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向量和复数练习题
在向量和复数这两个数学概念中，练习题是提高理解和应用能力的重要方法之一。
本文将提供一系列向量和复数练习题，帮助读者深入理解这两个概念并巩固相关知识点。
1. 向量练习题：
1.1 给定向量a=(3, 4)和b=(5, -2)，求a与b的数量积（内积）的结果。
1.2 向量c=(-2, 6)与向量d=(1, 3)的数量积是否为负数？说明原因。
1.3 若向量e=(1, 2, -3)与向量f=(-2, 4, 6)的数量积为0，求解e与f之间的夹角。
2. 复数练习题：
2.1 计算复数a=(-3+4i)与复数b=(2-6i)的和a+b的结果。
2.2 将复数c=(4+3i)表示为极坐标形式，即c=r(cosθ+isinθ)，求解r 和θ的值。
2.3 复数d=(-1+√3i)的共轭复数是多少？写出共轭复数的形式。
3. 综合练习题：
3.1 设向量a=(2, 1, -3)，向量b=(1, -2, 4)，向量c=(1, -1, 1)，求解a 与(b+c)之间的夹角。
3.2 若复数z满足|z+1|=|z-3|，求解z的实部和虚部的和。
3.3 给定复数z=(a+bi)，如果z与z的共轭复数的和为0，求解实数
a和b的关系。
以上是一些向量和复数的练习题，通过解答这些题目，可以进一步
理解和掌握相关概念和运算方法。
希望读者能够认真思考，积极解答，并在解答过程中注意变量符号的使用和计算准确性。
通过反复练习，
不断巩固向量和复数的知识，进一步提高数学运算能力。
福建省高考数学（理科）-专题练习平面向量与复数=a b．若向量B．[2-的直径，C，DMD NC的值是（2二、填空题．共且AP xAB y AD=+．当12．（本小题满分15分）已知a，b是两个单位向量．（Ⅰ）若|32|3-=a b，试求|3+|a b的值；（Ⅱ）若a，b的夹角为60，试求向量2+=m a b与23=-n b a的夹角．13．已知向量(=a，1(2=b，存在非零实数k和t，使得向量2+(3)t=-x a b，+k t=-y a b，且⊥x y ．问2k t t+是否存在最小值？若存在，求其最小值；若不存在，说明理由．福建省高考数学（理科）-专题练习平面向量与复数答 案11．解：由1+i z =，可知1i z =-，代入2+2(+2)az bz a z =得：2(1+i)+2(1i)[+2(1+i)]a b a -=，即2+2+(-2)i (+2)4+4(+2)i a b a b a a =-则()2+2+2424(+2)a b a a b a ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩，解得42a b =-⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩．12．解：（Ⅰ）∵a ，b 是两个单位向量，∴||||1==a b ，又|32|3-=ab ， ∴229||12+4||9-=a a b b ，即13=a b ．∴|3+|==a b（Ⅱ）|m|====， +9||===|n |b a227(2+)(23)2||+6||2=-=-=-m n a b b a b a b a ，72277-==-m nm ||n |180，∴夹角120．13．解：由已知得， ||2=a ，||1=b ，0=a b 。
由⊥x y 得，2[+(3)](+)0t k t --=a b a b ， 即23+(+3+)+(3)0k t k k t t t ---=a a a b b b ，所以34+30k t t --=，334t tk -=，所以22+17(+43)k t t t =-≥-，福建省高考数学（理科）-专题练习平面向量与复数解 析一、选择题1．由题意-1-i ，其对应的点坐标为2(1-)-2-1-i iz i ===，位于第二象限，故选B ．3．由||||||||c a c b c a c b ⋅∙=得，2m =，故选D ． 另解：OA 、OB 关于直线y x =对称，故点C 在直线y x =上，2m =，故选D ．5．设(1,0)=a ， (0,1)=b ，(,)x y =c ，则22(-1)+(-1)1x y =。
理解复数与平面向量的练习题复数和平面向量是高中数学中的重要概念，通过练习题的形式来理解和掌握这两个概念，能够帮助我们更好地应用于实际问题的解决。
在本文中，我们将通过一系列习题来加深对复数和平面向量的理解。
练习题1：复数的基本运算已知 $z_1=3+4i$，$z_2=1-2i$，求以下复数的值：a) $z_1+z_2$b) $z_1-z_2$c) $z_1 \cdot z_2$d) $\frac{z_1}{z_2}$解析：a) $z_1+z_2 = (3+4i)+(1-2i) = 4+2i$b) $z_1-z_2 = (3+4i)-(1-2i) = 2+6i$c) $z_1 \cdot z_2 = (3+4i) \cdot (1-2i) = 11-2i$d) $\frac{z_1}{z_2} = \frac{(3+4i)}{(1-2i)} = -2-i$练习题2：复数的共轭和模已知 $z=2+3i$，求以下复数的值：a) $z$ 的共轭复数b) $z$ 的模解析：a) $z$ 的共轭复数为 $2-3i$b) $z$ 的模为 $|z| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$练习题3：复数的乘法和除法已知 $z_1=-1+i$，$z_2=2-i$，求以下复数的值：a) $z_1 \cdot z_2$b) $\frac{z_1}{z_2}$解析：a) $z_1 \cdot z_2 = (-1+i) \cdot (2-i) = (-1 \cdot 2) + (-1 \cdot -1) + (1 \cdot 2i) + (1 \cdot -i) = -2+1+2i-i = -1+1i$b) $\frac{z_1}{z_2} = \frac{-1+i}{2-i} = \frac{(-1+i)(2+i)}{(2-i)(2+i)} = \frac{(-1 \cdot 2) + (-1 \cdot i) + (1 \cdot 2i) + (1 \cdot i)}{2^2 + (-i)^2} = \frac{-2-i+2i+i^2}{4+1} = \frac{-2+2i-1}{5} = \frac{-3+2i}{5}$练习题4：平面向量的加法和减法已知 $A(2,3)$，$B(-1,4)$，求以下向量的值：a) $\overrightarrow{AB}$b) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA}$解析：a) $\overrightarrow{AB} = (x_2-x_1,y_2-y_1) = (-1-2,4-3) = (-3,1)$b) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = (-3,1) + (3,-1) = (0,0)$练习题5：平面向量的数量积已知向量$\overrightarrow{A}=(3,4)$，$\overrightarrow{B}=(2,-1)$，求以下向量的数量积：a) $\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B}$解析：a) $\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} = (3,4) \cdot (2,-1) = 3 \cdot 2 + 4 \cdot -1 = 6 - 4 = 2$通过以上的练习题，我们可以加深对复数和平面向量的理解。
高考专题——平面向量与复数一、单选题1．（2022·北京·高考真题）在ABC 中，3,4,90AC BC C ==∠=︒．P 为ABC 所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是（ ） A ．[5,3]-B ．[3,5]-C ．[6,4]-D ．[4,6]-2．（2021·浙江·高考真题）已知a R ∈，()13ai i i +=+，(i 为虚数单位)，则=a （ ） A ．1-B ．1C ．3-D ．33．（2021·全国·高考真题（文））设i 43i z =+，则z =（ ） A ．–34i -B ．34i -+C ．34i -D ．34i +4．（2021·全国·高考真题（理））设()()2346z z z z i ++-=+，则z =（ ） A ．12i -B ．12i +C ．1i +D ．1i -5．（2021·北京·高考真题）在复平面内，复数z 满足(1)2i z -=，则z =（ ） A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i +6．（2021·全国·高考真题）复数2i13i--在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．（2022·全国·高考真题）若i(1)1z -=，则z z +=（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．28．（2022·全国·高考真题（文））若1i z =+．则|i 3|z z +=（ ）A ．B ．C ．D ．9．（2020·全国·高考真题（文））已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是（ ） A ．2a b +B ．2a b +C ．2a b -D ．2a b -10．（2020·全国·高考真题（理））已知向量 a ，b 满足||5a =， ||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=a a b <+>（ ）A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．193511．（2020·海南·高考真题）已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅ 的取值范围是（ ） A ．()2,6- B ．(6,2)- C ．(2,4)-D ．(4,6)-12．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量,,a b c ，则“a c b c ⋅=⋅”是“a b =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件13．（2020·山东·高考真题）已知点()4,3A ，()4,2B -，点P 在函数243y x x =--图象的对称轴上，若PA PB ⊥，则点P 的坐标是（ ） A ．()2,6-或()2,1 B ．()2,6--或()2,1- C ．()2,6或()2,1-D ．()2,6-或()2,1--14．（2022·全国·高考真题）在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n ==，，则CB =（ ） A ．32m n -B ．23m n -+C ．32m n +D ．23m n +15．（2022·全国·高考真题（理））已知向量,a b 满足||1,||3,|2|3a b a b ==-=，则a b ⋅=（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．216．（2022·全国·高考真题）已知向量(3,4),(1,0),t ===+a b c a b ，若,,<>=<>a c b c ，则t =（ ） A ．6-B ．5-C ．5D ．617．（2021·全国·高考真题）已知2i z =-，则()i z z +=（ ） A ．62i -B ．42i -C ．62i +D ．42i +18．（2021·全国·高考真题（文））已知2(1)32i z i -=+，则z =（ ） A ．312i --B ．312i -+C ．32i -+D ．32i --19．（2011·全国·高考真题（理））复数2i12i+-的共轭复数是（ ） A ．3i 5-B ．35iC ．i -D ．i20．（2022·全国·高考真题）(22i)(12i)+-=（ ） A ．24i -+B ．24i --C ．62i +D ．62i -21．（2022·全国·高考真题（理））若1z =-，则1zzz =-（ ）A ．1-B ．1-C ．13-+D ．13-22．（2022·全国·高考真题（文））设(12i)2i a b ++=，其中,a b 为实数，则（ ）A ．1,1a b ==-B ．1,1a b ==C ．1,1a b =-=D ．1,1a b =-=-23．（2022·北京·高考真题）若复数z 满足i 34i z ⋅=-，则z =（ ） A ．1B ．5C ．7D ．2524．（2022·浙江·高考真题）已知,,3i (i)i a b a b ∈+=+R （i 为虚数单位），则（ ） A ．