不定积分的计算(1)

不定积分的四则运算公式
不定积分是求导的反向运算，是解决微积分问题的重要方法之一，而四则运算则是数学中最基本的运算方法之一。

在进行不定积分的过程中，我们也需要运用四则运算的相关公式，以便更加高效地解决问题。

下面是不定积分的四则运算公式：
1. 常数倍法则：∫ k*f(x) dx = k*∫ f(x) dx （k为常数）
2. 和差法则：∫ [f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx；
∫ [f(x) - g(x)] dx = ∫ f(x) dx - ∫ g(x) dx
3. 积法公式：∫ f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) - ∫ g(x)f'(x) dx
4. 倒代换公式：∫ f(g(x))g'(x) dx = ∫ f(u) du （其中 u = g(x)）
通过掌握这些不定积分的四则运算公式，我们可以更加轻松地进行不定积分的计算，提高我们的数学解题能力。

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不定积分计算公式积分是微积分中的一个重要概念，不定积分即求导的逆运算。

计算不定积分可以使用一些常见的公式和技巧，下面将介绍一些常见的不定积分公式。

1.基本积分公式(1) ∫x^n dx = 1/(n+1)x^(n+1) + C，其中n不等于-1(2) ∫1/x dx = ln，x， + C。

(3) ∫e^x dx = e^x + C。

(4) ∫a^x dx = (1/lna) * a^x + C。

(5) ∫sinx dx = -cosx + C。

(6) ∫cosx dx = sinx + C。

(7) ∫tanx dx = -ln，cosx， + C。

(8) ∫cotx dx = ln，sinx， + C。

(9) ∫sec^2x dx = tanx + C。

(10) ∫cosec^2x dx = -cotx + C。

2.函数的初等不定积分公式(1) ∫e^u du = e^u + C。

(2) ∫sinu du = -cosu + C。

(3) ∫cosu du = sinu + C。

(4) ∫tanu du = -ln，cosu， + C。

(5) ∫cotu du = ln，sinu， + C。

(6) ∫sec^2u du = tanu + C。

(7) ∫cosec^2u du = -cotu + C。

(8) ∫secu * tanu du = secu + C。

(9) ∫cosecu * cotu du = -cosecu + C。

(10) ∫(1+u^2) du = u + (1/3)u^3 + C。

3.基本积分法则(1) 线性法则：∫(af(x) + bg(x)) dx = a∫f(x) dx + b∫g(x) dx，其中a和b为常数。

(2) 乘法法则：∫f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) - ∫f'(x)g(x) dx。

(3) 分部积分法：∫f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) - ∫g(x)f'(x) dx。

§2 不定积分的计算 （1）(一) 教学目的：掌握第一、二换元积分法与分部积分法． (二) 教学内容：第一、二换元积分法；分部积分法．基本要求：熟练掌握换元积分法和分步积分法. (三) 教学建议：(1) 布置足量的有关换元积分法与分部积分法的计算题． (2) 总结分部积分法的几种形式：升幂法，降幂法和循环法．————————————————————————不定积分的计算一般由三种方法： 1） 凑公式法 2） 部积分法 2） 第二变量替换法一 第一类换元法 ——凑公式法,2cos 2sin10)2(sin 2sin 52sin 2sin52sin4445xdx x dxx x xxd x d ='==⇒ ⎰⎰'=dx x x xdx x )2(sin 2sin52cos 2sin1044⎰=x xd 2sin 2sin 54xu 2sin ======⎰+=+=.2sin 5554c x c u du u 引出凑公式法:Th 若⎰+=,)()(c x F dx x f )(x φ 连续可导, 则⎰+='.)]([)()]([c t F dt t t f φφφ该定理可叙述为： 若函数)(t g 能分解为 )()]([)(t t f t g φφ'= 则有⎰⎰⎰='=)()]([)()]([)(t d t f dt t t f dtt g φφφφ)(t x φ===== ⎰+=+=c t F c x F dx x f )]([)()(φ.凑公式法： 表面看⎰dx x f )(不符合基本积分公式，但作变换，令 ,)(u x =ϕ后⎰⎰=du u g x f )()(，而 ⎰duu g )( 符合基本积分公式例1 ⎰dx x x 2sin 但作变换，令 u x =2 后C x udu dx x x +-==⎰⎰cos 21sin 21sin 2例2 ⎰+22xa dx 不符合基本积分公式，稍微变换一下⎰+22xa dx ＝⎰+])/(1[22a x a dx 令a x u /=⎰⎰=+=+ax arctga udua a x a dx111])/(1[222例3 ⎰xdx sec 不符合基本积分公式，但用三角函数公式整)(sin )sin 11sin 11(21sin1)(sin coscos 22x d xxxx d dx xx-++=-=⎰⎰⎰令 u x =sin 后 化成C xx C uu du u u+-+=+-+=--+⎰|sin 1sin 1|ln 21|11|ln 21)1111(21凑公式法的关键是设法把 dx x f )( 凑成 )())((x d x g ϕϕ 的形式，使du u g )(⎰ 符合基本积分公式。

