东北育才高中2024-2025学年度上学期高一年级数学科第一次月考试卷时间:120分钟 满分:150分一、单选题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的.1.已知集合,则中元素个数为( )A.2B.3C.4D.62.设集合,则集合的真子集的个数为( )A.3B.4C.15D.163.命题“,不等式”为假命题的一个必要不充分条件是( )A.B.C. D.4.设,则下列命题正确的是( )A.若,则B.若,则C.若则D.若,则5.若集合,若,则实数的取值范围是( )A.B.C.D.6.对于实数,当且仅当时,规定,则不等式的解集是()A. B.C. D.7.已知,则的最小值为( )(){}(){}*,,,,,8A x y x y y x B x y x y =∈≥=+=N ∣∣A B ⋂{}{}{}1,2,3,4,5,,,A B M xx a b a A b B ====+∈∈∣M x ∃∈R 2210ax x -+≤0a >1a >102a <<2a >,a b ∈R ,x y a b >>a x b y ->-a b >11a b<,x y a b >>ax by >a b >22a b >{}30,101x A xB x ax x ⎧⎫-===+=⎨⎬+⎩⎭∣B A ⊆a 13⎧⎫-⎨⎬⎩⎭1,13⎧⎫-⎨⎬⎩⎭10,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭10,,13⎧⎫-⎨⎬⎩⎭x ()1n x n n ≤<+∈N []x n =[]24[]36450x x -+<{28}xx ≤<∣31522xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭{}27xx ≤≤∣{27}x x <≤∣0,0,23x y x y >>+=23x yxy+A. B.8.方程至少有一个负实根的充要条件是( )A. B.C.D.或二、多选题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分,9.设均为非空集合,且满足,则下列各式中正确的是( )A. B.C.D.10.下列四个命题中正确的是( )A.由所确定的实数集合为B.同时满足的整数解的集合为C.集合可以化简为D.中含有三个元素11.已知关于的不等式的解集为,则下列结论正确的是()A. B.的最大值为C.的最小值为8 D.的最小值为三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.12.的解集是__________.13.某班举行数学、物理、化学三科竞赛,每人至少参加一科,已知参加数学竞赛的有27人,参加物理竞赛的有25人,参加化学竞赛的有27人,其中同时只参加数学、物理两科的有10人,同时只参加物理、化学两科的有7人,同时只参加数学、化学两科的有11人,而参加数学、物理、化学三科的有4人,则全班共有__________人.3-11-1+2210ax x ++=01a <≤1a <1a ≤01a <≤0a <A B U 、、A B U ⊆⊆()U A B U ⋃=ð()()U U U A B B ⋂=ððð()U A B ⋂=∅ð()()U U A B U⋃=ðð(),a b a b ab+∈R {}2,0,2-240,121x x x +>⎧⎨+≥-⎩{}1,0,1,2-(){},3216,,x y x y x y +=∈∈N N ∣()()(){}0,8,2,5,4,26,3A aa a ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭N Z x ()()()2323100,0a m x b m x a b +---<>>11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭21a b +=ab 1812a b +224a b +1222150x x -->14.已知关于的不等式(其中)的解集为,若满足(其中为整数集),则使得集合中元素个数最少时的取值范围是__________.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.(本小题13分)已知集合为全体实数集,或.(1)若,求;(2)若,求实数的取值范围.16.(本小题15分)已知全集,集合,集合.(1)若,求实数的取值集合;(2)若集合,且集合满足条件__________(从下列三个条件中任选一个作答),求实数的取值集合.条件①是的充分不必要条件:②是的必要不充分条件:③,使得.17.(本小题15分)设,且.(1介于之间;(2)求;(3)你能设计一个比的吗?并说明理由.18.(本小题17分)对于二次函数,若,使得成立,则称为二次函数的不动点.(1)求二次函数的不动点:(2)若二次函数有两个不相等的不动点,且,求的最小值.x ()()2640mx m x --+<m ∈R A A B ⋂=Z Z B m U {2M xx =<-∣{}5},121x N x a x a >=+≤≤-∣3a =()U M N ⋃ðU N M ⊆ða U =R A x y ⎧⎪==⎨⎪⎩()(){}2440B x x m x m =---<∣B =∅m B ≠∅,A B m x A ∈x B ∈x A ∈x B ∈12,x A x B ∀∈∃∈12x x =10a >1a ≈21111a a =++12,a a 12,a a 2a 3a ()20y ax bx c a =++≠0x ∃∈R 2000ax bx c x ++=0x ()20y ax bx c a =++≠222y x x =+-()2221y x a x a =-++-12,x x 12,0x x >2112x x x x +19.