广东省广州市第113中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题含答案

2019-2020年高一下学期期中联考数学试题 Word 版含答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.圆的圆心和半径分别为 ( ) A. B. C. D.2.设，则点到点距离为 （ ） A. B. C. D.3.一个扇形的弧长与面积都是，则这个扇形圆心角的弧度数为 （ ） A ． B ． C ． D ．4.已知是第二象限角, ( ) A ． B ． C ． D ．5.圆和圆的位置关系是 （ ）A.相交B.相切C.外离D.内含 6.已知函数，下面结论错误的是 （ ） A.函数的最小正周期为 B.函数在区间上是增函数 C.函数的图像关于直线对称 D.函数为奇函数7.函数的图像可由函数的图像 得到 ( )A ．向左平移个单位B ．向右平移个单位C ．向左平移个单位D ．向右平移个单位 8.已知，，且，则 （ ）A. B. C. D.9.函数),0,0)(sin(πϕωϕω<>>+=A x A y 在一个周期内的图像如图所示，则此函数的解析式为（ ）A. B. C. D.10.设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为，且，则 （ ）A ．在单调递减B ．在单调递减C ．在单调递增D ．在单调递增二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。

11.已知，则的值为 ．12.已知，则 ．13.经过点，并且与圆0248622=+--+y x y x 相切的直线方程是 ．14.函数的图像为，下列命题:①图像关于直线对称； ②函数在区间内是增函数；③将的图像上的点横坐标保持不变,纵坐标变为原来的3倍即可得到图像； ④图像关于点对称.（写出所有正确命题的编号）三、解答题：本大题共6小题，满分80分。

解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，则A∩B=（ ）A. {x|-1≤x≤1}B. {x|0≤x≤1}C. {x|0≤x≤1}D. {x|0≤x＜1}2.设a，b∈R，若a-|b|＞0，则下列不等式中正确的是（ ）A. b-a＞0B. a3+b3＜0C. b+a＞0D. a2-b2＜03.如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，就可以计算出A、B两点的距离为（ ）A. mB. 25mC. 50mD. 50m4.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是（ ）A. ①④B. ②③C. ②④D. ①②5.下列各函数中，最小值为2的是（ ）A. B. ，C. D.6.如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为,假若点有一只蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线的中点处的食物，那么它爬行的最短路程是（）A. 6B.C. 4D.7.《九章算术》“竹九节”问题，现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面3节的容积共为升，下面3节的容积共升，则第4节的容积为（ ）升A. B. C. D. 18.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量=（b-c，cos C），=（a，cos A），∥，则cos A的值等于（ ）A. B. C. D.9.已知数列{a n}是等比数列，数列{b n}是等差数列，若a1•a5•a9=-8，b2+b5+b8=6π，则的值是（ ）A. B. C. D.10.设数列{a n}满足a1=2，a n+1=1-，记数列{a n}的前n项之积为T n，则T2018=（ ）A. 1B. 2C.D.11.数列的前25项和为（ ）A. B. C. D.12.已知定义域为R的函数的满足f（x）=4f（x+2），当x∈[0，2）时，，设f（x）在[2n-2，2n）上的最大值为，且{a n}的前n项和为S n，若S n＜k对任意的正整数n均成立，则实数k的取值范围为（ ）A. （，+∞）B. [，+∞）C. [2，+∞）D. [，+∞）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.||=1，||=2，，且，则与的夹角为______．14.已知等比数列{a n}的前n项和，则{a n}的通项公式是______．15.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，下列四个论断正确的是______（把你认为正确论断的序号都写上）①若=，则B=；②若B=，b=2，a=，则满足条件的三角形共有两个；③若a，b，c成等差数列，sin A，sin B，sin C成等比数列，则△ABC为正三角形；④若a=5，c=2，△ABC的面积S△ABC=4，则cos B=．16.已知数列{a n}满足，则数列的最大值为______三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a=2，cos B=．（1）若b=4，求sin A的值；（2）若△ABC的面积S△ABC=4，求b、c的值．18.已知等比数列{a n}满足a3+a4=12，a1a6=32且公比q＞1（1）求{a n}的通项公式（2）若，求{b n}的前n项和T n19.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．20.已知函数f（x）=A sin（ωx+φ），x∈R（其中）的图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式及其对称方程；（2）当时，方程f（x）=2a-3有两个不等的实根x1，x2，求实数a的取值范围，并求此时x1+x2的值．21.设数列{a n}的前n项和为S n，且（1）求证：数列{a n+2n}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式（2）设c n=log2（a n+2n）-2，数列{d n}满足：，数列{d n}的前n项和为T n，求使不等式成立的最小正整数n22.已知幂函数f（x）=（p2-3p+3）满足f（2）＜f（4）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数g（x）=f2（x）+mf（x），x∈[1，9]，是否存在实数m使得g（x）的最小值为0？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．（3）若函数h（x）=n-f（x+3），是否存在实数a，b（a＜b），使函数h（x）在[a ，b]上的值域为[a，b]？若存在，求出实数n的取值范围；若不存在，说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：集合，解得：A={x|-1＜x＜1}，B={x|0≤x≤1}．则A∩B={x|-1＜x＜1}∩{x|0≤x≤1}={x|0≤x＜1}；故选：D．解分式不等式和一元二次不等式化简集合A、B，然后直接利用交集运算得答案．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.【答案】C【解析】解：因为a-|b|＞0，∴a＞|b|当a=2，b=-1时，b-a=-3＜0，排除A；a3+b3=23-1=7＞0，排除B；a2-b2=22-1=3＞0，排除D故选：C．取a=2，b=-1代入计算可排除A，B，D本题考查了不等式的基本性质，属基础题．3.【答案】C【解析】解：在△ABC中，AC=50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°，即∠ABC=30°，则由正弦定理=，得：AB===50m．故选：C．由∠ACB与∠BAC，求出∠ABC的度数，根据sin∠ACB，sin∠ABC，以及AC的长，利用正弦定理即可求出AB的长．此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．4.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了平行投影和空间想象能力，关键是确定投影图的关键点，如顶点等，再依次连接即可得在平面上的投影图，主要依据平行投影的含义和空间想象来完成，属于基础题．由题意需要从三个角度对正方体进行平行投影，首先确定关键点P、A、C在各个面上的投影，再把它们连接起来，即△PAC在该正方体各个面上的射影．【解答】解：从上下方向上看，△PAC的投影为①图所示的情况；从左右方向上看，△PAC的投影为④图所示的情况；从前后方向上看，△PAC的投影为④图所示的情况；故选：A．5.【答案】A【解析】解：对于A．∵，∴=2，当且仅当x=1时取等号．因为只有一个正确，故选A．利用基本不等式的性质即可得出．熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键．6.【答案】B【解析】【分析】由题意画出图形，得到展开后扇形为半圆，再由勾股定理求解．本题考查旋转体表面上最短距离的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．【解答】解：由题意，圆锥底面半径为2，母线长为4，则展开后所得扇形的半径为4，弧长为4π，则展开后所得扇形的圆心角为π，如图：∵AB=4，AP=2，∴BP=．故选：B．7.【答案】C【解析】解：设等差数列{a n}的首项a1，公差d，由题意可得，a1+a2+a3=，a7+a8+a9=，∴a2=，a8=，d=，∴a4=a2+2d==故选：C．先利用等差数列的求和公式求出首项和公差，然后再由等差数列的通项公式求第4节的容积．本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式，解题时要注意公式的灵活运用．8.【答案】C【解析】解：∵∥∴（b-c）cos A-a cos C=0，再由正弦定理得sin B cos A=sin C cos A+cos C sin A∴sin B cos A=sin（C+A）=sin B，即cos A=．故选：C．根据两个向量平行的条件，写出坐标形式的表达式，得到关于三角形角和边的关系，再由正弦定理变化整理，逆用两角和的正弦公式，得到角A的余弦值．通过向量的坐标表示实现向量问题代数化，注意与方程、函数等知识的联系，一般的向量问题的处理有两种思路，一种是纯向量式的，另一种是坐标式，两者互相补充．9.【答案】C【解析】【分析】由等比数列和等差数列的性质可知：a5=-2，b5=2π，=cos=cos（-）=-．本题考查等比数列及等差数列的性质，考查特殊角的三角形函数值，考查计算能力，属于中档题．【解答】解：由数列{a n}是等比数列，由等比数列的性质可知：a1•a9=a3•a7=，则a1•a5•a9=-8，即=-8，∴a5=-2，数列{b n}是等差数列，由等差数列的性质可知：b2+b8=b4+b6=2b5，b2+b5+b8=6π，即3b5=6π，b5=2π，∴=cos=cos（-）=-cos=-，故选：C．10.【答案】D【解析】解：∵a1=2，a n+1=1-，∴a2==，a3==-，a4==-3，a5==2，…即a n+4=a n，∴数列{a n}是以4为周期的函数，又a1•a2•a3•a4=a5•a6•a7•a8=…=a2005•a2006•a2007•a2008=1，T n为数列{a n}的前n项之积，∴T2018=（a1•a2•a3•a4）•（a5•a6•a7•a8）…（a2013•a2014•a2015•a2016）•a2017•a2018=a1•a2==，故选：D．依题意，数列{a n}是以4为周期的函数数列，可求得a1•a2•a3•a4=a5•a6•a7•a8=…=a2013•a2014•a2015•a2016=1，从而可得答案．本题考查数列的递推式的应用，突出考查数列的求和，分析得到数列{a n}是以4为周期的函数数列，且a1•a2•a3•a4=1是关键，考查推理与运算能力，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：数列的前25项和为：+…++，=故选：B．直接利用数列的通项公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的关系式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．12.【答案】B【解析】解：当x∈[0，2）时，，可得0≤x＜1时，f（x）的最大值为f（）=；1＜x≤2时，f（x）的最大值为f（）=1，即有0≤x＜2时，f（x）的最大值为；当2≤x＜4时，f（x）=f（x-2）的最大值为；当4≤x＜8时，f（x）=f（x-2）的最大值为；…可得{a n}为首项为，公比为的等比数列，可得S n==（1-）＜，由S n＜k对任意的正整数n均成立，可得k≥．故选：B．运用二次函数的最值和指数函数的单调性求得x∈[0，2）的f（x）的最大值，由递推式可得{a n}为首项为，公比为的等比数列，由等比数列的求和公式和不等式恒成立思想可得k的范围．本题考查分段函数的最值求法和等比数列的求和公式，以及不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力，属于中档题．13.【答案】π【解析】解：∵，且∴∴（）•=0∵||=1∴=-1∵||=2∴cos＜＞==-∵＜＞∈[0，π]∴＜＞=π；故答案为π根据，且可得进而求出=-1然后再代入向量的夹角公式cos＜＞=再结合＜＞∈[0，π]即可求出＜＞．本题主要考查了利用数量积求向量的夹角，属常考题，较易．解题的关键是熟记向量的夹角公式cos＜＞=同时要注意＜＞∈[0，π]这一隐含条件！14.【答案】【解析】解：∵S n=3n-1，∴S n+11=3n+1-1，∴a n+1=（3n+1-1）-（3n-1）=2•3（n+1）-1，又∵a1=S1=3-1=2满足上式，∴数列{a n}的通项公式，故答案为：．通过S n=3n-1与S n+1=3n+1-1作差可知a n+1=2•3（n+1）-1，进而可得结论．本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．15.【答案】①③【解析】解：对于①：由正弦定理：，可得cos B sin A=sin B sin A，即cos B=sin B，0＜B＜π，∴B=．①对．对于②：由余弦定理可得：b2=a2+c2-2ac cos B，即c2-c-1=0，可得c=，三角形只有1个；∴②不对．对于③：a，b，c成等差数列，即2b=a+c，sin A，sin B，sin C成等比数列，即sin2B=sin A sin C ．正弦定理，可得b2=ac．∴△ABC为正三角形；∴③对．对于④：a=5，c=2，△ABC的面积S△ABC=ac sin B=4，即sin B=，∵，∴＜B或．∴cos B=．④不对故答案为：①③．