 两点,求点P 到线段AB 的中点M 的距离.考点突破练22 坐标系与参数方程(选修4—4)1.解 (1)C 1的普通方程为x+y=4(0≤x ≤4). 由C 2的参数方程得x 2=t 2+1t2+2,y 2=t 2+1t2-2, 所以x 2-y 2=4.故C 2的普通方程为x 2-y 2=4. (2)由{x +y =4,x 2-y 2=4得 {x =52,y =32,所以P 的直角坐标为(52,32). 设所求圆的圆心的直角坐标为(x 0,0),由题意得x 02=(x 0-52)2+94,解得x 0=1710.因此,所求圆的极坐标方程为ρ=175cos θ.2.解 (1)因为曲线C 的参数方程为{x =4cosθ,y =3sinθ(θ为参数),所以C 的普通方程为x 216+y 29=1.又因为直线l 的极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ-12=0,所以直线l 的直角坐标方程为x+y-12=0. (2)设P (4cos θ,3sin θ),|PA|的最小值即点P 到直线l 的距离的最小值,由√2=√2≥7√22,其中tan φ=43.当且仅当θ+φ=π2+2k π,k ∈Z 时取等号,故|PA|的最小值为7√22. 3.解 (1)由{x =t 2,y =2t (t 为参数),得{x =t 2,y 2=t (t 为参数),消去参数t ,得y 2=4x ,即曲线C 的普通方程为y 2=4x.(2)由2cos α-sin α=4ρ,得2x-y=4, 联立{y 2=4x ,2x -y =4得A (1,-2),B (4,4),所以AB 的中点坐标为52,1,|AB|=√45=3√5,故以AB 为直径的圆的极坐标方程为(x -52)2+(y-1)2=454,即x 2+y 2-5x-2y-4=0,将{x =ρcosθ,y =ρsinθ代入,得ρ2-5ρcos θ-2ρsin θ-4=0.4.解 (1)令ρ=12,可得sin θ=12,所以θ=π6或θ=5π6,M 的直角坐标为±√34,14.(2)△OMN 的面积S=12ρ1ρ2=12(1-sin θ)1-sin θ+π2=12(1-sin θ)(1-cos θ)=12[1-(sin θ+cos θ)+sinθcos θ],令t=sin θ+cos θ=√2sin θ+π4∈[-√2,√2], S=121-t+t 2-12=14(t-1)2,当t=-√2时,S 取得最大值3+2√24. 5.解 (1)由{x =1+√2t ,y =1-√2t(t 为参数)得x+y=2,∴直线l 的极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=2.由ρ2=acos2θ,得ρ2cos 2θ=a ,∴ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=a ,ρ2cos 2θ-ρ2sin 2θ=a , ∴x 2-y 2=a ,∴曲线C 的直角坐标方程为x 2-y 2=a.(2)直线l 的极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=2,将θ=π4代入直线l 的极坐标方程得ρ=√2,∴点M 的极坐标为√2,π4.将θ=π6代入曲线C 的极坐标方程ρ2=acos2θ,得ρ1=√2a ,ρ2=-√2a ,∴|AB|=|ρ1-ρ2|=2√2a . ∵AM ⊥BM ,且O 为线段AB 的中点, ∴|OM|=12|AB|=√2a ,即√2a =√2,得a=1.6.解 (1)由{x =2sinα,y -1=2cosα(α为参数),得曲线C 的普通方程为x 2+(y -1)2=4.由x+√3y-2√3=0,得直线l 的极坐标方程为ρcos θ+√3ρsin θ-2√3=0,即ρsin θ+π6=√3.(2)(方法1)曲线C :x 2+(y-1)2=4的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ-3=0,将θ=π6代入曲线C 的极坐标方程,得ρ2-ρ-3=0,∴ρ1+ρ2=1,ρ1·ρ2=-3. 将θ=π6代入直线l 的极坐标方程,得ρ=2.|MA|·|MB|=|ρ-ρ1|·|ρ-ρ2|=|(2-ρ1)·(2-ρ2)|=|4-2(ρ1+ρ2)+ρ1·ρ2|=1.(方法2)直线θ=π6的普通方程为y=√33x ,与直线l :x+√3y-2√3=0的交点为M (√3,1),直线θ=π6的参数方程为{x =√3+√32t ,y =1+12t(t 为参数),代入曲线C :x 2+(y-1)2=4,得t 2+3t-1=0,则|MA|·|MB|=|t 1·t 2|=1.7.解 (1)C 1的普通方程为(x-1)2+y 2=1,则x 2+y 2-2x=0,由ρ2=x 2+y 2,x=ρcos θ,得ρ2=2ρcos θ,故C 1的极坐标方程为ρ=2cos θ.设N (ρ,θ),则M ρ,θ-π2,将M ρ,θ-π2代入ρ=2cos θ,得ρ=2cos θ-π2=2sin θ,即C 2的极坐标方程为ρ=2sin θ.(2)将θ=π3分别代入曲线C 1,C 2的极坐标方程,得|OA|=ρA =2cos π3=1,|OB|=ρB =2sin π3=√3, 所以|AB|=||OB|-|OA||=√3-1. 又Q 到射线l 的距离d=|OQ|sin π3=√32,故△ABQ 的面积为S=12×(√3-1)×√32=3-√34. 8.解 (1)点P 的极坐标为2√2,3π4,由{x =ρcosθ,y =ρsinθ可得点P 的直角坐标为(-2,2),曲线C :ρ2cos2θ+4ρsin θ-3=0,即ρ2cos 2θ-ρ2sin 2θ+4ρsin θ-3=0, 于是得曲线C 的直角坐标方程为x 2-y 2+4y-3=0. (2)显然点P (-2,2)在直线l 上,将直线l 的参数方程{x =-2+35t ,y =2+45t代入方程x 2-y 2+4y-3=0,得-2+35t 2-2+45t 2+42+45t -3=0,整理得725t 2+125t-5=0,。

