北京市平谷区2020-2021学年高一下学期期末质量检测数学试题

北京市2021-2021年高一下学期期末考试数学试题及答案第二学期高一年级下学期期末诊断性考试数学试题卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

）1、设 $x=\frac{\pi}{6}$，则 $\tan(\pi+x)$ 等于（）A。

$-\sqrt{3}$ B。

$-3$ C。

$3$ D。

$\sqrt{3}$2、设函数 $f(x)=\begin{cases} -x。

& x\leq 0.\\ x+1.&x>0.\end{cases}$ 则 $f(f(-1))$ 的值为（）A。

$-2$ B。

$-1$ C。

$1$ D。

$2$3、函数 $f(x)=e^x+2x-3$ 的零点所在的一个区间是（）A。

$\left(-\infty,0\right]$ B。

$\left[0,\frac{1}{2}\right]$ C。

$\left[\frac{1}{2},1\right]$ D。

$\left[1,+\infty\right)$4、函数 $f(x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，当 $x>0$ 时，$f(x)=-x+1$，则当 $x<0$ 时，$f(x)$ 的表达式为（）A。

$f(x)=-x+1$ B。

$f(x)=-x-1$ C。

$f(x)=x+1$ D。

$f(x)=x-1$5、设 $D,E,F$ 分别为 $\triangle ABC$ 的三边$BC,CA,AB$ 的中点，则 $EB+FC=$A。

$\frac{1}{2}AB$ B。

$\frac{1}{2}AC$ C。

$\frac{1}{2}BC$ D。

$\frac{3}{4}AB$6、函数 $y=\frac{1}{x^2}+\ln x^2$ 的图象可能是（）A。

向左平行移动 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度 B。

向右平行移动 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度 C。

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若222a b c bc =+-，则角A =（） A ．6π B ．4π C ．3π D ．512π 2．已知数列满足，，则的值为（ ）A ．2B ．-3C ．D ．3．已知2()sin ,N 36f x x x ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，则()f x 的值域为（ ）A ．11,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．11,,122⎧⎫--⎨⎬⎩⎭C ．1,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．1,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭4．已知函数()211sin sin (0)222xf x x ωωω=+->，若()f x 在区间()π,2π内没有零点，则ω的取值范围是 A ．10,8⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．][1150,,848⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦C ．50,8⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．][150,,148⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭5．25(32)x x -+的展开式中含3x 的项的系数为（ ） A ．-1560B ．-600C ．600D ．15606．已知非零实数a ，b 满足a b >，则下列不等关系一定成立的是（ ） A ．11a b< B ．ab a b >+ C ．22a b > D ．3223a ab a b b +>+7．在ABC ∆中，2cos (,b,22A b c a c c+=分别为角,,A B C 的对边)，则ABC ∆的形状是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．正三角形8．正三角形ABC 的边长为2cm ，如图，A B C '''∆为其水平放置的直观图，则A B C '''∆的周长为（ ）A ．8cmB ．6cmC ．(26cmD ．(223cm +9．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为:弧田面积12=(弦⨯矢+矢2).弧田，由圆弧和其所对弦所围成.公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为3π，弦长等于2的弧田.按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得弧田面积为（ ）A B 12C ．112- D ．23π10．数列{}n a 的通项1(1)n a n n =+，其前n 项之和为910，则在平面直角坐标系中，直线(1)0n x y n +++=在y 轴上的截距为（ ） A ．-10B ．-9C ．10D ．911．《趣味数学·屠夫列传》中有如下问题：“戴氏善屠，日益功倍。

2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知幂函数()y f x =过点(4,2)，令(1)()n a f n f n =++，n +∈N ，记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则10n S =时，n 的值是（ ） A ．10B ．120C ．130D ．1402．设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ） A ．若,l ααβ⊥⊥，则l β⊂ B ．若//,//l ααβ，则l β⊂ C ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥ D ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥ 3．若，则向量的坐标是（ ） A ．（3，－4）B ．（－3，4）C ．（3，4）D ．（－3，－4）4．已知数列{}n a ，如果1a ，21a a -，32a a -，……，1n n a a --，……，是首项为1，公比为13的等比数列，则n a =A ．31123n（）- B ．131123n --（） C ．21133n-（） D ．121133n --（） 5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，834S a =，72a =-，则10a =（ ） A ．8-B ．6-C ．4-D ．2-6．已知两点()2,4A --，()3,16B -，则AB =（ ） A ．12B ．145C ．13D ．5177．如图，将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 折成大小等于θ的二面角',,B AC D M N --分别为,'AC B D 的中点，若2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则线段MN 长度的取值范围为（ ）A ．26,44⎣⎦B ．13,22⎡⎢⎣⎦C ．133⎡⎢⎣⎦D ．3⎡⎣8．下图所示的几何体是由一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为质点的圆锥面得到，现用一个垂直于底面的平面去截该几何体、则截面图形可能是（）A ．（1）（2）B ．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）9．直线:1l y x=+上的点到圆22:2440C x y x y++++=上点的最近距离为（）A．2B．22-C．21-D．110．当α为第二象限角时，sin cossin cosαααα-的值是（）．A．1B．0C．2D．2-11．若实数,x y满足不等式组31yx yx y≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则2z x y=-的最小值是（）A．1-B．0 C．1 D．212．函数cos tany x x=⋅（32xπ≤<且2xπ≠）的图像是下列图像中的（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题13．在封闭的直三棱柱111ABC A B C-内有一个表面积为S的球，若1,6,8,3AB BC AB BC AA⊥===，则S的最大值是_______.14．已知向量(2,)a m=，(5,1)b=，且()a a b⊥-，则m=_______．15．在明朝程大位《算术统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”.这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说“宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？”根据上述条件，从上往下数第二层有___________盏灯．16．《九章算术》是体现我国古代数学成就的杰出著作，其中(方田)章给出的计算弧田面积的经验公式为:弧田面积12=(弦⨯矢+矢2)，弧田(如图阴影部分)由圆弧及其所对的弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦的长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有弧长为43π米，半径等于2米的弧田，则弧所对的弦AB 的长是_____米，按照上述经验公式计算得到的弧田面积是___________平方米.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