根据正余弦定理和三角形内角和定理依次判断即可得答案．本题考查了正余弦定理的灵活运用和计算能力，角的判断．属于中档题．16.【答案】【解析】解：由a n=2a n-1+1，得a n+1=2（a n-1+1），∵a1+1=2≠0，∴数列{a n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，则，∴．由，解得．∵n∈N*，∴n=6，即数列的最大值为．故答案为：．由已知数列递推式可得数列{a n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，求其通项公式，代入，由求得n值，则答案可求．本题考查数列递推式，训练了构造等比数列求数列的通项公式，考查数列的函数特性，是中档题．17.【答案】解：（1）∵cos B=＞0，且0＜B＜π，∴sin B==．由正弦定理得=，∴sin A===．（2）∵S△ABC=ac sin B=×=4，∴c=5．由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B=22+52-2×2×5×=17，∴b=．【解析】本题考查了三角形面积计算公式、正弦定理余弦定理、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．（1）由cos B=＞0，且0＜B＜π，可得sin B=．再利用正弦定理即可得出．（2）由S△ABC=ac sin B=4，解得c，再利用余弦定理即可得出．18.【答案】解：（1）等比数列{a n}满足a3+a4=12，a1a6=32，∵a1a6=32，∴a3a4=32且a3+a4=12，q＞1∴a3=4，a4=8，∴（2）由（1）知，，（1）-（2）得：．∴．【解析】（1）直接利用已知条件求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．19.【答案】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为．再由C（0）=8，得k=40，因此．而建造费用为C1（x）=6x，最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为（Ⅱ），令f'（x）=0，即．解得x=5，（舍去）．当0＜x＜5时，f′（x）＜0，当5＜x＜10时，f′（x）＞0，故x=5是f（x）的最小值点，对应的最小值为．当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元．【解析】（I）由建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．我们可得C（0）=8，得k=40，进而得到．建造费用为C1（x）=6x，则根据隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f（x），我们不难得到f（x）的表达式．（II）由（1）中所求的f（x）的表达式，我们利用导数法，求出函数f（x）的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用f（x）的最小值．函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路20.【答案】解：（1）由图知，．由，即，故，所以．又，所以，故．令则，所以f（x）的对称轴方程为．（2）∵，∴f（x）=2sin（2x+）∈[-1，2]．所以方程f（x）=2a-3有两个不等实根时，y=f（x）的图象与直线y=2a-3有两个不同的交点．∵，当时，f（x1）=f（x2），所以，故．【解析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式，再根据正弦函数的图象的对称性，求出它的对称方程．（2）根据题意，当时，y=f（x）的图象与直线y=2a-3有两个不同的交点，可得，从而求得x1+x2的值．本题主要考查由函数y=A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．21.【答案】证明：（1）当n=1时，，得a1=0，则a1+2×1=2≠0（1）．，得，∴n≥2时，a n=2a n-2a n-1-2n+4整理得，a n+2n=2a n-1+4（n-1）=2[a n-1+2（n-1）]（2）．由（1）（2）得证数列{a n+2n}为等比数列，首项a1+2=2，公比为2的等比数列．∴．（2）∵c n=log2（a n+2n）-2=n-2，∴，∴，，∴，得n≥2016．所以，使得成立的最小整数n的值为2016．【解析】（1）直接利用定义进行证明．（2）利用裂项相消法和分组法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的前n项和的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．22.【答案】解：（1）∵f（x）是幂函数，∴得p2-3p+3=1，解得：p=1或p=2当p=1时，f（x）=，不满足f（2）＜f（4）．当p=2时，f（x）=，满足f（2）＜f（4）．∴故得p=2，函数f（x）的解析式为f（x）=；（2）由函数g（x）=f2（x）+mf（x），即g（x）=，令t=，∵x∈[1，9]，∴t∈[1，3]，记k（x）=t2+mt，其对称在t=，①当≤1，即m≥-2时，则k（x）min═k（1）=1+m=0，解得：m=-1；②当13时，即-6＜m＜-2，则k（x）min═k（）==0，解得：m=0，不满足，舍去；③当时，即m≤-6时，则k（x）min═k（3）=3m+9=0，解得：m=-3，不满足，舍去；综上所述，存在m=-1使得g（x）的最小值为0；（3）由函数h（x）=n-f（x+3）=n-在定义域内为单调递减函数，若存在实数存在实数a，b（a＜b），使函数h（x）在[a，b]上的值域为[a，b]则h（x）=两式相减：可得：=（a+3）-（a+3）．∴③将③代入②得，n=a+=a+1令，∵a＜b，∴0≤t，得：n=t2-t-2=（t-）2-故得实数n的取值范围（，-2]．【解析】（1）根据幂函数f（x）是幂函数，可得p2-3p+3=1，求解p，可得解析式；（2）由函数g（x）=f2（x）+mf（x），x∈[1，9]，利用换元法转化为二次函数问题求解最小值，可得m的值；（3）由函数h（x）=n-f（x+3），求解h（x）的解析式，判断其单调性，根据在[a，b]上的值域为[a，b]，转化为方程有解问题求解n的取值范围．本题主要考查幂函数解析式，函数最值的求解，方程与不等式的性质，讨论思想以及一元二次函数的性质是解决本题的关键．属于难题．。

广东省高一下学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共13题；共25分)1. （2分） (2018高一下·沈阳期中) 是（）A . 第一象限角B . 第二象限角C . 第三象限角D . 第四象限角2. （2分） (2019高一上·黑龙江月考) 如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心所对的弧长为（）A . 2B .C .D .3. （2分） (2019高三上·深圳月考) 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值为（）A .B .C .D .4. （2分）已知 {与共线的向量}， {与长度相等的向量}， {与长度相等且方向相反的向量}，其中为非零向量，则下列命题中错误的是（）A .B .C .D .5. （2分）下列关系式中正确的是（）A .B .C .D .6. （2分） (2020高一下·海南期末) 已知，则等于（）A .B .C .D .7. （2分）函数f(x)＝M sin (ωx＋φ)，(ω＞0) 在区间 [ a , b ] 上是增函数，且f(a)＝－M，f(b)＝M，则函数g(x)＝M cos (ωx＋φ) 在 [ a , b ] 上（）A . 增函数B . 是减函数C . 可以取最大值MD . 可以取最小值－M8. （2分）函数的递增区间是（）A .B .C .D .9. （2分）函数的图象的一条对称轴方程是（）A .B .C .D .10. （2分）已知||=2||≠0,且关于x的方程x2+||x+·=0有实根，则与的夹角的取值范围是（）A .B .C .D .11. （2分）已知，，则（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高一下·蛟河月考) 已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（）A . 1B . 2C .D .13. （1分）(2018·朝阳模拟) 若，则 ________.二、填空题 (共3题；共3分)14. （1分） (2020高一下·内蒙古期末) 函数y＝3tan(2x＋ )的对称中心的坐标为________．15. （1分）函数f（x）=cos2x+sin2x的最小值是________．16. （1分） (2019高三上·砀山月考) 已知向量，，则在方向上的投影为________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分）已知角α终边上一点P（2m，1），且．（1）求实数m的值；（2）求tanα的值．18. （10分）(2018·如皋模拟) 在中， .（1）求角的大小；（2）若，垂足为，且，求面积的最小值.19. （5分） (2019高二下·廊坊期中) 己知，，若．（Ⅰ）求的最大值和对称轴；（Ⅱ）讨论在上的单调性．20. （10分） (2020高一下·太原期中) 已知向量与向量的夹角为，且， .（1）求 ;（2）若，求 .21. （10分） (2018高一下·西华期末) 如图，一个水轮的半径为 ,水轮圆心距离水面，已知水轮每分钟转动圈，如果当水轮上点从水中浮现时(图中点 )开始计算时间。

一、单选题1．如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则ABCD E BC F AE DF =A ．B ．1324AB AD -+1223AB AD +C ．D ．1132AB AD -1324AB AD -【答案】D【分析】利用向量的三角形法则和向量共线定理可得：，，DF AF AD =- 1=2AF AE=AE AB BE+ ，，，即可得出答案.1=2BE BC =BC AD【详解】利用向量的三角形法则，可得，， DF AF AD =- =AE AB BE +为的中点，为的中点，则， E BC F AE 1=2AF AE 1=2BE BC1111==()=+2224DF AF AD AE AD AB BE AD AB BC AD ∴=--+-- 又 =BC AD .1324DF AB AD ∴=- 故选D.【点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力. 向量的运算有两种方法：一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是： （１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）； （２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算，建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．2．已知m ，n 为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） ,αβA ．若，则 B ．若，则 //,//,//m n αβαβ//m n //,//,m m n αβαβ⋂=//m n C ．若，则 D ．若，则//,//αβn n //αβ//,m n n α⊂//m α【答案】B【分析】A ：结合两直线的位置关系可判断或异面； B ：结合线面平行的性质可判断//m n ,m n； C ：结合线面的位置关系可判断或相交； D ：结合线面的位置关系可判断//m n //αβ,αβ或.//m αm α⊂【详解】A ：若，则或异面，故A 错误；//,//,//m n αβαβ//m n ,m n B ：因为，所以在平面内存在不同于n 的直线l ，使得，则，从而，故//m αα//l m l //β//l n //m n ，故B 正确；C ：若，则或相交，故C 错误； //,//αβn n //αβ,αβD ：若，则或，故D 错误. //,m n n α⊂//m αm α⊂故选：B3．已知梯形ABCD 是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图A′B′C′D′（如图2所示），其中A′D′=2，B′C′=4，A′B′=1，则直角梯形DC 边的长度是A B ．C ．D【答案】B【详解】由图形可知．故选B ． 02,4,2,90AD BC AB ABC CD ===∠=∴==4．中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（ ）A ．16B ．C ．D ．21【答案】D【分析】由祖暅原理知不规则几何体的体积与正六棱台体积相等即可求解. 【详解】由祖暅原理，该不规则几何体体积与正六棱台体积相等，故. ()12112133V S S h =+=⨯+⨯=故选：D5．P 是所在平面上一点，满足，则的形状是（ ） ABC A 20PB PC PB PC PA --+-=ABC A A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等边三角形【答案】B【分析】根据平面向量的线性运算、数量积与模长公式，可以得出，由此可判断出0AB AC ⋅=的形状.ABC A 【详解】由，可得，即，20PB PC PB PC PA --+-= 2CB PB PC PA =+-CB AB AC =+u u r u u u r u u u r ，AB AC AC AB -=+等式两边平方，化简得，， AB AC AC AB -=+ 0AB AC ⋅= AB AC ∴⊥ 因此，是直角三角形. ABC A 故选：B.6．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列判断正确的是（ ）A ．平面平面B ． BME //CAN AF CN //C ．平面D ．与相交//BM EFD BE AN 【答案】A【解析】将正方体的平面展开图复原为几何图形，进而判断选项的正误即可. 【详解】解：将正方体的平面展开图复原为几何图形，选项A ，如图可知，且平面，平面，//AN BM BM ⊂BME //AN BME ，且平面，平面，所以平面平面，故正确.NC BE //BE ⊂BME //NC BME BME //CAN选项B，如图，可知与为异面直线，不平行，故错误.AF CN选项C，如图可知平面与会相交，并不平行，故错误.EFD BM选项D，如图可知与为异面直线，不相交，故错误.BE AN故选：A.【点睛】本题考查空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面的关系，考查空间想象能力，属于基础题.7．