(完整版)有理数知识点及经典题型总结讲义

第二章有理数1.了解具有相反意义的量，正负数的概念；2.理解有理数、相反数、绝对值、倒数的概念，能正确解题；3.理解数轴的概念，并能正确画出数轴,，在数轴上表示数；4.理解有理数加法、减法、乘法、除法法则、；5.理解有理数乘方定义及运算；6.能掌握加法、减法的运算定律和运算技巧，熟练计算；能掌握乘法的运算定律和运算技巧，熟练计算；7.通过将减法转化成加法和将除法转化成乘法，初步培养学生数学的归一思想8.进一步掌握有理数的五则混合运算；9.理解科学记数法，了解近似数；10.能运用科学记数法表示较大的数.知识点1 正数和负数1.概念正数：大于0的数叫做正数。

负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数。

注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。

（不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。

）2.意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。

知识点2：有理数1.概念整数：正整数、0、负整数统称为整数。

分数：正分数、负分数统称分数。

（有限小数与无限循环小数都是有理数。

）注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数。

2.分类：两种⑴按正、负性质分类：⑵按整数、分数分类：正有理数正整数正整数有理数正分数整数0零有理数负整数负有理数负整数分数正分数负分数负分数知识点3：数轴1.概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。

三要素：原点、正方向、单位长度2.对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。

比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大。

3.应用求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。

（注意不带“+”“—”号）知识点3 ：相反数1.概念代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。

（0的相反数是0）几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。

2.性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之，若a＋b=0，则a与b互为相反数。

(完整版)有理数的性质及其运算知识点汇总有理数的性质及其运算知识点汇总一、有理数性质有理数是可用两个整数的比表示的数，包括正整数、负整数和零。

有理数的性质如下：1. 有理数可以进行加法、减法、乘法和除法运算。

2. 有理数的加法和乘法满足交换律和结合律。

3. 有理数的乘法满足分配律。

4. 有理数的加法、减法和乘法仍然是有理数。

5. 有理数可以用小数形式表示。

二、有理数运算知识点1. 有理数的加法有理数的加法满足以下规则：- 两个正有理数相加，结果仍为正有理数。

- 两个负有理数相加，结果仍为负有理数。

- 正有理数和负有理数相加，结果为它们的差的绝对值的符号与较大绝对值的符号相同。

2. 有理数的减法有理数的减法可以转化为加法运算，规则如下：- 减去一个有理数等于加上这个有理数的相反数。

3. 有理数的乘法有理数的乘法满足以下规则：- 正有理数乘以正有理数，结果仍为正有理数。

- 负有理数乘以负有理数，结果仍为正有理数。

- 正有理数乘以负有理数，结果为它们的积的符号为负。

- 任何数乘以零，结果为零。

4. 有理数的除法有理数的除法可以转化为乘法运算，规则如下：- 除以一个有理数等于乘以这个有理数的倒数（除数不为零）。

5. 有理数的运算顺序有理数的运算顺序遵循以下规则：1. 先计算括号中的内容。

2. 然后按照先乘除，后加减的顺序计算。

3. 如果有多个乘法或除法，按照从左到右的顺序进行。

6. 有理数的小数形式表示有理数可以用小数形式表示，其中：- 有限小数是按照小数位数为限的。

- 循环小数是具有重复循环数字的。

以上是有理数的性质及其运算知识点的汇总，希望对你有所帮助。

第一章有理数知识点、考点、难点总结归纳有理数是我们学习数学的基础，掌握有理数的知识是进行后续学习的关键。

本章将对有理数的知识点、考点和难点进行总结归纳，帮助我们更好地理解和掌握有理数。

一、有理数的定义有理数是可以表示为两个整数的比值，包括正整数、负整数和零。

有理数的表示形式为分数或整数。

二、有理数的基本运算1. 加法和减法：有理数的加法和减法运算都可以通过分数的相加相减来完成，要注意同分母的分数之间的加减法运算规则，并进行合并和化简。

2. 乘法和除法：有理数的乘法和除法运算也可以通过分数的乘法和除法来完成，要注意分数的乘法规则和除法规则，并进行化简。

三、有理数的大小比较比较两个有理数的大小，可以首先将它们转化为相同分母的分数形式，然后按照分数的大小关系进行比较。

四、有理数的相反数与绝对值1. 相反数：一个有理数的相反数是它的数值相反而符号不变。

2. 绝对值：一个有理数的绝对值是它去掉符号后的数值，即该数的非负值。

五、有理数的混合运算混合运算是指同时进行加减乘除等多种运算的情况。

在有理数的混合运算中，需要根据运算法则和优先级进行计算，并注意括号的运用。

六、有理数的分数表示和小数表示有理数可以用分数形式表示，也可以用小数形式表示。

分数形式适用于精确计算，而小数形式便于运算和比较大小。

七、有理数的化简有理数的化简是指将其写成最简形式，即分子与分母没有公约数的分数表示。

通过寻找最大公约数，可以将有理数化简为最简形式。

八、有理数的乘方运算乘方运算是指一个数自乘若干次的运算。

在有理数的乘方运算中，可以根据乘方运算法则简化计算过程，并注意负次幂的运算规律。

九、有理数与实际问题的应用有理数在实际问题中有广泛的应用，如温度计的读数、海拔高度的表示、财务账目的计算等。

通过将实际问题转化为有理数运算，可以得出准确的答案。

总结：有理数是我们日常生活和学习中经常遇到的数，掌握有理数的知识对于数学学习至关重要。

本章总结了有理数的定义，基本运算，大小比较，相反数与绝对值，混合运算，分数与小数表示，化简，乘方运算以及应用等知识点、考点和难点。

有理数知识总结⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧意义；科学计数法乘方运算顺序混合运算法则加、减、乘、除的运算有理数的运算近似数；精确度数的大小运用：几何意义、比较概念绝对值相反数小、利用数轴比较数的大运用：在数轴上表示数概念数轴有关概念有理数;; 1. 相反意义的量 向东和向西，零上和零下，收入和支出，升高和下降，买进和卖出。

2. 正数和负数像+21，+12，1.3，258等大于0的数（“+”通常不写）叫正数。

像-5，-2.8，-43等在正数前面加“—”（读负）的数叫负数。

【注】0既不是正数也不是负数。

3. 有理数（1）整数：正整数、零和负整数统称为整数。

分数：正分数和负分数统称为分数。

有理数：整数和分数统称为有理数。

（2）有理数分类1) 按有理数的定义分类 2）按正负分类正整数 正整数 整数 0 正有理数有理数 负整数 有理数 正分数 正分数 0 负整数分数 负有理数负分数 负分数 【注】有限小数、无限循环小数也叫做分数。

4. 数轴（1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

【注】1）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，缺一不可。

2）数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数。

（2）在数轴上比较有理数的大小1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

2）由正、负数在数轴上的位置可知：正数都有大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。

5. 相反数（1）只有符号不同的两个数称互为相反数，如－5与5互为相反数。

（2）从数轴上看，位于原点两旁，且与原点距离相等的两点所表示的两个数叫做互为相反数。

（几何意义）（3）0的相反数是0。

也只有0的相反数是它的本身。

（4）相反数是表示两个数的相互关系，不能单独存在。

（5）数a 的相反数是—a 。

（6）多重符号化简多重符号化简的结果是由“－”号的个数决定的。

第一讲有理数【1.1正数与负数】知识点对应训练知识点1：正数、负数的概念像3、2、0.5、1.8％这样比0大的数叫，根据需要，有时在正数前面加上“+”，如+5，，，，…。

正数前面的“+”，一般省略不写：而像-3、-2、-3.5％这样在正数前面加上“—”号的数叫。

如-6，，…。

“-6”读作。

【例1】下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？-10，1，-0.5，0，36，52-，15％，-60，531-，22.8解：1、下列各数 -11 ，0.2，81-，74+，1，-1， -a， -30％中，（）一定是正数，（）一定是负数。

知识点2：对“0”的理解。

0既不是数，也不是数，它是正数与负数的分水岭。

它的意义很特殊，它既可以表示“没有”，也可以表示特定的意义。

【例2】对于“0”的说法正确的有（）①0是正数与负数的分界；②0℃是一个确定的温度；③0是正数；④0是自然数；⑤不存在既不是正数也不是负数的数。

解：2下列说法正确的有（）。

①0是最小的自然数；②0是整数也是偶数；③0既非正数也非负数；④一个数不是正数就是负数；⑤负数也叫非正数。

⑥一个数，如果不是正数，必定就是负数．知识点3;用正数和负数表示具有相反意义的量。

相反意义的量必须具有两个要素：一是它们的意义；二是它们都具有数量，而且一定是量。

【例3】下面问题中：（1）将水位上升3m时水位变化记作+3m；则水位下降3m时水位变化记作-3m。

（2）在一个月内，小明的身高增加2.5cm，记作+2.5cm；体重下降3kg，记作-3kg（3）某人存进银行1900元，记作+1900元；取出500元，记作-500元。

