《三年高考两年模拟》之函数的概念及基本初等函数第七节

第七节 函数与方程A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2015·山东，10)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1B.[0,1]C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D.[1, ＋∞)2.(2015·天津，8)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，x －2，x ＞2，函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b∈R ，若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，74 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，74 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，2 3.(2014·湖南，10)已知函数f (x )＝x 2＋e x －12(x <0)与g (x )＝x 2＋ln(x ＋a )的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1e B.()－∞，e C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，e D.⎝⎛⎭⎪⎫－e ，1e4.(2016·山东，15)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0，若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________.5.(2015·湖南，15)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x ＞a ，若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b有两个零点，则a 的取值范围是________.6.(2015·安徽，15)设x 3＋ax ＋b ＝0，其中a ，b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是________(写出所有正确条件的编号).①a ＝－3，b ＝－3；②a ＝－3，b ＝2；③a ＝－3，b >2；④a ＝0，b ＝2；⑤a ＝1，b ＝2.7.(2015·江苏，13)已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0＜x ≤1，|x 2－4|－2，x ＞1，则方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数为________.8.(2015·北京，14)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ＜1，x －a x －2a ，x ≥1.(1)若a ＝1，则f (x )的最小值为________；(2)若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·湖北荆门模拟)对于函数f (x )＝x 2＋mx ＋n ，若f (a )>0，f (b )>0，则函数f (x )在区间(a ，b )内( )A.一定有零点B.一定没有零点C.可能有两个零点D.至多有一个零点2.(2016·陕西西安模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0B.－2，0C.12D.03.(2016·黑龙江佳木斯模拟)已知符号函数sgn(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0.则函数f (x )＝sgn(ln x )－ln x 的零点个数为( )A.1B.2C.3D.44.(2015·湖南衡阳模拟)设方程2x＋x ＋2＝0和方程log 2x ＋x ＋2＝0的根分别为p 和q ，设函数f (x )＝(x ＋p )(x ＋q )＋2，则( ) A.f (2)＝f (0)<f (3) B.f (0)<f (2)<f (3) C.f (3)<f (2)＝f (0)D.f (0)<f (3)<f (2)5.(2015·青岛市模拟)函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x的零点所在的大致区间是( )A.(0，1)B.(1，2)C.(2，e)D.(3，4)6.(2015·济宁高三期末)设x 1，x 2是方程ln|x －2|＝m (m 为实常数)的两根，则x 1＋x 2的值为( ) A.4B.2C.－4D.与m 有关7. (2015·南昌二模)已知函数y ＝f (x )是周期为2的周期函数，且当x ∈[－1，1]时，f (x )＝2|x |－1，则函数F (x )＝f (x )－|lg x |的零点个数是( ) A.9B.10C.11D.188.(2016·广西南宁模拟)已知函数f (x )＝a x＋x －b 的零点x 0∈(n ，n ＋1)(n ∈Z )其中常数a ，b 满足2a ＝3，3b ＝2，则n ＝________.9.(2016·天津南开中学模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________.10.(2016·江西十校二联)给定方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋sin x －1＝0，下列命题中：①方程没有小于0的实数解； ②方程有无数个实数解；③方程在(－∞，0)内有且只有一个实数解；④若x 0是方程的实数解，则x 0>－1. 正确命题是________.11.(2015·长春模拟)设函数f (x )＝x ＋1x的图象为C 1，C 1关于点A (2，1)对称的图象为C 2，C 2对应的函数为g (x ). (1)求g (x )的解析式；(2)若直线y ＝m 与C 2只有一个交点，求m 的值和交点坐标.12.(2015·青岛模拟)已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|.若关于x 的方程f (x )－a ＝x 至少有三个不相等的实数根，求实数a 的取值范围.答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.C [当a ＝2时，f (a )＝f (2)＝22＝4＞1，f (f (a ))＝2f (a )，∴a ＝2满足题意，排除A ，B 选项；当a ＝23时，f (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝3×23－1＝1，f (f (a ))＝2f (a )，∴a ＝23满足题意，排除D 选项，故答案为C.]2.D [记h (x )＝－f (2－x )在同一坐标系中作出f (x )与h (x )的图象如图，直线AB ：y ＝x －4，当直线l ∥AB 且与f (x )的图象相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ′，y ＝（x －2）2，解得b ′＝－94，－94－(－4)＝74，所以曲线h (x )向上平移74个单位后，所得图象与f (x )的图象有四个公共点，平移2个单位后，两图象有无数个公共点，因此，当74＜b ＜2时，f (x )与g (x )的图象有四个不同的交点，即y＝f (x )－g (x )恰有4个零点.选D.]3.B [由题意可得，当x >0时，y ＝f (－x )与y ＝g (x )的图象有交点，即g (x )＝f (－x )有正解，即x 2＋ln(x ＋a )＝(－x )2＋e －x －12有正解，即e －x－ln(x ＋a )－12＝0有正解，令F (x )＝e －x －ln(x ＋a )－12，则F ′(x )＝－e －x －1x ＋a <0，故函数F (x )＝e －x－ln(x ＋a )－12在(0，＋∞)上是单调递减的，要使方程g (x )＝f (－x )有正解，则存在正数x 使得F (x )≥0，即e －x－ln(x ＋a )－12≥0，所以a ≤1e 2ex x ---，又y ＝1e 2e x x ---在(0，＋∞)上单调递减，所以a <1e 02e 0---＝12e ，选B.]4.(3，＋∞) [如图,当x ≤m 时，f (x )＝|x |;当x >m 时，f (x )＝x 2－2mx ＋4m ，在(m ，＋∞)为增函数，若存在实数b ,使方程f (x )＝b 有三个不同的根,则m 2－2m ·m ＋4m <|m |. ∵m >0，∴m 2－3m >0，解得m >3.5.(－∞，0)∪(1，＋∞) [若0≤a ≤1时，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3（x ≤a ），x 2 （x ＞a ）在R 上递增，若a ＞1或a ＜0时，由图象知y ＝f (x )－b 存在b 使之有两个零点，故a ∈(－∞，0)∪(1，＋∞).] 6.①③④⑤ [令f (x )＝x 3＋ax ＋b ，f ′(x )＝3x 2＋a ，当a ≥0时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增，必有一个实根，④⑤正确；当a <0时，由于选项当中a ＝－3，∴只考虑a ＝－3这一种情况，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，∴f (x )极大＝f (－1)＝－1＋3＋b ＝b ＋2，f (x )极小＝f (1)＝1－3＋b ＝b －2，要有一根，f (x )极大<0或f (x )极小>0，∴b <－2或b >2，①③正确，所有正确条件为①③④⑤.]7.4 [令h (x )＝f (x )＋g (x )，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x ，0＜x ≤1，－x 2＋ln x ＋2，1＜x ＜2，x 2＋ln x －6，x ≥2，当1＜x ＜2时，h ′(x )＝－2x ＋1x ＝1－2x2x＜0，故当1＜x ＜2时h (x )单调递减，在同一坐标系中画出y ＝|h (x )|和y ＝1的图象如图所示.由图象可知|f (x )＋g (x )|＝1的实根个数为4.]8.(1)－1 (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪[2，＋∞) [(1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x <1，4（x －1）（x －2），x ≥1.当x <1时，2x－1>－1.当x ≥1时，且当x ＝32时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－1，∴f (x )最小值为－1. (2)1°当a ≤0时，2x－a >0，由4(x －a )(x －2a )＝0得x ＝a 或x ＝2a .a ∉[1，＋∞)， 2a ∉[1，＋∞)， ∴此时f (x )无零点.2°当0<a <1时，若有2个零点，只须⎩⎪⎨⎪⎧a <1，2a ≥1，∴12≤a <1.3°当1≤a <2时，x ＜1，2x＝a ，x ＝log 2a ∈[0，1)，x ≥1时，由f (x )＝0，得x ＝a 或2a ，a ∈[1，＋∞).2a ∈[1，＋∞)，有3个零点，不合题意. 4°当a ≥2时，x <1，则2x－a <0，x ≥1时，由f (x )＝0，得x ＝a 或2a ，a ，2a ∈[1，＋∞)，此时恰有2个零点，综上12≤a ＜1或a ≥2.]B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.C [利用排除法，f (a )·f (b )<0是函数f (x )在区间(a ，b )内有零点的充分不必要条件，故选C.]2.D [当x ≤1时,由f (x )＝2x－1＝0,得x ＝0;当x >1时,由f (x )＝1＋log 2x ＝0,解得x ＝12,又因为x >1，所以此时方程无解，函数f (x )的零点只有0.故选D.] 3.C [依题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－ln x ，x >1，0，x ＝1，－1－ln x ，0<x <1，令f (x )＝0得x ＝e,1,1e,所以函数有3个零点，故选C.4. A [∵方程2x ＋x ＋2＝0和方程log 2 x ＋x ＋2＝0的根分别为函数y ＝2x，y ＝log 2 x 与直线y ＝－x －2的交点横坐标，而函数y ＝2x，y ＝log 2 x 互为反函数，其图象关于y ＝x 对称，又直线y ＝－x －2与直线y ＝x 垂直，且两直线的交点坐标为(－1，－1)，∴p ＋q ＝－2，则f (x )＝x 2＋(p ＋q )x ＋pq ＋2＝x 2－2x ＋pq ＋2，∵该二次函数的对称轴为x ＝1，∴f (2)＝f (0)<f (3).故选A.]5.B [利用零点存在性定理得到f (1)·f (2)＝(ln 2－2)·(ln 3－1)<0，故选B.]6.A [方程ln|x －2|＝m 的根即函数y ＝ln|x －2|的图象与直线y ＝m 的交点的横坐标，因为函数y ＝ln|x －2|的图象关于x ＝2对称，且在x ＝2两侧单调，值域为R ，所以对任意的实数m ，函数y ＝ln|x －2|的图象与直线y ＝m 必有两交点，且两交点关于直线x ＝2对称，故x 1＋x 2＝4，选A.]7.B [在坐标平面内画出y ＝f (x )与y ＝|lg x |的大致图象(如图)，由图象可知，它们共有10个不同的交点，因此函数F (x )＝f (x )－|lg x |的零点个数是10，故选B.]8.－1 [a ＝log 23>1，b ＝log 32<1，令f (x )＝0，得a x＝－x ＋b ，在同一坐标系中画出函数y ＝a x和y ＝－x ＋b 的图象，如图所示；由图可知，两函数的图象在区间(－1，0)内有交点，所以函数f (x )在区间(－1，0)内有零点，所以n ＝－1.]9.(0，1) [f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，－x 2－2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x >0，－（x ＋1）2＋1，x ≤0，图象如图：由g (x )＝f (x )－m 有3个零点，知f (x )＝m 有三个根，则实数m 的范围是(0，1).]10.②③④ [在同一坐标系中画出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1与y ＝－sin x (该函数的值域是[－1，1])的大致图象，结合图象可知，它们的交点中，横坐标为负的交点，有且只有一个，因此方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋sin x －1＝0在(－∞ ，0)内有且只有一个实数解，故③正确，①不正确，由图象易知②，④均正确.]11.解(1)设点P (x ，y )是C 2上的任意一点，则P (x ，y )关于点A (2，1)对称的点为P ′(4－x ，2－y )，代入f (x )＝x ＋1x ，可得2－y ＝4－x ＋14－x ，即y ＝x －2＋1x －4，∴g (x )＝x －2＋1x －4.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝m ，y ＝x －2＋1x －4，消去y 得x 2－(m ＋6)x ＋4m ＋9＝0，Δ＝[－(m ＋6)]2－4(4m ＋9)， ∵直线y ＝m 与C 2只有一个交点， ∴Δ＝0，解得m ＝0或m ＝4.当m ＝0时，经检验合理，交点为(3，0)； 当m ＝4时，经检验合理，交点为(5，4).12.解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）2－1，x ∈（－∞，1]∪[3，＋∞），－（x －2）2＋1，x ∈（1，3），作出图象如图所示.原方程变形为|x 2－4x ＋3|＝x ＋a .于是，设y ＝x ＋a ，在同一坐标系下再作出y ＝x ＋a 的图象.如图.则当直线y ＝x ＋a 过点(1，0)时a ＝－1；当直线y ＝x ＋a 与抛物线y ＝－x 2＋4x －3相切时， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋a ，y ＝－x 2＋4x －3⇒x 2－3x ＋a ＋3＝0.由Δ＝9－4(3＋a )＝0，得a ＝－34.由图象知当a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－34时方程至少有三个不等实根.。