在正三角形ABC 中，AB ＝2，，且AD 与BE 相交于点O ，则＝1,2BD DC AE EC == ·OA OBA ．－B ．－C ．－D ．－45342312【答案】B【分析】根据题意将 用基底向量表示出来，然后通过基底向量进行计算．,OA OB,AB AC【详解】由题意画图如下因为,所以D 时BC 的中点，BD DC =所以,1122AD AB AC =+ 因为，12AE EC = 所以，13AE AC = 设，则,AO AD λ=1122AO AB AC λλ=+ 因为B,O,E 三点共线，所以存在实数 ，使得 μ()()1113AO AB AE AB AC μμμμ=+-=+-所以可得 解得 ()1=211=123λμλμ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩1=21=4λμ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩所以1144AO AB AC =+3144BO BA AO AB AC =+=-+所以11314444OA OB AO BO AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫==+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ A A A2222311=16816311222cos 6021681634AB AB AC AC --+=-⨯-⨯⨯⨯+⨯=-A 故选B【点睛】本题考查向量的运算，解题的关键是找到一组基底，将所求向量用基底表示，然后再进行数量积的运算．8．记内角的对边分别为，点是的重心，若则的ABC A ,,A B C ,,a b c G ABC A ,56BG CG b c ⊥=cos A 取值是（ ） A ．B ．C ．D ．5975577511156175【答案】D【分析】利用平向向量的线性运算得到，再由直角三角形斜边中线是斜边的一()12AM AB AC =+u u u r u u u r u u u r半与三角形重心的性质求得，从而利用平面向量的数量积运算得到32AM a =，结合余弦定理整理得，从而求得. 22292cos a c b bc A =++22225cos 0c b bc A +-=61cos 75A =【详解】依题意，作出图形，因为点是的重心，所以是的中点，故，G ABC A M BC ()12AM AB AC =+u u u r u u u r u u u r由已知得， ,,BC a AC b AB c === 因为，所以， BG CG ⊥1122GM BC a ==又因为点是的重心，所以，则，G ABC A 12GM GA =1322AM a a a =+=又因为，所以，则， ()2214AM AB AC =+ ()222912cos 44a cb bc A =++22292cos a c b bc A =++又由余弦定理得，所以，整理得2222cos a c b bc A =+-()222292cos 2cos c b bc A c b bc A +-=++，22225cos 0c b bc A +-=因为，令，则， 56b c =()60b k k =>5c k =所以， ()()()()222526565cos 0k k k k A ⨯+⨯-⨯⨯=则. 12261cos 15075A ==故选：D..二、多选题9．已知，则下列命题正确的有（ ）((),cos ,sin a b θθ==A ．若，则B ．的最大值为2a b ⊥π3θ=a b ⋅C ．存在，使D ．的最大值为3θ||||||a b a b +=+a b - 【答案】BCD【分析】根据向量的数量积公式即可求解AB ，当同向时，则有，将转化,a b ||||||a b a b +=+a b - 为三角函数的最值问题即可求解.【详解】依题意，对于A ：，0a b a b⊥⇒⋅=即，(()πcos ,sin cos 2sin 06a b θθθθ=θ⎛⎫⋅=⋅=++= ⎪⎝⎭ 所以，故A 错误；()()πππ,Z πZ 66k k k k θθ+=∈⇒=-∈对于B ：由A 知，π2sin 6a b θ⎛⎫⋅=+ ⎪⎝⎭ 所以当时，()()πππ2π,Z 2πZ 623k k k k θθ+=+∈⇒=+∈有最大值2，故B 正确；对于C ：当时，， π3θ=(1,2a b ⎛== ⎝，(1322a b ⎛⎛+=+=⎝⎝所以， ||3a b +==，1=所以，故C 正确；||||||a b a b +=+对于D：，(()()cos ,sin 1cos sin a b θθθθ-=-=- 所以())2221cos sin a b θθ-=-+，=()π52cos 54sin 6θθθ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭当，πsin 16θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭即时， ()()ππ2π2π,Z 2π,Z 623k k k k θθ+=-+∈⇒=-+∈取得最大值9，所以的最大值为3，故D 正确.2a b - a b - 故选：BCD.10．折扇在我国已有三四千年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它以字画的形式集中体现了我国文化的方方面面，是运筹帷幄，决胜千里，大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若扇形的两个圆弧所在圆的半径分别是1和3，且，则该圆台（ ）120ABC∠=︒A B ．表面积为34π9C D ．上底面积、下底面积和侧面积之比为1:9:24【答案】BCD【分析】求得圆台的上下底面半径，根据圆台的结构特征可求得圆台母线长和高，判断A ；根据圆台的侧面积以及体积公式求得表面积和体积，判断B ，C ；进而求得上底面积、下底面积和侧面积之比，判断D.【详解】对于A ，设圆台的上底面半径为r ，下底面半径为R ，则，112π2π1,2π2π333r R =⋅⋅=⋅⋅解得,所以圆台的母线长为，高为，选项A 错误；1,13r R ==312-=h ==对于B ，圆台的上底面积为，下底面积为，侧面积为，1π9π18π(1)2π33⨯+⨯=所以圆台的表面积为，选项B 正确； 1834ππππ939S =++=对于C ，圆台的体积为 ，选项C 正确； 22111π[(11)333V =⋅+⋅+=对于D ，圆台的上底面积、下底面积和侧面积之比为，选项D 正确， 18πππ1:9:2493=∶∶故选：BCD ．11．在中，a ，b ，c 分别为的对边，下列叙述正确的是（ ） ABC A ,,A B C ∠∠∠A ．若有两解 45,A a b =︒==ABC AB ．若，则为等腰三角形 cos cos a bB A=ABC A C ．若为锐角三角形，则ABC A sin cos A B >D ．若，则为锐角三角形 sin :sin :sin 2:3:4A B C =ABC A 【答案】AC【分析】利用正弦定理可判定A ，B 的正误，根据锐角三角形的特点和余弦函数的单调性可得C 的正误，用正弦定理和余弦定理可得D 的正误.【详解】若， 45,A a b =︒==sin sin a bA B=可得或，sin sin b AB a===60B =︒120B =︒此时有两解，A 正确； ABC A 若，则由正弦定理可得，所以, cos cos a b B A=sin sin cos cos A BB A =sin cos sin cos A A B B =即，所以有或， sin 2sin 2A B =22A B =22180A B +=︒即或，B 不正确； A B =90A B +=︒若为锐角三角形，则，， ABC A π2A B +>π2B A >-因为在为减函数，所以，C 正确；cos y x =()0,ππcos cos sin 2B A A ⎛⎫<-= ⎪⎝⎭若，则由正弦定理可得， sin :sin :sin 2:3:4A B C =::2:3:4a b c =设，其中；2,3,4a k b k c k ===0k >则为最大边，， c 22222249161cos 022234a b c k k k C abk k+-+-===-<⨯⨯为钝角三角形，D 不正确.ABC A 故选：AC.12．如图，在棱长为1的正方体中，P 是上的动点，则（ ）1111ABCD A B C D -11B DA ．直线与是异面直线 DP 1BCB ．平面 //CP 1A BDC ．的最小值是21A P PB +D ．当P 与重合时，三棱锥1B 1P A BD -【答案】ABD【分析】选项A ，利用平面可说明直线与是异面直线；11BB C C DP 1BC 选项B ，先证明平面平面，再由平面，得平面；11//CB D 1A BD CP ⊂11CB D //CP 1A BD 选项C ，通过作辅助线，将的最小值转化为求的值，在中，利用勾股定理求出1A P PB +BM BMN A 的值；BM 选项D ，认识到当P 与重合时，三棱锥的外接球与正方体的外接球是同一个，利用正1B 1P A BD -方体来求外接球半径.【详解】A 选项，因为直线与平面相交于点，直线在平面内，所以由线DP 11BB C C 1B 1BC 11BB C C 线位置关系知，直线与是异面直线，故选项A 正确；DP 1BC B 选项，连接，，由正方体性质，易知，，，所以四边形为平1CB 1CD 11//A D BC 11A D BC =11A BCD 行四边形，有，又平面，平面，所以平面， 11//CD A B 1CD ⊄1A BD 1A B ⊂1A BD 1//CD 1A BD 同理可证平面，1//CB 1A BD 又，都在平面内，且相交于点，所以平面平面， 1CD 1CB 11CB D C 11//CB D 1A BD 又平面，所以平面，故选项B 正确；CP ⊂11CB D //CP 1A BDC 选项，延长到，使得，1BB 2B 1211B B B D =21B D 在上取点，使得，21B D M 11111D M A D ==则，有.111A D P MD P ≅A A 1MP PA =故.1A P PB MP PB BM +=+≥过点作，交于点，M 12MN B B ⊥12B B N在中，因为，所以，又， 121B B D A 1211B B B D =212B D =111D M =所以， MN =1B N =1BN =BM =所以，故选项C 错误；1A P PB +D 选项，当P 与重合时，三棱锥的外接球即为正方体的外接球， 1B 1P A BD -1111ABCD A B C D -又正方体的棱长为1，故其外接球半径D 正确. 1111ABCD A B C D -R ==故选：ABD.三、填空题13．已知是方向相同的单位向量,且向量在向量方向上的投影向量为,求与||2,||3,a b e == b a b e - a的夹角__________.b θ=【答案】 23π【分析】根据向量在向量上的投影向量为,由求解. a b e - cos ,1a b a b a b b b⋅⋅⋅==- 【详解】因为向量在向量上的投影向量为,a b e - 所以, cos ,1a b a b a b b b⋅⋅⋅==-即, 1cos ,2a b =- 因为,[],0,πa b ∈ 所以, 2π,3a b= 故答案为:. 2π314．已知圆柱上下底面圆周均在球面上，且圆柱底面直径和高相等，则该球与圆柱的体积之比为________．【分析】设圆柱底面圆的半径，外接球的半径为，得到，结合圆柱和球的体积公式，r R =R 即看求解.【详解】如图所示，作出圆柱与外接球的组合体的轴截面，设圆柱底面圆的半径，外接球的半径为，则，rR 12,2AB r AA r ==所以，可得，2R===R 所以外接球的体积， )333144ππ33V R r ==⋅=圆柱的体积为，232π22πV r r r =⋅=所以该球与圆柱的体积之比为12V V =15．如图所示，为了测量A 、B 两岛屿的距离，小明在D 处观测到A 、B 分别在D 处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶10海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60°方向，则A 、B 两岛屿的距离为__海里．【答案】【分析】先利用正弦定理求解AD 的长，再利用余弦定理求出AB ．【详解】由题意知∠ADB ＝60°，∠ACB ＝60°，∠ADC ＝105°，∠ACD ＝30°，CD ＝10，∠BDC =45°， 在三角形ACD 中，， 10sin 30sin 45AD =∴AD ＝在直角三角形BCD 中，BD ＝，在三角形ABD 中，AB=故答案为：16．如图，中，为中点，为圆心为、半径为1的圆的动直径，则ABC A M AB 5,3,AB CM EF ==C 的取值范围是__________.⋅BE AF【答案】 1327,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】由向量的运算得出，再由的范围得出的取值范围. 74BE AF CE AB ⋅=⋅+ CE AB ⋅ ⋅BE AF 【详解】 ()()()2BE AF BC CE AC CE BC AC CE AC BC CE ⋅=+⋅-=⋅+⋅--()()()()BC AC BM MC AM MC AM MC AM MC ⋅=+⋅+=-+⋅+ ，且. 222511944MC AM =-=-= 21CE = 即 2579144BE AF CE AB CE AB ⋅=-+⋅-=⋅+ 设与的夹角为，则. CE AB []0,θπ∈77cos 5cos 44BE AF CE AB θθ⋅+=+⋅= 因为，所以. []cos 1,1θ∈-BE AF ⋅∈ 7713275,5,4444⎡⎤⎡⎤-+=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦故答案为： 1327,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦四、解答题17．已知向量，，． a b ()1,1b =- ()()2a b a b -⊥+ (1)若，求实数的值； //4a b a b λλ++ （）（）λ(2)若设与的夹角为，求的大小．2a b + b θθ【答案】(1) 12λ=±(2)4πθ=【分析】（1）利用向量垂直数量积为，得出，从而确定向量，不共线，可作为一组01a b ⋅=- a b 基底，再根据共线定理得出实数的值；λ（2）根据两向量的夹角公式的需要，首先求出两向量的数量积，再求出的模长，最后代入2a b + 夹角公式即可.【详解】（1）由可得：， ()()2a b a b -⊥+ ()()20a b a b -⋅+=即得，，2220a a b b +⋅-= ()1,1b =- 25a = 22b = 代入解得：，所以，是不共线的向量.1a b ⋅=- a b 由题可设：，因为，是不共线的向量， ()4a b a b λμλ++= a b所以且，解得． λμ=41λμ=12λ=±（2）由于， ()222143a b b a b b +⋅=⋅+=-+=，3a =+= 由与的夹角为：2a b + b θ()2c 2os a b b a b b θ+⋅===+⋅由于，所以．