（4）向东走500m记作+500m；向西走120m，记作-120m.（5）小张往前走10m,记作+10m,那么他往左走5m记作-5m.表述有错误的是（）。

3、用正数和负数表示同一问题中具有相反意义的量。

①某校七年级举行足球比赛，一班胜两局，记作+2；则三班输一局，记作。

有理数【知识梳理】1、有理数的概念：整数和分数统称为有理数．2、有理数的分类：①按整数、分数的关系分类：有理数；②按正数、负数与0的关系分类：有理数．注意：如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数．【考点剖析】一、有理数的意义一、单选题1．（2022秋·广东河源·七年级校考期末）下列结论正确的是（）A．有理数包括正数和负数B．有理数包括整数和分数C．0是最小的整数D．两个有理数的绝对值相等，则这两个有理数也相等【答案】B【分析】根据有理数的相关联的知识点分析判断即可．【详解】∵有理数包括正有理数，零和负有理数，∴A错误，不符合题意；∵有理数包括整数和分数，∴B正确，符合题意；∵没有最小的整数，∴C错误，不符合题意；∵两个有理数的绝对值相等，则这两个有理数相等或互为相反数，∴D错误，不符合题意；故选B．【点睛】本题考查了有理数的相关概念，正确理解相关概念是解题的关键．【答案】C【分析】根据整数和分数统称为有理数，判断即可．【详解】解：A、1.21是有理数，故此选项不符合题意；B、2−是有理数，故此选项不符合题意；C、2π不是有理数，故此选项符合题意；D、12是有理数，故此选项不符合题意，故选：C．【点睛】本题考查了有理数的概念，解题的关键是掌握整数和分数统称为有理数，注意有限小数或无限循环小数是有理数．【答案】C【分析】根据有理数的概念进行判别即可．【详解】解：5，32−，103003，211，0，0.12−，是有理数，共6个，2π−是无理数，故选：C．【点睛】本题主要考查了有理数的概念，熟练掌握有理数的概念是解题的关键．0.35，有理数有【答案】5【分析】根据有理数的概念进行判断即可．【详解】解：有理数包括整数和分数，∴是有理数的有221.2,020%0.357−，，，，共5个 故答案为：5【点睛】本题主要考查有理数的概念，熟练掌握有理数的概念是解决本题的关键． 0.13，117−，0.1010010001（相邻两个【答案】3【分析】根据有理数的概念解答即可．有理数的概念：整数和分数统称为有理数．【详解】解：在 3.5+，0.13，117−，2π，0.1010010001（相邻两个1之间依次增加1个0）中，有理数有 3.5+，0.13，117−，共3个． 故答案为：3．【点睛】本题考查了有理数，掌握有理数的概念是解题的关键．6．（2022秋·河北邯郸·七年级统考期中）一个九位数，最高位上是最大的一位数，千万位上是5，十万位上是最小的合数，百位上是最小的质数，其余各位都是0，这个数写作_______．【答案】950400200【分析】根据最大的一位数是9，千万位上是5，最小的合数是4，最小的质数是2，其余各位都是0即可解答．【详解】解：∵最大的一位数是9，千万位上是5，最小的合数是4，最小的质数是2，其余各位都是0， ∴这个数是950400200．故答案为：950400200．【点睛】本题考查的是有理数，熟知最小的合数是4，最小的质数是2是解题的关键．一、单选题 1．（2023秋·广西河池·七年级统考期末）下列说法错误的是（ ）A ．0既不是正数，也不是负数B ．零上4摄氏度可以写成4C +︒，也可以写成4C ︒C ．若盈利100元记作100+元，则20−元表示亏损20元D ．向正北走一定用正数表示，向正南走一定用负数表示【答案】D【分析】根据0的特征、正负数的意义和相反意义的量进行判断即可．【详解】解：A ．0既不是正数，也不是负数，故选项正确，不符合题意；B ．零上4摄氏度可以写成4C +︒，也可以写成4C ︒，故选项正确，不符合题意；C ．若盈利100元记作100+元，则20−元表示亏损20元，故选项正确，不符合题意；D ．规定向正北走用正数表示，向正南走才用负数表示，故选项错误，符合题意．故选：D ．【点睛】此题考查了0的特征、正负数的意义和相反意义的量，熟练掌握相关基础知识是解题的关键．2．（2022秋·河北秦皇岛·七年级校联考阶段练习）下列语句正确的是（ ）①一个数前面加上“−”号，这个数就是负数；②如果a 是正数，那么a −一定是负数；③一个有理数不是正的就是负的；④0︒表示没有温度；A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 【答案】B【分析】根据正负数的定义和0的意义进行逐一判断即可．【详解】解：①一个正数前面加上“−”号，这个数就是负数，说法错误；②如果a 是正数，那么a −一定是负数，说法正确；③0是有理数，但是0既不是正数也不是负数，说法错误；④0︒表示有温度，说法错误；故选B ．【点睛】本题主要考查了正负数的定义和0的意义，熟知相关知识是解题的关键．3．（2022秋·全国·七年级专题练习）下面关于0的说法：（1）0是最小的正数；（2）0是最小的非负数；（3）0既不是正数也不是负数；（4）0既不是奇数也不是偶数；（5）0是最小的自然数；（6）海拔0m就是没有海拔．其中正确说法的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【分析】0既不是正数也不是负数，是最小的非负数，最小的自然数，是偶数，判断即可得到结果．【详解】解：（1）0是最小的正数，错误，0不是正数也不是负数；（2）0是最小的非负数，正确，非负数即为正数与0；（3）0既不是正数也不是负数，正确；（4）0既不是奇数也不是偶数，错误，0是偶数；（5）0是最小的自然数，正确；（6）海拔0m就是没有海拔，错误，海拔0m就是与海平面高度相同；则正确的说法有3个．故选：D．【点睛】此题考查了有理数的分类和意义，掌握有理数的分类和0的意义是解本题的关键．4．（2022秋·河北保定·七年级统考期中）下面关于0的说法，正确的是（）A．0既不是正数也不是负数B．0既不是整数也不是分数C．0不是有理数D．0的倒数是0【答案】A【分析】依据倒数，有理数相关概念以及有理数分类判断即可．【详解】A．0既不是正数，也不是负数，故此选项正确，符合题意；B．0是整数，不是分数，故此选项错误，不符合题意；C．0是有理数，故此选项错误，不符合题意；D．0不存在倒数，故此选项错误，不符合题意．故选A．【点睛】本题考查了有理数，0是重要的数字，掌握有理数的相关概念和分类是解题的关键．5．（2022秋·天津北辰·七年级统考期中）下列说法正确的是（）A．1是最小的正数B．﹣1是最大的负数C．绝对值等于本身的数是0D．0既不是正数也不是负数【答案】D【分析】根据正数、负数的概念，绝对值的意义分析判断即可．【详解】解：A、0是正数和负数的分界点，大于0的数都是正数，故1不是最小的正数，本选项不符合题意；B、0是正数和负数的分界点，小于0的数都是负数，故﹣1不是最大的负数，本选项不符合题意；C、0和正数的绝对值都等于本身，故本选项不符合题意；D、0既不是正数，也不是负数，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了正数和负数以及0的意义，解题的关键是掌握0是正数和负数的分界点，0既不是正数也不是负数，正数大于0，负数小于0．6．（2023秋·江苏宿迁·七年级统考期末）既不是正数也不是负数的数是（）A．2−B．1−C．0D．1【答案】C【分析】根据有理数的分类，即可求解．【详解】解：A、2−是负数，故本选项不符合题意；B、1−是负数，故本选项不符合题意；C、0既不是正数也不是负数，故本选项符合题意；D、1是正数，故本选项不符合题意；故选：C【点睛】本题主要考查了有理数的分类，熟练掌握0既不是正数也不是负数是解题的关键．7．（2022秋·山西临汾·七年级统考阶段练习）有下列两个判断：①正整数和负整数统称为整数；②整数和分数统称为有理数．其中正确的是（）A．①对，②错B．①错，②对C．①②都对D．①②都错【答案】B【分析】根据整数的分类和有理数的定义进行判断即可．【详解】解：①整数包括正整数、负整数和零，故①错误；②整数和分数统称为有理数，故②正确；综上分析可知，①错，②对，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了整数的分类和有理数的定义，熟练掌握整数包括正整数、负整数和零，是解题的关键．8．（2022秋·吉林长春·七年级统考期中）课堂上老师要求就数“”发表自己的意见，四位同学共说了下列四句话：①是整数，但不是自然数；②既不是正数，也不是负数；③不是整数，是自然数；④没有实际意义．其中正确的个数是（）A．4B．3C．2D．1【答案】D【分析】分别依据整数的定义、0的性质、和0的意义进行判断即可．【详解】解：自然数中包括0，当然0也是整数，所以①③都不正确；0既不是正数也不是负数，所以②正确；而在实际生活中0具有实际的意义，如0℃，所以④不正确；故正确的只有②，故选：D．【点睛】本题主要考查对0的理解，解题的关键是知道0是整数，也是自然数；0既不是正数也不是负数；0具有实际的意义．二、填空题9．（2023秋·全国·七年级专题练习）正数：比____大的数；负数：在正数前面加上_______的数，______既不是正数，也不是负数．【答案】0 负号0【分析】根据有理数的有关概念判断即可．【详解】解：根据题意，正数：比0大的数；负数：在正数前面加上负号的数，0既不是正数，也不是负数．故答案为：0，负号，0【点睛】本题考查了有理数，解题的关键是掌握有理数的定义进行判断．10．