(精选)线性代数总结归纳

数学中线性代数知识点总结线性代数是数学的一个分支，主要研究向量、向量空间（也称为线性空间）、线性变换以及线性方程组的理论。

它是现代数学的基础工具之一，广泛应用于物理、工程、计算机科学、经济学和社会科学等领域。

以下是线性代数的一些核心知识点总结。

# 向量和向量空间1. 向量：向量可以是有序的数字列表，例如在n维空间中的向量是一个n元组 (a1, a2, ..., an)。

向量可以表示空间中的点或方向，并且可以进行加法和数乘运算。

2. 向量空间：一个集合V，如果对加法和标量乘法封闭，即对于所有的向量u, v ∈ V和所有的标量c，u+v和cu也属于V，则称V为向量空间。

3. 子空间：向量空间V的子集W，如果它自身是一个向量空间，则称W为V的子空间。

4. 线性组合：给定一组向量，任何可以通过这些向量的加法和数乘得到的向量称为这些向量的线性组合。

5. 线性相关与线性无关：如果一组向量中的任何一个向量可以表示为其他向量的线性组合，则称这组向量线性相关。

如果不存在这样的表示，则称它们线性无关。

# 矩阵和线性变换1. 矩阵：矩阵是一个由数字排列成的矩形阵列。

矩阵可以表示线性变换，解决线性方程组，以及进行向量空间的操作。

2. 线性变换：一个函数T，如果它保持向量加法和标量乘法的操作，即对于所有的向量u, v和所有的标量c，有T(u+v) = T(u) + T(v)和T(cu) = cT(u)，则称T为线性变换。

3. 矩阵乘法：矩阵乘法是线性代数中的一种基本运算，它可以用来组合线性变换。

矩阵乘法不满足交换律，即AB ≠ BA通常情况下。

# 特征值和特征向量1. 特征值：对于一个方阵A，如果存在一个非零向量v和一个标量λ，使得Av = λv，则称λ是A的一个特征值。

2. 特征向量：与特征值相对应的非零向量v称为特征向量。

3. 对角化：如果一个方阵A可以表示为PDP^(-1)的形式，其中D是对角矩阵，P是由A的所有特征向量组成的矩阵，则称A是可对角化的。

线性代数知识点全归纳线性代数是数学的一个重要分支，研究向量空间及其上的线性映射。

它广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。

下面将对线性代数的主要知识点进行全面归纳。

1.矩阵及其运算：矩阵是线性代数的基本概念之一，由若干行和列组成的方阵。

常见的矩阵运算有加法、减法、数乘、矩阵乘法和转置等。

2.向量及其运算：向量是一个有序数组，具有大小和方向。

常见的向量运算有加法、减法、数乘、点乘和叉乘等。

3.线性方程组：线性方程组是线性代数的核心内容之一、包括齐次线性方程组和非齐次线性方程组。

解线性方程组的方法有高斯消元法、克莱姆法则和矩阵求逆等。

4.向量空间与线性变换：向量空间是线性代数的基本概念之一，包含零向量、加法和数乘运算。

线性变换是一种保持向量空间结构的映射。

5.基与维度：基是向量空间的一组线性无关向量，可以由基线性组合得到向量空间中的任意向量。

维度是向量空间中基的数量。

6.线性相关与线性无关：向量组中的向量线性相关指存在非零的线性组合，其系数不全为零。

如果向量组中的向量线性无关，则任何线性组合的系数都为零。

7.线性变换与矩阵：线性变换可以用矩阵表示，矩阵的列向量表示线性变换作用于基向量上后的结果。

矩阵乘法可以将多个线性变换组合为一个线性变换。

8.特征值与特征向量：对于一个线性变换，如果存在一个非零向量，使得它在该线性变换下只发生伸缩而不发生旋转，那么这个向量称为该线性变换的特征向量，对应的伸缩比例为特征值。

9.二次型与正定矩阵：二次型是线性代数中的重要概念，是一个关于变量的二次函数。

正定矩阵是指二次型在所有非零向量上的取值都大于零。

10.内积与正交性：内积是向量空间中的一种运算，它满足线性性、对称性和正定性。

正交性是指两个向量的内积为零，表示两个向量互相垂直。

11.正交变换与正交矩阵：正交变换是指保持向量长度和向量之间夹角的变换。

正交矩阵是一种特殊的方阵，它的行向量和列向量两两正交，并且长度为112.奇异值分解与特征值分解：奇异值分解将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积，其中一个是正交矩阵，另外两个是对角矩阵。

线性代数公式必背完整归纳清晰版线性代数是数学的一个重要分支，研究向量空间及其上的线性映射的理论和方法。

在学习线性代数的过程中，掌握一些重要的公式是非常重要的。

下面是线性代数中一些常见且重要的公式，希望能够帮助到你。

1.向量的加法和数乘:(a1, a2, ..., an) + (b1, b2, ..., bn) = (a1 + b1, a2 +b2, ..., an + bn)k(a1, a2, ..., an) = (ka1, ka2, ..., kan)这是线性代数的基本操作，向量的加法是对应元素分别相加，向量的数乘是将向量中的每个元素与常数相乘。

2.内积:向量a = (a1, a2, ..., an) 和向量b = (b1, b2, ..., bn) 的内积定义为：a ·b = a1b1 + a2b2 + ... + anbn内积有许多重要的性质：a·b=b·a-->内积的交换律(ka) · b = a · (kb) --> 内积的数乘关系a·(b+c)=a·b+a·c-->内积的分配律内积可以用来计算向量的夹角和向量的长度，是线性代数中的一个重要概念。

3.范数:向量a的范数定义为：a， = sqrt(a1^2 + a2^2 + ... + an^2向量的范数满足以下性质：a，>=0，且当且仅当a=0时取等ka， = ，k，，a，对于任意的实数a+b，<=，a，+，b，三角不等范数是一个度量向量长度的函数，也是线性代数中常用的概念。

4.矩阵的乘法:对于矩阵A(m×n)和矩阵B(n×p)，它们的乘积C=A×B是一个m×p的矩阵，其中C的第i行第j列的元素可以表示为：C(i,j)=a(i,1)*b(1,j)+a(i,2)*b(2,j)+...+a(i,n)*b(n,j)矩阵乘法是线性代数中的核心概念，它在很多应用中都有重要的作用。

