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例谈微分方程在实际问题中的简单应用在现代科学和工程技术中，微分方程是一种求解物理过程的关键工具，被广泛用于气象学、力学、电磁学、热传导等诸多领域，已经成为数学物理学、应用数学和理论物理学的重要组成部分。
它们是用来描述各种物理现象和动态系统中进行连续时间变化及其变化趋势的优质工具，可以用一类通式描述某种不可分割的连续曲线或椭圆。
首先，微分方程可以用来模拟和预测实际中的物理过程，比如求解气象学中的对流现象，运用微分方程可以有效地模拟大气中的温度、湿度等物理量的流动特性；在机械学科中，微分方程可以有效地模拟结构物的形变和强度，计算其在压力、弯矩、拉力等外力作用下的力学性能；在电磁学中，微分方程可以模拟各种电磁现象，比如电流、磁性等；在热传导学中，微分方程可以被用来分析液体和气体的温度和热分布特性，有助于提高建筑物的热舒适度。
其次，在实际问题中，微分方程可以用来解决很多实际问题，比如气象学中的风场建模，用微分方程可以得出风场的动态变化特性，有助于对风场的流变行为有更深入的研究；在电路学中，微分方程可以帮助我们分析电路拓扑结构，有助于设计更加复杂的电路；使用微分方程拟合经典力学中微小物体之间碰撞或重力作用的模型，可以预测它们之间的运动轨迹及其相互影响；再比如非线性模型，用来分析非线性系统中状态变量之间的相互关系，可被广泛应用于计算机的自动控制、社会、经济、医药等领域。
最后，微分方程可以使实际问题变得更有效，现实生活中的大量问题可以通过运用微分方程的方法来解决。
比如，采用微分方程的技术，可以计算复杂工程建设中地基沉降的形状、变形特性和幅度，有助于提高建筑物的稳定性；机器学习领域中，计算机可以运用微分方程及其变体来进行自动建模，快速拟合大量数据，使计算机可以快速更新和调整模型参数，从而更有效地解决实际问题。
总之，微分方程是现代科学和工程技术中非常重要的一种数学工具，可以用来描述各种物理现象和动态系统中的连续时间变化，同时它也可以用来解决实际问题，使实际生活中的大量问题变得更有效。
微分方程的应用 The document was finally revised on 2021数学建模——微分方程的应用举例微分方程在物理学、力学、经济学和管理科学等实际问题中具有广泛的应用，本节我们将集中讨论微分方程的实际应用，尤其是微分方程经济学中的应用. 读者可从中感受到应用数学建模的理论和方法解决实际问题的魅力.内容分布图示★衰变问题 ★逻辑斯谛方程 ★价格调整问题 ★人才分配问题模型 ★追迹问题 ★返回内容要点： 一、衰变问题镭、铀等放射性元素因不断放射出各种射线而逐渐减少其质量, 这种现象称为放射性物质的衰变. 根据实验得知, 衰变速度与现存物质的质量成正比, 求放射性元素在时刻t 的质量.用x 表示该放射性物质在时刻t 的质量, 则dtdx表示x 在时刻t 的衰变速度, 于是“衰变速度与现存的质量成正比”可表示为.kx dtdx-=这是一个以x 为未知函数的一阶方程, 它就是放射性元素衰变的数学模型, 其中0>k 是比例常数, 称为衰变常数, 因元素的不同而异. 方程右端的负号表示当时间t 增加时, 质量x 减少.解方程得通解.kt Ce x -=若已知当0t t =时, ,0x x =代入通解kt Ce x -=中可得,00kt e x C -= 则可得到方程特解,)(00t t k e x x --=它反映了某种放射性元素衰变的规律.注: 物理学中, 我们称放射性物质从最初的质量到衰变为该质量自身的一半所花费的时间为半衰期, 不同物质的半衰期差别极大. 如铀的普通同位素(U 238)的半衰期约为50亿年;通常的镭(Ra 226)的半衰期是上述放射性物质的特征, 然而半衰期却不依赖于该物质的初始量, 一克Ra 226衰变成半克所需要的时间与一吨Ra 226衰变成半吨所需要的时间同样都是1600年, 正是这种事实才构成了确定考古发现日期时使用的着名的碳-14测验的基础.二、 逻辑斯谛方程:逻辑斯谛方程是一种在许多领域有着广泛应用的数学模型, 下面我们借助树的增长来建立该模型.设树生长的最大高度为H (m), 在t (年)时的高度为h (t ), 则有)]()[()(t h H t kh dtt dh -= 其中0>k 是比例常数. 这个方程为Logistic 方程. 它是可分离变量的一阶常数微分方程.下面来求解方程. 分离变量得,)(kdt h H h dh=-两边积分 ,)(⎰⎰=-kdt h H h dh得 ,)]ln([ln 11C kt h H h H+=-- 或,21kHt H C kHt e C e hH h ==-+ 故所求通解为,11)(22kHtkHt kHt Ce H e C He C t h -+=+=其中的⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>==-0112HC e C C C 是正常数. 函数)(t h 的图象称为Logistic 曲线. 图8-8-1所示的是一条典型的Logistic 曲线, 由于它的形状, 一般也称为S 曲线. 可以看到, 它基本符合我们描述的树的生长情形. 另外还可以算得.)(lim H t h t =+∞→这说明树的生长有一个限制, 因此也称为限制性增长模式.注: Logistic 的中文音译名是“逻辑斯谛”. “逻辑”在字典中的解释是“客观事物发展的规律性”, 因此许多现象本质上都符合这种S 规律. 除了生物种群的繁殖外, 还有信息的传播、新技术的推广、传染病的扩散以及某些商品的销售等. 例如流感的传染、在任其自然发展(例如初期未引起人们注意)的阶段, 可以设想它的速度既正比于得病的人数又正比于未传染到的人数. 开始时患病的人不多因而传染速度较慢; 但随着健康人与患者接触, 受传染的人越来越多, 传染的速度也越来越快; 最后, 传染速度自然而然地渐渐降低, 因为已经没有多少人可被传染了.下面举两个例子说明逻辑斯谛的应用.人口阻滞增长模型 1837年, 荷兰生物学家Verhulst 提出一个人口模型00)(),(y t y by k y dtdy=-=其中b k ,的称为生命系数.我们不详细讨论这个模型, 只提应用它预测世界人口数的两个有趣的结果. 有生态学家估计k 的自然值是. 利用本世纪60年代世界人口年平均增长率为2%以及1965年人口总数亿这两个数据, 计算得,2=b 从而估计得:(1)世界人口总数将趋于极限亿. (2)到2000年时世界人口总数为亿.后一个数字很接近2000年时的实际人口数, 世界人口在1999年刚进入60亿.新产品的推广模型 设有某种新产品要推向市场, t 时刻的销量为),(t x 由于产品性能良好, 每个产品都是一个宣传品, 因此, t 时刻产品销售的增长率,dtdx与)(t x 成正比, 同时, 考虑到产品销售存在一定的市场容量N , 统计表明dtdx与尚未购买该产品的潜在顾客的数量)(t x N -也成正比, 于是有)(x N kx dt dx-=其中k 为比例系数. 分离变量积分, 可以解得kNtCe Nt x -+=1)(由,)1()1(,)1(2322222kNt kNt kNt kNt kNt Ce Ce e N Ck dt x d Ce ke CN dt dx -----+-=+= 当N t x <)(*时, 则有,0>dt dx 即销量)(t x 单调增加. 