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变式训练———思维的训练黑龙江农业经济职业学院附中周为变式训练——思维的训练变式训练是中学数学教学中的一种重要教学策略,在提高学生的学习兴趣、培养学生的数学思维和数学解题能力方面有着不可忽视的作用。
通过变式训练可以使教学内容变得更加丰富多彩, 使学生的思路更加宽广。
这种方法在我国数学教学中的应用由来已久, 在教学中往往被广大教师自觉或不自觉地运用。
所谓变式训练就是通过将原命题中的条件、结论、形式、内容、图形等作适当变换, 也就是通过一个问题的变式, 解决一类问题的变化, 逐步养成学生深入反思数学问题的习惯, 善于抓住数学问题的本质和规律, 探索相关数学问题间的内涵联系以及外延关系, 进而培养学生创新思维能力。
笔者在日常教学中对部分习题通过图形变式、等价变式、思想变式、条件、结论互变等途径，不仅对一些综合题铺设了适当的台阶, 降低了它们的难度, 也使学生掌握了学习知识的方法, 而且训练了学生的思维能力, 培养了创新精神。
下面是笔者在初中数学教学中运用变式训练的一点尝试: 一、图形变式初中低年级数学中的几何知识的学习是培养学生观察能力、空间想象能力、逻辑思维能力的重要载体, 学生对图形的认识能力也是由具体到抽象、由简单到复杂过渡的, 教师如果能在教学中把有些习题的图形加以变化, 借助变化来反映图形的空间形状及位置关系, 让图形动起来, 引导学生去思考探讨, 那么可以使学生真正掌握知识之间的内在联系。
例：求下图∠A +∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数。
学生在教师的指导启发下, 通过讨论,定理达到题目考察的目的,为了使学生能更进一步对图形及相关知识做到灵活使用、触类旁通变式训练(“图形变换”) 将大显身手。
在学生切实掌握了上述图形问题的讨论后, 再作如下变式:求如下两图∠A +∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数。
以上两题仍然是利用外角和内角和的定理解决。
由此可见，在这一系列的图形变化过程中， 本质的东西并没有发生变化， 掌握了这些不变性，也就把握住了事物的本质特征，这必将有助于我们从纷繁复杂的众多事物中寻找共性，从千姿百态的现象中总结出反映本质的基本规律。
变式探究激活学生数学思维摘要：在新课标理念下，高中数学应注重提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一。
经过多年的教学实践发现，高中数学教学应注重变式探究，数学的变式探究可以通过一题多解、一题多变等形式进行。
关键词：高中数学；新课标；变式探究；激活；思维能力《普通高中数学课程标准》（以下简称新课标）指出：高中数学应注重提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一。
立体几何是高中数学的一个重要模块，是高考不可或缺的重要内容，也是高考的重点及热点，通观全国各地的高考试题，一般都是以2～3个小题及1个解答题的形式出现，分值一般占23分左右。
下面通过一道高考题的两种变式探究浅析如何激活学生思维。
一、一题多解，培养学生的发散性思维一题多解是指从不同的角度启发和诱导学生获得解题的思路和方法，培养学生从多角度、多方面，应用不同的知识分析和解决同一个问题。
学生通过一题多解的训练，能拓展学生的思维空间，克服学生的思维定式，锻炼学生思维的灵活性、开阔性、发散性，培养和发挥学生的创造力。
高考试题（2012年江西，19题，12分）：（1）证明在侧棱aa1上存在一点e，使得oe⊥平面bb1c1c，并求出ae的长；（2）求平面a1b1c1与平面bb1c1c夹角的余弦值.（2）解法一（三垂线法）：如图3：由（1）知bc⊥平面aa1o.∵bc？奂平面bb1c1c，∴平面aa1o⊥平面bb1c1c.设b1c1∩平面aa1o=o1，连接a1o1，o1o则平面aa1o1o⊥平面bb1c1c，交线为oo1.过a1作a1f⊥oo1于f，则a1f平面bb1c1c.过f作fg⊥b1c于g，连接a1g，则fg是a1g在平面bb1c1c内的射影。
