2013年陕西省高考数学试卷(文科)

2013年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)文科数学注意事项:1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题, 第二部分为非选择题.2. 考生领到试卷后, 须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 设全集为R ,函数()f x M , 则C M R 为 (A) (－∞,1) (B) (1, + ∞) (C) (,1]-∞ (D) [1,)+∞2. 已知向量 (1,),(,2)a m b m ==, 若a //b , 则实数m 等于(A)(C)(D) 03. 设a , b , c 均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是(A) ·log log log a c c b a b = (B) ·log lo log g a a a b a b = (C) ()log g o lo g a a a b c bc = (D) ()log g og o l l a a a b b c c +=+4. 根据下列算法语句, 当输入x 为60时, 输出y 的值为(A) 25(B) 30 (C) 31 (D) 615. 对一批产品的长度(单位: mm )进行抽样检测,长度在区间[20,25)上的为一等品, 在区间[15,20)和区间和[30,35)上的为三等品. 用频率估计概率, 现从该批产品中随机抽取一件, 则其为二等品的概率为(A) 0.09 (B) 0.20 (C) 0.25 (D) 0.45 6. 设z 是复数, 则下列命题中的假命题是 (A) 若20z ≥, 则z 是实数 (B) 若20z <, 则z 是虚数 (C) 若z 是虚数, 则20z ≥(D)若z 是纯虚数, 则20z <7. 若点(x ,y )位于曲线y = |x |与y = 2所围成的封闭区域, 则2x －y 的最小值为 (A) －6 (B) －2 (C) 0 (D) 27. 已知点M (a ,b )在圆221:O x y +=外, 则直线ax + by = 1与圆O 的位置关系是 (A) 相切 (B) 相交 (C) 相离 (D) 不确定7. 设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为 (A) 直角三角形 (B) 锐角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定 10. 设[x ]表示不大于x 的最大整数, 则对任意实数x , y , 有(A) [－x ] = －[x ] (B) [x + 12] = [x ](C) [2x ] = 2[x ] (D) 1[][][2]2x x x ++=二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 双曲线221169x y -=的离心率为 .12. 某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为 . 13. 观察下列等式: 23(11)21(21)(22)213(31)(32)(33)2135+=⨯++=⨯⨯+++=⨯⨯⨯…照此规律, 第n 个等式可为 . 14. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x 为 (m ).15. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分) A . (不等式选做题) 设a , b ∈R , |a －b |>2, 则关于实数x 的不等式||||2x a x b -+->的解集是 .B . (几何证明选做题) 如图, AB 与CD 相交于点E , 过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P . 已知A C ∠=∠, PD = 2DA = 2, 则PE = .C . (坐标系与参数方程选做题) 圆锥曲线22x t y t ⎧=⎨=⎩ (t 为参数)的焦点坐标是 .三、解答题: 解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分） 16. (本小题满分12分)已知向量1(cos ,),,cos2),2x x x x =-=∈a b R , 设函数()·f x =a b . (Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.(Ⅱ) 求f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.17. (本小题满分12分)设S n 表示数列{}n a 的前n 项和.(Ⅰ) 若{}n a 为等差数列, 推导S n 的计算公式;(Ⅱ) 若11,0a q =≠, 且对所有正整数n , 有11nn q S q-=-. 判断{}n a 是否为等比数列.18. (本小题满分12分)如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O ⊥平面ABCD, 1AB AA ==1A(Ⅰ) 证明: A 1BD // 平面CD 1B 1; (Ⅱ) 求三棱柱ABD －A 1B 1D 1的体积.19. (本小题满分12分)P有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛, 由500名大众评委现场投票决定歌手名次, 根据年龄将大众评委分为5组,(Ⅰ) 为了调查评委对7, 其中从B组中抽取了6人.(Ⅱ) 在(Ⅰ)中, 若A , B , 现从这两组被抽到的评委中分别任选1人, 求这2人都支持1号歌手的概率.20. (本小题满分13分)已知动点M (x ,y )到直线l :x = 4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍. (Ⅰ) 求动点M 的轨迹C 的方程;(Ⅱ) 过点P (0,3)的直线m 与轨迹C 交于A , B 两点. 若A 是PB 的中点, 求直线m 的斜率.21. (本小题满分14分) 已知函数()e ,x f x x =∈R .(Ⅰ) 求f (x )的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程;(Ⅱ) 证明: 曲线y = f (x) 与曲线2112y x x =++有唯一公共点.(Ⅲ) 设a <b , 比较2a b f +⎛⎫⎪⎝⎭与()()f b f a b a --的大小, 并说明理由.。

2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项:1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题，第二部分为非选择题.。

2. 考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.。

3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(共50分)1. 第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 设全集为R , 函数()f x =M , 则C M R 为(A) (－∞,1)(B) (1, + ∞)(C) (,1]-∞(D) [1,)+∞【答案】B【解析】),1(],1,(.1,0-1∞=-∞=≤∴≥MR C M x x 即 ,所以选B2. 已知向量 (1,),(,2)a m b m ==, 若a //b , 则实数m 等于(A) (B)(C) (D) 02. 【答案】C【解析】.221,//),2,(),,1(±=⇒⋅=⋅∴==m m m b m m 且 ,所以选C 3. 设a , b , c 均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是 (A) ·log log log a c c b a b = (B) ·log lo log g a a a b a b = (C) ()log ?l g o lo g a a a b c bc = (D) ()log g og o l l a a a b b c c +=+3. 【答案】B【解析】a, b,c ≠1. 考察对数2个公式: abb y x xyc c a a a a log log log ,log log log =+= 对选项A: bab a b bc c a c c a log log log log log log =⇒=⋅,显然与第二个公式不符，所以为假。

2013年陕西高考数学试题及答案(文科)一、选择题1． 设全集为R ，函数f(x)＝1－x 的定义域为M ，则∁M 为( ) A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1] D ．[1，＋∞)1．B [解析] M ＝{x|1－x ≥0}＝{x|x ≤1}，故∁M ＝ (1，＋∞)．2． 已知向量a ＝(1，m)，b ＝(m ，2)，若a ∥b ，则实数m 等于( ) A ．－ 2 B. 2C ．－2或 2D ．02．C [解析] 因为a ∥b ，且a ＝(1，m)，b ＝(m ，2)，可得1m ＝m2，解得m ＝2或－2.3． 设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( ) A ．log a b ·log c b ＝log c a B ．log a b ·log c a ＝log c bC ．log a (bc)＝log a b ·log a cD ．log a (b ＋c)＝log a b ＋log a c 3．B [解析] 利用对数的运算性质可知C ，D 是错误的．再利用对数运算性质log a b ·log c b≠log c a.又因为log a b ·log c a ＝lg b lg a ×lg a lg c ＝lg blg c＝log c b ，故选B.4． 根据下列算法语句，当输入x 为60时，输出y 的值为( )输入x ；If x ≤50 Then y ＝0.5*xElsey ＝25＋0.6*(x －50)End If 输出y.A ．25B ．30C ．31D ．614．C [解析] 算法语言给出的是分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，x ≤50，25＋0.6（x －50），x>50，输入x ＝60时，y ＝25＋0.6(60－50)＝31.5．， 对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，图1－1为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20，25)上为一等品，在区间[15，20)和[25，30)上为二等品，在区间[10，15)和[30，35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是( )图1－1A ．