《线性代数及其应用》一、行列式1、余子式，代数余子式2、几个定理(定理，， 按行展开：1122,1,2,,A =+++=L L i i i i in in a A a A a A i n按列展开：1122,1,2,,A =+++=L L j j j j nj nj a A a A a A j n定理 11220,+++=≠L i j i j in jn a A a A a A i j ；11220,+++=≠L i j i j ni nj a A a A a A i j .3、行列式的性质 (1) T||||=A A .(2) 若行列式的某一列(行)可以拆成两列(行)之和，则行列式可以拆成两个行列式之和，即111,,,,,,,,,,,,j j n j n j nααβαααααβα+=+L L L L L L .(2) 若行列式有两列(行)成比例，则行列式等于零. (3) 初等变换性质4、行列式计算：三角化法(性质)；降阶法(性质+展开定理)； 范德蒙德、三对角行列式的结论.5、分块矩阵的行列式二、矩阵1、矩阵及其运算(加法、数乘、乘法、幂、转置、方阵的行列式、分块运算) (1) 乘法的结合律(2) 方阵的幂的求解 3.75.9⎧⎪=⨯⎨⎪--⎩二项式定理--例矩阵列行--例3.8、例3.38可对角化例(3) 转置的性质：T T T T T T TT T T ()()()()A A A B A BA AAB B A⎧=⎪+=+⎪⎨=⎪⎪=⎩k k (4) 方阵的行列式：T ||||;|||;||||||.n|k k ⎧=⎪=⎨⎪=⎩A A A A AB A B(5) 分块运算(转置、乘法--例、 2、初等变换及初等矩阵(1) 左行右列(矩阵的初等变换可用矩阵乘法来表示)(2) 初等矩阵都是可逆的，且初等矩阵的逆仍是初等矩阵，即 3、可逆矩阵(1) 定义、性质1111T 11T 111111()()()()A A A A A A A A AB B A------------⎧=⎪=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎩||||()k k(2) 伴随矩阵 1||||||()()()n r r ***-*⎧==⎪=⎨⎪⎩A A AA A E A A A A 与的关系书111页38题(3) 判定：A 可逆||0A ⇔≠(4) 逆矩阵的求法 []11( 3.7),,*--⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎡⎤−−→⎪⎣⎦⎪⎩行伴随矩阵法:及运算律命题初等变换法:A A A AB E A E E A(5) 分块矩阵的逆 (6) 矩阵方程的求解：AX C =，其中A 可逆.法1 1X A C -=.法2 1[,][,]A C E X X A C -−−−−→⇒=初等行变换n .4、矩阵的秩与矩阵的相抵(1) 矩阵的秩与性质(101页，105-107页)① 0()min{,}r m n ≤≤A ； ② 子矩阵的秩不会超过原矩阵的秩； ③ ()(),0;r k r k =≠A A ④ T()()r r =A A ；⑤()()r r r ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦A O AB O B ； ⑥ ()()()r r r +≤+A B A B ；⑦ ()()()()(A B AB A +-≤≤r r n r r 或())B r ； 若=AB O ，则()()r +r n ≤A B ，其中m n⨯∈P A ，n s⨯∈PB .⑧ 设m n⨯∈RA ，则TT()()().r r =r =AA A A A(2) 求矩阵的秩 (理论依据：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩)A R −−−−→初等变换(行阶梯形矩阵)，则()()r r ==A R R 的非零行的个数.(3) 矩阵的相抵(等价)① ()(),,.A B A B P Q PAQ B ≅⇔=⇔∃=可逆使得r r ② ()()()()r r r r ===PAQ PA AQ A ，其中,P Q 可逆. ③ ()r r r ⎡⎤=⇒=⎢⎥⎣⎦E O A PAQ O O 或r⎡⎤=⎢⎥⎣⎦E O A P Q O O . 三、线性空间1、向量组的线性相关性的判断(命题、、、、定理、、(1) 证明方法------,,--⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩定义转化为齐次线性方程组的求解秩矩阵、向量组的秩(定理4.1定理4.4命题4.5-4.6)坐标化方法定理4.14基本结论(2) 基本结论判断向量组线性相关（命题，命题(2),定理及推论1，定理）充要：12,,,s αααL 线性相关⇔其中至少有一个向量可由其余向量线性表示.充分：12,,,s αααL 线性相关⇐12,,,s s s ααα⎧⎪⎨⎪⎩L 某一个部分向量组线性相关向量的个数大于向量分量的个数被个数少于的向量组线性表示判断向量组线性无关（命题(3)，命题的推论） 2、等价向量组(1) (Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示，则r (Ⅰ) ≤r (Ⅱ). (2) (Ⅰ)与(Ⅱ)等价，则r (Ⅰ)=r (Ⅱ). 3、子空间的验证(1) 非空、加法和数量乘法的封闭； (2) 命题(生成子空间)--例，例4、向量组的秩及极大无关组(命题，定理及推论2)、(线性)子空间的基与维数 (1) 写成列向量作初等行变换，确定向量组的秩与极大无关组.(2) 对于12(,,,)s W L ααα=L ，则12dim (,,,)s W r ααα=L ， 即生成子空间的维数 与基就是向量组12,,,s αααL 的秩与极大无关组.5、坐标的概念、基变换公式与坐标变换公式坐标：1122n n x x x γααα=+++L 在基12,,,n αααL 下的坐标[]T12,,,n x x x L .基变换公式：1212(,,,)(,,,)n n βββααα=L L S 坐标变换公式：12121212(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)n n n n βββαααγαααγβββ=⎫⎪=⇒=⎬⎪=⎭L L L L S X X SY Y 或1-=Y S X 四、线性方程组(含参量、不含参量)1、解的情况(1) ()(),,()(),r r n r r n β⎧≠⎪=⇒=⎧⎨=⎨⎪<⎩⎩%%A A AX A A 无解唯一解无穷多解若A 是方阵，则0,()(),0()(),r r r r β⎧≠⎪=⇒⎧=⎨=⎨⎪≠⎩⎩%%唯一解无穷多解无解A AX A A A A A (2) 齐次线性方程组=0AX 有非零解()r n ⇔<A .若A 是方阵，则齐次线性方程组=0AX 有非零解0⇔=A .2、解的结构齐次=0AX：(1) 解空间N()A 、dimN()()n r =-=A A 基础解系所含向量的个数(2) 基础解系不唯一，()A -n r 的线性无关的解均可作为=0AX 的一个基础解系.(2) 结构式：通解=基础解系的任意线性组合 非齐次β=AX：(1) 非-非=齐(2) 结构式：通解=特解+导出组=0AX的通解五、线性变换1、线性变换的验证 (定义2、线性变换在一个基下的矩阵(定义、命题3、线性变换在不同基下的矩阵之间的关系(相似) 定理六、内积空间n R1、内积的概念、长度、正交(正交向量组必线性无关)2、施密特正交化3、正交矩阵 (1) 定义、性质；(2) n 阶实矩阵A 是正交矩阵的充要条件是A 的列(行)向量组是nR 的一个标准正交基. (命题七、矩阵的相似对角形1、特征值和特征向量的定义、性质 (1) 1212tr();n n λλλλλλ=+++=LL A A ；(2) A 与TA 具有相同的特征值(特征向量未必相同)；(3)()()(())A A λλ⊆f W W f ；11()()A A λλ--=W W .(4) 属于不同特征值的特征向量线性无关(定理、定理及推论).2、相似矩阵的定义、性质(秩、行列式、迹、特征值相等，但特征向量未必相同) 相似的判定：若A 与B 可对角化(实对称矩阵)，且A 与B 具有相同的特征值，则A 与B 相似.若A 与B 相似，则矩阵多项式()A f 与()B f 也相似.3、矩阵的相似对角化A 可对角化⇔A 有n 个线性无关的特征向量⇔数域P 内有n 个特征值，每一个特征值的几何重数等于代数重数(充分条件) A 有n 个互不相同的特征值⇒A 可对角化4、实对称矩阵(1) 特征值：n 阶实对称矩阵有n 个实特征值.(2) 特征向量：实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交. (3) 实对称矩阵必正交相似于实对角矩阵(几何重数等于代数重数). (4) 若A 与B 均为实对称矩阵，则A 与B 正交相似(相似)⇔A 与B 具有相同的特征值.(正交相似⇒既相似，又合同)八、二次型1、二次型的矩阵及秩(11A -←−→f (对称)) 2、矩阵的合同：合同必相抵；正交相似⇒既相似，又合同 实对称矩阵,A B 合同⇔,A B 的正惯性指数与秩相同3、化二次型为标准形(不唯一)--正交替换法、配方法(满秩线性替换)4、惯性定理：实二次型的规范形唯一(正、负惯性指数，符号差)5、正定二次型 (1) 判定：① 定义；② A 的特征值都大于零(A 的正惯性指数等于n )；③ A 与E 合同(与正定矩阵A 合同的实对称矩阵B 正定)； ④ 存在可逆矩阵S ，使得TA S S =； ⑤ A 的所有顺序主子式都大于零(2) 必要条件：(i)0,1,2,,ii a i n >=L ；(ii)||0A >。

