3第三章 集中趋势和离散趋势

集中趋势和离散趋势集中趋势和离散趋势是描述数据分布特征的两个重要概念。

集中趋势用于衡量数据的中心位置，一般用平均值、中位数和众数来表示；而离散趋势则用于量化数据的分散程度，常用的度量包括范围、方差和标准差等。

首先，集中趋势是指数据的中心位置，它反映了数据的一般水平。

平均值是一组数据中所有数值的总和除以数据的个数，它具有高可操作性和表达性，但对于含有极端值的数据可能会有较大的偏差。

中位数是将一组数据按大小顺序排列后位于数列中间的数值，它对异常值不敏感，能够更好地展示数据整体分布情况。

众数是一组数据中出现频率最高的数值，常用于描述离散型数据的集中趋势。

其次，离散趋势是指数据的分散程度或分布的离散程度，它反映了数据的差异程度。

范围是数据的最大值和最小值之间的差异，它直观地反映了数据的波动范围。

方差是数据与平均值之间差异的平均值，它衡量了数据整体的离散程度，数值越大表示数据越分散。

标准差是方差的平方根，它具有与原始数据相同的度量单位，常用于度量连续型数据的离散趋势。

集中趋势和离散趋势在统计学中有广泛的应用。

在描述数据特征时，通过集中趋势可以直观地了解数据的中心位置和一般水平，从而具有参考价值。

而离散趋势则帮助我们了解数据的变异程度，通过度量数据的分散程度可以判断数据的稳定性和可靠性。

这两个概念相辅相成，共同构成了对数据特征的全面描述。

当进行数据分析和决策时，我们需要同时考虑数据的集中趋势和离散趋势。

集中趋势能够帮助我们了解数据的普遍水平，为个体或群体的表现提供参考，而离散趋势可以帮助我们判断数据的稳定性和差异程度，进而做出更加准确的决策。

总之，集中趋势和离散趋势是描述数据特征的两个重要概念。

集中趋势用于衡量数据的中心位置，离散趋势用于度量数据的分散程度。

它们互为补充，帮助我们全面了解数据的特征，从而更好地进行数据分析和决策。

第三章 数据的集中趋势与离散程度-----第01课时课题：3.1平均数（1） 目标：1、了解平均数的意义，会计算一组数据的算术平均数，并会用频数计算平均数和选取适当基数计算平均数。

2、在求实际问题的平均数的过程中，体会简化平均数算法的必要性，能灵活地用3种方法求平均数。

3、感受数学来源于实践，又为实践服务这一过程，体验转化的数学思想，养成用数学的良好意识。

重点：计算一组数据的平均数 教学过程：一、基础训练1、数据17，19，16，21，19，22的平均数是＿＿＿＿＿；2、数据2、3、x 、4的平均数是3，则x=________；3、5个数的平均数是14，3个数的平均数是6，则这8个数的平均数是＿＿＿＿＿；4、若两组数x 1，x 2，…，x n 和y 1，y 2，…，y n 的平均数分别为x 和y ，则x 1＋y 1，x 2＋y 2，…，x n ＋y n 的平均数是_________；5、一场突如其来的地震给玉树带来了巨大的灾难！ “一方有难，八方支援”，某校则全班平均捐款为________元；6、强烈某食品厂为加强质量管理，对某天生产的罐头抽查了10个，样本，净重如下（单位：克）342，348，346，340，344，341，343，350，340，342 求样本的平均数。

7、某班有50名学生，数学期中考试成绩90分有9人，84分的有12人，73分的有10人，65分有13人，56分有2人，45分有4人，计算这个班学生的数学期中考试平均成绩（保留到小数点后第一位）161cm ，B 组同学的平均身高约为163cm ，小明一定比小丽矮吗？（二）引入新课，梳理知识题1、2、3、4引入平均数的定义及直接算法，题5、6引入平均数的简便运算，题7是平均数的简单运用，体现平均数的实际意义。

通过学生对问题的回答与板演，教师适时点评、质疑、讨论、归纳，穿插引入新课： 1、平均数的概念和计算方法通常，我们用平均数表示一组数据的“平均水平”，即：这组数据都“接近”这个数。