第二节 函数的基本性质A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·山东，9)已知函数f (x )的定义域为R ,当x <0时,f (x )＝x 3-1；当-1≤x ≤1时，f (-x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，则f (6)＝( ) A.－2 B.－1 C.0D.2 2.(2015·天津，7)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝(log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.c ＜a ＜bD.c ＜b ＜a3.(2015·福建，2)下列函数为奇函数的是( )A.y ＝xB.y ＝|sin x |C.y ＝cos xD.y ＝e x －e －x4.(2015·广东，3)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A.y ＝x ＋e xB.y ＝x ＋1xC.y ＝2x ＋12xD.y ＝1＋x 2 5.(2015·安徽，2)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A.y ＝cos xB.y ＝sin xC.y ＝ln xD.y ＝x 2＋16.(2014·北京，2)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A.y ＝x ＋1B.y ＝(x －1)2C.y ＝2－xD.y ＝log 0.5(x ＋1)7.(2014·陕西，7)下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函数是( )A.f (x )＝12xB.f (x )＝x 3C.f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x D.f (x )＝3x 8.(2014·山东，5)已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2＋1>1y 2＋1B.ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1)C.sin x >sin yD.x 3>y 3 9.(2014·湖南，3)已知f (x ),g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )A.－3B.－1C.1D.310.(2014·新课标全国Ⅰ，3)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A.f (x )g (x )是偶函数B.f (x )|g (x )|是奇函数C.|f (x )|g (x )是奇函数D.|f (x )g (x )|是奇函数11.(2014·湖北，10)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2).若∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤－16，16B.⎣⎡⎦⎤－66，66C.⎣⎡⎦⎤－13，13D.⎣⎡⎦⎤－33，3312.(2016·四川，14)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (1)＝________. 13.(2016·北京，14)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x ＞a . (1)若a ＝0，则f (x )的最大值为________；(2)若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________.14.(2015·新课标全国Ⅰ，13)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________.15.(2014·新课标全国Ⅱ，15)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________.16.(2014·四川,12)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数,当x ∈[－1,1)时,f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________. B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·天津河西模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x ).当0≤x ≤1时，f (x )＝x2.若直线y ＝x ＋a 与函数y ＝f (x )的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是( )A.0B.0或－12C.－14或－12D.0或－142.(2016·山东青岛模拟)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，则f (2 014)等于( )A.0B.3C.4D.63.(2016·山东日照模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m (m 为常数)，则f (－log 35)的值为( )A.4B.－4C.6D.－64.(2016·四川绵阳中学11月月考)设偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，1B.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪(1，＋∞)C.⎝⎛⎭⎫－13，13D.⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞ 5.(2015·江西盟校联考)函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0，2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1，3]上的解集为( )A.(1，3)B.(－1，1)C.(－1，0)∪(1，3) D .(－1，0)∪(0，1)6.(2015·广东惠州模拟)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，1)上单调递减的函数为( )A.y ＝1xB.y ＝lg xC.y ＝cos xD.y ＝x 27.(2016·湖南常德市3月模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)－f (x )＝0，当x ∈(0，2]时，f (x )＝2x ，则f (2 016)＝________.8.(2015·四川眉山一中模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32，且f (1)＝2，则f (2 014)＝______.答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1. D [当x >12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，即f (x )＝f (x ＋1)，∴T ＝1， ∴f (6)＝f (1).当x <0时，f (x )＝x 3－1且－1≤x ≤1，f (－x )＝－f (x )，∴f (2)＝f (1)＝－f (－1)＝2，故选D.]2.C [因为函数f (x )＝2|x －m |－1为偶函数可知，m ＝0，所以f (x )＝2|x |－1，当x ＞0时，f (x )为增函数，log 0.53＝－log 23，∴log 25＞|－log 0.53|＞0，∴b ＝f (log 25)＞a ＝f (log 0.53)＞c ＝f (2m )，故选C.]3.D [由奇函数定义易知y ＝e x －e －x 为奇函数，故选D.]4.A [令f (x )＝x ＋e x ，则f (1)＝1＋e ，f (－1)＝－1＋e －1，即f (－1)≠f (1)，f (－1)≠－f (1)，所以y ＝x ＋e x 既不是奇函数也不是偶函数，而B 、C 、D 依次是奇函数、偶函数、偶函数，故选A.]5.A [由于y ＝sin x 是奇函数；y ＝ln x 是非奇非偶函数；y ＝x 2＋1是偶函数但没有零点；只有y ＝cos x 是偶函数又有零点.]6.A [显然y ＝x ＋1是(0，＋∞)上的增函数;y ＝(x －1)2在(0，1)上是减函数,在(1，＋∞)上是增函数；y ＝2－x ＝⎝⎛⎭⎫12x在x ∈R 上是减函数；y ＝log 0.5(x ＋1)在(－1，＋∞)上是减函数.故选A.]7.D [根据各选项知，选项C 、D 中的指数函数满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y ).又f (x )＝3x 是增函数，所以D 正确.]8.D [根据指数函数的性质得x >y ，此时x 2，y 2的大小不确定，故选项A 、B 中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项C 中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项D 中的不等式恒成立.]9.C [用“－x ”代替“x ”，得f (－x )－g (－x )＝(－x )3＋(－x )2＋1，化简得f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1，令x ＝1，得f (1)＋g (1)＝1，故选C.]10.B [f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，故f (x )g (x )为奇函数，f (x )|g (x )|为奇函数，|f (x )|g (x )为偶函数，|f (x )g (x )|为偶函数，故选B.]11.B [当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，0≤x ≤a 2－a 2，a 2<x ≤2a 2x －3a 2，x >2a 2，又f (x )为奇函数，可得f (x )的图象如图所示，由图象可得，当x ≤2a 2时，f (x )max ＝a 2，当x >2a 2时，令x －3a 2＝a 2，得x ＝4a 2，又∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，可知4a 2－(－2a 2)≤1⇒a ∈⎣⎡⎦⎤－66，66，选B.]12. －2 [首先，f (x )是周期为2的函数，所以f (x )＝f (x ＋2)；而f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )，所以f (1)＝f (－1)，f (1)＝－f (－1)，即f (1)＝0，又f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12，f ⎝⎛⎭⎫12＝412＝2，故f ⎝⎛⎭⎫－52＝－2，从而f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (1)＝－2.] 13. (1)2 (2)(－∞，－1) [ (1)当a ＝0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤0，－2x ，x ＞0. 若x ≤0，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x 2－1).由f ′(x )＞0得x ＜－1，由f ′(x )＜0得－1＜x ≤0.∴f (x )在(－∞，－1)上单调递增；在(－1，0]上单调递减，∴f (x )最大值为f (－1)＝2. 若x ＞0，f (x )＝－2x 单调递减，所以f (x )＜f (0)＝0.所以f (x )最大值为2.(2)f (x )的两个函数在无限制条件时图象如图.由(1)知，当a ≥－1时，f (x )取得最大值2.当a ＜－1时，y ＝－2x 在x ＞a 时无最大值.且－2a ＞2.所以a ＜－1.]14.1 [f (x )为偶函数，则ln(x ＋a ＋x 2)为奇函数，所以ln(x ＋a ＋x 2)＋ln(－x ＋a ＋x 2)＝0，即ln(a ＋x 2－x 2)＝0，∴a ＝1.]15.(－1，3) [由题可知，当－2<x <2时，f (x )>0.f (x －1)的图象是由f (x )的图象向右平移1个单位长度得到的，若f (x －1)>0，则－1<x <3.]16.1 [f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫2－12＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4×⎝⎛⎭⎫－122＋2＝1.] B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.D [∵f (x ＋2)＝f (x )，∴T ＝2.又0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，可画出函数y ＝f (x )在一个周期内的图象如图所示.显然a ＝0时，y ＝x 与y ＝x 2在[0，2]内恰有两个不同的公共点.另当直线y ＝x ＋a 与y ＝x 2(0≤x ≤1)相切时也恰有两个不同的公共点,由题意知y ′＝(x 2)′＝2x ＝1，∴x ＝12. ∴A ⎝⎛⎭⎫12，14，又A 点在y ＝x ＋a 上，∴a ＝－14，综上知选D.] 2. A [依题意，得f (－2＋4)＝f (－2)＋f (2)＝f (2)，即2f (2)＝f (2)，f (2)＝0，f (x ＋4)＝f (x )，f (x )是以4为周期的周期函数，又2014＝4×503＋2，所以f (2014)＝f (2)＝0.故选A.]3. B [由f (x )是定义在R 上的奇函数得f (0)＝1＋m ＝0⇒m ＝－1，f (－log 35)＝－f (log 35)＝－(3log 35－1)＝－4，选B.]4.A [由f (x )为偶函数，f (x )＞f (2x －1)可化为f (|x |)＞f (|2x －1|)，又f (x )在[0，＋∞)上单调递增,所以|x |＞|2x －1|.解得13＜x ＜1.] 5. C [f (x )的图象如图.当x ∈(－1，0)时，由xf (x )>0得x ∈(－1，0)；当x ∈(0，1)时，由xf (x )<0得x ∈∅；当x ∈(1，3)时，由xf (x )>0得x ∈(1，3).∴x ∈(－1，0)∪(1，3)，故选C.6. C [首先y ＝cos x 是偶函数，且在(0，π)上单减，而(0，1)⊆(0，π)，故y ＝cos x 满足条件.故选C.]7. 4 [f (x )周期为2，f (2 016)＝f (2)＝22＝4.]8. 2 [∵f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32，∴f (x ＋3)＝f ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋32＋32＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝f (x ). ∴f (x )是以3为周期的周期函数.则f (2 014)＝f (671×3＋1)＝f (1)＝2.]。