(本小题17分)已知是非空数集,如果对任意,都有,则称是封闭集.(1)判断集合是否为封闭集,并说明理由:(2)判断以下两个命题的真假,并说明理由:命题:若非空集合是封闭集,则也是封闭集;命题:若非空集合是封闭集,且,则也是封闭集:(3)若非空集合是封闭集合,且为实数集,求证:不是封闭集.A ,x y A ∈,x y A xy A +∈∈A {}{}0,1,0,1BC ==-p 12,A A 12A A ⋃q 12,A A 12A A ⋂≠∅12A A ⋂A ,A ≠R R A R ð东北育才高中2024-2025学年度上学期高一年级数学科第一次月考答案【解析】1.解:在集合中,观察集合的条件,当是正整数且时,有等4个元素,则中元素个数为4个.故选C.2.解:由题意可知,集合,集合中有4个元素,则集合的真子集有个,故选C.3.解:命题“,不等式”为假命题,则命题“,不等式”为真命题,所以,解得,所以使得命题“,不等式”为假命题,则实数的取值范围为1,则命题“,不等式”为假命题的一个必要不充分条件是,故选:A.4.解:A :令,则,故错误;B :令,则,故错误;C :令,则,故错误;D :因为,所以即,故正确;故选D.5.解:由题可知:.当时,显然不成立即,则满足;B 8x y +=A ,x y y x ≥()()()()1,7,2,6,3,5,4,4A B ⋂{}5,6,7,8M =M 42115-=x ∃∈R 2210ax x -+≤x ∀∈R 2210ax x -+>0Δ440a a >⎧⎨=-<⎩1a >x ∃∈R 2210ax x -+≤a a >x ∃∈R 2210ax x -+≤0a >1,3,2,0x y a b ==-==13a x b y -=<-=0,0a b ><11a b>0,1,1,0x y a b ==-==0ax by ==a a b >…22||a b >22a b >{}3031x A xx ⎧⎫-===⎨⎬+⎩⎭0a =10…B =∅B A ⊆当时,,由可得:;综上所述实数的取值范围为.故选C.6.解:由,根据的定义可知:不等式的解集是.故选A.7.解:因为,则,当且仅当时,即当,且,等号成立,故的最小值为故选B.8.当时,方程为有一个负实根,反之,时,则于是得;当时,,若,则,方程有两个不等实根,,即与一正一负,反之,方程有一正一负的两根时,则这两根之积小于,于是得,若,由,即知,方程有两个实根,0a ≠1B x x a ⎧⎫==-⎨⎬⎩⎭B A ⊆1133a a -=⇒=-a 10,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭[]24[]36450x x -+<[]()[]()232150x x ⇒--<[]31522x ⇒<<[]x []24[]36450x x -+<{28}xx <∣…0,0,23x y x y >>+=()22222322111x x y y x y x xy y x y xy xy xy y x +++++===+++=+…222x y =3x =-y =23x y xy+1+0a =210x +=12x =-12x =-0,a =0a =0a ≠Δ44a =-0a <Δ0>12,x x 1210x x a=<1x 2x 1a0,0a <0a <0a >Δ0≥01a <≤12,x x必有,此时与都是负数,反之,方程两根都为负,则,解得,于是得,综上,当时,方程至少有一个负实根,反之,方程至少有一个负实根,必有.所以方程至少有一个负实根的充要条件是.故选:9.解:因为,如下图所示,则,选项A 正确:,选项B 正确:,选项正确:,选项D 错误.故选ABC.10.解:分别取同正、同负和一正一负时,可以得到的值分别为,故A 正确;由得,12122010x x a x x a ⎧+=-<⎪⎪⎨⎪=>⎪⎩1x 2x 2210ax x ++=12,x x 1212Δ4402010a x x a x x a ⎧⎪=-≥⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩01a <≤01a <≤1a ≤2210ax x ++=2210ax x ++=1a ≤2210ax x ++=1a ≤CA B U ⊆⊆()U U U ,B A A B U ⊆⋃=ððð()()UUUA B B ⋂=ððð()U A B ⋂=∅ðð()()UUUA B A U ⋃=≠ððð,a b (),a b a b ab+∈R 2,2,0-240,121,x x x +>⎧⎨+≥-⎩22x -<≤所以符合条件的整数解的集合为,故B 正确;由,可以得到符合条件的数对有,故C 正确;当时,;当时,,当时,;当时,;当时,;当时,,所以集合含有四个元素,故D 错误,故选ABC.11.解:由题意,,且方程的两根为和,所以,所以,所以A 正确;因为,所以,可得,当且仅当时取等号,所以的最大值为B 正确;,当且仅当,即时取等号,所以的最小值为C 错误;,当且仅当时取等号,所以的最小值为,所以D 正确.故选ABD.12.解:由,,{}1,0,1,2-3216,,x y x y +=∈∈N N ()()()0,8,2,5,4,22a =666332a ==∈--N 1a =663331a ==∈--N 0a =662330a ==∈--N 1a =-66331a =∉-+N 2a =-6635a =∉-N 3a =-66136a ==∈-N A 2,1,0,3-30a m +>()()232310a m x b m x +---=1-12123111,12323b m a m a m--+=-⨯=-++32,231a m b m +=-=-21,a b +=0,0a b >>21a b +=≥18ab ≤122a b ==ab 1,8()121222255549b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+=+= ⎪⎝⎭22b a a b =13a b ==12a b+9,22222114(2)(2)22a b a b a b +=+≥+=122a b ==224a b +1222150x x -->2||2150x x ∴-->()()530x x ∴-+>解得:或(舍去),或,即所求的解集为,故答案为.13.