1,3a b ==-B ．1,3a b =-=C ．1,3a b =-=-D ．1,3a b ==25．（2022·全国·高考真题（理））已知12z i =-，且0z az b ++=，其中a ，b 为实数，则（ ） A ．1,2a b ==-B ．1,2a b =-=C ．1,2a b ==D ．1,2a b =-=-26．（2020·山东·高考真题）已知平行四边形ABCD ，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点（如图所示），设AB a =，AD b =，则EF 等于（ ）A ．()12a b + B ．()12a b - C ．()12b a - D ．12a b +27．（2022·全国·高考真题（文））已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则a b -（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5二、多选题28．（2021·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，1,0A ，则（ ） A ．12OP OP = B ．12AP AP = C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅三、填空题29．（2020·浙江·高考真题）设1e ，2e 为单位向量，满足21|22|-≤e e ，12a e e =+，123b e e =+，设a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的最小值为_______． 30．（2021·浙江·高考真题）已知平面向量,,,(0)a b c c ≠满足()1,2,0,0a b a b a b c ==⋅=-⋅=.记向量d 在,a b 方向上的投影分别为x ，y ，d a -在c 方向上的投影为z ，则222x y z ++的最小值为___________.31．（2020·江苏·高考真题）在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是________．32．（2022·浙江·高考真题）设点P 在单位圆的内接正八边形128A A A 的边12A A 上，则222182PA PA PA +++的取值范围是_______．33．（2022·天津·高考真题）已知i 是虚数单位，化简113i1+2i-的结果为_______． 34．（2020·全国·高考真题（理））已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =__________.35．（2020·全国·高考真题（理））设,a b 为单位向量，且||1a b +=，则||a b -=______________.36．（2020·全国·高考真题（文））设向量(1,1),(1,24)a b m m =-=+-，若a b ⊥，则m =______________.37．（2021·全国·高考真题（文））已知向量()()2,5,,4a b λ==，若//a b ，则λ=_________． 38．（2021·全国·高考真题（理））已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+．若a c ⊥，则k =________．39．（2021·全国·高考真题（文））若向量,a b 满足3,5,1a a b a b =-=⋅=，则b =_________.40．（2021·全国·高考真题）已知向量0a b c ++=，1a =，2b c ==，a b b c c a ⋅+⋅+⋅=_______．41．（2022·全国·高考真题（理））设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且1a =，3b =，则()2a b b +⋅=_________．42．（2021·天津·高考真题）i 是虚数单位，复数92i2i+=+_____________． 43．（2021·全国·高考真题（理））已知向量()()1,3,3,4a b ==，若()a b b λ-⊥，则λ=__________．44．（2022·全国·高考真题（文））已知向量(,3),(1,1)a m b m ==+．若a b ⊥，则m =______________．四、双空题45．（2020·天津·高考真题）如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ︒∠==，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=-，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的最小值为_________．46．（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE AB ⊥且交AB 于点E ．//DF AB 且交AC 于点F ,则|2|BE DF +的值为____________；()DE DF DA +⋅的最小值为____________．47．（2020·北京·高考真题）已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+，则||PD =_________；PB PD ⋅=_________．48．（2022·天津·高考真题）在ABC 中，,CA a CB b ==，D 是AC 中点，2CB BE =，试用,a b 表示DE 为___________，若AB DE ⊥，则ACB ∠的最大值为____________ 49．（2021·北京·高考真题）已知向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则()a b c +⋅= ________；=a b ⋅________.参考答案：1．D【分析】依题意建立平面直角坐标系，设()cos ,sin P θθ，表示出PA ，PB ，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则()0,0C ，()3,0A ，()0,4B ，因为1PC =，所以P 在以C 为圆心，1为半径的圆上运动， 设()cos ,sin P θθ，[]0,2θπ∈，所以()3cos ,sin PA θθ=--，()cos ,4sin PB θθ=--， 所以()()()()cos 3cos 4sin sin PA PB θθθθ⋅=-⨯-+-⨯- 22cos 3cos 4sin sin θθθθ=--+13cos 4sin θθ=--()15sin θϕ=-+，其中3sin 5ϕ=，4cos 5ϕ=，因为()1sin 1θϕ-≤+≤，所以()415sin 6θϕ-≤-+≤，即[]4,6PA PB ⋅∈-； 故选：D2．C【分析】首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数a 的值.【详解】()213ai i i ai i a a i i +=-=-+=++=，利用复数相等的充分必要条件可得：3,3a a -=∴=-. 故选：C. 3．C【分析】由题意结合复数的运算法则即可求得z 的值. 【详解】由题意可得：()2434343341i i i i z i i i ++-====--. 故选：C. 4．C【分析】设z a bi =+，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于a 、b 的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数z .【详解】设z a bi =+，则z a bi =-，则()()234646z z z z a bi i ++-=+=+， 所以，4466a b =⎧⎨=⎩，解得1a b ==，因此，1z i =+.故选：C. 5．D【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可得：()()()()2121211112i i z i i i i ++====+--+. 故选：D. 6．A【分析】利用复数的除法可化简2i13i--，从而可求对应的点的位置. 【详解】()()2i 13i 2i 55i 1i13i 10102-+-++===-，所以该复数对应的点为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，该点在第一象限， 故选：A. 7．D【分析】利用复数的除法可求z ，从而可求z z +.【详解】由题设有21i1i i iz -===-，故1+i z =，故()()1i 1i 2z z +=++-=，故选：D 8．D【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．【详解】因为1i z =+，所以()()i 3i 1i 31i 22i z z +=++-=-，所以i 3z z += 故选：D. 9．D【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.【详解】由已知可得：11cos 601122a b a b ︒⋅=⋅⋅=⨯⨯=. A ：因为215(2)221022a b b a b b +⋅=⋅+=+⨯=≠，所以本选项不符合题意； B ：因为21(2)221202a b b a b b +⋅=⋅+=⨯+=≠，所以本选项不符合题意； C ：因为213(2)221022a b b a b b -⋅=⋅-=-⨯=-≠，所以本选项不符合题意； D ：因为21(2)22102a b b a b b -⋅=⋅-=⨯-=，所以本选项符合题意. 故选：D.【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这两个平面向量互相垂直这一性质，考查了数学运算能力. 10．D【分析】计算出()a ab ⋅+、a b +的值，利用平面向量数量积可计算出cos ,a a b <+>的值. 【详解】5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=.()2222257a b a ba ab b +=+=+⋅+=-=，因此，()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+. 故选：D.【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题. 11．A【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-，利用向量数量积的定义式，求得结果.【详解】AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-， 结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积， 所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-， 故选：A.【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目. 12．B【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.【详解】如图所示，,,,OA a OB b OC c BA a b ====-,当AB OC ⊥时，a b -与c 垂直，，所以成立，此时a b ≠，△不是a b =的充分条件，当a b =时，0a b -=，△()00a b c c -⋅=⋅=,△成立，△是a b =的必要条件，综上，“”是“”的必要不充分条件故选：B. 13．C【分析】由二次函数对称轴设出P 点坐标，再由向量垂直的坐标表示计算可得． 【详解】由题意函数243y x x =--图象的对称轴是2x =，设(2,)P y ，因为PA PB ⊥，所以(2,3)(6,2)12(3)(2)0PA PB y y y y ⋅=-⋅--=-+--=，解得6y =或1y =-，所以(2,6)P 或(2,1)P -，故选：C ． 14．B【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】因为点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =，即()2CD CB CA CD -=-， 所以CB =3232CD CA n m -=-23m n =-+． 故选：B ． 15．C【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可. 【详解】解：△222|2|||44-=-⋅+a b a a b b ， 又△||1,||3,|2|3,==-=a b a b △91443134=-⋅+⨯=-⋅a b a b ， △1a b ⋅= 故选：C. 16．