北京市平谷区2020-2021学年度第二学期期末考试真卷数学一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．）1．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，集合B＝{x|x＞1}，那么A∩B＝（）A．（﹣1，3） B．（1，3）C．（﹣1，1）D．（1，+∞）2．已知a＞b，c＞0，那么（）A．B．|a|＞|b| C．D．ac＞bc3．已知f（x）＝，那么f′（π）＝（）A．﹣B．0 C．D．4．在（x+）7展开式中，含x项的系数为（）A．42 B．35 C．21 D．﹣355．已知等差数列{a n}，a2+a4＝10，a3+a5＝8，那么数列{a n}前6项和S6为（）A．54 B．40 C．12 D．276．已知函数y＝f（x）的导函数图像，如图所示，那么函数y＝f（x）（）A．在（﹣∞，﹣1）上单调递增B．在x＝0处取得极小值C．在x＝1处切线斜率取得最大值D．在x＝2处取得最大值7．由0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的四位偶数的个数是（）A．180 B．156 C．108 D．588．某商场举行”五一购物抽奖”活动，已知各奖项中奖率分别是：一等奖为，二等奖为，三等奖为，四等奖为，其余均为纪念奖．某顾客获得2次抽奖机会，那么该顾客至少抽得一次三等奖的概率为（）A．B．C．D．9．“a≤0”是“函数f（x）＝e x﹣ax在区间（0，+∞）上为单调增函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．为参加市级技能大赛，某公司举办技能选拔赛，参加活动的员工需要进行两项比赛．如表是报名的10名员工的各项比赛成绩（单位：分），其中有三个数据模糊．员工编号1 2 3 4 5 6 7 8 9 1项目一成绩969292988868584878项目二成绩8178a837877a﹣1b757已知两项成绩均排在前7名的只有5人，公司决定派出这5名员工代表公司参加市级比赛，则下面说法正确的是（）A．2号员工参加市级比赛B．3号员工参加市级比赛C．7号员工参加市级比赛D．8号员工参加市级比赛二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．（﹣2x）6的展开式各项系数之和为．12．已知各项均为正项的等比数列{a n}，q＝，a3a5＝25，则a8＝．13．命题“∃x0∈R，x02﹣2x0+3＜0”，此命题的否定是命题．（填“真”或“假”）14．已知不等式ax+≥8对任意正实数x恒成立，那么正实数a的最小值为．15．“六一儿童节”到了!某演出团在电影院安排了3场演出．已知第一场有19人出演，第二场有20人出演，第三场有18人出演，且前两场同时出演的人数是10人，后两场同时出演的人数是8人，那么参加此次演出活动的人数至少有人．三、解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．已知数列{a n}，其前n项和为S n，满足____．（Ⅰ）求数列{a n}通项公式；（Ⅱ）当S n≤100时，求n的最大值．请你从①a1＝1，a n+1＝a n+4；②S n＝2a n﹣1；③a1＝1，a n+1+a n ＝2中选择一个，补充在上面的问题中并作答．17．口袋中装有除颜色外完全相同的10个球，其中黄球6个，红球4个．从中不放回的摸3次球，每次摸出一个球．（Ⅰ）求至少摸到2个红球的概率；（Ⅱ）若共摸出2个红球，求第三次恰好摸到红球的概率．18．已知函数f（x）＝x2﹣3x+lnx．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间，并判断函数f（x）的零点个数．19．近期，某中学全体学生参加了“全国节约用水大赛”活动．现从参加该活动的学生中随机抽取了男、女各25名学生，将他们的成绩（单位：分）记录如表：成绩[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]男生（人数）2 5 8 9 1女生（人数）a b10 3 2（Ⅰ）在轴取的50名学生中，从大赛成绩在80分以上的人中随机取出2人，求恰好男、女生各1名，且所在分数段不同的概率；（Ⅱ）从该校参加活动的男学生中随机抽取3人，设这3人中大赛成绩在80分以上的人数为X，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）试确定a、b为何值时，使得抽取的女生大赛成绩方差最小．（只写出结论，不需要说明理由）20．已知函数f（x）＝xe2x．（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）设函数g（x）＝ax2+ax﹣1（a），若∀x∈（﹣1，+∞），有f（x）＞g（x）恒成立，求实数a的取值范围．21．在递增数列{a n}中，a n∈N*，设m∈N*，记使得a n≥m成立的n的最小值为b m．（Ⅰ）设数列{a n}为1，3，4，5，写出b1，b2，b3，b4的值；（Ⅱ）若a n＝2n﹣1，求b1+b2+b3+...+b100的值；（Ⅲ）若a n＝2n﹣1，求数列{b m}的前2m项和公式．参考答案一、选择题（共10小题）.1．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，集合B＝{x|x＞1}，那么A∩B＝（）A．（﹣1，3） B．（1，3）C．（﹣1，1）D．（1，+∞）解：因为集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，集合B＝{x|x＞1}，所以A∩B＝{x|1＜x＜3}．故选：B．2．已知a＞b，c＞0，那么（）A．B．|a|＞|b| C．D．ac＞bc 解：若a＞b＞0，可得＜，故A错误；取a＝2，b＝﹣4，可得|a|＜|b|，故B错误；若a＞0＞b，可得＞，又c＞0，可得＞，故C错误；若a＞b，c＞0，可得ac＞bc，故D正确．故选：D．3．已知f（x）＝，那么f′（π）＝（）A．﹣B．0 C．D．解：∵，∴．故选：A．4．在（x+）7展开式中，含x项的系数为（）A．42 B．35 C．21 D．﹣35 解：（x+）7展开式的通项公式为T r+1＝•x7﹣2r，令7﹣2r＝1，求得r＝3，可得含x项的系数为＝35，故选：B．5．已知等差数列{a n}，a2+a4＝10，a3+a5＝8，那么数列{a n}前6项和S6为（）A．54 B．40 C．12 D．27解：等差数列{a n}，a2+a4＝10，a3+a5＝8，∴，解得a1＝7，d＝﹣1，∴数列{a n}前6项和S6＝＝6×7﹣15＝27．故选：D．6．已知函数y＝f（x）的导函数图像，如图所示，那么函数y＝f（x）（）A．在（﹣∞，﹣1）上单调递增B．在x＝0处取得极小值C．在x＝1处切线斜率取得最大值D．在x＝2处取得最大值解：由图像可得x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，x＝﹣1时，f′（x）＝0，x∈（﹣1，2）时，f′（x）≥0，f（x）单调递增，x＝2时，f′（x）＝0，x∈（2，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以在x＝﹣1处f（x）取得极小值，在x＝2处f（x）取得极大值，f（x）无最大值和最小值，结合选项可知A，B，D错误，由图像可知当x＝1时，f′（x）取得最大值，即f（x）在x＝1处切线斜率取得最大值，故C正确．故选：C．7．由0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的四位偶数的个数是（）A．180 B．156 C．108 D．58解：根据题意，分2种情况讨论：①0在四位数的个位，在剩下5个数字中任选3个，放在前3个数位即可，有A53＝60个四位偶数，②2或4在四位数的个位，四位偶数的千位数字有4种可能，在剩下4个数字中任选2个，放在中间的2个数位即可，有2×4×A42＝96个四位偶数，则有60+96＝156个四位偶数；故选：B．8．某商场举行”五一购物抽奖”活动，已知各奖项中奖率分别是：一等奖为，二等奖为，三等奖为，四等奖为，其余均为纪念奖．某顾客获得2次抽奖机会，那么该顾客至少抽得一次三等奖的概率为（）A．B．C．D．解：由题意，一等奖为，二等奖为，三等奖为，四等奖为，其余均为纪念奖，2次抽奖中，至少抽得一次三等奖，有两种情况：①两次中有一次抽到三等奖；②两次均抽到三等奖．故该顾客至少抽得一次三等奖的概率为＝．故选：C．9．“a≤0”是“函数f（x）＝e x﹣ax在区间（0，+∞）上为单调增函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：若函数f（x）＝e x﹣ax在区间（0，+∞）上为单调增函数，则f′（x）＝e x﹣a≥0在区间（0，+∞）上恒成立，∴a≤（e x）min，x∈（0，+∞），∴a≤1，∵（﹣∞，0]⊆（﹣∞，1]，∴a≤0是函数f（x）＝e x﹣ax在区间（0，+∞）上为单调增函数的充分不必要条件，故选：A．10．为参加市级技能大赛，某公司举办技能选拔赛，参加活动的员工需要进行两项比赛．如表是报名的10名员工的各项比赛成绩（单位：分），其中有三个数据模糊．员工编号1 2 3 4 5 6 7 8 9 1项目一成绩969292988868584878项目二成绩8178a837877a﹣1b7570 已知两项成绩均排在前7名的只有5人，公司决定派出这5名员工代表公司参加市级比赛，则下面说法正确的是（）A．2号员工参加市级比赛B．3号员工参加市级比赛C．7号员工参加市级比赛D．8号员工参加市级比赛解：由题意可得，项目一成绩在前7名的是编号1，2，3，4，5，6，7，故选项C，D错误；因为两项成绩均排在前7名的只有5人，故编号1，2，3，4，5，6，7项目二成绩只有5个人在前7名，若a＝72，则a﹣1＝71，故编号3的员工项目二成绩不在前7，故选项B错误，编号2的员工两项成绩均排在前7名，故选项A正确．故选：A．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11．（﹣2x）6的展开式各项系数之和为 1 ．解：令x＝1，可得（﹣2x）6的展开式各项系数之和为1，故答案为：1．12．已知各项均为正项的等比数列{a n}，q＝，a3a5＝25，则a8＝．