∴a1g⊥b1c∴∠a1gf是二面角a1-b1c-c1的平面角.由（1）bc⊥平面aa1o，∴bc⊥aa1.又bb1∥aa1，∴bb1⊥bc.∴四边形bb1c1c为矩形.（如图4）解法二（转化法）：由（1）知oe⊥平面bb1c1c，又aa1⊥平面bb1c1c，传统法是主要运用立体几何的相关公理，定理来解决立体几何问题，在这一过程中，它能使学生的空间想象能力、逻辑推理能力及转化能力得到充分的培养。
初中数学“变式训练”的方法与思维培养和发展学生的数学思维是新课程理念下的重要目标。
如何培养学生良好的数学思维呢？经过教学实践发现，合理利用变式训练能有效激活学生数学思维。
那么，什么是变式训练呢？所谓变式训练，就是保持原命题的本质不变，不断变换原命题的条件，或结论，或形式，或空间，或内容，或图形等，产生新的情境，引导学生从不同的角度，用不同的思维去探究问题，从而提高对事物认知能力。
也就是通过一个问题的变式，解决一类问题的变化，逐步养成深入反思数学问题的习惯，善于抓住数学问题的本质和规律，探索相关数学问题间的内涵联系以及外延关系，进而培养数学创新思维的能力。
当然变式不是盲目的变，应抓住问题的本质特征，遵循学生认知心理发展，根据实际需要进行变式。
1 多题一解，求同存异，通过变式让学生理解数学练习的内在联系许多数学练习看似不同，但它们的内在本质（或者说是解题的思路，方法是一样的），这就要求教师在教学中重视对这类题目的收集，比较，引导学生寻求通法通解，并让学生自己感悟它们之间的内在联系，形成数学思想方法。
例1：已知二次函数的图像经过A（-3，0）、B（1，0）、C（0，-3）三点，求这个二次函数的解析式。
变式1：已知二次函数的图像经过一次函数y=-x-3的图像与x轴、y轴的交点A、C，并且经过点B（1，0），求这个二次函数的解析式。
变式2：已知抛物线经过两点B（1，0）、C（0，-3）。
且对称轴是直线x=-1，求这条抛物线的解析式。
变式3：已知一次函数的图像经过点（1，0），且在y轴上的截距是-1，它与二次函数的图像相交于A（1，m）、B（n，4）两点，又知二次函数的对称轴是直线x=2，求这两个函数的解析式。
变式题的教学，先让学生议练，教师在知识的转折点上提出一些关键性的问题进行点拨，在思路上为学生扫除障碍。
对变式1，先让学生比较它与例题的已知条件有什么不同？再思考怎样转化为例题求解，然后讨论怎样求A、C两点的坐标。
数学2013·5在练习课中安排的习题是小学数学教材的重要组成部分，是学生进行有效学习的重要载体。
在教学实践中，教师一般比较重视例题的教学，而简单处理课本中的练习题。
许多我们认为已让学生熟知的知识，学生却一错再错，原因之一是教师对习题的处理比较单一，就题论题，缺乏演变，因而未能拓宽学生的解题思路。
习题的功能被弱化，教材的意图就不能凸显。
事实上，如果能对习题进行恰当的处理、改造和设计，对于培养学生思维的灵活性、创新性都大有好处，本文就此作例谈。
一、留白信息，反向思维原题：六（1）班和六（2）班人数同样多，六（1）班的近视率是14%，六（2）班的近视率是16%。
哪个班近视的人数多一些？变式题：六（1）班的近视率是14%，六（2）班的近视率是16%。
哪个班近视的人数多一些？教材的意图是让学生在理解近视率含义的基础上，根据两个班的人数同样多，然后比较近视率，得出六（2）班近视的人数多一些。
而学生往往会忽略单位“1”的重要性，一错再错。
师：近视率是什么意思呢？生：就是这个班级近视的人数占总人数的百分之几。
师：仔细思考，哪个班近视的人数多一些？生：六（2）班近视的人数多一些。
生：不一定，这里只告诉我们两个班的近视率，并没有告诉我们两个班的总人数。
师：你很聪明，那你能不能举例验证一下你的观点？生：可以。
假如六（1）班100人，六（2）班50人，那么六（1）班的近视人数是100×14%=14（人），六（2）班的近视人数是50×16%=8（人）。
所以六（1）班近视的人数多一些。
生：近视率是指近视的人数占班级总人数的百分之几。
如果班级总人数不确定，那么这里的近视人数也是不确定的。
所以，难以判断。
师：“不确定”这个词太专业了。
我们把掌声送给他。