第四节 指数与指数函数A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2014·辽宁，3)已知a ＝132-，b ＝log 213，c ＝121log 3，则( ) A.a >b >c B.a >c >b C.c >a >b D.c >b >a2.(2015·山东，14)已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，a ≠1) 的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________.3.(2014·上海，9)若f (x )＝23x －12x -，则满足f (x )<0的x 的取值范围是________.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·安徽马鞍山模拟)下列各式比较大小正确的是( )A.1.72.5＞1.73B.0.6－1＞0.62C.0.8－0.1＞1.250.2 D.1.70.3＜0.93.1 2.(2016·安徽马鞍山模拟)函数f (x )＝ax －1(a >0，a ≠1)的图象恒过点A ，下列函数中图象不经过点A 的是( )A.y ＝1－xB.y ＝|x －2|C.y ＝2x －1D.y ＝log 2(2x ) 3.(2016·山东青岛模拟)已知函数f (x )＝e |ln x |，则函数y ＝f (x ＋1)的大致图象为()4.(2016·福建福州模拟)设12<⎝ ⎛⎭⎪⎫12b <⎝ ⎛⎭⎪⎫12a<1, 那么( ) A.a a <a b <b a B.a a <b a <a b C.a b <a a <b aD.a b <b a <a a 5.(2015·辽宁沈阳模拟)已知函数f (x )＝2x －12x ＋1，则不等式f (x －2)＋f (x 2－4)<0的解集为( )A.(－1，6)B.(－6，1)C.(－2，3)D.(－3，2) 6.(2015·广东汕头模拟)若函数y ＝a x ＋b －1(a >0且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有( )A.0<a <1且b >0B.a >1且b >0C.0<a <1且b <0D.a >1且b <07.(2015·浙江湖州模拟)已知函数f (x )＝m ·9x －3x，若存在非零实数x 0，使得f (－x 0)＝f (x 0)成立，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C.(0，2)D.[2，＋∞)8.(2016·浙江温州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，0≤x <1，2x －12，x ≥1，设a >b ≥0，若f (a )＝f (b )，则b ·f (a ) 的取值范围是________.9.(2016·豫晋冀三省调研)设函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)在x ∈[－1，1]上的最大值与最小值之和为g (a )，则函数g (a )的取值范围是________.答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.C [a ＝2－13∈(0，1)，b ＝log 213∈(－∞，0)，c ＝log 1213＝log 23∈(1，＋∞)，所以c >a >b .]2.－32[当a ＞1时，f (x )＝a x ＋b 在定义域上为增函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，方程组无解； 当0＜a ＜1时，f (x )＝a x＋b 在定义域上为减函数，∴⎩⎨⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2.∴a ＋b ＝－32.] 3.(0，1) [令y 1＝x 23，y 2＝12x -，f (x )<0即为y 1<y 2，函数y 1＝x 23，y 2＝12x -的图象如图所示，由图象知：当0<x <1时，y 1<y 2，所以满足f (x )<0的x 的取值范围是(0，1).]B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.B [A 中，∵函数y ＝1.7x 在R 上是增函数，2.5＜3，∴1.72.5＜1.73.B 中，∵y ＝0.6x 在R 上是减函数，－1＜2，∴0.6－1＞0.62.C 中，∵(0.8)－1＝1.25，y ＝1.25x 在R 上是增函数，0.1＜0.2，∴1.250.1＜1.250.2，即0.8－0.1＜1.250.2.D 中，∵函数y ＝1.7x 在R 上是增函数且0.3＞0，∴1.70.3＞1.70＝1，又函数y ＝0.9x在R 上是减函数且3.1＞0，∴0.93.1＜0.90＝1.故1.70.3＞0.93.1.2. A [易知A (1，1)，经验证可得y ＝1－x 的图象不经过点A (1，1)，故选A.]3.D [f (x )＝e |ln x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x ≥1），1x（0<x <1），而函数y ＝f (x ＋1)的图象是由函数f (x )＝e |ln x |向左平移了一个单位，故选D.]4.C [由于y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 是减函数，12<⎝ ⎛⎭⎪⎫12b <⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <1，所以0<a <b <1，当0<a <1时，y ＝a x 为减函数，所以a b <a a ，排除A ，B ；因为y ＝x a 在第一象限内为增函数，所以a a <b a ，故选C.]5.D [因为函数f (x )＝2x－12x ＋1为R 上的奇函数且增函数，所以不等式f (x －2)＋f (x 2－4)<0可化为f (x 2－4)<f (2－x )，所以x 2－4<2－x ，则－3<x <2，故选D.]6.C [当0<a <1时，不论上下怎样平移，图象必过第二象限；当a >1时，不论上下怎样平移，图象必过第一象限.∵y ＝a x ＋b －1的图象经过第二、三、四象限，∴只可能0<a <1.如图所示，这个图可理解为将y ＝a x(0<a <1)的图象向下平移大于1个单位长度.∴⎩⎪⎨⎪⎧b －1<0，|b －1|>1，解得b <0. 可知0<a <1且b <0.]7.B [由题意得到f (－x )＝f (x )，∴m ·9－x －3－x ＝m ·9x －3x，整理得到：m ＝3x （3x ）2＋1＝13x ＋13x <12，又m >0，所以实数m 的取值范围是0<m <12，故选B.] 8.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，2 [依题意，在坐标平面内画出函数y ＝f (x )的大致图象，结合图象可知b ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1，bf (a )＝bf (b )＝b (b ＋1)＝b 2＋b ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，2.] 9. (2，＋∞) [f (x )在x ∈[－1，1]上的最大值和最小值在两端点处取得，∴g (a )＝f (1)＋f (－1)＝a ＋1a ，又a >0，且a ≠1，所以g (a )＝a ＋1a>2.]。

第八节 函数的模型及其综合应用A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·山东,10)若函数y ＝f (x )的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y ＝f (x )具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是( ) A.y ＝sin x B.y ＝ln x C.y ＝e xD.y ＝x 32.(2016·四川,5)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)( ) A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年3.(2015·北京,8)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是( )A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油量最多C.甲车以80千米/时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油4.(2014·湖南,8)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p ,第二年的增长率为q ,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.p ＋q2B.p ＋q ＋－12C.pqD.p ＋q ＋－15.(2014·辽宁,12)已知定义在[0,1]上的函数f (x )满足：①f (0)＝f (1)＝0；②对所有x ,y ∈[0,1],且x ≠y ,有|f (x )－f (y )|<12|x －y |.若对所有x ,y ∈[0,1],|f (x )－f (y )|<k 恒成立,则k 的最小值为( ) A.12 B.14 C.12π D.186.(2015·四川,13)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数,k ,b 为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时. 7.(2015·江苏,17)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l 1,l 2,山区边界曲线为C ,计划修建的公路为l ,如图所示,M ,N 为C 的两个端点,测得点M 到l 1,l 2的距离分别为5千米和40千米,点N 到l 1,l 2的距离分别为20千米和2.5千米,以l 2,l 1所在的直线分别为x ,y 轴,建立平面直角坐标系xOy ,假设曲线C 符合函数y ＝ax 2＋b(其中a ,b 为常数)模型.(1)求a ,b 的值；(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点,P 的横坐标为t . ①请写出公路l 长度的函数解析式f (t ),并写出其定义域； ②当t 为何值时,公路l 的长度最短？求出最短长度.8.(2014·湖北,14)设f (x )是定义在(0,＋∞)上的函数,且f (x )>0,对任意a >0,b >0,若经过点(a ,f (a )),(b ,－f (b ))的直线与x 轴的交点为(c,0),则称c 为a ,b 关于函数f (x )的平均数,记为M f (a ,b ).例如,当f (x )＝1(x >0)时,可得M f (a ,b )＝c ＝a ＋b2,即M f (a ,b )为a ,b 的算术平均数.(1)当f (x )＝________(x >0)时,M f (a ,b )为a ,b 的几何平均数. (2)当f (x )＝________(x >0)时,M f (a ,b )为a ,b 的调和平均数2aba ＋b. (以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)9.(2014·山东,15)已知函数y ＝f (x )(x ∈R ),对函数y ＝g (x )(x ∈I ),定义g (x )关于f (x )的“对称函数”为函数y ＝h (x )(x ∈I ),y ＝h (x )满足：对任意x ∈I ,两个点(x ,h (x )),(x ,g (x ))关于点(x ,f (x ))对称.若h (x )是g (x )＝4－x 2关于f (x )＝3x ＋b 的“对称函数”,且h (x )>g (x )恒成立,则实数b 的取值范围是________.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·四川成都模拟)某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元,B 种方式是月租0元.一个月的本地网内通话时间t (分钟)与电话费S (元)的函数关系如图所示,当通话150分钟时,这两种方式电话费相差( )A.10元B.20元C.30元D.403元2.(2016·湖北天门模拟)物价上涨是当前的主要话题,特别是菜价,我国某部门为尽快实现稳定菜价,提出四种绿色运输方案.据预测,这四种方案均能在规定的时间T 内完成预测的运输任务Q 0,各种方案的运输总量Q 与时间t 的函数关系如图所示,在这四种方案中,运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )3.(2015·辽宁五校协作体模拟)一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车,当他离汽车25米时交通灯由红变绿,汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同),汽车在时间t 内的路程为s ＝12t 2米,那么,此人( )A.可在7秒内追上汽车B.可在9秒内追上汽车C.不能追上汽车,但其间最近距离为14米D.不能追上汽车,但其间最近距离为7米4.(2016·陕西西安模拟)一个容器装有细沙a cm 3,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,t min 后剩余的细沙量为y ＝a e－bt(cm 3),经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子,则再经过________min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.5.(2016·山东日照模拟)某类产品按工艺共分10个档次,最低档次产品每件利润为8元.每提高一个档次,每件利润增加2元.用同样工时,可以生产最低档产品60件,每提高一个档次将少生产3件产品,则获得利润最大时生产产品的档次是________.6.(2016·河南洛阳模拟)某食品公司为了解某种新品种食品的市场需求,进行了20天的测试,人为地调控每天产品的单价P (元/件).前10天每天单价呈直线下降趋势(第10天免费赠送品尝),后10天呈直线上升趋势,其中4天的单价记录如下表：而这20.(1)写出每天销售收入y (元)关于时间x (天)的函数；(2)在这20天中哪一天销售收入最高？此时单价P 定为多少元为好？(结果精确到1元)7.(2015·四川乐山模拟)某工厂的固定成本为3万元,该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元,设生产该产品x (百台),其总成本为g (x )万元(总成本＝固定成本＋生产成本),并且销售收入r (x )满足r (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x 2＋7x －10.5（0≤x ≤7），13.5（x >7）.假定该产品产销平衡,根据上述统计规律求： (1)要使工厂有盈利,产品数量x 应控制在什么范围？ (2)工厂生产多少台产品时盈利最大？答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.A [对函数y ＝sin x 求导,得y ′＝cos x ,当x ＝0时,该点处切线l 1的斜率k 1＝1,当x ＝π时,该点处切线l 2的斜率k 2＝－1,∴k 1·k 2＝－1,∴l 1⊥l 2；对函数y ＝ln x 求导,得y ′＝1x恒大于0,斜率之积不可能为－1;对函数y ＝e x 求导,得y ′＝e x恒大于0,斜率之积不可能为－1;对函数y ＝x 3,得y ′＝2x 2恒大于等于0,斜率之积不可能为－1.