解：由{a n}是等比数列，得a＝a3a5＝25，解得a4＝5或a4＝﹣5（舍去），所以a8＝a4•q4＝5×（）4＝．故答案为：．13．命题“∃x0∈R，x02﹣2x0+3＜0”，此命题的否定是真命题．（填“真”或“假”）解：因为x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2＞0恒成立，所以不存在x0∈R，x02﹣2x0+3＜0，故命题“∃x0∈R，x02﹣2x0+3＜0”为假命题，所以它的否定为真命题．故答案为：真．14．已知不等式ax+≥8对任意正实数x恒成立，那么正实数a的最小值为16 ．解：因为不等式ax+≥8对任意正实数x恒成立，所以ax2﹣8x+1≥0，对任意正实数x恒成立，当a＝0时，不等式﹣8x+1≥0，即x≤，不符合对任意正实数x恒成立，当a≠0时，令f（x）＝ax2﹣8x+1，若对任意正实数x恒成立，则无解，或，解得a≥16，所以正实数a的最小值为16．故答案为：16．15．“六一儿童节”到了!某演出团在电影院安排了3场演出．已知第一场有19人出演，第二场有20人出演，第三场有18人出演，且前两场同时出演的人数是10人，后两场同时出演的人数是8人，那么参加此次演出活动的人数至少有30 人．解：利用Venn图分析，第一场演出用红色表示，第二场演出用蓝色表示，第三场演出用黄色表示（三场演出均用椭圆形表示，重复部分为避免看不清，所以没有涂色）则参与此次演出人数最少的情况是：则参加此次演出活动人数最少为30人．故答案为：30．三、解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．已知数列{a n}，其前n项和为S n，满足____．（Ⅰ）求数列{a n}通项公式；（Ⅱ）当S n≤100时，求n的最大值．请你从①a1＝1，a n+1＝a n+4；②S n＝2a n﹣1；③a1＝1，a n+1+a n ＝2中选择一个，补充在上面的问题中并作答．解：选①：（I）因为a n+1＝a n+4，即a n+1﹣a n＝4，所以数列{a n}是首项为1，公差为4的等差数列．………………所以数列{a n}通项公式a n＝4n﹣3，………………（II）因为S＝，………………当S n≤100，即2n2﹣n≤100，解得0＜n≤7，所以n的最大值为7．………………选②：（I）因为S n＝2a n﹣1，所以当n＝1时，S1＝2a1﹣1，即a1＝1，又S n﹣1＝2a n﹣1﹣1（n≥2），两式相减，得：当n≥2时，S n﹣S n﹣1＝（2a n﹣1）﹣（2a n﹣1﹣1），整理得a n＝2a n﹣1（n≥2），………………即数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列．所以数列{a n}通项公式a………………（II）因为S，………………当S n≤100，即2n﹣1≤100，解得0＜n≤6，所以n的最大值为6．………………选③：（Ⅰ）因为a n+1+a n＝2，，所以a n+a n﹣1＝2（n≥2）．两式相减得a n+1﹣a n﹣1＝0（n≥2），即a n+1＝a n﹣1（n≥2），．………………又因为a1＝a2＝1………………所以数列{a n}是常数列．所以数列{a n}的通项公式为a n＝1．………………（Ⅱ）因为数列{a n}是常数列所以S n＝n，………………当S n≤100，即n≤100，所以n的最大值为100．………………17．口袋中装有除颜色外完全相同的10个球，其中黄球6个，红球4个．从中不放回的摸3次球，每次摸出一个球．（Ⅰ）求至少摸到2个红球的概率；（Ⅱ）若共摸出2个红球，求第三次恰好摸到红球的概率．解：（I）设“至少摸到2个红球”为事件A，设“摸到2个红球“为事件B，“摸到3个红球”为事件C，因为事件B与事件C互斥，所以A＝B∪C，所以＝，P（C）＝＝，故P（A）＝P（B∪C）＝P（B）+P（C）＝；（II）设“第三次恰好摸到红球”为事件D，事件D即为“在前2次中只摸到一个红球，第三次摸到第二个红球”，则有种情况，摸三次球，样本空间，所以P（D）＝＝，即第三次恰好摸到红球的概率为．18．已知函数f（x）＝x2﹣3x+lnx．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间，并判断函数f（x）的零点个数．解：（Ⅰ）函数定义域为（0，+∞），∵f（3）＝ln3，∴切点为（3，ln3），又f′（x）＝2x﹣3+＝，∴f′（3）＝，即切线斜率为k＝，∴切线方程是y＝，即10x﹣3y+3ln3﹣30＝0；（Ⅱ）令f′（x）＝0，解得，x2＝1，x（0，）（，1）1 （1，+∞）f′（x）+ 0 _ 0 +f （x）极大值极小值如表格，函数f（x）的单调增区间是（0，）和（1，+∞），单调减区间是（，1），又∵函数f（x）的极大值f（）＜0，∴当0＜x＜1时f（x）＜0恒成立，而函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，f（1）＜0，f （3）＝ln3＞0，∴存在x0∈（1，3），使得f（x0）＝0，即函数f（x）只有一个零点．19．近期，某中学全体学生参加了“全国节约用水大赛”活动．现从参加该活动的学生中随机抽取了男、女各25名学生，将他们的成绩（单位：分）记录如表：成绩[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]男生（人数）2 5 8 9 1女生（人数）a b10 3 2（Ⅰ）在轴取的50名学生中，从大赛成绩在80分以上的人中随机取出2人，求恰好男、女生各1名，且所在分数段不同的概率；（Ⅱ）从该校参加活动的男学生中随机抽取3人，设这3人中大赛成绩在80分以上的人数为X，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）试确定a、b为何值时，使得抽取的女生大赛成绩方差最小．（只写出结论，不需要说明理由）解：（I）设“从大赛成绩在80（分）以上的人中随机取出2人，恰好男、女生各1名，且所在分数段不同”为事件A，由表格可得，随机抽取的50名学生中，成绩在80（分）以上的男生人数是10人，女生5人，共15人，即从15名学生中随机抽取2人，所以样本空间；如果这2人恰好男、女生各1名，且分数段不同，即，所以事件A包含21个样本点，故P（A）＝＝；（II）由数据可知，从抽取的25名男学生中随机抽取1人，该学生大赛成绩在80（分）以上的概率为＝，即从该校参加活动的男学生中随机抽取1人，该学生大赛成绩在80（分）以上的概率，因此从该校参加活动的男学生中随机抽取3人，这3人中大赛成绩在80（分）以上的人数X的可能取值为0，1，2，3，又X～B（3，），所以P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝20＝＝，P（X＝3）＝＝，所以随机变量X的分布列为：X0 1 2 3P数学期望E（X）＝0×+1×+2×+3×＝；（Ⅲ）a＝0，b＝10．20．已知函数f（x）＝xe2x．（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）设函数g（x）＝ax2+ax﹣1（a），若∀x∈（﹣1，+∞），有f（x）＞g（x）恒成立，求实数a的取值范围．解：（Ⅰ）f（x）＝xe2x，则f′（x）＝e2x（1+2x），令f′（x）＝0，x＝﹣，所以x＜﹣，f′（x）＜0，即f（x）在区间（﹣∞，﹣）上单调递减；x＞﹣，f′（x）＞0，即f（x）在区间（﹣，+∞）上单调递增；所以函数f（x）有极小值f（﹣）＝﹣，无极大值．（II）因为∀x∈（﹣1，+∞），有f（x）＞g（x）恒成立，设函数H（x）＝f（x）﹣g（x）＝xe2x﹣ax2﹣ax+1（x＞﹣1），则H（x）＞0恒成立．因为H′（x）＝e2x（1+2x）﹣2ax﹣a＝（1+2x）（e2x﹣a），①当a≤0时，e2x﹣a＞0，令H′（x）＝0，可得x＝﹣，所以H′（x）＞0，得x＞﹣；H′（x）＜0，得﹣1＜x＜﹣，即H（x）在区间（﹣1，﹣）上单调递减，在区间（﹣，+∞）上单调递增．因此函数H（x）在x＝﹣时有最小值，当H（﹣）＝1﹣+＞0，即﹣4＜a≤0时，函数H（x）＞0在区间（﹣1，+∞）恒成立．当0＜a≤时，令H′（x）＝0，x1＝lna，x2＝﹣；②当a＝，即x1＝x2时，H′（x）≥0恒成立，即函数H（x）在区间（﹣1，+∞）单调递增．所以函数H（x）＞H（﹣1）＝1﹣e﹣2＞0，满足条件．③当0＜a＜，即x1＜x2时，H′（x）＞0，x＜lna，x＞﹣；H′（x）＜0，lna＜x＜﹣，若﹣lna≤﹣1，即0＜a≤时，H（x）在区间（﹣1，﹣）上单调递减，在区间（﹣，+∞）上单调递增．函数H（x）在x＝﹣时有最小值，而H（﹣）＝1﹣+＞0恒成立．所以满足条件．若lna＞﹣1即＜a＜时，H（x）在区间（lna，﹣）上单调递减，在区间（﹣1，lna），（﹣，+∞）上单调递增．而H（﹣1）＝1﹣e﹣2＞0，H（﹣）＝1﹣+＞0，所以函数H（x）＞0在区间（﹣1，+∞）恒成立．综上，当﹣4＜a≤时，函数H（x）＞0在区间（﹣1，+∞）恒成立．21．在递增数列{a n}中，a n∈N*，设m∈N*，记使得a n≥m成立的n的最小值为b m．（Ⅰ）设数列{a n}为1，3，4，5，写出b1，b2，b3，b4的值；（Ⅱ）若a n＝2n﹣1，求b1+b2+b3+...+b100的值；（Ⅲ）若a n＝2n﹣1，求数列{b m}的前2m项和公式．解：（Ⅰ）令a n≥1时，n的最小值b1＝1，令a n≥2时，n的最小值b2＝2，令a n≥3时，n的最小值b3＝2，令a n≥4时，n的最小值b4＝3．（Ⅱ）由，即数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列所以使得a n≥m成立的n的最小值b m为：b1＝1，b2＝2，b3＝b4＝3，b5＝b6＝b7＝b8＝4，b9＝b10＝b11＝b12＝b13＝b14＝b15＝b16＝5，b17＝b18＝....＝b32＝6，b33＝b34＝...＝b64＝7，b65＝b66＝...＝b100＝8，所以：b1+b2+...+b100＝1+2+2×3+4×4+8×5+16×6+32×8＝673．（Ⅲ）由题意a n＝2n﹣1，对于正整数，由a n≥m，得．根据b m的定义可知：当m＝2k﹣1时，b m＝k；当m＝2k时，b m＝k+1．∴b1+b2+b3+...+b m＝（b1+b3+...+b2m﹣1）+（b2+b4+...+b2m），＝（1+2+3+...+m）+[2+3+4+...+（m+1）]，＝，＝m2+2m．。