（2022秋·全国·七年级专题练习）下列关于零的说法中，正确的是________①零是正数②零是负数③零既不是正数，也不是负数④零仅表示没有【答案】③【分析】根据零既不是正数也不是负数以及不同情形下零表示的意义不同进行逐一判断即可．【详解】解：①零不是正数，说法错误；②零不是负数，说法错误；③零既不是正数，也不是负数，说法正确；④零不仅仅表示没有，不同情形下，零表示的意义不同，说法错误；故答案为：③．【点睛】本题主要考查了有理数的分类，熟知零表示的意义是解题的关键．三、解答题11．（2022秋·山西太原·七年级太原市第十八中学校校考阶段练习）请写四句话，说明数“零”（0）的数学特性．（例：0是绝对值最小的数．例句除外）【答案】见解析【分析】根据题意可以写出零的数学特性，本题得以解决．【详解】解：①零既不是正数也不是负数；②零小于正数，大于负数；③零不能做分母；④零是最小的非负数；⑤零的相反数是零;⑥任何不为零的数的零次幂为1；⑦零乘以任何数都是零等．【点睛】本题考查有理数，解题的关键是明确题意，可以仿照例句写出关于零的别的数学特性．三、有理数的分类一、单选题 1．（2022秋·贵州贵阳·七年级校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）A ．0既不是正数，也不是负数B ．非负数就是正数C ．一个数前面加上“−”号这个数就是负数D ．正数和负数统称为有理数【答案】A【分析】根据有理数的有关概念判断即可．【详解】解：A 、0既不是正数，也不是负数，故符合题意；B 、非负数就是0和正数，故不符合题意；C 、一个数前面加上“−”号，这个数不一定是负数，如2−，故不符合题意；D 、零和正数和负数统称为有理数，故不符合题意；故选：A ．【点睛】此题考查有理数，关键是根据有理数的有关概念判断．【答案】C【分析】根据整数的定义，即可得到答案．【详解】解：根据题意可得：11405+−−，，，属于整数， ∴整数一共有4个，故选：C ．【点睛】本题主要考查了有理数，利用整数的定义是解题的关键．【答案】C 【分析】根据负分数的定义可以得到答案，要注意负小数也可以化为负分数．【详解】解：在数3570.5405156569−−−，，，，，中，负分数有370.54659−−−，，，共有3个， 故选：C ．【点睛】本题考查了有理数的分类，解题的关键是掌握负分数的定义，要注意很容易将负小数漏掉，出现错误．二、填空题【答案】0.618，30%，7；7，0，1006+；132−【分析】根据有理数的分类即可解答．【详解】解：正分数集合：（0.618，30%，227）；非负整数集合：（7，0，1006+）；负分数集合：（132−）． 故答案为：0.618，30%，227；7，0，1006+；132−． 【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解决本题的关键．【答案】 62.49，， 60， 630−，， 3.144−−，【分析】根据分母为1的数是整数，可得整数集合；根据小于零的数是负数，可得负数集合；根据大或等于零的整数是非负整数，可得非负整数集合，根据小于零的分数是负分数，可得负分数集合，根据有理数是有限小数或无限循环小数，可得有理数集合．【详解】解：正数：{6，2.4，29…}非负整数：{6，0…} 整数：{6，3−，0…} 负分数：{3 3.144−−，…}故答案为：6，2.4，29；6，0；6，3−，0；34−， 3.14−．【点睛】此题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类是解本题的关键．三、解答题【答案】(1)2，3，7(2) 3.14−，5−，0.1212212221−⋯ (3)2，5− (4) 3.14−，227【分析】根据有理数的分类方法求解即可． 【详解】（1）解：正数有：2，3π，227，故答案为：2，3π，227；（2）解：负数有： 3.14−，5−，0.1212212221−⋯； 故答案为： 3.14−，5−，0.1212212221−⋯； （3）解：整数有：2，5−； 故答案为：2，5−；（4）解：分数有： 3.14−，227；故答案为： 3.14−，227．【点睛】本题主要考查了有理数的分类，熟知有理数的分类方法是解题的关键．【答案】正数：3.14，72+，0.618；负数： 2.5−，2−，0.6−，0.101−；分数： 2.5−，3.14，0.6−，0.618，0.101−；非负数：3.14，72+，0.618，0．【分析】根据有理数的分类方法进行求解即可． 【详解】解： 2.5−是负数，是分数； 3.14是正数，是分数，是非负数；2−是负数；72+是正数，是非负数； 0.6−是负数，是分数；0.618是正数，是分数，是非负数；0是非负数；0.101−是负数，是分数；∴正数：3.14，72+，0.618； 负数： 2.5−，2−，0.6−，0.101−；分数： 2.5−，3.14，0.6−，0.618，0.101−； 非负数：3.14，72+，0.618，0．【点睛】本题主要考查了有理数的分类，熟知有理数的分类方法是解题的关键．四、带“非”字的有理数一、单选题【答案】B【分析】根据有理数的分类进行分析解答即可．【详解】解：没有最小的整数，故①错误，0既不是正数也不是负数，但是有理数，故②错误，非负数是正数和0，故③错误，237是有限小数，故④错误，正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，故⑤正确，综上可知，错误的说法为①②③④，故选：B【点睛】此题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．【答案】A【分析】根据有理数的分类方法进行逐一判断即可．【详解】解：A．113,0.3,43−都是分数，故此选项符合题意；B．1, 2.5−−都是负数，故此选项不符合题意；C．0不是正数，故此选项不符合题意；D．132是分数，不是整数，故此选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题主要考查了有理数的分类，熟知有理数的分类方法是解题的关键．3．（2022秋·山东日照·七年级校考期末）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④整数和分数统称有理数，其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【分析】根据有理数定义及其分类解答即可．【详解】没有最小的整数，故①错误；有理数包括正数、0、负数，故②错误；非负数就是正数和0，故③正确；整数和分数统称有理数，故④正确；故选：C【点睛】本题侧重考查的是有理数，掌握有理数定义及其分类是解决此题的关键．【答案】C【分析】根据非负整数的概念求解即可．【详解】解：()33−−=，∴在3.67，0，1，23−，()3−−，157，6−中，非负整数有：0，1，()3−−，共3个，故选：C．【点睛】此题考查了非负整数的概念，解题的关键是掌握非负整数的概念．非负整数包括正整数和零．5．（2022秋·贵州遵义·七年级校考阶段练习）下列说法正确的是（）A．正整数和负整数统称整数B．a−一定是负数C．21n+（n为整数）表示一个奇数D．非负数包括零和负数【答案】C【分析】根据有理数的分类进行判断即可．【详解】解：A．正整数、0和负整数统称整数，说法错误，不符合题意；B．a−不一定是负数，说法错误，不符合题意；C．21n+（n为整数）表示一个奇数，说法正确，符合题意；D ．非负数包括零和正数，说法错误，不符合题意； 故选：C ．【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点是解题的关键．二、填空题【答案】6【分析】根据非负数包括正数和判断即可．【详解】解：在11+，，37−，45+，12，5−，0.26，1.38中，非负数有11+，，45+，12，0.26，1.38，共6个． 故答案为：6．【点睛】本题考查有理数的分类．正确掌握有理数的分类标准是解题的关键．三、解答题【答案】(1) 6.5+，0.5，52；(2)0，13，9−，1−；(3) 6.5+，0.5，0，13，152，3π．【分析】（1）根据正分数的定义：比0大的分数叫正分数，正数前面常有一个符号“+”，通常可以省略不写，据此逐一进行判断即可得到答案；（2）根据整数的定义：整数是正整数、零、负整数的集合，据此逐一进行判断即可得到答案； （3）根据非负数的定义：正数和零总称为非负数，据此逐一进行判断即可得到答案 【详解】（1）解：根据正分数的定义，正分数有： 6.5+，0.5，152，故答案为： 6.5+，0.5，152；（2）解：根据整数的定义，整数有：0，13，9−，1−， 故答案为：0，13，9−，1−；（3）解：根据非负数的定义，非负数有： 6.5+，0.5，0，13，152，3π，故答案为： 6.5+，0.5，0，13，152，3π．【点睛】本题考查了有理数的分类，解题关键是理解正分数，整数，非负数的定义，并正确区别．【答案】(1)13−， 2.23−，0，15%−，132−(2)0.1，27+，0，227(3)13−，0 (4)27+，0【分析】（1）根据“负数和0统称为非正数”即可进行解答； （2）根据“正数和0统称为非负数”即可进行解答； （3）根据“0和负整数统称为非正整数”即可进行解答； （4）根据“0和正整数统称为非负整数”即可进行解答．【详解】（1）解：非正数：{13−， 2.23−，0，15%−，132−，…}；故答案为：13−， 2.23−，0，15%−，132−；（2）解：非负数：{0.1，27+，0，227，…}；故答案为：0.1，27+，0，227；（3）解：非正整数：{13−，0，…}； 故答案为：13−，0；（4）解：非负整数：{27+，0，…}． 