故选A.]2.B [设x 年后该公司全年投入的研发资金为200万元,由题可知,130(1＋12%)x＝200,解得x ＝log 1.12200130＝lg 2－lg 1.3lg 1.12≈3.80,因资金需超过200万,则x 取4,即2019年.选B.]3.D [汽车每消耗1升汽油行驶的里程为“燃油效率”,由此理解A 显然不对；B 应是甲车耗油最少；C 甲车以80千米/小时的速度行驶10 km,消耗1升汽油.故D 正确.]4.D [设年平均增长率为x ,原生产总值为a ,则(1＋p )(1＋q )a ＝a (1＋x )2,解得x ＝（1＋p ）（1＋q ）－1,故选D.]5.B [不妨令0≤y <x ≤1,当0<x －y ≤12时,|f (x )－f (y )|<12|x －y |≤14；当12<x －y ≤1时,|f (x )－f (y )|＝|[f (x )－f (1)]－[f (y )－f (0)]|≤|f (x )－f (1)|＋|f (y )－f (0)|<12|x －1|＋12|y －0|＝12(1－x )＋12y ＝12＋12(y －x )<14.综上,|f (x )－f (y )|<14,所以k ≥14.]6.24 [由题意⎩⎪⎨⎪⎧e b＝192，e22k ＋b ＝48，∴e 22k ＝48192＝14,∴e 11k＝12,∴x ＝33时,y ＝e33k ＋b＝(e 11k )3·e b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123·e b＝18×192＝24.]7.解 (1)由题意知,点M ,N 的坐标分别为(5,40),(20,2.5).将其分别代入y ＝ax 2＋b ,得⎩⎪⎨⎪⎧a25＋b ＝40，a 400＋b＝2.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1 000，b ＝0.(2)①由(1)知,y ＝1 000x2(5≤x ≤20),则点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫t ，1 000t2,设在点P 处的切线l 交x ,y 轴分别于A ,B 点,y ′＝－2 000x3, 则l 的方程为y －1 000t 2＝－2 000t3(x －t ),由此得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 2，0,B ⎝⎛⎭⎪⎫0，3 000t 2.故f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3 000t 22＝32t 2＋4×106t4,t ∈[5,20].②设g (t )＝t 2＋4×106t 4,则g ′(t )＝2t －16×106t5. 令g ′(t )＝0,解得t ＝10 2.当t ∈(5,102)时,g ′(t )＜0,g (t )是减函数； 当t ∈(102,20)时,g ′(t )＞0,g (t )是增函数. 从而,当t ＝102时,函数g (t )有极小值,也是最小值, 所以g (t )min ＝300,此时f (t )min ＝15 3.答：当t ＝102时,公路l 的长度最短,最短长度为153千米. 8.(1)x (2)x [过点(a ,f (a )),(b ,－f (b ))的直线的方程为y －f (a )＝f （a ）＋f （b ）a －b(x －a ),令y ＝0得c ＝af （b ）＋bf （a ）f （a ）＋f （b ）.(1)令几何平均数ab ＝af （b ）＋bf （a ）f （a ）＋f （b ）⇒abf (a )＋abf (b )＝bf (a )＋af (b ),可取f (x )＝x (x >0)； (2)令调和平均数2ab a ＋b ＝af （b ）＋bf （a ）f （a ）＋f （b ）⇒ab ＋ba a ＋b ＝af （b ）＋bf （a ）f （a ）＋f （b ）,可取f (x )＝x (x >0).]9.(210,＋∞) [函数g (x )的定义域是[－2,2],根据已知得h （x ）＋g （x ）2＝f (x ),所以h (x )＝2f (x )－g (x )＝6x ＋2b －4－x 2.h (x )>g (x )恒成立,即6x ＋2b －4－x 2>4－x 2恒成立,即3x ＋b >4－x 2恒成立,令y ＝3x ＋b ,y ＝4－x 2,则只要直线y ＝3x ＋b 在半圆x 2＋y 2＝4(y ≥0)上方即可,由|b |10>2,解得b >210(舍去负值),故实数b 的取值范围是(210,＋∞).]B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.A [依题题可设S A (t )＝20＋kt ,S B (t )＝mt . 又S A (100)＝S B (100),∴100k ＋20＝100m ,得k －m ＝－0.2,于是S A (150)－S B (150)＝20＋150k －150m ＝20＋150×(－0.2)＝－10,即两种方式电话费相差10元,选A.]2.B [由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得,曲线上的点的切线斜率应逐渐增大,故函数的图象应一直是下凹的,故选B.]3. D [以汽车停止位置为参照,人所走过的位移为－25＋6t ,汽车在时间t 内的位移为s ＝12t 2,故设相对位移为y m,则y ＝－25＋6t －12t 2＝－12(t －6)2－7,故不能追上汽车,且当t＝6时,其间最近距离为7米.故选D.] 4.16 [依题意有a ·e－b ×8＝12a ,∴b ＝ln 28,∴y ＝a ·e－ln 28·t . 若容器中只有开始时的八分之一,则有a ·e－ln 28·t ＝18a .解得t ＝24,∴再经过的时间为24－8＝16 min.]5.9 [由题意,第k 档次时,每天可获利润为：y ＝[8＋2(k －1)][60－3(k －1)]＝－6k 2＋108k ＋378(1≤k ≤10),配方可得y ＝－6(k －9)2＋864,∴当k ＝9时,获得利润最大.]6.解 (1)P ＝⎩⎪⎨⎪⎧10－x ，x ∈[1，10]，x －10，x ∈[11，20](x ∈N *),Q ＝100－（x －10）2,x ∈[1,20],x ∈N *,∴y ＝100QP ＝100（x －10）2[100－（x －10）2],x ∈[1,20],x ∈N *.(2)∵(x －10)2[100－(x －10)2]≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x －10）2＋100－（x －10）222＝2 500, 当且仅当(x －10)2＝100－(x －10)2, 即x ＝10±52时,y 有最大值.又x ∈N *,∴当x ＝3或17时,y max ＝70051≈4 999,此时,P ＝7. 答：第3天或第17天销售收入最高,此时应将单价P 定为7元为好. 7.解: 依题意得g (x )＝x ＋3,设利润函数为f (x ),则f (x )＝r (x )－g (x )所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x 2＋6x －13.5（0≤x ≤7）10.5－x （x >7）(1)要使工厂盈利,则有f (x )>0,因为f (x )>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤7，－0.5x 2＋6x －13.5>0，或⎩⎪⎨⎪⎧x >7，10.5－x >0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤7，x 2－12x ＋27<0 或⎩⎪⎨⎪⎧x >7，10.5－x >0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤7，3<x <9，或7<x <10.5. 则3<x ≤7或7<x <10.5,即3<x <10.5,所以要使工厂盈利,产品数量应控制在大于300台小于1 050台的范围内. (2)当3<x ≤7时,f (x )＝－0.5(x －6)2＋4.5, 故当x ＝6时,f (x )有最大值4.5. 而当x >7时,f (x )<10.5－7＝3.5. 所以当工厂生产600台产品时盈利最大.。

第一节 函数的概念A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2015·某某，7)存在函数f (x )满足：对任意x ∈R 都有( )A.f (sin 2x )＝sin xB.f (sin 2x )＝x 2＋x C.f (x 2＋1)＝|x ＋1| D.f (x 2＋2x )＝|x ＋1|2.(2015·新课标全国Ⅱ，5)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 22－x ，x ＜1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A.3B.6C.9D.12 3.(2014·某某，3)函数f (x )＝1log 2x2－1的定义域为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.(2，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) 4.(2014·某某，2)函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( )A.(0,1)B.[0,1]C.(－∞，0)∪(1，＋∞)D.(－∞，0]∪[1，＋∞)5.(2014·某某，3)已知函数f (x )＝5|x |，g (x )＝ax 2－x (a ∈R ).若f [g (1)]＝1，则a ＝( ) A.1 B.2 C.3 D.－16.(2014·某某，9)若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A.5或8 B.－1或5C.－1或－4 D.－4或87.(2014·某某，18)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －a 2，x ≤0，x ＋1x＋a ，x >0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值X 围为( )A.[－1,2]B.[－1,0]C.[1,2]D.[0,2]8.(2016·某某，5)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________. 9.(2015·某某，10)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x－3，x ≥1，lg x 2＋1，x ＜1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·某某师X 大学附属中学第七次月考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin π8x ，x ≥0，f （x ＋5）＋2，x ＜0，则f (－2016)的值为( )A.810B.809C.808D.806 2.(2016·某某某某12月摸底考试)函数y ＝13x －2＋lg(2x －1)的定义域是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，233.(2016·豫南豫北十校模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx 6，0<x ≤8，log 2x ，x >8，则f (f (－16))＝( ) A.－12 B.－32 C.12D.324.(2015·某某滨州模拟)已知函数f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x2，则f (3)＝( )A.8B.9C.11D.105.(2015·某某某某模拟)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，ln x ，x >1，则f (f (e))(e 为自然对数的底数)＝( ) A.0B.1C.2D.ln(e 2＋1)6.(2015·东城模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 13x ，x >0，2x ，x ≤0，若f (a )>12，则实数a 的取值X 围是( )A.(－1,0)∪(3,＋∞)B.(－1,3)C.(－1,0)∪⎝⎛⎭⎪⎫33，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－1，337.(2016·豫南九校联考)若函数y ＝f (x )的定义域为[0，2]，则函数g (x )＝f （2x ）x －1的定义域是________.8.(2016·某某某某模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋1，x ≥1，log 2（1－x ），x ＜1，则f (f (4))＝________；若f (a )＜－1，则a 的取值X 围为________.9.(2015·某某聊城模拟)设二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (x )＝0的两个实根的平方和为10，f (x )的图象过点(0，3)，求f (x )的解析式.答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.D [排除法，A 中，当x 1＝π2，x 2＝－π2时，f (sin 2x 1)＝f (sin 2x 2)＝f (0)，而sin x 1≠sin x 2，∴A 不对；B 同上；C 中，当x 1＝－1，x 2＝1时，f (x 21＋1)＝f (x 22＋1)＝f (2)，而|x 1＋1|≠|x 2＋1|，∴C 不对，故选D.]2.C [因为－2＜1，log 212＞log 28＝3＞1，所以f (－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝1＋log 24＝3，f (log 212)＝2log 212－1＝2log 212×2－1＝12×12＝6，故f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9，故选C.]3.C [(log 2x )2－1>0，即log 2x >1或log 2x <－1，解得x >2或0＜x <12，故所求的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞).] 4.C [由题意可得x 2－x >0，解得x >1或x <0，所以所求函数的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞).]5.A [因为f [g (1)]＝1，且f (x )＝5|x |，所以g (1)＝0，即a ·12－1＝0，解得a ＝1.]6.D [当a ≥2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1，x >－1，x ＋a －1，－a 2≤x ≤－1，－3x －a －1，x <－a2，如图1可知，当x ＝－a2时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a2－1＝3，可得a ＝8；当a <2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1，x >－a2，－x －a ＋1，－1≤x ≤－a 2，－3x －a －1，x <－1，如图2可知，当x ＝－a2时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a2＋1＝3，可得a ＝－4.综上可知，答案为D.]图1 图27.D [∵当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，又f (0)是f (x )的最小值，∴a ≥0.