2020–2021学年下学期期末测试卷02卷高一数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．测试范围：北师大版（2019）第二册 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1.2sin 47°－3sin 17°cos 17°＝( )A ．－ 3B ．－1 C. 3 D ．1 2．已知sin α＝－13，且α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，则tan α＝( ) A ．－223 B.223 C.24D ．－243．函数y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k 的图象如图，则它的振幅A 与最小正周期T 分别是( )A ．A ＝3，T ＝5π6B ．A ＝3，T ＝5π3C ．A ＝32，T ＝5π6D ．A ＝32，T ＝5π34．已知cos α＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，则sin α2等于( )A ．－1010 B.1010 C.3310D ．－355．已知向量(3,1)a =，b 是不平行于x 轴的单位向量，且3a b -=，则b = （ ）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21,23 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21 C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛433,41 D ．（1，0）6.若向量=(2,2),=(-2,3)分别表示两个力F 1,F 2,则|F 1+F 2|为( )A.(0,5)B.(4,-1)C.2D.57.现在国际乒乓球赛的用球已由“小球”改为“大球”.若“小球”的直径为38 mm,“大球”的直径为40 mm,则“小球”的表面积与“大球”的表面积之比为( )1920B.19∶20C.192∶202D.193∶2038.若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是( )A.7π4B.9π4 C.5π4或7π4D.5π4或9π4二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年北京平谷县韩庄中学高一数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若△的三个内角满足，则△（）A.一定是锐角三角形.B.一定是直角三角形.C.一定是钝角三角形.D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.参考答案：C2. (本大题满分8分)已知角终边上一点P（－4，3），求的值；参考答案：∵∴3. 已知函数是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的不等实数，不等式恒成立，则不等式的解集为（）A． B． C． D．参考答案：C4. 用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是( )A．x1 B．x2C．x3 D．x4参考答案：C略5. 设α、β、γ满足0<α<β<γ<2π，若对任意x∈R，cos(x+α)+cos（x+β)+cos(x+γ)=0恒成立，则γ-α的值是A. B. C. 或 D.无法确定参考答案：B6. 为了得到函数y=4cos2x的图象，只需将函数y=4cos(2x+)的图象上每一个点（）A．横坐标向左平动个单位长度B．横坐标向右平移个单位长度C．横坐标向左平移个单位长度D．横坐标向右平移个单位长度参考答案：D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将函数的图象上每一个点横坐标向右平移个单位长度，可得y=4cos[2（x﹣）+]=4cos2x的图象，故选：D．7. 已知扇形的周长为8cm，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为（）A. 4cm2B. 6 cm2C. 8 cm2D. 16 cm2参考答案：A【分析】利用弧长公式、扇形的面积计算公式即可得出．【详解】设此扇形半径为r，扇形弧长为l=2r则2r+2r＝8，r=2，∴扇形的面积为r=故选：A【点睛】本题考查了弧长公式、扇形的面积计算公式，属于基础题．8. “x是钝角”是“x是第二象限角”的（）．A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件参考答案：A9. 某市新上了一批便民公共自行车，有绿色和橙黄色两种颜色，且绿色公共自行车和橙黄色公共自行车的数量比为2∶1，现在按照分层抽样的方法抽取36辆这样的公共自行车放在某校门口，则其中绿色公共自行车的辆数是( )A. 8B. 12C. 16D. 24参考答案：D设放在该校门口的绿色公共自行车的辆数是x，则，解得x＝24．故选D10. 已知集合，那么下列结论正确的是（） A. B. C. D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. （2016秋?建邺区校级期中）若二次函数f（x）满足f（2+x）=f（2﹣x），且f（1）＜f（0）≤f（a），则实数a的取值范围是．参考答案：a≤0，或a≥4【考点】二次函数的性质．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】若二次函数f（x）满足f（2+x）=f（2﹣x），则函数f（x）的图象关于直线x=2对称，结合二次函数的图象和性质，可得实数a的取值范围．【解答】解：∵二次函数f（x）满足f（2+x）=f（2﹣x），∴函数f（x）的图象关于直线x=2对称，若f（1）＜f（0）≤f（a），则a≤0，或a≥4，故答案为：a≤0，或a≥4．【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．12. 已知△ABC中，∠A=60°，，则= ．参考答案：2试题分析：由正弦定理得==考点：本题考查了正弦定理的运用点评：熟练运用正弦定理及变形是解决此类问题的关键，属基础题13. 在二项式（1+x）n（n∈N*）的展开式中，存在着系数之比为5：7的相邻两项，则指数n的最小值为．参考答案：11【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】由题意可得： =，可得：12r+7=5n，可得n为奇数．经过验证：n=1，3，…，即可得出．【解答】解：由题意可得： =，可得：12r+7=5n，n为奇数，经过验证：n=1，3，…，可得n的最小值为11．故答案为：11．14. 命题A:两曲线和相交于点.命题B:曲线(为常数)过点,则A是B的_______条件.参考答案：充分不必要条件15. 某样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3．若该样本的平均数为1,则样本方差为_______．参考答案：2【分析】先由数据的平均数公式求得，再根据方差的公式计算．【详解】解：由题可知样本的平均值为1，，解得，样本的方差为．故答案为：2.16. 利用直线与圆的有关知识求函数的最小值为_______.参考答案：【分析】令得，转化为z==，再利用圆心到直线距离求最值即可【详解】令，则故转化为z==，表示上半个圆上的点到直线的距离的最小值的5倍，即故答案为3【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，考查数形结合思想，是中档题17. 不等式组所围成的区域面积为_ ____参考答案：1略三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2020–2021学年下学期期末测试卷02卷高一数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．测试范围：北师大版老版必修三、必修四 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题（每题5分，共60分）1．点P(cos 2 022°，sin 2 022°)所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．一个扇形的弧长与面积的数值都是6，则这个扇形的圆心角的弧度数是( )A ．1B ．2C ．3D ．43．集合{α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z }中的角所表示的范围(阴影部分)是( )4.人骑自行车的速度是v 1,风速为v 2,则逆风行驶的速度为 ( ) A.v 1-v 2B.v 1+v 2C.|v 1|-|v 2|D.5．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =( ) A ．3144AB AC - B ．1344AB AC -C ．3144AB AC +D ．1344AB AC +6．某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式有：A.结伴步行，B.自行乘车，C.家人接送，D.其他方式．将收集的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，知本次抽查的学生中结伴步行(A)上学的人数是( )A ．30B ．40C ．42D ．487．一组数据的平均数为m ，方差为n ，将这组数据中的每个数都乘以a(a>0)得到一组新数据，则下列说法正确的是( )A ．这组新数据的平均数为mB ．这组新数据的平均数为a ＋mC ．这组新数据的方差为anD ．这组新数据的标准差为a n8．计算机执行算法步骤后输出的结果是( )A ．4，－2B ．4,1C ．4,3D ．6.09.已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P(3,4)，则sin α＋2cos αsin α－cos α＝( )A ．10B ．110 C ．5D ．1510．在直角坐标系xOy 中，已知角θ 的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在直线y ＝3x 上，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－2θ＝( )A ．45B ．－45C ．－35D ．1211、若非零向量,a b 满足2||||a b =，且(3)(2)a b a b +⊥-，则a 与b 的夹角为（ ）A.π4B.π3C.2π3D.5π612.定义a b e ae bfc d f ce df+⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦运算，例如1241403515⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.若已知α+β=π，α-β=2π则sin cos coscos sin sina aa aββ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=（）A．0⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．01⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．1⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．11⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，共20分）13.在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为.14.若点E,F分别是△ABC的边AB,AC的中点,则=______ .15．如图是100位居民月均用水量的频率分布直方图，则月均用水量为[2,2.5)范围内的居民有____人．16．已知总体的各个个体的值从小到大为－3，0，3，x，y，6，8，10，且总体的中位数为4.若要使该总体的方差最小，则2x－y＝________．三、解答题（共6题，共70分）17．（10分）求下列三角函数值：(1)sin256π＋cos193π；(2)sin217π4＋tan2⎝⎛⎭⎪⎫－11π6tan9π4.18.(10分)如图,点O是平行四边形ABCD的中心,E,F分别在边CD,AB上,且==.求证:点E,O,F在同一直线上.19.（12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：质量指标值分组[75,85) [85,95) [95,105) [105,115) [115,125) 频数 6 26 38 22 8①在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：②估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；③根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？20.（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8零件尺寸9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04抽取次序9 10 11 12 13 14 15 16零件尺寸10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得x＝116∑16i＝1x i＝9.97，s＝116∑16i＝1x i－x2＝116∑16i＝1x2i－16x2≈0.212，∑16i＝1i－8.52≈18.439，∑16i＝1(x i－x)(i－8.5)＝－2.78，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1,2， (16)(1)求(x i ，i)(i ＝1,2，…，16)的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r|<0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小)；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(x －3s ，x ＋3s)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．①从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？②在(x －3s ，x ＋3s)之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．(精确到0.01)附：样本(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n)的相关系数r ＝∑ni ＝1 x i －xy i －y∑n i ＝1x i －x2∑ni ＝1y i －y2.0.008≈0.09.21.