当2)(*N t x =时, ;022=dt x d 当2)(*N t x >时, ;022<dt x d 当2)(*Nt x <时, 即当销量达到最大需求量N 的一半时, 产品最为畅销, 当销量不足N 一半时, 销售速度不断增大, 当销量超过一半时, 销售速度逐渐减少.国内外许多经济学家调查表明. 许多产品的销售曲线与公式的曲线(逻辑斯谛曲线)十分接近. 根据对曲线性状的分析, 许多分析家认为, 在新产品推出的初期, 应采用小批量生产并加强广告宣传, 而在产品用户达到20%到80%期间, 产品应大批量生产; 在产品用户超过80%时, 应适时转产, 可以达到最大的经济效益.三、价格调整模型在本章第一节例3已经假设, 某种商品的价格变化主要服从市场供求关系. 一般情况下,商品供给量S 是价格P 的单调递增函数, 商品需求量Q 是价格P 的单调递减函数, 为简单起见, 分别设该商品的供给函数与需求函数分别为P P Q bP a P S βα-=+=)(,)(其中βα,,,b a 均为常数, 且.0,0>>βb当供给量与需求量相等时, 由可得供求平衡时的价格baP e +-=βα 并称e P 为均衡价格.一般地说, 当某种商品供不应求, 即Q S <时, 该商品价格要涨, 当供大于求, 即Q S >时, 该商品价格要落. 因此, 假设t 时刻的价格)(t P 的变化率与超额需求量S Q -成正比, 于是有方程)]()([P S P Q k dtdP-= 其中,0>k 用来反映价格的调整速度.将代入方程, 可得)(P P dtdPe -=λ 其中常数,0)(>+=k b βλ方程的通解为t e Ce P t P λ-+=)(假设初始价格,)0(0P P =代入上式, 得,0e P P C -=于是上述价格调整模型的解为t e e e P P P t P λ--+=)()(0由于0>λ知, +∞→t 时, .)(e P t P →说明随着时间不断推延, 实际价格)(t P 将逐渐趋近均衡价格e P .四、人才分配问题模型每年大学毕业生中都要有一定比例的人员留在学校充实教师队伍, 其余人员将分配到国民经济其他部门从事经济和管理工作. 设t 年教师人数为),(1t x 科学技术和管理人员数目为),(2t x 又设1外教员每年平均培养α个毕业生, 每年人教育、科技和经济管理岗位退休、死亡或调出人员的比率为βδδ),10(<<表示每年大学生毕业生中从事教师职业所占比率),10(<<δ于是有方程111x x dt dx δαβ-= 212)1(x x dtdx δβα--= 方程有通解t e C x )(11δαβ-=若设,)0(101x x =则,101x C =于是得特解 te x x )(101δαβ-=将代入方程变为tex x dtdx )(1022)1(δαββαδ--=+ 求解方程得通解t te x eC x )(122)1(δαβδββ---+=若设,)0(202x x =则,110202x x C ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=ββ于是得特解tt ex e x x x )(101020211δαβδββββ--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--= 式和式分别表示在初始人数分别为)0(),0(21x x 情况, 对应于β的取值, 在t 年教师队伍的人数和科技经济管理人员人数. 从结果看出, 如果取,1=β即毕业生全部留在教育界, 则当∞→t 时, 由于,δα>必有+∞→)(1t x 而,0)(2→t x 说明教师队伍将迅速增加. 而科技和经济管理队伍不断萎缩, 势必要影响经济发展, 反过来也会影响教育的发展. 如果将β接近于零. 则,0)(1→t x 同时也导致,0)(2→t x 说明如果不保证适当比例的毕业生充实教师选择好比率β, 将关系到两支队伍的建设, 以及整个国民经济建设的大局.五、追迹问题设开始时甲、乙水平距离为1单位, 乙从A 点沿垂直于OA 的直线以等速0v 向正北行走; 甲从乙的左侧O 点出发, 始终对准乙以)1(0>n mv 的速度追赶. 求追迹曲线方程, 并问乙行多远时, 被甲追到.建立如图8-8-2所示的坐标系, 设所求追迹曲线方程为).(x y y =经过时刻t , 甲在追迹曲线上的点为),,(y x P 乙在点).,1(0t v B 于是有,1tan 0xyt v y --='=θ 由题设, 曲线的弧长OP 为,1002t nv dx y x='+⎰解出t v 0代入, 得.11)1(02⎰'+=+'-x dx y ny y x 两边对x 求导, 整理得.11)1(2y ny x '+=''- 这就是追迹问题的数学模型.这是一个不显含y 的可降阶的方程, 设p y x p y ''=''='),(, 代入方程得211)1(p n p x +='- 或 ,)1(12x n dx pdp -=+两边积分, 得|,|ln |1|ln 1)1ln(12C x np p +--=++即 .1112nxC p p -=++ 将初始条件00||==='x x p y 代入上式, 得.11=C 于是,1112nxy y -='++' 两边同乘,12y y '+-'并化简得,112n x y y --='+-'与式相加, 得,11121⎪⎭⎫ ⎝⎛---='n n x x y两边积分, 得.)1(1)1(121211C x n n x n ny nn nn +⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++---=+-代入初始条件0|0==x y 得,122-=n nC 故所求追迹曲线方程为 ),1(11)1(1)1(2211>-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+-=-+n n n n x n x n y n n n n甲追到乙时, 即曲线上点P 的横坐标,1=x 此时.12-=n ny 即乙行走至离A 点12-n n个单位距离时被甲追到.。
微分方程在数学与实际中的应用微分方程是研究函数与其导数之间关系的数学工具，广泛应用于多个领域，如物理学、经济学、生物学等。
通过求解微分方程，我们能够推断出一些系统的行为和特性，进而对实际问题进行分析和预测。
本文将重点介绍微分方程在数学与实际中的应用。
一、物理学中的微分方程应用物理学是微分方程最常见的应用领域之一。
在动力学中，运动物体的运动方程可以用微分方程来描述。
例如，质点的位移与时间的关系可以用二阶微分方程表示。
这种微分方程被称为牛顿第二定律。
另一个例子是电路理论。
通过对电流和电势分布的微分方程建模，可以分析电路中的电流方向、电位差和电阻等特性。
这对设计和优化电路非常重要。
二、经济学中的微分方程应用经济学是另一个应用微分方程的领域。
利用微分方程建立经济模型可以帮助我们预测和理解经济变量的变化。
比如，经济增长模型可以用指数函数的微分方程表示。
这样的模型可以用来研究经济的增长率以及其他关键因素。
微分方程在宏观经济学、财务经济学和金融学等领域也广泛应用。
例如，通过微分方程来建模股票价格可以帮助投资者预测市场走势和制定交易策略。
三、生物学中的微分方程应用生物学是另一个微分方程的重要应用领域。
生物系统经常涉及到数量的变化和相互作用。
这些現象可以通过微分方程系统来描述。
比如，人口增长可以用微分方程来建模，进而研究不同条件下的人口发展趋势。
生物学领域的另一个重要应用是药物动力学。
通过建立药物在人体内的浓度与时间的关系的微分方程模型，可以帮助科学家了解药物在体内的吸收、分布、代谢和排泄过程。