[]0,θπ∈4πθ=18．如图，已知正三棱锥的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高．S ABC -3SO=(1)求此正三棱锥的表面积；(2)求此正三棱锥的体积．【答案】(1)正三棱锥的表面积为(2)正三棱锥的体积为【分析】(1)由条件列方程求底面边长、斜高，进而求三棱锥的表面积；(2)利用锥体体积公式求解.【详解】（1）如图，设正三棱锥的底面边长为a ，斜高为，侧面积、底面积分别为， h '12,S S 过点O 作，与交于点E ，连接，则．OE AB ⊥AB SE ,SE AB SE h '⊥=由，即，可得. 122S S =21322a h '⋅⋅=⨯a'=由，则， SO OE ⊥222SO OE SE +=1133OE CE ===即．2223h ⎫''+=⎪⎪⎭．h '∴=6a =． 2226S ∴===1S =∴表面积12S S S =+==（2）正三棱锥的体积21113333ABC V S h S SO ==⋅=⨯=A 19．已知，，分别为三个内角，，的对边，且.a b c ABC A A B C 22cos b c a C =+(1)求；A(2)若，求的周长. ABC A 3a =ABC A 【答案】(1)π3A =(2)8【分析】（1）由及正弦定理求解；22cos b c a C =+（2）由面积公式求得，由余弦定理及求得，从而得到的周长.bc 3a =b c +ABC A 【详解】（1）.由正弦定理可得： 22cos b c a C =+ ∴，2sin sin 2sin cos B C A C =+所以，()()2sin π2sin sin 2sin cos A C A C C A C --=+=+所以，2sin cos 2cos sin sin 2sin cos A C A C C A C +=+， ∴sin 2cos sin C A C =为三角形内角，，解得，， C sin 0C ≠1cos 2A =(0,π)A ∈. π3A ∴=（2），， 11sin 22S bc A bc === 163bc ∴=由余弦定理得，，22222cos ()22cos =+-=+--a b c bc A b c bc bc A 即，解得， 2169()33b c =+-⨯5b c +=的周长为.ABC A ∴8a b c ++=20．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，E 为棱的中点，平面与棱P ABCD -ABCD PC ABE 交于点F ． PD(1)求证：平面；//PA BDE (2)求证：F 为的中点；PD 【答案】(1)详见解析；(2)详见解析；【分析】（1）连接AC 交BD 于点G ，连接GE ，根据ABCD 为平行四边形，得到G 为AC 的中点，再由E 为PC 的中点，得到，再利用线面平行的判定定理证明；//GE PA （2）先由，利用线面平行的判定定理得到 平面ABEF ，再利用线面平行的性质定//AB CD //CD 理得到求解.//CD EF 【详解】（1）证明：如图所示：连接AC 交BD 于点G ，连接GE ，因为ABCD 为平行四边形，所以G 为AC 的中点，又E 为PC 的中点，所以，又平面BDE ，平面BDE ，//GE PA PA ⊄GE Ì所以平面；//PA BDE （2）因为底面为平行四边形，ABCD 所以，//AB CD又 平面ABCD ， 平面ABCD ，AB ⊂CD ⊄所以 平面ABEF ，又平面平面，//CD ABEF ⋂PDC EF =所以，//CD EF 又因为E 为PC 的中点，所以F 为的中点.PD 21．如图，棱长为2的正方体中，P ，Q 分别是棱的中点．1111ABCD A B C D -1,DDAB(1)平面与直线交于R 点，求的值； PQC 1AA 1AR A R(2)在线段上是否存在点M ，使得面，若存在，请求出M 点位置并证明；若不存1CC //BM PQC 在，请说明理由．【答案】(1) 13(2)存在，为线段上靠近点的四等分点M 1CC C【分析】（1）根据题意，延长和交于，连接，交于，即可得到，从CQ DA E PE 1AA R 114AR AA =而得到结果；（2）根据题意，取中点，中点，连接，即可得到四边形为平行四边PC N DC G ,NG NM MNQB 形，从而得到结果. 【详解】（1）延长和交于，连接，交于，CQ DA E PE 1AA R即平面与直线交于点，PQC 1AA R 因为为中点， ，所以为中点，Q AB AQ DC //A ED 于是， 1111111122244AR PD DD DD AA ==⨯==所以. 113AR A R =（2）存在，当为线段上靠近点的四等分点时，面，M 1CC C //BM PQC 取中点，中点，连接，则，且，PC N DC G ,NG NM //MN GC MN GC =所以，且，所以四边形为平行四边形，//MN BQ MN BQ =MNQB 所以，又因为平面，平面，BM NQ //BM ⊄PQC NQ ⊂PQC 所以面.//BM PQC 22．在路边安装路灯，灯柱与地面垂直（满足），灯杆与灯柱所在平面与AB 90BAD ∠=︒BC AB 道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知120ABC ∠=︒C ，路宽．设灯柱高，．60ACD ∠=︒12m AD =()m AB h =()3045ACB θθ∠=︒≤≤︒(1)当时，求四边形的面积；30θ=︒ABCD (2)求灯柱的高（用表示）；h θ(3)若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式，并求出BC AB S S θS 的最小值．【答案】(1)2(2)()8sin23045h θθ=︒≤≤︒(3)，最小值为 ())8sin 2603045S θθ=++≤≤︒︒︒S 24+【分析】（1）由三角形角的关系结合正弦定理可得各边长，再由可得ABC ACD ABCD S S S =+四边形△△解；（2）分别在与中由正弦定理化简即可得解；ACD A ABC A （3）根据正弦定理分别表示各边长及，再根据三角函数求值域的方法可得最值.S 【详解】（1）当时，， 30θ=︒1801203030BAC ︒︒︒︒∠=--=所以，AB BC =又9060CAD BAC ∠︒∠=︒=-所以是等边三角形，所以，ACD A 12AC AD ==所以在中，，即， ABC A sin sin sin AB BC AC ACB BAC ABC==∠∠∠AB BC ==所以； 11sin1201212sin6022ABC ACD ABCD S S S =+=⨯︒+⨯⨯︒⨯=A A 四边形（2），，18012060BAC θθ∠=︒--=︒︒-9030CAD BAC θ∠︒-=+︒=∠，()180630900ADC θθ︒︒∠=-=︒-︒+-在中，由正弦定理得， ACD A sin sin AD AC ACD ADC∠∠=所以 ()12sin60sin 90AC θ=︒︒-所以AC θ=在中，由正弦定理得， ABC A sin sin AC AB ABC ACB =∠∠所以， sin120sin AC h θ=︒所以，所以； AC θ==()8sin23045h θθ=︒≤≤︒（3）在中，由正弦定理得， ABC A sin sin AC BC ABC BAC =∠∠， ()sin 60BC θ=︒-所以()[]216cos sin 6016cos sin60cos cos60sin 8sin cos BC θθθθθθθθ=-=︒︒-︒=-1cos24sin24sin22θθθθ+=-=-所以 ()8sin24sin24sin2S AB BC θθθθθ=+=+-=+， ()18sin28sin 2602θθθ⎛⎫=+=++ ⎭︒⎪⎪⎝因为，所以， 3045θ︒≤≤︒120260150θ︒≤+︒≤︒所以当，即时，取最小值 260150θ+︒=︒45θ=︒S 4+故关于的函数表达式为，最小值为. S θ())8sin 2603045S θθ=++≤≤︒︒︒S 24+。

2019-2020年高一下学期期中数学试卷含解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．一枚硬币连掷三次至少出现一次正面的概率为（）A． B． C． D．2．从12个同类产品（其中10个是正品，2个是次品）中任意抽取3个的必然事件是（）A．3个都是正品B．至少有1个是次品C．3个都是次品D．至少有1个是正品3．某公司xx～xx年的年利润x（单位：百万元）与年广告支出y（单位：百万元）的统计资料如表所示：年份xx xx xx xx xx xx利润x 12.2 14.6 16 18 20.4 22.3支出y 0.62 0.74 0.81 0.89 1 1.11根据统计资料，则（）A．利润中位数是16，x与y有正线性相关关系B．利润中位数是18，x与y有负线性相关关系C．利润中位数是17，x与y有正线性相关关系D．利润中位数是17，x与y有负线性相关关系4．程序框图如图所示：如果输入x=5，则输出结果为（）A．325 B．109 C．973 D．2955．用“更相减损术”求98和63的最大公约数，要做减法的次数是（）A．3次B．4次C．5次D．6次6．从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下（单位：克）125 120 122 105 130 114 116 95 120 134，则样本数据落在[114.5，124.5）内的频率为（）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.57．从学号为1号至50号的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试，采用系统抽样的方法，则所选5名学生的学号可能是（）A．1，2，3，4，5 B．5，15，25，35，45C．2，4，6，8，10 D．4，13，22，31，408．给出以下四个问题：①输入一个正数x，求它的常用对数值；②求面积为6的正方形的周长；③求三个数a，b，c中的最大数；④求函数的函数值．其中不需要用条件语句来描述其算法的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．向顶角为120°的等腰三角形ABC（其中AC=BC）内任意投一点M，则AM小于AC的概率为（）A． B． C． D．10．某大学共有本科生5000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4：3：2：1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为（）A．80 B．40 C．60 D．2011．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．1112．甲袋中装有3个白球和5个黑球，乙袋中装有4个白球和6个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中，则甲袋中白球没有减少的概率为（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷的横线上.）13．把xx转化为二进制数为．14．如图是某学校抽取的n个学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第3小组的频数为18，则n的值是．15．用秦九韶算法求多项式：f（x）=1+x+2x2+3x3+4x4+5x5+7x7在x=2的值时，v3的值为．16．日前，广佛肇城际轨道已开通投入运营，假设轻轨列车每15分钟一班，在车站停2分钟，则乘客到达站台能立即上车的概率是．三、解答题（本大题共6小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．若二进制数100y011和八进制数x03相等，求x+y的值．18．（1）函数，编写出求函数的函数值的程序（使用嵌套式）；（2）“求的值．”写出用基本语句编写的程序（使用当型）．19．在某幼儿园的美术课上，老师带领小朋友用水彩笔为本子上两个大小不同的气球涂色，要求一个气球只涂一种颜色，两个气球分别涂不同的颜色．小朋友豆豆可用的有暖色系水彩笔红色、橙色各一支，冷色系水彩笔绿色、蓝色、紫色各一支．（1）豆豆从他可用的五支水彩笔中随机取出两支按老师要求给气球涂色，求两个气球同为冷色的概率．（2）一般情况下，老师发出开始指令到涂色活动全部结束需要10分钟，豆豆至少需要2分钟完成该项任务．老师发出开始指令1分钟后随时可能来到豆豆身边查看涂色情况．求当老师来到豆豆身边时，豆豆已经完成任务的概率．20．已知集合A=[﹣2，2]，B=[﹣1，1]，设M={（x，y）|x∈A，y∈B}，在集合M内随机取出一个元素（x，y）．（1）求以（x，y）为坐标的点落在圆x2+y2=1内的概率；（2）求以（x，y）为坐标的点到直线x+y=0的距离不大于的概率．21．运行如图所示的程序框图，当输入实数x的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7．（Ⅰ）求实数a，b的值；并写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求满足不等式f（x）＞1的x的取值范围．22．为调查我校学生的用电情况，学校后勤部门组织抽取了100间学生宿舍某月用电量调查，发现每间宿舍用电量都在50度到350度之间，其频率分布直方图如图所示．（1）为降低能源损耗，节约用电，学校规定：每间宿舍每月用电量不超过200度时，按每度0.5元收取费用；超过200度，超过部分按每度1元收取费用．以t表示某宿舍的用电量（单位：度），以y表示该宿舍的用电费用（单位：元），求y与t的函数关系式？（2）求图中月用电量在（200，250]度的宿舍有多少间？（3）在直方图中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，宿舍用电量落入该区间的频率作为宿舍用电量取该区间中点值的频率（例如：若t∈[150，200），则取t=175，且t=175发生的频率等于落入[150，200）的频率），试估计我校学生宿舍的月均用电费用．xx学年湖南省娄底市高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．一枚硬币连掷三次至少出现一次正面的概率为（）A． B． C． D．【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【专题】计算题．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是将一枚硬币连续抛掷三次共有23=8种结果，满足条件的事件的对立事件是三枚硬币都是反面，有1种结果，根据对立事件的概率公式得到结果【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是将一枚硬币连续抛掷三次共有23=8种结果，满足条件的事件的对立事件是三枚硬币都是反面，有1种结果，∴至少一次正面向上的概率是1﹣=，故选A．【点评】本题考查等可能事件的概率，本题解题的关键是对于比较复杂的事件求概率时，可以先求对立事件的概率．