0.09B ．0.20C ．0.25D ．0.455．D [解析] 利用统计图表可知在区间[25，30)上的频率为：1－(0.02＋0.04＋0.06＋0.03)×5＝0.25，在区间[15，20)上的频率为：0.04×5＝0.2，故所抽产品为二等品的概率为0.25＋0.2＝0.45.6．， 设z 是复数，则下列命题中的假．命题是( ) A ．若z 2≥0，则z 是实数 B ．若z 2<0，则z 是虚数 C ．若z 是虚数，则z 2≥0 D ．若z 是纯虚数，则z 2<06．C [解析] 设z ＝a ＋bi(a ，b ∈)，则z 2＝a 2－b 2＋2abi ，若z 2≥0，则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝0，a 2－b 2≥0， 即b ＝0，故z 是实数，A 正确．若z 2<0，则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝0，a 2－b 2<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ≠0， 故B 正确．若z 是虚数，则b ≠0，z 2＝a 2－b 2＋2abi 无法与0比较大小，故C 是假命题．若z 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ≠0， z2＝－b 2<0，故D 正确．7． 若点(x ，y)位于曲线y ＝|x|与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值是( ) A ．－6 B ．－2 C ．0 D ．27．A [解析] 结合题目可以作出y ＝∣x ∣与y ＝2所表示的平面区域，令2x －y ＝z ，即y ＝2x －z ，作出直线y ＝2x ，在封闭区域内平移直线y ＝2x ，当经过点A(－2，2)时，z 取最小值，为2×(－2)－2＝－6.8． 已知点M(a ，b)在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交 C ．相离 D ．不确定8．B [解析] 由题意点M(a ，b)在圆x 2＋y 2＝1外，则满足a 2＋b 2>1，圆心到直线的距离d ＝1a 2＋b 2<1，故直线ax ＋by ＝1与圆O 相交．9． 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bcos C ＋ccos B ＝asin A ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不确定9．A [解析] 结合已知bcos C ＋ccos B ＝asin A ，所以由正弦定理可知sin Bcos C ＋sin Ccos B ＝sin Asin A ，即sin (B ＋C)＝sin 2A ⇒sin A ＝sin 2A ⇒sin A ＝1，故A ＝90°，故三角形为直角三角形．10． 设[x]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，有( )A ．[－x]＝－[x] B.⎣⎡⎦⎤x ＋12＝[x] C ．[2x]＝2[x] D ．[x]＋⎣⎡⎦⎤x ＋12＝[2x] 10．D [解析] 可取特值x ＝3.5，则[－x]＝[－3.5]＝－4，－[x]＝－[3.5]＝－3，故A错．[x ＋12]＝[3.5＋0.5]＝4，而[x]＝[3.5]＝3，故B 错. [2x]＝[7]＝7，2[x]＝2[3.5]＝6，故C错．[x]＋ [x ＋12]＝7，而[2x]＝[7]＝7，故只有D 正确．11． 双曲线x 216－y 29＝1的离心率为________．11.54 [解析] 由双曲线方程中a 2＝16, b 2＝9，则c 2＝a 2＋b 2＝25，则e ＝c a ＝54. 12． 某几何体的三视图如图1－2所示，则其表．面积为________．图1－212．3π [解析] 由三视图得该几何体为半径为1的半个球，则表面积为半球面＋底面圆，代入数据计算为S ＝12×4π×12＋π×12＝3π.13． 观察下列等式 (1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5 ……照此规律，第n 个等式可为______________． 13．(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n)＝2n ×1×3×…×(2n －1) [解析] 结合已知所给定的几项的特点，可知式子左边共n 项，且从(n ＋1)一直到(n ＋n)，右侧第一项为2n ，连乘的第一项为1，最后一项为(2n －1)，故所求表达式为：(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n)＝2n ×1×3×…×(2n －1)．14． 在如图1－3所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为______(m)．图1－314．20 [解析] 利用所给的图形关系，由图形关系可知三角形相似，设矩形的另一边长为y ，则x 40＝40－y 40，所以y ＝40－x ，又有xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝400，当且仅当x ＝y 时等号成立，则x ＝40－x ，即x ＝20，故矩形面积最大时x 的值为20.15．(考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分) A ． (不等式选做题)设a ，b ∈，|a －b|>2，则关于实数x 的不等式|x －a|＋|x －b|>2的解集是________．(－∞，＋∞) [解析] 利用绝对值不等式的性质可得|x －a|＋|x －b|≥|(x －a)－(x －b)|＝|b －a|＝|a －b|.又由|a －b|>2恒成立，故不等式解集为(－∞，＋∞)．B ． (几何证明选做题)如图1－4所示，AB 与CD 相交于点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P ，已知∠A ＝∠C ，PD ＝2DA ＝2，则PE ＝________．图1－46 [解析] 利用已知图形关系可得∠BCE ＝∠PED ＝∠BAP ，可得△PDE ∽△PEA ，可得PE PA ＝PDPE，而PD ＝2DA ＝2，则PA ＝3，则PE 2＝PA·PD ＝6，PE ＝ 6. C ． (坐标系与参数方程选做题)圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t ，(t 为参数)的焦点坐标是________．(1，0) [解析] 由所给的曲线的参数方程化为普通方程为：y 2＝4x ，为抛物线，其焦点坐标为(1，0)．16．， 已知向量＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12，＝(3sin x ，cos 2x)，x ∈，设函数f(x)＝ (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．16．解： f(x)＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12·(3sin x ，cos 2x)＝3cos xsin x －12cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝cos π6sin 2x －sin π6cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.(1)f(x)的最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π，即函数f(x)的最小正周期为π.(2)∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6.由正弦函数的性质， 当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f(x)取得最大值1.当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f(0)＝－12，当2x －π6＝56π，即x ＝π2时，f ⎝⎛⎭⎫π2＝12，∴f(x)的最小值为－12.因此，f(x)在[0，π2]上最大值是1，最小值是－12.17． 设S n 表示数列{}a n 的前n 项和．(1)若{}a n 是等差数列，推导S n 的计算公式；(2)若a 1＝1，q ≠0，且对所有正整数n ，有S n ＝1－q n1－q .判断{}a n 是否为等比数列，并证明你的结论．17．解： (1)方法一：设{}a n 的公差为d ，则 S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝a 1＋(a 1＋d)＋…＋[a 1＋(n －1)d]，又S n ＝a n ＋(a n －d)＋…＋[a n －(n －1)d]， ∴2S n ＝n(a 1＋a n )，∴S n ＝n （a 1＋a n ）2.方法二：设{}a n 的公差为d ，则S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝a 1＋(a 1＋d)＋…＋[a 1＋(n －1)d]， 又S n ＝a n ＋a n －1＋…＋a 1＝[a 1＋(n －1)d]＋[a 1＋(n －2)d]＋…＋a 1，∴2S n ＝[2a 1＋(n －1)d]＋[2a 1＋(n －1)d]＋…＋[2a 1＋(n －1)d] ＝2na 1＋n(n －1)d ，∴S n ＝na 1＋n （n －1）2d.(2){}a n 是等比数列．证明如下：∵S n ＝1－q n1－q ，∴a n ＋1＝S n ＋1－S n＝1－q n ＋11－q －1－q n 1－q ＝q n （1－q ）1－q＝q n .∵a 1＝1，q ≠0，∴当n ≥1时，有 a n ＋1a n ＝q n q n －1＝q.因此，{a n }是首项为1且公比为q 的等比数列．18．， 如图1－5，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 是底面中心，A 1O ⊥底面ABCD ，AB ＝AA 1＝ 2.图1－5(1)证明：平面A 1BD ∥平面CD 1B 1； (2)求三棱柱ABD －A 1B 1D 1的体积．18．解： (1)证明：由题设知，BB 1綊DD 1， ∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形， ∴BD ∥B 1D 1. 又BD ⃘平面CD 1B 1，∴BD ∥平面CD 1B 1. ∵A 1D 1綊B 1C 1綊BC ，∴四边形A 1BCD 1是平行四边形， ∴A 1B ∥D 1C. 又A 1B ⃘平面CD 1B 1，∴A 1B ∥平面CD 1B 1. 