当x >0时，f (x )＝x ＋1x＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”.要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解之，得－1≤a ≤2，∴a 的取值X 围是0≤a ≤2.选D.]8. [-3,1] [要使原函数有意义，需且仅需3-2x -x 2≥0.解得-3≤x ≤1.故函数定义域为[-3，1].]9.0 22－3 [f (f (－3))＝f (1)＝0，当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x－3≥22－3，当且仅当x ＝2时，取等号；当x ＜1时，f (x )＝lg(x 2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x ＝0时，取等号，∴f (x )的最小值为22－3.]B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.B [f (－2 016)＝f (－2 011)＋2＝f (－2 006)＋4＝…＝f (－1)＋403×2＝f (4)＋404×2＝808＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8×4＝809.]2.C [由⎩⎪⎨⎪⎧3x －2＞0，2x －1＞0，得x ＞23，故选C.]3.C [因为f (x )为奇函数，所以f (f (－16))＝－f (f (16))＝－f (4)＝－cos 2π3＝12，故选C.]4.C [∵f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋2，∴f (3)＝9＋2＝11.]5.C [f (f (e))＝f (1)＝2，故选C.]6.D [由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧a >0，log 13a >12或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，2a >12.所以a 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，33，故选D.]7. [0，1) [∵0≤2x ≤2，∴0≤x ≤1，又x －1≠0，即x ≠1.∴0≤x <1.即函数g (x )的定义域是[0，1).]8. 5 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞) [f (4)＝－2×42＋1＝－31，f (f (4))＝f (－31)＝log 2(1＋31)＝5.当a ≥1时，由－2a 2＋1＜－1得a 2＞1，解得a ＞1，当a ＜1时，由log 2(1－a )＜－1，得log 2(1－a )＜log 212，∴0＜1－a ＜12，∴12＜a ＜1.即a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞).]9.解 ∵f (2＋x )＝f (2－x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝2对称. 于是，设f (x )＝a (x －2)2＋k (a ≠0)，则由f (0)＝3，可得k ＝3－4a ， ∴f (x )＝a (x －2)2＋3－4a ＝ax 2－4ax ＋3. ∵ax 2－4ax ＋3＝0的两实根的平方和为10，∴10＝x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝16－6a，∴a ＝1.∴f (x )＝x 2－4x ＋3.。

专题02函数的概念与基本初等函数考纲解读三年高考分析1.函数(1)了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.(2)在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数.(3)了解简单的分段函数,并能简单应用.(4)理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.(5)会运用函数图像理解和研究函数的性质.2.指数函数(1)了解指数函数模型的实际背景.(2)理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算.(3)理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图像通过的特殊点.(4)知道指数函数是一类重要的函数模型.3.对数函数(1)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.(2)理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图像通过的特殊点.(3)知道对数函数是一类重要的函数模型.（4）了解指数函数y =a x 与对数函数y =log a x 互为反函数(a >0,且a ≠1)4.幂函数（1）了解幂函数的概念（2）结合函数y =x ,y =x 2,y =x 3,y =1x,y =12x 的图像,了解它们的变化情况.5.函数与方程6.函数模型及其应用函数的单调性和分段函数是考查的重点，解题时常用到函数的单调性和函数的周期性，考查学生的数形结合思想和计算推理能力，题型以选择填空题为主，中等难度.1、以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域；分段函数以及函数与其他知识的综合是高考热点，题型既有选择、填空题，又有解答题，中等偏上难度.2、以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以选择、填空题为主，中等偏上难度.3、利用函数零点的存在性定理或函数的图象，对函数是否存在零点进行判断或利用零点(方程实根)的存在情况求相关参数的范围，是高考的热点，题型以选择、填空为主，也可和导数等知识交汇出现解答题，中高档难度.1．【2019年天津理科06】已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【解答】解：由题意，可知：a＝log52＜1，b＝log0.50.2log25＞log24＝2．c＝0.50.2＜1，∴b最大，a、c都小于1．∵a＝log52，c＝0.50.2．而log25＞log24＝2，∴．∴a＜c，∴a＜c＜b．故选：A．2．【2019年天津理科08】已知a∈R．设函数f（x）若关于x的不等式f（x）≥0在R上恒成立，则a的取值范围为（）A．[0，1]B．[0，2]C．[0，e]D．[1，e]【解答】解：当x＝1时，f（1）＝1﹣2a+2a＝1＞0恒成立；当x＜1时，f（x）＝x2﹣2ax+2a≥0⇔2a恒成立，令g（x）（1﹣x2）≤﹣（22）＝0，∴2a≥g（x）max＝0，∴a＞0．当x＞1时，f（x）＝x﹣alnx≥0⇔a恒成立，令h（x），则h′（x），当x＞e时，h′（x）＞0，h（x）递增，当1＜x＜e时，h′′（x）＜0，h（x）递减，∴x＝e时，h（x）取得最小值h（e）＝e，∴a≤h（x）e，综上a的取值范围是[0，e]．故选：C．3．【2019年新课标3理科11】设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（）A．f（log3）＞f（2）＞f（2）B．f（log3）＞f（2）＞f（2）C．f（2）＞f（2）＞f（log3）D．f（2）＞f（2）＞f（log3）【解答】解：∵f（x）是定义域为R的偶函数∴，∵log34＞log33＝1，，∴0f（x）在（0，+∞）上单调递减，∴，故选：C．4．【2019年全国新课标2理科12】设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）＝2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）．若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x），则m的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，]C．（﹣∞，]D．（﹣∞，]【解答】解：因为f（x+1）＝2f（x），∴f（x）＝2f（x﹣1），∵x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）∈[，0]，∴x∈（1，2]时，x﹣1∈（0，1]，f（x）＝2f（x﹣1）＝2（x﹣1）（x﹣2）∈[，0]；∴x∈（2，3]时，x﹣1∈（1，2]，f（x）＝2f（x﹣1）＝4（x﹣2）（x﹣3）∈[﹣1，0]，当x∈（2，3]时，由4（x﹣2）（x﹣3）解得m或m，若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x），则m．故选：B．5．【2019年新课标1理科03】已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a【解答】解：a＝log20.2＜log21＝0，b＝20.2＞20＝1，∵0＜0.20.3＜0.20＝1，∴c＝0.20.3∈（0，1），∴a＜c＜b，故选：B．6．【2019年浙江06】在同一直角坐标系中，函数y，y＝1og a（x）（a＞0且a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：由函数y，y＝1og a（x），当a＞1时，可得y是递减函数，图象恒过（0，1）点，函数y＝1og a（x），是递增函数，图象恒过（，0）；当1＞a＞0时，可得y是递增函数，图象恒过（0，1）点，函数y＝1og a（x），是递减函数，图象恒过（，0）；∴满足要求的图象为：D故选：D．7．【2019年浙江09】设a，b∈R，函数f（x）若函数y＝f（x）﹣ax﹣b 恰有3个零点，则（）A．a＜﹣1，b＜0B．a＜﹣1，b＞0C．a＞﹣1，b＜0D．a＞﹣1，b＞0【解答】解：当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得x；y＝f（x）﹣ax﹣b最多一个零点；当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣b x3（a+1）x2+ax﹣ax﹣b x3（a+1）x2﹣b，y′＝x2﹣（a+1）x，当a+1≤0，即a≤﹣1时，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上递增，y＝f（x）﹣ax﹣b最多一个零点．不合题意；当a+1＞0，即a＜﹣1时，令y′＞0得x∈[a+1，+∞），函数递增，令y′＜0得x∈[0，a+1），函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3个零点⇔函数y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点，如右图：∴0且，解得b＜0，1﹣a＞0，b（a+1）3．故选：C．8．【2018年新课标1理科09】已知函数f（x），g（x）＝f（x）+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0）B．[0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：由g（x）＝0得f（x）＝﹣x﹣a，作出函数f（x）和y＝﹣x﹣a的图象如图：当直线y＝﹣x﹣a的截距﹣a≤1，即a≥﹣1时，两个函数的图象都有2个交点，即函数g（x）存在2个零点，故实数a的取值范围是[﹣1，+∞），故选：C．9．【2018年新课标2理科11】已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝（）A．﹣50B．0C．2D．50【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）＝f（1+x），∴f（1﹣x）＝f（1+x）＝﹣f（x﹣1），f（0）＝0，则f（x+2）＝﹣f（x），则f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，∵f（1）＝2，∴f（2）＝f（0）＝0，f（3）＝f（1﹣2）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2，f（4）＝f（0）＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2+0﹣2+0＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）＝f（1）+f（2）＝2+0＝2，故选：C．10．【2018年新课标3理科12】设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则（）A．a+b＜ab＜0B．ab＜a+b＜0C．a+b＜0＜ab D．ab＜0＜a+b【解答】解：∵a＝log0.20.3，b＝log20.3，∴，，∵，，∴ab＜a+b＜0．故选：B．11．【2018年上海16】设D是含数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（）A．B．C．D．0【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当f（1），，0时，此时得到的圆心角为，，0，然而此时x＝0或者x＝1时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，因此只有当x，此时旋转，此时满足一个x只会对应一个y，因此答案就选：B．故选：B．12．【2018年北京理科04】“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（）A．f B．f C．f D．f【解答】解：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为：．故选：D．13．【2018年天津理科05】已知a＝log2e，b＝ln2，c，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b【解答】解：a＝log2e＞1，0＜b＝ln2＜1，c log23＞log2e＝a，则a，b，c的大小关系c＞a＞b，故选：D．14．【2017年新课标1理科05】函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）＝﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[0，4]D．[1，3]【解答】解：∵函数f（x）为奇函数．若f（1）＝﹣1，则f（﹣1）＝1，又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1，∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），∴﹣1≤x﹣2≤1，解得：x∈[1，3]，故选：D．15．【2017年新课标1理科11】设x、y、z为正数，且2x＝3y＝5z，则（）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z【解答】解：x、y、z为正数，令2x＝3y＝5z＝k＞1．lgk＞0．则x，y，z．∴3y，2x，5z．∵，．∴lg0．∴3y＜2x＜5z．另解：x、y、z为正数，令2x＝3y＝5z＝k＞1．lgk＞0．则x，y，z．∴1，可得2x＞3y，1．可得5z＞2x．综上可得：5z＞2x＞3y．解法三：对k取特殊值，也可以比较出大小关系．故选：D．16．