故答案为：27+，0．【点睛】本题主要考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的各个分类依据是解题的关键．【答案】(1)0,2021,101− (2)23.01,2021,13−−−(3)22,15%,3.14,0.6187+ (4)22,15%,101,3.14,0.6187+(5)0,2021−(6)22,0,15%,101,3.14,0.6187+【分析】根据有理数的分类即可解答．【详解】（1）解：整数：0,2021,101−（2）解：负数：23.01,2021,13−−−（3）解：正分数：22,15%,3.14,0.6187+ （4）解：正有理数：22,15%,101,3.14,0.6187+（5）解：非正整数：0,2021−（6）解：非负数：22,0,15%,101,3.14,0.6187+【点睛】本题考查的是有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．【答案】5、0.75−、310+；3−、2021−；5、0、3+、310+．【分析】直接根据有理数的分类进行解答即可．【详解】分数集合：{15、0.75−、310+…}；负整数集合：{3−、2021−…}；非负数集合：{15、0、3+、310+…}．故答案为：15、0.75−、310+；3−、2021−；15、0、3+、310+．【点睛】此题考查的是有理数，掌握分数、负整数、非负数的概念是解决此题关键．【过关检测】一．选择题（共10小题）1．（2022秋•东港区校级期末）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④整数和分数统称有理数，其中正确的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3【分析】根据有理数定义及其分类解答即可．【解答】解：①没有最小的整数，故①错误，不符合题意；②有理数包括正有理数、0、负有理数，故②错误，不符合题意；③非负数就是正数和0，故③正确，符合题意；④整数和分数统称有理数，故④正确，符合题意；故选：C．【点评】本题侧重考查的是有理数，掌握有理数定义及其分类是解决此题的关键．2．（2022秋•朝阳区期末）下面的说法中，正确的是（）A．正有理数和负有理数统称有理数B．整数和小数统称有理数C．整数和分数统称有理数D．整数、零和分数统称有理数【分析】根据有理数的分类进行判断即可．【解答】解：A．正有理数、0和负有理数统称为有理数，故不符合题意；B．无限不循环小数是无理数，故不符合题意；C．整数和分数统称为有理数，故符合题意；D．整数包括零，故不符合题意．故选：C．【点评】本题考查有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方法是解题的关键．3．（2022秋•河池期末）下列数中，是正整数的是（）A．﹣1B．0C．1D．【分析】根据正整数的定义进行逐一判断即可．【解答】解：∵这四个数中，只有1是正整数，∴只有选项C符合题意，故选：C．【点评】本题主要考查了正整数的定义，熟知定义是解题的关键．4．（2022秋•巴南区期末）在﹣2022，﹣1，0，1这四个有理数中，最小的有理数是（）A．﹣2022B．﹣1C．0D．1【分析】根据有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．依此即可求解．【解答】解：∵﹣2022＜﹣1＜0＜1，所以最小的有理数是﹣2022．故选：A．【点评】本题考查了有理数大小比较，关键是熟练掌握有理数大小比较的方法．5．（2022秋•隆回县期末）在，，0，﹣1，0.12，14，﹣2，﹣1.5这些数中，正有理数有m个，非负整数有n个，分数有k个，则m﹣n+k的值为（）A．3B．4C．6D．5【分析】先求出m，n，k的值，再进行计算即可．【解答】解：∵，0.12，14是正有理数，共3个；0，14是非负整数，共2个；，，0.12，﹣1.5是分数，共4个，∴m＝3，n＝2，k＝4，∴m﹣n+k＝3﹣2+4＝5．故选：D．【点评】本题考查的是有理数，熟知有理数的分类是解题的关键．6．（2022秋•竞秀区期末）在下列选项中，所填的数正确的是（）A．分数{﹣3，0.3，，…}B．非负数{0，﹣1，﹣2.5，…}C．正数{2，1，5，0，…}D．整数{3，﹣5，…}【分析】根据有理数的分类方法进行逐一判断即可．【解答】解：A．都是分数，故此选项符合题意；B．﹣1，﹣2.5都是负数，故此选项不符合题意；C．0不是正数，故此选项不符合题意；D．是分数，不是整数，故此选项不符合题意．故选：A．【点评】本题主要考查了有理数的分类，熟知有理数的分类方法是解题的关键．7．（2022秋•宛城区校级期末）下列说法错误的是（）A．0既不是正数，也不是负数B．零上6摄氏度可以写成+6℃，也可以写成6℃C．向东走一定用正数表示，向西走一定用负数表示D．没有最小的有理数【分析】根据有理数的概念和性质判断即可．【解答】A．0既不是正数，也不是负数，正确，故该选项不符合题意；B．零上6摄氏度可以写成+6℃，也可以写成6℃，正确，故该选项不符合题意；C．向东走可以用正数表示，也可以用负数表示，根据相反意义的关系，即可表示另一个方向，故该选项不正确，符合题意；D．没有最小的有理数，正确，故该选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了有理数的基本概念，熟练掌握有理数的基本概念是解题的关键．8．（2022秋•荆门期末）数0.1不属于（）A．正数B．整数C．分数D．有理数【分析】根据有理数的分类解得即可．【解答】解：数0.1是正数，是分数（小数可以化成分数），是有理数，但不是整数．故选：B．【点评】本题考查了有理数，解题的关键是熟练掌握有理数的分类．9．（2022秋•广阳区校级期末）下列各数：，1.010010001，，0，﹣π，﹣2.626626662…，0.，其中有理数的个数是（）A．2B．3C．4D．5【分析】直接利用有理数的概念分析得出答案．【解答】解：﹣，1.010010001，，0，﹣π，﹣2.626626662…，0.，其中有理数为：﹣，1.010010001，，0，0.，共5个．故选：D．【点评】此题主要考查了有理数的相关概念，正确把握相关定义是解题关键．10．（2022秋•南宫市期末）若有理数的分类表示为：，则“”表示的是（）A．正有理数B．负有理数C．0D．非负数【分析】根据有理数及整数的分类方法判断即可．【解答】解：有理数包括：整数与分数，整数包括：正整数，0和负整数，则“”表示的是0．故选：C．【点评】此题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类方法是解本题的关键．二．填空题（共8小题）11．（2022秋•枣阳市期末）在数﹣1，﹣9，﹣2.23，0，+3，，﹣π，，﹣0.01001中，是负分数．【分析】根据有理数的分类逐一判断即可得到答案．【解答】解：负整数：﹣1，﹣9；正整数：+3；正分数：；负分数：﹣2.23，，﹣0.01001；无理数：﹣π，故答案为：﹣2.23，，﹣0.01001．【点评】本题考查了有理数的分类，熟练掌握负分数的概念是解题关键，注意所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，而无限不循环小数，不能化成分数的形式．12．（2022秋•福清市期末）写一个比﹣1小的有理数．（答案不唯一）（只需写出一个即可）【分析】根据负数的大小比较，绝对值大的反而小，只要绝对值大于1的负数都可以．【解答】解：根据题意，绝对值大于1的负数均可，例如﹣2（答案不唯一）．【点评】只要是负数并且绝对值大于1的数就可以，也可以利用数轴根据右边的总比左边的大，选择﹣1左边的数．13．（2022秋•魏县期中）一个九位数，最高位上是最大的一位数，千万位上是5，十万位上是最小的合数，百位上是最小的质数，其余各位都是0，这个数写作．【分析】根据最大的一位数是9，千万位上是5，最小的合数是4，最小的质数是2，其余各位都是0即可解答．【解答】解：∵最大的一位数是9，千万位上是5，最小的合数是4，最小的质数是2，其余各位都是0，∴这个数是950400200．故答案为：950400200．【点评】本题考查的是有理数，熟知最小的合数是4，最小的质数是2是解题的关键．14．（2022秋•新城区校级期中）月考成绩出来后，组长记录了她们组6名同学的数学成绩，她以80分作为计分标准，超过的部分计为正数，不足的部分计为负数，若她们组6名同学的成绩为+16，﹣10，0，+18，﹣4，﹣8，则这6名同学的实际成绩最高分数是分．【分析】这列数字中的最大数加上80就是实际的最高分．【解答】解：80+18＝98（分），故答案为：98．【点评】本题考查了有理数，有理数的比较是解题的关键．15．（2022秋•西峰区校级期末）在“﹣1，﹣0.3，+1，0，﹣2.7”这五个数中，负有理数是．【分析】根据小于零的有理数是负有理数，可得答案．【解答】解：负有理数是﹣1，﹣0.3，﹣2.7．故答案为：﹣1，﹣0.3，﹣2.7．【点评】本题考查了有理数，掌握小于零的有理数是负有理数是关键．16．（2022秋•新市区校级期末）在﹣15，，﹣0.23，0.51，0，7.6，2，﹣，314%中，非负数有个．【分析】利用有理数的定义判断．【解答】解：在﹣15，，﹣0.23，0.51，0，7.6，2，﹣，314%中，。