极坐标及参数方程知识点及例题一、极坐标知识点1．伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。

2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，从O 引一条射线Ox ，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线Ox 叫做极轴.①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.3．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。

有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM .极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。

极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ. 4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。

如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。

5．极坐标与直角坐标的互化：(1)互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与x 轴的正半轴重合 ③两种坐标系中取相同的长度单位. (2)互化公式6.曲线的极坐标方程：1．直线的极坐标方程：若直线过点00(,)M ρθ，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：sin()sin()ρθ-α=ρθ-α几个特殊位置的直线的极坐标方程（1）直线过极点 （2）直线过点M(a,0)且垂直于极轴 （3）直线过(,)2M b π且平行于极轴 方程：（1）)R (∈=ραθ 或写成及（2）a =θρcos （3）ρsinθ=b2．圆的极坐标方程： 若圆心为00(,)M ρθ，半径为r 的圆方程为：2222cos()0r ρρρθθρ--+-=几个特殊位置的圆的极坐标方程（1）当圆心位于极点，r 为半径 （2）当圆心位于)0,(a C (a>0),a 为半径 （3）当圆心位于)2,(πa C )0(>a ，a 为半径方程：(1)r =ρ (2)θρcos 2a = (3)θρsin 2a =7.在极坐标系中，)0(≥=ραθ表示以极点为起点的一条射线；)R (∈=ραθ表示过极点的一条直线.二、参数方程知识点1.参数方程的概念：在平面直角坐标系中，若曲线C 上的点(,)P x y 满足()()x f t y f t =⎧⎨=⎩，该方程叫曲线C 的参数方程，变量t 是参变数，简称参数。