C【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得【详解】解：()3,4c t =+,cos ,cos ,a c b c =,即931635t tc c+++=,解得5t =, 故选：C 17．C【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.【详解】因为2z i =-，故2z i =+，故()()()2222=4+42262z z i i i i i i i +=-+--=+故选：C. 18．B【分析】由已知得322iz i+=-，根据复数除法运算法则，即可求解. 【详解】2(1)232i z iz i -=-=+，32(32)23312222i i i i z i i i i ++⋅-+====-+--⋅. 故选：B. 19．C【分析】利用复数的乘除运算求出2ii 12i+=-，结合共轭复数的概念求出它的共轭复数即可. 【详解】由题意知， 令2i (2i)(1+2i)i 12i (12i)(1+2i)z ++===--， 所以复数的共轭复数为i z =-， 故选：C 20．D【分析】利用复数的乘法可求()()22i 12i +-. 【详解】()()22i 12i 244i 2i 62i +-=+-+=-， 故选：D. 21．C【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.【详解】1(1113 4.z zz =-=--=+=113z zz ==-+- 故选 ：C 22．A【分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出．【详解】因为,a b R ，()2i 2i a b a ++=，所以0,22a b a +==，解得：1,1a b ==-． 故选：A. 23．B【分析】利用复数四则运算，先求出z ，再计算复数的模．【详解】由题意有()()()34i i 34i 43i i i i z ---===--⋅-，故|5|z =．故选：B ． 24．B【分析】利用复数相等的条件可求,a b .【详解】3i 1i a b +=-+，而,a b 为实数，故1,3a b =-=， 故选：B. 25．A【分析】先算出z ,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可 【详解】12i z =+12i (12i)(1)(22)i z az b a b a b a ++=-+++=+++-由0z az b ++=,得10220a b a ++=⎧⎨-=⎩,即12a b =⎧⎨=-⎩故选:A 26．A【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案；【详解】连结AC ，则AC 为ABC 的中位线， ∴111222EF AC a b ==+，故选：A 27．D【分析】先求得a b -，然后求得a b -.【详解】因为()()()2,12,44,3a b -=--=-，所以245-=+=a b .故选：D 28．AC【分析】A 、B 写出1OP ，2OP 、1AP ，2AP 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C 、D 根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【详解】A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=-，所以1||cos 1OP ==，2||(cos 1OP ==，故12||||OP OP =，正确；B ：1(cos 1,sin )AP αα=-，2(cos 1,sin )AP ββ=--，所以1||(cos 2|sin|2AP α===，同理2||(cos 2|sin|2AP β==，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯=，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+()()()cos βαβcos α2β=++=+，故一般来说123OA OP OP OP ⋅≠⋅故错误；故选：AC 29．2829【分析】利用向量模的平方等于向量的平方化简条件得1234e e ⋅≥，再根据向量夹角公式求2cos θ函数关系式，根据函数单调性求最值.【详解】12|2|2e e -≤，124412e e ∴-⋅+≤， 1234e e ∴⋅≥， 222121222121212(44)4(1)()cos (22)(106)53e e e e a b e e e e e e a bθ+⋅+⋅⋅∴===+⋅+⋅+⋅⋅12424228(1)(1)3332953534e e =-≥-=+⋅+⨯. 故答案为：2829. 【点睛】本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查综合分析求解能力，属中档题. 30．25【分析】设(1,0),(02),(,)a b c m n ===，，由平面向量的知识可得22x y +=，再结合柯西不等式即可得解.【详解】由题意，设(1,0),(02),(,)a b c m n ===，， 则()20a b cm n -⋅=-=，即2m n =，又向量d 在,a b 方向上的投影分别为x ，y ，所以(),d x y =，所以d a -在c 方向上的投影(1()||m x ny d a c z c -+-⋅==， 即252x y z +=,所以(()()2222222222112212510105x y z x y z x yz⎡⎤++=++++≥+=⎢⎥⎣⎦，当且仅当215252x y z x y z ⎧==⎪⎨⎪+=⎩即251555x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩时，等号成立，所以222x y z ++的最小值为25.故答案为：25.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是由平面向量的知识转化出,,x y z 之间的等量关系，再结合柯西不等式变形即可求得最小值. 31．185或0 【分析】根据题设条件可设()0PA PD λλ=>，结合32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭与,,B D C 三点共线，可求得λ，再根据勾股定理求出BC ，然后根据余弦定理即可求解. 【详解】△,,A D P 三点共线， △可设()0PA PD λλ=>，△32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，△32PD mPB m PC λ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，即32m m PD PB PC λλ⎛⎫-⎪⎝⎭=+，若0m ≠且32m ≠，则,,B D C 三点共线， △321m m λλ⎛⎫-⎪⎝⎭+=，即32λ=， △9AP =，△3AD =，△4AB =,3AC =,90BAC ∠=︒， △5BC =，设CD x =，CDA θ∠=，则5BD x =-，BDA πθ∠=-.△根据余弦定理可得222cos 26AD CD AC xAD CD θ+-==⋅，()()()222257cos 265x AD BD AB AD BD x πθ--+--==⋅-，△()cos cos 0θπθ+-=，△()()2570665x x x --+=-，解得185x =，△CD 的长度为185. 当0m =时， 32PA PC =，,C D 重合，此时CD 的长度为0， 当32m =时，32PA PB =，,B D 重合，此时12PA =，不合题意，舍去.故答案为：0或185. 【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出()0PA PD λλ=>．32．[12+【分析】根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，37A A 所在直线为x 轴，51A A 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设(,)P x y ，再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到()2222212888PA PA PA x y +++=++，然后利用cos 22.5||1OP ≤≤即可解出．【详解】以圆心为原点，37A A 所在直线为x 轴，51A A 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示：则1345726(0,1),,(1,0),,(0,1),,(1,0)A A A A A A A ⎛-- ⎝⎭⎝⎭⎝⎭,822A ⎛ ⎝⎭，设(,)P x y ,于是()2222212888PA PA PA x y +++=++，因为cos 22.5||1OP ≤≤，所以221cos 4512x y +≤+≤，故222128PA PA PA +++的取值范围是[12+.故答案为：[12+．33．15i -##5i 1-+【分析】根据复数代数形式的运算法则即可解出．【详解】()()()()113i 12i 113i 11625i15i 1+2i 1+2i 12i 5-----===--． 故答案为：15i -．34．2【分析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k 的值. 【详解】由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=， 由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：20k a a b k →→→⨯-⋅==，解得：k =【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 35【分析】整理已知可得：()2a b a b+=+，再利用,a b 为单位向量即可求得21a b ⋅=-，对a b -变形可得：222a b a a b b -=-⋅+，问题得解.【详解】因为,a b 为单位向量，所以1a b == 所以()2222221a b a ba ab b a b +=+=+⋅+=+⋅=解得：21a b ⋅=-所以()22223a b a ba ab b -=-=-⋅+=【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题. 36．5【分析】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果. 【详解】由a b ⊥可得0a b ⋅=， 又因为(1,1),(1,24)a b m m =-=+-， 所以1(1)(1)(24)0a b m m ⋅=⋅++-⋅-=， 即5m =， 故答案为：5.【点睛】本题考查有关向量运算问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，属于基础题目.37．85【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于λ的方程，解方程即可求得实数λ的值. 【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2450λ⨯-⨯=， 解方程可得：85λ=.故答案为：85.38．103-. 【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量c 的坐标，利用向量的数量积为零求得k 的值 【详解】()()()3,1,1,0,3,1a b c a kb k ==∴=+=+,(),33110a c a c k ⊥∴⋅=++⨯=，解得103k =-, 故答案为：103-. 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量()()1122,,,p x y q x y ==垂直的充分必要条件是其数量积12120x x y y +=.39．【分析】根据题目条件，利用a b -模的平方可以得出答案 【详解】△5a b -=△222229225a b a b a b b -=+-⋅=+-= △32b =.故答案为： 40．92-【分析】由已知可得()20a b c ++=，展开化简后可得结果.【详解】由已知可得()()()22222920a b ca b c a b b c c a a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅=+⋅+⋅+⋅=，因此，92a b b c c a ⋅+⋅+⋅=-.