（12分）已知函数f (x )＝cos 4x －2sin x · cos x －sin 4x .(1)求f (x )的单调递增区间；(2)求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值及取最小值时的x 的集合．22．（14分）在四边形ABCD 中，AB =(6，1)，BC =(x ，y)，CD =(-2，-3)，(1)若BC //DA ，试求x 与y 满足的关系式；(2)满足(1)的同时又有AC 垂直于BD ，求x ，y 的值及四边形ABCD 的面积.2020–2021学年下学期期末测试卷02卷高一数学·全解全析1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 CCCBAADBAACC1．点P(cos 2 022°，sin 2 022°)所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】因为2 022°＝360°×5＋222°，所以2 022°与222°终边相同，是第三象限角．所以cos 2 022°<0，sin 2 022°<0，所以点P 在第三象限．故选C.2．一个扇形的弧长与面积的数值都是6，则这个扇形的圆心角的弧度数是( C )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】设扇形的圆心角的弧度数为θ，半径为R.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧θR ＝6，12θR 2＝6.解得θ＝3，即扇形的圆心角的弧度数是3.故选C.3．集合{α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z }中的角所表示的范围(阴影部分)是( C )【答案】C【解析】当k ＝2n(n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样，结合图形知选C. 4.人骑自行车的速度是v 1,风速为v 2,则逆风行驶的速度为 ( ) A.v 1-v 2B.v 1+v 2C.|v 1|-|v 2|D.【答案】B【解析】选B.由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v 1+v 2.注意速度是有方向和大小的,是一个向量. 5．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．3144AB AC - B ．1344AB AC -C ．3144AB AC +D ．1344AB AC +【答案】A【解析】因为在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，所以EB =111()222AB AE AB AD AB AB AC →→→→→→→-=-=-⨯+3144AB AC→→=-故选A.6．某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式有：A.结伴步行，B.自行乘车，C.家人接送，D.其他方式．将收集的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，知本次抽查的学生中结伴步行(A)上学的人数是( )A ．30B ．40C ．42D ．48【答案】 A【解析】由条形统计图知B.自行乘车上学的有42人，C.家人接送上学的有30人，D.其他方式上学的有18人，采用B ，C ，D 三种方式上学的共90人，设A.结伴步行上学的有x 人，由扇形统计图知A.结伴步行上学与B.自行乘车上学的学生占60%，所以x ＋42x ＋90＝60100，解得x ＝30，故选A.7．一组数据的平均数为m ，方差为n ，将这组数据中的每个数都乘以a(a>0)得到一组新数据，则下列说法正确的是( )A ．这组新数据的平均数为mB ．这组新数据的平均数为a ＋mC ．这组新数据的方差为anD ．这组新数据的标准差为a n【答案】D【解析】由题意，知这组新数据的平均数为am ，方差为a 2n ，标准差为a n.故选D. 8．计算机执行算法步骤后输出的结果是( )A ．4，－2B ．4,1C ．4,3D ．6.0 【答案】B【解析】由赋值语句a ＝1，b ＝3知，赋值后，a ＝a ＋b ＝1＋3＝4，b ＝a －b ＝4－3＝1，故选B. 答案：B9.已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P(3,4)，则sin α＋2cos αsin α－cos α＝( )A ．10B ．110C ．5D ．15【答案】A【解析】 根据角α的终边过P(3,4)，利用三角函数的定义，得tan α＝43，所以有sin α＋2cos αsin α－cos α＝tan α＋2tan α－1＝43＋243－1＝10313＝10.故选A ．10．在直角坐标系xOy 中，已知角θ 的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在直线y ＝3x 上，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－2θ＝( )A ．45 B ．－45C ．－35D ．12【答案】A【解析】 因为角θ的终边落在直线y ＝3x 上，所以tan θ＝3，cos 2θ＝110，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2θ＝－cos 2θ＝－(2cos 2θ－1)＝45.故选A 项．11、若非零向量,a b 满足2||||a b =，且(3)(2)a b a b +⊥-，则a 与b 的夹角为（ ） A.π4B.π3C.2π3D.5π6【答案】C【解析】由(3)(2)a b a b +⊥-，得(3)(2)0a b a b +⋅-=， 即223520a a b b -⋅-=，设,a b θ<>=，则223||5||||cos 2||0a a b b θ-⋅-= 又∵2||||a b =，∴2223||10||cos 8||0a a a θ--=， ∴1cos 2θ=-又∵0πθ≤≤， ∴2π3θ=.13. 定义a b e ae bf c d f ce df +⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦运算，例如1241403515⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.若已知α+β=π，α-β=2π则sin cos cos cos sin sin a a a a ββ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=（ ）A ．00⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．01⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．11⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】 A【解析】因为α+β=π，α-β=2π，所以a=34π,ᵝ=π4 因为a b e ae bf c d f ce df +⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以sin cos cos cos sin sin a a a a ββ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦= 33sin cos cos sinsin cos cos sin 4444cos cos sin sin 33cos cos +sin sin 44442222()022*******()2222a a a a ππππββββππππ⎡⎤+⎢⎥+⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⨯+-⨯⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⨯+⨯⎢⎥⎣⎦二、填空题（每题5分，共20分）13.在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为 . 【答案】－5π6【解析】∵2 010°＝67π6＝12π－5π6，∴与2 010°终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为－5π6.14.若点E,F 分别是△ABC 的边AB,AC 的中点,则=______.【答案】【解析】由题意知EF 是中位线,故=.15．如图是100位居民月均用水量的频率分布直方图，则月均用水量为[2,2.5)范围内的居民有____人．【答案】25【解析】100×(0.5×0.5)＝25(人)．16．已知总体的各个个体的值从小到大为－3，0，3，x ，y ，6，8，10，且总体的中位数为4.若要使该总体的方差最小，则2x －y ＝________． 【答案】4【解析】由总体的中位数为4，得x ＋y 2＝4，即x ＋y ＝8，所以数据的平均数为x －＝－3＋0＋3＋x ＋y ＋6＋8＋108＝4，所以数据的方差为s 2＝18[(－3－4)2＋(0－4)2＋(3－4)2＋(x －4)2＋(y －4)2＋(6－4)2＋(8－4)2＋(10－4)2]＝18[122＋(x －4)2＋(y －4)2]＝18[122＋2(x －4)2]．当x ＝4时，s 2最小，此时y ＝4，所以2x －y ＝2×4－4＝4. 三、解答题（共6题，共70分） 17．（10分）求下列三角函数值：(1)sin 256π＋cos 193π；(2)sin 2 17π4＋tan 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6tan 9π4. 【解析】解：(1)sin 256π＋cos 193π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π＋π3＝sin π6＋cos π3＝12＋12＝1.(2)原式＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋4π＋tan 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2π·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2π＝sin2π4＋tan 2 π6·tan π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332×1＝12＋13＝56.18.(10分)如图,点O是平行四边形ABCD的中心,E,F分别在边CD,AB上,且==.求证:点E,O,F在同一直线上.【证明】设=m,=n,由==知E,F分别是CD,AB的三等分点,所以=+=+=-m+(m+n)=m+n,=+=+=(m+n)-m=m+n.所以=.又O为和的公共点,故点E,O,F在同一直线上.19.（12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：质量指标值分组[75,85) [85,95) [95,105) [105,115) [115,125) 频数 6 26 38 22 8②估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；③根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？【解析】 (1)设新农村建设前，农村的经济收入为a ，则新农村建设后，农村的经济收入为2a.新农村建设前后，各项收入的对比如下表：新农村建设前新农村建设后 新农村建设后变化情况结论 种植收入 60%a 37%×2a ＝74%a 增加 A 错 其他收入 4%a 5%×2a ＝10%a 增加了一倍以上 B 对 养殖收入 30%a 30%×2a ＝60%a 增加了一倍 C 对 养殖收入＋第三产业收入 (30%＋6%)a＝36%a (30%＋28%)×2a ＝116%a超过经济收入2a 的一半D 对(2)①②质量指标值的样本平均数为x －＝80×6＋90×26＋100×38＋110×22＋120×8100＝100，质量指标值的样本方差为s 2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104所以，这种产品质量指标的平均数估计值为100，方差的估计值为104.③依题意38＋22＋8100＝68%<80%，所以该企业生产的这种产品不符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定．20.（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 零件尺寸 9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16 零件尺寸10.269.9110.1310.029.22 10.0410.059.95经计算得x ＝116∑16i ＝1x i ＝9.97，s ＝116∑16i ＝1x i －x 2＝116∑16i ＝1x 2i －16x 2≈0.212，∑16i ＝1i －8.52≈18.439，∑16i ＝1(x i －x )(i －8.5)＝－2.78，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1,2， (16)(1)求(x i ，i)(i ＝1,2，…，16)的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r|<0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小)；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(x －3s ，x ＋3s)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．①从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？②在(x －3s ，x ＋3s)之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．(精确到0.01)附：样本(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n)的相关系数r ＝∑ni ＝1 x i －xy i －y∑n i ＝1x i －x2∑ni ＝1y i －y2.0.008≈0.09.【解析】(1)由样本数据得(x i ，i)(i ＝1,2，…，16)的相关系数为r ＝∑16i ＝1 x i －x i －8.5∑16i ＝1x i －x2∑16i ＝1i －8.52＝－2.780.212×16×18.439≈－0.18.由于|r|<0.25，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小．