2．从12个同类产品（其中10个是正品，2个是次品）中任意抽取3个的必然事件是（）A．3个都是正品B．至少有1个是次品C．3个都是次品D．至少有1个是正品【考点】随机事件．【分析】任意抽取3个一定会发生的事：最少含有一个正品，根据题目条件选出正确结论，分清各种不同的事件是解决本题的关键．【解答】解：任意抽取3个一定会发生的事：最少含有一个正品，故选D【点评】我们学过的事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；必然事件：在一定条件下必然发生的事件；不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件．3．某公司xx～xx年的年利润x（单位：百万元）与年广告支出y（单位：百万元）的统计资料如表所示：年份xx xx xx xx xx xx利润x 12.2 14.6 16 18 20.4 22.3支出y 0.62 0.74 0.81 0.89 1 1.11根据统计资料，则（）A．利润中位数是16，x与y有正线性相关关系B．利润中位数是18，x与y有负线性相关关系C．利润中位数是17，x与y有正线性相关关系D．利润中位数是17，x与y有负线性相关关系【考点】变量间的相关关系；众数、中位数、平均数．【专题】计算题．【分析】求出利润中位数，而且随着利润的增加，支出也在增加，故可得结论．【解答】解：由题意，利润中位数是=17，而且随着利润的增加，支出也在增加，故x与y有正线性相关关系故选C．【点评】本题考查变量间的相关关系，考查中位数，解题的关键是理解正线性相关关系，属于基础题．4．程序框图如图所示：如果输入x=5，则输出结果为（）A．325 B．109 C．973 D．295【考点】程序框图．【专题】计算题；数形结合；定义法；算法和程序框图．【分析】方法一：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量x的值，并输出．模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．方法二：由程序框图可知：此问题相当于先求出满足以下条件：数列{a n}的a1=5，a n+1=3a n﹣2，要求其通项公式第一次大于或等于200时即输出其值．【解答】解：方法一：程序在运行过程中各变量的值如下表示：x 是否继续循环循环前5/第一圈13 是第二圈37 是第三圈109 是第四圈325 否故最后输出的x值为325，方法二：由序框图可知：此问题相当于先求出满足以下条件数列的通项公式，数列{a n}的a1=5，a n+1=3a n﹣2，当a n≥200时，即输出a n．∵a n+1=3a n﹣2，∴a n+1﹣1=3（a n﹣1），∵a1﹣1=5﹣1=4≠0，∴数列{a n}是以4为首项，3为公比的等比数列，∴an﹣1=4×3n﹣1，∴an=4×3n﹣1+1，令4×3n﹣1+1≥200，解得n≥5．故当n=5时，输出的x应是4×34+1=325．选：A．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．5．用“更相减损术”求98和63的最大公约数，要做减法的次数是（）A．3次B．4次C．5次D．6次【考点】用辗转相除计算最大公约数．【专题】计算题；算法和程序框图．【分析】我们根据“以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止．”的原则，易求出98和63的最大公约数．统计减法次数可得答案．【解答】解：用“更相减损术”求98和63的最大公约数，98﹣63=35，63﹣35=28，35﹣28=7，28﹣7=21，21﹣7=14，14﹣7=7，共需要6次减法运算，故选：D【点评】本题考查的知识点是最大公因数和更相减损术，更相减损术的方法和步骤是：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止．6．从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下（单位：克）125 120 122 105 130 114 116 95 120 134，则样本数据落在[114.5，124.5）内的频率为（）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5【考点】频率分布表．【专题】计算题．【分析】从所给的十个数字中找出落在所要求的范围中的数字，共有4个，利用这个频数除以样本容量，得到要求的频率．【解答】解：∵在125 120 122 105 130 114 116 95 120 134十个数字中，样本数据落在[114.5，124.5）内的有116，120，120，122共有四个，∴样本数据落在[114.5，124.5）内的频率为=0.4，故选C【点评】本题考查频率分布表，频数、频率和样本容量三者之间的关系是知二求一，这种问题会出现在选择和填空中，有的省份也会以大题的形式出现，把它融于统计问题中．7．从学号为1号至50号的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试，采用系统抽样的方法，则所选5名学生的学号可能是（）A．1，2，3，4，5 B．5，15，25，35，45C．2，4，6，8，10 D．4，13，22，31，40【考点】系统抽样方法．【专题】概率与统计．【分析】计算系统抽样的抽取间隔，由此可得答案．【解答】解：系统抽样的抽取间隔为=10，由此可得所选5名学生的学号间隔为10，由此判定B正确，故选：B．【点评】本题考查了系统抽样方法，熟练掌握系统抽样方法的特征是解题的关键．8．给出以下四个问题：①输入一个正数x，求它的常用对数值；②求面积为6的正方形的周长；③求三个数a，b，c中的最大数；④求函数的函数值．其中不需要用条件语句来描述其算法的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】条件语句；设计程序框图解决实际问题．【专题】阅读型．【分析】对于选项①，②值，代入相应的公式求即可，对于选项③，④值域代入相应的公式时需要分类讨论，故要用到条件语句来描述其算法．【解答】解：对于①输入一个正数x，求它的常用对数值，代入lgx求即可；对于②，求面积为6的正方形的周长，代入a2求即可；对于③，求三个数a，b，c中的最大数，必须先进行大小比较，要用条件语句；对于④，求函数的函数值，必须对所给的x进行条件判断，也要用条件语句．其中不需要用条件语句来描述其算法的有2个．故选B．【点评】本题考查算法适宜用条件结构的问题，是在解决时需要讨论的问题．属于基础题．9．向顶角为120°的等腰三角形ABC（其中AC=BC）内任意投一点M，则AM小于AC的概率为（）A． B． C． D．【考点】几何概型．【专题】数形结合；定义法；概率与统计．【分析】根据几何概型的概率公式求出满足条件的区域对应的面积即可得到结论．【解答】解：若AM小于AC，则M位于阴影部分，∵∠C=120°，∴∠A=30°，则三角形ABC的面积为S△ABC==×AC2=AC2，扇形的面积S=AC2=πAC2，则对应的概率P===，故选：B．【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据条件求出对应区域的面积是解决本题的关键．10．某大学共有本科生5000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4：3：2：1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为（）A．80 B．40 C．60 D．20【考点】分层抽样方法．【专题】计算题．【分析】要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为200的样本，根据一、二、三、四年级的学生比为4：3：2：1，利用三年级的所占的比例数除以所有比例数的和再乘以样本容量即得抽取三年级的学生人数．【解答】解：∵要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为200的样本，一、二、三、四年级的学生比为4：3：2：1，∴三年级要抽取的学生是=40，故选B．【点评】本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出三年级学生所占的比例，本题也可以先做出三年级学生数和每个个体被抽到的概率，得到结果．11．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．11【考点】程序框图．【专题】计算题；整体思想；定义法；推理和证明．【分析】算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg的值，根据条件确定跳出循环的i值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg的值，∵S=lg+lg+…+lg=lg＞﹣1，而S=lg+lg+…+lg=lg＜﹣1，∴跳出循环的i值为9，∴输出i=9．故选：B【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．12．甲袋中装有3个白球和5个黑球，乙袋中装有4个白球和6个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中，则甲袋中白球没有减少的概率为（）A． B． C． D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】白球没有减少的情况有：①抓出黑球，抓入任意球，概率是：．抓出白球，抓入白球，概率是，再把这2个概率相加，即得所求．【解答】解：白球没有减少的情况有：①抓出黑球，抓入任意球，概率是：．抓出白球，抓入白球，概率是=，故所求事件的概率为=，故选C ．【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷的横线上.） 13．把xx 转化为二进制数为 11111100000（2） ．【考点】进位制．【专题】计算题；转化思想；转化法；算法和程序框图．【分析】利用“除k 取余法”是将十进制数除以2，然后将商继续除以2，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案．【解答】解：xx ÷2=1008 01008÷2=504 0504÷2=252 0252÷2=126 0126÷2=63 063÷2=31 (1)31÷2=15 (1)15÷2=7 (1)7÷2=3 (1)3÷2=1 (1)1÷2=0 (1)故xx （10）=11111100000（2）故答案为：11111100000（2）【点评】本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化，其中熟练掌握“除k 取余法”的方法步骤是解答本题的关键，属于基础题．14．如图是某学校抽取的n 个学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第3小组的频数为18，则n 的值是 48 ．【考点】频率分布直方图．【专题】应用题；概率与统计．【分析】根据频率和为1，求出前3个小组的频率和以及第3小组的频率，再求样本容量n的值．【解答】解：根据频率分布直方图，得从左到右的前3个小组的频率和为：1﹣（0.0375+0.0125）×5=0.75；又这三组频率之比为1：2：3，∴第3小组的频率为×0.75=0.375，且对应的频数为18，∴样本容量n==48．故答案为：48．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=的应用问题，是基础题目．15．用秦九韶算法求多项式：f（x）=1+x+2x2+3x3+4x4+5x5+7x7在x=2的值时，v3的值为70．【考点】秦九韶算法．【专题】算法和程序框图．【分析】根据秦九韶算法先别多项式进行改写，然后进行计算即可．【解答】解：根据秦九韶算法，把多项式改成如下形式解：f（x）=7x7+0x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x+1=（（（（（（7x+0）x+5）x+4）x+3）x+2）x+1）x+1 当x=2时，v1=7×2+0=14，v2=14×2+5=33，v3=33×2+4=70，故答案为：70【点评】本题主要考查秦九韶算法的应用，根据秦九韶算法的步骤把多项式进行改写是解决本题的关键．16．日前，广佛肇城际轨道已开通投入运营，假设轻轨列车每15分钟一班，在车站停2分钟，则乘客到达站台能立即上车的概率是．【考点】几何概型．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】本题是一个几何概型，试验发生包含的事件是轻轨列车每15分钟一班，共有15分钟，满足条件的事件是乘客到达站台立即乘上车，只有2分钟，根据概率等于时间长度之比，得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的事件是轻轨列车每15分钟一班，共有15分钟满足条件的事件是乘客到达站台立即乘上车，只要2分钟，记“乘客到达站台立即乘上车”为事件A，∴事件A发生的概率P=，故答案为：．【点评】本题是一个等可能事件的概率，概率之比是时间长度之比，是一个不能列举出的事件数，是一个几何概型，注意解题的格式．三、解答题（本大题共6小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．若二进制数100y011和八进制数x03相等，求x+y的值．【考点】进位制．【专题】计算题；规律型；分类讨论；转化思想；算法和程序框图．【分析】直接利用进位制运算法则化简求解即可．【解答】解：100y011=1×26+y×23+1×2+1=67+8y，x03=x×82+3=64x+3，∴67+8y=64x+3，∵y=0或1，x可以取1、2、3、4、5、6、7，y=0时，x=1；y=1时，64x=72，无解；∴x+y=1．【点评】本题考查进位制的应用，函数与方程思想的应用，考查计算能力．18．（1）函数，编写出求函数的函数值的程序（使用嵌套式）；（2）“求的值．”写出用基本语句编写的程序（使用当型）．【考点】绘制简单实际问题的流程图．【专题】算法和程序框图．【分析】（1）根据题目已知中分段函数的解析式，根据分类标准，设置两个选择语句的并设置出判断的条件，再由函数各段的解析式，确定判断条件的“是”与“否”分支对应的操作，由此即可编写满足题意的程序．（2）这是一个累加求和问题，共99项相加，可设计一个计数变量，一个累加变量，用循环结构实现这一算法．【解答】解：（1）INPUT“x=”；xIF x＞=0 and x＜=4 THENy=2*xELSE IF x＜=8 THENy=8ELSEy=2*（12﹣x）END IFEND IFPRINT yEND …（2）．S=0K=1DOs=s+1/k（k+1）k=k+1LOOP UNTIL k＞99PRINT sEND …【点评】本题考查了设计程序框图解决实际问题，（1）主要考查编写程序解决分段函数问题．（2）主要考查利用循环结构进行累加．19．在某幼儿园的美术课上，老师带领小朋友用水彩笔为本子上两个大小不同的气球涂色，要求一个气球只涂一种颜色，两个气球分别涂不同的颜色．