【2017年浙江05】若函数f（x）＝x2+ax+b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M﹣m（）A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关【解答】解：函数f（x）＝x2+ax+b的图象是开口朝上且以直线x为对称轴的抛物线，①当1或0，即a＜﹣2，或a＞0时，函数f（x）在区间[0，1]上单调，此时M﹣m＝|f（1）﹣f（0）|＝|a+1|，故M﹣m的值与a有关，与b无关②当1，即﹣2≤a≤﹣1时，函数f（x）在区间[0，]上递减，在[，1]上递增，且f（0）＞f（1），此时M﹣m＝f（0）﹣f（），故M﹣m的值与a有关，与b无关③当0，即﹣1＜a≤0时，函数f（x）在区间[0，]上递减，在[，1]上递增，且f（0）＜f（1），此时M﹣m＝f（1）﹣f（）＝1+a，故M﹣m的值与a有关，与b无关综上可得：M﹣m的值与a有关，与b无关故选：B．17．【2017年北京理科05】已知函数f（x）＝3x﹣（）x，则f（x）（）A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数【解答】解：f（x）＝3x﹣（）x＝3x﹣3﹣x，∴f（﹣x）＝3﹣x﹣3x＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，又由函数y＝3x为增函数，y＝（）x为减函数，故函数f（x）＝3x﹣（）x为增函数，故选：A．18．【2017年北京理科08】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与最接近的是（）（参考数据：lg3≈0.48）A．1033B．1053C．1073D．1093【解答】解：由题意：M≈3361，N≈1080，根据对数性质有：3＝10lg3≈100.48，∴M≈3361≈（100.48）361≈10173，∴1093，故选：D．19．【2017年天津理科06】已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）＝xf（x）．若a＝g（﹣log25.1），b ＝g（20.8），c＝g（3），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【解答】解：奇函数f（x）在R上是增函数，当x＞0，f（x）＞f（0）＝0，且f′（x）＞0，∴g（x）＝xf（x），则g′（x）＝f（x）+xf′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）单调递增，且g（x）＝xf（x）偶函数，∴a＝g（﹣log25.1）＝g（log25.1），则2＜log25.1＜3，1＜20.8＜2，由g（x）在（0，+∞）单调递增，则g（20.8）＜g（log25.1）＜g（3），∴b＜a＜c，故选：C．20．【2017年天津理科08】已知函数f（x），设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥|a|在R上恒成立，则a的取值范围是（）A．[，2]B．[，]C．[﹣2，2]D．[﹣2，]【解答】解：当x≤1时，关于x的不等式f（x）≥|a|在R上恒成立，即为﹣x2+x﹣3a≤x2﹣x+3，即有﹣x2x﹣3≤a≤x2x+3，由y＝﹣x2x﹣3的对称轴为x1，可得x处取得最大值；由y＝x2x+3的对称轴为x1，可得x处取得最小值，则a①当x＞1时，关于x的不等式f（x）≥|a|在R上恒成立，即为﹣（x）a≤x，即有﹣（x）≤a，由y＝﹣（x）≤﹣22（当且仅当x1）取得最大值﹣2；由y x22（当且仅当x＝2＞1）取得最小值2．则﹣2a≤2②由①②可得，a≤2．另解：作出f（x）的图象和折线y＝|a|当x≤1时，y＝x2﹣x+3的导数为y′＝2x﹣1，由2x﹣1，可得x，切点为（，）代入y a，解得a；当x＞1时，y＝x的导数为y′＝1，由1，可得x＝2（﹣2舍去），切点为（2，3），代入y a，解得a＝2．由图象平移可得，a≤2．故选：A．21．【2019年全国新课标2理科14】已知f（x）是奇函数，且当x＜0时，f（x）＝﹣e ax．若f（ln2）＝8，则a＝．【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴f（﹣ln2）＝﹣8，又∵当x＜0时，f（x）＝﹣e ax，∴f（﹣ln2）＝﹣e﹣aln2＝﹣8，∴﹣aln2＝ln8，∴a＝﹣3．故答案为：﹣322．【2019年江苏04】函数y的定义域是．【解答】解：由7+6x﹣x2≥0，得x2﹣6x﹣7≤0，解得：﹣1≤x≤7．∴函数y的定义域是[﹣1，7]．故答案为：[﹣1，7]．23．【2019年江苏14】设f（x），g（x）是定义在R上的两个周期函数，f（x）的周期为4，g（x）的周期为2，且f（x）是奇函数．当x∈（0，2]时，f（x），g（x）其中k＞0．若在区间（0，9]上，关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则k的取值范围是．【解答】解：作出函数f（x）与g（x）的图象如图，由图可知，函数f（x）与g（x）（1＜x≤2，3＜x≤4，5＜x≤6，7＜x≤8）仅有2个实数根；要使关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则f（x），x∈（0，2]与g（x）＝k（x+2），x∈（0，1]的图象有2个不同交点，由（1，0）到直线kx﹣y+2k＝0的距离为1，得，解得k（k＞0），∵两点（﹣2，0），（1，1）连线的斜率k，∴k．即k的取值范围为[，）．故答案为：[，）．24．【2018年江苏05】函数f（x）的定义域为．【解答】解：由题意得：log2x≥1，解得：x≥2，∴函数f（x）的定义域是[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．25．【2018年江苏09】函数f（x）满足f（x+4）＝f（x）（x∈R），且在区间（﹣2，2]上，f（x），则f（f（15））的值为．【解答】解：由f（x+4）＝f（x）得函数是周期为4的周期函数，则f（15）＝f（16﹣1）＝f（﹣1）＝|﹣1|，f（）＝cos（）＝cos，即f（f（15）），故答案为：26．【2018年浙江11】我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x，y，z，则，当z＝81时，x＝，y＝．【解答】解：，当z＝81时，化为：，解得x＝8，y＝11．故答案为：8；11．27．【2018年浙江15】已知λ∈R，函数f（x），当λ＝2时，不等式f（x）＜0的解集是．若函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是．【解答】解：当λ＝2时函数f（x），显然x≥2时，不等式x﹣4＜0的解集：{x|2≤x＜4}；x＜2时，不等式f（x）＜0化为：x2﹣4x+3＜0，解得1＜x＜2，综上，不等式的解集为：{x|1＜x ＜4}．函数f（x）恰有2个零点，函数f（x）的草图如图：函数f（x）恰有2个零点，则1＜λ≤3或λ＞4．故答案为：{x|1＜x＜4}；（1，3]∪（4，+∞）．28．【2018年上海04】设常数a∈R，函数f（x）＝1og2（x+a）．若f（x）的反函数的图象经过点（3，1），则a＝．【解答】解：∵常数a∈R，函数f（x）＝1og2（x+a）．f（x）的反函数的图象经过点（3，1），∴函数f（x）＝1og2（x+a）的图象经过点（1，3），∴log2（1+a）＝3，解得a＝7．故答案为：7．29．【2018年上海07】已知α∈{﹣2，﹣1，，1，2，3}，若幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α＝．【解答】解：∵α∈{﹣2，﹣1，，1，2，3}，幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，∴a是奇数，且a＜0，∴a＝﹣1．故答案为：﹣1．30．【2018年上海11】已知常数a＞0，函数f（x）的图象经过点P（p，），Q（q，）．若2p+q＝36pq，则a＝．【解答】解：函数f（x）的图象经过点P（p，），Q（q，）．则：，整理得：1，解得：2p+q＝a2pq，由于：2p+q＝36pq，所以：a2＝36，由于a＞0，故：a＝6．故答案为：631．【2018年北京理科13】能说明“若f（x）＞f（0）对任意的x∈（0，2]都成立，则f（x）在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是．【解答】解：例如f（x）＝sin x，尽管f（x）＞f（0）对任意的x∈（0，2]都成立，当x∈[0，）上为增函数，在（，2]为减函数，故答案为：f（x）＝sin x．32．【2018年天津理科14】已知a＞0，函数f（x）．若关于x的方程f（x）＝ax 恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是．【解答】解：当x≤0时，由f（x）＝ax得x2+2ax+a＝ax，得x2+ax+a＝0，得a（x+1）＝﹣x2，得a，设g（x），则g′（x），由g′（x）＞0得﹣2＜x＜﹣1或﹣1＜x＜0，此时递增，由g′（x）＜0得x＜﹣2，此时递减，即当x＝﹣2时，g（x）取得极小值为g（﹣2）＝4，当x＞0时，由f（x）＝ax得﹣x2+2ax﹣2a＝ax，得x2﹣ax+2a＝0，得a（x﹣2）＝x2，当x＝2时，方程不成立，当x≠2时，a设h（x），则h′（x），由h′（x）＞0得x＞4，此时递增，由h′（x）＜0得0＜x＜2或2＜x＜4，此时递减，即当x＝4时，h（x）取得极小值为h（4）＝8，要使f（x）＝ax恰有2个互异的实数解，则由图象知4＜a＜8，故答案为：（4，8）33．【2017年江苏14】设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x），其中集合D＝{x|x，n∈N*}，则方程f（x）﹣lgx＝0的解的个数是．【解答】解：∵在区间[0，1）上，f（x），第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，又f（x）是定义在R上且周期为1的函数，∴在区间[1，2）上，f（x），此时f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；同理：区间[2，3）上，f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；区间[3，4）上，f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；区间[4，5）上，f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；区间[5，6）上，f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；区间[6，7）上，f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；区间[7，8）上，f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；区间[8，9）上，f（x）的图象与y＝lgx有且只有一个交点；在区间[9，+∞）上，f（x）的图象与y＝lgx无交点；故f（x）的图象与y＝lgx有8个交点，且除了（1，0），其他交点横坐标均为无理数；即方程f（x）﹣lgx＝0的解的个数是8，故答案为：834．【2017年新课标3理科15】设函数f（x），则满足f（x）+f（x）＞1的x的取值范围是．【解答】解：若x≤0，则x，则f（x）+f（x）＞1等价为x+1+x1＞1，即2x，则x，此时x≤0，当x＞0时，f（x）＝2x＞1，x，当x0即x时，满足f（x）+f（x）＞1恒成立，当0≥x，即x＞0时，f（x）＝x1＝x，此时f（x）+f（x）＞1恒成立，综上x，故答案为：（，+∞）．35．【2017年浙江17】已知a∈R，函数f（x）＝|x a|+a在区间[1，4]上的最大值是5，则a的取值范围是．【解答】解：由题可知|x a|+a≤5，即|x a|≤5﹣a，所以a≤5，又因为|x a|≤5﹣a，所以a﹣5≤x a≤5﹣a，所以2a﹣5≤x5，又因为1≤x≤4，4≤x5，所以2a﹣5≤4，解得a，故答案为：（﹣∞，]．36．【2017年上海08】定义在（0，+∞）上的函数y＝f（x）的反函数为y＝f﹣1（x），若g（x）为奇函数，则f﹣1（x）＝2的解为．【解答】解：若g（x）为奇函数，可得当x＞0时，﹣x＜0，即有g（﹣x）＝3﹣x﹣1，由g（x）为奇函数，可得g（﹣x）＝﹣g（x），则g（x）＝f（x）＝1﹣3﹣x，x＞0，由定义在（0，+∞）上的函数y＝f（x）的反函数为y＝f﹣1（x），且f﹣1（x）＝2，可由f（2）＝1﹣3﹣2，可得f﹣1（x）＝2的解为x．故答案为：．37．【2017年上海09】已知四个函数：①y＝﹣x，②y，③y＝x3，④y，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为．【解答】解：给出四个函数：①y＝﹣x，②y，③y＝x3，④y，从四个函数中任选2个，基本事件总数n，③④有两个公共点（0，0），（1，1）．事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有：①③，①④共2个，∴事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为P（A）．故答案为：．38．【2019年江苏18】如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB （AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA，规划要求：线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB＝10，AC＝6，BD＝12（单位：百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米），求当d最小时，P、Q两点间的距离．【解答】解：设BD与圆O交于M，连接AM，AB为圆O的直径，可得AM⊥BM，即有DM＝AC＝6，BM＝6，AM＝8，以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系，则A（0，﹣6），B（﹣8，﹣12），D（﹣8，0）（1）设点P（x1，0），PB⊥AB，则k BP•k AB＝﹣1，即•1，解得x1＝﹣17，所以P（﹣17，0），PB15；（2）当QA⊥AB时，QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径，设此时Q（x2，0），则k QA•k AB＝﹣1，即•1，解得x2，Q（，0），由﹣17＜﹣8，在此范围内，不能满足PB，QA上所有点到O的距离不小于圆的半径，所以P，Q中不能有点选在D点；（3）设P（a，0），Q（b，0），则a≤﹣17，b，PB2＝（a+8）2+144≥225，QA2＝b2+36≥225，则b≥3，当d最小时，PQ＝17+3．39．【2018年上海19】某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f（x）（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，并说明其实际意义．【解答】解；（1）由题意知，当30＜x＜100时，f （x ）＝2x90＞40，即x 2﹣65x +900＞0，解得x ＜20或x ＞45，∴x ∈（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当0＜x ≤30时，g （x ）＝30•x %+40（1﹣x %）＝40；当30＜x ＜100时，g （x ）＝（2x 90）•x %+40（1﹣x %）x +58；∴g （x ）；当0＜x ＜32.5时，g （x ）单调递减；当32.5＜x ＜100时，g （x ）单调递增；说明该地上班族S 中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．1．【山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试】若函数(()sin ln f x x ax =⋅+的图象关于y 轴对称，则实数a 的值为（）A ．