解:设参加数学、物理、化学三科竞赛的人分别组成集合,各集合中元素的个数如图所示,则全班人数为.故答案为43.14.解:分情况讨论:当时,,解得;当时,,当且仅当解得或;当时,,当且仅当由,解得.因为,集合中元素个数最少,所以不符合题意;所以要使集合中元素个数最少,需要,解得.故答案为:.15.(本小题13分)5x >3x <-5x ∴<-5x >()(),55,∞∞--⋃+()(),55,∞∞--⋃+,,A B C 24510711443++++++=0m =()640x -+<{}4A xx =>-∣0m <()2266640,4m m x x m m m m ⎛⎫++-+>=+-<- ⎪⎝⎭…m =26{|m A x x m +=<4}x >-0m >2664m m m m+=+≥>m =()2640m x x m ⎛⎫+-+< ⎪⎝⎭264m A x x m ⎧⎫+⎪⎪=-<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭A B ⋂=Z B 0m ≤B 265m m +≤23m ≤≤{}23mm ∣……【答案】解:(1)当时,,所以或,又或,所以或;(2)由题可得,①当时,则,即时,此时满足;②当时,则,所以,综上,实数的取值范围为.16.(本小题15分)【答案】解:(1)若,则,解得,所以实数的取值集合为(2)集合,集合,则此时,则集合,当选择条件①时,是的充分不必要条件,有 ,则,且不能同时取等,解得,所以实数的取值集合为当选择条件②时,是的必要不充分条件,有 ,则,且不能同时取等,解得,所以实数的取值集合为当选择条件③时,,使得,有,则,解得,所以实数的取值集合为3a ={}45N xx =≤≤∣U {4N x x =<∣ð5}x >{2M xx =<-∣5}x >()U {4M N x x ⋃=<∣ð5}x >{}U 25M xx =-≤≤∣ðN =∅121a a +>-2a <U N C M ⊆N ≠∅12112215a a a a +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩23a ≤≤a {}3aa ∣…B =∅244m m =+2m =m {}2{}2200{45}A xx x x x =-++>=-<<∣∣B ≠∅2,m ≠2244(2)0m m m +-=->{}244B xm x m =<<+∣x A ∈x B ∈A B 24445m m ≤-⎧⎨+≥⎩1m <-m (),1∞--x A ∈x B ∈B A 24445m m ≥-⎧⎨+≤⎩11m -<≤m (]1,1-12,x A x B ∀∈∃∈12x x =A B ⊆24445m m ≤-⎧⎨+≥⎩1m ≤-m (],1∞--17.(本小题15分)【答案】解:(1)证明:.之间.(2比.(3)令,则比.证明如下:由(2.故比18.(本小题17分)【答案】解:(1)由题意知:,,解得,所以,二次函数的不动点为和1.(2)依题意,有两个不相等的正实数根,即方程有两个不相等的正实数根,所以,解得,所以,所以))12111101a a a a ⎫=-⋅--=<⎪+⎭12a a 、11a --1a -2a ∴1a 32111a a =++3a 2a 32a a -=--3a 2a 222x x x +-=()()120x x ∴-+=122,1x x =-=222y x x =+-2-()2221x a x a x -++-=()22310x a x a -++-=()2Δ(3)810a a =+-->12302a x x ++=>1a >12102a x x -⎛⎫=> ⎪⎝⎭121231,22a a x x x x +-+==()222121221121212122x x x x x x x x x x x x x x +-++==,当且仅当,即时等号成立,所以的最小值为6.19.(本小题17分)【答案】(1)解:对于集合,因为,所以是封闭集;对于集合,因为,所以集合不是封闭集;(2)解:对命题:令,则集合是封闭集,但不是封闭集,故错误;对于命题:设,则有,又因为集合是封闭集,所以,同理可得,所以,所以是封闭集,故正确;(3)证明:假设结论成立,设,若,矛盾,所以,所以有,设且,否则,所以有,矛盾,故假设不成立,原结论成立,证毕.()()()22231(1)41162132121212a a a a a a a a a +⎛⎫-+ ⎪-+-+++⎝⎭===---1822621a a -=++≥=-1821a a -=-5a =1221x x x x +{}0B =000,000B B +=∈⨯=∈{}0B ={}1,0,1C =-()112,112,C C -+-=-∉+=∉{}1,0,1C =-p {}{}122,,3,A xx k k A x x k k ==∈==∈Z Z ∣∣12,A A 12A A ⋃q ()12,a b A A ∈⋂1,a b A ∈1A 11,a b A ab A +∈∈22,a b A ab A +∈∈()()1212,a b A A ab A A +∈⋂∈⋂12A A ⋂2a A a A ∈⇒∈2R ()a A a A -∈⇒-∈R ðða A -∈0a a A -+=∈2R R b A b A ∈⇒∈ððR b A -∈ð2()b A b A -∈⇒-∈R 0b b A -+=∈ð。