(2)①由于x ＝9.97，s ≈0.212，由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(x －3s ，x ＋3s)以外，因此需对当天的生产过程进行检查． ②剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均数为115×(16×9.97－9.22)＝10.02， 这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02.∑16i ＝1x 2i ＝16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134， 剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为115×(1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为0.008≈0.09. 21.（12分）已知函数f (x )＝cos 4x －2sin x · cos x －sin 4x .(1)求f (x )的单调递增区间；(2)求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值及取最小值时的x 的集合． 【解析】 (1)因为f(x)＝cos 4x －2sin xcos x －sin 4x ＝(cos 2x －sin 2x)(cos 2x ＋sin 2x)－2sin xcos x ＝cos 2x －sin 2x －2sin xcos x ＝cos 2x －sin 2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，解不等式－3π2＋2k π≤2x －π4≤－π2＋2k π(k ∈Z )，得－5π8＋k π≤x ≤－π8＋k π(k ∈Z )，因此函数y ＝f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π8＋k π，－π8＋k π(k ∈Z )． (2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以－π4≤2x －π4≤3π4.当2x －π4＝π2时，即当x ＝3π8时，函数y ＝f(x)取得最小值－ 2.因此函数y ＝f(x)的最小值为－2，对应的x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫3π8.22．（14分）在四边形ABCD 中，AB =(6，1)，BC =(x ，y)，CD =(-2，-3)，(1)若BC //DA ，试求x 与y 满足的关系式；(2)满足(1)的同时又有AC 垂直于BD ，求x ，y 的值及四边形ABCD 的面积. 【解析】BC →=(x ，y)，DA =-AD =-(AB BC CD ++）=-(x+4,y-2)=(-x-4,-y+2). (1)∵BC //DA ，则有x(-y+2)-y(-x-4)=0 化简得x+2y=0.(2)AC =AB +BC =(x+6，y+1)，BD =BC +CD =(x-2,y-3)，又AC 垂直BD ，则(x+6)·(x-2)+(y+1)·(y-3)=0， 化简有2x +2y +4x-2y-15=0， 联立224215200x y y x x y ++--+==⎧⎨⎩， 解得63x y =-⎧⎨=⎩， 或21x y =⎧⎨=-⎩，因为BC //DA ，AC ⊥BD ，则四边形AB C D 为对角线互相垂直的梯形.当63x y =-⎧⎨=⎩时，AC =(0，4)，BD =(-8，0)，此时ABCD S =12·|AC ||BD |=16. 当21x y =⎧⎨=-⎩时，AC =(8，0)，BD =(0，-4），此时ABCD S =12·|AC ||BD |=16.。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1. 已知向量()4,2a =r ，()1,b m =-r ，若a b ^r r，那么m 的值为（ ）A.12B. 12-C. 2D. 2-【答案】C 【解析】【分析】由两个向量垂直得数量积等于零，列方程可求出m 的值【详解】向量()4,2a =r ，()1,b m =-r，若a b ^r r，则0a b ×=r r ，即()4120m ´-+=，解得2m =.故选：C.【点睛】此题考查由向量垂直求参数，属于基础题2. sin 35cos 25cos35sin 25°°+°o 的值等于（ ）A.14B.12【答案】D 【解析】【分析】利用和角的正弦公式化简求值得解.【详解】由题得sin 35cos 25cos35sin 25sin(3525)sin 60°°+°=°+==o o o 故选：D【点睛】本题主要考查和角的正弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.3. 已知圆柱的底面半径和高都是2，那么圆柱的侧面积是（ ）A. 2p B. 8pC. 12pD. 16p【答案】B本题可根据圆柱的侧面积公式得出结果.【详解】因为圆柱的底面半径和高都是2，所以圆柱的侧面积2228S p p =´´´=，故选：B.【点睛】本题考查圆柱的侧面积的计算，若圆柱的底面半径为r ，高为h ，则侧面积2S rh p =，考查计算能力，是简单题.4.给出下列四个命题：①垂直于同一平面的两个平面互相垂直；②平行于同一平面的两个平面互相平行；③垂直于同一直线的两个平面互相垂直；④平行于同一直线的两个平面互相平行，其中正确命题的序号是（ ）A. ① B. ②C. ③D. ④【答案】B 【解析】【分析】通过举例的方式逐一验证各选项的对错.【详解】①垂直于同一平面的两个平面可能垂直，也可能平行，比如正方体的下底面和左右侧面互相垂直，但是左右侧面互相平行，故错误；②平行于同一平面的两个平面互相平行，比如用平行于正方体上下底面的平面截正方体，所得截面和上下底面互相平行，故正确；③垂直于同一直线的两个平面互相平行，比如正方体的一条侧棱垂直于上下底面，且上下底面互相平行，故错误；④平行于同一直线的两个平面可能相交，比如正方体的下底面的一条棱平行于侧面和上底面，而侧面和上底面相交，故错误.故选：B.【点睛】本题考查空间直线、平面的位置关系的判断，常用的方法是采用作图或举例子的方式去判断对应命题的真假，主要是考查学生的空间想象能力，难度一般.5. 化简向量OA BC BA OD +--uuu r uuu r uuu r uuu r等于（ ）A. DCuuurB. ODu u u rC. CDuuu rD. ABuuu r【分析】直接利用向量的加减法法则求解即可【详解】OA BC BA OD OA AB BC OD OC OD DC +--=++-=-=uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r.故选：A.【点睛】此题考查向量的加减法法则的应用，属于基础题6. 关于函数()()()sin f x x x R j =+Î，下列命题正确的是（ ）A. 存在j ，使()f x 是偶函数B. 对任意的j ，()f x 都是非奇非偶函数C. 存在j ，使()f x 既是奇函数，又是偶函数D. 对任意的j ，()f x 都不是奇函数【答案】A 【解析】【分析】由三角函数的图象性质结合诱导公式，对每一选项进行逐一判断即可.【详解】对于A ，当2k pj p =+，k Z Î时，函数()()sin f x x j =+是偶函数，所以A 正确；对于B ，当k j p =，k Z Î时，函数()()sin f x x j =+是奇函数，所以B 错误；对于C ，由选项A ,B 的分析，不存在j ÎR ，使函数()()sin f x x j =+既是奇函数，又是偶函数，所以C 错误；对于D ，k j p =，k Z Î时，函数()()sin f x x j =+是奇函数，所以D 错误.故选：A.【点睛】本题考查三角函数的奇偶性的分析，属于基础题.7. 已知非零向量a r 、b r满足1a =r ，且()()12a b a b -×+=r r r r ，那么b r 等于（ ）A.14B.12【答案】C 【解析】【分析】本题首先可根据()()12a b a b -×+=r r r r 得出2212a b -=r r ，然后根据1a =r 得出212b =r ，即可求出b r 的值.【详解】因为非零向量a r 、b r满足1a =r ，且()()12a b a b -×+=r r r r .所以2212a b -=r r ，212b =r，b =r 故选：C.【点睛】本题考查向量的运算，考查向量的模的相关性质，考查计算能力，体现了基础性，是简单题.8. 已知函数()1cos 24f x x p æö=+ç÷èø，如果存在实数1x ，2x ，使得对任意实数x ，都有()()()12f x f x f x ££，那么12x x -的最小值为（ ）A.4pB.2pC. pD. 2p【答案】D 【解析】【分析】由题意分析可知()1f x 为()f x 的最小值，()2f x 为()f x 的最大值，故12x x -最小时为半个周期.【详解】()f x 的周期2412T pp ==，由题意可知()1f x 为()f x 的最小值，()2f x 为()f x 的最大值，12x x \-的最小值为22Tp =.故选：D.【点睛】本题考查三角函数的图象及性质，属于简单题，分析清楚题目意思是关键.二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把答案填在答题卡中相应题中横线上）9. 22cos 151°-等于________.【解析】【分析】的直接逆用余弦的二倍角公式求解即可【详解】22cos 151cos30°-=°=.【点睛】此题考查余弦的二倍角公式的应用，属于基础题10. 已知sin cos a a +=2p a p <<，那么sin 2a 等于________；tan a 等于________.【答案】 (1). 45- (2). 2-【解析】【分析】给等式sin cos a a +=两边平方，再利用正弦的二倍角公式可求出sin 2a ，而2222sin cos 2tan sin 2sin cos tan 1a a aa a a a ==++，从而可求出tan a 的值【详解】sin cos a a +=Q ，且2p a p <<，sin cos a a >\，tan 1a <-.把所给的等式平方可得11sin 25a +=，4sin 25a \=-.再根据2222sin cos 2tan 4sin 2sin cos tan 15a a a a a a a ===-++.求得tan 2a =-，或1tan 2a =（舍去），故答案为：45-；2-.【点睛】此题考查同角三角函数的关系的应用，考查二倍角公式的应用，考查转化思想，属于基础题11. 在ABC D 中，90A Ð=o ，且1AB BC ×=-uuu r uuu r,则边AB 的长为 ．【答案】1【解析】试题分析：因为2)AB BC AB BA AC AB ×=×+=-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r （，所以2=1||=1AB AB uuu r uuu r，考点：向量数量积12.在ABC V 中，角A 、B 、C 对边分别为a 、b 、c ，已知4a =，3B p=，ABC S =△，那么b 等于________.【答案】【解析】【分析】由三角形面积公式求出边c ，再由余弦定理计算可得；【详解】解：4a =Q ，3B p=，11sin 422ABC S ac B c ===´´V ，6c \=，\由余弦定理可得b ===.故答案为：【点睛】本题考查余弦定理及三角形面积公式的应用，属于基础题.13.在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果3a =，b =，c =ABC V 的最大内角的余弦值为________.【答案】18【解析】【分析】由边的大小关系可知A Ð是最大角，然后利用余弦定理求解.【详解】角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果3a =，b =，c =A Ð是最大角，则2221cos 28b c a A bc +-===，故答案为：18.【点睛】本题考查三角形中的边角关系，考查余弦定理的应用，属于简单题.14. 已知ABC V ，AB AC ^uuu r uuu r ，2AB =uuur ，12AC =uuu r ，如果P 点是ABC V 所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，那么PB PC ×uuu r uuu r 的值等于________.【答案】13【解析】【分析】由条件可得0AB AC ×=uuu r uuu r ，182AP AB AC =+uuu r uuu r uuu r ，可得217AP =uuu r ，由()()PB PC PA AB PA AC ×=+×+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，可得出答案.【详解】AB AC ^u u u r u u u rQ ，2AB =uuu r ，12AC =uuu r ，4AB AC AP AB AC =+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，0AB AC \×=uuu r uuu r，182AP AB AC=+uuu r uuu r uuu r ，2222118641724AP AB AC AB AC æö=+=+=ç÷èøuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，PB PA AB =+uuu r uuu r uuu r ，PC PA AC =+uuur uuu r uuu r ，()()2PB PC PA AB PA AC PA PA AC PA AB\×=+×+=+×+×uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 又42PA AC AC ×=-=-uuu r uuu r uuu r ，2PA AB AB ×=-=-uuu r uuu r uuu r172213PB PC \×=--=uuu r uuu r.故答案为：13.【点睛】本题主要考查了平面向量线性运算和数量积的运算性质的应用，属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15. 已知向量()8,4a =-r ，(),1b x =r.（1）若a r ，b r共线，求x 的值；（2）若()a b a -^r r r，求x 的值；（3）当2x =时，求a r 与b r夹角q 的余弦值.【答案】（1）2-；（2）212；（3）35.【解析】【分析】（1）利用向量共线的坐标表示即可求解；（2）分别求出a b -r r 和a r的坐标，利用向量垂直的坐标表示即可求解；（3）利用向量夹角的公式即可求解.【详解】（1）a rQ ，b r共线，840x \+=，解得2x =-；（2）()8,5a b x -=--r r，且()a b a -^r r r ，()()88200a b a x \-×=-+=r r r ，解得212x =；（3）当2x =时，()2,1b =r，12a b \×=r r，a =r，b =r，3cos 5q \=.【点睛】本题主要考查了向量共线、向量垂直。