故答案为：92-. 41．11【分析】设a 与b 的夹角为θ，依题意可得1cos 3θ=，再根据数量积的定义求出a b ⋅，最后根据数量积的运算律计算可得．【详解】解：设a 与b 的夹角为θ，因为a 与b 的夹角的余弦值为13，即1cos 3θ=，又1a =，3b =，所以1cos 1313a b a b θ⋅=⋅=⨯⨯=，所以()22222221311a b b a b b a b b +⋅=⋅+=⋅+=⨯+=． 故答案为：11． 42．4i -【分析】利用复数的除法化简可得结果. 【详解】()()()()92i 2i 92i 205i4i 2i 2i 2i 5+-+-===-++-. 故答案为：4i -.43．35【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．【详解】因为()()()1,33,413,34a b λλλλ-=-=--，所以由()a b b λ-⊥可得， ()()3134340λλ-+-=，解得35λ=．故答案为：35．【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设()()1122,,,a x y b x y ==，121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=，注意与平面向量平行的坐标表示区分．44．34-##0.75-【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】由题意知：3(1)0a b m m ⋅=++=，解得34m =-.故答案为：34-.45．16 132【分析】可得120BAD ∠=，利用平面向量数量积的定义求得λ的值，然后以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设点(),0M x ，则点()1,0N x +（其中05x ≤≤），得出DM DN ⋅关于x 的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得DM DN ⋅的最小值. 【详解】AD BC λ=，//AD BC ∴，180120BAD B ∴∠=-∠=，cos120AB AD BC AB BC AB λλ⋅=⋅=⋅1363922λλ⎛⎫=⨯⨯⨯-=-=- ⎪⎝⎭，解得16λ=，以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy ，()66,0BC C =∴，,△3,60AB ABC =∠=︒，△A 的坐标为32A ⎛ ⎝⎭,△又△16AD BC =,则52D ⎛ ⎝⎭，设(),0M x ，则()1,0N x +（其中05x ≤≤），5,2DM x ⎛=- ⎝⎭，3,2DN x ⎛=- ⎝⎭，()222532113422222DM DN x x x x x ⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-+=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以，当2x =时，DM DN ⋅取得最小值132. 故答案为：16；132.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题. 46． 11120【分析】设BE x =，由222(2)44BE DF BE BE DF DF +=+⋅+可求出；将()DE DF DA +⋅化为关于x 的关系式即可求出最值. 【详解】设BE x =，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ABC 为边长为1的等边三角形，DE AB ⊥，30,2,,12BDE BD x DE DC x ∠∴====-，//DF AB ，DFC ∴为边长为12x -的等边三角形，DE DF ⊥，22222(2)4444(12)cos0(12)1BE DF BE BE DF DF x x x x ∴+=+⋅+=+-⨯+-=，|2|1BE DF +∴=，2()()()DE DF DA DE DF DE EA DE DF EA +⋅=+⋅+=+⋅222311)(12)(1)53151020x x x x x ⎛⎫=+-⨯-=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以当310x =时，()DE DF DA +⋅的最小值为1120.故答案为：1；1120.47．1-【分析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，求得点P 的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得PD 以及PB PD ⋅的值.【详解】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+=， 则点()2,1P ，()2,1PD ∴=-，()0,1PB =-，因此，(PD =-=()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=-.1-.【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点P 的坐标是解答的关键，考查计算能力，属于基础题. 48．3122b a - 6π【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出DE ，以{},a b 为基底，表示出,AB DE ，由AB DE ⊥可得2234b a b a +=⋅，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出． 法二：以点E 为原点建立平面直角坐标系，设(0,0),(1,0),(3,0),(,)E B C A x y ，由AB DE ⊥可得点A 的轨迹为以(1,0)M -为圆心，以2r =为半径的圆，方程为22(1)4x y ++=，即可根据几何性质可知，当且仅当CA 与M 相切时，C ∠最大，即求出． 【详解】方法一：31=22DE CE CD b a -=-，,(3)()0AB CB CA b a AB DE b a b a =-=-⊥⇒-⋅-=，2234b a a b +=⋅222333cos 244a b a b b a ACB a ba ba b⋅+⇒∠==≥=，当且仅当3a b =时取等号，而0πACB <∠<，所以(0,]6ACB π∠∈．故答案为：3122b a -；6π．方法二：如图所示，建立坐标系：(0,0),(1,0),(3,0),(,)E B C A x y ，3(,),(1,)22x yDE AB x y +=--=--， 23()(1)022x y DE AB x +⊥⇒-+=22(1)4x y ⇒++=，所以点A 的轨迹是以(1,0)M -为圆心，以2r =为半径的圆，当且仅当CA 与M 相切时，C ∠最大，此时21sin ,426r C C CM π===∠=．故答案为：3122b a-；6π．49．03【分析】根据坐标求出a b+，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.【详解】以,a b交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：则(2,1),(2,1),(0,1)a b c==-=，()4,0a b∴+=，()40010a b c+⋅=⨯+∴⨯=，()22113a b∴⋅=⨯+⨯-=.故答案为：0；3.。
高考数学平面向量及复数专项训练试题一、选择题（本题每小题5分，共60分）1．设向量(cos 23,cos67),(cos53,cos37),a b a b =︒︒=︒︒⋅=则 （ ）AB ．12C ．D ．12-2．如果复数212bi i-+（其中i 为虚数单位，b 为实数）的实部和虚部是互为相反数，那么b 等于（ ）A B ．23C ．2D ． 23-3．220041i i i ++++的值是 （ ） A ．0 B ．1- C ．1 D ．i 4．若(2,3)a =-, (1,2)b =-，向量c 满足c a ⊥,1b c ⋅=,则c 的坐标是 （ ） A ．(3,2)- B ．(3,2) C ．(3,2)-- D ．(3,2)- 5．使4()a i R +∈(i 为虚数单位）的实数a 有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个6．设e 是单位向量，3,3,3AB e CD e AD ==-=，则四边形ABCD 是（ ）A ．梯形B ．菱形C ．矩形D ．正方形7．已知O 、A 、B 三点的坐标分别为(0,0)O ，(3,0)A ，(0,3)B ，点P 在线段AB 上，且(0AP t AB =≤t ≤1),则OA OP ⋅的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．128．已知2,1a b ==，a 与b 的夹角为60︒，则使向量a b λ+与2a b λ-的夹角为钝角的实数λ的取值范围是 （ ）A ． (,1-∞--B ． (1)-++∞C ． (,1(13,)-∞--++∞D ． (11--+9．若z 为复数，下列结论正确的是 （ ）A ．若12,z z C ∈且120z z ->且12z z >B ．22z z =C ．若0,z z -=则z 为纯虚数D ．若2z 是正实数，那么z 一定是非零实数10．若sin 211)i θθ-++是纯虚数，则θ的值为 （ ） A ．2()4k k Z ππ-∈ B ．2()4k k Z ππ+∈ C ．2()4k k Z ππ±∈ D ．()24k k Z ππ+∈11．已知△ABC 的三个顶点的A 、B 、C 及平面内一点P 满足PA PB PC AB ++=，下列结论中正确的是 （ ） A ．P 在△ABC 内部 B ．P 在△ABC 外部 C ．P 在AB 边所在直线上 D ．P 是AC 边的一个三等分点 12．复数z 在复平面上对应的点在单位圆上，则复数21zz+ （ ）A ．是纯虚数B ．是虚数但不是纯虚数C ．是实数D ．只能是零 二、填空题（本题每小题4分，共16分）13．已知复数z 满足等式：2||212z zi i -=+，则z= .14．把函数)2245y x x =-+的图象按向量a 平移后，得到22y x =的图象，且a ⊥b ，(1,1)c =-，4b c ⋅=，则b =_____________。
平面向量题型1. 概念判析[例1]判断下列各命题是否正确(1)零向量没有方向 (2)若b a b a ==则, (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段(5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (6)若b a =，c b =，则c a=；(7)若b a r r //，c b//，则c a // (8)若四边形ABCD 是平行四边形,则DA BC CD B ==,A(9) b a =的充要条件是||||b a=且b a //；[解题思路]：正确理解向量的有关概念，以概念为判断依据，或通过举反例说明。
解析：解：(1) 不正确，零向量方向任意, (2) 不正确，说明模相等,还有方向 (3) 不正确，单位向量的模为1,方向很多 (4) 不正确，有向线段是向量的一种表示形式 (5)正确， （6）正确，向量相等有传递性 （7）不正确，因若0=b ，则不共线的向量c a ,也有0//a，c //0。