《线性代数》知识点归纳整理线性代数是一门重要的数学学科，在许多领域都有广泛的应用，如计算机科学、物理学、工程学等。

下面将对线性代数的一些关键知识点进行归纳整理。

一、行列式行列式是线性代数中的一个基本概念。

它是一个数值，可以通过特定的计算规则得到。

对于二阶行列式，其计算公式为：＼＼begin{vmatrix} a ＆ b ＼＼ c ＆ d ＼end{vmatrix} ＝ ad bc ＼对于三阶行列式，计算相对复杂些，可通过按行（列）展开来计算。

行列式具有一些重要的性质，例如：1、行列式转置后其值不变。

2、某行（列）元素乘以一个数加到另一行（列）的对应元素上，行列式的值不变。

行列式的应用包括求解线性方程组、判断矩阵是否可逆等。

二、矩阵矩阵是线性代数中的核心概念之一。

矩阵的定义：由\（m×n\）个数排成的\（m\）行\（n\）列的数表称为\（m×n\）矩阵。

矩阵的运算包括加法、减法、数乘、乘法等。

1、矩阵加法和减法要求两个矩阵具有相同的行数和列数，对应元素相加减。

2、数乘矩阵是将矩阵中的每个元素乘以一个数。

3、矩阵乘法需要前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数，乘法运算不满足交换律。

矩阵的转置是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。

逆矩阵是一个重要概念，若矩阵\（A\）可逆，则存在矩阵\（B\），使得\（AB ＝ BA ＝ I\），其中\（I\）为单位矩阵。

三、向量向量可以看作是一组有序的数。

行向量是一行数，列向量是一列数。

向量的运算包括加法、减法、数乘。

向量组的线性相关性是一个重要内容。

如果存在一组不全为零的数，使得向量组的线性组合等于零向量，则称该向量组线性相关；否则称线性无关。

四、线性方程组线性方程组可以表示为矩阵形式\（Ax ＝ b\）。

线性方程组的解分为有解和无解的情况。

1、有解时，可能有唯一解或无穷多解。

2、无解时，方程组矛盾。

通过高斯消元法可以求解线性方程组。

五、特征值与特征向量对于矩阵\（A\），如果存在非零向量\（x\）和数\（＼lambda\），使得\（Ax ＝＼lambda x\），则\（＼lambda\）称为矩阵\（A\）的特征值，＼（x\）称为对应于特征值\（＼lambda\）的特征向量。

线性代数知识点归纳,超详细线性代数复习要点第⼀部分⾏列式1. 排列的逆序数2. ⾏列式按⾏（列）展开法则3. ⾏列式的性质及⾏列式的计算⾏列式的定义1.⾏列式的计算：①(定义法)②（降阶法）⾏列式按⾏（列）展开定理：⾏列式等于它的任⼀⾏（列）的各元素与其对应的代数余⼦式的乘积之和.推论：⾏列式某⼀⾏（列）的元素与另⼀⾏（列）的对应元素的代数余⼦式乘积之和等于零.③(化为三⾓型⾏列式)上三⾓、下三⾓、主对⾓⾏列式等于主对⾓线上元素的乘积.④若都是⽅阵（不必同阶）,则⑤关于副对⾓线：⑥范德蒙德⾏列式：证明⽤从第n⾏开始，⾃下⽽上依次的由下⼀⾏减去它上⼀⾏的倍，按第⼀列展开，重复上述操作即可。

