“含参数不等式的恒成立”问题及其解法

“含参数不等式的恒成立”问题及其解法
“含参数不等式的恒成立”问题，是近几年高中数学以及高考的常见问题，它一般以函数、数列、三角函数、解析几何为载体，具有一定的综合性。

解决这类问题的主要方法是最值法：
若函数()x f 在定义域为D ，则当x ∈D 时，有()M x f ≥恒成立()M x f ≥⇔min ；
()M x f ≤恒成立()M x f ≤⇔max .因而,含参数不等式的恒成立问题常根据不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为含参数的函数的最值讨论.
例一 已知函数()()1112
>⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x x x x f .
①求()x f 的反函数()x f 1-;
②若不等式()()()
x a a x f x ->--11对于⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈41,161x 恒成立,求实数a 的取值范
围.
分析：本题的第二问将不等式()()()
x a a x f x ->--11转化成为关于t 的一次函
数()()211a t a t g -++=在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈21,41t 恒成立的问题. 那么，怎样完成这个转化呢？
转化之后又应当如何处理呢？ 【解析】 ①略解()()10111<<-+=
-x x
x x f
②由题设有(
)()
x a a x
x x
->-
+-111,∴x a a x ->+21,
即()0112>-++a x a 对于⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∈41,161x 恒成立. 显然,a ≠-1
令x t =,由⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈41,161x 可知⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈21,41t
则()()0112>-++=a t a t g 对于⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈21,41t 恒成立.
由于()()211a t a t g -++=是关于t 的一次函数.（在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈21,41t 的条件下
()()211a t a t g -++=表示一条线段，只要线段的两个端点在x 轴上方就可以保证()()0112>-++=a t a t g 恒成立）
∴()()4510
11210114102104122<<-⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-++>-++⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⎪⎭
⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a a a g g
例二 定义在R 上的函数()x f 既是奇函数，又是减函数，且当⎪⎭
⎫
⎝⎛∈2,0πθ时，有
()
()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ恒成立，求实数m 的取值范围.
分析: 利用函数的单调性和奇偶性去掉映射符号f ，将“抽象函数”问题转化为常见的含参的二次函数在区间(0，1)上恒为正的问题.而对于()≥x f 0在给定区间[a ，b]上恒成立问题可以转化成为()x f 在[a ，b]上的最小值问题，若()x f 中含有参数，则要求对参数进行讨论。

【
解
析】由
()
()0
22sin 2cos 2>--++m f m f θθ得到：
(
)
()22s i n 2c
o s 2
--->+m f m f θθ
因为()x f 为奇函数，
故有()
()22sin 2cos 2+>+m f m f θθ恒成立， 又因为()x f 为R 减函数，
从而有22sin 2cos 2+<+m m θθ对⎪⎭
⎫
⎝⎛∈2,0πθ恒成立
设t =θsin ，则01222>++-m mt t 对于()1,0∈t 恒成立， 在设函数()1222++-=m mt t t g ,对称轴为m t =. ①当0<=m t 时，()0120≥+=m g ，
即2
1
-≥m ，又0<m
2
∴02
1
<≤-
m (如图1) ②当[]1,0∈=m t ，即10≤≤m 时,
()012442<+-=∆m m m ,即0122<--m m , ∴2121+<<-m ,又[]1,0∈m , ∴10≤≤m (如图2)
③当1>=m t 时，()0212211>=++-=m m g 恒成立. ∴1>m (如图3)
故由①②③可知：2
1
-≥m .
例三 定义在R 上的单调函数f(x)满足f(3)=log 23且对任意x ，y ∈R 都有f(x+y)=f(x)+f(y)． (1)求证f(x)为奇函数；
(2)若()()
02933<--+⋅x x x f k f 对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围． 分析: 问题(1)欲证f(x)为奇函数即要证对任意x 都有f(-x)=-f(x)成立．在式子f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=-x 可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的问题，求f(0)的值．令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函数得到证明．问题(2)的上述解法是根据函数的性质．f(x)是奇函数且在x ∈R 上是增函数，把问题转化成二次函数f(t)=t 2-(1+k)t+2＞0对于任意t ＞0恒成立．对二次函数f(t)进行研究求解．
【解析】(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x ，y ∈R)， ① 令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0． 令y=-x ，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有 0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)对任意x ∈R 成立，所以f(x)是奇函数． (2)解：f(3)=log 23＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R 上是单调函数， 所以f(x)在R 上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数．
()()()
2932933++-=---<⋅x x x x x f f k f ，
2933++-<⋅x x x k
即()023132>+⋅+-x x k 对于任意R x ∈恒成立. 令t=3x ＞0，
问题等价于()0212>++-t k t 对于任意0>t 恒成立. 令()()212++-=t k t t f ,其对称轴为直线2
1k
x += 当
02
1<+k
,即1-<k 时, ()020>=f 恒成立,符合题意,故1-<k ; 当
02
1≥+k
时, 对于任意0>t ,()0>t f 恒成立()⎪⎩⎪
⎨⎧
<⨯-+=∆≥+⇔0
24102
12
k k ，解得2211+-<≤-k 综上所述,当221+-<k 时,()()
02933<--+⋅x x x f k f 对于任意R x ∈恒成立. 本题还可以应用分离系数法,这种解法更简捷.
分离系数,由2933++-<⋅x x x k 得13
2
3-+<x x k .
由于R x ∈,所以03>x ,故122132
3-≥-+=x x u ,即u 的最小值为122-.
要使对于R x ∈不等式13
2
3-+<x x k 恒成立,只要122-<k
说明: 上述解法是将k 分离出来，然后用平均值定理求解，简捷、新颖．
例四 已知向量a =(2x ，x+1)，b = (1-x ，t)。

若函数b a x f ⋅=)(在区间（-1，1）上是增函数，求t 的取值范围。

（2005年湖北卷第17题）
分析：利用导数将“函数)(x f 在区间（-1，1）上是增函数”的问题转化为“0)(≥'x f 在（-1，1）上恒成立”的问题，即转化成为“二次函数
023)(2≥++-='t x x x f 在区间（-1，1）上恒成立” ，利用分离系数法将t 分离出来，通过讨论最值来解出t 的取值范围。

【解析】依定义t tx x x x t x x x f +++-=++-=232)1()1()(。

则t x x x f ++-='23)(2，
若)(x f 在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设0)(≥'x f 恒成立。

∴0)(≥'x f x x t 232-≥⇔在（-1，1）上恒成立。

考虑函数x x x g 23)(2-=，（如图4）
)
由于)(x g 的图象是对称轴为3
1=x ， 开口向上的抛物线，
故要使x x t 232-≥在（-1，1）上恒成立)1(-≥⇔g t ， 即5≥t 。

而当5≥t 时，)(x f '在（-1，1）上满足)(x f '>0，即)(x f 在（-1，1）上是增函数。

故t 的取值范围是5≥t .
数学思想方法是解决数学问题的灵魂，同时它又离不开具体的数学知识在解决含参数不等式的恒成立的数学问题中要进行一系列等价转化．因此，更要重视转化的数学思想．
图4。