教案2：5.2弧度制

§5.2 弧度制 导学案目标要求：通过探究使学生认识到角度值和弧度制都是度量角的制度，通过总结引入弧度制的好处，学会归纳整理并认识到任何新知识的学习，都会为解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣；培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物。

重点：理解弧度制的意义，并能进行角度和弧度的换算。

难点：弧度的概念及其与角度的关系。

学习过程一、自主学习：预习教材完成下列问题：1.在初中几何里，我们学习过角的度量， 1度的角是怎样定义的呢？2. 除了用角度度量外，还有没有其它度量角的办法呢？3.什么是1弧度的角？其单位是什么？4.角度与弧度的转化：360=rad 180= rad90= rad60= rad1= rad ≈ rad 1rad= ≈ =3.什么叫弧度制？4.弧长公式： l= =二、合作探究：1.把下列各角从度化成弧度.（1）135； （2）90； （3）60； （4）45；2.把下列各角从弧度化成度.（1）2π ； （2） ； （3）； （4）。

3.时间经过4h,时针、分针各转了多少度？各等于多少弧度？三、精讲点拨3602π= rad 180π=r a d 1801π=︒rad 0.01745≈rad 1rad =︒)180(π5718'≈例1、把下列各角从度化为弧度： (1)0252 （2）0/1115变式练习 把下列各角从度化为弧度：(1)22 º30′ （2）—210º (3)1200º (4) 030 (5)'3067︒ 例2、把下列各角从弧度化为度： （1）35π (2) 3.5变式练习：把下列各角从弧度化为度： （1）12π（2）—34π （3）103π(4)4π(5) 2归纳：把角从弧度化为度的方法是：把角从度化为弧度的方法是：四、当堂检测:1、把下列各角化为0-2π间的角加上2k π（ k 是整数）的形式，并指出它们是哪个象限的角。

弧度制教案及教学设计一、教学目标1.知识目标（1）了解弧度的定义及计算方法。

（2）掌握角度与弧度的转换方法。

（3）熟练运用弧度制进行角度计算。

2.技能目标（1）能正确地将角度转换为弧度。

（2）能够运用弧度制进行角度计算。

（3）能够解决与弧度相关的问题。

3.情感目标（1）培养学生的数学思维，提高学生的数学解决问题的能力。

（2）让学生体验到数学知识的应用，增强对数学的兴趣。

二、教学重点与难点1.教学重点（1）弧度的定义及计算方法。

（2）角度与弧度的转换方法。

（3）运用弧度制进行角度计算。

2.教学难点（1）角度与弧度的转换方法。

（2）实际问题中的弧度计算。

三、教学过程设计1.情境引入（1）引导学生观察钟表上的时针、分针、秒针的运动。

（2）引导学生发现钟表上的角度变化与弧度的关系。

（3）导入问题：若钟表的时针向前走10分钟，分针向前走150度，秒针向前走300度，问它们所走的弧度分别是多少？2.知识讲解（1）通过实际钟表运动的情境，引入角度的概念。