第3章数据的集中趋势和离散程度一、知识结构与回忆一组数据1、平均数、中位数、众数的概念及举例一般地对于n个数X1，……X n把错误!〔X1X2…X n〕叫做这n个数的算术平均数，简称平均数如某中外合资企业要招工，测试内容为数学、语文、外语三门文化课的综合成绩，总分值都为100分，且这三门课分别按25%、25%、50%的比例计入总成绩，这样计算出的成绩为数学，语文、外语成绩的加权平均数，25%、25%、50%分别是数学、语文、个数中，1出现f1次，2出现f2次，3出现f3次，… … n出现f n次，〔其中f1f2f3……f n=n〕，这n个数的平均数可表示为：中位数就是把一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的数〔或最中间两个数据的平均数〕叫这组数据的中位数众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据如3，2，3，5，3，4中3是众数一组数据中的中位数是惟一的；一组数据中的众数可能不止一个，也可能没有2、平均数、中位数和众数的特征〔1〕平均数、中位数、众数都是表示一组数据“平均水平〞的平均数〔2〕平均数能充分利用数据提供的信息，在生活中较为常用，但它容易受极端数字的影响，且计算较繁〔3〕中位数的优点是计算简单，受极端数字影响较小，但不能充分利用所有数字的信息〔4〕众数的可靠性较差，它不受极端数据的影响，求法简便，当一组数据中个别数据变动较大时，适宜选择众数来表示这组数据的“集中趋势〞3、算术平均数和加权平均数有什么区别和联系算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数4、利用计算器求一组数据的平均数当所处理的数据较多时，手工计算的效率较低，运用计算器和计算机的方法就能迅速获得所需要的信息，将更多的时间用于对数据的讨论和对结果实际意义的解释．5、方差和标准差方差描述一组数据的离散程度可采取许多方法，在统计中常先求这组数据的平均数，再求这组数据与平均数的差的平方和的平均数，用这个平均数来衡量这组数据的波动大小：设在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方分别是，那么我们求它们的平均数，即用标准差有些情况下，需用到方差的算术平方根，即并把它叫做这组数据的标准差它也是一个用来衡量一组数据的波动大小的重要的量4、利用计算器求一组数据的方差当所处理的数据较多时，手工计算的效率较低，运用计算器和计算机的方法就能迅速获得所需要的信息，将更多的时间用于对数据的讨论和对结果实际意义的解释．利用计算器求一组数据的方差就能很好地解决二、全章综合剖析平均数、中位数和众数都是描述一组数据的集中程度的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数运用最为广泛，应当注意平均数、中位数和众数的合理选用，防止平均数的误用这三个量的各自特点是：平均数的大小与一组数据的每个数据均有关系，其中任何数据的变动都会引起相应平均数的变动，这说明平均数充分地反映了一组数据的信息中位数的大小仅与数据的排列位置有关，当将一组数据按从小到大的顺序排列后，最中间的数据为中位数，于是局部数据的变动 对中位数没有影响，当一组数据中的个别数据变动较大时，常用它来描述这组数据的集中趋势众数着眼于对各数据出现的频数的考察，因此求一组数据的众数既不需要计算，也不需要排序，而只要数出出现次数较多的数据的频数就行了，众数的大小仅与一组数据中的局部数据有关，当一组数据中有不少数据屡次重复出现时，它的众数也往往是我们关心的一种集中趋势极差、方差与标准差是用来描述一组数据的离散程度，它们是用来描述一组数据的稳定性的一般而言，一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越稳定三、例题精讲类型之一 求平均数及应用例1 两组数据1，2，3，…n 和1，2，3，…n 的平均数分别为，，求〔1〕21，22，23…2n 的平均数 〔2〕211，221，231…2n 1的平均数〔3〕11，22，33…nn 的平均数 分析:化单纯的知识记忆为理解记忆〔1〕的平均数为2;〔2〕的平均数为21; 〔3〕的平均数为例2 一家公司对A 、B 、C 三名应聘者进行了创新、综合知识和语言三项素质测试，他们的成绩如下表所示：测试成绩 测试工程 7074 50 综合知识 67 85 72 创新C B A〔1〕如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，你选谁？