⑦型公式：⑧(升阶法)在原⾏列式中增加⼀⾏⼀列，保持原⾏列式不变的⽅法.⑨(递推公式法) 对阶⾏列式找出与或,之间的⼀种关系——称为递推公式，其中,,等结构相同，再由递推公式求出的⽅法称为递推公式法.(拆分法) 把某⼀⾏（或列）的元素写成两数和的形式，再利⽤⾏列式的性质将原⾏列式写成两⾏列式之和，使问题简化以例计算.⑩(数学归纳法)2. 对于阶⾏列式，恒有：，其中为阶主⼦式；3. 证明的⽅法：①、；②、反证法；③、构造齐次⽅程组，证明其有⾮零解；④、利⽤秩，证明；⑤、证明0是其特征值.4. 代数余⼦式和余⼦式的关系：第⼆部分矩阵1.矩阵的运算性质2.矩阵求逆3.矩阵的秩的性质4.矩阵⽅程的求解1.矩阵的定义由个数排成的⾏列的表称为矩阵.记作：或①同型矩阵：两个矩阵的⾏数相等、列数也相等.②矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等.③矩阵运算a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）.b. 数与矩阵相乘：数与矩阵的乘积记作或，规定为.c. 矩阵与矩阵相乘：设, ,则，其中注：矩阵乘法不满⾜：交换律、消去律, 即公式不成⽴.a. 分块对⾓阵相乘：,b. ⽤对⾓矩阵○左乘⼀个矩阵,相当于⽤的对⾓线上的各元素依次乘此矩阵的○⾏向量；c. ⽤对⾓矩阵○右乘⼀个矩阵,相当于⽤的对⾓线上的各元素依次乘此矩阵的○列向量.d. 两个同阶对⾓矩阵相乘只⽤把对⾓线上的对应元素相乘.④⽅阵的幂的性质：，⑤矩阵的转置：把矩阵的⾏换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作.a. 对称矩阵和反对称矩阵:是对称矩阵.是反对称矩阵.b. 分块矩阵的转置矩阵：⑥伴随矩阵：，为中各个元素的代数余⼦式.,, .分块对⾓阵的伴随矩阵：，矩阵转置的性质：矩阵可逆的性质：伴随矩阵的性质：r(A)与r(A*)的关系若r（A）=n，则不等于0，A*=可逆，推出r（A*）=n。

完整版线性代数知识点总结线性代数是数学的一个分支，研究向量空间及其上的线性变换。

它在各个领域中都有广泛的应用，包括物理学、计算机科学、工程学等。

以下是线性代数的一些重要知识点总结：1.向量和向量空间：向量是有方向和大小的量，可以用来表示力、速度、位移等。

向量空间是向量的集合，具有加法和标量乘法运算，同时满足一定的性质。

2.线性方程组和矩阵：线性方程组是一组线性方程的集合，研究其解的性质和求解方法。

矩阵是一个由数构成的矩形数组，可以用来表示线性方程组中的系数和常数。

3.矩阵的运算：包括矩阵的加法、减法和乘法运算。

矩阵乘法是一种重要的运算，可以用来表示线性变换和复合变换。

4.行列式和特征值：行列式是一个标量，表示矩阵的一些性质，如可逆性和面积/体积的变换。

特征值是矩阵对应的线性变换中特殊的值，表示该变换在一些方向上的伸缩程度。

5.向量的内积和正交性：向量的内积是一种二元运算，可以用来表示向量之间的夹角和长度。

正交向量是指内积为零的向量，可以用来表示正交补空间等概念。

6.向量的投影和正交分解：向量的投影是一个向量在另一个向量上的投影，可以用来表示向量的分解。

正交分解是将一个向量分解为与另一个向量正交和平行的两个向量之和。

7.线性变换和线性映射：线性变换是指保持向量加法和标量乘法运算的变换。

线性映射是向量空间之间的函数，具有保持线性运算的性质。

8.特征值和特征向量：特征值和特征向量是线性变换或矩阵中一个重要的概念，用于描述变换的性质和方向。

9.正交矩阵和对称矩阵：正交矩阵是一个方阵，其列向量组成的矩阵是正交的。

对称矩阵是一个方阵，其转置等于自身。

10.奇异值分解：奇异值分解（SVD）是一种矩阵的分解方法，用来将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积。

SVD在数据压缩、图像处理和机器学习等领域有广泛的应用。

11.最小二乘法：最小二乘法是一种数学优化方法，用来找到一条曲线或超平面，使得这些数据点到该曲线或超平面的距离平方和最小。

线性代数知识点总结1 行列式（一）行列式概念和性质1、逆序数：所有的逆序的总数2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质：（用于化简行列式）（1）行列互换（转置），行列式的值不变（2）两行（列）互换，行列式变号（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。

（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。

（6）两行成比例，行列式的值为0。

（二）重要行列式4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式数学归纳法证明★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值：（三）按行（列）展开9、按行展开定理：（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0（四）行列式公式10、行列式七大公式：（1）|kA|=k n|A|（2）|AB|=|A|·|B|（3）|A T|=|A|（4）|A-1|=|A|-1（5）|A*|=|A|n-1（6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则（7）若A与B相似，则|A|=|B|（五）克莱姆法则11、克莱姆法则：（1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0（3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。

2 矩阵（一）矩阵的运算1、矩阵乘法注意事项：（1）矩阵乘法要求前列后行一致；（2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律）（3）AB=O不能推出A=O或B=O。

线性代数总结知识点线性代数是数学的一个分支，主要研究向量、向量空间（也称为线性空间）、线性变换以及线性方程组的理论。

它是现代数学的基础工具之一，广泛应用于物理学、工程学、计算机科学、经济学和社会科学等领域。

以下是线性代数的一些核心知识点总结：1. 向量与向量运算- 向量的定义：向量可以是有序的数字列表，用于表示空间中的点或方向。

- 向量加法：两个向量对应分量相加得到新的向量。

- 标量乘法：一个向量与一个标量相乘，每个分量都乘以该标量。

- 向量的数量积（点积）：两个向量的对应分量乘积之和，用于计算向量的长度或投影。

- 向量的向量积（叉积）：仅适用于三维空间，结果是一个向量，表示两个向量平面的法向。

2. 矩阵- 矩阵的定义：一个由数字排列成的矩形阵列。

- 矩阵加法和减法：对应元素相加或相减。

- 矩阵乘法：第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数，结果矩阵的每个元素是两个矩阵对应行列的乘积之和。