第一章有理数知识点、考点、难点总结归纳大家好，今天我们来聊聊有理数这个知识点。

有理数是我们日常生活中经常会遇到的一种数，它们可以表示为两个整数的比值，比如1/2、3/4等等。

有理数在数学中非常重要，因为它们可以帮助我们解决很多问题。

有理数有哪些知识点呢？下面我们就来一一梳理。

我们来说说有理数的基本概念。

有理数包括正有理数、负有理数和零。

正有理数就是大于零的有理数，比如1/2、3/4等等；负有理数就是小于零的有理数，比如-1/2、-3/4等等；零是有理数，但它既不大于零也不小于零。

我们来看一下有理数的运算。

有理数的加法、减法、乘法和除法都很简单，我们可以通过以下几个例子来说明。

例一：正有理数相加。

假设我们有两个正有理数a和b,那么它们的和就是a+b。

例如，1/2+1/3=5/6。

例二：正有理数相减。

假设我们有两个正有理数a和b,那么它们的差就是a-b。

例如，3/4-1/2=1/4。

例三：正有理数相乘。

假设我们有两个正有理数a和b,那么它们的积就是a*b。

例如，1/2*3/4=3/8。

例四：正有理数相除。

假设我们有两个正有理数a和b(b≠0),那么它们的商就是a/b。

例如，3/4÷1/2=3/2=1.5。

有理数的运算还有很多其他的形式，比如负有理数的加法、减法、乘法和除法等。

但是这些都比较复杂，我们以后再学吧。

除了基本的运算之外，有理数还有一些重要的性质和定理。

比如，有理数的相反数是它的负倒数；有理数的绝对值是它的大小；有理数的平方根有两个，一个是正的，一个是负的；有理数的小数部分可以无限精确地表示为分数形式等等。

这些性质和定理在解决一些实际问题时非常有用。

我们来说说有理数的解题方法。

其实，有理数的解题方法和其他类型的题目差不多。

我们需要先理解题目的意思，然后根据题目的要求选择合适的方法进行计算。

有时候，我们还需要运用一些特殊的技巧来简化计算过程。

只要我们掌握了有理数的基本知识和解题方法，就可以轻松地解决很多数学问题了！今天我们就来聊到这里。

专题01 有理数【专题目录】技巧1绝对值的八种常见应用技巧2 有理数中的六种易错类型【题型】一、有理数概念理解【题型】二、用数轴上的点表示有理数【题型】三、求一个数的相反数【题型】四、求一个数的绝对值【题型】五、有理数的加减乘除混合运算【题型】六、科学记数法【考纲要求】1、了解有理数的概念，知道有理数与数轴上的点一一对应．2、借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求一个数的相反数、倒数与绝对值．【考点总结】一、有理数【注意】数轴1、数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（重点）2、任何有理数都可以用数轴上的点表示，有理数与数轴上的点是一一对应的。

3、数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数.【考点总结】二、有理数四则运算【注意】1、有理数的加减混合运算规则：运用减法法则将加减混合运算统一为加法进行运算步骤：（1）减法化加法；（2）省略括号和加号；（3）运用加法运算律使计算简便； （4）运用有理数加法法则进行计算。

注：运用加法运算律时，可按如下几点进行： （1）同号的先结合；（2）同分母的分数或者比较容易通分的分数相结合； （3）互为相反数的两数相结合； （4）能凑成整数的两数相结合；（5）带分数一般化为假分数或者分为整数和分数两部分，再分别相加。

2、多个有理数相乘的法则及规律：（1） 几个不是0的数相乘，负因数的个数是奇数时，积是负数；负因数的个数是偶数时，积是正数。

确定符号后，把各个因数的绝对值相乘。

（2）几个数相乘，有一个因数为0，积为0；反之，如果积为0，那么至少有一个因数是0. 注：带分数与分数相乘时，通常把带分数化成假分数，再与分数相乘。

【技巧归纳】技巧1：绝对值的六种常见应用【类型】一、已知一个数求这个数的绝对值 1．化简：(1)|－(＋7)|； (2)－|－8|；【类型】二、已知一个数的绝对值求这个数 2.若|a|＝2，则a ＝________.3．若|x|＝|y|，且x ＝－3，则y ＝________. 【类型】三、 绝对值在求字母的取值范围中的应用 4．若|x|＝－x ，则x 的取值范围是________． 5．若|x －2|＝2－x ，则x 的取值范围是________． 【类型】四、绝对值在比较大小中的应用6．把－(－1)，－23，－⎪⎪⎪⎪－45，0，用“>”连接正确的是( ) A ．0>－(－1)>－⎪⎪⎪⎪－45>－23 B ．0>－(－1)>－23>－⎪⎪⎪⎪－45 C ．－(－1)>0>－23>－⎪⎪⎪⎪－45 D ．－(－1)>0>－⎪⎪⎪⎪－45>－23【类型】五、绝对值的非负性在求字母值中的运用 7．若⎪⎪⎪⎪a －12＋⎪⎪⎪⎪b －13＋⎪⎪⎪⎪c －14＝0，求a ＋b －c 的值． 【类型】六、绝对值的非负性在求最值中的应用 8．根据|a|≥0这条性质，解答下列问题：(1)当a ＝________时，|a －4|有最小值，此时最小值为________； 参考答案1．解：(1)原式＝7. (2)原式＝－8. 2．±2 3.±3 4.x≤0 5.x≤2 6.C7．解：由题意知a ＝12，b ＝13，c ＝14，所以a ＋b －c ＝12＋13－14＝712.8．解：(1)4；0(2)因为a ，b 互为相反数，所以b ＝－a.又因为a ＜0，b ＞0. 所以|a －b|＋2a ＋|b|＝|2a|＋2a ＋|b|＝－2a ＋2a ＋b ＝b. 技巧2： 有理数中的六种易错类型【类型】一、对有理数有关概念理解不清造成错误 1．下列说法正确的是( ) A ．最小的正整数是0 B ．－a 是负数C ．符号不同的两个数互为相反数D ．－a 的相反数是a【类型】二、 误认为|a|＝a ，忽略对字母a 分情况讨论 2．如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数一定是( ) A ．负数 B ．负数或零 C ．正数或零D ．正数【类型】三、对括号使用不当导致错误 3．计算：2－⎝⎛⎭⎫－15＋14－12. 【类型】四、忽略或不清楚运算顺序4．计算：－5－(－5)×110÷110×(－5)．【类型】五、乘法运算中确定符号与加法运算中的符号规律相混淆5．计算：－36×⎝⎛⎭⎫712－56－1. 【类型】六、除法没有分配律6．计算：24÷⎝⎛⎭⎫13－18－16. 参考答案 1．D 2.C3．解：原式＝2＋15－14＋12＝2920.4．解：原式＝－5－(－5)×110×10×(－5)＝－30.5．解：原式＝－36×712－(－36)×56－(－36)×1＝－21＋30＋36 ＝45.6．解：原式＝24÷⎝⎛⎭⎫824－324－424 ＝24÷124＝576.方法指导：解本题时往往会出现将乘法分配律运用到除法运算中的错误，从而出现“原式＝24÷13－24÷18－24÷16＝72－192－144＝－264”这样的错误．【题型讲解】【题型】一、有理数概念理解例1、在下列实数：2π227、﹣0.0010001中，有理数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【提示】由题意根据有理数的定义：整数与分数统称有理数，进行提示即可判断． 【详解】解：34，227，﹣0.0010001是有理数，其它的是无理数．有理数有4个. 故选：D ．【题型】二、用数轴上的点表示有理数例2、如图，数轴上两点,M N 所对应的实数分别为,m n ，则m n -的结果可能是（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．3【答案】C【提示】根据数轴确定m 和n 的范围，再根据有理数的加减法即可做出选择． 【详解】解：根据数轴可得0＜m ＜1，2-＜n ＜1-，则1＜m n -＜3。