(8) 不正确, 如图DA BC CD B ≠=,A （9）不正确，当b a //，且方向相反时，即使||||b a=，也不能得到b a =；1． 判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.①向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D③任一向④四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是AB ＝DC⑤模为0⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB 、AC 在同一直线上.②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确.⑥不正确.如图AC 与BC 共线，虽起点不同，但其终点却相同.评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的BACPNM概念特征及相互关系必须把握好.2．下列命题正确的是（A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c B. C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ D.有相同起点的两个非零向量不平行解：由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B 不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C ，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C.3.已知a 、b 是两个不共线的向量，若它们起点相同，a 、21b 、t （a +b ）三向量的终点在一直线上，则实数t=_________. 【解析】如图, ∵a 、21b 、t （a +b ）三向量的终点在一直线上, ∴存在实数λ使:t （a +b ）—21b =λ（a —21b ）得（t —λ）a =（21—21λ—t ）b又∵a 、b 不共线，∴t —λ=0且21—21λ—t=0解得t=314．若已知1e 、2e 是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是 ( )A ．1e 与—2eB ．31e 与22eC ．1e ＋2e 与1e —2eD ．1e 与21e 答案：D考点二: 平面向量的坐标表示与运算 题型1: 向量加、减、数乘的坐标运算[例3] 已知A （—2,4）、B （3,—1）、C （—3,—4）且CA CM 3=,CB CN 2=,求点M 、N 的坐标及向量MN 的坐标.[解题思路]： 利用平面向量的基本本概念及其坐标表示求解。
平面向量、复数综合练习作者：谢洪涛来源：《中学课程辅导高考版·学生版》2012年第11期一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1.i是虚数单位，计算i+i2+i3=_________.2.平面向量a与b的夹角为60°，a=（2，0），|b|=1，则|a+2b|=_________.3.设两个非零向量a与b不共线，若ka+b和a+kb共线，则实数k=_________.4.i是虚数单位，复数-1+3i1+2i=_________.5.已知向量a=（1，2），b=（2，-3）.若向量c满足（c+a）∥b，c⊥（a+b），则c=_________.6.设复数z满足z（2-3i）=6+4i（i为虚数单位），则z的模为_________.7.在平行四边形ABCD中， E和F分别是边CD和BC的中点.若AC=λAE+μAF，其中λ，μ∈R，则λ+μ=_________.8.已知复数z1=-1+2i，z2=1-i，z3=3-2i，它们所对应的点分别为A，B，C.若OC=xOA+yOB（x，y∈R），则x+y的值是_________.9.已知向量a=（1，-2），b=（2，λ），且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是_________.10.定义运算：acbd=ad-bc，复数z满足zi1i=1+i，则z=_________.11.在三角形△ABC中，AB=3，BC=7，AC=2.若O是△ABC的外心，则OB·OC=_________.12.已知复数z满足|z-2|=1，则|z+2+5i|的最大值为_________，最小值为_________.13.设△ABC的内角为A、B、C，向量m=（sinA，32），n=（1，sinA+3cosA），若m∥n，则A=_________.14.如图在△ABC中，设AB=a，AC=b，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，若AP=ma+nb，则m+n=_________.二、解答题：本大题共6小题，共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分14分）已知z∈C，且|z|-i=z+2+3i（i为虚数单位），求z2+i.16.（本小题满分14分）已知向量a=（1，-2），b=（2，3）.（1）若（3a-b）∥（a+kb），求k的值；（2）若a⊥（ma-b），求m的值；（3）若a与b夹角为θ，求θ的正切值.17.（本小题满分14分）已知△ABC的面积S满足3≤S≤33，且AB·BC=6，AB与BC的夹角为θ.（1）求θ的取值范围；（2）求函数f（θ）=sin2θ+2sinθ·cosθ+3cos2θ的最大值.18.（本小题满分16分）设向量OZ=（log2（m2-3m-3），log2（m-2））（m∈R）对应的复数为z.（1）若OZ在虚轴上，求实数m的值及|OZ|；（2）若OZ在第二象限内移动，求m的取值范围；（3）若OZ的终点Z在直线x-2y+1=0上，求m的值.19.（本小题满分16分）已知向量a，b，满足|a|=1，|b|=1，|ka+b|=3|a-kb|，k>0，（1）用k表示a·b，并求a与b的夹角θ的最大值；（2）如果a∥b，求实数k的值.20.（本小题满分16分）在△OAB中，OC=14OA，OD=12OB，AD与BC交于点M，设OA=a，OB=b，（1）用a，b表示OM；（2）在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设OE=pOA，OF=qOB，求1p+3q的值.参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.1. -1.2. 23. 3. ±1.4. 1+i.5. （-79，-73）.6. 2.7. 43.8. 5. 9. （-∞，-4）∪（-4，1）. 10. 2-i. 11. -76. 12. 41+1，41-1.13. π3. 14. 67.二、解答题：本大题共6小题，共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分14分）解析：设z=x+yi （x，y∈R），代入得x2+y2-i=x-yi+2+3i，即x2+y2=x+2-1=-y+3，解得x=3y=4，所以z=3+4i，所以z2+i=3+4i2+i=（3+4i）（2-i）（2+i）（2-i）=2+i.16.（本小题满分14分）解析：（1）∵a=（1，-2），b=（2，3），∴3a-b=3（1，-2）-（2，3）=（1，-9），a+kb=（1，-2）+k（2，3）=（1+2k，-2+3k）.∵（3a-b）∥（a+kb），∴-9（1+2k）=-2+3k，∴k=-13.（2）∵ma-b=（m-2，-2m-3），由a⊥（ma-b），得1×（m-2）-2×（-2m-3）=0，∴m=-45.（3）∵a=（1，-2），b=（2，3），∴a·b=-4，|a|=5，|b|=13，∴cosθ=-465，∴sinθ=765，∴tanθ=-74.17.（本小题满分14分）解析：（1）由题意知：AB·BC=|AB||BC|cosθ=6，S=12|AB||BC|sin（π-θ）=12|AB||BC|sinθ=12|AB||BC|cosθtanθ=12×6tanθ=3tanθ∵3≤S≤33，∴3≤3tanθ≤33，∴1≤tanθ≤3又θ∈[0，π]，∴θ∈[π4，π3].（2）f（θ）=sin2θ+2sinθ·cosθ+3cos2θ=1+sin2θ+2cos2θ=sin2θ+cos2θ+2=2sin（2θ+π4）+2∵θ∈[π4，π3]，∴2θ+π4∈[3π4，11π12]，∴2θ+π4=3π4，即θ=π4时fmax=f（π4）=3.18.（本小题满分16分）解析：由题意得m应满足的条件为m2-3m-3>0m-2>0，解得m>3+212.（1）由题意知log2（m2-3m-3）=0，即m2-3m-3=1，解得m=-1或m=4.又m>3+212得m=4，此时OZ=（0，1），所以|OZ|=1；（2）由题意可得log2（m2-3m-3）0，解得33+212，所以m∈（3+212，4）.（3）由题意得log2（m2-3m-3）-2log2（m-2）+1=0，解得m=1+11或m=1-11，又m>3+212，所以m=1+11.19.（本小题满分16分）解析：（1）|ka+b|=3|a-kb|（ka+b）2=3（a-kb）2即∴k2a2+2ka·b+b2=3a2-6ka·b+3k2b2a·b=k2+14k∵a·b=14（k+1k）≥12，此时cosθ=a·b|a||b|=a·b≥12θmax=60°.（2）∵a∥b，∴a与b夹角为0°或180°a·b=|a||b|cosθ=±1|k2+14k|=1，又∵k>0，∴k2+1=4k k=2±3.20.（本小题满分16分）解析：（1）设OM=ma+nb，则AM=OM-OA=（m-1）a+nb，AD=OD-OA=-a+12b.∵点A、M、D共线，∴AM与AD共线，∴m-1-1=n12，∴m+2n=1. ①而CM=OM-OC=（m-14）a+nb，CB=OB-OC=-14a+b，∵C、M、B三点共线，∴CM与CB共线，∴m-14-14=n1，∴4m+n=1. ②联立①②可得m=17，n=37，∴OM=17a+37b.（2）证明：EM=（17-p）a+37b，EF=-pa+qb，∵EF与EM共线，∴17-p-p=37q.∴17q-pq=-37p，即17p+37q=1.1p+3q=7.。
高考数学关于平面对量、复数的专项练习试题高考数学关于平面对量、复数的专项练习试题勤奋是到达胜利彼岸的最近通道，胜利来自于勤奋。
下面是共享的高考数学关于平面对量、复数的专项练习试题，欢迎大家练习！一、选择题1.若复数z=m(m-1)+(m-1)(m-2)i是纯虚数，其中m是实数，i2=-1，则等于( )A. 1B.- 1C. 2D.-2答案：D 解题思路：因为复数z=m(m-1)+(m-1)·(m-2)i 是纯虚数，所以m(m-1)=0且(m-1)(m-2)≠0，所以m=0，则==-.2.设复数z=-i·sin θ，其中i为虚数单位，θR，则|z|的取值范围是( )A.[1，3 ]B.[-1，3]C.[1，2]D.[1，4 ]答案：D 命题立意：本题考查复数的运算及三角最值的求解，难度中等.解题思路：据已知得，原式=1-i-isin θ=1-(1+sin θ)i，故|z|=[1，]，当sin θ=-1,1时分别取得最小值与最大值.3.(呼和浩特第一次统考)已知a=(1,2)，b=(-2，m)，若a∥b，则|2a+3b|等于( )A. B.4 C.3 D.2答案：B 命题立意：本题考查向量的坐标运算，难度中等.解题思路：由a∥bm+4=0，解得m=-4，故2a+3b=2(1,2)+3(-2，-4)=(-4，-8)，因此|2a+3b|==4.4.已知向量a，b是夹角为60°的两个单位向量，向量a+λb(λR)与向量a-2b垂直，则实数λ的值为( )A.1B.-1C.2D.0答案：D 命题立意：本题主要考查平面对量数量积的运算与平面对量垂直的坐标运算.解题思路：由题意可知a·b=|a||b|cos 60°=，而(a+λb)(a-2b)，故(a+λb)·(a-2b)=0，即a2+λa·b-2a·b-2λb2=0，从而可得1+-1-2λ=0，即λ=0.5.已知A，B是单位圆上的动点，且|AB|=，单位圆的圆心为O，则·=( )A.-B.C.-D.答案：C 命题立意：本题以单位圆为依托，考查平面对量的数量积、平面对量的基本定理.解题思路：由题意知，单位圆的弦AB所对的圆心角AOB=120°，故·=·(-)=·-2=1×1×cos 120°-1=-.故选C.6.定义一种运算如下：=x1y2-x2y1，复数z=(i是虚数单位)的共轭复数是( )A.-1+(-1)iB.-1-(-1)iC.+1+(+1)iD.+1-(+1)i答案：B 命题立意：考查对新概念的理解及复数的运算，难度中等.解题思路：由题意，得z=(+i)i-(-1)(-i)=-1+(-1)i，共轭复数是-1-(-1)i，故选B.易错点拨：留意分析新定义的运算规则中字母的依次.7.在直角坐标系中，A(3,1)，B(-3，-3)，C(1,4)，P是和夹角平分线上的一点，且||=2，则的坐标是( )A. B.(-，)C. D.(-，1)答案：A 命题立意：本题考查向量的线性运算与坐标运算，正确地表示出的线性表达式是解答本题的关键，难度中等.解题思路：因为=(-6，-4)，=(-2,3)，由点P是角平分线上的一点，故=λ=λ=λ，即||2=λ2×=2λ2=4，解得λ=，故==，故选A.8.在矩形ABCD中，AB=1，AD=，P为矩形内一点，且AP=.若=λ+μ(λ，μR)，则λ+μ的`最大值为( )A. B.C. D.答案：B 命题立意：本题考查向量数量积的运算及均值不等式的应用，难度中等.解题思路：据已知||2=(λ+μ)22=λ2+3μ2，整理变形得(λ+μ)2-2λμ=，据均值不等式可得(λ+μ)2-22≤，解得λ+μ≤，故选B.9.已知ABC中，AB=AC=2，BC=2，点P为边BC所在直线上的一个动点，则关于·(+)的值，正确的是( )A.最大值为4B.为定值2C.最小值为1D.与P的位置有关答案：B 命题立意：本题考查向量的运算，难度中等.解题思路：利用向量的运算法则求解.取BC的中点D，连接AD，则·(+)=2·=2||2=2，故选B.举一反三：平面几何图形中的向量问题要充分应用图象的几何特征，一般解法有建系法和基底法两种.10.