- 矩阵的转置：将矩阵的行变成列，列变成行。

- 单位矩阵：对角线上全是1，其余位置全是0的方阵。

- 零矩阵：所有元素都是0的矩阵。

3. 线性相关与线性无关- 线性相关：如果一组向量中的任何一个可以通过其他向量的线性组合来表示，则这组向量是线性相关的。

- 线性无关：如果只有所有向量的零组合才能表示为零向量，则这组向量是线性无关的。

4. 向量空间（线性空间）- 定义：一组向量，它们在向量加法和标量乘法下是封闭的。

- 子空间：向量空间的子集，它自身也是一个向量空间。

- 维数：向量空间的基（一组线性无关向量）的大小。

- 基和坐标：向量空间的一组基可以用来表示空间中任何向量的坐标。

5. 线性变换- 定义：保持向量加法和标量乘法的函数。

- 线性变换可以用矩阵表示，矩阵的乘法对应线性变换的复合。

6. 特征值和特征向量- 特征值：对应于线性变换的标量，使得变换后的向量与原向量成比例。

- 特征向量：与特征值对应的非零向量，变换后的向量与原向量方向相同。

线代知识点总结全部一、向量和矩阵1. 向量的定义向量是指具有大小和方向的几何体，通常用箭头表示。

在数学中，向量通常用有序数对或有序数组表示。

例如，在二维空间中，一个向量可以表示为(a, b)，表示向量在x轴上的分量为a，在y轴上的分量为b。

2. 向量的线性运算向量的线性运算包括向量的加法和数量乘法。

向量的加法就是将两个向量相加，得到一个新的向量。

数量乘法是将一个实数与一个向量相乘，得到一个新的向量。

3. 矩阵的定义矩阵是一个由数排成的矩形阵列，它是线性代数中的一个重要概念。

矩阵中的数称为元素，矩阵的行数和列数分别称为矩阵的阶数。

例如，一个m×n的矩阵有m行n列。

4. 矩阵的基本运算矩阵的基本运算包括矩阵的加法、数量乘法和矩阵的乘法。

矩阵的加法是将两个相同阶数的矩阵相加得到一个新的矩阵，矩阵的数量乘法是将一个实数与一个矩阵相乘得到一个新的矩阵。

矩阵的乘法是将一个m*n的矩阵与一个n*p的矩阵相乘得到一个m*p的矩阵。

5. 矩阵的转置矩阵的转置是将矩阵的行向量转换为列向量，列向量转换为行向量。

矩阵的转置操作可以用来表示矩阵的对称性和几何意义，也有利于简化矩阵的计算。

二、向量空间和子空间1. 向量空间的定义向量空间是指具有加法和数量乘法两种运算的集合，并且满足一定的性质。

向量空间可以是有限维的，也可以是无限维的。

例如，n维实数向量空间可以表示为R^n，它包含所有n维的实数向量。

2. 子空间的定义子空间是指在一个向量空间V中的一个非空集合W，并且满足在W中任意两个向量的线性组合仍然在W中。

子空间的一个重要性质是它也是一个向量空间，可以继承向量空间的性质。

3. 线性相关和线性无关一组向量中的向量如果存在线性组合能够得到零向量，则称这组向量线性相关；如果不存在这样的线性组合，则称这组向量线性无关。

4. 基和维数在一个向量空间中，如果存在一组线性无关的向量可以组成整个空间中的任意向量，则称这组向量是一组基。

考试重点第一章: 行列式的定义、行列式的计算；第二章: 1、求矩阵的逆阵（伴随矩阵法、初等变换法）； 2.求矩阵的秩（用初等变换法）；3.求矩阵方程: Ax=B, xA=B, AxB=C ； 第三章: 证明向量组的线性相关性； 第四章: 方程组Ax=0, Ax=b 求解； 第五章: 1、会求特征值与特征向量； 2.相似矩阵的性质；3.实对称矩阵的对角化； 第六章: 1.用正交变换把二次型化为标准形；2.二次型的秩, 二次型正定的定义； 3、矩阵正定的判断方法:（1）各阶顺序主子式都大于零；（2）每个特征值都大于零()0A r A n A Ax A A οο⎧⎪<⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪⎪⎩不可逆 有非零解是的特征值的列（行）向量线性相关 12()0,,T s i nA r A n Ax A A A A A A A p p p p Ax οββ⎧⎪=⎪⎪=⎪⎪⎪≠⇔⎨⎪⎪⎪⎪=⋅⋅⋅⎪⎪∀∈=⎩可逆 只有零解 的特征值全不为零 的列（行）向量线性无关 是正定矩阵 与同阶单位阵等价 是初等阵总有唯一解⎫⎪−−−→⎬⎪⎭具有向量组等价相似矩阵反身性、对称性、传递性矩阵合同 √ 行列式的计算:① 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则(1)mn A A A A B B B B A A BB οοοοο*===**=-②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.③关于副对角线: √ 逆矩阵的求法:①1A A A*-=②1()()A E E A -−−−−→初等行变换③11a b d b c d c a ad bc --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ TT T T T A B A C C D BD ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦④12111121n aa n a a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦21111211na a n a a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⑤11111221n n A A A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 11121211n nA A A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦√ 设 , 对 阶矩阵 规定: 为 的一个多项式.√ 设 的列向量为 , 的列向量为 , 的列向量为 ,√ 用对角矩阵Λ左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量； 用对角矩阵Λ右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,与分块对角阵相乘类似,即:11112222kk kk A B A B AB A B οο⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦√ 判断 是 的基础解系的条件: ① 12,,,s ηηη线性无关； ② 12,,,s ηηη是0Ax =的解；③ ()s n r A =-=每个解向量中自由变量的个数.① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.③ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关⇔向量组中至少有一个向量可由其余1n -个向量线性表示. 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关⇔向量组中每一个向量i α都不能由其余1n -个向量线性表示. ④ m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关()r A n ⇔<； m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关()r A n ⇔=. ⑤ ()0r A A ο=⇔=.⑥ 若 线性无关, 而 线性相关,则 可由 线性表示,且表示法惟一. ⑦ 矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩. 阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.⑧ 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列 、行向量间的线性关系.⑨ 矩阵 与 等价 作为向量组等价,即: 秩相等的向量组不一定等价.