又∵BD ∩A 1B ＝B ，∴平面A 1BD ∥平面CD 1B 1. (2)∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O 是三棱柱ABD －A 1B 1D 1的高．又∵AO ＝12AC ＝1，AA 1＝2，∴A 1O ＝AA 21－OA 2＝1，又∵S △ABD ＝12×2×2＝1，∴VABD －A 1B 1D 1＝S △ABD ·A 1O ＝1.19． 有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次．根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：组别 ABCDE人数50 100 150 150 50(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B 组抽取了6人，请将其余各组抽取的人数填入下表；组别 A B C D E 人数 5010015015050抽取人数6(2)在(1)中，若A ，B 两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．19．解： (1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：组别 A B C D E 人数 5010015015050抽取人数3 6 9 9 3(2)记从A 组抽到的3个评委为a 1，a 2，a 3，其中a 1，a 2支持1号歌手；从B 组抽到的6个评委为b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6，其中b 1，b 2支持1号歌手．从{}a 1，a 2，a 3和{}b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6中各抽取1人的所有结果为：图1－6由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a 1b 1，a 1b 2，a 2b 1，a 2b 2共4种，故所求概率P ＝418＝29.20．， 已知动点M(x ，y)到直线l ：x ＝4的距离是它到点N(1，0)的距离的2倍． (1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)过点P(0，3)的直线m 与轨迹C 交于A ，B 两点．若A 是PB 的中点，求直线m 的斜率．20．解： (1)设M 到直线l 的距离为d ，根据题意，d ＝2|MN|. 由此得|4－x|＝2（x －1）2＋y 2.化简得x 24＋y 23＝1，所以，动点M 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.(2)方法一：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．将y ＝kx ＋3代入x 24＋y 23＝1中，有(3＋4k 2)x 2＋24kx ＋24＝0，其中，Δ＝(24k)2－4×24(3＋4k 2)＝96(2k 2－3)>0.由求根公式得，x 1＋x 2＝－24k3＋4k 2，①x 1x 2＝243＋4k 2.②又因A 是PB 的中点，故x 2＝2x 1.③ 将③代入①，②，得x 1＝－8k 3＋4k 2，x 21＝123＋4k 2， 可得⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 3＋4k 22＝123＋4k2，且k 2>32， 解得k ＝－32或k ＝32，所以，直线m 的斜率为－32或32.方法二：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)． ∵A 是PB 的中点，∴x 1＝x 22，①y 1＝3＋y 22.②又x 214＋y 213＝1，③ x 224＋y 223＝1，④ 联立①，②，③，④解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0，即点B 的坐标为(2，0)或(－2，0)，所以，直线m 的斜率为－32或32.21．， 已知函数f(x)＝e x ，x ∈(1)求f(x)的反函数的图像上点(1，0)处的切线方程；(2)证明：曲线y ＝f(x)与曲线y ＝12x 2＋x ＋1有唯一公共点；(3)设a<b ，比较f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2与f （b ）－f （a ）b －a 的大小，并说明理由．21．解： (1) f(x)的反函数为g(x)＝ln x ，设所求切线的斜率为k ，∵g ′(x)＝1x ，∴k ＝g′(1)＝1.于是在点(1，0)处切线方程为y ＝x －1.(2)方法一：曲线y ＝e x 与y ＝12x 2＋x ＋1公共点的个数等于函数φ(x)＝e x －12x 2－x －1零点的个数．∵φ(0)＝1－1＝0，∴φ(x)存在零点x ＝0.又φ′(x)＝e x －x －1，令h(x)＝φ′(x)＝e x －x －1， 则h′(x)＝e x －1.当x<0时，h ′(x)<0，∴φ′(x)在(－∞，0)上单调递减； 当x>0时，h ′(x)>0，∴φ′(x)在(0，＋∞)上单调递增．∴φ′(x)在x ＝0有唯一的极小值φ′(0)＝0， 即φ′(x)在上的最小值为φ′(0)＝0， ∴φ′(x)≥0(仅当x ＝0时等号成立)， ∴φ(x)在上是单调递增的， ∴φ(x)在上有唯一的零点．故曲线y ＝f(x)与曲线y ＝12x 2＋x ＋1有唯一公共点．方法二：∵e x >0，12x 2＋x ＋1>0，∴曲线y ＝e x 与y ＝12x 2＋x ＋1公共点的个数等于曲线y ＝12x 2＋x ＋1e x 与直线y ＝1公共点的个数．设φ(x)＝12x 2＋x ＋1e x，则φ(0)＝1，即x ＝0时，两曲线有公共点．又φ′(x)＝（x ＋1）e x －⎝⎛⎭⎫12x 2＋x ＋1e x e 2x＝－12x 2e x ≤0(仅当x ＝0时等号成立)， ∴φ(x)在上单调递减，∴φ(x)与y ＝1有唯一的公共点，故曲线y ＝f(x)与y ＝12x 2＋x ＋1有唯一的公共点．(3)f （b ）－f （a ）b －a －f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＝e b－e ab －a －e a ＋b 2 ＝e b －e a －be a ＋b 2＋ae a ＋b 2b －a ＝ea ＋b2b －a⎣⎡⎦⎤e b －a 2－e a －b 2－（b －a ）.设函数u(x)＝e x －1e x －2x(x ≥0)，则u′(x)＝e x ＋1e x －2≥2e x ·1ex －2＝0.∴u ′(x)≥0(仅当x ＝0时等号成立)，∴u(x)单调递增．当x>0时，u(x)>u(0)＝0.令x ＝b －a 2，则得e b －a 2－e a －b 2－(b －a)>0.∴f （b ）－f （a ）b －a >f⎝⎛⎭⎫a ＋b 2.。

2013年陕西省高考数学试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）设全集为R，函数f（）=的定义域为M，则∁RM为（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1] D．[1，+∞）2．（5分）已知向量=（1，m），=（m，2），若∥，则实数m等于（）A．﹣B．C．﹣或D．03．（5分）设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（）A．loga b•logcb=logca B．logab•logca=logcbC．loga bc=logab•logac D．loga（b+c）=logab+logac4．（5分）根据下列算法语句，当输入为60时，输出y的值为（）A．25 B．30 C．31 D．615．（5分）对一批产品的长度（单位：mm）进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20，25）上的为一等品，在区间[15，20）和区间[25，30）上的为二等品，在区间[10，15）和[30，35）上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为（）A．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.456．（5分）设是复数，则下列命题中的假命题是（）A．若2≥0，则是实数B．若2＜0，则是虚数C．若是虚数，则2≥0 D．若是纯虚数，则2＜07．（5分）若点（，y）位于曲线y=||与y=2所围成的封闭区域，则2﹣y的最小值为（）A．﹣6 B．﹣2 C．0 D．28．（5分）已知点M（a，b）在圆O：2+y2=1外，则直线a+by=1与圆O的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．不确定9．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形 D．不确定10．（5分）设表示不大于的最大整数，则对任意实数，有（）A．[﹣]=﹣B．[+]= C．[2]=2 D．+[+]=[2]二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共25分）11．（5分）双曲线的离心率为．12．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为．13．（5分）观察下列等式：（1+1）=2×1（2+1）（2+2）=22×1×3（3+1）（3+2）（3+3）=23×1×3×5…照此规律，第n个等式可为．14．（5分）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长为（m）．选做题：（考生请注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）15．（5分）（不等式选做题）设a，b∈R，|a﹣b|＞2，则关于实数的不等式|﹣a|+|﹣b|＞2的解集是．16．（几何证明选做题）如图，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P．已知∠A=∠C ，PD=2DA=2，则PE= ．17．（坐标系与参数方程选做题） 圆锥曲线（t 为参数）的焦点坐标是 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分）18．（12分）已知向量=（cos ，﹣），=（sin ，cos2），∈R ，设函数f （）=． （Ⅰ） 求f （）的最小正周期．（Ⅱ） 求f （）在[0，]上的最大值和最小值．19．（12分）设S n 表示数列{a n }的前n 项和．（Ⅰ） 若{a n }为等差数列，推导S n 的计算公式；（Ⅱ） 若a 1=1，q ≠0，且对所有正整数n ，有S n =．判断{a n }是否为等比数列，并证明你的结论．20．