第1讲有理数教学目标1、掌握有理数的分类,学会把有理数对应的点画在数轴上；2、掌握相反数、绝对值、倒数的求法,会比较有理数的大小；3、掌握有理数的大小比较；4、掌握有理数的加减乘除幂的运算法则，并会灵活解题。

正数和负数⒈正数和负数的概念负数：比0小的数正数：比0大的数 0既不是正数，也不是负数注意：①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。

（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断）②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。

所以省略“+”的正数的符号是正号。

2.具有相反意义的量若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃3.0表示的意义⑴0表示“没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人；⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。

有理数1.有理数的概念⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）⑵正分数和负分数统称为分数⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。

理解：只有能化成分数的数才是有理数。

①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。

②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。

注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。

2.有理数的分类⑴按有理数的意义分类⑵按正、负来分正整数正整数整数 0 正有理数负整数正分数有理数有理数0（0不能忽视）正分数负整数分数负有理数负分数负分数总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）②负整数、0统称为非正整数③正有理数、0统称为非负有理数④负有理数、0统称为非正有理数数轴⒈数轴的概念规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。

第一章 有理数考点一、实数的概念及分类 （3分）1、实数的分类正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数实数 负有理数正无理数无理数 无限不循环小数负无理数2、无理数：32,7，3π+8，sin60o 。

第二章 整式的加减考点一、整式的有关概念 （3分）1、单项式只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。

注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如b a 2314-，这种表示就是错误的，应写成b a 2313-。

一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

如c b a 235-是6次单项式。

考点二、多项式 （11分）1、多项式几个单项式的和叫做多项式。

其中每个单项式叫做这个多项式的项。

多项式中不含字母的项叫做常数项。

多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。

2、同类项所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。

几个常数项也是同类项。

第三章 一元一次方程考点一、一元一次方程的概念 （6分）1、一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程）为未知数，（0a x 0≠=+b ax 叫做一元一次方程的标准形式，a 是未知数x 的系数，b 是常数项。

第四章 图形的初步认识考点一、直线、射线和线段 （3分）1、点和直线的位置关系有线面两种：①点在直线上，或者说直线经过这个点。

②点在直线外，或者说直线不经过这个点。

2、线段的性质（1）线段公理：所有连接两点的线中，线段最短。

也可简单说成：两点之间线段最短。

（2）连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离。

（3）线段的中点到两端点的距离相等。

（4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。

3、线段垂直平分线的性质定理及逆定理垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。

线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。

第一章有理数知识点、考点、难点总结归纳有理数是数学中的一个重要概念，它是整数和分数的统称。

在初中数学的学习中，有理数占据着基础且关键的地位。

接下来，我们将对有理数的知识点、考点和难点进行详细的总结归纳。

一、有理数的定义和分类有理数是能够表示为两个整数之比的数，包括整数、有限小数和无限循环小数。

按照符号分类，有理数可以分为正有理数、零和负有理数。

正有理数包括正整数和正分数，负有理数包括负整数和负分数。

需要注意的是，零既不是正数也不是负数，但它是有理数。

二、有理数的数轴表示数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线。

任何一个有理数都可以在数轴上找到对应的点，反过来，数轴上的点也都对应着一个有理数。

在数轴上，右边的数总比左边的数大。

利用数轴可以比较有理数的大小，也可以进行有理数的加减运算。

三、有理数的相反数只有符号不同的两个数互为相反数。

例如，5 的相反数是－5，－3 的相反数是 3。

零的相反数是零。

互为相反数的两个数之和为零。

四、有理数的绝对值绝对值的定义是：数轴上表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。

正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零。

例如，｜5| ＝ 5，｜－3| ＝ 3，｜0| ＝ 0。

绝对值具有非负性，即任何有理数的绝对值总是大于或等于零。

五、有理数的比较大小正数大于零，零大于负数，正数大于负数。

两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

例如，比较－5 和－3 的大小，因为｜－5| ＝ 5，｜－3| ＝ 3，5 ＞ 3，所以－5 ＜－3。

六、有理数的加法同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

异号两数相加，绝对值相等时和为零；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

一个数同零相加，仍得这个数。

例如，3 ＋ 5 ＝ 8，－3 ＋（－5) ＝－8，3 ＋（－5) ＝－2，－3 ＋ 5 ＝ 2，0 ＋ 5 ＝ 5。

七、有理数的减法减去一个数，等于加上这个数的相反数。

有理数知识点总结（2016）第一章有理数1.1正数和负数一、概念1、正数：大于零的数，有时根据需要在正数前面加“+”（正号）2、负数：在正数前面加上“—”（负号）的数说明：一个数前面的“+”“—”叫做它的号，其中“+”有时可以省略，但仍然表示正数，有时“+”是为了强调它是正数，但“—”号是绝对不能省略的。

3、0既不是正数也不是负数，它是正负数的分界。

说明：关于0的总结——实数，自然数，有理数，整数，非正数，非负数，偶数，相反数是本身，没有倒数，绝对值是本身，正负数分界二、实际应用在解决一些实际问题时，可以认为规定具有相反意义的量的正负。

例如：收入为正，支出为负，收支平衡为0 零上为正，零下为负，分界为0 向北（东）走为正，向南（西）走为负，原地不动为0 加分为正，扣分为负，不加不扣为0 逆时针为正，顺时针为负超标为正，低标为负，标准为0 地上为正，地下为负，地面基准为0 盈余为正，亏空为负，收支平衡为0 水位上升为正，水位下降为负，水平面为0 高于平均分为正，低于平均分为负增加为正，减少为负，不增不减为0 海平面以上为正，以下为负，海平面记为0三、易错易误点1、-a一定是负数么？答案：不一定，需要分类分析解析：当a大于0时，-a就是负数；当a等于0时，-a为0；当a小于0时，-a是正数因此，a不一定是正数也不一定是负数，判断字母的正负时，需要分类讨论，也不能忽略0的存在。

2、海拔0米并不表示没有海拔，而是说海拔中海平面的平均高度为0米。

3、非正数：0和负数非负数：0和正数1.2 有理数1、概念1、有理数：正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数（含有限小数和无限循环小数）的形式，这样的数称为有理数。

2、无理数：既不是正数也不是分数，就一定不是有理数。

如无限不循环小数π=3.1415926…它不能化成分数形式。

2、分类1、按定义分类；有理数分为整数（正整数、0、负整数）；分数（正分数、负分数）2、按性质符号分类；有理数分为正有理数（正整数、正分数）、0、负有理数（负整数、负分数）三、数轴1、定义：数轴是一条可以向两端无限延伸的直线规定三要素——原点，正方向，单位长度注意“规定”二字，是说三要素是根据实际需要认为规定的。

初一数学有理数知识点与经典例题一、有理数知识点。

（一）有理数的概念。

1. 有理数的定义。

- 整数和分数统称为有理数。

整数包括正整数、0、负整数；分数包括有限小数和无限循环小数。

例如：5是正整数，属于有理数； - 3是负整数，属于有理数；(1)/(2)是分数，属于有理数；0.25（有限小数，可化为(1)/(4)）也是有理数。

2. 有理数的分类。

- 按定义分类：- 有理数整数正整数 0 负整数分数正分数负分数- 按性质符号分类：- 有理数正有理数正整数正分数 0 负有理数负整数负分数（二）数轴。

1. 数轴的定义。

- 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

2. 数轴上的点与有理数的关系。

- 所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理数（例如√(2)等无理数也可以用数轴上的点表示）。