不定积分计算中“1”的妙用摘 要 不定的计算在几种基本方法的基本上，有些题目可以灵活的处理。

现介绍一种不定积分的计算技巧，巧妙地运用“1”，将被积函数进行适当的变形，从而达到简化计算的目的。

关键词 不定积分 1 计算 函数不定积分常用的计算方法，对一些简单的题目可以用直接积分法，稍难的题目可用换元积分和分部积分法，计算不定积分可根据函数特点灵活的选用计算方法。

可对函数的形式适当的变形，可达到求解的目的。

一、 将“1”用22sin cos x x +代替不定积分计算中，关于三角函数有很多题目。

在几种基本方法的基础上，还可运用配对积分法、分项积分法、万能积分法等等。

万能公式的运用在有些题目中比较繁琐，对此类题目可灵活处理。

下面讨论被积函数中的“1”用来代替，从而达到被积函数变形的目的。

例： 求不定积分31sin dx x ⎰ 解：31sin dx x⎰ =223sin cos sin x x dx x +⎰=csc xdx ⎰+2cot csc x xdx ⎰ =ln csc cot cot csc x x x x ---31sin dx x ⎰故 31sin dx x ⎰=11ln csc cot cot csc 22x x x x c --+ 对于“1”的代替在很多题目中有类似的运用，在一些题中还可以做如下代换“1” ↔ 22cos sec x x “1” ↔ ()222sin cos x x + … 巧妙地把“1”凑出来。

例：求不定积分211cos dx x +⎰ 解：211cos dx x +⎰=()221cos sec 1dx x x +⎰=()2tan 2tan d x x +⎰c+二、分子加“1”减“1”上面通过将被积函数中的“1”用代替，对函数适当变形。

下面根据被积函数的特点，在函数的分子上加“1”减“1”，然后将被积函数拆成几项，再分别求积分。

例：求不定积分221xdxx+⎰解：221xdxx+⎰=22111xdxx+-+⎰=2111dxx⎛⎫-⎪+⎝⎭⎰=arctanx x c-+对于有些题目既要在被积函数分子上加“1”减“1”又要用“1”的代换。

不定积分公式运算法则
不定积分（Indefinite Integral）是指求函数的原函数的过程，也称为积分的逆运算。

不定积分的计算公式有
多种，主要包括：常数反演公式、幂公式、三角函数公
式、对数公式、指数公式以及反三角函数公式。

这些公式
的详细表述如下：
1.常数反演公式：∫cf(x)dx = c∫f(x)dx + C
2.幂公式：∫x^nf(x)dx = x^(n+1)/(n+1)f(x) + C
3.三角函数公式：∫sin(x)f(x)dx = -cos(x)f(x) + C
∫cos(x)f(x)dx = sin(x)f(x) + C
∫tan(x)f(x)dx = ln|sec(x)| + C
4.对数公式：∫ln(x)f(x)dx = xln(x) - x + C
5.指数公式：∫e^xf(x)dx = e^xf(x) + C
6.反三角函数公式：∫arcsin(x)f(x)dx = √(1-x^2) +
C
∫arccos(x)f(x)dx = √(1-x^2) + C
∫arctan(x)f(x)dx = x + C
不定积分运算法则包括线性公式、分部积分公式和常系数线性微分方程的通解公式。