〔2〕根据实际需要，公司给出了选人标准：将创新、综合知识和语言三项测试得分按4：3：1的比例确定各人的测试成绩你选谁？解：〔1〕A的平均成绩为70分B的平均成绩为68分C的平均成绩为68分由70>68，故A将被录用〔2〕根据题意，A的成绩为分B的成绩为分C的成绩为分因此候选人B将被录用说明：当条件变化时，应注意平均数的不同求法类型之二求中位数与众数例3 在第29届奥林匹克运动会上，青岛姑娘张娟娟为代表团夺得了历史上首枚奥运会射箭金牌，为祖国争得了荣誉．下表记录了她在备战奥运会期间的一次训练成绩〔单位：环〕：根据表中的数据可得：张娟娟这次训练成绩的中位数是环，众数是环．说明:考查众数、中位数概念注意有时众数可能不止一个，也可能没有求中位数时要排序答案:9，9类型之三中位数与众数的实际应用例 4 某校学生会干部对校学生会倡导的“助残〞自愿捐款活动进行抽样调查，得到一组学生捐款情况的数据，以下图是根据这组数据绘制的统计图，图中从左到右各长方形高度之比为3∶4∶5∶8∶2，又知此次调查中捐15元和2021人数共39人．〔1〕他们一共抽查了多少人？捐款数不少于2021概率是多少？〔2〕这组数据的众数、中位数各是多少？〔3〕假设该校共有2310名学生，请估算全校学生共捐款多少元？图1解：〔1〕设捐15元的人数为5，那么根据题意捐2021人数为8．∴5＋8＝39，∴＝3∴一共调查了3＋4＋5＋8＋2＝66〔人〕∴捐款数不少于2021概率是．〔2〕由〔1〕可知，这组数据的众数是2021〕，中位数是15〔元〕．〔3〕全校共捐款〔9×5＋12×10＋15×15＋24×2021×30〕÷66×2310＝36750〔元〕说明:方程思想是数学的根本思想之一,数型结合是我们解决问题的手段例 5 为了普及环保知识，增强环保意识，某中学组织了环保知识竞赛活动，初中三个年级根据初赛成绩分别选出了10名同学参加决赛，这些选手的决赛成绩〔总分值为100分〕如下表所示：〔1〕请你填写下表：〔2〕请从以下两个不同的角度对三个年级的决赛成绩进行分析：①从众数和平均数相结合看〔分析哪个年级成绩好些〕；②从平均数和中位数相结合看〔分析哪个年级成绩好些〕〔3〕如果在每个年级参加决赛的选手中分别选出3人参加总决赛，你认为哪个年级的实力更强些？并说明理由分析: 由所给的信息求出一组数据的平均数、中位数、众数；并结合具体的情境理解平均数、中位数和众数的区别与联系；并能根据具体问题，选择适宜的统计量表示数据的集中程度，对日常生活中的有关问题与现象做出一定的评判解：〔1〕〔2〕①∵平均数都相同，初二年级的众数最高，∴初二年级的成绩好一些；②∵平均数都相同，初一年级的中位数最高，∴初一年级的成绩好一些〔3〕∵初一、初二、初三各年级前三名学生决赛成绩的平均分分别是93分、91分、94分，∴从各年级参加决赛的选手中分别选出3人参加总决赛，初三年级的实力更强一些类型之四极差、方差或标准差的实际应用例6 某农科所在8个试验点，对甲、乙两种玉米进行比照试验，这两种玉米在各试验点的亩产量如下〔单位：千克〕甲：450 460 450 430 450 460 440 460乙：440 470 460 440 430 450 470 440在这个试验点甲、乙两种玉米哪一种产量比拟稳定？剖析：我们可以算极差甲种玉米极差为460－430=30千克；乙种玉米极差为470－430=40千克所以甲种玉米较稳定还可以用方差来比拟哪一种玉米稳定甲2=100，乙2=2021甲2＜乙2，所以甲种玉米的产量较稳定 四、中考链接 1、〔 〕．