（2）讲解角度的转换：1圆周角＝2π弧度，1度＝π/180弧度。

（3）讲解弧度的计算公式：弧长=弧度×半径。

3.分组探究（1）将学生分为小组，每个小组分配一部分问题：如若钟表的秒针向前走300度，它所走的弧度是多少？（2）让学生利用所学知识进行探究，并展示结果。

4.知识总结（1）让学生就弧度的定义、计算方法和角度、弧度的转化方法进行总结归纳。

（2）板书总结的要点，并提示学生记下并复习。

5.拓展应用（1）将学生分为小组，给定不同的实际问题，要求学生将角度转换为弧度，并计算相关的长度。

（2）小组展示结果，并进行讨论和解答。

6.总结反思（1）师生共同总结本节课所学的知识内容。

（2）评价学生的掌握程度，并对下节课的学习进行引导和安排。

四、教学反思在教学过程中，通过情境引入，让学生主动参与角度与弧度的探究，培养了学生的数学思维，增强了他们的学习兴趣。

在小组探究环节，让学生通过讨论、合作解决问题，激发了他们的学习动力，并增强了沟通能力和团队合作能力。

5.1.2弧度制【教学目标】1．了解弧度制．2．能进行角度与弧度的互化．3．能利用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式进行求解．【要点梳理】1．角的单位制(1)角度制规定1度的角等于周角的1360，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．(2)弧度制我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度．在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，那么|α|＝l r.一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 2．角度与弧度的换算3．扇形的弧长公式及面积公式温馨提示：(1)运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公式简单得多，但要注意它的前提是α为弧度制．(2)在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用：①l ＝|α|·r ，|α|＝l r ，r ＝l |α|；②S ＝12|α|r 2，|α|＝2S r 2. 【思考诊断】1．在大小不同的圆中，长为1的弧所对的圆心角相等吗？[答案] 不相等．这是因为长为1的弧是指弧的长度为1，在大小不同的圆中，由于半径不同，所以圆心角也不同2．扇形的面积公式与哪个平面图形的面积公式类似？对应的图形是否也类似？[答案] 扇形的面积公式与三角形的面积公式类似．实际上，扇形可看作是一个曲边三角形，弧是底，半径是底上的高3．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)1弧度＝1°.( )(2)不管是以弧度还是以度为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无关的定值．( )(3)用弧度制度量角，与圆的半径长短有关．( )(4)与45°终边相同的角可以写成α＝2k π＋45°，k ∈Z .( )[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×【课堂探究】题型一 角度与弧度的互化【典例1】 将下列角度与弧度进行互化．(1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5. [思路导引] 角度与弧度的互化关键抓住1°＝π180rad 和1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°. [解] (1)20°＝20π180＝π9. (2)－15°＝－15π180＝－π12. (3)7π12＝712×180°＝105°. (4)－11π5＝－115×180°＝－396°. [名师提醒]角度制与弧度制互化的原则牢记180°＝π rad ，充分利用1°＝π180rad 和1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°进行换算． [针对训练]1．－630°化为弧度为________．[解析] －630°＝－630×π180＝－72π. [答案] －72π 2．α＝－3 rad ，它是第________象限角．[解析] 根据角度制与弧度制的换算，1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°，则α＝－3 rad ＝－⎝⎛⎭⎫540π°≈－171.9°.分析可得，α是第三象限角．[答案] 三题型二 用弧度制表示终边相同的角【典例2】 已知角α＝2010°.(1)将α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角；(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．[思路导引] 利用终边相同的角的集合表示．[解] (1)2010°＝2010×π180＝67π6＝5×2π＋7π6， 又π<7π6<3π2，∴α与7π6终边相同，是第三象限的角． (2)与α终边相同的角可以写成γ＝7π6＋2k π(k ∈Z )，又－5π≤γ<0， ∴当k ＝－3时，γ＝－296π； 当k ＝－2时，γ＝－176π； 当k ＝－1时，γ＝－56π. [名师提醒]用弧度制表示终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的集合用弧度可表示为{β|β＝2k π＋α，k ∈Z }，这里α应为弧度数．[针对训练]3．已知α＝－800°.(1)把α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；(2)求γ，使γ与α的终边相同，且γ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. [解] (1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝149π， ∴α＝－800°＝14π9＋(－3)×2π. ∵α与角14π9终边相同，∴α是第四象限角． (2)∵与α终边相同的角可写为2k π＋14π9，k ∈Z 的形式， 而γ与α的终边相同，∴γ＝2k π＋14π9，k ∈Z ， 又γ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴－π2<2k π＋14π9<π2，k ∈Z ， 解得k ＝－1，∴γ＝－2π＋14π9＝－4π9. 题型三 扇形的弧长公式及面积公式的应用【典例3】 已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形的圆心角的弧度数．[思路导引] 利用扇形的弧长公式l ＝|α|·r 及面积公式S ＝12lr ＝12|α|r 2求解． [解] 设扇形的圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l ，所在圆的半径为r .依题意得⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝10，12lr ＝4，消去l ，得r 2－5r ＋4＝0，解得r ＝1或r ＝4. 当r ＝1时，l ＝8，此时θ＝8 rad>2π rad ，故舍去；当r ＝4时，l ＝2，此时θ＝24＝12rad ，满足题意． 故θ＝12rad. [变式] 若本例条件改为：“已知扇形AOB 的周长为10 cm ”，求该扇形的面积的最大值及取得最大值时圆心角的大小及弧长．[解] 设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l ，半径为r ，面积为S ，由l ＋2r ＝10得l ＝10－2r ，S ＝12lr ＝12(10－2r )·r ＝5r －r 2＝－⎝⎛⎭⎫r －522＋254，0<r <5.当r ＝52时，S 取得最大值254， 这时l ＝10－2×52＝5，∴θ＝l r ＝552＝2. 故该扇形的面积的最大值为254cm 2，取得最大值时圆心角为2 rad ，弧长为5 cm. [名师提醒]弧度制下涉及扇形问题的攻略(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，r 是扇形的半径，α是扇形的圆心角)．(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用扇形的弧长公式、面积公式直接求解或列方程(组)求解．[针对训练]4．已知扇形的圆心角为108°，半径等于30 cm ，求扇形的弧长和面积．[解] ∵108°＝108×π180＝3π5， 所以扇形的弧长为3π5×10＝6π(cm)， 扇形的面积为12×3π5×302＝270π(cm 2)． 【课堂小结】1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad ”这一关系式．易知：度数×π180rad ＝弧度数，弧度数×⎝⎛⎭⎫180π°＝度数． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，在具体应用时，要注意角的单位取弧度.【随堂巩固】1．下列说法中，错误的是( )A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12πC ．1 rad 的角比1°的角要大D ．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关[解析] “度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位，所以A 正确.1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12π，所以B 正确．因为1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°>1°，所以C 正确．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径无关，所以D 错误．[答案] D2．2100°化成弧度是( )A.35π3B ．10π C.28π3D.25π3 [解析] 2100°＝2100×π180＝35π3. [答案] A3．角－2912π的终边所在的象限是( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] －2912π＝－4π＋1912π，1912π的终边位于第四象限，故选D. [答案] D4．在半径为2的圆中，弧长为4的弧所对的圆心角的大小是________rad.[解析] 根据弧度制的定义，知所求圆心角的大小为42＝2 rad. [答案] 25．已知扇形的周长为8 cm ，圆心角为2，则扇形的面积为________ cm 2.[解析] 设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，由圆心角为2 rad ，依据弧长公式可得l ＝2r ，从而扇形的周长为l ＋2r ＝4r ＝8，解得r ＝2，则l ＝4.故扇形的面积S ＝12lr ＝12×4×2＝4 cm 2. [答案] 4。