四、工程学中的微分方程应用在工程学领域，微分方程也被广泛应用。
例如，建筑物的结构与时间的关系可以用微分方程建模来分析振动、稳定性和耐久性等问题。
电力系统中电压和电流之间的关系也可以用微分方程来描述，这对电力工程师来说是非常重要的。
此外，微分方程在电信、信号处理以及机械和航空航天工程等领域也有着重要的应用。
不同的工程问题可以通过微分方程建模，并且结合数值方法、解析方法或计算机仿真等技术来求解。
微分方程在物理与工程领域中的应用微分方程作为数学的一个重要分支，广泛应用于物理学和工程学等领域。
它通过描述变量之间的关系，提供了解决实际问题的数学工具。
本文将介绍微分方程在物理与工程领域中的应用，并探讨其在不同领域中的具体应用案例。
一、力学中的微分方程应用力学是物理学的基础学科，微分方程在力学中的应用尤为广泛。
例如，在描述物体运动的动力学中，牛顿第二定律常被表示为微分方程形式：F=ma，其中F是物体所受的力，m是物体的质量，a是物体的加速度。
这个微分方程可以用来解决各种力学问题，例如自由落体、简谐振动等。
另一个力学中的应用是流体力学。
流体力学研究流体的运动规律，而流体的运动可以通过微分方程进行描述。
例如，纳维-斯托克斯方程是描述流体运动的基本方程之一，它是一个二阶偏微分方程，可以用来研究流体的速度场、压力场等。
纳维-斯托克斯方程的解析解难以获得，因此常常通过数值方法进行求解，以得到流体的运动情况。
二、电磁学中的微分方程应用电磁学是物理学中的重要分支，微分方程在电磁学中也有广泛的应用。
例如，麦克斯韦方程组是描述电磁场的基本方程，它由四个偏微分方程组成。
这些方程可以用来研究电磁波的传播、电磁场的辐射等现象。
麦克斯韦方程组的求解对于电磁学的理论研究和应用具有重要意义。
另一个电磁学中的应用是电路理论。
电路中的电流和电压之间的关系可以通过微分方程进行描述。
例如，简单的电路中，电阻、电感和电容的关系可以表示为一个一阶线性微分方程。
通过求解这个微分方程，可以得到电路中电流和电压随时间的变化规律，从而帮助我们理解电路的工作原理。
三、热传导中的微分方程应用热传导是工程学中的一个重要问题，微分方程在热传导中的应用十分常见。
例如，热传导方程是描述物体内部温度分布随时间变化的方程，它是一个二阶偏微分方程。
通过求解热传导方程，可以研究物体的温度分布、热传导速率等问题。
这对于工程领域的热设计和热管理具有重要意义。
另一个热传导中的应用是热辐射。
例谈微分方程在实际问题中的简单应用微分方程是数学领域中一个重要的分支，它研究的是包含未知函数及其导数的方程。
微分方程在物理学、工程学、经济学等实际问题中有着广泛的应用。
本文将以实际问题为例，说明微分方程在实际中的应用。
一、弹簧振子的运动弹簧振子是物理学中的一个经典问题，可以通过微分方程来描述其运动。
假设弹簧的质量为m，弹簧常数为k，弹簧的形变量（位移）为x(t)，则弹簧振子的运动可以描述为二阶线性微分方程：m*x''(t)+k*x(t)=0二、放射性衰变放射性元素的衰变过程可以用微分方程进行建模。
设放射性物质的衰变速率与物质的量成正比，即衰变速率为a（a>0）与物质的量x(t)成正比，可得微分方程：x'(t)=-a*x(t)三、生物种群增长生物种群增长问题也可以通过微分方程进行描述。
设种群数量为N(t)，种群增长速率与种群数量成正比，即增长速率为k（k>0）与种群数量N(t)成正比，可得微分方程：N'(t)=k*N(t)四、空气中的弥散空气中的弥散问题可以用微分方程进行建模。
设空气中其中一种气体的浓度为C(x,t)，C满足浓度的扩散方程：C_t = D*C_xx其中，C_xx表示浓度在x方向上的二阶导数，D为气体的扩散系数。
五、电路中的RLC振荡电路中的RLC振荡是电子学中的一个重要问题，可以通过微分方程进行描述。
设电路的电感L、电阻R和电容C分别为常数，电路的电压为V(t)，则振荡电路的微分方程为：L*V''(t)+R*V'(t)+1/C*V(t)=0以上是几个常见实际问题的微分方程应用，说明了微分方程在实际问题中的简单应用。
通过建立微分方程模型，可以定量地描述和分析复杂的实际问题，从而为问题的解决提供了理论依据。
微分方程在实际问题中的应用不仅帮助人们更好地理解和解决问题，而且还推动了数学理论和方法的发展。
随着科学技术的进步，微分方程将在更多领域中发挥重要作用。
微分方程应用微分方程是数学中的重要分支，它有着广泛的应用。
本文将介绍微分方程在不同领域的应用，包括物理学、生物学和经济学等。
通过这些应用实例，我们将看到微分方程在解决实际问题中的重要性和价值。
一、物理学中的物理学是微分方程的一个主要应用领域。
许多自然现象可以通过微分方程来描述和解释。
例如，牛顿第二定律将物体的运动与其所受的力联系在一起，可以用微分方程表示为：$$m\frac{{d^2x}}{{dt^2}} = F(x)$$其中，$m$代表物体的质量，$x$代表物体的位置，$t$代表时间，$F(x)$代表作用在物体上的力。
通过解这个微分方程，我们可以预测物体随时间的变化和轨迹。
二、生物学中的微分方程在生物学中也有广泛的应用。
许多生物过程可以用微分方程建模，如人口增长、药物动力学和神经元的激活等。
以人口增长为例，我们可以用以下微分方程描述：$$\frac{{dN}}{{dt}} = rN(1-\frac{{N}}{{K}})$$其中，$N$代表人口数量，$t$代表时间，$r$代表人口的增长率，$K$代表环境的承载能力。
通过解这个微分方程，我们可以了解人口随时间的变化趋势，从而制定相应的政策措施。
三、经济学中的微分方程在经济学中也有重要的应用。
例如，经济增长模型可以用以下微分方程表示：$$\frac{{dY}}{{dt}} = sY - c$$其中，$Y$代表经济产出，$t$代表时间，$s$代表储蓄率，$c$代表消费。
通过解这个微分方程，我们可以预测经济增长的速度和趋势，为经济政策的制定提供依据。
总结：微分方程是数学中的重要工具，具有广泛的应用领域。
无论是在物理学、生物学还是经济学中，微分方程都能用来描述和解释自然现象，并从中得出有用的结论。
通过研究微分方程的应用，我们可以更好地理解和预测现实世界中的各种问题，为解决这些问题提供有效的方法和方案。
在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的微分方程模型，并结合相关领域的知识和数据进行求解和验证。
使用微分方程求解物理问题微分方程在物理学中有着广泛的应用。
其可以帮助研究物理现象并预测未来的变化。
以下是一些使用微分方程求解物理问题的实际应用。
1. 谐振子问题谐振子是物理学中的一个经典问题。
一种特殊的谐振子就是简单的弹簧振子。
一个弹簧振子在某一时刻的振幅可以表示为：x(t) = Acos(ωt + φ)其中A是振幅，ω是振动的角频率，t是时间，φ是初相位。
使用微分方程可以描述这个系统的振动运动：m(d^2x/dt^2) + kx = 0其中m为质量，k为弹性系数。
通过求解这个方程，可以得出物体的位置随时间的变化。
这就是谐振子问题。
2. 拖曳问题在物理学中，拖曳问题是非常常见的。
例如，当一个鱼叉射入水中时，水的阻力会使得鱼叉速度逐渐降低。
这种情况可以使用微分方程来描述：m(dv/dt) = mg - kv^2其中m是鱼叉的质量，g是重力加速度，k是阻力系数。
通过求解这个方程，可以得到速度随时间的变化，以及鱼叉所能达到的最大速度。
3. 热传导问题热传导是物理学中的另一个重要问题。
假设一个物体温度分布在空间中是不均匀的。
物体内部的热量会通过热传导随着时间逐渐均匀分布。