小朋友豆豆可用的有暖色系水彩笔红色、橙色各一支，冷色系水彩笔绿色、蓝色、紫色各一支．（1）豆豆从他可用的五支水彩笔中随机取出两支按老师要求给气球涂色，求两个气球同为冷色的概率．（2）一般情况下，老师发出开始指令到涂色活动全部结束需要10分钟，豆豆至少需要2分钟完成该项任务．老师发出开始指令1分钟后随时可能来到豆豆身边查看涂色情况．求当老师来到豆豆身边时，豆豆已经完成任务的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；简单线性规划．【专题】概率与统计．【分析】（1）由题意得到两个气球共20种涂色方案，其中有6种全冷色方案．由此能求出两个气球同为冷色的概率为；（2）老师发出开始指令起计时，设豆豆完成任务的时刻为x，老师来到豆豆身边检查情况的时刻为y，利用几何概率能求出老师来到豆豆身边时豆豆完成任务的概率．【解答】答案：（1）如下表格，假设非同冷色为1，同为冷色为2，红色橙色绿色蓝色紫色红色0 1 1 1 1橙色1 0 1 1 1绿色1 1 0 2 2蓝色1 1 2 0 2紫色1 1 2 2 0易知两个气球共20种涂色方案，其中有6种全冷色方案，故所求概率为：．（2）老师发出开始指令起计时，设豆豆完成任务的时刻为x，老师来到豆豆身边检查情况的时刻为y，则由题有…式①，若当老师来到豆豆身边时豆豆已经完成任务，则…式②，如图所示，所求概率为几何概型，阴影部分（式②）面积为×（10﹣2）×（10﹣2）=32，可行域（式①）面积为（10一1）×（10﹣2）=72，所求概率为．【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意可行域的合理运用．20．已知集合A=[﹣2，2]，B=[﹣1，1]，设M={（x，y）|x∈A，y∈B}，在集合M内随机取出一个元素（x，y）．（1）求以（x，y）为坐标的点落在圆x2+y2=1内的概率；（2）求以（x，y）为坐标的点到直线x+y=0的距离不大于的概率．【考点】几何概型．【专题】概率与统计．【分析】（1）画出区域，其面积表示所有基本事件，此圆x2+y2=1的面积表示满足条件的基本事件，所求为面积比；（2）由以（x，y）为坐标的点到直线x+y=0的距离不大于，求出x，y满足的关系，得到区域面积，求面积比．【解答】解：（1）由题意，画出区域，如图，所求概率满足几何概型，所以所求为圆的面积与矩形面积比，所以以（x，y）为坐标的点落在圆x2+y2=1内的概率为；（2）由以（x，y）为坐标的点到直线x+y=0的距离不大于，所以，即|x+y|≤1，满足条件的事件是图中阴影部分，所以以（x，y）为坐标的点到直线x+y=0的距离不大于的概率为．【点评】本题考查了几何概型的概率求法，关键是将所求的概率利用基本事件的集合度量即区域的长度或者面积或者体积表示，求比值．21．运行如图所示的程序框图，当输入实数x的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7．（Ⅰ）求实数a，b的值；并写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求满足不等式f（x）＞1的x的取值范围．【考点】程序框图．【专题】综合题；算法和程序框图．【分析】（I）算法的功能是求f（x）=的值，根据输入实数x的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7求得a、b；（II）分别在不同的段上求得函数的值域，再求并集．【解答】解：（Ⅰ）由程序框图知：算法的功能是求f（x）=的值，∵输入x=﹣1＜0，输出f（﹣1）=﹣b=2，∴b=﹣2．∵输入x=3＞0，输出f（3）=a3﹣1=7，∴a=2．∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：①当x＜0时，f（x）=﹣2x＞1，∴；②当x≥0时，f（x）=2x﹣1＞1，∴x＞1．综上满足不等式f（x）＞1的x的取值范围为或x＞1}．【点评】本题借助考查选择结构程序框图，考查了分段函数求值域，解题的关键是利用程序框图求得分段函数的解析式．22．为调查我校学生的用电情况，学校后勤部门组织抽取了100间学生宿舍某月用电量调查，发现每间宿舍用电量都在50度到350度之间，其频率分布直方图如图所示．（1）为降低能源损耗，节约用电，学校规定：每间宿舍每月用电量不超过200度时，按每度0.5元收取费用；超过200度，超过部分按每度1元收取费用．以t表示某宿舍的用电量（单位：度），以y表示该宿舍的用电费用（单位：元），求y与t的函数关系式？（2）求图中月用电量在（200，250]度的宿舍有多少间？（3）在直方图中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，宿舍用电量落入该区间的频率作为宿舍用电量取该区间中点值的频率（例如：若t∈[150，200），则取t=175，且t=175发生的频率等于落入[150，200）的频率），试估计我校学生宿舍的月均用电费用．【考点】频率分布直方图．【专题】应用题；概率与统计．【分析】（1）按分段函数求出宿舍的用电费用函数；（2）利用频率=，计算对应的频数即可；（3）利用频率分布直方图估算我校学生宿舍的月均用电费用是多少．【解答】解：（1）根据题意，得；当0≤t≤200时，用电费用为y=0.5x；当t＞200时，用电费用为y=200×0.5+（t﹣200）×1=t﹣100；综上：宿舍的用电费用为y=；（2）∵月用电量在（200，250]度的频率为50x=1﹣（0.0060+0.0036+0.0024+0.0024+0.0012）×50=1﹣0.0156×50=0.22，∴月用电量在（200，250]度的宿舍有100×0.22=22（间）；（3）估计我校学生宿舍的月均用电费用为75×0.0024×50+125×0.0036×50+175×0.0060×50+225×0.22+275×0.0024×50+325×0.0012×50=186（度）．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了利用直方图求平均数的应用问题，是基础题目．。

2019-2020学年广东省广州市第一一三中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{}{}10,1A x R x B x Z x =∈+>=∈≤，则A B =I （） A ．{}01x x ≤≤ B ．{}11x x -<≤C ．{}0,1D ．{}1【答案】C【解析】先分别求出集合A ，B ，由此利用交集定义能求出A ∩B ． 【详解】∵集合{}10A x R x =∈+>＝{}1A x x =>-，{}1B x Z x =∈≤＝{1，0，-1，-2，… }，∴{}0,1A B ⋂=． 故选：C ． 【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，注意条件x Z ∈，属于易错题． 2．下列函数中，是同一函数的是( )A ．2y x =与y x x =B ．y =与2y =C ．2x x y x+=与1y x =+ D ．21y x =+与21y t =+【答案】D【解析】考虑各选项中的函数的定义域和对应法则是否相同后可得正确的选项. 【详解】A 中的函数22,0,0x x y x x x x ⎧≥==⎨-<⎩ ，故两个函数的对应法则不同，故A 中的两个函数不是相同的函数；B 中函数y =的定义域为R ，而2y =的定义域为[)0,+∞，故两个函数不是相同的函数；C 中的函数2x x+的定义域为,00,-∞⋃+∞，而1y x =+的定义域为，故两个函数不是相同的函数；D 中的函数定义域相同，对应法则相同，故两个函数为同一函数， 综上，选D. 【点睛】本题考查两个函数相同的判断方法，应先考虑函数的定义域，再考虑函数的对应法则，这两个相同时才是同一函数.3．下列各式：①n n a a =；②()2231a a --=；③()23633-=-．中正确的个数是（ ） A ．3 B ．2C ．1D ．0【答案】D【解析】逐一分析判断每一个选项得解. 【详解】①n n a a =，是错误的，如：22(2)222-==≠-，所以该结论是错误的；②()2231a a --=，是错误的，因为当3a =或-1时，2230a a --=，原式没有意义，所以是错误的； ③()23633-=-，是错误的，因为等式左边是一个负数，等式右边是一个正数，所以等式错误. 故选：D 【点睛】本题主要考查根式的运算和零次幂的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 4．下列函数图像与x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据函数图象理解二分法的定义，函数f （x ）在区间[a ，b ]上连续不断，并且有f （a ）•f （b ）＜0．即函数图象连续并且穿过x 轴． 【详解】解：能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a ，b ]上连续不断，并且有f （a ）•f （b ）＜0A 、B 中不存在f （x ）＜0，D 中函数不连续．【点睛】本题考查了二分法的定义，学生的识图能力，是基础题． 5．函数9n y x =（N n ∈且9n >）的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】先判断函数的奇偶性排除A 、B ，再通过举例判断得解. 【详解】由题得函数的定义域为R.由题得999()()n n n f x x f x x x =∴-=-=，, 所以函数是偶函数，排除A 、B. 当n=18时，91182()f x x x ==，当x ＞0时，12()f x x =，选项C 符合函数的图象. 故选：C 【点睛】本题主要考查函数图象的判定和幂函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解和掌握水平.6．若3412a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1234b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3log 4c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b <<【答案】B【解析】分析：利用指数函数与对数函数的单调性即可得出． 详解：∵a=3412⎛⎫ ⎪⎝⎭＜121()2＜b=1234⎛⎫ ⎪⎝⎭，c=3log 4＞1，则a ＜b ＜c ，点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值0,1的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小． 7． 函数 ()xf x e x -=- 的零点所在的区间为（ ）A ．11,2⎛⎫--⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭C ．1,1?2⎛⎫⎪⎝⎭D ． 1 0,2⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】由题意可以画出y 1=e ﹣x 与y 2=x 的图象，他们的交点就是函数f （x ）=e ﹣x ﹣x 的零点. 【详解】∵函数f （x ）=e ﹣x ﹣x ，画出y 1=e ﹣x 与y 2=x 的图象，如下图： ∵当x=12时，y 1=e ＞y 2=12，当x=1时，y 1=1e＜y 2=1， ∴函数f （x ）=e ﹣x ﹣x 的零点所在的区间是（12，1）．故选：C ． 【点睛】此题主要考函数零点与方程根的关系，利用转化思想解决问题．画两个函数的图象数形结合求解， 8．若2log 13<a，则a 的取值范围是（ ）A ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭D ．()20,1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U 【答案】D【解析】对a 分两种情况讨论，利用对数函数的单调性解不等式得解. 【详解】当a ＞1时，2log 13<a，所以22log log ,33a a a a <∴>，所以a ＞1；当0＜a ＜1时，2log 13<a ，所以22log log ,33a a a a <∴<，所以023a <<.综合得()20,1,3a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭U . 故选：D 【点睛】本题主要考查对数函数不等式的解法，考查对数函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润（单位：万元）分别为L 1=5.06x －0.15 x 2和L 2=2x ，其中x 为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为 A ．45.606 B ．45.6C ．45.56D ．45.51【答案】B【解析】主要考查构建函数模型，利用导数解决生活中的优化问题． 解：设甲地销售x 辆，依题意L 1+L 2=5.06x －0.152x +2（15－x ）=20.15 3.0630x x -++=20.15(10.2)45.606x --+，所以当x 取整数10时，最大利润为45.6，故选B ．10．已知函数21,0()log ,0ax x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，若函数(())1y f f x =+有四个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1,0)- B ．(,0)-∞C ．(0,)+∞D ．(0,1)【答案】C函数f （x ）图象，分类讨论判断，求解方程可得答案． 【详解】函数y ＝f （f （x ））+1的零点， 即方程f [f （x ）]＝﹣1的解个数，（1）当a ＝0时，f （x ）2100x log x x ≤⎧=⎨⎩，，＞，当x ＞1时，x 2=，f （f （x ））＝﹣1成立，∴方程f [f （x ）]＝﹣1有1解 当0＜x ＜1，log 2x ＜0，∴方程f [f （x ）]＝﹣1无解，当x ≤0时，f （x ）＝1，f （f （x ））＝0，∴方程f [f （x ）]＝﹣1无解， ∴f （f （x ））＝﹣1有1解， 故a ＝0不符合题意， （2）当a ＞0时，当0＜x ＜1，log 2x ＜0，∴方程f [f （x ）]＝﹣1有1解， 当1a-＜x ≤0时，0＜f （x ）≤1，∴f （f （x ））＝﹣1有1解， 当x 1a≤-时，f （x ）＜0，∴f （f （x ））＝﹣1有1解， 故，f （f （x ））＝﹣1有4解， （3）当a ＜0时，当x ＞1时，x 2=f （f （x ））＝﹣1成立，∴f （f （x ））＝﹣1有1解， 当0＜x ≤1时，f （x ）≤0．1ffx ≥﹣，成立, 方程f [f （x ）]＝﹣1无解，，当x ≤0时，f （x ）≥1，0ffx ≥，成立, 方程f [f （x ）]＝﹣1无解， 故f （f （x ））＝﹣1有1解，不符合题意， 综上：a ＞0 故选C 【点睛】本题考查的知识点是函数零点的判定，其中将函数的零点问题转化为方程根的个数问题，分类讨论求解．