四边形(2)
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山大附中07级数学辅导资料
第五讲 矩形、菱形和正方形
姓名_____________ 学号_______
一、知识梳理
1.从以下四个方面总结菱形、矩形、正方形的性质，完成下表：
2. （1）矩形：①有一个角是___________的平行四边形；②有___________角是直角的四边形；
③对角线___________的平行四边形.
（2）菱形：①有一组邻边___________的平行四边形；②四条边都___________的平行四边形；
③对角线___________的平行四边形.
（3）正方形：①有一个角是___________角，___________的平行四边形；
②一组邻边___________的矩形；③一个角是___________的菱形 ④对角线________________的平行四边形.
二、中考热点
例1(08扬州)如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是
A 当AB=BC 时，它是菱形
B 当A
C ⊥B
D 时，它是菱形 C 当∠ABC=900时，它是矩形 D 当AC=BD 时，它是正方形
例2（08太原）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC BD ，交于点O ，
已知120 2.5AOD AB ∠==o
，，则AC 的长为 ．
例3（08兰州）如图，平行四边形ABCD 中，AB AC ⊥，1AB =，BC =．对角线AC BD ，相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转，分别交BC AD ，于点E F ，． （1）证明：当旋转角为90o
时，四边形ABEF 是平行四边形；
（2）试说明在旋转过程中，线段AF 与EC 总保持相等；
（3）在旋转过程中，四边形BEDF 可能是菱形吗？如果不能，请说明理由； 如果能，说明理由并求出此时AC 绕点O 顺时针旋转的度数．
A
B
D
O
A
B
C
D O F E
O
G
F
B D
A
C
E 例4（08深圳）如图，矩形纸片ABCD 中，8AB =，将纸片折叠，使顶点B 落在边AD 的E 点上，折痕的一端G 点在边BC 上，10BG =．
（1）当折痕的另一端F 在AB 边上时，如图（1），求EFG △的面积； （2）当折痕的另一端F 在AD 边上时，如图（2），证明四边形BGEF 为菱形，并求折痕GF 的长．
三、巩固提高
1、（08威海）将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折 叠，得到菱形AECF ．若AB ＝3，则BC 的长为 ( ) A 1 B 2 C
2 D
3
2、（08南宁）如图2，将矩形纸片ABCD （图1）按如下步骤操作：（1）以过点A 的直线为折痕折
叠纸片，使点B 恰好落在AD 边上，折痕与BC 边交于点E （如图2）；（2）以过点E 的直线为折痕折叠纸片，使点A 落在BC 边上，折痕EF 交AD 边于点F （如图3）；（3）将纸片收展平，那么∠AFE 的度数为：
（A ）60° （B ）67.5° （C ）72° （D ）75°
3、（08大连）如图，P 为菱形ABCD 的对角线上一点，PE ⊥AB 于点E ， PF ⊥AD 于点F ，PF =3cm ，则P 点到AB 的距离是 cm .
4、（08恩施）已知菱形的两对角线长分别为6cm 和8cm ，则菱形的面积为 cm 2．
5、（08重庆）如图，在正方形纸片ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，
折叠正方形纸片ABCD ，使AD 落在BD 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合．
展开后，折痕DE 分别交AB 、AC 于点E 、G .连接GF ．下列结论：
①∠AGD =112.5°；②AD ：AE =2；③S △AGD=S △OGD ；
④四边形AEFG 是菱形；⑤BE=2OG .
其中正确结论的序号是 ．
A
C
D F P A
B F
E (B ) C
G 图（1）
A
B
D
F
E
O
D
6、（08上海）如图，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC BD ，交于点O ，E 是BD 延长线上的
点，且ACE △是等边三角形． （1）求证：四边形ABCD 是菱形；
（2）若2AED EAD ∠=∠，求证：四边形ABCD 是正方形．
7、（08河南）如图，在四边形ABFC 中，ACB ∠=90BC ,︒的垂直平分线 EF 交BC 于点D ，交AB 于点E ，且CF=AE ． (1) 试探究四边形BECF 是什么特殊的四边形；
(2) 当A ∠的大小满足什么条件时，四边形BECF 是正方形?
请回答并证明你的结论．
8、 (08咸宁）如图，在△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线
MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的角平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ． （1）求证：EO =FO ；
（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是
矩形？并证明你的结论．
E D B A O
四、综合拓展
（2008盐城）如图甲，在△ABC 中，∠ACB 为锐角．点D 为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ．
（1）如果AB =AC ，∠BAC =90º． 解答下列问题：
①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），如图乙，线段CF 、BD 之间的关系为 ． ②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？
（2）如果AB≠AC ，∠BAC≠90º，点D 在线段BC 上运动．
试探究：当△ABC 满足一个什么条件时，CF ⊥BC （点C 、F 重合除外）？画出相应图形，并说
明理由．（画图不写作法）
A B C D E
F
图甲 图乙 F E
B A F E D
C B A 图丙。