（12分）如图，四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB=AA 1=． （Ⅰ） 证明：平面A 1BD ∥平面CD 1B 1；（Ⅱ） 求三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的体积．21．（12分）有7位歌手（1至7号）参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为5组，各组的人数如下：现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入下表．2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．22．（13分）已知动点M（，y）到直线l：=4的距离是它到点N（1，0）的距离的2倍．（Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点P（0，3）的直线m与轨迹C交于A，B两点．若A是PB的中点，求直线m的斜率．23．（14分）已知函数f（）=e，∈R．（Ⅰ）求f（）的反函数的图象上的点（1，0）处的切线方程；（Ⅱ）证明：曲线y=f（）与曲线y=有唯一公共点．（Ⅲ）设a＜b，比较f（）与的大小，并说明理由．2013年陕西省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）设全集为R ，函数f （）=的定义域为M ，则∁R M 为（ ） A ．（﹣∞，1） B ．（1，+∞） C ．（﹣∞，1] D ．[1，+∞）【分析】由根式内部的代数式大于等于0求出集合M ，然后直接利用补集概念求解．【解答】解：由1﹣≥0，得≤1，即M=（﹣∞，1]，又全集为R ，所以∁R M=（1，+∞）．故选：B ．【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了补集及其运算，是基础题．2．（5分）已知向量 =（1，m ），=（m ，2），若∥，则实数m 等于（ ）A ．﹣B ．C ．﹣或D ．0【分析】直接利用向量共线的坐标表示列式进行计算．【解答】解：∵=（1，m ），=（m ，2），且，所以1•2=m •m ，解得m=或m=． 故选：C ． 【点评】本题考查了平面向量的坐标运算，向量，则的充要条件是1y 2﹣2y 1=0，是基础题．3．（5分）设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（ ）A ．log a b •log c b=log c aB ．log a b •log c a=log c bC ．log a bc=log a b •log a cD ．log a （b+c ）=log a b+log a c【分析】通过对数的换底公式以及对数运算公式log a （y ）=log a +log a y （、y ＞0），判断选项即可．【解答】解：对于A ，log a b •log c b=log c a ⇒，与换底公式矛盾，所以A 不正确；对于B ，log a b •log a a=log a b ，⇒，符合换底公式，所以正确； 对于C ，log a bc=log a b •log a c ，不满足对数运算公式log a （y ）=log a +log a y （、y ＞0），所以不正确；对于D ，log a （b+c ）=log a b+log a c ，不满足log a （y ）=log a +log a y （、y ＞0），所以不正确；故选：B ．【点评】本题考查对数的运算法则，基本知识的考查．4．（5分）根据下列算法语句，当输入为60时，输出y 的值为（ ）A ．25B ．30C ．31D ．61【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数 y=的函数值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数 y=的函数值． 当=60时，则y=25+0.6（60﹣50）=31，故选：C．【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．5．（5分）对一批产品的长度（单位：mm）进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20，25）上的为一等品，在区间[15，20）和区间[25，30）上的为二等品，在区间[10，15）和[30，35）上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为（）A．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.45【分析】在频率分布表中，由频率与频数的关系，计算可得各组的频率，根据频率的和等于1可求得二等品的概率．【解答】解：由频率分布直方图知识可知：在区间[15，20）和[25，30）上的概率为0.04×5+[1﹣（0.02+0.04+0.06+0.03）×5]=0.45．故选：D．【点评】本小题主要考查样本的频率分布直方图的知识和分析问题以及解决问题的能力．统计初步在近两年高考中每年都以小题的形式出现，基本上是低起点题．6．（5分）设是复数，则下列命题中的假命题是（）A．若2≥0，则是实数B．若2＜0，则是虚数C．若是虚数，则2≥0 D．若是纯虚数，则2＜0【分析】设出复数，求出2，利用a，b的值，判断四个选项的正误即可．【解答】解：设=a+bi，a，b∈R，2=a2﹣b2+2abi，对于A，2≥0，则b=0，所以是实数，真命题；对于B，2＜0，则a=0，且b≠0，⇒是虚数；所以B为真命题；对于C，是虚数，则b≠0，所以2≥0是假命题．对于D，是纯虚数，则a=0，b≠0，所以2＜0是真命题；故选：C．【点评】本题考查复数真假命题的判断，复数的基本运算．7．（5分）若点（，y）位于曲线y=||与y=2所围成的封闭区域，则2﹣y的最小值为（）A．﹣6 B．﹣2 C．0 D．2【分析】先根据曲线y=||与y=2所围成的封闭区域画出区域D，再利用线性规划的方法求出目标函数2﹣y的最大值即可．【解答】解：画出可行域，如图所示解得A（﹣2，2），设=2﹣y，把=2﹣y变形为y=2﹣，则直线经过点A时取得最小值；所以=2×（﹣2）min﹣2=﹣6，故选：A．【点评】本题考查利用线性规划求函数的最值．属于基础题．8．（5分）已知点M（a，b）在圆O：2+y2=1外，则直线a+by=1与圆O的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．不确定【分析】由M在圆外，得到|OM|大于半径，列出不等式，再利用点到直线的距离公式表示出圆心O到直线a+by=1的距离d，根据列出的不等式判断d与r 的大小即可确定出直线与圆的位置关系．【解答】解：∵M（a，b）在圆2+y2=1外，∴a2+b2＞1，∴圆O（0，0）到直线a+by=1的距离d=＜1=r，则直线与圆的位置关系是相交．故选：B．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，以及点与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，以及两点间的距离公式，熟练掌握公式是解本题的关键．9．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形 D．不确定【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得sinA的值进而求得A，判断出三角形的形状．【解答】解：∵bcosC+ccosB=asinA，∴sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA=sin2A，∵sinA≠0，∴sinA=1，A=，故三角形为直角三角形，故选：A．【点评】本题主要考查了正弦定理的应用，解题的关键时利用正弦定理把等式中的边转化为角的正弦，属于基本知识的考查．10．（5分）设表示不大于的最大整数，则对任意实数，有（）A．[﹣]=﹣B．[+]= C．[2]=2 D．+[+]=[2]【分析】依题意，通过特值代入法对A，B，C，D四选项逐一分析即可得答案．【解答】解：对A，设=﹣1.8，则[﹣]=1，﹣=2，所以A选项为假．对B，设=1.8，则[+]=2，=1，所以B选项为假．对C，=﹣1.4，则[2]=[﹣2.8]=﹣3，2=﹣4，所以C选项为假．故D选项为真．故选：D．【点评】本题考查函数的求值，理解题意，特值处理是关键，属于中档题．二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共25分）11．（5分）双曲线的离心率为．【分析】通过双曲线方程求出a，b，c的值然后求出离心率即可．【解答】解：因为双曲线，所以a=4，b=3，所以c=，所以双曲线的离心率为：e=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的基本性质的应用，离心率的求法，考查计算能力．12．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为3π．【分析】通过三视图判断几何体的形状，利用三视图的数据直接求解几何体的表面积即可．【解答】解：综合三视图可知，几何体是一个半径r=1的半个球体．表面积是底面积与半球面积的和，其表面积=．故答案为：3π．【点评】本题考查三视图与几何体的直观图的关系，几何体的表面积的求法，考查计算能力与空间想象能力．13．（5分）观察下列等式：（1+1）=2×1（2+1）（2+2）=22×1×3（3+1）（3+2）（3+3）=23×1×3×5…照此规律，第n个等式可为（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n•1•3•5…•（2n ﹣1）．【分析】通过观察给出的前三个等式的项数，开始值和结束值，即可归纳得到第n个等式．【解答】解：题目中给出的前三个等式的特点是第一个等式的左边仅含一项，第二个等式的左边含有两项相乘，第三个等式的左边含有三项相乘，由此归纳第n个等式的左边含有n项相乘，由括号内数的特点归纳第n个等式的左边应为：（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n），每个等式的右边都是2的几次幂乘以从1开始几个相邻奇数乘积的形式，且2的指数与奇数的个数等于左边的括号数，由此可知第n个等式的右边为2n•1•3•5…（2n﹣1）．所以第n个等式可为（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n•1•3•5…（2n﹣1）．故答案为（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n•1•3•5…（2n﹣1）．【点评】本题考查了归纳推理，归纳推理是根据已有的事实，通过观察、联想、对比，再进行归纳，类比，然后提出猜想的推理，是基础题．14．（5分）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长为20 （m）．【分析】设矩形高为y，由三角形相似可求得40=+y且＞0，y＞0，＜40，y＜40，利用基本不等式即可求得答案．