一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数 - a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。

（三）相反数。

1. 相反数的定义。

- 只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

特别地，0的相反数是0。

例如，3和 - 3互为相反数，-(1)/(2)和(1)/(2)互为相反数。

2. 相反数的性质。

- 互为相反数的两个数的和为0，即若a与b互为相反数，则a + b=0。

（四）绝对值。

1. 绝对值的定义。

- 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作| a|。

2. 绝对值的性质。

- 当a>0时，| a|=a；当a = 0时，| a|=0；当a<0时，| a|=-a。

例如，|3| = 3，| - 3|=3，|0| = 0。

- 非负性：| a|≥s lant0。

（五）有理数的大小比较。

1. 法则。

- 正数大于0，0大于负数，正数大于负数。

- 两个负数，绝对值大的反而小。

例如，比较 - 2和 - 3，| - 2|=2，| - 3| = 3，因为2<3，所以 - 2>- 3。

有理数知识点总结（2016 ）第一章有理数1.1正数和数一、概念1 、正数：大于零的数，有根据需要在正数前面加“+”（正号）2 、数：在正数前面加上“—（” 号）的数明：一个数前面的“+”“—叫”做它的号，其中“+”有可以省略，但仍然表示正数，有“+”是了它是正数，但“—”号是不能省略的。

3 、0 既不是正数也不是数，它是正数的分界。

明：关于0 的——数，自然数，有理数，整数，非正数，非数，偶数，相反数是本身，没有倒数，是本身，正数分界二、用在解决一些，可以定具有相反意的量的正。

例如：收入正，支出，收支平衡0 零上正，零下，分界 0 向北（）走正，向南（西）走，原地不0 加分正，扣分，不加不扣0 逆正，超正，低，准0 地上正，地下，地面基准0 盈余正，空，收支平衡0 水位上升正，水位下降，水平面0 高于平均分正，低于平均分增加正，减少，不增不减0 海平面以上正，以下，海平面0三、易易点1 、-a 一定是数么？答案：不一定，需要分分析解析：当a大于0，-a就是数；当 a 等于 0 ， -a0 ；当 a 小于 0 ，-a 是正数因此，a不一定是正数也不一定是数，判断字母的正，需要分，也不能忽略0 的存在。

2 、海拔 0 米并不表示没有海拔，而是海拔中海平面的平均高度0 米。

3、非正数：0和数非数：0和正数1.2有理数一、概念1 、有理数：正整数，0，整数，正分数，分数都可以写成分数（含有限小数和无限循小数）的形式，的数称有理数。

2 、无理数：既不是正数也不是分数，就一定不是有理数。

如无限不循小数π=3.1415926⋯它不能化成分数形式。

二、分1 、按定分；有理数分整数（正整数、0、整数）；分数（正分数、分数）2 、按性符号分；有理数分正有理数（正整数、正分数）、0、有理数（整数、分数）三、数1 、定：数是一条可以向两端无限延伸的直定三要素——原点，正方向，位度注意“ 定”二字，是三要素是根据需要定的。

曙光教育有理数章节知识点归纳总结一、基本运算和基本看法自己之迷①倒数是它自己的数是±1②绝对值是它自己的数是非负数（正数和0）③平方等于它自己的数是0， 1④立方等于经自己的数是±1， 0⑤偶数次幂等于自己的数是0、 1⑥奇数次幂等于自己的数是±1， 0⑦相反数是它自己的数是0数之最①最小的正整数是 1②最大的负整数是 -1③绝对值最小的数是0④平方最小的数是0⑤最小的非负数是0⑥最大的非正数0⑦没有最大和最小的有理数⑧没有最大的正数和最小的负数例、填空：①两个互为相反数的数的和是_____；② ____与它绝对值的差为0；③两个互为相反数的数的商是___； (0 除外 )④ ____ 的倒数等于它自己；⑤ ____的绝对值与它自己互为相反数；⑥____ 的平方与它的立方互为相反数；⑦ _ __ 的倒数与它的平方相等；⑧ ____的平方是 4， _____的绝对值是 4；1、（ 1）、(6) ( 9) ___，（ 2）、(6) ( 9) ___ ，（ 3）、(9)___，（ 4）、(14)___，( 6)( 56)（ 5）、1647___ ，（6）、64___ ，（ 7）、( 3)3____ ，（ 8）、(2) 4____ ，（ 9）、24____ ，（10）、(1) 2008____ ，（ 11）、(2) 3____ ，（12）、655___ ，（ 13）、11___ ，（ 14）、5) (3)___，32(610（ 15）、0.253___ ，（16）、 0.54____ ，8（ 17）、55___ ，（18）、10___，20（ 19）、(5.9)( 6.1)___ ，（ 20）、(7)(56)0( 13)___ 。

（ 21）、(2) 2=--------------（22）、32=--------------（ 23）、(2) 2=--------------（ 24）、 2 2=--------------3（ 25）、23=--------------（ 26 ）、22=--------------3（ 27）、( 1)2009=-----------（ 28）、12007=------------（ 29 ） ()2＝16，（ 30 ） 1 4 1 3（ 31 ）3 2 24（ 32 ）(23) 21 10（ 33 ）22212225（ 34 ）5222（ 35 ）1曙光教育2、下面有四种说法，其中正确的选项是 （ ）A. 一个有理数奇次幂为负，偶次幂为正B. 三数之积为正，则三数必然都是正数C. 两个有理数的加、减、乘、除（除数不为零） 、乘方结果仍是有理数D. 一个数倒数的相反数，与它相反数的倒数不相等 3、以下判断错误的选项是（ ）（ A ）任何数的绝对值必然是正数； （ B ）一个负数的绝对值必然是正数； （ C ）一个正数的绝对值必然是正数；（ D ）任何数的绝对值都不是负数；4、以下四个命题：（ 1）任何有理数都有相反数； （2） 一个有理数和它的相反数之间最少还有一个有理数；（ 3）任何有理数都有倒数； （ 4）一个有理数如果有倒数，则它们之间最少还有一个有理数； （ 5）数轴上点都表示有理数； （ 6）任何一个有理数的平方 必 是 正 数 。

有理数知识点总结（2016 ）第一章有理数1.1正数和数一、概念1 、正数：大于零的数，有根据需要在正数前面加“+”（正号）2 、数：在正数前面加上“—（” 号）的数明：一个数前面的“+”“—叫”做它的号，其中“+”有可以省略，但仍然表示正数，有“+”是了它是正数，但“—”号是不能省略的。

3 、0 既不是正数也不是数，它是正数的分界。

明：关于0 的——数，自然数，有理数，整数，非正数，非数，偶数，相反数是本身，没有倒数，是本身，正数分界二、用在解决一些，可以定具有相反意的量的正。

例如：收入正，支出，收支平衡0 零上正，零下，分界 0 向北（）走正，向南（西）走，原地不0 加分正，扣分，不加不扣0 逆正，超正，低，准0 地上正，地下，地面基准0 盈余正，空，收支平衡0 水位上升正，水位下降，水平面0 高于平均分正，低于平均分增加正，减少，不增不减0 海平面以上正，以下，海平面0三、易易点1 、-a 一定是数么？答案：不一定，需要分分析解析：当a大于0，-a就是数；当 a 等于 0 ， -a0 ；当 a 小于 0 ，-a 是正数因此，a不一定是正数也不一定是数，判断字母的正，需要分，也不能忽略0 的存在。

2 、海拔 0 米并不表示没有海拔，而是海拔中海平面的平均高度0 米。

3、非正数：0和数非数：0和正数1.2有理数一、概念1 、有理数：正整数，0，整数，正分数，分数都可以写成分数（含有限小数和无限循小数）的形式，的数称有理数。

2 、无理数：既不是正数也不是分数，就一定不是有理数。

如无限不循小数π=3.1415926⋯它不能化成分数形式。

二、分1 、按定分；有理数分整数（正整数、0、整数）；分数（正分数、分数）2 、按性符号分；有理数分正有理数（正整数、正分数）、0、有理数（整数、分数）三、数1 、定：数是一条可以向两端无限延伸的直定三要素——原点，正方向，位度注意“ 定”二字，是三要素是根据需要定的。