2021-2022学年北京市高一下学期期末考试数学试题一、单选题1．已知集合，且，则集合可以是{}1,2,3,4,5A =A B A = B A ．B ．C ．D ．{}|21xx >{}2|1x x >{}2|log 1x x >{}1,2,3A【分析】由可知，，据此逐一考查所给的集合是否满足题意即可.A B A = A B ⊆【详解】由可知，，A B A = A B ⊆对于A ：＝，符合题意.{|212}x x >={|0}x x A ⊇＞对于B ：＝，没有元素1，所以不包含A ；2{|1}x x >{|11}x x x <->或对于C ：＝，不合题意；22{|log 1log 2}x x >={|2}x x >D 显然不合题意，本题选择A 选项.本题主要考查集合的表示方法，集合之间的关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．已知（为虚数单位），则（ ）,,3i (i)i a b a b ∈+=+R i A ．B ．C ．D ．1,3a b ==-1,3a b =-=1,3a b =-=-1,3a b ==B【分析】利用复数相等的条件可求.,a b 【详解】，而为实数，故，3i 1i a b +=-+,a b 1,3a b =-=故选：B.3．已知是第一象限角，且角的终边关于y 轴对称，则( )3cos ,5αα=,αβtan β=A ．B ．C ．D ．3434-4343-D【分析】根据cos α求出tan α，根据角的终边关于y 轴对称可知．,αβtan β=tan α-【详解】∵是第一象限角，∴，，3cos ,5αα=4sin 5α==sin 4tan cos 3ααα==∵角的终边关于y 轴对称，∴．,αβ4tan tan 3βα=-=-故选：D ．4．在中，点D 在边AB 上，．记，则（ ）ABC 2BD DA =CA m CD n == ，CB =A ．B ．C ．D ．32m n-23m n-+32m n + 23m n+ B【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】因为点D 在边AB 上，，所以，即2BD DA =2BD DA =，()2CD CB CA CD-=- 所以．CB =3232CD CA n m -=- 23m n =-+ 故选：B ．5．已知，，，则（ ）0.53a =3log 2b =2tan3c π=A ．B ．a b c >>b a c >>C ．D ．c a b >>a c b>>A【分析】根据指数、对数函数的单调性，将a ，b ，c 与0或1比较，分析即可得答案.【详解】由题意得，，所以，0.50331a =>=3330log 1log 2log 31=<<=01b <<又2tan3c π==所以.a b c >>故选：A 6．已知向量，若的夹角与的夹角相等，则()()3,4,1,0,a b c a tb===+,a c ,b c （ ）t =A ．B ．C ．5D ．66-5-C【分析】由题可得，即，即可出.cos ,cos ,a c b c <>=<>a cbc a c b c⋅⋅=⋅⋅【详解】因为，所以，()()3,4,1,0a b ==()3,4c a tb t =+=+因为的夹角与的夹角相等，所以，,a c ,b ccos ,cos ,a c b c <>=<> 则，所以，解得.a c b c a c b c⋅⋅=⋅⋅ ()3344351t t ++⨯+=5t =故选：C.7．设，则“”是“”的（ ）x ∈R sin 1x =cos 0x =A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件A【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.【详解】因为可得：22sin cos 1x x +=当时，，充分性成立；sin 1x =cos 0x =当时，，必要性不成立；cos 0x =sin 1x =±所以当，是的充分不必要条件.x ∈R sin 1x =cos 0x =故选：A.8．设等差数列的前n 项和为．若，则下列结论中正确的是（ ）{}n a n S 230S S <<A ．B ．30a <210a a -<C ．D ．230a a +<4a >D【分析】根据，可得，，从而可判断AB ，举出反例即可判断230S S <<30a >20a <C ，根据等差数列的性质结合基本不等式即可判断D.【详解】解：因为，230S S <<所以，故A 错误；3230S S a -=>，所以，3230S a =<20a <则公差，故B 错误；32210d a a a a =-=->所以等差数列为递增数列，{}n a 则，，450,0a a >>35a a ≠则35a a +>所以4352a a a =+>所以D 正确；4a >对于C ，当时，13,2a d =-=，。