【解答】解：设矩形高为y，由三角形相似得：=，且＞0，y＞0，＜40，y＜40，⇒40=+y≥2，仅当=y=20m时，矩形的面积s=y取最大值400m2．故答案为：20．【点评】本题考查基本不等式，考查相似三角形的应用，求得40=+y是关键，属于中档题．选做题：（考生请注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）15．（5分）（不等式选做题）设a，b∈R，|a﹣b|＞2，则关于实数的不等式|﹣a|+|﹣b|＞2的解集是R ．【分析】判断函数f（）=|﹣a|+|﹣b|的值域为（|a﹣b|，+∞），利用已知条件推出不等式的解集即可．【解答】解：函数f（）=|﹣a|+|﹣b|的值域为（|a﹣b|，+∞），因此，当∀∈R时，f（）≥|a﹣b|＞2，所以不等式|﹣a|+|﹣b|＞2的解集是R．故答案为：R．【点评】本题考查绝对值不等式的基本知识，考查计算能力．16．（几何证明选做题）如图，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P．已知∠A=∠C，PD=2DA=2，则PE= ．【分析】利用已知条件判断△EPD∽△APE，列出比例关系，即可求解PE的值．【解答】解：因为BC∥PE，∴∠BCD=∠PED，且在圆中∠BCD=∠BAD⇒∠PED=∠BAD，⇒△EPD∽△APE，∵PD=2DA=2⇒⇒PE2=PA•PD=3×2=6，∴PE=．故答案为：．【点评】本题考查三角形相似的判断与性质定理的应用，考查计算能力．17．（坐标系与参数方程选做题）圆锥曲线（t为参数）的焦点坐标是（1，0）．【分析】由题意第二个式子的平方减去第一个式子的4倍即可得到圆锥曲线C 的普通方程，再根据普通方程表示的抛物线求出焦点坐标即可．【解答】解：由方程（t为参数）得y2=4，它表示焦点在轴上的抛物线，其焦点坐标为（1，0）．故答案为：（1，0）．【点评】本题是基础题，考查参数方程与直角坐标方程的互化，极坐标方程的求法，考查计算能力．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分）18．（12分）已知向量=（cos，﹣），=（sin，cos2），∈R，设函数f（）=．（Ⅰ）求f（）的最小正周期．（Ⅱ） 求f （）在[0，]上的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）通过向量的数量积以及二倍角的正弦函数两角和的正弦函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过周期公式，求f （）的最小正周期．（Ⅱ） 通过在[0，]，求出f （）的相位的范围，利用正弦函数的最值求解所求函数的最大值和最小值． 【解答】解：（Ⅰ）函数f （）==（cos ，﹣）•（sin ，cos2）=sincos=sin （2﹣）最小正周期为：T==π．（Ⅱ）当∈[0，]时，2﹣∈，由正弦函数y=sin 在的性质可知，sin ，∴sin （2﹣），∴f （）∈[﹣，1]， 所以函数f （）在[0，]上的最大值和最小值分别为：1，﹣．【点评】本题考查向量的数量积以及两角和的三角函数，二倍角公式的应用，三角函数的值域的应用，考查计算能力．19．（12分）设S n 表示数列{a n }的前n 项和． （Ⅰ） 若{a n }为等差数列，推导S n 的计算公式； （Ⅱ） 若a 1=1，q ≠0，且对所有正整数n ，有S n =．判断{a n }是否为等比数列，并证明你的结论．【分析】（I ）设等差数列的公差为d ，则a n =a 1+（n ﹣1）d ，可得a 1+a n =a 2+a n ﹣1=…，利用“倒序相加”即可得出；（II ）利用a n+1=S n+1﹣S n 即可得出a n+1，进而得到a n ，利用等比数列的通项公式即可证明其为等比数列．【解答】证明：（Ⅰ）设等差数列的公差为d ，则a n =a 1+（n ﹣1）d ，可得a 1+a n =a 2+a n﹣1=…，由S n =a 1+a 2+…+a n ， S n =a n +a n ﹣1+…+a 1．两等式相加可得2S n =（a 1+a n ）+（a 2+a n ﹣1）+…+（a n +a 1）， ∴．（II ）∵a 1=1，q ≠0，且对所有正整数n ，有S n =．∴a n+1=S n+1﹣S n ==q n ．∴，可得（n ∈N *），∴数列{a n }是以a 1=1为首项，q ≠1为公比的等比数列．【点评】熟练掌握等差数列的通项公式及“倒序相加”法、等比数列的定义及通项公式、通项公式与前n 项和的公式是解题的关键．20．（12分）如图，四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB=AA 1=．（Ⅰ） 证明：平面A 1BD ∥平面CD 1B 1； （Ⅱ） 求三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的体积．【分析】（Ⅰ）由四棱柱的性质可得四边形BB 1D 1D 为平行四边形，故有BD 和B 1D 1平行且相等，可得 BD ∥平面CB 1D 1．同理可证，A 1B ∥平面CB 1D 1．而BD 和A 1B 是平面A 1BD 内的两条相交直线，利用两个平面平行的判定定理可得平面A 1BD ∥平面CD 1B 1 ．（Ⅱ） 由题意可得A 1O 为三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的高，由勾股定理可得A 1O= 的值，再根据三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的体积V=S △ABD •A 1O ，运算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）∵四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB=AA 1=，由棱柱的性质可得BB 1 和DD 1平行且相等，故四边形BB 1D 1D 为平行四边形，故有BD 和B 1D 1平行且相等．而BD 不在平面CB 1D 1内，而B 1D 1在平面CB 1D 1内，∴BD ∥平面CB 1D 1． 同理可证，A 1BCD 1为平行四边形，A 1B ∥平面CB 1D 1．而BD 和A 1B 是平面A 1BD 内的两条相交直线，故有平面A 1BD ∥平面CD 1B 1 ． （Ⅱ） 由题意可得A 1O 为三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的高．三角形A 1AO 中，由勾股定理可得A 1O===1，∴三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的体积V=S △ABD •A 1O=•A 1O=×1=1．【点评】本题主要考查棱柱的性质，两个平面平行的判定定理的应用，求三棱柱的体积，属于中档题．21．（12分）有7位歌手（1至7号）参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为5组，各组的人数如下：现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B 组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入下表．2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率． 【分析】（Ⅰ）利用分层抽样中每层所抽取的比例数相等直接计算各层所抽取的人数；（Ⅱ）利用古典概型概率计算公式求出A ，B 两组被抽到的评委支持1号歌手的概率，因两组评委是否支持1号歌手相互独立，由相互独立事件同时发生的概率公式计算从这两组被抽到的评委中分别任选1人，2人都支持1号歌手的概率．【解答】解：（Ⅰ）按相同的比例从不同的组中抽取人数．从B 组100人中抽取6人，即从50人中抽取3人，从150人中抽取6人，填表如下： 号歌手的概率为．B 组抽取的6人中有2人支持1号歌手，则从6人中任选1人，支持1号歌手的概率为．现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，则2人都支持1号歌手的概率p=．【点评】本题考查了分层抽样方法，考查了相互独立事件同时发生的概率乘法公式，若事件A ，B 是否发生相互独立，则p （AB ）=p （A ）p （B ），是中档题．22．（13分）已知动点M （，y ）到直线l ：=4的距离是它到点N （1，0）的距离的2倍．（Ⅰ） 求动点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ） 过点P （0，3）的直线m 与轨迹C 交于A ，B 两点．若A 是PB 的中点，求直线m 的斜率．【分析】（Ⅰ）直接由题目给出的条件列式化简即可得到动点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）经分析当直线m 的斜率不存在时，不满足A 是PB 的中点，然后设出直线m 的斜截式方程，和椭圆方程联立后整理，利用根与系数关系写出1+2，12，结合21=2得到关于的方程，则直线m 的斜率可求．【解答】解：（Ⅰ）点M （，y ）到直线=4的距离是它到点N （1，0）的距离的2倍，则|﹣4|=2，即（﹣4）2=4[（﹣1）2+y 2]， 整理得．所以，动点M 的轨迹是椭圆，方程为； （Ⅱ）P （0，3），设A （1，y 1），B （2，y 2），由A 是PB 的中点，得21=0+2，2y 1=3+y 2． 椭圆的上下顶点坐标分别是和，经检验直线m 不经过这两点，即直线m 的斜率存在．设直线m 的方程为：y=+3． 联立，整理得：（3+42）2+24+24=0．．因为21=2． 则，得， 所以． 即，解得． 所以，直线m 的斜率． 【点评】本题考查了曲线方程，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，考查了学生的计算能力，关键是看清题中给出的条件，灵活运用韦达定理，中点坐标公式进行求解，是中档题．23．（14分）已知函数f （）=e ，∈R ．（Ⅰ） 求f （）的反函数的图象上的点（1，0）处的切线方程；（Ⅱ） 证明：曲线y=f （）与曲线y=有唯一公共点． （Ⅲ） 设a ＜b ，比较f （）与的大小，并说明理由．【分析】（I ）先求出其反函数，利用导数得出切线的斜率即可；（II ）令h （）=f （）﹣=，利用导数研究函数h （）的单调性即可得出；（III）设b﹣a=t＞0，通过作差﹣f（）=，构造函数g（t）=（t＞0），可得g′（t）==（t＞0）．令h（）=e﹣﹣1（＞0），利用导数研究其单调性即可．【解答】（I）解：函数f（）=e的反函数为g（）=ln，∵，∴g′（1）=1，∴f（）的反函数的图象上的点（1，0）处的切线方程为y﹣0=1×（﹣1），即y=﹣1；（Ⅱ）证明：令h（）=f（）﹣=，则h′（）=e﹣﹣1，h′′（）=e﹣1，当＞0时，h′′（）＞0，h′（）单调递增；当＜0时，h′′（）＜0，h′（）单调递减，故h′（）在=0取得极小值，即最小值，∴h′（）≥h′（0）=0，∴函数y=h（）在R上单调递增，最多有一个零点，而=0时，满足h（0）=0，是h（）的一个零点．所以曲线y=f（）与曲线y=有唯一公共点（0，1）．（Ⅲ）设b﹣a=t＞0，则﹣f（）===e a=，令g（t）=（t＞0），则g′（t）==（t＞0）．令h（）=e﹣﹣1（＞0），则h′（）=e﹣1＞0，∴函数h（）在（0，+∞）单调递增，∴h（）＞h（0）=0，因此g′（t）＞0，∴函数g（t）在t＞0时单调递增，∴g（t）＞g（0）=0．∴＞f（）．【点评】本题综合考查了利用导数研究切线、单调性、方程得根的个数、比较两个实数的大小等基础知识，考查了分类讨论的思想方法、转化与化归思想方法，考查了推理能力和计算能力．。