有 理 数考点1、正数和负数正数：大于零的数负数：小于零的数（在正数前面加上负号“—”的数）注意：（1）0既不是正数也不是负数，它是正负数的分界点(2）对于正数和负数，不能简单理解为带“+"号的数是正数,带“—”号的数是负数 观察下面依次排列的一列数，请接着写出后面的数，你能说出第15个、第101个、第2010个的数是什么？1)、—1、—2、+3、-4、-5、+6、—7、—8、 、 、 ……2）、—1、21、—3、41、—5、61、—7、81、 、 、 …… 易错点：1)误认为凡带正号的数就是正数，误认为凡带负号的数就是负数例：a 一定是正数吗？2）对于“0”的含义理解不准确例:下列说法错误的是（ ）A 、0是自然数B 、0是整数C 、0是偶数D 、海拔0米表示没有海拔 考点2、有理数1、有理数的分类按定义分：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0 按性质符号分:有理数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数0 注意：1、有理数只包括整数和分数,无限不循环小数不是有理数,如圆周率就不是有理数了。

2、0是整数不是分数例1、下列说法正确的是( ）A 有理数分为正数和负数B 有理数—a一定表示负数C 正整数、正分数、负整数、负分数统称为有理数D 有理数包括整数和分数2、数轴（重点)定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线数轴的含义：(1）数轴是一条直线，可以向两边无限延伸(2）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度、这三者缺一不可（3）数轴一般取右（或向上）为正方向，数轴的原点的选定，正方向的取向，单位长度大小的确定都是根据实际需要规定的.(4)同一数轴的单位长度必须一致例1、如图，数轴的一部分被墨水污染，被污染的部分内含有的整数为___________3-3.例2、文具店、书店和玩具店一次坐落在一条笔直的东西走向的大街上，文具店位于书店西边20m处，玩具店位于书店东边100m处。

第一章《有理数》知识点有理数的分类分数：有限小数，无限循环小数，百分数。

特别的，π不是有理数。

一、基本概念1、正数与负数①表示大小②在实际中表示意义相反的量：上升5米记为5； -8则表示下降8米。

③带“-”号的数并不都是负数，如-a可以是正数、负数或0.④0既不是正数也不是负数。

0是整数，也是自然数。

例.某圆形零件的直径要求是（30±0.1mm），下表中6个已生产出来的零件圆孔直径的检测结(2)哪些零件的误差最小？2、数轴(1)三要素：原点、正方向、单位长度;(2)数轴上的点与有理数：①数轴上的点与有理数一一对应②右边的数＞左边的数;例1：数轴上的两点A、B分别表示－6和－3，那么A、B两点间的距离是（）A、－6+(－3)B、－6－(－3)C、|－6+(－3)|D、|－3－(－6)|例2数轴上表示整数的点称为整点某数轴的单位长度为1cm，若在数轴上随意画出一条长2005cm长的线段AB，则线段AB盖住的的整点有（）个A、2003或2004B、2004或2005；C、2005或2006；D、2006或20073、相反数①只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，0的相反数是0 ②a的相反数-a③a与b互为相反数：a+b=0 ④a-b的相反数是：-a+b或b-a⑤a+b的相反数是：-a-b ⑥求一个数的相反数方法：在这个数的前面加“-”号.⎧⎨⎩⑦在数轴上，表示相反数的两个点位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。

例：（- 2）2004+（- 2）2005=4、绝对值①一般地，数轴上表示数a 的点与原点距离，表示成｜a ｜。

几何意义：从数轴上看，一个实数的绝对值是表示这个数的点离开原点距离。

a （a ≥0） 绝对值是它本身的数是非负数（正数和0）②｜a ｜= -a （a ≤0） 绝对值是它相反的数是非正数（负数和0） 其它简单变形：｜a+b ｜=a+b,则a+b 为正数 例 若｜-2a ｜=-2a,则a 为：③|a|是重要的非负数，即|a|≥0;注意：|a|·|b|=|a ·b|；例1：若ab ≠0,则b a a b +的取值不可能是（ ）A 0B 1C 2D -2例2：如果有理数a,b 满足∣ab －2∣+(1－b)2=0，试求1111(1)(1)(2)(2)(2007)(2007)ab a b a b a b ++++++++++的值。

有理数知识点及经典题型有理数的基本知识点及经典题型如下：1. 有理数定义：有理数是可以表示为两个整数的比值的数。

包括整数、分数和小数。

2. 有理数的加减乘除：- 加法：同号相加，异号相减取绝对值相加，结果取两数的符号。

- 减法：加上被减数的相反数即可。

- 乘法：符号相同时，两数相乘的结果是正数；符号不同时，两数相乘的结果是负数。

- 除法：符号相同时，两数相除的结果是正数；符号不同时，两数相除的结果是负数。

注意除数不能为0。

3. 有理数的比较：- 同号两数比较大小，绝对值大的数更大。

- 异号两数比较大小，正数大于负数。

4. 有理数的绝对值：- 正数的绝对值就是它本身。

- 负数的绝对值是其相反数。

5. 有理数的约分：- 化简分数，将分子和分母的最大公约数约去。

6. 有理数的四则混合运算：- 先进行括号内的运算，再进行乘除法运算，最后进行加减法运算。

7. 解有理数的应用问题：- 求两个有理数的和、差、积或商。

- 求多个有理数的和、差、积或商。

- 根据已知条件设置方程并求解。

经典题型示例：1. 求两个有理数的和：已知 a = -5/6，b = 2/3，求 a + b。

解答：a + b = (-5/6) + (2/3) = (-5/6) + (4/6) = -1/6。

2. 求两个有理数的差：已知 a = 2/3，b = 5/6，求 a - b。

解答：a - b = (2/3) - (5/6) = (2/3) - (10/6) = -4/6 = -2/3。

3. 求两个有理数的积：已知 a = -1/2，b = 3/4，求 a * b。

解答：a * b = (-1/2) * (3/4) = (-1 * 3) / (2 * 4) = -3/8。

4. 求两个有理数的商：已知 a = -5/6，b = 2/3，求 a / b。

解答：a / b = (-5/6) / (2/3) = (-5/6) * (3/2) = (-5 * 3) / (6 * 2) = -15/12 = -5/4。

有理数知识点归纳及典型例题一、正负数有理数分为正数、负数和0，其中正整数、负整数、0都属于整数；分数属于有理数。

有理数是指可以表示成两个整数比值的数，例如2、-5/3都是有理数。

基础练：1.正整数集{1.25.6/7}；正有理数集{1.25.6/7}；负有理数集{-789.-20.-590}；负整数集{-789.-20}；自然数集{1.25}；正分数集{6/7}；负分数集{-5/3}。

2.元表示价格上涨，原价为76元的食用油现在的卖价无法确定，需要给出更多信息。

二、数轴数轴是一条直线，上面的每个点都表示一个实数。

在数轴上，规定原点为0，正方向为右，负方向为左。

基础练：1.图中正确的数轴为D。

2.-|2|-4>1.3.数轴上的点可以表示有理数。

4.(1) 比-3大的负整数是-2；(2) -3,-2,-1,0,1,2；(3) 最大的负整数是-1，最小的正整数是1，最大的非正数是0；(4) 6个点，分别表示-3，-2，-1，1，2，3.5.点A表示-3.三、相反数相反数指的是互为相反的两个数，例如2和-2.一个数a的相反数为-a，互为相反数的两个数和为0.基础练：1.-(-5)=5；-(-(-8))=-8；-1/2的相反数是1/2；a的相反数是-a；-的相反数的倒数是-1/2.2.a和b互为相反数，则a+b=0.3.(1) -(-13)=13；(2) a=-1；(3) x=6；(4) x=-9.1.A。

-52 = 25.B。

(-1)1996 = -1.C。

(-1)2003 - (-1) = -1.D。

(-1)99 - 1 = -2正确答案：A2.此题需要讨论符号优先级，按照先乘除后加减的原则，应该先算32×（-6），再加上2，即：2+32×（-6）=2-192=-190.3.小幅度改写：① -3×[-5-(2/9)] = -3×[-45/9-(2/9)] = -3×[-47/9] = 141/9 = 47/3② (-1)×2+(-2)÷4 = -1×2+(-0.5) = -2.5③ -5³-3×(-4) = -125+12 = -113④ 4×(-1)×(1/5)÷(-3) = 4/15⑤ (-4)²-(3+3×2) = 16-9 = 7⑥ [-4×(-3)] = 12⑦ [2-(1-(-2/5))]×24 = (9/5)×24 = 216/5⑧ [-10+8×(-2)²-(-4)×(-3)]÷(-5) = [-10+32+12]/(-5) = -2⑨ -0.252÷(-0.5)³+(-1)¹⁰ = -0.252÷(-0.125)+1 = -2.016+1 = -1.016⑩ -3×(-2)²-4×(1-(-1))÷2 = -3×4-4×2/2 = -12-4 = -164.此题需要小幅度改写：1☆ 0 = 0×10⁰。