2B ．4C ．2±D ．4±【答案】C 【解析】依题意，函数()f x 为偶函数.由于()sin m x x =为奇函数，故(()ln g x ax =+也为奇函数.而(()ln g x ax -=-+，故((()()ln ln 0g x g x ax ax -+=-+++=，即()222ln 140x a x +-=，解得2a =±.故选：C.2．【广东省东莞市2019届高三第二学期高考冲刺试题（最后一卷)】己知()f x 是定义在R 上的偶函数，在区间(]0-∞，为增函数，且()30f =，则不等式(12)0f x ->的解集为（）A ．()10-，B ．()12-，C ．()02，D ．()2，+∞【答案】B 【解析】根据题意，因为f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间（一∞，0]为增函数，所以函数f （x ）在[0，+∞）上为减函数，由f （3）＝0，则不等式f （1﹣2x ）＞0⇒f （1﹣2x ）＞f （3）⇒|1﹣2x|＜3，解可得：﹣1＜x ＜2，即不等式的解集为（﹣1，2）.故选：B ．3．【天津市河北区2019届高三一模】已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[)0,+∞内单调递减，则（）A ．()()()320log 2log 3f f f <<-B ．()()()32log 20log 3f f f <<-C ．()()()23log 3log 20f f f -<<D ．()()()32log 2log 30f f f <-<【答案】C 【解析】∵f （x ）为偶函数∴()()22f log 3 f log 3-=∵320log 21,log 31,<f （x ）在[0，+∞）内单调递减，∴()()()23f log 3f log 2f 0<<，即()()()23f log 3f log 2f 0-<<故选：C4．【天津市红桥区2019届高三二模】已知 1.22a =，52log 2=b ，1ln 3c =，则（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a>>【答案】A【解析】1.21222a =>=5552log 2log 4log 51b ==<=且55log 4log 10b =>=1ln ln3ln 13c e ==-<-=-即1012c b a<-<<<<<a b c∴>>本题正确选项：A5．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评】已知函数()221log 2xf x x+=-，若()f a b =，则()4f a -=（）A ．bB ．2b-C ．b-D ．4b-【答案】B 【解析】因为()()()()22222213log log log 42222x xf x f x x x -++-=+==---故函数()f x 关于点（2,1）对称，则()4f a -=2b -故选：B6．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评】已知函数()21x f x x =-，则（）A ．()f x 在()0,1单调递增B ．()f x 的最小值为4C ．()y f x =的图象关于直线1x =对称D ．()y f x =的图象关于点()1,2对称【答案】D 【解析】由题意知：()()()()()()222222122111x x x x x x xf x x x x ----'===---当()0,1x ∈时，()0f x '<，则()f x 在()0,1上单调递减，A 错误；当10x -<时，()0f x <，可知()f x 最小值为4不正确，B 错误；()()()22221x f x f x x --=≠--，则()f x 不关于1x =对称，C 错误；()()()()2211114x x f x f x xx+-++-=+=-，则()f x 关于()1,2对称，D 正确.本题正确选项：D7．【山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷（新课标I)】已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时，2()f x x =，则(1)(2)(3)(2019)f f f f ++++=L （）A ．2019B ．0C ．1D ．-1【答案】B 【解析】由()()()42f x f x f x +=-+=得：()f x 的周期为4又()f x 为奇函数()11f ∴=，()()200f f =-=，()()()3111f f f =-=-=-，()()400f f ==即：()()()()12340f f f f +++=()()()()()()()()()1232019505123440f f f f f f f f f ∴+++⋅⋅⋅=⨯+++-=⎡⎤⎣⎦本题正确选项：B8．【天津市红桥区2019届高三一模】若方程2121x kx -=--有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是（）A ．(),1-∞-B ．()1,0-C ．()0,4D ．()()0,11,4 【答案】D 【解析】解：y 21111111x x x x x x -+-⎧==⎨----⎩，＞或＜，＜＜，画出函数y ＝kx ﹣2，y 21x -=-的图象，由图象可以看出，y ＝kx ﹣2图象恒过A （0，﹣2），B （1，2），AB 的斜率为4，①当0＜k ＜1时，函数y ＝kx ﹣2，y 21x -=-的图象有两个交点，即方程21x -=-kx ﹣2有两个不同的实数根；②当k ＝1时，函数y ＝kx ﹣2，y 21x -=-的图象有1个交点，即方程21x -=-kx ﹣2有1个不同的实数根；③当1＜k ＜4时，函数y ＝kx ﹣2，y 211x -=-的图象有两个交点，即方程21x -=-kx ﹣2有两个不同的实数根；④当k 0≤时，函数y ＝kx ﹣2，y 21x -=-的图象有1个交点.因此实数k 的取值范围是0＜k ＜1或1＜k ＜4.故选：D．9．【天津市部分区2019届高三联考一模】设,m n R ∈，则“m n <”是“112m n-⎛⎫> ⎪⎝⎭”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递减，∴若011,0,122m nm n m n -⎛⎫⎛⎫<-<>= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭充分性成立，若112m n-⎛⎫> ⎪⎝⎭，则01122m n-⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，0,m n m n -<<必要性成立，即“m n <”是“112m n-⎛⎫> ⎪⎝⎭”的充要条件，故选C.10．【广东省2019届高考适应性考试】某罐头加工厂库存芒果()m kg ，今年又购进()n kg 新芒果后，欲将芒果总量的三分之一用于加工为芒果罐头。

第六节 函数的图象A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·全国Ⅰ，7)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2，2]的图象大致为( )2.(2016·全国Ⅱ，12)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1m(x i ＋y i )＝( )A.0B.mC.2mD.4m3.(2016·全国Ⅱ，12)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1m(x i ＋y i )＝( )A.0B.mC.2mD.4m4.(2015·新课标全国Ⅱ，10)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为()5.(2015·安徽，9)函数f (x )＝ax ＋bx ＋c 2的图象如图所示，则下列结论成立的是()A.a >0，b >0，c <0B.a <0，b >0，c >0C.a <0，b >0，c <0D.a <0，b <0，c<06.(2015·北京，7)如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( )A.{x |－1＜x ≤0}B.{x |－1≤x ≤1}C.{x |－1＜x ≤1}D.{x |－1＜x ≤2}7. (2014·新课标全国Ⅰ，6)如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]上的图象大致为( )B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·浙江宁波一模)在同一个坐标系中画出函数y ＝a x，y ＝sin ax 的部分图象，其中a >0且a ≠1，则下列所给图象中可能正确的是( )2.(2016·山东菏泽一模)函数y ＝4cos x －e |x |(e 为自然对数的底数)的图象可能是( )3.(2015·广东佛山模拟)已知f (x )＝ax －2，g (x )＝log a |x |(a >0且a ≠1)，若f (4)g (－4)<0，则y ＝f (x )，y ＝g (x )在同一坐标系内的图象大致是( )4.(2015·山东菏泽模拟)已知函数f (x )＝1x －ln x －1，则y ＝f (x )的图象大致为( )5.(2015·山东日照模拟)函数f (x )＝sin xx 2＋1的图象大致为( )6.(2016·贵州贵阳模拟)已知函数f (x )的图象如图所示,则函数g (x )＝log 2f (x )的定义域是________.7.(2016·湖北八校联考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ≤0，log c ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋19，x >0的图象如图所示，则a ＋b ＋c ＝________.8.(2016·重庆巴蜀中学模拟)函数f (x )是定义在[－4，4]上的偶函数，其在[0，4]上的图象如图所示，那么不等式f （x ）cos x<0的解集为________.9.(2015·洛阳月考)已知函数f (x )＝x1＋x .(1)画出f (x )的草图；(2)指出f (x )的单调区间.答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.D [f (2)＝8－e 2>8－2.82>0，排除A ；f (2)＝8－e 2<8－2.72<1，排除B ；在x >0时，f (x )＝2x 2－e x ，f ′(x )＝4x －e x ，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，14时，f ′(x )<14×4－e 0＝0，因此f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，14上单调递减，排除C ，故选D.2.B [当点P 沿着边BC 运动，即0≤x ≤π4时，在Rt △POB 中，|PB |＝|OB |tan ∠POB ＝tan x ，在Rt △PAB 中，|PA |＝|AB |2＋|PB |2＝4＋tan 2x ，则f (x )＝|PA |＋|PB |＝4＋tan 2x ＋tan x ，它不是关于x 的一次函数，图象不是线段，故排除A 和C ； 当点P 与点C 重合，即x ＝π4时，由上得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝4＋tan2π4＋tan π4＝5＋1，又当点P 与边CD 的中点重合，即x ＝π2时，△PAO 与△PBO 是全等的腰长为1的等腰直角三角形，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝|PA |＋|PB |＝2＋2＝22，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，故又可排除D.综上，选B.] 3.C [由图可知－c >0，∴c <0，又当x <－c 时，由图象形状可知，a <0且b >0，故选C.] 4.C [如图，由图知：f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}.]5.C [由题意知，f (x )＝|cos x |·sin x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝cos x ·sin x ＝12sin 2x ；当x ∈⎝⎛⎦⎥⎤π2，π时，f (x )＝－cos x ·sin x ＝－12sin 2x ，故选C.]B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.D [当a >1时，y ＝sin ax 的周期小于2π，排除A 、C ，当0<a <1时，y ＝sin ax 的周期大于2π，故选D.]2. A [函数为偶函数，图象关于y 轴对称，排除B 、D.当x ＝0时，y ＝4cos 0－e 0＝3＞1，故选A. ]3. B [据题意由f (4)g (－4)＝a 2×log a 4<0，得0<a <1，因此指数函数y ＝ax －2(0<a <1)的图象即可确定，排除A ，C ，而y ＝log a |x |(0<a <1)的图象结合函数的单调性可知，故选B.] 4.A [f (x )的定义域为x >0且x ≠1，当x ∈(0，1)时，f (x )>0且为增函数，当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＞0且为减函数，故选A.]5.A [首先由f (x )为奇函数，得图象关于原点对称，排除C 、D,又当0<x <π时,f (x )>0知,选A.]6.(2，8] [当f (x )>0时,函数g (x )有意义,由图象知当x ∈(2,8]时,f (x )>0,即所求定义域为(2,8].]7. 133 [由图知⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝0，f （0）＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＝0，b ＝2，∴a ＝b ＝2，又log c 19＝2，所以c ＝13，则a ＋b ＋c ＝2＋2＋13＝133.]8.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2 [在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上y ＝cos x >0，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，4上y ＝cos x <0.由f (x )的图象知在⎝⎛⎭⎪⎫1，π2上f （x ）cos x <0，因为f (x )为偶函数，所以y ＝f （x ）cos x 为偶函数，所以f （x ）cos x <0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪⎝⎛⎭⎪⎫1，π2.]9. 解(1)f (x )＝x1＋x＝1－1x ＋1，函数f (x )的图象是由反比例函数y ＝－1x的图象向左平移1个单位后，再向上平移1个单位得到，图象如图所示.(2)由图象可以看出，函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)，(－1，＋∞).。