2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项:1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题，第二部分为非选择题.。

2. 考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.。

3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(共50分)1. 第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 设全集为R , 函数()1f x x =-的定义域为M , 则C M R 为(A) (－∞,1)(B) (1, + ∞)(C) (,1]-∞(D) [1,)+∞【答案】B【解析】),1(],1,(.1,0-1∞=-∞=≤∴≥MR C M x x 即 ,所以选B2. 已知向量 (1,),(,2)a m b m ==, 若a //b , 则实数m 等于 (A) 2- (B) 2(C) 2-或2(D) 02. 【答案】C【解析】.221,//),2,(),,1(±=⇒⋅=⋅∴==m m m b a m b m a 且 ,所以选C 3. 设a , b , c 均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是 (A) ·log log log a c c b a b = (B) ·log lo log g a a a b a b =(C) ()log g o lo g a a a b c bc = (D) ()log g og o l l a a a b b c c +=+3. 【答案】B【解析】a, b,c ≠1. 考察对数2个公式: abb y x xyc c a a a a log log log ,log log log =+=对选项A: bab a b bc c a c c a log log log log log log =⇒=⋅,显然与第二个公式不符，所以为假。

2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）.1. 设全集为R ,函数()f x =M ,则M R ð为 ( ). A.()1,-∞B.()1,+∞C.(]1,-∞D.[)1,+∞【测量目标】函数的定义域及补集运算.【考查方式】根据函数求出定义域，算出补集. 【参考答案】B【试题解析】函数()f x 的定义域M =(],1-∞，则M R ð=()1,+∞.2. 已知向量()1,m =a ,(),2m =b ,若a ∥b ,则实数m 等于 ( ).A.C.D.0【测量目标】平行向量的坐标运算.【考查方式】利用向量平行的比例关系，直接求出结果. 【参考答案】C【试题解析】由a ∥b ⇒2m =1×2⇒=m ±3. 设,,a b c 均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是 ( ). A.log log log a c c b b a ⨯= B.log log log a c c b a b ⨯=C.log log log a a a bc b c =⨯D.()log log log a a a b c b c +=+【测量目标】对数的化简和求值，换底公式.【考查方式】运用换底公式，真数相加即为乘，真数相除即为减. 【参考答案】B【试题解析】由对数的运算公式log ()log log a a a bc b c =+可判断选项C ，D 错误.(步骤1) 选项A ，由对数的换底公式知，log a b ×log c b =log c a⇒log log log log c a b c ab a b==，等式两边矛盾，此式不恒成立.（步骤2） 应选B ，由对数的换底公式知，lg lg log log lg lg lg b aa c c a cb a b ⋅=⋅=，故恒成立.（步骤3） 4. 根据下列算法语句,当输入x 为60时，输出y 的值为 （ ）.A. 25B. 30C. 31D. 61 【测量目标】条件语句，分段函数. 【考查方式】由算法语句（条件语句），写出函数解析式，进而求得y 值. 【参考答案】C【试题解析】由题意，得()0.5,50,250.650,50x x y x x ⎧⎪=⎨+->⎪⎩…，当60x =时，用()250.6605031+⨯-=.所以输出的y 值为31.5. 对一批产品的长度(单位:m m )进行抽样检测,下图喂检测结果的频率分布直方图.根据标准, 产品长度在区间[20,25)上的为一等品, 在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品, 在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品. 用频率估计概率, 现从该批产品中随机抽取1件, 则其为二等品的概率为 ( ).第5题图 A. 0.09 B. 0.20 C. 0.25 D. 0.45 【测量目标】频率分布直方图,随机事件的概率. 【考查方式】分层抽样，逐一求出概率. 【参考答案】D【试题解析】由图可知，抽得一等品的概率为0.3，抽得三等品的概率为0.25，则抽得二等品的概率为1-0.3-0.25=0.45.6. 设z 是复数,则下列命题中的假命题是 （ ）. A. 若2z 0…,则z 是实数. B. 若2z 0<,则z 是虚数.C. 若z 是虚数,则2z 0….D. 若z 是纯虚数,则2z 0<.【测量目标】复数的概念及运算性质，真假命题的判断.【考查方式】以判断命题真假的形式考察了复数的概念及运算. 【参考答案】C【试题解析】设i(,),z a b a b =+∈R 选项A ，2222(i)2i 0,z a b a b ab =+=-+…则220,.ab a b =⎧⎨⎩…故0b =，,a b 都为0，即z 为实数，正确；（步骤1）选项B ，2222(i)2i 0,z a b a b ab =+=-+<则220,,ab a b =⎧⎨<⎩则00a b =⎧⎨≠⎩，故z 一定为虚数，正确；（步骤2）选项D,()22222i i <0z b b b ===-恒成立，正确.故选C.(步骤3) 7. 若点()x,y 位于曲线y x =与2y =所围成的封闭区域,则2x y -的最小值为 ( ). A. －6 B. －2 C. 0D. 2【测量目标】二元线性规划求目标函数最值.【考查方式】画出封闭区域，找出最优解，简单的数形结合能力. 【参考答案】A 【试题解析】曲线2y x ,y ==所围成的封闭区域如图阴影部分所示， 当直线l :2y x =向左平移时，()2x y -的值在逐渐变小，当l 通过点A (-2,2)时，min (2) 6.x y -=- 第7题图8. 已知点()M a,b 在圆22:1O x y +=外,则直线1ax by +=与圆O 的位置关系是 ( ). A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不确定 【测量目标】直线、点与圆的位置关系，点到直线的距离公式.【考查方式】根据点到直线距离公式算出圆心与直线的距离,与半径作比较即可求得答案. 【参考答案】B【试题解析】由题意知，点在圆外，则221,a b +>圆心到直线的距离1,d =<故直线与圆相交.9. 设△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ,若cos cos sin b C c B a A +=,则△ABC 的形状为（ ）.A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D.不确定 【测量目标】余弦定理，三角形内角和.【考查方式】利用余弦定理的变形将角的余弦值转化为边边关系,进一步化简即可求出三角形形状. 【参考答案】A 【试题解析】22222222222222cos cos sin ,2222b a c c a b b a c c a b a b C c B b c a a A ab ac a a +-+-+-++-+=⋅+⋅====sin 1.A ∴=π(0π),,2A A ∈∴=，即ABC △是直角三角形. 10. 设[]x 表示不大于x 的最大整数,则对任意实数x,y ,有 （ ）. A. [][]x x -=-B.[]12x x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦C. [][]22x x =D.[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦【测量目标】数学的新定义.【考查方式】运用创新意识求解此题. 【参考答案】D【试题解析】选项A,取 1.5,x =则[][]1.52,x -=-=-[][]1.51,x -=-=-显然[][].x x -≠-（步骤1）选项B ，取 1.5x =，则[][]122 1.512x ⎡⎤+==≠=⎢⎥⎣⎦.（步骤2）选项C ，取 1.5,x =则[]2x =[][]233,x ==[][]221.52,x ==显然[][]22x x ≠.（步骤3）二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11. 双曲线221169x y -=的离心率为 .【测量目标】双曲线的几何性质.【考查方式】由双曲线的简单几何性质求解离心率. 【参考答案】54【试题解析】由题意知，216 4.a a =⇒=又29,b =则222169255,c a b c =+=+=⇒=故5.4c e a == 12. 某几何体的三视图如图所示,则其表面积为 .第12题图【测量目标】由三视图求几何体的表面积.【考查方式】观察三视图，了解半个球面面积与截面面积. 【参考答案】3π【试题解析】由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面面积的和，即14ππ3π.2⨯+= 13. 观察下列等式:()1121,+=⨯()()22122213++=⨯⨯,()()()3313233213 5.+++=⨯⨯⨯…照此规律,第n 个等式可为 .【测量目标】合情推理（归纳推理）.【考查方式】观察等式，灵活运用归纳推理的方法.