对于单位向量a1，a2，“a1=”是“a1+a2=(，1)”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案：B 命题立意：本题考查了平面对量的概念及坐标运算公式、充要条件的推断问题，属推理与分析实力考查题型，难度较大.解题思路：a1，a2均为单位向量，若a1+a2=(，1)，则a1=a2=，反之，若a1=，则a1+a2=(，1)不肯定成立，由此可得“a1=”是“a1+a2=(，1)”的必要不充分条件，故选B.易错点拨：充要条件的推断须要通过命题的正反角度分别推理，正确推断两个命题的真假方可得出正确的结论.二、填空题11.已知向量a=(k，-2)，b=(2,2)，a+b为非零向量，若a(a+b)，则k=________.答案：0 命题立意：本题考查向量的坐标运算与数量积，难度中等.解题思路：依题意得a+b=(k+2,0)≠0，即k+2≠0，(a+b)·a=k(k+2)=0，因此k=0.12.如图，在长方形ABCD中，AB=2，BC=4，点E为BC的中点，点F在边CD上.若·=2，则·的值是________.答案：6 命题立意：本题主要考查平面对量的坐标运算，意在考查考生的运算实力.解题思路：以B为坐标原点，BC，BA所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则由题意知A(0,2)，B(0,0)，C(4,0)，D(4,2)，E(2,0)，设F(4，m)，其中0≤m≤2，则=(0，-2)，=(4，m-2).·=2，-2(m-2)=2，m=1，F(4,1)，=(4,1).又=(2，-2)，·=8-2=6.13.在ABC中，B=60°，O为ABC的外心，P为劣弧AC 上一动点，且=x+y(x，yR)，则x+y的取值范围为________.答案：[1,2] 命题立意：本题考查向量的数量积运算及均值不等式的应用，难度中等.解题思路：据已知得2=x22+2xy·+y22，即1=x2+y2-xy=(x+y)2-3xy，x+y=，由P为劣弧AC上一动点知x≥0且y≥0(等号不能同时取得)，从而x+y≥1(x，y中恰有一个为0时取等号).又据均值不等式得x+y=≤(x0，y0)，解得014.设G为ABC的重心，若ABC所在平面内一点P满意+2+2=0，则的值等于________.答案：2 命题立意：本题考查平面对量的线性运算及数形结合思想，难度中等.解题思路：取BC的中点D，由已知+2+2=0得=2(+)=4，说明P，A，D三点共线，即点P在BC边的中线上，且||=4||，如图所示，故|A|=|A|，||=|A|，因此=×=2.15.(东北四市二次联考)对于命题：若O是线段AB上一点，则有||·+||·=0.将它类比到平面的情形是：若O是ABC内一点，则有SOBC·+SO CA·+SOBA·=0.将它类比到空间的状况应当是：若O是四面体ABCD内一点，则有_________________________.答案：VO-BCD·+VO-ACD·+VO-ABD·+VO-ABC·=0命题立意：本题考查了类比推理及推理证明问题，从平面到空间的类比推理是新课标高考中常见的类比推理题型的命题方式.解题思路：由线段到平面，线段的长类比为面积，由平面到空间，面积可类比为体积，由此可以类比得一命题为，若O是四面体ABCD内一点，则有VO-BCD·+VO-ACD·+VO-ABD·+VO-ABC·=0.。
平面向量的数量积考试要求 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题．知识梳理 1．向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a 与b 的夹角． 2．平面向量的数量积已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，我们把数量|a ||b |cos θ叫做向量a 与b 的数量积，记作a ·b .3．平面向量数量积的几何意义设a ，b 是两个非零向量，它们的夹角是θ，e 与b 是方向相同的单位向量，AB →＝a ，CD →＝b ，过AB →的起点A 和终点B ，分别作CD →所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到A 1B 1—→，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，A 1B 1—→叫做向量a 在向量b 上的投影向量．记为|a |cos θe . 4．向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a .(2)(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )． (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c . 5．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.几何表示 坐标表示数量积 a·b ＝|a ||b |cos θa·b ＝x 1x 2＋y 1y 2模|a |＝a ·a|a |＝x 21＋y 21夹角cos θ＝a ·b|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22a ⊥b 的充要条件 a ·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝0 a∥b 的充要条件a ＝λb (λ∈R )x 1y 2－x 2y 1＝0|a ·b |与|a ||b |的关系|a ·b |≤|a ||b | (当且仅当a ∥b 时等号成立)|x 1x 2＋y 1y 2|≤x 21＋y 21x 22＋y 22常用结论1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2； (2)(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2. 2．有关向量夹角的两个结论 已知向量a ，b .(1)若a 与b 的夹角为锐角，则a·b >0；若a·b >0，则a 与b 的夹角为锐角或0. (2)若a 与b 的夹角为钝角，则a·b <0；若a·b <0，则a 与b 的夹角为钝角或π. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个向量的夹角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.( × )(2)若a ·b >0，则a 和b 的夹角为锐角．( × )(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．( √ ) (4)(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．( × ) 教材改编题1．(多选)(2022·海南省临高二中模拟)设a ，b ，c 是任意的非零向量，则下列结论正确的是( ) A ．0·a ＝0B ．a ·b ＝b ·c ，则a ＝cC ．a ·b ＝0⇒a ⊥bD ．(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2答案 CD2．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 答案 2 33．已知向量a ，b 满足3|a |＝2|b |＝6，且(a －2b )⊥(2a ＋b )，则a ，b 夹角的余弦值为________．9解析 设a ，b 的夹角为θ， 依题意，(a －2b )·(2a ＋b )＝0， 则2a 2－3a ·b －2b 2＝0，故2×4－3×2×3·cos θ－2×32＝0， 则cos θ＝－59.题型一 平面向量数量积的基本运算例1 (1)(2021·北京)a ＝(2,1)，b ＝(2，－1)，c ＝(0,1)，则(a ＋b )·c ＝_________；a ·b ＝________. 答案 0 3解析 ∵a ＝(2,1)，b ＝(2，－1)，c ＝(0,1)， ∴a ＋b ＝(4,0)，∴(a ＋b )·c ＝4×0＋0×1＝0，a ·b ＝2×2＋1×(－1)＝3.(2)(2022·广州模拟)在平面四边形ABCD 中，已知AB →＝DC →，P 为CD 上一点，CP →＝3PD →，|AB →| ＝4，|AD →|＝3，AB →与AD →的夹角为θ，且cos θ＝23，则AP →·PB →＝________.答案 －2 解析 如图所示，∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 为平行四边形， ∵CP →＝3PD →，∴AP →＝AD →＋DP →＝14AB →＋AD →，PB →＝AB →－AP →＝34AB →－AD →，又∵|AB →|＝4，|AD →|＝3，3则AB →·AD →＝4×3×23＝8，∴AP →·PB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋14AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫34AB →－AD →＝12AB →·AD →－AD →2＋316AB →2＝12×8－9＋316×42＝－2. 教师备选1．(2019·全国Ⅱ)已知AB →＝(2,3)，AC →＝(3，t )，|BC →|＝1，则AB →·BC →等于( ) A ．－3B ．－2C ．2D ．3 答案 C解析 因为BC →＝AC →－AB →＝(1，t －3)， 所以|BC →|＝12＋t －32＝1，解得t ＝3， 所以BC →＝(1,0)，所以AB →·BC →＝2×1＋3×0＝2.2．在边长为2的正三角形ABC 中，M 是BC 的中点，D 是线段AM 的中点．①若BD →＝xBA →＋yBC →，则x ＋y ＝________；②BD →·BM →＝________. 答案 341解析 ①∵M 是BC 的中点， ∴BM →＝12BC →，∵D 是AM 的中点，∴BD →＝12BA →＋12BM →＝12BA →＋14BC →，∴x ＝12，y ＝14，∴x ＋y ＝34.②∵△ABC 是边长为2的正三角形，M 是BC 的中点， ∴AM ⊥BC ，且BM ＝1，∴BD →·BM →＝|BD →||BM →|cos∠DBM ＝|BM →|2＝1.思维升华 计算平面向量数量积的主要方法 (1)利用定义：a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)利用坐标运算，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. (3)灵活运用平面向量数量积的几何意义．跟踪训练1 (1)(2021·新高考全国Ⅱ)已知向量a ＋b ＋c ＝0，|a |＝1，|b |＝|c |＝2，a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝________. 答案 －92解析 由已知可得(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a ) ＝9＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝0， 因此a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝－92.(2)(2020·北京)已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足AP →＝12(AB →＋AC →)，则|PD →|＝________；PB →·PD →＝________. 答案5 －1解析 建立如图所示的平面直角坐标系，∵AP →＝12(AB →＋AC →)，∴P 为BC 的中点．∴点P 的坐标为(2,1)，点D 的坐标为(0,2)，点B 的坐标为(2,0)， ∴|PD →|＝5，PB →＝(0，－1)，PD →＝(－2,1)， ∴PB →·PD →＝－1.题型二 平面向量数量积的应用 命题点1 向量的模例2 已知向量a ，b 满足|a |＝6，|b |＝4，且a 与b 的夹角为60°，则|a ＋b |＝____________，|a －3b |＝________. 答案 219 6 3解析 因为|a |＝6，|b |＝4，a 与b 的夹角为60°，所以a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝6×4×12＝12，(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝36＋24＋16＝76， (a －3b )2＝a 2－6a·b ＋9b 2＝36－72＋144 ＝108，所以|a ＋b |＝219，|a －3b |＝6 3. 