1. 2. 3. 4. 5.
6. 有四批零件，第一批有2000个零件，其中5%是次品。第二批有500个零件，其中40%是次品。第三批和第四批各有1000个零件，次品约占10%。我们随机地选择一个批次，并随机地取出一个零件。 （1） 问所选零件为次品的概率是多少？ （2） 发现次品后，它来自第二批的概率是多少？ 解：（1）用i B 表示第i 批的所有零件组成的事件，用D 表示所有次品零件组成的事件。
()()()()1
2
3
4
1
4
P B P B P B P B ==== ()()()()1234100
200
0.050.42000500100
100
0.1
0.1
10001000P D B P D B P D B P D B ===
=====
()1111
0.050.40.10.10.1625
4444
P D =⨯+⨯+⨯+⨯=
（2）发现次品后，它来自第二批的概
率为，
()()()2220.250.4
0.615
0.1625
P B P D B P B D P D ⨯=
=
=
7. 8.
9. 设随机试验X 的分布律为
求X 的概率密度和分布函数，并给出图形。 解：()()()()0.210.520.33f x x x x δδδ=-+-+-
()()()()0.210.520.33F x u x u x u x =-+-+-
10.
11. 设随机变量X 的概率密度函数为()x
f x ae -=，求:(1)系数a ；（2）其分布函数。 解：（1）由()1f x dx ∞-∞
=⎰
()0
()2x
x
x
f x dx ae dx a e dx e dx a ∞
∞
∞
---∞
-∞
-∞
==+=⎰⎰⎰⎰
所以12
a = （2）()1()2
x x
t
F x f t dt e dt --∞
-∞==⎰
⎰
所以X 的分布函数为
()1,02
11,02
x
x e x F x e x -⎧<⎪⎪=⎨
⎪-≥⎪⎩
12.
13.
14. 若随机变量X 与Y 的联合分布律为
求：（1）X 与Y 的联合分布函数与密度函数；
（2）X 与Y 的边缘分布律；（3）Z XY =的分布律；（4）X 与Y 的相关系数。（北P181,T3） 解：（1）
()()()()()()()
,0.07,10.18,0.15,10.081,10.321,0.201,1F x y u x y u x y u x y u x y u x y u x y =+++-+
-++-+-- ()()()()()()()
,0.07,10.18,0.15,10.081,10.321,0.201,1f x y x y x y x y x y x y x y δδδδδδ=+++-+
-++-+--
（2） X 的分布律为
()()00.070.180.150.4010.080.320.200.60
P X P X ==++===++=
Y
的分布律为
()()()10.070.080.1500.180.320.5010.150.200.35
P Y P Y P Y =-=+===+===+=
（3）Z XY =的分布律为
()()()()()()()()()()111,10.08
0001,00.400.320.72111,10.20
P Z P XY P X Y P Z P XY P X P X Y P Z P XY P X Y =-==-===-======+===+========
（4）因为
()()()00.4010.600.60
10.1500.5010.350.20
E X E Y =⨯+⨯==-⨯+⨯+⨯= ()()10.0800.7210.200.12
E XY =-⨯+⨯+⨯= 则
()()()()ov ,0.120.600.200
C X Y E XY E X E Y =-=-⨯=
X
与Y 的相关系数0XY
ρ=，可见它们无关。 15.
16. 设随机变量()~0,1X N ，()~0,1Y N 且相互独立，
U X Y V X Y
=+⎧⎨
=-⎩。
（1） 随机变量(),U V 的联合概率密度(),UV
f u v ；
（2） 随机变量U 与V 是否相互独立？ 解：（1）随机变量(),X Y 的联合概率密度为
()()222
2
1
,,,2x y XY f x y e x y R π
+-
=
∈
由反函数
22
u v x u v y +⎧=⎪⎪⎨
-⎪=⎪⎩，
1
1
122
11222
J =
=--，
()()22
2
4
1,,,4u v UV f u v e u v R π
+-
=
∈
（2）由于
,
2
22
2
4
4414u
v u v e π
+---⎛⎫⎛⎫=⨯⎪⎪⎪⎪⎭⎭
()()()
()2,,UV U V f u v f u f v u v R =∈
所以随机变量U 与V 相互独立。 17. 18. 19. 20.
21. 已知对随机变量X 与Y ，有1EX =，3EY =，()4D X =，()16D Y =，0.5XY
ρ=，又设3U X Y =+，2V X Y =-，试求EU ，EV ，()D U ，()D V 和(,)Cov U V 。 解：首先，
2
2
()()5EX D X EX =+=， 2
2
()()25EY D Y EY =+=。
又因为()(,)7E XY Cov X Y EX EY EX EY ρ=+⨯=⨯=。于是
(3)36EU E X Y EX EY =+=+=， (2)25EV E X Y EX EY =-=-=-
22222
()()(96)()76D U EU EU E X XY Y EU =-=++-= 22222
()()(44)()52D V EV EV E X XY Y EV =-=-+-= []22
()(3)(2)(352)70E UV E X Y X Y E X XY Y =+-=--=-