【参考答案】()()()()1221321n n n n n n ++⋅⋅⋅+=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-【试题解析】从给出的规律可以看出，左边的连乘式中，连乘式个数以及每个连乘式中的第一个加数与右边连乘式中第一个乘数的质数保持一致，其中左边连乘式中第二个加数从1开始，逐渐加1递增，右边连乘式中从第二个乘数开始，组成以1为首项，2为公差的等差数列，项数与第几等式保持一致，则照此规律，第n 个等式可为()()()()1221321n n n n n n ++⋅⋅⋅+=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-.14. 在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长为 （m ）第14题图 【测量目标】二次函数的模型.【考查方式】利用给定函数模型解决简单的实际应用. 【参考答案】20【试题解析】设矩形花园的宽为y m ，则40,4040x y -=即40,y x =-(步骤1) 矩形花园的面积()()22404020400,S x x x x x =-=-+=--+（步骤2）∴当20x =时，面积最大.（步骤3）15. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分)A .(不等式选做题)设a,b ∈R , 2a b ->,则关于实数x 的不等式2x a x b -+->的解集是 . 【测量目标】绝对值不等式.【考查方式】运用2a b ->，将不等式问题转化为几何进而求解含参数的绝对值不等式. 【参考答案】(),-∞+∞【试题解析】,,a b ∈ R 则2a b ->,其几何意义是数轴上表示数a,b 的两点距离大于2，x a -+x b -的几何意义为数轴上任意一点到a,b 两点的距离之和，当x 处于a,b 之间时x a x b-+-取最小值.距离恰巧为a,b 两点间的距离，由题意知其恒大于2，故原不等式解集为R .B.(几何证明选做题)如图,AB 与CD 相交于点E ,过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P.已知A C ∠=∠,22PD DA == ,则PE = .第15题图 【测量目标】线段成比例定理，三角形的相似判定.【考查方式】利用角相等，线段成比例，判定三角形相似求解.【试题解析】PE ∥BC , .C PED ∴∠=∠（步骤1）又,.C A A PED ∠=∠∴∠=∠ 又,P P PED ∠=∠∴△∽,PAE △则,PD PEPE PA=（步骤2）即2236PE PD PA =⋅=⨯=,故PE =（步骤3）C .(坐标系与参数方程选做题)圆锥曲线22x t y t⎧=⎨=⎩(t 为参数)的焦点坐标是 .【测量目标】含参方程与坐标方程的相互转化.【考查方式】参数方程与直角坐标方程的互化，而后利用抛物线的简单性质求得焦点坐标. 【参考答案】（1,0）【试题解析】将参数方程转化为普通方程为24,y x =表示开口向右，焦点在x 轴正半轴的抛物线，由24p =⇒2p =,则焦点坐标为（1,0）.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分） 16.(本小题满分12分)已知向量1cos ,2x ⎛⎫=-⎪⎝⎭a ,=b ),cos 2,x x x ∈R ,设函数()·f x =a b . (Ⅰ)求()f x 的最小正周期. (Ⅱ)求()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【测量目标】平面向量的数量积运算，三角恒等变化，正弦函数.【考查方式】利用向量数量积的运算，两角和的正弦公式、二倍角公式、正弦函数的性质进行求解. 【试题解析】)1()cos,,cos 22f x x x ⎛⎫=-⋅⎪⎝⎭1sin cos 22x x x =-12cos 222x x =-ππcos sin 2sin cos 266x x =-πsin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（步骤1）（Ⅰ）()f x 最小正周期为2πT =ω2ππ2==,即函数()f x 的最小正周期为π.（步骤2）（Ⅱ）π0,2x ∴ 剟ππ5π2.666x --剟（步骤3） 由正弦的性质得，当ππ262x -=，即π3x =时，()f x 取得最大值1.（步骤4）当ππ266x -=-，即0x =时，(0)f =12-.（步骤5） 当π5π266x -=，即π2x =时，π1()22f =，（步骤6）()f x ∴的最小值为12-.因此，()f x 在π(0,)2上的最大值是1，最小值是12-.（步骤7）17.（本小题满分12分)设n S 表示数列的前n 项和.(Ⅰ)若{}n a 为等差数列,推导n S 的计算公式;(Ⅱ)若11,0a q =≠,且对所有正整数n ,有11nn q S q-=-.判断{}n a 是否为等比数列.【测量目标】等差数列的前n 项和，等比数列的证明.【考查方式】利用等差数列的性质倒序相加求和，由等比数列的性质进行证明. 【试题解析】（Ⅰ）方法一：设{}n a 的公差为d ,则12n n S a a a =++⋅⋅⋅+()()1111a a d a n d =+++⋅⋅⋅++-⎡⎤⎣⎦.又()()1n n n n S a a d a n d =+-+⋅⋅⋅+--⎡⎤⎣⎦，（步骤1） ()12,n n S n a a ∴=+()1.2n n n a a S +∴=（步骤2） 方法二：设{}n a 的公差为d,则12n n S a a a =++⋅⋅⋅+()()1111a a d a n d =+++⋅⋅⋅++-⎡⎤⎣⎦（步骤3）又11n n n S a a a -=++⋅⋅⋅+，()()1122121n S a n d a n d ∴=+-++-+⋅⋅⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+()()112121,a n d na n n d +-=+-⎡⎤⎣⎦（步骤4）()11.2n n n S na d -∴=+（步骤5） （Ⅱ）{}n a 是等比数列，证明如下：1,1n n q S q -=- 11n n n a S S ++∴=-11111n nq q q q+--=---n q =.（步骤1）11,0a q =≠ ，∴当1n …时，有11nn n n a q q a q+-==.（步骤2）因此，{}n a 是首项为1且公比为q ()1q ≠的等比数列.（步骤3）18. (本小题满分12分)如图, 四棱柱1111ABCD A BC D -的底面ABCD 是正方形,O 为底面中心,1AO ⊥平面ABCD ,1AB AA ==(Ⅰ) 证明:平面1A BD ∥平面11CD B ； (Ⅱ)求三棱柱111ABD A B D -的体积.【测量目标】面面平行的判定，三棱柱的几何性质.【考查方式】线面平行得出面面平行，进而求解三棱柱体积. 【试题解析】(Ⅰ)由题设知，1BB 平行且等于1DD ,∴四边形11BB D D 是平行四边形.BD ∥11B D .（步骤1） 第18题图又 BD Ö平面11CD B ，BD ∴∥平面11CD B .（步骤2）11A D 平行且等于11B C 平行且等于BC ， 11A BCD ∴是平行四边形. 1A B ∴∥1D C .（步骤3）又1A B Ö平面11CD B ,1A B ∴∥平面11CD B .又1,BD A B B = ∴平面1A BD ∥平面11CD B .（步骤4）(Ⅱ）1AO ⊥平面ABCD ，1AO ∴是三棱柱111ABD A B D -的高.又112AO AC ==,1AA =11AO ∴==.（步骤5）又112ABC S ==△, 11111ABD ABD A B D V S AO -∴=⋅=△三棱柱.（步骤6）19.(本小题满分12分)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛,由500名大众评委现场投票决定歌手名次,根据年龄将大众评委分为5组,各组的人数如下:(Ⅰ) 为了调查评委对7位歌手的支持状况,现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委,其中从B 组中抽取了6人.请将其余各组抽取的人数填入下表.(Ⅱ) 在(Ⅰ)中,若A ,B 两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手,现从这两组被抽到的评委中分别任选1人,求这2人都支持1号歌手的概率.【测量目标】分层抽样、树状图法求解古典概型的问题. 【考查方式】古典概型中简单的分析、解决问题.【试题解析】(Ⅰ)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各族抽取的人数如下表：(Ⅱ)计从A 组抽到的3位评委分别为123,,a a a ，其中12,a a 支持1号歌手；从B 组抽到的6位评委分别为123456,,,,,b b b b b b ，其中12,b b 支持1号歌手，从{}123,,a a a 和{}123456,,,,,b b b b b b 中各抽取1人得所有结果图：第19题图由树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有111222,,a b a b a b 共4种，故所求概率42189P ==.20.(本小题满分13分)已知动点(),M x y 到直4l :x =的距离是它到点()1,0N 的距离的2倍.(Ⅰ) 求动点M 的轨迹C 的方程;(Ⅱ) 过点()0,3P 的直线m 与轨迹C 交于,A B 两点.若A 是PB 的中点,求直线m 的斜率. 【测量目标】曲线方程的确定及直线与椭圆的综合.【考查方式】椭圆的定义，点点、点线的距离公式，直线与椭圆的位置关系、直线的斜率. 【试题解析】(Ⅰ)如图①，(),Mx y 到直线4x =的距离,是到点()1,0N 的距离的2倍，则134)1(2|4|2222=+⇒+-=-y x y x x .（步骤1） ∴动点M 的轨迹为椭圆，方程为22143x y +=.（步骤2） （Ⅱ）方法一： ()0,3P , 设()()1122,,,,A x y B x y 如图（Ⅱ），由题意知：121220,23x x y y =+=+（步骤3） 第20题图①椭圆的上下顶点坐标分别是(和(0，，经检验直线m 不经过这2点，即直线m 斜率k 存在. 3:+=kx y m 方程为设直线.联立椭圆和直线方程，整理得：()223424240k xkx +++=，（步骤4）其中()()22=2442434k k ∆-⨯+=()29623k -＞0，由根与系数的关系，得1222434k x x k +=-+①,1222434x x k=+②，（步骤5） 又A 是PB 的中点，故212x x =③. 将③代入①②中得，21122812,3434k x x k k =-=++，（步骤6） 可得，2228123434k k k -⎛⎫= ⎪++⎝⎭，且2k ＞32. 解得，32k =或32k =-. ∴直线的斜率为32-或32.(步骤7)方法二：由题意，设直线m 的方程3y kx =+，()()1222,,,A x y B x y ，如图②A 是PB 的中点，212x x ∴=①，2132y y +=②， 又2211143x y +=③，2211143x y +=④. （步骤3） 联立①②③④，解得2220x y =⎧⎨=⎩或2220x y =-⎧⎨=⎩，即点B 的标: ()()2,02,0-或.（步骤4） 第20题图②∴直线m 的斜率为32或32-.