二、填空题11．若幂函数()y f x =的图像过点(4,2)，则()f x 的解析式为__________． 【答案】12()f x x =【解析】设幂函数y=f （x ）的解析式，将点()4,2代入解析式即可求得结果. 【详解】设幂函数y=f （x ）=x α（α∈R ），其图象过点()4,2， α解得α=12∴f （x ）的解析式是y=12x ．故答案为()12f x x =【点睛】本题考查了用待定系数法求幂函数的解析式的应用问题，是基础题． 12．求值：2(lg 5)lg 2lg 50+⨯=________． 【答案】1【解析】试题分析：22(lg5)lg 2lg50(lg5)lg 2(lg5lg10)lg5(lg5lg 2)lg 2lg5lg 21+⨯=+⨯+=++=+=【考点】对数的运算性质. 13．函数＝的定义域为_________（结果用区间表示）【答案】【解析】根据被开方数为非负数，以及分母不等于零，列不等式组，求解得函数的定义域. 【详解】 依题意得，解得且，故定义域为.【点睛】本小题主要考查函数的定义域，函数的定义域主要从：分式分母不为零，偶次方根的被开方数为非负数，对数真数大于零等几个方面考虑.属于基础题. 14．设函数()()2121log 112xf x x=+++，则使得()()21f x f x ≤-成立的x 的取值范围是______（结果用区间表示） 【答案】1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】先判断函数的奇偶性，求出函数的单调性，由此得到|||21|x x ≥-，解不等式即得解. 【详解】()()2121log 1()12xf x x f x -=++=+,所以函数是偶函数. 当x ＞0时，()2121log 1,12xy xy =+=+都是减函数，所以()()2121log 112x f x x =+++是减函数（减函数+减函数=减函数）， 所以函数在(0,)+∞是减函数，在0)∞（-,上是增函数. 因为()()21f x f x ≤-，所以221|||21|(21),13x x x x x ≥-∴≥-∴≤≤，. 故答案为：1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15．设奇函数()f x 在（0，+∞）是增函数，且()10f =，则不等式()()0x f x f x ⎡⎤--<⎣⎦的解集为________【答案】{|10x x -<<或01}x <<【解析】由题意可得()()f x f x -=-，且(1)0f -=，()f x 在(,0)-∞为增函数，则不等式()()0x f x f x ⎡⎤--<⎣⎦，即为2()0xf x <，讨论0x >，()0f x <或0x <，()0f x >，解不等式即可得到所求解集．【详解】奇函数()f x 在(0,)+∞为增函数，且f （1）0=，可得()()f x f x -=-，且(1)0f -=，()f x 在(,0)-∞为增函数， 则不等式()()0x f x f x ⎡⎤--<⎣⎦， 即为2()0xf x <，可得0x >，()0f x f <=（1），解得01x <<； 或0x <，()0(1)f x f >=-，解得10x -<<．故答案为：{|10x x -<<或01}x <<. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查抽象函数不等式的解法，注意运用转化思想．16．已知函数2()2f x x x =-，若关于x 的方程()()0f x f a x t +--=有4个不同的实数根，且所有实数根之和为2，则实数t 的取值范围为__ _． 【答案】312⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】试题分析：设()()()g x f x f a x =+-.因为()()(())()()()g a x f a x f a a x f a x f x g x -=-+--=-+=，所以()g x 的图象关于直线2ax =对称.设()()t f x f a x =+-的4个根为12341234,,,()x x x x x x x x <<<，则，由题设知22,1a a =∴=，222222221,(1,2)12,(10)()2(1)2(1)21{221,(01)21,(12)x x x x x x g x x x x x x x x x x x x x -----≤<=-+---=-+-=-++≤<-≤<，13()22g =，()g x 的最小值为(0)(1)1g g ==，作出()g x 的图象如图所示，由图可知t 的范围为3(1,)2.【考点】函数与方程.三、解答题17．已知函数()()1100f x a x a x=-＞，＞． （1）求证：f （x ）在（0，+∞）上是单调递增函数；（2）若f （x ）在122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的值域是122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，求a 的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）25【解析】（1）根据函数单调性的定义，按照取值，作差，变形，定号，即可证出；（2）根据（1）可知，函数f （x ）在122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，所以()112222f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，，解出即可． 【详解】（1）证明：设x 2＞x 1＞0，则x 2﹣x 1＞0，x 1x 2＞0，∵()()21212112121111110x x f x f x a x a x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=---=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞， ∴f （x 2）＞f （x 1），∴f （x ）在（0，+∞）上是单调递增的． （2）∵f （x ）在（0，+∞）上是单调递增的，∴f （x ）在122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增， ∴()112222f f ⎛⎫==⎪⎝⎭，，即1122a -=，1122a -=， ∴25a =． 【点睛】本题主要考查函数单调性的证明和应用，属于基础题． 18．已知幂函数2242()(1)m m f x m x -+=-在(0,)+∞上单调递增，函数()2g x x k =-．（1）求m 的值；（2）当[1,2]x ∈时，记()f x ，()g x 的值域分别为集合,A B ，若A B A ⋃=，求实数k 的取值范围．【答案】（1）0m =；（2）[]0,1.【解析】（1）由幂函数的系数为1，得出()211m -=，求出m 的值，并将m 的值代入函数()y f x =的解析式，结合条件函数()y f x =在()0,∞+上单调递增得出m 的值； （2）利用两个函数在区间[]1,2上的单调性得出A 、B ，再由A B A ⋃=，得出B A ⊆，于此得出关于k 的不等式组，解出即可得出实数k 的取值范围. 【详解】（1）依题意得：()211m -=，解得0m =或2m =．当2m =时，()2f x x -=在()0,∞+上单调递减，与题设矛盾，故舍去，0m ∴=；（2）由（1）知，()2f x x =，当[]1,2x ∈时，()f x 、()g x 单调递增，[]1,4A ∴=，[]2,4B k k =--，A B A =Q U ，B A ∴⊆，210144k k k -≥⎧∴⇒≤≤⎨-≤⎩， 故实数k 的范围[]0,1． 【点睛】本题考查幂函数概念和基本性质，考查集合的包含关系，在求解函数的值域问题时，要考查结合函数的单调性求出函数的值域，本题的关键在于由集合的并集运算得出集合间的包含关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.19．已知函数()20,log 0,ax x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，，且点（4,2）在函数f （x ）的图象上.(1)求函数f(x)的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数f(x)的图象； (2)求不等式f(x)<1的解集；(3)若方程f(x)－2m ＝0有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围．【答案】（1）见解析； （2）()(),10,2-∞-⋃；（3）(],1-∞.【解析】（1）根据点()4,2在函数的图象上得到2a =，于是可得解析式，进而可画出函数的图象；（2）将不等式化成不等式组求解可得所求；（3）结合图象得到2m 的取值范围后再求出m 的范围．【详解】（1）∵点()4,2在函数的图象上， ∴()4log 42a f ==， ∴2a =． ∴()220,log 0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，， .画出函数的图象如下图所示．（2）不等式()1f x <等价于20,log 1,x x >⎧⎨<⎩或0,21,x x ≤⎧⎨+<⎩ 解得02x <<，或1x <-，所以原不等式的解集为()(),10,2-∞-⋃． （3）∵方程f(x)－2m ＝0有两个不相等的实数根，∴函数y 2m =的图象与函数()y f x =的图象有两个不同的交点． 结合图象可得22m ≤， 解得1m ≤∴实数m 的取值范围为(],1-∞． 【点睛】（1）本题考查函数图象的画法和图象的应用，根据解析式画图象时要根据描点法进行求解，画图时要熟练运用常见函数的图象．（2）根据方程根的个数（函数零点的个数）求参数的取值时，要注意将问题进行转化两函数图象交点个数的问题，然后画出函数的图象后利用数形结合求解．20．经市场调查,某种小家电在过去50天的销售量(台)和价格(元)均为销售时间t (天)的函数,且销售量近似地满足()()2200150,N f t t t t =-+≤≤∈.前30天价格为()()130130,N 2g t t t t =+≤≤∈；后20天价格为()()G 453150,N t t t =≤≤∈.(Ⅰ)写出该种商品的日销售额S (元)与时间t 的函数关系； (Ⅱ)求日销售额S (元)的最大值.【答案】(Ⅰ) 2406000130,S 909000,3150,t t t t Nt t t N⎧-++≤≤∈=⎨-+≤≤∈⎩，；(Ⅱ)6400.【解析】（Ⅰ）根据销售额等于销售量乘以售价得S 与t 的函数关系式，此关系式为分段函数；（Ⅱ）求出分段函数的最值即可． 【详解】(Ⅰ)当130t ≤≤时,由题知()()()212200304060002f t g t t t t t ⎛⎫⋅=-++=-++⎪⎝⎭； 当3150t ≤≤时,由题知()()()452200909000f t g t t t ⋅=-+=-+所以日销售额S 与时间t 的函数关系为2406000130,S 909000,3150,t t t t Nt t t N⎧-++≤≤∈=⎨-+≤≤∈⎩， (Ⅱ)当130t ≤≤时,()2S 206400t =--+,当20t =时,max S 6400=元； 当3150t ≤≤时,S 909000t =-+是减函数，当31t =时,max S 6210=元. 因为64006210>,则S 的最大值为6400元. 【点睛】解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分：①读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆错误．③在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解．含有绝对值的问题突破口在于分段去绝对值，分段后在各段讨论最值的情况.21．一次函数()f x 是R 上的增函数，()()()x x g f x m =+,已知[()]165f f x x =+. （1）求()f x ；（2）若()g x 在(1,)+∞单调递增，求实数m 的取值范围； （3）当[1,3]x ∈-时，()g x 有最大值13，求实数m 的值. 【答案】(1)()41f x x =+;(2)m 的取值范围为9,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭;(3)2m =-或103m =-.【解析】（1）设(),0f x ax b a =+>，代入条件，由恒等式的性质可得方程，求解函数的解析式；（2）求得()g x 的解析式和对称轴方程，再由单调性可得4118m +-≤，解不等式即可得到实数m 的取值范围；（3）根据抛物线的开口向上，可得最大值在端点处取得，解方程可得m 的值，注意检验即可得到. 【详解】（1）∵()f x 是R 上的增函数，∴可设(),0f x ax b a =+>，∴[()]()165f f x a ax b b x =++=+ 解得：4,1a b ==，因此()41f x x =+（2）2()()()(41)()4(41)g x f x x m x x m x m x m =+=++=+++对称轴418m x +=-，根据题意可得4118m +-≤，解得94m ≥- ∴m 的取值范围为9[,)4-+∞（3）①当4118m +-≤时，即94m ≥-max ()(3)391313g x g m ==+=，解得2m =-，符合题意②当4118m +->时，即94m <-时， max ()(1)3313g x g m =-=-=，解得103m =-，符合题意 由①②可得，2m =-或103m =-. 【考点】函数的综合问题. 【方法点晴】本题主要考查了函数的综合应用问题，其中解答中涉及到一次函数解析式的求解、函数的单调性和最值的求法，待定系数法的应用，以及二次函数的图象与性质，着重考查学生分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用，本题的解答中熟记一元二次函数的图象与性质是解答的难点，属于中档试题. 22．已知函数()1log 1ax f x x -=+（其中0a >且1a ≠），()g x 是()2f x +的反函数．（1）已知关于x 的方程()()()log 17a mf x x x =+-在[]2,6x ∈上有实数解，求实数m的取值范围；（2）当01a <<时，讨论函数()f x 的奇偶性和单调性；（3）当01a <<，0x >时，关于x 的方程()()2230g x m g x m +++=有三个不同的实数解，求m 的取值范围．【答案】（1）[5,9]；（2）函数为奇函数，在定义域内时减函数；（3）34,23m ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦； 【解析】【详解】试题分析：（1）由题可知，可将方程()()()log 17amf x x x =+-转化为求函数在上的值域，根据二次函数对称轴法，求得的取值范围为；（2）若函数满足，则函数为偶函数，若函数满足，则函数为奇函数，代入-x ，得到，，所以函数为奇函数。