矩阵A 与B 作为向量组等价⇔1212(,,,)(,,,)n n r r αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=1212(,,,,,,)n n r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇒ 矩阵A 与B 等价.向量组 可由向量组 线性表示 ≤ .向量组 可由向量组 线性表示,且 , 则 线性相关.向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅线性无关,且可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,则s ≤n .⑩ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅,则两向量组等价；⑪ 任一向量组和它的极大无关组等价.⑫ 向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等. ⑬ 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等. 若 是 矩阵,则 ,若 , 的行向量线性无关；若 , 的列向量线性无关,即：12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关.Ax β=1122n n x x x αααβ+++=1112111212222212,,n n m m mn n m a a a x b a a a x b A x a a a x b β⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 12,1,2,,j j jmj j n αααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦51212120,,,0,,,()(),,,A n A n n Ax Ax A nAx Ax A Ax r A r A n βοαααβοβαααββααα⇒⇔==−−−−−→=<<≠⇒⇒⇔==−−−−−→≠⇔=⇔=<≠=⇒当为方阵时当为方阵时有无穷多解有非零解线性相关 有唯一组解只有零解可由线性表示有解线性无关 12()(),,,()()()1()A n r A r A Ax r A r A r A r A ββαααβββ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪−−−−−→⎪⎩⇔≠⎧⎪⇔=⇔<⎨⎪⇔+=⎩当为方阵时 克莱姆法则 不可由线性表示无解6线性方程组解的性质:√ 设A 为m n ⨯矩阵,若()r A m =,则()()r A r A β=,从而Ax β=一定有解. 当m n <时,一定不是唯一解.⇒<方程个数未知数的个数向量维数向量个数,则该向量组线性相关.m 是()()r A r A β和的上限. √ 矩阵的秩的性质:① ()()()T T r A r A r A A == ② ()r A B ±≤()()r A r B + ③ ()r AB ≤{}min (),()r A r B④ ()0()00r A k r kA k ≠⎧=⎨=⎩若 若⑤ ()()A r r A r B B οο⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⑥0,()A r A ≠若则≥1⑦ ,,()0,()()m n n s A B r AB r A r B ⨯⨯=+若且则≤n ⑧ ,()()()P Q r PA r AQ r A ==若可逆,则 ⑨ ,()()A r AB r B =若可逆则,()()B r AB r A =若可逆则⑩ (),()(),r A n r AB r B ==若则且A 在矩阵乘法中有左消去律:0AB B AB AC B Cο=⇒==⇒=n 个n 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.(,)0αβ=.1α==.√ 内积的性质: ① 正定性:② 对称性: ③ 双线性:1212(,)(,)(,)ααβαβαβ+=+ (,)(,)(,)c c c αβαβαβ==123,,ααα线性无关,112122111313233121122(,)()(,)(,)()()βααββαβββαβαββαββββββ=⎧⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=--⎪⎩正交化单位化: T AA E =.√ 是正交矩阵的充要条件: 的 个行（列）向量构成 的一组标准正交基.√ 正交矩阵的性质: ① ； ② T T AA A A E ==；③ A 是正交阵,则T A （或1A -）也是正交阵； ④ 两个正交阵之积仍是正交阵； ⑤ 正交阵的行列式等于1或-1.E A λ-.()E A f λλ-=.√ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n 各元素.√ 若0A =,则0λ=为A 的特征值,且0Ax =的基础解系即为属于0λ=的线性无关的特征向量. √ 12n A λλλ= 1ni A λ=∑tr√ 若 ,则 一定可分解为 = 、 ,从而 的特征值为: , .√ 若 的全部特征值 , 是多项式,则: ① ()f A 的全部特征值为12(),(),,()n f f f λλλ；② 当A 可逆时,1A -的全部特征值为12111,,,n λλλ,A *的全部特征值为12,,,n A AAλλλ.√ 1122,.m m Ak kA a b aA bEAA AA A λλλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩是的特征值则:分别有特征值 √ 1122,m m Ak kAa b aA bEAx A x AA A λλλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩是关于的特征向量则也是关于的特征向量.. 相似于对角阵的充要条件： 恰有 个线性无关的特征向量.这时, 为 的特征向量拼成的矩阵， 为对角阵,主对角线上的元素为 的特征值. √ 可对角化的充要条件: 为 的重数. √ 若n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值,则A 与对角阵相似.1B P AP -= （P 为正交矩阵）√ 相似矩阵的性质: ① 若 均可逆 ② T T A B③ kk A B （k 为整数）④ E A E B λλ-=-,从而,A B 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.即:x 是A 关于0λ的特征向量,1P x -是B 关于0λ的特征向量. ⑤ A B = 从而,A B 同时可逆或不可逆 ⑥ ()()r A r B = ⑦ ()()A B =tr tr√ 数量矩阵只与自己相似. √ 对称矩阵的性质:① 特征值全是实数,特征向量是实向量； ② 与对角矩阵合同；③ 不同特征值的特征向量必定正交；④ k 重特征值必定有k 个线性无关的特征向量；⑤ 必可用正交矩阵相似对角化（一定有n 个线性无关的特征向量,A 可能有重的特征值,重数=()n r E A λ--）.12(,,,)T n f x x x X AX = A 为对称矩阵 12(,,,)T n X x x x =√ 用正交变换法化二次型为标准形:① 求出A 的特征值、特征向量； ② 对n 个特征向量单位化、正交化； ③ 构造C （正交矩阵）,1C AC -=Λ； ④ 作变换X CY =,新的二次型为2121(,,,)nn i i f x x x d y =∑,Λ的主对角上的元素i d 即为A 的特征值.正定二次型对应的矩阵. √ 合同变换不改变二次型的正定性.① √ 成为正定矩阵的充要条件（之一成立）:②正惯性指数为n；③A的特征值全大于0；④A的所有顺序主子式全大于0；⑤大于0）.√成为正定矩阵的必要条件: ；.11。