命题点2 向量的夹角例3 (2020·全国Ⅲ)已知向量a ，b 满足|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，则cos 〈a ，a ＋b 〉等于( )A ．－3135B ．－1935C.1735D.1935答案 D解析 ∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝25－12＋36＝49， ∴|a ＋b |＝7，∴cos〈a ，a ＋b 〉＝a ·a ＋b |a ||a ＋b |＝a 2＋a ·b |a ||a ＋b |＝25－65×7＝1935. 命题点3 向量的垂直例4 (2021·全国乙卷)已知向量a ＝(1,3)，b ＝(3,4)，若(a －λb )⊥b ，则λ＝________. 答案 35解析 方法一 a －λb ＝(1－3λ，3－4λ)， ∵(a －λb )⊥b ，∴(a －λb )·b ＝0， 即(1－3λ，3－4λ)·(3,4)＝0， ∴3－9λ＋12－16λ＝0，解得λ＝35.方法二 由(a －λb )⊥b 可知，(a －λb )·b ＝0，即a ·b －λb 2＝0， 从而λ＝a ·b b 2＝1，3·3，432＋42＝1525＝35. 教师备选1．已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6 答案 B解析 设a 与b 的夹角为α， ∵(a －b )⊥b ， ∴(a －b )·b ＝0， ∴a ·b ＝b 2，∴|a |·|b |cos α＝|b |2，又|a |＝2|b |， ∴cos α＝12，∵α∈[0，π]，∴α＝π3.2．已知e 1，e 2是两个单位向量，且|e 1＋e 2|＝3，则|e 1－e 2|＝________. 答案 1解析 由|e 1＋e 2|＝3，两边平方， 得e 21＋2e 1·e 2＋e 22＝3.又e 1，e 2是单位向量， 所以2e 1·e 2＝1，所以|e 1－e 2|2＝e 21－2e 1·e 2＋e 22＝1， 所以|e 1－e 2|＝1.思维升华 (1)求平面向量的模的方法①公式法：利用|a |＝a ·a 及(a ±b )2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2，把向量的模的运算转化为数量积运算；②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量线性运算的平行四边形法则或三角形法则作出所求向量，再利用余弦定理等方法求解． (2)求平面向量的夹角的方法①定义法：cos θ＝a·b|a ||b |，求解时应求出a ·b ，|a |，|b |的值或找出这三个量之间的关系；②坐标法．(3)两个向量垂直的充要条件a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a －b |＝|a ＋b |(其中a ≠0，b ≠0)．跟踪训练2 (1)已知单位向量a ，b 满足a ·b ＝0，若向量c ＝7a ＋2b ，则sin 〈a ，c 〉等于( ) A.73B.23C.79D.29答案 B解析 方法一 设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，则c ＝(7，2)，∴cos〈a ，c 〉＝a ·c |a ||c |＝73，∴sin〈a ，c 〉＝23. 方法二 a ·c ＝a ·(7a ＋2b ) ＝7a 2＋2a ·b ＝7， |c |＝7a ＋2b2＝7a 2＋2b 2＋214a ·b ＝7＋2＝3，∴cos〈a ，c 〉＝a ·c |a ||c |＝71×3＝73，∴sin〈a ，c 〉＝23. (2)(多选)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O 为坐标原点，点P 1(cos α，sin α)，P 2(cos β，－sin β)，P 3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A (1,0)，则( ) A ．|OP 1—→|＝|OP 2—→| B ．|AP 1—→|＝|AP 2—→| C.OA →·OP 3—→＝OP 1—→·OP 2—→ D.OA →·OP 1—→＝OP 2—→·OP 3—→ 答案 AC解析 由题意可知，|OP 1—→|＝cos 2α＋sin 2α＝1， |OP 2—→|＝cos 2β＋－sin β2＝1，所以|OP 1—→|＝|OP 2—→|，故A 正确； 取α＝π4，则P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，取β＝5π4，则P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22， 则|AP 1—→|≠|AP 2—→|，故B 错误； 因为OA →·OP 3—→＝cos(α＋β)，OP 1—→·OP 2—→＝cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)，所以OA →·OP 3—→＝OP 1—→·OP 2—→，故C 正确； 因为OA →·OP 1—→＝cos α，OP 2—→·OP 3—→＝cos βcos(α＋β)－sin βsin(α＋β) ＝cos(α＋2β)， 取α＝π4，β＝π4，则OA —→·OP 1—→＝22，OP 2—→·OP 3—→＝cos 3π4＝－22，所以OA →·OP 1—→≠OP 2—→·OP 3—→，故D 错误． 题型三 平面向量的实际应用例5 (多选)(2022·东莞模拟)在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况(如图所示)．假设行李包所受的重力为G ，所受的两个拉力分别为F 1，F 2，若|F 1|＝|F 2|，且F 1与F 2的夹角为θ，则以下结论正确的是( )A ．|F 1|的最小值为12|G |B ．θ的范围为[0，π]C ．当θ＝π2时，|F 1|＝22|G |D ．当θ＝2π3时，|F 1|＝|G |答案 ACD解析 由题意知，F 1＋F 2＋G ＝0， 可得F 1＋F 2＝－G ，两边同时平方得 |G |2＝|F 1|2＋|F 2|2＋2|F 1||F 2|cos θ ＝2|F 1|2＋2|F 1|2cos θ， 所以|F 1|2＝|G |221＋cos θ.当θ＝0时，|F 1|min ＝12|G |；当θ＝π2时，|F 1|＝22|G |；当θ＝2π3时，|F 1|＝|G |，故A ，C ，D 正确；当θ＝π时，竖直方向上没有分力与重力平衡，不成立，所以θ∈[0，π)，故B 错误． 教师备选若平面上的三个力F 1，F 2，F 3作用于一点，且处于平衡状态，已知|F 1|＝1 N ，|F 2|＝6＋22N ，F 1与F 2的夹角为45°，求：(1)F 3的大小；(2)F 3与F 1夹角的大小． 解 (1)∵三个力平衡， ∴F 1＋F 2＋F 3＝0，∴|F 3|＝|F 1＋F 2|＝|F 1|2＋2F 1·F 2＋|F 2|2＝12＋2×1×6＋22cos45°＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋222＝4＋23＝1＋ 3.(2)方法一 设F 3与F 1的夹角为θ， 则|F 2|＝|F 1|2＋|F 3|2＋2|F 1||F 3|cos θ， 即6＋22＝12＋1＋32＋2×1×1＋3cos θ，解得cos θ＝－32， ∵θ∈[0，π]， ∴θ＝5π6.方法二 设F 3与F 1的夹角为θ， 由余弦定理得cos(π－θ)＝12＋1＋32－⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋2222×1×1＋3＝32，∵θ∈[0，π]，∴θ＝5π6.思维升华 用向量方法解决实际问题的步骤跟踪训练3 (2022·沈阳二中模拟)渭河某处南北两岸平行，如图所示，某艘游船从南岸码头A 出发航行到北岸，假设游船在静水中航行速度的大小为|ν1|＝10km/h ，水流速度的大小为|ν2|＝6km/h.设ν1与ν2的夹角为120°，北岸的点A ′在码头A 的正北方向，那么该游船航行到北岸的位置应( )A ．在A ′东侧B ．在A ′西侧C ．恰好与A ′重合D ．无法确定答案 A解析 建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得ν1＝(－5，53)，ν2＝(6,0)， 所以ν1＋ν2＝(1,53)，说明游船有x 轴正方向的速度，即向东的速度，所以该游船航行到北岸的位置应在A ′东侧．极化恒等式：设a ，b 为两个平面向量，则有恒等式a ·b ＝14[]a ＋b2－a －b2.如图所示．(1)在平行四边形ABDC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，则a·b ＝14(|AD →|2－|BC →|2)．(2)在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，AM 为中线，则a·b ＝|AM →|2－14|BC →|2.例1 在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________. 答案 －16解析 如图所示，由极化恒等式，易得AB →·AC →＝AM →2－MB →2＝32－52＝－16.例2 已知AB 为圆x 2＋y 2＝1的一条直径，点P 为直线x －y ＋2＝0上任意一点，则PA →·PB →的最小值是________． 答案 1解析 如图所示，由极化恒等式易知，当OP 垂直于直线x －y ＋2＝0时，PA →·PB →有最小值，即PA →·PB →＝PO →2－OB →2＝(2)2－12＝1.例3 已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( ) A ．1B ．2C.2D.22答案 C解析 如图所示，设OA →⊥OB →，记OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，M 为AB 的中点，由极化恒等式有(a －c )·(b －c )＝CA →·CB →＝|CM →|2－|AB →|24＝0，∴|CM →|2＝|AB →|24＝12，可知MC →是有固定起点，固定模长的动向量．点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，且点O 也在此圆上， 所以|c |的最大值为圆的直径长，即为 2.课时精练1．(2020·全国Ⅱ)已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是( ) A ．a ＋2b B ．2a ＋b C ．a －2b D ．2a －b 答案 D解析 由题意得|a |＝|b |＝1， 设a ，b 的夹角为θ＝60°， 故a ·b ＝|a ||b |cos θ＝12.对A 项，(a ＋2b )·b ＝a ·b ＋2b 2＝12＋2＝52≠0； 对B 项，(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b 2 ＝2×12＋1＝2≠0；对C 项，(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2 ＝12－2＝－32≠0； 对D 项，(2a －b )·b ＝2a ·b －b 2＝2×12－1＝0.2．(2022·石家庄模拟)已知向量a ＝(2，－2)，b ＝(2,1)，b ∥c ，a ·c ＝4，则|c |等于( ) A ．2 5 B ．4 C ．5 2 D ．4 2答案 A解析 因为b ∥c ，所以c ＝λb ＝(2λ，λ)(λ∈R )， 又a ·c ＝4λ－2λ＝2λ＝4，所以λ＝2，c ＝(4,2)，|c |＝42＋22＝2 5.3．(2022·沈阳模拟)若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则a －b 与b 的夹角为( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6 答案 D解析 |a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，等号左右同时平方，得|a ＋b |2＝|a －b |2＝4|a |2，即|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝4|a |2， 所以a ·b ＝0且|b |2＝3|a |2， 所以|a －b |＝|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝233|b |，所以cos 〈a －b ，b 〉＝a －b ·b|a －b ||b |＝－|b |2233|b |·|b |＝－32， 因为〈a －b ，b 〉∈[0，π]，所以〈a －b ，b 〉＝5π6.4．