2019-2020学年高一数学下学期期中试卷（含解析）(12)一.选择题，本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．420°是第几象限角（）A．第一 B．第二 C．第三 D．第四2．sin135°=（）A．1 B．C．D．3．150°=（）A．B．C． D．4． =（）A．1 B．C．D．5．已知sinα＞0，cosα＜0，则α是第（）象限角．A．第一 B．第二 C．第三 D．第四6．sin4α+sin2αcos2α+cos2α=（）A．1 B．cos2αC．2 D．sin2α7．已知tanα=﹣，且α是第二象限角，则cosα的值为（）A．B．C．D．8． =（）A．cosαB．sinαC．tanαD．09．函数y=2sin2x的最小正周期为（）A．4πB．3πC．2πD．π10．要得到函数y=cos（x+）的图象，只需将函数y=cosx的图象上所有点（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向上平移个单位长度D．向下平移个单位长度二．填空题（每小题5分，请把正确答案写在横线上）11．函数y=2sinx﹣cosx的最大值为．12．函数的最小正周期为．13．计算= ．14．函数y=sinx，x∈R的单调递增区间为．三、计算题（每小题10分）15．已知tanα=3，则的值．16．已知（1）求sin（2π﹣α）（2）求cos（2π+α）17．一个扇形的所在的圆的半径为5，该扇形的弧长为5（1）求该扇形的面积（2）求该扇形中心角的弧度数．2016-2017学年广东省东莞市北师大石竹附中国际班高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题，本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．420°是第几象限角（）A．第一 B．第二 C．第三 D．第四【考点】G3：象限角、轴线角．【分析】先将420°写成360°的整数倍加上一个0°到360°范围的角，再由此角的终边位置和象限角的定义进行判断．【解答】解：420°=60°+360°则420°角与60°角的终边相同，即是第一象限角，故选：A．2．sin135°=（）A．1 B．C．D．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】直接利用特殊角的三角函数值求解即可．【解答】解：sin135°=sin45°=．故选：C．3．150°=（）A．B．C． D．【考点】G5：弧度与角度的互化．【分析】根据π=180°，化简即可．【解答】解：150°=150×=．故选：D．4． =（）A．1 B．C．D．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】直接利用特殊角的三角函数求解即可．【解答】解： =．故选：B．5．已知sinα＞0，cosα＜0，则α是第（）象限角．A．第一 B．第二 C．第三 D．第四【考点】GC：三角函数值的符号．【分析】根据三角函数的在不同象限的符号，判断即可．【解答】解：∵sinα＞0，∴α可能在：一、二象限．又∵cosα＜0，∴α可能在：二，三象限．综上可得：α在第二象限．故选：B．6．sin4α+sin2αcos2α+cos2α=（）A．1 B．cos2αC．2 D．sin2α【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】利用同角三角函数基本关系式化简求解即可．【解答】解：sin4α+sin2αcos2α+cos2α=sin2α（cos2α+sin2α）+cos2α=sin2α+cos2α=1．故选：A．7．已知tanα=﹣，且α是第二象限角，则cosα的值为（）A．B．C．D．【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用同角三角函数的基本关系的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，求得cosα的值．【解答】解：∵tanα==﹣，sin2α+cos2α=1，且α是第二象限角，∴cosα＜0，sinα＞0，求得cosα=﹣，故选：D．8． =（）A．cosαB．sinαC．tanαD．0【考点】GO：运用诱导公式化简求值．【分析】直接利用诱导公式化简求解即可．【解答】解： =sinα．故选：B．9．函数y=2sin2x的最小正周期为（）A．4πB．3πC．2πD．π【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】利用三角函数的周期公式求解即可．【解答】解：函数y=2sin2x的最小正周期：T=．故选：D．10．要得到函数y=cos（x+）的图象，只需将函数y=cosx的图象上所有点（）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向上平移个单位长度 D．向下平移个单位长度【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：将函数y=cosx的图象上所有点向左平移个单位长度，可得函数y=cos（x+）的图象，故选：A．二．填空题（每小题5分，请把正确答案写在横线上）11．函数y=2sinx﹣cosx的最大值为．【考点】HW：三角函数的最值．【分析】利用辅角公式对函数解析式化简整理，利用正弦函数的性质求得其最大值．【解答】解：y=2sinx﹣cosx=sin（x+φ）≤故答案为：12．函数的最小正周期为．【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】根据正切函数的图象与性质，求出函数的最小正周期．【解答】解：函数的最小正周期为：T==．故答案为：．13．计算= 2 ．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】根据特殊三角函数的值计算即可．【解答】解：sin=，cos60°=．tan=1，∴=2．故答案为：2．14．函数y=sinx，x∈R的单调递增区间为[，]．k ∈Z ．【考点】H5：正弦函数的单调性．【分析】由正弦函数的图象及性质可得答案．【解答】解：函数y=sinx，x∈R．∵≤x≤是单调递增，∴单调递增区为[，]．k∈Z故答案为：[，]．k∈Z．三、计算题（每小题10分）15．已知tanα=3，则的值．【考点】GK：弦切互化．【分析】把分子分母同时除以cosα，把弦转化成切，进而把tanα的值代入即可求得答案．【解答】解：===故答案为：16．已知（1）求sin（2π﹣α）（2）求cos（2π+α）【考点】GO：运用诱导公式化简求值．【分析】由已知利用诱导公式求出sinα．（1）直接利用诱导公式求sin（2π﹣α）的值；（2）由诱导公式及同角三角函数基本关系式求cos（2π+α）．【解答】解：由，得﹣sin，即sinα=．（1）sin（2π﹣α）=﹣sinα=；（2）cos（2π+α）=cosα==．17．一个扇形的所在的圆的半径为5，该扇形的弧长为5（1）求该扇形的面积（2）求该扇形中心角的弧度数．【考点】G8：扇形面积公式．【分析】（1）根据扇形的面积S扇形=lr计算即可；（2）扇形中心角的弧度数为α=．【解答】解：（1）扇形的所在的圆的半径为r=5，弧长为l=5，则扇形的面积为：S扇形=lr=×5×5=；（2）扇形中心角的弧度数为：α===1．。

2019-2020年高一下学期期中考试数学试卷 含答案(II)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的，请用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.1. 为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40 的样本，则分段的间隔为A. 50B. 40C. 25D. 202.．0sin 390=( )A ． 23B ．21-C ． 21D ．23- 3．函数1)421sin(2)(+-=πx x f 的周期、振幅、初相分别是（ ） A ．4,2,4ππ- B ．4,2,4ππ C ．4,2,2ππ- D ．4,2,4ππ-4. 已知1cos 5α=-，sin α=α的终边所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．执行如图所示的程序框图．当输入2-时，输出的y 值为A ．2-B ．0C ．2D ．2±6.已知角α是第三象限角，那么2α是（ ） A ．第一、二象限角 B ．第二、三象限角C ．第二、四象限角D ．第一、四象限角 7．某市共有初中学生270000人，其中初一年级，初二年级，初三年级学生人数分别为99000，90000，81000，为了解该市学生参加“开放性科学实验活动”的意向，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为3000的样本，那么应该抽取初三年级的人数为A ．800B ．900C ．1000D ．11008.半径为1m 的圆中，60°的圆心角所对的弧的长度为（ ）mA ．3πB ．6π C ． 60 D ．1 9．袋中装有大小和材质都相同的6个小球，其中有3个红球，2个黄球和1个白球，从中随机模出1个小球，那么摸到红球或白球的概率是A ．16B ．13C ．12D ．2310.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上随机取一个数x ，cos x 的值介于12 至1之间的概率为 A. B. 2π3 C. 32 D. 13 第Ⅱ卷（非选择题 共60分）二、填空题：(本大题共5小题，每小题4分，共20分).11.将51转化为二进制数得12.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是________13.已知多项式函数f(x)=2x 5－5x 4－4x 3+3x 2－6x+7，当x=5时由秦九韶算法v 0=2 v 1=2×5－5=5 则v 3= ________ 14.2sin tan 2,sin 2cos θθθθ==+则 （用数字作答） 15.已知角α的终边经过点0p （-3，-4），则)2cos(απ+的值为_________三、解答题（本大题共4小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（4分）将一枚骰子先后抛掷两次，则（1）共有多少种不同的结果，其中向上的点数之和为7的结果有多少种？（2）向上的点数之和为7的概率为多少？18．（本小题满分12分）已知)23sin()3tan()2cos()23cos()cos()5sin()(πααππααπαπαπα--+++-=f ； （I ）化简)(αf ；（Ⅱ）若α是第三象限角，且53)23cos(=-απ，求)(αf 的值．19．（12）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40,50],[50,60],...[80,90],[90,100].（1）求频率分布图中a的值；（2）从评分在[40,60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40,50]的概率.20. （本小题满分12分）设O为坐标原点，点P的坐标(x－2，x－y)．(1) 在一个盒子中，放有标号为1,2,3的三张卡片，现从此盒中有放回地先后抽到两张卡片的标号分别记为x，y，求|OP|的最大值，并求事件“|OP|取到最大值”的概率；(2) 若利用计算机随机在[0,3]上先后取两个数分别记为x，y，求P点在第一象限的概率．参考答案一、选择题：1. C2.C3.D.4.A5.C6.C7.B8.A9.D 10.D二、填空题11. 110 110(2) 12. 45,47 13. 108 14. 1 15.54 三、解答题17.解：（1）抛掷一次骰子，向上点数有6种结果，抛掷第二次骰子，向上点数有6种结果，故共有可能结果为种. 在上述的所有结果中，点数之和为7的结果有（1，6），（2，5），（3，4），（5，2），（4，3），（6，1）6种.（2）记事件{向上点数之和为7}，由古典概型有.18．（本小题满分12分）解：（I ）απααππααπαπαπαcos )23sin()3tan()2cos()23cos()cos()5sin()(-=--+++-=f ；……………………6分 （Ⅱ）53sin )23cos(=-=-ααπ，所以53si n -=α，又由α是第三象限角，所以54cos -=α，故54cos )(=-=ααf .… 19.解析：(1)由频率分布直方图可知：()028.02022.0018.0004.0+⨯+++a ×10=1解得 006.0=a ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４分（3）由频率分布直方图可知：在[40,50)内的人数为0.004×10×50＝2（人）在[50,60)内的人数为0.006×10×50＝3（人） ．．．．．．６分 设[40,50)内的两人分别为21,a a ；[50,60)内的三人为32,1,A A A , 则从[40,60) 的受访职工中随机抽取2人，基本事件有（21,a a ），（11,A a ），（21,A a ），（31,A a ），（12,A a ），（22,A a ）， （32,A a ），（21,A A ），（31,A A ），（32,A A ）共10种； ．．．．．．１０分其中2人评分都在[40,50)内所包含的基本事件有1种，故2人评分都在[40,50)的概率为101. ．．．．．．．．１２分 20.解析： (1)记抽到的卡片标号为(x ，y)，所有的情况分别如下：(x ，y)的坐标为：(1, 1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)P (x －2，x －y ) 的坐标为：(－1,0)，(－1，－1)，(－1，－2)，(0,1)，(0,0)，(0，－1)，(1,2)，(1,1)，(1,0)||OP 为：1，2，5，1，0，1，5，2，1 ………………………4分其中，基本事件的总数为9，随机事件A“|OP|取最大值”包含2个基本事件，故所求的概率为P(A)＝29. ………………………6分(2) 设事件B 为“P 点在第一象限”．若⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x≤3，0≤y≤3，则其所表示的区域面积为3×3＝9. ………………………8分由题意可得事件B 满足⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x≤3，0≤y≤3，x －2>0，x －y>0，即如图所示的阴影部分面积，其区域面积为1×3－12×1×1＝52. ………………………10分 ∴ P(B)＝529＝518. ………………………12分。