线性代数超强的总结(不看你会后悔的).doc线性代数超强总结（不看你会后悔的）引言线性代数是数学中的一个重要分支，广泛应用于科学、工程、经济学和社会科学等领域。

本文档旨在提供一个全面而深入的线性代数总结，帮助读者掌握这一重要学科的核心概念和应用。

矩阵理论矩阵运算加法：两个同型矩阵对应元素相加。

乘法：矩阵乘积涉及到行与列的点积。

转置：矩阵的转置是将行列互换。

逆矩阵：方阵的逆矩阵满足 ( AA^{-1} = A^{-1}A = I )。

特殊矩阵单位矩阵：对角线上全是1，其他位置为0的方阵。

对角矩阵：除了对角线上的元素，其他位置元素都是0。

上三角矩阵和下三角矩阵：上三角矩阵的对角线以下元素为0，下三角矩阵的对角线以上元素为0。

向量空间向量空间的定义向量空间是满足加法和标量乘法封闭性的集合。

基和维数基：向量空间的一组基是线性无关的向量集合，任何向量都可以唯一地表示为基向量的线性组合。

维数：向量空间的维数是其基中向量的数量。

子空间子空间是向量空间的一个子集，它自身也是一个向量空间。

线性变换线性变换的定义线性变换是满足加法和标量乘法保持性的函数。

线性变换的矩阵表示任何线性变换都可以用一个矩阵来表示。

特征值和特征向量特征值：使得 ( Av = \lambda v ) 成立的标量 ( \lambda )。

特征向量：对应的非零向量 ( v )。

线性方程组线性方程组的表示线性方程组可以表示为矩阵形式 ( Ax = b )。

高斯消元法高斯消元法是一种通过行操作求解线性方程组的方法。

克拉默法则当系数矩阵是可逆的，克拉默法则提供了一种解线性方程组的公式。

特征值和特征向量特征多项式特征多项式是 ( \det(A - \lambda I) )，其根即为矩阵 ( A ) 的特征值。

对角化如果矩阵 ( A ) 有足够多的线性无关的特征向量，则 ( A ) 可以对角化。

内积空间内积的定义内积是一个二元运算，满足正定性、线性和对称性。

线性代数知识点简单总结线性代数是数学的一个分支，主要研究向量、向量空间（也称为线性空间）、线性变换以及线性方程组的理论。

以下是线性代数的一些核心知识点的简单总结：1. 向量与空间- 向量：可以视为空间中的点或箭头，具有大小和方向，可以进行加法和数乘运算。

- 零向量：所有向量加法的单位元，加任何向量结果不变。

- 单位向量：长度为1的向量。

- 向量空间：一组向量的集合，其中任意向量的线性组合仍然在这个集合中。

- 子空间：向量空间的子集，自身也是一个向量空间。

- 维数：向量空间的基的大小，表示为n维空间。

2. 矩阵与线性变换- 矩阵：一个由数字排列成的矩形阵列，可以表示线性变换。

- 行向量与列向量：矩阵中的行和列可以被视为行向量或列向量。

- 线性变换：保持向量加法和数乘的函数，可以用矩阵来表示。

- 单位矩阵：对角线为1，其他为0的方阵，与任何矩阵相乘结果不变。

- 转置：将矩阵的行变成列，列变成行的操作。

3. 线性方程组- 齐次线性方程组：形如Ax=0的方程组，其中A是矩阵，x是未知向量。

- 非齐次线性方程组：形如Ax=b的方程组，b不是零向量。

- 行列式：方阵的一个标量值，可以表示矩阵表示的线性变换对空间体积的缩放因子。

- 克拉默法则：使用行列式解线性方程组的方法，适用于小规模且系数矩阵行列式非零的情况。

4. 特征值与特征向量- 特征值：一个标量λ，使得存在非零向量x满足Ax=λx。

- 特征向量：与特征值对应的非零向量x。

- 特征多项式：用于求解特征值的多项式，定义为det(A-λI)=0。

- 对角化：将矩阵表示为特征向量和特征值的组合。

5. 内积与正交性- 内积（点积）：两个向量的函数，满足Schwarz不等式。

- 正交：两个向量的内积为零，表示它们在空间中垂直。

- 正交基：一组向量，任意两个向量都正交。

- 正交补：对于一个向量空间的子集，所有与该子集中所有向量正交的向量组成的集合。

6. 奇异值分解- 奇异值分解（SVD）：将任意矩阵分解为三个特殊矩阵的乘积，即A=UΣV*。

线性代数知识点总结1行列式（一）行列式概念和性质1、逆序数：所有的逆序的总数2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质：（用于化简行列式）（1）行列互换（转置），行列式的值不变（2）两行（列）互换，行列式变号（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。

（5）—行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。

（6）两行成比例，行列式的值为0。

（二）重要行列式4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则★ 8对角线的元素为a ,其余元素为b 的行列式的值:（三）按行（列）展开 9、按行展开定理:（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等 于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素 的代数余子式乘积之和等于 0 （四）行列式公式 10、行列式七大公式: (1) |kA|=kn|A|1 1…ik £…益■y (v)」IT=n厲-号）klXn7、n 阶（n 》2）范德蒙德行列式数学归纳法证明(2) |AB|=|A| • |B|(3) |AT|=|A|(4) |A-1|=|A|-1(5) |A*|=|A|n-1(6) 若A的特征值入1、入2、……入n,贝y P(7) 若A与B相似，则|A|=|B|(五)克莱姆法则11、克莱姆法则：(1 )非齐次线性方程组的系数行列式不为0,那么方程为唯解(2)如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0(3 )若齐次线性方程组的系数行列式不为0,则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0b2矩阵(一)矩阵的运算1、矩阵乘法注意事项：(1)矩阵乘法要求前列后行一致；(2)矩阵乘法不满足交换律；(因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律)(3)AB=O不能推出A=O或B=O2、转置的性质( 5 条)( 1)( A+B) T=AT+BT( 2)( kA) T=kAT( 3)( AB) T=BTAT( 4) |A|T=|A|( 5)( AT) T=A(二)矩阵的逆3、逆的定义：B=A-1 AB=E或 BA=E成立，称A可逆，B是A的逆矩阵，记为注：A可逆的充要条件是|A|工04、逆的性质：( 5 条)(1)( kA) - 1=1/k ・A-1 (k 工0)(2)(AB)-仁B- 1 ・A-1(3)|A-1|=|A|-1( 4)( AT) -1= ( A-1 ) T( 5)( A-1 ) -1=A5、逆的求法：( 1 ) A 为抽象矩阵：由定义或性质求解(2) A为数字矩阵：(A|E初等行变换E|A-1 )(三)矩阵的初等变换6、初等行(列)变换定义：（1）两行（列）互换；（2）一行（列）乘非零常数c（3）一行（列）乘k 加到另一行（列）7、初等矩阵：单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵。