这个问题可以使用热传导方程来描述：(∂T/∂t) = k(∂^2T/∂x^2)其中T是物体的温度分布，k是热传导系数，x是空间坐标。
这个方程可以求解出物体在时间和空间上的温度分布。
4. 血液流动问题微分方程也可以用来描述血液在血管中的流动。
假设在血管中流动的血液是粘性的，那么可以使用下面的方程来描述血液的运动：ρ(dv/dt) = −∇P + η∇^2v其中ρ是血液的密度，v是流速，P是压力，η是血液的黏滞系数。
这个方程可以被求解，以便确定在血管中的血液流量。
总结微分方程在物理学中有着广泛的应用。
其中一些问题包括谐振子、拖曳、热传导和血液流动。
这些问题可以使用微分方程来描述物理现象，并帮助科学家预测未来的变化。
对于许多物理学家来说，微分方程已经成为一种非常重要的工具。
高考数学中的微分方程应用及实例题解析一、微分方程的应用微分方程在数学中有着广泛的应用，而在高考数学中尤为重要。
微分方程可以用来描述各种物理和工程问题中的连续变化。
在高考数学中，微分方程的应用主要包括解决物理和工程问题，并用微分方程模型求解。
下面，我们将以几个实例来解释微分方程的应用。
二、实例题解析1. 一个水箱有一个进水口和一个排水口，进水口的水速是10升/分钟，排水口排水的速度是6升/分钟。
在水箱的初态下，水箱的水量是7升。
求15分钟之后水箱的水量是多少？解答：由于水箱的进水口和排水口都是连续变化的，因此可以用微分方程来模拟。
不妨设水箱的初始状态下的水量为y，当t时间后，进水和排水的水量都为10-6=4升/分钟，因此有：y'(t)=4根据微分方程得：y(t)=4t+C由于初态下，水量为7升，因此C=7。
当t=15时，有：y(15)=4*15+7=67因此，15分钟后水箱的水量是67升。
2. 某商品的回报率为r，市场容量有限，其市场占有率y变化满足dy/dt=ry(1-y)，y初始为0.2，求当市场占有率达到60%时所需的时间。
解答：由于市场占有率随时间的变化是连续变化的，因此可以用微分方程来模拟。
设市场占有率为y，时间为t，有：dy/dt=ry(1-y)将该微分方程分离变量得：1/(y(1-y))dy=rdt两边积分得：ln|y/(1-y)|=rt+C由于当y=0.2时，t=0，因此C=ln(1/4)。
当y=0.6时，有：ln|0.6/(1-0.6)|=0.4r+C代入C得：ln(3/2)=0.4r+ln(1/4)解得r=ln3/16，因此所需的时间为：t=[ln(3/2)-ln(1/4)]/0.4ln3/16≈8.25因此，市场占有率达到60%时所需的时间为8.25。
三、总结微分方程在高考数学中的应用极为广泛，需要考生有扎实的微积分和数学建模的基础。
通过多做微分方程的实例题目，可以帮助考生更好地掌握微分方程的应用方法和技巧。
微分在生活中的应用1.计算利率和复利：在金融领域，微分可以用来计算利率和复利。
在实际应用中，微分被用于计算连续复利。
假设本金为P，年利率为r，投资时间为t年，那么根据微分的思想，t年后本金和利息之和可以表示为P(1+rt)。
这个公式可以方便快捷地计算出投资在一段时间后的增长倍数，为我们进行投资决策提供了依据。
2.预测未来走势：在经济学中，微分被用来描述变量之间的关系，如价格和需求量之间的关系、成本和产量之间的关系等。
这种关系通常被表达为微分方程或差分方程。
通过求解这些方程，我们可以得到变量随时间变化的规律，从而预测未来的走势。
例如，在商品市场中，价格和需求量之间的关系可以通过微分方程来表示。
通过对这个方程的求解，我们可以预测在未来一段时间内，价格会如何变化，需求量会如何变化，从而制定出更加合理的经济政策。
3.优化生产过程：在工业生产中，微分可以帮助我们优化生产过程。
具体来说，通过对生产过程中的各种变量进行微分分析，可以找出哪些变量对生产效率有影响。
然后，我们可以通过调整这些变量的参数来优化生产过程，提高生产效率。
例如，在生产汽车零部件时，通过对生产过程的微分分析，可以找出对生产效率影响较大的环节，如刀具磨损、模具寿命等，并采取措施来优化这些环节，从而提高生产效率。
4.医学成像：在医学领域，微分也被广泛应用于医学成像。
例如，在CT扫描中，微分被用来重建图像。
具体来说，CT扫描是通过测量人体不同部位在不同时间点的辐射量来重建图像的。
而微分则可以用来分析和处理这些测量数据，以重建出更准确的图像。
在这个过程中，微分可以帮助我们更好地理解图像的形成过程和人体内部的结构特征，为医生的诊断和治疗提供依据。
5.计算机科学：在计算机科学中，微分被广泛应用于机器学习和人工智能领域。
例如，深度学习模型中的反向传播算法就使用了微分。
通过微分，我们可以计算出模型参数的更新量，从而优化模型的性能。
6.自然科学研究：在自然科学领域，微分被广泛应用于物理、化学、生物学等学科的研究。
微分方程应用应用微分方程解决实际问题微分方程应用：解决实际问题在数学领域中，微分方程是一种重要的工具，它可以应用于许多实际问题的解决。
微分方程可以描述自然界中许多变化的现象，并为我们提供了分析和解决这些问题的方法。
本文将讨论几个实际问题，并展示如何使用微分方程来解决它们。
一、人口增长模型人口增长是一个深受关注的问题，可以通过微分方程来描述。
假设我们有一个封闭的人口系统，没有迁入或迁出，那么人口增长可以通过以下微分方程来表示：$$ \frac{{dP}}{{dt}} = k \cdot P $$其中，P代表人口数量，t代表时间，k为增长率。
通过对上述微分方程进行求解，我们可以获得人口数量随时间变化的函数表达式。
这可以帮助我们预测未来的人口增长趋势，并采取相应的措施来解决人口过多或过少的问题。
二、热传导问题热传导是物理学中一个常见的问题，可以通过热传导定律来描述。
对于一个热平衡系统，热传导定律可以表达为：$$ \frac{{dU}}{{dt}} = k \cdot \frac{{d^2U}}{{dx^2}} $$其中，U代表温度分布，t代表时间，x代表空间位置，k为热导率。
通过解上述微分方程，我们可以得到热平衡系统中温度分布随时间和空间变化的函数表达式。
这对于预测热源传播的范围以及设计热传导材料具有重要意义。
三、弹簧振动问题弹簧振动是力学领域中的一个经典问题，可以通过微分方程来描述。
对于一个弹簧质点系统，其振动过程可以由以下微分方程表示：$$ \frac{{d^2x}}{{dt^2}} + \frac{{k}}{{m}} \cdot x = 0$$其中，x代表位移，t代表时间，k代表弹簧的劲度系数，m代表质点的质量。
通过解上述微分方程，我们可以得到弹簧质点系统的振动函数，从而预测系统在不同条件下的振动幅度、频率和周期。
这对于设计和优化振动系统具有重要意义。
四、化学反应动力学化学反应动力学研究反应速率与反应物浓度之间的关系，可以使用微分方程来描述。