一名射击运发动连续打靶8次，命中的环数如图2所示，这组数据的众数与中位数分别为〔 〕A ．9与8B ．8与9C ．8与D ．与9答案C 2、〔烟台市〕某校初一年级有六个班，一次测试后，分别求得各个班级学生成绩的平均数，它们不完全相同，以下说法正确的选项是〔 〕A ．全年级学生的平均成绩一定在这六个平均成绩的最小值与最大值之间B ．将六个平均成绩之和除以6，就得到全年级学生的平均成绩C ．这六个平均成绩的中位数就是全年级学生的平均成绩D ．这六个平均成绩的众数不可能是全年级学生的平均成绩答案 A3、南充一组数据2，1，，7，3，5，3，2的众数是2，那么这组数据的中位数是〔 〕A ．2B ．2.5C ．3D ．5答案 B图2 7 8 9 104、〔甘肃省白银市〕某校八年级32021生在电脑培训前后各参加了一次水平相同的考试，考试成绩都以同一标准划分成“不及格〞、“及格〞和“优秀〞三个等级．为了了解电脑培训的效果，用抽签方式得到其中32名学生培训前后两次考试成绩的等级，并绘制成如图14的统计图，试结合图形信息答复以下问题： 1 这32名学生培训前后考试成绩的中位数所在的等级分别是 、 ；〔2〕估计该校整个八年级学生中，培训后考试成绩的等级为“及格〞与“优秀〞的学生共有多少名？提示:〔1〕不及格，及格； 〔2〕抽到的考生培训后的及格与优秀率为〔168〕÷32=75%， 由此，可以估计八年级32021生培训后的及格与优秀率为75%． 所以，八年级32021生培训后的及格与优秀人数为75%×3202140．5、〔遂宁〕“只要人人都献出一点爱，世界将变成美好的人间〞．在今年的慈善一日捐活动中，济南市某中学八年级三班50名学生自发组织献爱心捐款活动．班长将捐款情况进行了统计，并绘制成了统计图．根据右图提供的信息，捐款金额．．的众数和中位数分别是〔 〕 A ．20210 B ．30、2021．30、30 D ．20210答案 C6、〔烟台市〕某市教育行政部门为了了解初一学生每学期参加综合实践活动的情况，随机抽样调查了某校初一学生一个学期参加综合实践活动的天数，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图〔如图〕．请你根据图中提供的信息，答复以下问题：图14 272天 3天 4天 5天 6天 7天 时间〔1〕求出扇形统计图中的值，并求出该校初一学生总数；〔2〕分别求出活动时间为5天、7天的学生人数，并补全频数分布直方图；〔3〕求出扇形统计图中“活动时间为4天〞的扇形所对圆心角的度数；〔4〕在这次抽样调查中，众数和中位数分别是多少？〔5〕如果该市共有初一学生6000人，请你估计“活动时间不少于4天〞的大约有多少人？提示：〔1〕a=25%．初一学生总数：2021人〕．〔2〕活动时间为5天的学生数：50〔人〕．活动时间为7天的学生数：10〔人〕．频数分布直方图〔略〕〔3〕活动时间为4天的扇形所对的圆心角是1080〔4〕众数是4天，中位数是4天．〔5〕该市活动时间不少于4天的人数约是4500〔人〕．7、为了考察某班普通话测试情况，从中抽查了10人的成绩如下〔单位：分〕：87，90，98，74，89，90，85，80，90，93．〔1〕这个问题中，总体、个体、样本各是什么？〔2〕这个问题中，样本平均数、方差、标准差各是多少并估计总体平均数、方差、标准差？〔平均数精确到1分，标准差保存三个有效数字〕．分析：〔1〕利用总体是所要考查对象的全体，个体是总体中每一个考查对象，样本是从总体中抽取的局部个体，即可得到答案；〔2〕利用样本平均数、方差、标准差估计总体即可．解答：〔1〕总体是某班普通话测试成绩，个体是某班每个学生的普通话成绩，样本是抽查的10人的普通话成绩．〔2〕样本平均数=〔87909874899085809093〕÷10=876÷10=〔分〕，方差=[〔〕2〔〕2〔〕2〔〕2〔〕2〔〕2〔〕2〔〕2〔〕2〔〕2]÷10=，标准差≈，因此估计总体的平均数是分，方差是，标准差是．四、课堂小结在本节的复习中，你有什么收获？还有哪些疑问？。