弧度制教案一、教学目标1.了解弧度制的概念和基本性质；2.掌握弧度制与角度制的相互转换；3.能够运用弧度制解决相关问题。

二、教学重点1.弧度制的概念和基本性质；2.弧度制与角度制的相互转换。

三、教学难点1.弧度制与角度制的相互转换；2.运用弧度制解决相关问题。

四、教学内容1. 弧度制的概念和基本性质1.1 弧度的定义弧度是一个无量纲的物理量，它是弧长与半径的比值，用符号θ表示，即：θ=s r其中，s表示弧长，r表示半径。

1.2 弧度的基本性质•弧度是一个无量纲的物理量；•弧度与角度的关系为：1弧度=180∘π度；•弧度的取值范围为[0,2π)。

2. 弧度制与角度制的相互转换2.1 弧度制转角度制弧度制转角度制的公式为：θ∘=θπ×180∘其中，θ∘表示角度制下的角度，θ表示弧度制下的角度。

2.2 角度制转弧度制角度制转弧度制的公式为：θ=θ∘180∘×π其中，θ∘表示角度制下的角度，θ表示弧度制下的角度。

3. 运用弧度制解决相关问题3.1 弧长公式在弧度制下，弧长公式为：s=rθ其中，s表示弧长，r表示半径，θ表示弧度制下的角度。

3.2 弧度制下的三角函数在弧度制下，三角函数的定义与角度制下的定义相同，只是角度的单位变为弧度。

•正弦函数：sinθ=yr•余弦函数：cosθ=xr•正切函数：tanθ=yx其中，x、y分别表示点P在直角坐标系中的横、纵坐标，r表示点P到原点的距离。

4. 教学方法本课程采用讲授、演示和练习相结合的教学方法，通过讲解弧度制的概念和基本性质，演示弧度制与角度制的相互转换，以及练习弧度制下的相关问题，使学生掌握弧度制的基本知识和运用能力。