毕业设计（论文）题目名称：微分方程在几类实际问题中的应用院系名称：理学院班级：数学102学号：************学生姓名：***指导教师：***2014年 6 月论文编号：201000134223微分方程在几类实际问题中的应用Application of Differential Equation in Several Practical Problems院系名称：理学院班级：数学102学号：201000134223学生姓名：陈博先指导教师：宋长明2014年6 月摘要在数学上,物质运动和其变化规律是用函数关系进行描述的,但是实际问题中常常不能直接写出反应相应规律的函数,却比较容易建立起这些变量与它们的导数之间的关系式,即微分方程.只有一个自变量的微分方程即为常微分方程,简称为微分方程.本文讨论的是微分方程在实际问题中的应用.微分方程在各个学科领域都可以发挥出其数学优势,将微分方程理论和实际问题结合起来,便可建立实际问题的模型.本文在介绍微分方程应用背景的基础上,结合微分方程的概念性质,利用归纳总结的方法探讨了常微分方程在物理问题、生物问题、军事问题、经济问题和医学问题等“现实生活”中问题的应用,同时结合相应实例进行分析.从这些应用问题中,我们可以看出：微分方程,它确实是数学联系实际的一个活跃分支.关键词：微分方程；实际问题；应用；数学模型AbstractIn mathematics, the motion of matter and its change rule are described by the relationship of function. But for practical problems , compared with writing the reaction of the corresponding rules directly, establishing the relationship between these variables and their derivatives named differential equation becomes relatively easy. Only a variable of differential equation is called ordinary differential equation, for short differential equation.In this paper, we discuss the application about differential equations in the actual problems. Differential equation can perform its mathematical advantage in various bining differential equation theory and practical problems, we can establish the model of the actual problems.Based on the application background of differential equation and combined with the concept and nature of differential equation,this paper discussed the application of ordinary differential equation in the field of physics,biology,military,economic and medicine,and so on,with the method of summarizing. From these applications,we can see that differential equation is really a active branch of connetting math and practical problems.Keywords: differential equations；the actual problem；application；mathematical model目录1引言 (1)2 微分方程简介 (2)2.1 微分方程的概念 (2)2.1.1微分方程 (2)2.1.2微分方程的阶 (2)2.2高阶微分方程解法 (2)2.2.1可降价高阶微分方程的解法 (3)2.2.2线性微分方程解的结构 (3)2.2.3二阶常系数齐次线性方程解法 (4)2.2.4二阶常系数非其次线性微分方程解法 (4)2.3微分方程建立模型的主要方法 (5)2.3.1定理规律法 (5)2.3.2模拟近似法 (5)2.3.3微元分析法 (5)2.4微分方程解决问题的基本步骤 (5)2.4.1基本步骤 (5)2.4.2案例分析 (5)3 微分方程在实际问题中的应用 (7)3.1 微分方程在物理问题中的应用 (7)3.2 微分方程在生物问题中的应用 (9)3.3 微分方程在军事问题中的应用 (10)3.4微分方程在经济问题中的应用 (12)3.4.1新产品推广模型 (12)3.4.2价格调整模型 (13)3.5 微分方程在医学问题中的应用 (15)3.5.1模型Ⅰ (15)3.5.2模型Ⅱ (16)3.5.3模型Ⅲ (17)3.5.4模型Ⅳ (19)结论 (21)参考文献 (22)致谢 (23)1引言客观世界的一切事物的运动和变化在数学上的反映,便有变数（或变量）概念.事物的运动和变化又是相互依赖、相互制约的,反映在数学上,就是变量之间的关系,从而又形成了函数的概念.由于大量的实际问题中,稍微复杂一些的运动过程往往不能直接写出他们的函数,却容易建立变量及其导数（或微分）间的关系式,即微分方程.通过求解这种方程,同样可以找到指定未知变量直接的函数关系.因此,微分方程是数学联系实际,并应用于实际的重要途径和桥梁,是各个学科进行科学研究的强有力的工具.因而,研究微分方程具有很重要的应用价值和实际意义.本文研究的主要是常微分方程在实际问题中的应用,在生物、物理、化学等学科中都有微分方程的应用.微分方程是数学理论联系实际的重要渠道,它是研究许多自然科学、工程技术以及生物医学技术等实际问题的有力工具.本论文内容由两部分组成：第一部分,通过查阅教材和相关资料收集总结微分方程的定义性质,通过阅读前人文献以及向老师同学请教总结利用微分方程建立模型解决实际问题的方法和基本步骤；第二部分,这一部分总共选择了五个学科领域,通过举例建立模型分析了微分方程分别在物理、生物、军事、经济和医学方面的应用,这一部分选择了与我们生活更加相关联的经济问题和医学问题作为重点,分别从不同方面建立相关的微分方程模型并求解分析其实际意义,这一部分介绍了微分方程解决实际问题的能力及其便利性.2 微分方程简介在17-18世纪社会生产力发展的需求与科学数学化进程的影响下,微积分本身进一步深入发展并在力学、物理学、声学和几何学等方面广泛应用,刺激和推动了一系列应用分支的形成,微分方程理论正是在这一时代背景下应时而兴的.本章简单的介绍了微分方程的相关概念以及微分方程解决问题的步骤和方法.2.1 微分方程的概念2.1.1微分方程许多客观的变化过程包含一定的函数关系,但是这个函数关系一般无法获得.然而,可以根据实际背景和各种有用信息建立起一个包涵未知函数的导数方程.一般的,凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程,叫做微分方程,例如下面的方程:20,sin y y y a y x x'''+=+= 在许多问题中,不能够直接求出所需要的函数关系.但是能够根据实际问题的背景与各种客观规律建立起关于未知函数的一个微分方程.研究微分方程就可以求出这个函数,从而获得相关问题的各方面的有用信息.2.1.2微分方程的阶微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数,叫做微分方程的阶.例如,方程2dy x dx=的阶数为1；方程220.4d s dt =-的阶数为2.阶数为一的微分方程为一阶微分方程,阶数为二及其以上的微分方程为高阶微分方程,本文主要讨论二阶微分方程.