集中趋势离散趋势分布形态【最新版】目录1.什么是集中趋势和离散趋势2.集中趋势的度量指标3.离散趋势的度量指标4.集中趋势和离散趋势的应用正文集中趋势和离散趋势是统计学中常用的概念，用于描述一组数据的特征。

集中趋势是指一组数据所趋向的中心数值，而离散趋势则是指数据值之间的差异程度。

集中趋势的度量指标包括算术均数、几何均数、中位数和百分位数。

算术均数是一组数据所有数值的和除以数据个数，它对总体的平均水平具有代表性。

几何均数适用于描述正偏态分布的数据集，它是所有数据值的乘积的 n 次方根。

中位数是一组数据排序后位于中间位置的数值，它对总体的中心位置具有代表性。

百分位数则是将一组数据按照大小排序后，某个百分比位置的数值。

离散趋势的度量指标包括方差、标准差、范围、四分位差和离散系数。

方差是一组数据与其算术均值之差的平方和的平均值，它反映了数据的波动程度。

标准差是方差的平方根，它也是描述数据离散程度的一个常用指标。

范围是一组数据中最大值与最小值之差，它反映了数据的范围。

四分位差是一组数据中上四分位数与下四分位数之差，它用于描述数据的中间50% 范围内的离散程度。

离散系数是标准差与算术均值之比，它用于比较不同单位或量级的数据集的离散程度。

集中趋势和离散趋势在实际应用中有着广泛的应用。

例如，在经济学中，可以使用集中趋势度量指标来描述收入、财富或产量的分布情况，而离散趋势度量指标则可以用来评估经济不平等程度或市场竞争程度。

在生物学中，集中趋势和离散趋势可以用来描述生物种群的特征，如平均寿命、身高、体重等。

在教育学中，集中趋势和离散趋势可以用来评估学生的学术表现，如平均成绩、成绩分布等。

总之，集中趋势和离散趋势是描述数据特征的重要概念，它们在实际应用中有着广泛的应用价值。

集中趋势和离散趋势的作用和区别集中趋势和离散趋势是统计学中常用的概念，它们用于描述数据分布的特征。

集中趋势主要关注数据的中心位置，而离散趋势则关注数据的分散程度。

它们在统计分析中起着不同的作用，下面我将详细介绍集中趋势和离散趋势的作用和区别。

集中趋势，也称为中心趋势，用于度量数据分布的中心位置。

最常用的度量值包括均值、中位数和众数。

均值是所有观测值的总和除以观测值的个数，它反映了数据的平均水平。

中位数是将所有观测值按照大小顺序排列，然后找出中间位置的值，它可以用来表示数据的中间水平。

众数是数据中出现次数最多的值，它能够描述数据的典型水平。

这些集中趋势的度量值可以帮助我们了解数据的整体趋势，识别潜在的规律和特征，并进行比较和推断。

集中趋势的作用主要有以下几个方面。

首先，它可以提供数据的总体特征，帮助我们了解数据的平均水平和中间水平，从而更好地理解和分析数据。

其次，集中趋势可以用来进行数据的比较和推断。

通过比较不同数据集的均值、中位数和众数，我们可以判断两个数据集的差异和相似性，进而得出可能的结论。

此外，集中趋势还可以用来进行数据的预测和决策。

通过观察数据的中心位置，我们可以推断未来的趋势和发展方向，做出相应的决策。

离散趋势，也称为散布趋势，用于度量数据分布的分散程度。

最常用的度量值包括标准差、方差和范围。

标准差是观测值与均值之间差值的平方的平均值的平方根，它反映了数据的分散程度。

方差是标准差的平方，也是用于度量数据的离散程度。

范围是观测值的最大值和最小值之间的差，它可以用来描述数据的变化范围。

这些离散趋势的度量值可以帮助我们了解数据的分散程度，识别极值和异常值，并进行数据的采样和控制。

离散趋势的作用主要有以下几个方面。

首先，它可以帮助我们了解数据的分散程度和稳定性。

通过观察标准差、方差和范围的大小，我们可以得知数据的波动程度。

其次，离散趋势可以帮助我们识别异常值和极值。

通过观察数据的分散程度，我们可以判断是否存在异常情况，进而排除影响或做出相应的处理。