线代知识点总结归纳1. 基本概念线性代数的基本概念包括向量、矩阵、线性方程组、行列式等。

向量是线性代数中的基本概念，它是一个有向量在空间中的表示。

通常用n维实数或复数坐标表示一个n维向量，例如，一个三维向量可以表示为（x，y，z）。

矩阵是由若干个数排成若干行和若干列组成的数表，通常用大写字母表示，例如，矩阵A。

线性方程组是由一组线性方程组成的方程组，通常用矩阵形式表示，例如，Ax=b。

行列式是一个数学概念，用来判断矩阵是否可逆，是一个非零数值。

2. 矩阵运算矩阵运算包括矩阵加法、矩阵数量乘法、矩阵乘法等。

矩阵加法是将两个相同维度的矩阵进行对应元素的相加，例如，矩阵A和矩阵B相加得到矩阵C。

矩阵数量乘法是将一个数与一个矩阵的每一个元素相乘，例如，数k与矩阵A相乘。

矩阵乘法是将一个m×n的矩阵与一个n×p的矩阵相乘得到一个m×p的矩阵，例如，矩阵A与矩阵B相乘得到矩阵C。

3. 向量空间向量空间是一个由向量构成的集合，并且满足一定的线性运算和封闭性质。

向量空间包括零向量、线性组合、线性相关与线性无关等概念。

零向量是所有元素都为零的向量，通常用0表示。

线性组合是将向量乘以一个标量再相加得到一个新的向量，例如，向量u和向量v的线性组合是ku+lv。

线性相关是指向量集合中存在非零标量使得它们的线性组合为零向量，线性无关是指向量集合中不存在非零标量使得它们的线性组合为零向量。

4. 特征值与特征向量矩阵的特征值和特征向量是线性代数中的重要概念。

特征值是一个数，特征向量是一个非零向量，使得矩阵与特征向量的乘积等于特征值与特征向量的乘积，即Ax=λx。

通过求解矩阵的特征值和特征向量，可以得到矩阵的对角化与相似对角化等结果，进而解决一些重要的问题，例如，求解线性方程组、奇异值分解等。

综上所述，线性代数是数学中的一个重要分支，它研究向量空间、矩阵、线性变换等代数结构，并且在科学与工程领域广泛应用。

线性代数知识点全面总结线性代数是数学的重要分支，广泛应用于各个领域，如物理学、计算机科学、经济学等。

本文将全面总结线性代数的知识点，帮助读者系统地了解和掌握该学科。

1. 线性代数的基本概念1.1 向量及其表示：向量是线性代数的基本概念，可以用有序数对、矩阵或列向量表示，具有方向和大小。

1.2 矩阵及其运算：矩阵是由数字排列成的矩形数组，可以进行加法、乘法、转置等运算。

1.3 线性方程组：线性方程组是由一组线性方程组成的方程组，可以用矩阵和向量的表示形式来求解。

2. 向量空间2.1 向量空间的定义：向量空间是由一组满足一定条件的向量构成的集合，满足加法和数乘运算的封闭性。

2.2 子空间：子空间是向量空间的子集，也是向量空间，满足加法和数乘运算的封闭性。

2.3 线性无关与生成子空间：线性无关是指向量组中的向量之间不存在线性关系，生成子空间是指向量组中所有向量的线性组合的集合。

3. 线性映射3.1 线性映射的定义：线性映射是一个将一个向量空间映射到另一个向量空间的映射，保持加法和数乘运算的性质。

3.2 线性映射的矩阵表示：线性映射可以用矩阵表示，将一个向量空间的向量转化为另一个向量空间的向量。

3.3 核与像：核是线性映射中被映射为零向量的向量集合，像是线性映射中所有被映射到的向量组成的集合。

4. 矩阵的特征值与特征向量4.1 特征值和特征向量的定义：特征值是一个矩阵对应的线性变换中不改变方向的标量因子，特征向量是在特征值下发生伸缩的向量。

4.2 特征值与特征向量的计算：特征值与特征向量可以通过求解特征方程来计算。

4.3 对角化与相似矩阵：若一个矩阵相似于一个对角矩阵，则称其可对角化，对角矩阵是一个形式为对角线非零、其余元素均为零的矩阵。

5. 线性代数的应用5.1 物理学中的应用：线性代数在量子力学、力学等物理学领域有广泛应用，如描述粒子的状态和变换等。

5.2 计算机科学中的应用：线性代数在计算机图形学、机器学习等领域起到重要作用，如图像处理、数据分析等。

线性代数知识点归纳线性代数是现代数学中的一个重要分支，主要研究向量空间及其上的线性映射。

它在许多科学领域中都有广泛的应用，包括物理学、计算机科学、经济学等。

本文将对线性代数中的一些重要知识点进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和掌握这门学科。

一、向量与矩阵1. 向量的定义与运算- 向量的表示：向量可以用有序数组表示，也可以用线段箭头表示。

- 向量的加法与减法：向量之间可以进行加法和减法运算，满足交换律和结合律。

- 向量的数乘：向量与实数之间可以进行数乘运算。

- 内积与外积：向量之间有内积和外积两种运算，分别表示向量的夹角和与之垂直的面积。

2. 矩阵的定义与运算- 矩阵的表示：矩阵可以用二维数组表示，其中每个元素称为矩阵的一个元。

- 矩阵的加法与减法：矩阵之间可以进行加法和减法运算，要求矩阵的维度相同。

- 矩阵的数乘：矩阵与实数之间可以进行数乘运算。

- 矩阵乘法：矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律。

二、线性方程组与矩阵运算1. 线性方程组- 线性方程组的定义：线性方程组由一组线性方程组成，其中每个方程都是线性的。

- 解的存在性与唯一性：线性方程组的解可能没有，可能有唯一解，也可能有无穷多解。

- 线性方程组的求解方法：高斯消元法、矩阵求逆、克拉默法则等。

2. 矩阵的逆与行列式- 矩阵的逆：若矩阵A存在逆矩阵A^-1，满足A·A^-1 = A^-1·A = I，其中I为单位矩阵。

- 行列式：行列式是一个与矩阵相关的标量值，用于判断矩阵的可逆性和计算矩阵的特征值。

三、线性映射与特征值问题1. 线性映射- 线性映射的定义：线性映射是一个满足线性性质的函数，将一个向量空间映射到另一个向量空间。

- 线性映射的表示与运算：线性映射可以用矩阵表示，可以进行加法、减法和数乘。

- 线性映射的核与像：线性映射的核是所有映射到零向量的向量集合，像是所有映射到的向量集合。

2. 特征值与特征向量- 特征值与特征向量的定义：对于一个线性映射，若存在一个非零向量使得线性映射作用于该向量后相当于对该向量进行标量乘法，该向量称为特征向量，该标量称为特征值。

线性代数复习总结大全第一章 行列式二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和n nn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。

（转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。

推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。

③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。

推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。

④行列式具有分行（列）可加性⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变 行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij ji ij M A +-=)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。

克莱姆法则：非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零 特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:333122211312110a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。

化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式: 行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的） 化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵n *（零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) ---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0 转置A A T T =)( TT T B A B A +=+)( T T kA kA =)( TT T A B AB =)((反序定理) 方幂：2121k k k kA AA +=2121)(k k k k A A +=矩阵：对角矩阵：若AB 都是N 阶对角阵，k 是数，则kA 、A+B 、 数量矩阵：相当于一个数（若……）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……） 对称矩阵 反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 注：把分出来的小块矩阵看成是元素阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的， B A=-1(非|A|=0、伴随矩阵)2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 倍加到另 初等矩阵都可逆倍乘阵 倍加阵） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O OO I D rr 矩阵的秩r(A)：满秩矩阵 降秩矩阵 若A 可逆，则满秩若A 是非奇异矩阵，则r （AB ）=r （B ） 初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=，行列式nij n nija k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。