例如'2y xy x +=的微分方程称为一阶微分方程；3223x y x y x '''''+=为三阶微分方程.2.2高阶微分方程解法对于高阶微分方程的求解,一般的高阶微分方程没有普遍的解法,通常是通过变代换把高阶方程的求解问题转化为较低阶方程来求解,因为一般来说求解低阶方程比求解高阶方程方便些.因为本论文主要用到二阶常微分方程,故本节主要介绍常见的二阶常微分方程的相应的解法.2.2.1可降价高阶微分方程的解法①()()n y f x =型解法：接连积分n 次,即得通解.②(),y f x y '''=型特点：不显含未知函数y解法：令(),y P x y P ''''==,代入原方程,得()(),P f x P x '=.③(),y f y y '''=型特点：不显含自变量x.解法：令(),dP y P x y Pdy '''==, 代入原方程,得(),dP P f y p dy=. 2.2.2线性微分方程解的结构①二阶齐次方程解的结构：形如()()0y P x y Q x y '''++=方程的解为：若12,y y 是解,则1122y c y c y =+也是解；若12,y y 是两无关解,则1122y c y c y =+是通解.②二阶非齐次线性方程解的结构：形如()()()y P x y Q x y f x '''++=方程的解为：非齐次方程的任两解之差是相应齐次方程的解,则有：非齐次通解=齐次通解+非齐次特解.若()()()12f x f x f x =+,则12y y y =+.若12y y jy =+是()()()12f x f x jf x =+的特解,则12,y y 分别是()()12,f x f x 的特解.2.2.3二阶常系数齐次线性方程解法形如0y py qy '''++=的方程即为二阶常系数齐次线性方程,又此类方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.如特征方程为20r pr q ++=,则其通解如下：表2-1 通解表格2.2.4二阶常系数非其次线性微分方程解法形如()y py qy f x '''++=的方程即为二阶常系数非齐次线性微分方程,此类方程的解法称为待定系数法.①()()x m f x e P x λ=型 可设()k x m y x e Q x λ=,012k λλλ⎧⎪=⎨⎪⎩不是根是单根，是重根②()()()cos sin x l n f x e P x x P x x λωω=+⎡⎤⎣⎦型 可设()()()()12[cos sin ]k x m m y x e R x x R x x λωω=+,其中()()1m R x ,()()2m R x 是m 次多项式,{}max ,m l n =.01j k j λωλω±⎧=⎨±⎩不是特征方程的根时；是特征方程的单根时.2.3微分方程建立模型的主要方法2.3.1定理规律法在数学、物理、化学等学科领域有许多定理和规律,它们或以文字存在、或以方程存在.比如数学里面的斜率公式、弧长公式,物理里面的牛顿定律、万有引力定律、虎克定律等.这些都有其相应的方程,在解决相关问题的时候,可以以相应的规律方程建立模型求解.2.3.2模拟近似法在生物、经济、医学等学科领域中,微分方程也能够发挥其便利性和可行性.然而在这些实际问题中,往往给出的数据都是个我们生活息息相关的不确定词,而且大部分又无规律可循.故而此时,我们往往需要对相关数据和变量进行假设模拟,建立相应的微分方程模型求解.2.3.3微元分析法微元分析法就是利用已知的定理与规律寻找微元直接的关系式,与定理规律法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律.2.4微分方程解决问题的基本步骤2.4.1基本步骤①理解题意选择建立模型的方法；②根据题意建立常微分方程模型；③判断微分方程类型④解出模型精确解或近似解或者研究解的性态；⑤解的实际意义.2.4.2案例分析本小节选择几何里面的一道例题进行分析,题意如下:例 1 曲线簇是由微分方程2220xy y x '-+=所确定的,求出另一簇曲线,它和前一簇曲线在相交点处均互相垂直,即于交点处切线相互正交.分析 本题是求与已知曲线交点垂直的曲线,故可通过曲线率来求出曲线方程.本题按照定了规律法建立微分方程模型进行求解.解 由题中方程2220xy y x '-+=可解出,此簇曲线在(,)x y 点处的切线斜率为：()222x y y xy-'=-又,所求的曲线簇与之正交,故,此曲线斜率为：()222xy y x y '=- 整理得：2220x y xy y y ''--=这便是所求的曲线簇的微分方程.模型建立完成,此微分方程是一阶微分方程.下面,我们来解此方程.方程变形为：22()20x y dy xydx --= 即20x d y y ⎛⎫--= ⎪⎝⎭解得：22x y c y+=,即222x y cy += 这是一簇通过原点,且圆心在()0,c 上的圆.本题是利用微分方程解答几何问题,在几何上的应用主要是用曲线的法线斜率、切线斜率、曲率、曲边梯形面积等来描述一些所求的曲线或者图形的几何特征.3 微分方程在实际问题中的应用常微分方程在很多学科领域内有着重要的作用,自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等等,这些问题都可以通过建立数学模型化为求微分方程的解,或者化为研究解的性质的问题．本章选取了物理、生物、军事、经济和医学五个方面,通过上一章的微分方程解决实际问题的总结,从而举例并研究了微分方程在实际问题的应用.3.1 微分方程在物理问题中的应用物理学中有很多常用的物理规律,如牛顿运动定律、万有引力定律等.在解物理应用题的时候,我们可以结合微分方程理论与这些物理定律列出相应的微分方程模型,然后求出解并对之分析.我们可以通过以下例题进行相应解析：例2 一子弹以速度0200/v m s =垂直地射进一块厚度为10cm 的板,穿透后以速度180/v m s =飞出,假设板对子弹运动的阻力与运动速度的平方成正比,问子弹在板子里经过了多少时间？分析 本题是讨论物体运动规律的物理问题,由此便想到利用定理规律法.由题意可以知道,子弹在木板中只受到一个力,即木板的阻力2F kv =-,0k >为比例系数[8].解 设在时刻t 子弹穿入板的厚度为()x t ,由牛顿第二定律知()x t 应满足的微分方程是()22220d x dx m F kv k k dt dt ⎛⎫==-=-> ⎪⎝⎭, 即()2220d x dx m k k dt dt ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭这便是本题的微分方程模型,可以看出此模型二阶其次微分方程,相应求解为： 其初始条件为: 00,t x ==3110810/,t dx v cm s dt ===⨯ 令dx p dt=,则22d x dp dt dt=. 于是有2dp m kp dt=-, 11p kt C m =+. 由初始条件00t dx p v dt ===,定出101C v =,故1,1dxp k dt t m v ==+（3.1.1） 积分得201ln mkx t C k m v ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,由()00x =定出20ln mC v k =,故0ln 1,m k x v t k m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（3.1.2） 注意到式（3.1.1）,当10x =时有1011v k t m v =+, 即1011,kt m v v =-代入式（3.1.2）得01110ln(11)ln ,v v mm k v k v =-+=0110ln ln mk v v =-从而得到,子弹在板内经过的时间为3101135410ln 2m t s k v v ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭⨯⨯ 本题是牛顿运动学相关的问题,本题采用的是定理规律法利用牛顿第二定律建立的微分方程模型.