13.4 课题学习 最短路径问题(新人教版)

a b
轴对称 变换
A C l B
平移 变换
两点之间，线段最短.
你能解答吗？
思考：如图，等腰三角形ABC底边BC的长为6cm， 面积是24cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F， 若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则 △BDM的周长最短为 cm．
作业：
1、如图，锐角△ABC的边AC=６, △ABC的面积为 15，AD平分∠BAC交BC于D，M、N分别是AD和 AB上的动点，求BM+MN的最小值。
作法： G M 1.作点A关于直线 MN 的对称点点C, · A 2. 作点B关于直线 ON B · 的对称点点D, 3.连接CD分别交直线MN、ON于点G、H， 则AG+GH+BH最短
N H D
O
最短路线：A
P
Q
B
A/
P
N
Q
B/
A
M
B
l
问题5：
（造桥选址问题）如图，A和B两地在同一条河的两 岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何处可使从A到B 的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥 要与河垂直.）
已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P， 使得PA+PB最小。
连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。
P
思考？？？ 为什么这样做就能得到最短距离呢？
根据：两点之间线段最短.
想一想：如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分 别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使 所用的输气管线最短？
如下左图，作点B关于直线 l 的对称点B′ . 当点C在直线 l 的什么位置时，AC与CB′的和最小？
B
B
A C A
l
B′
C
l
B′
如上右图，在连接AB′两点的线中，线段AB′最短. 因此，线段AB′与直线 l 的交点C的位置即为所求.
证明：如图.
在直线 l 上任取另一点C′ ， 连接AC′ 、BC′ 、B′ C′ ． A ∵直线 l 是点B、B′的对称轴， 点C、C′在对称轴上， ∴BC=B′C，BC′=B′C′． ∴AC+BC=AC+B′C=AB′． 在△AB′C′中，AB′< AC′+B′C′， ∴AC+BC < AC′+B′C′， 即AC+BC最小．
运用新知
思路点拨： 由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为一条直线 BC，这样问题就转化为“点P，Q在直线BC 的同侧，如何 在BC上找到一点M，使QM与MP的和最小”．
归纳
B
A
l
抽象为数学问题
B A C l
解决实 际问题
联想旧知
B
A C l B′ 用旧知解决新知
B
C′
C
l
B′
练习：
1、如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、 B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它 的距离之和最短．
请你自己动手 试一试！
A'
C 作法：① 作点A关于街道的对称点A'. ② 连接A'B,交街道于点C. 点C的位置即为所求.
运用新知
2、如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返 回P 处， 请画出旅游船的最短路径．
A A' M M′
a
N B
N′
b
在△A′N′B中，由线段公理知A′N′+BN′ ＞A′B， ∴AM′ +M′N′ +BN′ ＞ AM+MN+BN.
归纳
A
抽象为数学问题
N
M B
a b
解决实 际问题
A A' N B M
联想旧知
A
a b
用旧知解决新知
C
l B
小结归纳
B A C l B′
A A' N B M
参考右图，利用“两点之间，线段最短”可以解决.
解：
A A' M
a
N B
b
如图，沿垂直于河岸的方向平移A到A′，使AA′等于河宽，连接A′B交河 岸于点N，在点N处造桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.
证明：
另任意造桥M′N′， 连接AM′、BN′、A′N′. 由平移性质可知， AM＝A′N，AM′＝A′N′， AA′＝MN＝M′ N′. ∴AM+MN+BN＝AA′+A′B， AM′+M′N′+BN′＝AA′+A′N′+BN′.
N
解：如图，作点A关于l1和l2的对称点A1、A2， 连接A1A2，交l1于M点，交l2于N点. 连接AM和 AN，则AM+MN+NA最小. 因此，那天这样走路线最短.
A1 l1 A l2
M
N A2
例.某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的 AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面 上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子 再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计 一条行走路线，使其所走的总路程最短？
A C l B
问题4：（1）一点在两条直线内部
如图，A为马厩，牧马人某一天要从马厩牵出 马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然 后回到马厩. 请你帮他确定这一天的最短路线.
A
小
河
例：已知：如图，在l1、l2之间有一点A. 求作：分别在l1、l2上确定一点M、N， 使AM+MN+NA最小.
l1 M A l2
所以泵站建在点P可使输气管线最短 P
应用
问题3：
1、如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到B地．牧马人到河边的什么地方饮马，可 使所走的路径最短？
思考：
B A l
你能把这个问题转化 为数学问题吗？
分析：
B B A l A C C
l
转化为数学问题 当点C在直线 l 的什么位置时，AC与BC的和最小？
联想： 如图，点A、B分别是直线l异侧的两个点， 如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点A、点B 的距离的和最短？
A
C
l
B
两点之间，线段最短.
分析：
B
A A C C
l
l
B
（1）这两个问题之间，有什么相同点和不同点？ （2）我们能否把A、B两点转化到直线l 的异侧呢？ 转化需要遵循的原则是什么？ （3）利用什么知识可以实现转化目标？
2、如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而
他正位于他的小屋B西8km北7km处，他想把他的 马牵到小河边去饮水，然后回家，问：马牵到小河 边什么地方饮水，然后回家所走路程最短？请在图 中画出河边马饮水的位置；并指出最短路线，说明 理由。
D M 作法：1.作点C关于直线 A OA 的 对称点点D, Ｃ . 2. 作点C关于直线 OB . 的对称点点E, B 3.连接DE分别交直线OA.OB于点M.N， 则CM+MN+CN最短
O
N E
问题4：（2）两点在两条直线内部
如图：A为马厩，B为帐篷，牧马人从A地出发，先 到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到 B，请画出最短路径. C
13.4课题学习 最短路径问题
利川市建南民中 张中建
复习引入
A B
最短
路径 问题
线段公理： 两点之间，线段最短.
A B
l
垂线段性质： 垂线段最短.
问题1：如图所示，从A地到B地有三条路可供 选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？
E B
C A
①D ②
③
两点之间,线段最短
F
问题2：两点在一条直线异侧
思考： 你能把这个问题转化 为数学问题吗？
Байду номын сангаас 分析：
如图假定任选位置造桥MN，连接AM 和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那 么折线AMNB在什么情况下最短呢？
A M
a b
B
N
由于河宽是固定的，因此当AM+NB最小 时，AM+MN+NB最小.
分析：
A A' M
a b
B
A C
l
N
B
如左图，如果将点A沿与河岸垂直的方向平移到点A′，使AA′等于河宽，则 AA′=MN，AM=A′N，问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N+NB最小 ？