选做题部分 极坐标系与参数方程一、极坐标系1．极坐标系与点的极坐标(1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 2点M 直角坐标(x ，y )极坐标(ρ，θ)互化公式题型一 极坐标与直角坐标的互化1、已知点P 的极坐标为)4,2(π，则点P 的直角坐标为 （ ）A.（1，1）B.（1，-1）C.（-1，1）D.（-1，-1）2、设点P 的直角坐标为(3,3)-，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系(02)θπ≤<，则点P 的极坐标为（ ） A ．3(32,)4π B ．5(32,)4π- C ．5(3,)4π D ．3(3,)4π-3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( )A ．ρ＝cos θB ．ρ＝sin θC ．ρcos θ＝1D ．ρsin θ＝15．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝π4(ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标．题型二 极坐标方程的应用由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解．1.在极坐标系中，已知圆C 经过点P(2，π4)，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的直角坐标方程．2.圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，则|CP|＝________.3.在极坐标系中，已知直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1，圆C 的圆心的极坐标是C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4，圆的半径为1.(i)则圆C 的极坐标方程是________； (ii)直线l 被圆C 所截得的弦长等于________．4.在极坐标系中，已知圆C ：ρ＝4cos θ被直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝a 截得的弦长为23，则实数a 的值是________．二、参数方程1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )就是曲线的参数方程．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α (t 为参数)题型一 参数方程与普通方程的互化 【例1】把下列参数方程化为普通方程： (1)⎩⎨⎧x ＝3＋cos θ，y ＝2－sin θ； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t .题型二 直线与圆的参数方程的应用1、已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t ，y ＝4－2t (参数t ∈R )，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋2，y ＝2sin θ(参数θ∈[0,2π])，求直线l 被圆C 所截得的弦长．2、曲线C 的极坐标方程为：ρ=acos θ（a ＞0），直线l 的参数方程为：（1）求曲线C 与直线l 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 相切，求a 值．3、在直角坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为，（α为参数），以原点O为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；（Ⅱ）设P 为曲线C 1上的动点，求点P 到C 2上点的距离最小值．综合应用1、曲线25()12x tt y t =-+⎧⎨=-⎩为参数与坐标轴的交点是（ ）A 21(0,)(,0)52、B 11(0,)(,0)52、C (0,4)(8,0)-、D 5(0,)(8,0)9、3、参数方程222sin sin x y θθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤3．判断下列结论的正误．(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系( )(2)若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的一个极坐标是（2，－π3）( ) (3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的( ) (4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线( )4．(2013·北京高考)在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离等于________．5、平面直角坐标系中,将曲线2cos 2(sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数)上的每一点横坐标不变,纵坐标变为原来的2倍得到曲线1C ,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴,建立的极坐标系中,曲线2C 的方程为4sin ρθ=(Ⅰ)求1C 和2C 的普通方程:(Ⅱ)求1C 和2C公共弦的垂直平分线的极坐标方程.6、已知曲线C 的极坐标方程是0sin 2cos 2=+-θθρ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 222221（t 为参数）.（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 交于B A ,两点，求AB 的值.7、已知圆C ：⎩⎨⎧ x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)和直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(其中t 为参数，α为直线l 的倾斜角)．(1)当α＝2π3时，求圆上的点到直线l 距离的最小值；(2)当直线l与圆C有公共点时，求α的取值范围．。

一、选择题 1．把方程1xy=化为以t 参数的参数方程是（ ）A ．1212x t y t -⎧=⎪⎨⎪=⎩B ．sin 1sin x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩C ．cos 1cos x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩D ．tan 1tan x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩2．曲线25()12x tt y t=-+⎧⎨=-⎩为参数与坐标轴的交点是（ ）A ．21(0,)(,0)52、 B ．11(0,)(,0)52、 C ．(0,4)(8,0)-、 D ．5(0,)(8,0)9、 3．直线12()2x tt y t=+⎧⎨=+⎩为参数被圆229x y +=截得的弦长为（ ）A ．125 BCD4．若点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线24()4x t t y t⎧=⎨=⎩为参数上，则PF等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题 5．直线cos sin 0x y αα+=的极坐标方程为____________________。

6．曲线的极坐标方程为1tan cos ρθθ=⋅，则曲线的直角坐标方程为________________。

7．极坐标方程分别为cos ρθ=与sin ρθ=的两个圆的圆心距为_____________。

8.在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin θ=3，则点(2，6π)到直线l 的距离为 ．9．曲线的参数方程是211()1x t t y t ⎧=-⎪≠⎨⎪=-⎩为参数,t 0，则它的普通方程为__________________。

10．直线3()14x att y t=+⎧⎨=-+⎩为参数过定点_____________。

11．点P(x,y)是椭圆222312x y +=上的一个动点，则2x y +的最大值为___________。

12．设()y tx t =为参数则圆2240x y y +-=的参数方程为__________________________。