从本题的结果可知,子弹在木板内经过的时间及其的小,从这些数据我们可以感受物理的奥妙以及微观世界里面强大的力量.3.2 微分方程在生物问题中的应用生物学不像数学、物理那样有许多规律可用,生物问题是我们生活中典型的实际问题.对于此类问题的分析,数学模型的建立没有那么多的工具可用,故一般需要利用模拟近似法进行求解,我们可以通过下面例题感受微分方程在解决生物问题方面的能力.例3 用微分方程分析生物总数问题.分析 对于生物方面的问题,我们可以采用模拟近似法.本来生物总数只取离散的整数值,绝非时间t 的可微函数,因此似乎不能用微分方程来描述其变化,但若事先能肯定这个总算很大,且在短时间内只有少量的增减,则可近似地认为这个总数是t 的连续函数,甚至是可微函数,于是可用微分方程来描述.解 设()P t 为在时刻t 的生物总数,(),r t p 为出生率与死亡率之差.若这种生物是孤立系统,即既无迁出才,有无迁入,则总数的时间变化率为：(),dp r t p p dt= （3.2.1） 这即是描述生物总数变化情况的模型一阶常微分方程.在最简单的模型中,设r a =为常数,得线性方程dp ap dt= （3.2.2） 若在某个计算起始时刻0t t =统计出总数为0P ,即得初值条件00()p t P = （3.2.3）模型（3.2.2）与实际情况的偏离较大,通常设r a bp =-,而采用模型2dp ap bP dt=- （3.2.4） 常数a 、b 为生物总数的生命系数.一般说,b a ≤,它们可按统计结果算出.方程（3.2.4）是Bemoulli 方程当2n =的情况.当在a 和b 为常数时,这个方程可用分离变量法求解2dp dt ap bP=- 设在时刻0t 的生物总数是()00p t P =,将211/b a ap bP p a ap ⎛⎫=+ ⎪--⎝⎭代入上式积分得： 0011t p t p b dt dp a p a bp ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭⎰⎰ ()()0001ln p a bp t t a p a bp --=- 或 ()()000()a t t p a bp ep a bp --=- 由此可解出()p t ：()()()0000a t t ap p t bp a bp e --=+- （3.2.5）由式（3.2.5）可看出,当t →∞时,有()a p t b →,且当00a p b <<时,()p t 是单增函数.此外,因()()2222d p dp dp a bp a bp a bp p dt dt dt=-=-- 此时设()0a bp ->,必有()0a bp ->,则有220d p dt >,故dp dt 是单增的.而当()2a p t b>时,dp dt是单减的. 上式讨论表明：在生物总数达到其极限值a b的一半以前的期间,是加速生长时期,过这一时刻以后,生长的速度逐渐减少,而为减速生长时期.指出：当考虑人口总数时,情况比较复杂,因为工业技术的发展,环境污染状况以及社会制度等,都对生命系数a 和b 有重大影响.3.3 微分方程在军事问题中的应用例4 如果交战双方在t 时刻的兵员数量分别为()x x t =,()y y t =,双方的伤亡率（即兵员变化率dx dt ,dy dt）均与双方兵员数量成正比,在不考虑士气的情况下,研究交战规律[16]. 分析 军事问题也是一个实际问题,在军事交战时,交战双方的胜负要综合很多因素,现代化的军事交战则更为严重,所以此问题不考虑现代武器在内.把交战时双方的兵力、伤亡等进行模拟近视化,然后建立相应的微分方程模型,从而研究交战规律.解 设交战的A 方t 时刻的兵员数量为x ,B 方兵员数为y ,则t 时刻各方的伤亡率分别为：,t dx dy by ax d dt=-=- （3.3.1） 其中比例系数0,0a b >>,分别为A ,B 各方的战斗威力.表现为装备及技术水平越高,系数a ,b 越大,因而给对方的杀伤越大.将方程（3.3.1）化成对称形式,得：dx dy dt by ax==-- 讨论前两项,构成方程：dx dy by ax=--,积分后,可得： 22ax by c -= （3.3.2）如果交战双方投入的人数各位0x 及0y ,即满足初始条件：()()0000x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩ （3.3.3）将初始条件（3.3.3）代入方程（3.3.2）中得：2200c ax by =-即： ()()222200a x x b y y -=-特别是,当交战双方形成了均势,最后出现0x y ∞∞==的情况时,必有0c =.此时初始条件00,x y 和威力系数间存在下面关系：22000ax by -=即：00x y =（3.3.4） 由式（3.3.4）可知：交战的双方如果B 方的威力系数b 大于A 的威力系数a ,当威力大的B 投入兵力为0y 时,则威力小的A 方,只要投入0y 的兵力就能形成均势的交战. 说明：如果一方的威力为另一方的2倍,为了维持均势的交战,威力小的一方只要投入对方兵力的倍即可.因此在交战中,兵力数量是主要的,其他则较为次要.3.4微分方程在经济问题中的应用一个新产品的上市,要考虑到很多因素,产品营销的成功与否直接决定了一个企业的存亡.当今,越来越多的企业需求数学建模方面的人才,在产品的推出前后都需要建立数学模型进行分析.本论文列出了这一过程中的新产品推广模型和价格调整模型,同时分析了微分方程在经济模型的建立过程中发挥的作用.3.4.1新产品推广模型例5 现有某种新产品要推向市场,其t 时刻的销量为()x t .由于性能良好,每一个产品都是宣传品.试分析该产品的推广.分析 利用模拟近似法,可以设在t 时刻产品的销量增长率为dx dt ,则它与()x t 成正比；同时设该产品的市场容量为N ,由统计可知增长率dx dt与尚未购买此产品的潜在顾客数量()N x t -成正比.解 由分析得()dx kx N x dt =- 其中,k 为综合比例系数,且0k >.这便是本题的数学模型,且其符合Logistic 方程,故可知其通解为：()1kNtN x t ce -=+, ()22,1kNtkNt dx cN ke dt ce --=+()()2322211kNt kNt kNt ck N e ce d x dt ce ----=+ 当()x t N *<时,有0dx dt >,产品销量单调增加,当()2N x t *=时,220d x dt =.当()2N x t *>时,220d x dt <.当()2N x t *<时,220d x dt >.即当销量达到最大需求量N 的一半时,产品最畅销；当销量不足一半时,销量迅速不断增大；当销量超过一半时,销量速度逐渐减少.研究调查表明：许多产品的销售曲线和Logistic 曲线十分接近,很多分析家认为,新产品刚推广的时候,宜采用小批量生产,加强广告宣传,在产品用户达到20%和80%之间时,产品要大批量生产,产品用户超过80%时,应转变.3.4.2价格调整模型例6 某商品在时刻t 的售价为P ,社会对该商品的需求量和供给量分别是P 的函数()Q P 和()S P ,试分析该商品的价格调整策略.