2021-2022学年北京市平谷区高一下学期期末考试数学试题一、单选题1．已知向量()4,1a =-，()2,b m =， 且2a b =，那么m 的值为（ ） A ．12-B ．2-C ．12D ．2A【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示得到方程，解得即可； 【详解】解：因为()4,1a =-，()2,b m =， 且2a b =， 所以()()(),4242,12,m m =-=，所以21m =-，解得12m =-.故选：A2．cos75cos15sin75sin15︒︒+︒︒的值等于（ ）A ．14B ．12C ．22D ．32B【分析】由余弦的差角公式求解即可【详解】()1cos75cos15sin 75sin15cos 7515cos602︒︒+︒︒=︒-︒=︒= 故选：B3．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是正方形，1A A ⊥底面ABCD ，14,1A A AB ==，那么该四棱柱的体积为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8C【分析】该四棱柱的体积为1ABCD V S AA =⨯，由此能求出结果． 【详解】在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是正方形， 1A A ⊥底面ABCD ，14A A =，1AB =，∴该四棱柱的体积为21144ABCD V S AA =⨯=⨯=．故选：C ．4．已知一个正方体的八个顶点都在一个球的表面上，若此正方体的棱长为1，那么这个球的表面积是（ ） A ．12π B ．6π C ．4π D ．3πD【分析】正方体外接球的直径就是正方体的体对角线，由勾股定理求出直径，再用球的表面积公式求解即可【详解】因为一个正方体的八个顶点都在一个球的表面上， 所以正方体外接球的直径就是正方体的体对角线， 由勾股定理可得体对角线为2221113++=， 所以球的半径是32R =, 所以这个球的表面积是24π3πR =， 故选：D5．将函数sin 2y x =的图像向左平移6π个单位后 ，所得图像的解析式是( ) A ．sin(2)3y x π=+B ．sin(2)3y x π=-C ．sin(2)6y x π=+D ．sin(2)6y x π=-A【详解】由三角函数平移的性质和结论可知，将函数2y sin x =的图像向左平移6π个单位后 ，所得图像的解析式是:2sin 22sin 263y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.本题选择A 选项.6．已知向量a 、b 、c 在正方形网格中的位置，如图所示，则()2a b c +⋅=（ ）A ．12B ．4C ．6D ．3C【分析】建立平面直角坐标系，写出a 、b 、c 的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得结果.【详解】建立如下图所示的平面直角坐标系，则()2,1a =-，()2,2b =，()1,2c =，则()()()222,12,26,0a b +=-+=， 因此，()261026a b c +⋅=⨯+⨯=. 故选：C.7．如图，设A ，B 两点在河的两岸，在点A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，45ACB ∠=︒，105CAB ∠=︒后，就可以计算出A ，B 两点的距离为（ ）（其中2 1.414=⋅⋅⋅，3 1.732=⋅⋅⋅，精确到0.1）A ．60.6mB ．78.7mC ．70.7mD ．80.8mC【分析】由正弦定理求解即可 【详解】由题意可知30ABC ∠=︒， 由正弦定理可知sin sin AC ABABC ACB=∠∠，即50sin 30sin 45AB=︒︒，解得25050sin 452270.71sin 302AB ︒===≈︒，故选：C8．已知平面=l αβγηαγβγαβ⊥⊥，，，，，，，则 “l ∥η”是“η⊥γ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件A【分析】若以“//l η”作为条件，先证明l 垂直于γ，进而证明“ηγ⊥”；若以“ηγ⊥”作为条件，结合正方体即可判断.【详解】如图1，设,p q αγβγ⋂=⋂=，在α内作直线m ，使得m p ⊥，而αγ⊥，所以m γ⊥.在β内作直线n ，使得n q ⊥，而βγ⊥，所以n γ⊥. 于是//m n ，又因为,m n ββ⊄⊂，所以//m β，而,m l ααβ⊂=，所以//m l ，故l γ⊥.如图2，过直线l 作平面δ与平面η交于r ，若//l η，则以r γ⊥，而r η⊂，故ηγ⊥.如图3，在正方体1111ABCD A B C D -，记平面11ADD A ，平面11DCC D ，平面ABCD ，平面11DBB D 分别为,,,αβγη，容易判断ηγ⊥，但l η⊂.所以“//l η”是“ηγ⊥”的充分不必要条件. 故选：A.9．已知关于x 的方程2cos sin 20x x a -+=在02π⎛⎤⎥⎝⎦，内有解，那么实数a 的取值范围（ ） A ．58a -≤B ．102a -≤≤C ．1122a -＜≤D ．12a -＜≤0C【分析】可得22sin sin 1a x x =+-在02π⎛⎤⎥⎝⎦，内有解，令sin t x =，利用二次函数的性质即可求出.【详解】方程2cos sin 20x x a -+=在02π⎛⎤⎥⎝⎦，内有解，即222cos sin sin sin 1a x x x x =-+=+-在02π⎛⎤⎥⎝⎦，内有解，令sin t x =，(]0,1t ∈，则(]22215sin sin 111,124y x x t t t ⎛⎫=+-=+-=+-∈- ⎪⎝⎭，所以121a -<≤，解得1122a -<. 故选：C.10．在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是正方体的底面1111D C B A （包括边界）内的一动点，（不与1A 重合），Q 是底面ABCD 内一动点，线段1A C 与线段PQ 相交且互相平分，则使得四边形1A QCP 面积最大的点P 是（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个C【详解】∵线段1A C 与线段PQ 相交且互相平分， ∴四边形1A QCP 是平行四边形，因1A C 的长为定值，为了使四边形1A QCP 面积最大， 只须P 到1A C 的距离为最大即可， 由正方体的特征可以知道，当点P 位于1B ，1C ，1D 时，平行四边形1A QCP 面积相等，且最大， 则使得四边形1A QCP 面积最大的点P 有3个． 故选C ．点睛:立体几何中最值问题,主要解决方法为立体问题平面化，即将空间线面关系转化到某个平面上线面关系，结合平面几何或解析几何知识进行转化解决. 二、填空题11．已知3cos 5θ=-，则cos2θ的值为___________.725-【分析】由二倍角公式计算即可.【详解】2237cos 22cos 12()1525θθ=-=⨯--=-.故725-12．已知复数z =1+3i ，则z z ⋅=________.10【分析】由共轭复数的定义及复数的乘法运算即可求得答案.【详解】由题意，()()13i 13i 1910z z ⋅=+-=+=. 故10.13．已知平面向量,a b 满足2,1a b ==，且a 与b 的夹角为3π，则a b +_________．【分析】直接由222a a a b b b +⋅++=结合已知条件求解即可 【详解】因为平面向量,a b 满足2,1a b ==，且a 与b 的夹角为3π， 所以222a a a b b b +⋅++===14．在ABC 中，a =2b =，60A ∠=︒，则c =________.6【分析】由余弦定理建立方程求解即可.【详解】因为a =2b =，60A ∠=︒，所以由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即22842c c =+-， 解得6c =或4c =-（舍） 故615．关于函数()211sin 22xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，有下面四个结论： ①()f x 是偶函数； ②无论x 取何值时，()12f x <恒成立； ③()f x 的最大值是32； ④()f x 的最小值是12-.其中正确的结论是___________. ① ④【分析】根据奇偶性的定义判断①；通过代特值可以判断②；将函数化为()1cos 211222xx f x -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，进而结合函数的有界性判断③；容易判断当x =0时，21sin ,2xx ⎛⎫- ⎪⎝⎭同时取到最小值0和-1，进而判断④.【详解】对①，()()()221111R,sin sin 2222xxx f x x x f x -⎛⎫⎛⎫∈-=--+=-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则函数为偶函数，正确；对②，22113111222222f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，错误； 对③，()1cos 211111cos 222222x xx f x x -⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而1cos21x -≤≤，则1131cos 2222x -≤-≤，又102x⎛⎫> ⎪⎝⎭，于是()32f x <，错误； 对④，当x =0时，21sin ,2xx ⎛⎫- ⎪⎝⎭同时取到最小值0和-1，则()f x 的最小值是110122-+=-，正确. 故①④. 三、解答题16．已知向量(2,4)a =，(2,)b x =-． (1)当a ∥b 时，求x 的值；(2)当x =-1时，求向量a 与b 的夹角的余弦值； (3)当(4)a a b ⊥+时，求||b ． (1)4x =-； (2)45-；(3)||365=b .【分析】（1）由平面向量平行坐标表示即可求得答案； （2）由平面向量数量积的坐标运算和夹角公式即可求得答案； （3）由平面向量垂直的坐标运算求出参数，进而求出向量的模. 【详解】(1)∵//a b →→，∴28x =-，即4x =-．(2)∵1x =-，2(2)+4(1)=8a b →→⋅=⨯-⨯--，|||a b →→= ∴向量a →与向量b →的夹角的余弦值为4cos =5a b a bθ→→→→⋅=-．(3)依题意 ()46,16a b x →→+=+，∵(4)a a b →→→⊥+，∴(4)0a a b →→→⋅+=． 即126440x ++=，∴19x =-．∴(2,19)b →=--，||b →=17．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，D E ，分别为PB ，PC 的中点.设平面ABC 与平面ADE 交于直线m(1)求证：BC ⊥平面PAB ； (2)求证：BC ∥m . (1)证明见解析； (2)证明见解析.【分析】（1）先证明PA BC ⊥，然后结合线面垂直的判定定理证明问题； （2）先证明//BC 平面ADE ，然后结合线面平行的性质定理证明问题. 【详解】(1)因为 PA ⊥平面ABC ， BC ⊂平面ABC ， 所以 PA BC ⊥. 因为 AB BC ⊥，PA AB A =， 所以 BC ⊥平面PAB .(2)在PBC 中，因为 D ，E 分别为PB ，PC 的中点，所以 //BC DE . 因为 BC ⊄平面ADE ，DE ⊂平面ADE ，所以 //BC 平面ADE . 因为平面ABC 与平面ADE 交于直线m ，所以BC ∥m . 18．已知函数()sin 2cos 22f x x x =+(1)求函数()f x 的最大值，并求出函数()f x 取得最大值时x 的值； (2)求函数()f x 的单调递减区间及对称轴方程． (1)最大值是22,Z 8x k k ππ=+∈；(2)单调递减区间：()5Z ,88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，对称轴方程：()Z .82k x k ππ=+∈【分析】（1）先通过辅助角公式将函数化为正弦型函数，进而结合正弦函数的性质求得答案；（2）结合（1），通过正弦函数的单调性和对称轴求得答案即可.【详解】(1)因为()sin 2cos 222224f x x x x π⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭所以当()22Z 42x k k πππ+=+∈，即()Z 8x k k ππ=+∈时，()f x 有最大值是2所以函数()f x 的最大值是22()f x 取得最大值时x 的值是()Z 8x k k ππ=+∈.(2)由3222,Z 242k x k k πππππ+≤+≤+∈，所以5222,Z.44k x k k ππππ+≤≤+∈ 所以()f x 的单调递减区间是()5Z .88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，由2,Z 42x k k πππ+=+∈，所以()f x 的对称轴方程是()Z .82k x k ππ=+∈ 19．已知4cos 25α=-，且2α为第二象限角. (1)求sin2α， sin α，cos α的值；(2)求πcos 23α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.(1)sin 325α=，24sin 25α=-，7cos =25α (2)4+3310- 【分析】（1）由同角三角函数基本关系与二倍角公式求解即可； （2）由余弦的差角公式结合（1）的计算结果求解即可 【详解】(1)由4cos 25α=-，且2α为第二象限角， 可得23sin1cos 225αα=-=，24sin 2sin cos 2225ααα=⋅=- ，2247cos =2cos 12()12525αα-=⨯--= ； (2)πππcos cos cos sin sin 232323ααα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭41334+33525210-⎛⎫=-⨯+⨯=⎪⎝⎭ 20．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，12AA AC ==，1,BC =E 、F 分别为11A C 、1C C 的中点. G 为BC 上的点且14CG CB =.(1)求证：AB ⊥平面11B BCC ； (2)求证：//GF 平面ABE ； (3)求三棱锥A EBC -的体积. (1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由线面垂直的性质可得1BB ⊥AB ，再由线面垂直的判定定理证明即可； （2）取BA 中点M ，取BC 中点N 连接NM ，1C N ，由平行的传递性与线面平行的判定定理证明即可；（3）由等积法求解即可【详解】(1)在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥底面ABC ，所以1BB ⊥AB ，又因为AB ⊥BC ，1BC B B B =∩，所以AB ⊥平面11B BCC .(2)取BA 中点M ，取BC 中点N 连接NM ，1C N ，因为F 为1C C 的中点，G 为BC 上的点且14CG CB =， 所以G 为CN 的中点，所以//FG 1NC因为M ，N 分别是AB 、BC 的中点，所以//MN A C ，且MN =12A C ，因为//AC 11A C ，且A C =11A C ，所以MN ∥1EC ，且MN =1EC ，所以四边形1MNEC 为平行四边形，所以1//C N ME ，又//FG 1NC ，所以//ME FG ，又因为ME ⊂平面ABE ，GF ⊄平面ABE ，所以//GF 平面ABE .(3)因为12AA AC ==，1CB =，AB ⊥CB ，所以AB 223AC BC -所以三棱锥A EBC -体积等于三棱锥E ABC -的体积为：113ABC V S AA =⋅=1131232⨯⨯321．在△ABC 中，1cos 2b A a c +=． (1)求B 的大小；(2)若5c =， ．求a ，并计算ABC 的面积；从①7b =， ②π4C =这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. (1)π3B =；(2)若选①：8a =，103ABC S =②：5352a ，75253ABC S +=【分析】（1）由条件结合正弦定理可得1sin cos sin sin 2B A AC +=，然后利用三角函数的知识可得答案；（2）若选①，由余弦定理求出a ，然后可得答案；若选②，首先求出sin A ，然后求出a ，然后可得答案.【详解】(1)在ABC 中，因为1cos +2b A ac =，所以由正弦定理可得1sin cos sin sin 2B A A C +=， 因为πA B C ++=，所以sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以1sin sin cos 2A AB =， 在△ABC 中，sin 0A ≠，所以1cos 2B =，因为()0,πB ∈，所以π3B =. (2)若选①，7b =，则在△ABC 中，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-， 得25240a a --=，解得8a =或3a =-（舍）．所以8a =．因此11sin 8522ABC S ac B ==⨯⨯=若选②，π4C =，则62sin sin()sin cos cos sin 34344A B C ππππ，由正弦定理sin sin a c A C =， 562242a，解得5352a． 11sin 522ABC S ac B ===。