5. 教学过程5.1 导入通过提问“你们知道什么是弧度制吗？”，引导学生思考，激发学生的学习兴趣。

5.2 讲解讲解弧度制的概念和基本性质，弧度制与角度制的相互转换，以及弧度制下的三角函数。

5.3 演示通过演示弧度制与角度制的相互转换，以及弧度制下的相关问题，让学生更加深入地理解弧度制的概念和运用方法。

【⾼教版】5.2《弧度制》优秀教案【课题】5．2弧度制【教学⽬标】知识⽬标：⑴理解弧度制的概念；⑵理解⾓度制与弧度制的换算关系.能⼒⽬标：（1）会进⾏⾓度制与弧度制的换算；（2）会利⽤计算器进⾏⾓度制与弧度制的换算；（3）培养学⽣的计算技能与计算⼯具使⽤技能．【教学重点】弧度制的概念，弧度与⾓度的换算．【教学难点】弧度制的概念．【教学设计】（1）由问题引⼊弧度制的概念；（2）通过观察——探究，明晰弧度制与⾓度制的换算关系；（3）在练习——讨论中，深化、巩固知识，培养计算技能；（4）在操作——实践中，培养计算⼯具使⽤技能；（5）结合实例了解知识的应⽤．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教学过程教师⾏为学⽣⾏为教学意图时间解决将圆周的1360圆弧所对的圆⼼⾓叫做1度⾓，记作1°． 1度等于60分（1°=60′），1分等于60秒（1′=60″）．以度为单位来度量⾓的单位制叫做⾓度制．扩展计算：23°35′26″+31°40′43″⾓度制下，计算两个⾓的加、减运算时，经常会带来单位换算上的⿇烦．能否重新设计⾓的单位制，使两⾓的加、减运算像10进位制数的加、减运算那样简单呢？引领讲解说明明确思考了解⾓度制为新知识的学习做好铺垫5*动脑思考探索新知概念将等于半径长的圆弧所对的圆⼼⾓叫做1弧度的⾓，记作1弧度或1rad ．以弧度为单位来度量⾓的单位制叫做弧度制．若圆的半径为r ，圆⼼⾓∠AOB 所对的圆弧长为2r ，那么∠AOB 的⼤⼩就是 22r r=弧度弧度．规定：正⾓的弧度数为正数，负⾓的弧度数为负数，零⾓的弧度数为零．分析由定义知道，⾓α的弧度数的绝对值等于圆弧长l 与半径r 的⽐，即 lrα=（rad ）．半径为r 的圆的周长为2πr ，故周⾓的弧度数为2π(rad)2π(rad)r r=．由此得到两种单位制之间的换算关系：360°=2πrad ，即 180°=πrad ．换算公式说明举例仔细分析讲解关键点归纳理解记忆领会明确弧度概念较为抽象讲解时注重分析关键点弧长与⾓的对应关系强调换算的⽅法引。

弧度制高中数学教案主题：弧度制教学目标：1. 了解弧度的定义和计算方法；2. 掌握弧度和角度之间的转换关系；3. 能够运用弧度制解决实际问题。

教学重点：弧度的定义、计算方法和角度与弧度的转换关系。

教学难点：弧度制在实际问题中的应用。

教学准备：教师准备黑板、彩色粉笔、教具等。

教学过程：一、导入（5分钟）教师向学生提出一个问题：“角度制是我们常用的计量角度的单位，那么在数学中还有一种计量角度的单位叫做什么呢？”引出弧度的概念。

二、讲解弧度的定义和计算方法（15分钟）1. 弧度的定义：假设在单位圆上取一长度为r的弧所对的圆心角θ，那么这个圆心角所对的弧长就是这个圆心角的弧度数。

一个完整的圆周对应的角度是360度，对应的弧度是2π弧度。

2. 弧度的计算方法：弧度数 = 弧长 / 半径三、讲解角度与弧度的转换关系（10分钟）1. 角度与弧度的换算公式：1° = π/180 弧度2. 举例说明如何将角度转换为弧度，如何将弧度转换为角度。