分析 本题拟用模拟近似法进行求解,故可以假设商品的需求量()Q P 和供给量()S P 都已经把竞争对手和季节等因素考虑在内.在经济学中,在时刻t 的价格()P t 对于时间t 的变化率可以认为与该商品在同一时刻的超额需求量()()Q P S P -成正比.解 因为dP dt与()()Q P S P -成正比,即有微分方程: ()()dP k Q P S P dt=-⎡⎤⎣⎦ ()0k > 这便是本题的数学模型,在()Q P 和()S P 确定时,可以得到价格()P t 和时间t 的函数关系,这便是商品的价格调整模型.商品的价格变化主要是服从于市场供求关系,通常,商品供给量S 是价格P 的单调递增函数,商品需求量Q 是价格P 的单调递减函数,为了简单起见,该商品的供给函数和需求函数分别为：()(),S P a bP Q P P αβ=+=- (3.4.1)其中,,,a b αβ均为常数,并且0,0b β>>.当供给量与需求量相等时,由式（3.4.1）可得到供求平衡时的价格：e a P bαβ-=+ 并称e P 为均衡价格.一般情况下,当某种商品供不应求即S Q <时,该商品价格提升；当供大于求即S Q >时,该商品价格下降.因此,假定t 时刻的价格()P t 的变化率与超额需求量Q S -成正比,则有方程：()()dP k Q P S P dt=-⎡⎤⎣⎦ 其中0k <,这便是用来反映价格的调整速度．将式（3.4.1）代入方程可得：()e dP P P dtλ=- (3.4.2) 其中常数()0b k λβ=+>,此方程是一阶微分方程,故方程（3.4.2）的通解为：()t eP t P ce λ-=+ 假设初始价格()00P P =,代入上式得0e C PP =-,于是上述价格的调整模型的解为：()()0t e e P t P P P eλ-=+- 由于0λ>知道,t →+∞时,()e P t P →．由此表明,随着时间的不断推延,实际价格()P t 将逐渐趋近均衡价格e P ．本题求出的结果可以知道,随着时间的推移,该商品的市场渐渐成熟,而商品的实时价格也会渐渐逼近均衡价格．这些结果和经济学中的相关理论吻合,从这些可以看出微分方程在经济学中发挥的作用可见一斑．3.5 微分方程在医学问题中的应用随着整个科学技术的数学化,现代医学也加快了向数学化发展的速度．普遍有效地应用数学方法解决医学科研中的问题,提示其中的数量规律性,已成为现代医学发展的潮流．这种提示医学问题中各变量之间关系的解析式,成为数学模型．而微分方程则是建立这种数学模型的最为广泛、有力的工具之一.本节,我们列举传染病模型的例子分析微分方程在医学问题中的应用.例7 随着卫生设施的改善,医疗水平的提高及人类文明的不断发展,诸如霍乱、天花等曾经肆虐全球的传染性疾病已经得到了有效的控制.但是一些新的、不断变异着的传染病毒却悄悄地向人类袭来,20世纪80年代十分险恶的艾滋病毒开始肆虐全球,至今仍在蔓延；2003年春来历不明的SARS 病毒突袭人间,给人们的生命财产带来了极大的危害.长期以来,建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程、分析受感染人数的变化规律、探索制止传染病蔓延的手段等,一直是有关专家关注的一个热点问题.分析 不同类型传染病的传播过程有其各自不同的特点,弄清这些特点需要相当多的病理知识.我们在这里不可能从医学角度一一分析各种传染病的传播特点,而只能是按照一般的传播机理来建立数学模型.所以,对于此类问题,我们只能采用模拟近似法建立微分方程模型进行解析.3.5.1模型Ⅰ这是一个最简单的传染病模型.设时刻t 的病人人数()x t 是连续、可微函数,并且每个病人每天有效接触（足以使人致病的接触）的平均人数是常数λ.考察t 到t t +∆这段时间内病人人数的增加,于是就有 ()()()()()()x t t x t x t t x t t x t x t t λλ+∆-=∆⎧⎪+∆-⎨=⎪∆⎩, 再设0t =时,有0x 个病人.并对上式取0t ∆→时的极限,得微分方程: 0,(0)dx x x x dtλ== （3.5.1.1） 方程（3.5.1.1）的解为0()t x t x e λ= （3.5.1.2）模型（3.5.1.2）表明,随着t 的增加,病人人数()x t 无限增长,这显然是不符合实际的,建模失败.上述建模失败的原因是：（1）在病人有效接触的人群中,有健康人也有病人,而其中只有健康人才可以被传染为病人.所以在下面改进的模型中必须区别这两种人.（2）人群的总人数是有限的,不是无限的.并且随着病人人数的增加,健康人的人数在逐渐减少.因此,病人的人数不会无限地增加下去.3.5.2模型Ⅱ模型假设：（1）在疾病传播期内所考察地区的总人数N 不变,既不考虑生死,也不考虑迁移.（2）人群分为易感染者和已感染者两类,以下简称健康者和病人.并记时刻t 这两类人在总人数中所占的比例分别为()s t 和()i t .（3）每个病人每天有效接触的平均人数是常数λ,λ称为日接触率.当病人与健康者有效接触时,使健康者受感染变为病人.根据上述假设,每个病人每天可使()s t λ个健康者变为病人.因为病人人数为()Ni t ,所以每天共有()()Ns t i t λ个健康者被感染.于是()()Ns t i t λ就是病人人数()Ni t 的增加率,即有 ()()di N Ns t i t dtλ=. （3.5.2.1） 又因为()()1s t i t +=,再记初始时刻0t =时的病人的比例为0i ,则 0()[1()](0)di i t i t dt i i λ⎧=-⎪⎨⎪=⎩, （3.5.2.2）这便是本题的数学模型,可以看出方程（3.5.2.2）是Logistic 模型,它的解为： 01()11(1)ti t e i λ-=+- （3.5.2.3）模型（3.5.2.3）和方程（3.5.2.2）的图形见图3－1和图3－2.(3-1) (3-2)由式子（3.5.2.3）和（3.5.2.2）及图(3-1)和图(3-2)知：（1）当12i =时,di dt 达到最大值mdi dt ⎛⎫ ⎪⎝⎭,这个时刻为101ln(1)m t i λ-=-这时病人增加得最快,可以认为是医院门诊量最大的一天,预示着传染病高潮的到来,是医疗卫生部门关注的时刻.m t 与λ成反比,因为日接触率λ表示该地区的卫生水平,λ越小卫生水平越高.所以改善保健设施,提高卫生水平可以推迟传染病高潮的到来.（2）当t →∞时,1i →.即所有人终将被传染,全变为病人,这显然不符合实际情况.其原因是模型中没有考虑到病人可以治愈,人群中的健康者只能变成病人,病人不会再变成健康者.以上结果说明了建模的再次失败,为了修正上述结果必须重新考虑模型的假设,在下面的两个模型中将讨论病人可以治愈的情况.3.5.3模型Ⅲ有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低,可以假定无免疫性.于是病人被治愈后变成健康者,健康者还可以被感染再变成病人.模型假设：模型Ⅲ的前三个假设与模型Ⅱ的假设相同.（4）每天被治愈的病人数占病人总数的比例为常数μ,称为日治愈率.病人治愈后成为仍可被感染的健康者,显然1μ是这种传染病的平均传染期.考虑到假设（4）,模型Ⅱ中的（3.5.2.1）式应修正为()()()di N Ns t i t Ni t dtλμ=- （3.5.3.1）。