第一节 函数的概念A 组三年高考真题（2016～2014年）1.(2015·湖北，7)设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则( )A ．|x |＝x |sgn x |B ．|x |＝x sgn |x |C ．|x |＝|x |sgn xD ．|x |＝x sgn x2.(2015·重庆，3)函数f (x )＝log 2(x 2＋2x －3)的定义域为( ) A ．[－3,1]B ．(－3,1)C ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)3.(2015·湖北，6)函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( )A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)∪(3,4]D ．(－1,3)∪(3,6]4.(2015·新课标全国Ⅰ，10)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2x ＋1，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－145.(2015·山东，10)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x ＜1，2x ，x ≥1.若f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫56＝4，则b ＝( ) A ．1 B.78C.34D.126.(2015·陕西，4)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x ＜0，则f (f (－2))＝( )A ．－1 B.14C.12D.327.(2014·山东，3)函数f (x )＝1log 2x －1的定义域为( )A ．(0,2)B ．(0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)8.(2014·江西，4)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x ，x ≥02－x ，x ＜0(a ∈R )，若f [f (－1)]＝1，则a ＝( )A.14B.12C ．1D ．2 9.(2015·新课标全国Ⅱ，13)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，则a ＝________.B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·安徽安庆三模)函数f (x )＝1ln （2x ＋1）的定义域是( )A.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－12，0∪(0，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫－12，＋∞ D.[0，＋∞)2.(2016·河南六市一联)函数y ＝x 2－2x －3＋log 3(x ＋2)的定义域为( ) A.(－∞，－1)∪(3，＋∞) B.(－∞，－1)∪[3，＋∞) C.(－2，－1]D.(－2，－1]∪[3，＋∞) 3.(2016·衡水中学调研)下列函数中，与函数y ＝13x的定义域相同的是( )A.y ＝1sin xB.y ＝ln xxC.y ＝cos x xD.y ＝x 3e x4.(2016·广东茂名第二次模拟)设函数f (x )＝{3-11+log (2-)131x x x x ⎧<⎪⎨≥⎪⎩，，，，则f (-7)+ f (log 312)= ( ) A.7 B.9 C.11D.135.(2015·湖南益阳模拟)函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的值域为( ) A.(0，＋∞) B.[0，＋∞) C.(1，＋∞)D.[1，＋∞)6.(2015·眉山市一诊)若f (x )＝4log 2x ＋2，则f (2)＋f (4)＋f (8)＝( ) A.12 B.24 C.30D.487.(2016·长春质量监测)函数f (x )＝1－ln xln x的定义域为________. 8.(2015·绵阳市一诊)已知函数f (x )＝3x －22x －1，则f ⎝⎛⎭⎫111＋f ⎝⎛⎭⎫211＋f ⎝⎛⎭⎫311＋…＋f ⎝⎛⎭⎫1011＝________.答案精析A 组三年高考真题（2016～2014年）(2016年高考题6月底更新)1.解析对于选项A ，右边＝x |sgn x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≠0，0，x ＝0，而左边＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，显然不正确；对于选项B ，右边＝x sgn|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≠0，0，x ＝0，而左边＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，显然不正确； 对于选项C ，右边＝|x |sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >00，x ＝0x ，x <0，而左边＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，显然不正确；对于选项D ，右边＝x sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，0，x ＝0，－x ，x <0，而左边＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，显然正确.故应选D.答案 D2.解析需满足x 2＋2x －3＞0，解得x ＞1或x ＜－3，所以f (x )的定义域为(－∞，－3)∪ (1，＋∞)． 答案 D3.解析依题意，有4－|x |≥0，解得－4≤x ≤4；① 且x 2－5x ＋6x －3>0，解得x >2且x ≠3，②由①②求交集得函数的定义域为(2，3)∪(3，4]．故选C. 答案 C4.解析若a ≤1，f (a )＝2a －1－2＝－3，2a －1＝－1(无解)； 若a >1，f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3，a ＝7， f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝14－2＝－74.答案 A5.解析由题意，得f ⎝⎛⎭⎫56＝3×56－b ＝52－b . 若52－b ≥1，即b ≤32时，522=4b -，解得b ＝12. 若52－b ＜1，即b ＞32时，3×⎝⎛⎭⎫52－b －b ＝4，解得b ＝78(舍去)． 所以b ＝12.答案 D6.解析∵f (－2)＝2－2＝14＞0，则f (f (－2))＝f ⎝⎛⎭⎫14＝1－14＝1－12＝12，故选C. 答案 C7.解析由题意可知x 满足log 2x －1＞0，即log 2x ＞log 22，根据对数函数的性质得x ＞2， 即函数f (x )的定义域是(2，＋∞)． 答案 C8.解析因为－1＜0，所以f (－1)＝(1)2－－＝2，又2＞0，所以f [f (－1)]＝f (2)＝a ·22＝1， 解得a ＝14.答案 A9.解析由函数f (x )＝ax 3－2x 过点(－1，4)，得4＝a (－1)3－2×(－1)，解得a ＝－2. 答案－2B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.解析 由ln(2x ＋1)≠0且2x ＋1>0得x >－12且x ≠0.答案 B2.解析要使函数有意义需满足2-2-30+20x x x ⎧≥⎨>⎩，，即3-1-2x x x ≥≤⎧⎨>⎩或，，所以其定义域为(－2，－1]∪[3，＋∞)，故选D. 答案 D3.解析 易知函数y ＝13x 的定义域为{x |x ≠0}，而函数y ＝1sin x 的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }，函数y ＝ln x x 的定义域为{x |x >0}，函数y ＝cos xx 的定义域为{x |x ≠0}，函数y ＝x 3e x 的定义域为实数集R ，所以与函数y ＝13x 的定义域相同的函数是y ＝cos xx ，故选C.答案 C4.解析 f (－7)＝1＋log 39＝3，f (log 312)＝f (1＋log 34)＝3log 34＝4. 所以f (－7)＋f (log 312)＝3＋4＝7. 答案 A5.解析 ∵3x ＋1＞1，且y ＝log 2x 在(0，＋∞)上为增函数， ∴f (x )＞0，∴f (x )的值域为(0，＋∞).故选A. 答案 A6.解析 ∵f (2)＝4log 22＋2＝4×1＋2＝6，f (4)＝4log 24＋2＝4×2＋2＝10， f (8)＝4log 28＋2＝4×3＋2＝14， ∴f (2)＋f (4)＋f (8)＝6＋10＋14＝30. 答案 C7.解析由函数f (x )的解析式可得1-ln 0ln 00x x x ≥⎧⎪≠⎨⎪>⎩，，，即ln 1ln 00x x x ≤⎧⎪≠⎨⎪>⎩，，，解得0x e <≤且 1.x ≠所以函数f (x )的定义域为(0，1)∪(1，e]. 答案 (0，1)∪(1，e]8.解析 因为f (x )＝3x －22x －1，所以f (1－x )＝3（1－x ）－22（1－x ）－1＝3x －12x －1，所以f (x )＋f (1－x )＝3，所以所求＝3×102＝15.答案 15。

第四节 指数与指数函数A 组三年高考真题（2016～2014年）1.(2014·辽宁，3)已知a ＝132-，b ＝log 213，c ＝121log 3，则( ) A.a >b >c B.a >c >b C.c >a >b D.c >b >a2.(2015·山东，14)已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，a ≠1) 的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________.3.(2014·上海，9)若f (x )＝23x －12x -，则满足f (x )<0的x 的取值范围是________.B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·安徽马鞍山模拟)下列各式比较大小正确的是( )A.1.72.5＞1.73B.0.6－1＞0.62C.0.8－0.1＞1.250.2D.1.70.3＜0.93.12.(2016·安徽马鞍山模拟)函数f (x )＝a x －1(a >0，a ≠1)的图象恒过点A ，下列函数中图象不经过点A 的是( )A.y ＝1－xB.y ＝|x －2|C.y ＝2x －1D.y ＝log 2(2x )3.(2016·山东青岛模拟)已知函数f (x )＝e |ln x |，则函数y ＝f (x ＋1)的大致图象为()4.(2016·福建福州模拟)设12<⎝⎛⎭⎫12b <⎝⎛⎭⎫12a<1, 那么( ) A.a a <a b <b a B.a a <b a <a b C.a b <a a <b a D.a b <b a <a a5.(2015·辽宁沈阳模拟)已知函数f (x )＝2x －12x ＋1，则不等式f (x －2)＋f (x 2－4)<0的解集为( ) A.(－1，6) B.(－6，1) C.(－2，3) D.(－3，2)6.(2015·广东汕头模拟)若函数y ＝a x ＋b －1(a >0且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有( )A.0<a <1且b >0B.a >1且b >0C.0<a <1且b <0D.a >1且b <07.(2015·浙江湖州模拟)已知函数f (x )＝m ·9x －3x ，若存在非零实数x 0，使得f (－x 0)＝f (x 0)成立，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫12，＋∞B.⎝⎛⎭⎫0，12C.(0，2)D.[2，＋∞)8.(2016·浙江温州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，0≤x <1，2x －12，x ≥1，设a >b ≥0，若f (a )＝f (b )，则b ·f (a ) 的取值范围是________.9.(2016·豫晋冀三省调研)设函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在x ∈[－1，1]上的最大值与最小值之和为g (a )，则函数g (a )的取值范围是________.答案精析A 组三年高考真题（2016～2014年）1.C[a ＝2－13∈(0，1)，b ＝log 213∈(－∞，0)，c ＝log 1213＝log 23∈(1，＋∞)，所以c >a >b .] 2.－32[当a ＞1时，f (x )＝a x ＋b 在定义域上为增函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，方程组无解； 当0＜a ＜1时，f (x )＝a x ＋b 在定义域上为减函数，∴⎩⎨⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2.∴a ＋b ＝－32.] 3.(0，1) [令y 1＝x 23，y 2＝12x -，f (x )<0即为y 1<y 2，函数y 1＝x 23，y 2＝12x -的图象如图所示，由图象知：当0<x <1时，y 1<y 2，所以满足f (x )<0的x 的取值范围是(0，1).]B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.B [A 中，∵函数y ＝1.7x 在R 上是增函数，2.5＜3，∴1.72.5＜1.73.B 中，∵y ＝0.6x 在R 上是减函数，－1＜2，∴0.6－1＞0.62. C 中，∵(0.8)－1＝1.25，y ＝1.25x 在R 上是增函数， 0.1＜0.2，∴1.250.1＜1.250.2，即0.8－0.1＜1.250.2.D 中，∵函数y ＝1.7x 在R 上是增函数且0.3＞0，∴1.70.3＞1.70＝1，又函数y ＝0.9x 在R 上是减函数且3.1＞0，∴0.93.1＜0.90＝1.故1.70.3＞0.93.1.2. A[易知A (1，1)，经验证可得y ＝1－x 的图象不经过点A (1，1)，故选A.]3.D [f (x )＝e |ln x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x ≥1），1x （0<x <1），而函数y ＝f (x ＋1)的图象是由函数f (x )＝e |ln x |向左平移了一个单位，故选D.]4.C[由于y ＝⎝⎛⎭⎫12x 是减函数，12<⎝⎛⎭⎫12b <⎝⎛⎭⎫12a<1，所以0<a <b <1，当0<a <1时，y ＝a x 为减函数，所以a b <a a ，排除A ，B ；因为y ＝x a 在第一象限内为增函数，所以a a <b a ，故选C.]5.D[因为函数f (x )＝2x －12x ＋1为R 上的奇函数且增函数，所以不等式f (x －2)＋f (x 2－4)<0可化为f (x 2－4)<f (2－x )，所以x 2－4<2－x ，则－3<x <2，故选D.]6.C [当0<a <1时，不论上下怎样平移，图象必过第二象限；当a >1时，不论上下怎样平移，图象必过第一象限.∵y ＝a x ＋b －1的图象经过第二、三、四象限，∴只可能0<a <1.如图所示，这个图可理解为将y ＝a x(0<a <1)的图象向下平移大于1个单位长度.∴⎩⎪⎨⎪⎧b －1<0，|b －1|>1，解得b <0. 可知0<a <1且b <0.]7.B[由题意得到f (－x )＝f (x )，∴m ·9－x －3－x ＝m ·9x －3x ， 整理得到：m ＝3x（3x ）2＋1＝13x ＋13x <12，又m >0，所以实数m 的取值范围是0<m <12，故选B.] 8.⎣⎡⎭⎫34，2 [依题意，在坐标平面内画出函数y ＝f (x )的大致图象，结合图象可知b ∈⎣⎡⎭⎫12，1，bf (a )＝bf (b )＝b (b ＋1)＝b 2＋b ∈⎣⎡⎭⎫34，2.]9.(2，＋∞) [f (x )在x ∈[－1，1]上的最大值和最小值在两端点处取得，∴g (a )＝f (1)＋f (－1)＝a ＋1a ，又a >0，且a ≠1，所以g (a )＝a ＋1a>2.]。