四、练习与讨论（15分钟）让学生做几道练习题，巩固所学的知识，并带领学生讨论习题解法。

五、应用（10分钟）通过实际问题，引导学生运用弧度制解决实际问题，训练学生的应用能力。

六、小结（5分钟）回顾本节课所学内容，让学生总结弧度制的重点和难点。

七、作业布置（5分钟）布置相应的作业，以巩固所学内容。

拓展延伸：学生可以通过实际生活中的实际问题来练习弧度制的应用，如摆锤摆动问题、圆周运动问题等。

教学反思：通过引入弧度制这一新概念，激发学生的学习兴趣和求知欲。

同时，通过实际问题的运用，帮助学生更好地理解和掌握弧度的定义和计算方法。

人教版高中数学弧度制教案
教学内容：弧度制
教学目标：
1. 理解弧度制的概念及与角度制的转换关系；
2. 掌握弧度制的计算方法；
3. 能够运用弧度制解决相关问题。

教学重点：
1. 弧度制的概念及运用；
2. 弧度制和角度制的转换。

教学难点：
1. 弧度制与角度制的转换；
2. 弧度制的计算方法。

教学过程：
一、导入新知识（5分钟）
教师引导学生回顾角度制的概念及计算方法，并提出弧度制的定义。

二、讲解弧度制的概念及计算方法（15分钟）
1. 教师讲解弧度制的定义及计算方法，强调弧度制的优势和应用范围；
2. 带领学生进行弧度制与角度制的转换练习，并解释计算过程。

三、练习与讨论（20分钟）
1. 学生自主练习弧度制计算方法，并相互讨论解题思路；
2. 教师布置相关练习题，让学生在课后进行巩固练习。

四、检测与总结（10分钟）
1. 教师让学生进行弧度制的应用题练习，并及时纠正；
2. 学生合作讨论，总结本节课的知识点，提出问题并解决。

五、作业布置（5分钟）
布置相关作业，要求学生巩固掌握弧度制的概念和计算方法。

教学反思：
本节课主要围绕弧度制展开教学，通过讲解、练习和讨论，让学生充分理解弧度制的概念和计算方法，提高学生的数学运算能力和分析问题的能力。

在课后作业中，学生可以继续巩固弧度制的知识，提高解题的能力和速度。

《弧度制》教学设计《弧度制》教学设计一、教学目标：1.知识目标：理解1弧度的角的意义和弧度制的定义，建立弧度制的概念。

掌握角度与弧度的互化学习中培养和提升学生的数学阅读、计算、表达能力。

2.能力目标：在合作试验弧长与半径比值中，掌握角度制与弧度制的换算公式并能熟练地进行角度制与弧度制的换算。

3.情感目标通过弧度制定义的探索过程，培养学生主动阅读自学能力、计算发现问题能力和用数学语言表述问题的能力，渗透由特殊到一般的思想方法。

二、教学重点：理解弧度的意义，正确进行弧度与角度的换算三、教学难点：弧度的概念，弧度制与角度制之间的关系四、教学方法：目标式教学五、课时：1课时六、教学过程：（一）复习引入和预习准备1.角分为几类？2.什么是象限角？什么是轴线角？3.与角&alpha;终边相同的角的集合？第一象限角如何表示？4.请大家回忆什么是角度制？设计意图：回顾前面所学的知识，为学习弧度制的知识奠定基础。

（二）创设情境，设置疑问我们知道计量某种事物的单位有两个，例如计量体重，可以用kg或者用物理中的N等度量。

那么对于角的度量，除了初中用角度度量外，是否还有其它度量方法？我们要找到一种新的度量角度的角度制，则必须也找到相应的不变量。

设计意图：通过情景设置的提问，为学习弧度制的引入做准备。

（三）、分组讨论，探索研究合作动手：角度为120度的圆心角，当半径r=1,2,3时，分别计算对应的弧长l，再计算弧长与半径的比。

探索研究：通过具体的数值计算，你发现什么规律？设计意图：以合作学习的方式，通过相关计算，培养学生的计算能力，在其中发现其中隐藏的规律特点；结论：圆心角不变则比值不变。

因此比值的大小只与角的大小有关，我们可以利用这个比值来度量角，这就是度量角的另外一种单位制弧度制。

（四）、自主学习，构建知识【设计预想】学生自学，并完成自学提纲（在课本上找答案）。

教师先做必要的板书准备，然后进行巡视指导。

在学生自学的前提下，仔细了解掌握学情，帮助指导学生。