已知a ＝(－2,1)，b ＝(k ，－3)，c ＝(1,2)，若(a －2b )⊥c ，则与b 共线的单位向量为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫255，－55或⎝ ⎛⎭⎪⎫－255，55B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－255，－55或⎝ ⎛⎭⎪⎫255，55C.⎝⎛⎭⎪⎫255，55 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－255，55答案 A解析 由题意得a －2b ＝(－2－2k ,7)， ∵(a －2b )⊥c ， ∴(a －2b )·c ＝0，即(－2－2k ,7)·(1,2)＝0，－2－2k ＋14＝0， 解得k ＝6， ∴b ＝(6，－3)， ∴e ＝±b62＋－32＝±⎝ ⎛⎭⎪⎫255，－55.5．(多选)(2022·盐城模拟)下列关于向量a ，b ，c 的运算，一定成立的有( ) A ．(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c B ．(a ·b )·c ＝a ·(b ·c ) C ．a ·b ≤|a |·|b | D ．|a －b |≤|a |＋|b | 答案 ACD解析 根据数量积的分配律可知A 正确；选项B 中，左边为c 的共线向量，右边为a 的共线向量，故B 不正确； 根据数量积的定义，可知a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉≤|a |·|b |，故C 正确；|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝|a |2＋|b |2－2|a ||b |·cos〈a ，b 〉≤|a |2＋|b |2＋2|a ||b |＝(|a |＋|b |)2，故|a －b |≤|a |＋|b |，故D 正确．6．(多选)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(m －2，－n )，其中m ，n 均为正数，且(a －b )∥c ，则下列说法正确的是( ) A ．a 与b 的夹角为钝角 B ．向量a 在b 上的投影向量为22b C ．2m ＋n ＝4 D ．mn 的最大值为2 答案 CD解析 对于A ，向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－1)， 则a·b ＝2－1＝1>0， 又a ，b 不共线，所以a ，b 的夹角为锐角，故A 错误； 对于B ，向量a 在b 上的投影向量为a·b |b |·b |b |＝12b ，B 错误；对于C ，a －b ＝(1,2)，若(a －b )∥c ，则－n ＝2(m －2)，变形可得2m ＋n ＝4，C 正确； 对于D ，由2m ＋n ＝4，且m ，n 均为正数，得mn ＝12(2m ·n )≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋n 22＝2，当且仅当m ＝1，n ＝2时，等号成立，即mn 的最大值为2，D 正确．7．(2021·全国甲卷)已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,0)，c ＝a ＋k b .若a ⊥c ，则k ＝________. 答案 －103解析 c ＝(3,1)＋(k ,0)＝(3＋k ,1)，a ·c ＝3(3＋k )＋1×1＝10＋3k ＝0，得k ＝－103.8．(2020·全国Ⅰ)设a ，b 为单位向量，且|a ＋b |＝1，则|a －b |＝________. 答案3解析 将|a ＋b |＝1两边平方，得a 2＋2a ·b ＋b 2＝1. ∵a 2＝b 2＝1，∴1＋2a ·b ＋1＝1，即2a ·b ＝－1. ∴|a －b |＝a －b2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－－1＋1＝ 3.9．(2022·长沙模拟)在△ABC 中，BC 的中点为D ，设向量AB →＝a ，AC →＝b . (1)用a ，b 表示向量AD →；(2)若向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，〈a ，b 〉＝60°，求AB →·AD →的值． 解 (1)AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b ， 所以AD →＝12a ＋12b .(2)AB →·AD →＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b＝12a 2＋12a·b ＝12×32＋12×3×2×cos60°＝6， 所以AB →·AD →＝6.10．(2022·湛江模拟)已知向量m ＝(3sin x ，cos x －1)，n ＝(cos x ，cos x ＋1)，若f (x )＝m·n .(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在Rt△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若∠A ＝90°，f (C )＝0，c ＝3，CD 为∠BCA 的角平分线，E 为CD 的中点，求BE 的长． 解 (1)f (x )＝m·n ＝3sin x ·cos x ＋cos 2x －1 ＝32sin2x ＋12cos2x －12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－12.令2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，则x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． 所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)f (C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6－12＝0，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝12，又C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以C ＝π3.在△ACD 中，CD ＝233，在△BCE 中，BE ＝22＋⎝⎛⎭⎪⎫332－2×2×33×32＝213.11．(2022·黄冈质检)圆内接四边形ABCD 中，AD ＝2，CD ＝4，BD 是圆的直径，则AC →·BD →等于( ) A ．12 B ．－12 C ．20 D ．－20答案 B解析 如图所示，由题知∠BAD ＝∠BCD ＝90°，AD ＝2，CD ＝4，∴AC →·BD →＝(AD →＋DC →)·BD → ＝AD →·BD →＋DC →·BD →＝|AD →||BD →|cos∠BDA －|DC →||BD →|cos∠BDC ＝|AD →|2－|DC →|2＝4－16＝－12.12．在△ABC 中，已知⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．三边均不相等的三角形 答案 A解析 AB→|AB →|，AC→|AC →|分别为与AB →，AC →方向相同的单位向量，由平行四边形法则可知向量AB →|AB →|＋AC→|AC →|所在的直线为∠BAC 的平分线．因为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0， 所以∠BAC 的平分线垂直于BC ， 所以AB ＝AC .又AB→|AB →|·AC→|AC →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB →|AB →|⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AC →|AC →|·cos∠BAC ＝12， 所以cos∠BAC ＝12，∠BAC ＝60°.所以△ABC 为等边三角形．13.(2022·潍坊模拟)如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F 1，F 2，且F 1，F 2与水平夹角均为45°，|F 1|＝|F 2|＝102N ，则物体的重力大小为________N.答案 20解析 如图所示，∵|F 1|＝|F 2|＝102N ， ∴|F 1＋F 2|＝102×2＝20N ， ∴物体的重力大小为20N.14．(2021·天津)在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE ⊥AB 且交AB 于点E ，DF ∥AB 且交AC 于点F ，则|2BE →＋DF →|的值为________；(DE →＋DF →)·DA →的最小值为________． 答案 11120解析 设BE ＝x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12， ∵△ABC 为边长为1的等边三角形，DE ⊥AB ， ∴∠BDE ＝30°，BD ＝2x ，DE ＝3x ，DC ＝1－2x ，∵DF ∥AB ，∴△DFC 为边长为1－2x 的等边三角形，DE ⊥DF ，∴(2BE →＋DF →)2＝4BE →2＋4BE →·DF →＋DF →2＝4x 2＋4x (1－2x )×cos0°＋(1－2x )2＝1， ∴|2BE →＋DF →|＝1，∵(DE →＋DF →)·DA →＝(DE →＋DF →)·(DE →＋EA →)＝DE →2＋DF →·EA →＝(3x )2＋(1－2x )×(1－x )＝5x 2－3x ＋1＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3102＋1120， ∴当x ＝310时，(DE →＋DF →)·DA →的最小值为1120.15．(多选)定义一种向量运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·b ，当a ，b 不共线时，|a －b |，当a ，b 共线时(a ，b 是任意的两个向量)．对于同一平面内的向量a ，b ，c ，e ，给出下列结论，正确的是( ) A ．a ⊗b ＝b ⊗aB ．λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b (λ∈R )C ．(a ＋b )⊗c ＝a ⊗c ＋b ⊗cD ．若e 是单位向量，则|a ⊗e |≤|a |＋1 答案 AD解析 当a ，b 共线时，a ⊗b ＝|a －b |＝|b －a |＝b ⊗a ，当a ，b 不共线时，a ⊗b ＝a ·b ＝b ·a ＝b ⊗a ，故A 正确；当λ＝0，b ≠0时，λ(a ⊗b )＝0，(λa )⊗b ＝|0－b |≠0，故B 错误；当a ＋b 与c 共线时，则存在a ，b 与c 不共线，(a ＋b )⊗c ＝|a ＋b －c |，a ⊗c ＋b ⊗c ＝a ·c ＋b ·c ，显然|a ＋b －c |≠a ·c ＋b ·c ，故C 错误；当e 与a 不共线时，|a ⊗e |＝|a ·e |<|a |·|e |<|a |＋1，当e 与a 共线时，设a ＝u e ，u ∈R ，|a ⊗e |＝|a －e |＝|u e －e |＝|u －1|≤|u |＋1，故D 正确．16．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝ (cos B ，cos A )，m ·n ＝sin2C . (1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求c . 解 (1)m ·n ＝sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin(A ＋B )，在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ,0<C <π， 所以sin(A ＋B )＝sin C ， 所以m·n ＝sin C ， 又m·n ＝sin2C ，所以sin2C ＝sin C ，cos C ＝12，又因为C ∈(0，π)，故C ＝π3. (2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列， 可得2sin C ＝sin A ＋sin B ， 由正弦定理得2c ＝a ＋b .21 因为CA →·(AB →－AC →)＝18， 所以CA →·CB →＝18，即ab cos C ＝18，ab ＝36. 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ， 所以c 2＝4c 2－3×36，c 2＝36， 所以c ＝6.。