本题如果照本宣科，学生就体会不到单位“1”在这里的作用，也体会不到“两个班人数一样多”这个信息的重要性。
因此，练习中的留白恰恰为学生构建了理解知识的“绿色通道”，为发展学生的数学思维提供了载体和空间。
数学变式训练激活学生思维
数学变式训练激活学生思维《中小学数学课程标准》中指出：“数学素养是人们通过数学教育以及自身的实践和认识活动，所获得的数学基础知识、基本技能、数学思想和观念，以及由此形成的数学思维品质和解决问题能力的总和。
数学课程及其教学，不仅要关注学生对数学知识、技能、思想方法的掌握，关注其数学能力的发展，而且要有助于学生理解数学的社会价值，领略数学文化的内涵，体验数学的思维方式和方法，形成良好的数学思维品质，促使学生的数学素养得到全面提高。
”可见，培养和发展学生的数学思维是新课程理念下的重要目标。
如何培养学生良好的数学思维呢?经过教学实践发现，合理利用变式训练能有效激活学生数学思维。
那么，什么是数学变式训练呢？所谓数学变式训练,即是指在数学教学过程中对概念、性质、定理、公式,以及问题从不同角度、不同层次、不同情形、不同背景做出有效的变化,使其条件或结论的形式或内容发生变化,而本质特征却不变.也就是所谓“万变不离其宗”.变式训练是提高学生的发散思维能力,化归、迁移思维能力和思维灵活性的有效方法之一.数学教学改革专家顾泠沅创立的青浦四条经验中,其中一条“组织好课堂层次序列,进行变式教学”,就强调了变式训练的重要性.运用变式训练可以提高数学题目的利用率,提高教学有效性,起到综合运用知识,有效培养学生综合思维能力,充分理解数学本质属性的作用.这同时也符合新课程标准的基本理念.下面结合课堂教学实践谈谈在数学教学中如何运用变式训练，激活数学思维。
一、概念的变式训练数学思维能力的发展离不开数学概念的形成，尤其是对概念的内涵和外延的理解。
因而在概念形成过程中的训练主要是通过多方面呈现概念的外延和触及一些“貌似神离”的情况，以便突出概念的内涵，使学生能深刻、准确地理解掌握概念。
如在学习平方根的概念时，可以设计这样的变式训练，例题：16的平方根是。
此例题主要是让学生理解、掌握平方根的概念。
但本节课还介绍了“正的平方根，负的平方根这两个概念，学生在刚刚学习这几个概念时，往往区分不开，为了让学生加深对几个概念的理解，我在例题的基础上设置了变式1，变式1：16的正的平方根是。
16的负的平方根是。
通过这个变式1和例题的对比学生可以很清晰的理解几个概念的联系和区别，加深对概念的内化理解。
在平方根这节课的教学时，还介绍了平方根、正的平方根、负的平方根的符号表达式，但在应用时学生对符号式和文字表达理解不够深刻，往往到初三复习时还会出现理解错误，因此在变式1的基础上我又出示了变式2，变式2：的正的平方根是。
学生在解决变式2时出错率很高，他们把此题错误的理解成“求16的正的平方根，得到的答案多数为4”，这正是学生没有理解好符号与文字表达的关系的具体体现。
在学生出错的基础上讲解，此题要经过两次运算，先算等于4，再算4的正的平方根等于2。
学生听完讲解恍然大悟，理解了自己出错的真正原因，加深了对符号表达和概念的理解。
接下来，为了锻炼学生对概念的灵活掌握和应用，培养学生逆向思维的能力我又设置了下面的变式，变式3：已知的平方根是，则 = 。
通过这个变式训练学生对平方根的概念掌握更加灵活，同时也培养了数学思维能力。
二、公式、法则、定理等的变式训练数学中的公式、法则、定理是数学知识中的重要内容，它们是解决数学问题的重要理论基础，必须让学生灵活，熟练的掌握。
在教学中我们要善于利用变式训练引导学生掌握公式、法则、定理中的各要素之间的联系和本质规律，使学生能加深理解和灵活运用。
如在学习圆的切线的判定定理时，对定理“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”的讲授我就采用了变式训练，以帮助学生多方位灵活理解和掌握。
我给学生强调了定理中的关键要素：过半径外端、垂直，出示变式判断题，并给出图示说明，让学生理解正误的原因。
(1)经过半径外端的直线是圆的切线．(×)图1(2)垂直于半径的直线是圆的切线．(×)图2 (3)过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．(√)图3。