（步骤5）21.(本小题满分14分)已知函数()e ,x f x x =∈R .(Ⅰ) 求()f x 的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程; (Ⅱ) 证明:曲线()y f x =与曲线2112y x x =++有唯一公共点. (Ⅲ) 设a b <,比较2a b f +⎛⎫⎪⎝⎭与()()f b f a b a --的大小,并说明理由.【测量目标】反函数，导函数的几何意义,函数的基本性质.【考查方式】函数的零点、利用导数研究函数极值及单调性.【试题解析】(Ⅰ)解：()f x 的反函数为()ln g x x =，设所求切线的斜率为k .1(),(1)1g x k g x''=∴== .（步骤1） 于是在点()1,0处的切线方程为1y x =-.（步骤2）(Ⅱ)方法一：曲线e x y =与曲线2112y x x =++公共点的个数等于函数21()e 12x x x x =---ϕ零点的个数， (0)110ϕ=-= ，()x ϕ∴存在零点0x =.（步骤1）又()e 1x x x '=--ϕ，令()()e 1x h x x x ϕ'==--则()e 1x h x '=-.（步骤2）当x ＞0时，()h x '＞0在上单调递增，当x ＜0时，()h x '＜0在上单调递减.（步骤3）()x ϕ'∴在0x =处有唯一的极小值(0)0ϕ'=.即()x ϕ'在R 上的最小值为(0)0ϕ'=.（步骤4） ()0x ϕ'∴…（当且仅当0x =时等号成立）()x ϕ∴在R 是单调递增的.()x ϕ∴在R 上有唯一的零点.故曲线()y f x =与曲线2112y x x =++有唯一的公共点.（步骤5） 方法二：e x ＞0，2112x x ++＞0， ∴曲线e x y =与曲线2112y x x =++公共点的个数等于曲线2112ex x x y ++=与1y =公共点的个数. （步骤1） 设2112()ex x x x ++=ϕ，则(0)1ϕ=，即当0x =时，两曲线有公共点. 又()2211e 1e 2()e x x x x x x x ⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭'=ϕ2120e xx -=…（当且仅当0x =时等号成立） ()x ϕ在R 上单调递减.()x ϕ∴与1y =有唯一的公共点.(步骤2)故曲线()y f x =与曲线2112y x =++有唯一的公共点.（步骤3） (Ⅲ)()()()2f b f a a b f b a -+-=-2e e e a b b a b a+--=-22e e e e a b a b b a b a b a ++--+-()222e e e a b b a a b b a b a +--⎡⎤=---⎢⎥-⎣⎦. （步骤1） 设函数()1()e 20e x x u x x x '=--…，则1()e 220e x x u x '=+-=…，（步骤2） ∴()0u x '…（当且仅当0x =时等号成立）， ()u x ∴单调递增.（步骤3）当x ＞0时，()u x ＞(0)0u = 令2b a x -=，则得，()22e e b a a b b a -----＞0，（步骤4） 又2e a bb a +-＞0，()()f b f a b a -∴-＞()2a b f +.(步骤5)。

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(陕西卷)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求(本大题共10小题，每小题5分，共50分)．1．(2013陕西，文1)设全集为R，函数f(x)M ，则R M为( )．A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(－∞，1] D．[1，＋∞) 2．(2013陕西，文2)已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，则实数m等于( )．A．．．03．(2013陕西，文3)设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )．A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcbC．loga(bc)＝logab·l ogac D．loga(b＋c)＝logab＋logac4．(2013陕西，文4)根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为( )．A．25B．30C．31D．615．(2013陕西，文5)对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是( )．A．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.456．(2013陕西，文6)设z是复数，则下列命题中的假．命题是( )．A．若z2≥0，则z是实数 B．若z2＜0，则z是虚数C．若z是虚数，则z2≥0 D．若z是纯虚数，则z2＜07．(2013陕西，文7)若点(x，y)位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值是( )．A．－6 B．－2 C．0 D．28．(2013陕西，文8)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )．A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定9．(2013陕西，文9)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为( )．A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定10．(2013陕西，文10)设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，有( )．A．[－x]＝－[x] B．1[]2x x⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦ C．[2x]＝2[x] D．[x]＋12x⎡⎤+⎢⎥⎣⎦＝[2x]二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题，每小题5分，共25分)．11．(2013陕西，文11)双曲线221169x y-=的离心率为__________．12．(2013陕西，文12)某几何体的三视图如图所示，则其表面积为__________．13．(2013陕西，文13)观察下列等式(1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5 ……照此规律，第n 个等式可为_______________________________．14．(2013陕西，文14)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为__________(m)．15．(2013陕西，文15)(考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)A ．(不等式选做题)设a ，b ∈R ，|a －b |＞2，则关于实数x 的不等式|x －a |＋|x －b |＞2的解集是__________．B ．(几何证明选做题)如图，AB 与CD 相交于点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P ，已知∠A ＝∠C ，PD ＝2DA ＝2，则PE ＝__________.C ．(坐标系与参数方程选做题)圆锥曲线2,2x t y t⎧=⎨=⎩(t 为参数)的焦点坐标是__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共75分)．16．(2013陕西，文16)(本小题满分12分)已知向量a ＝1cos ,2x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，b ＝x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a ·b .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．17．(2013陕西，文17)(本小题满分12分)设S n表示数列{a n}的前n项和．(1)若{a n}是等差数列，推导S n的计算公式；(2)若a1＝1，q≠0，且对所有正整数n，有11nnqSq-=-.判断{a n}是否为等比数列，并证明你的结论．18．(2013陕西，文18)(本小题满分12分)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD－A1B1D1的体积．19．(2013陕西，文19)(本小题满分12分)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委(1)为了调查评委对7其中从B组抽取了6(2)在(1)中，若A，B1人，求这2人都支持1号歌手的概率．20．(2013陕西，文20)(本小题满分13分)已知动点M(x，y)到直线l：x＝4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍．(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A，B两点，若A是PB的中点，求直线m的斜率．21．(2013陕西，文21)(本小题满分14分)已知函数f (x )＝e x，x ∈R . (1)求f (x )的反函数的图像上点(1,0)处的切线方程；(2)证明：曲线y ＝f (x )与曲线y ＝12x 2＋x ＋1有唯一公共点； (3)设a ＜b ，比较2a b f +⎛⎫ ⎪⎝⎭与f b f a b a ()-()-的大小，并说明理由．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(陕西卷)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求(本大题共10小题，每小题5分，共50分)． 1． 答案：B解析：要使f (x ) 则须1－x ≥0，即x ≤1， 所以M ＝{x |x ≤1}，RM ＝{x |x ＞1}．2． 答案：C解析：由a ∥b 知1×2－m 2＝0，即m =或3． 答案：B解析：由换底公式得log a b ·log c a ＝lg lg lg lg b aa c⋅＝log c b ， 所以B 正确． 4． 答案：C解析：因为x ＝60＞50，所以y ＝25＋0.6(60－50)＝31，故选C ． 5． 答案：D解析：由频率分布直方图知识可知：在区间[15,20)和[25,30)上的概率为0.04×5＋[1－(0.02＋0.04＋0.06＋0.03)×5]＝0.45. 6． 答案：C解析：由复数的基本知识可知：z 2能与0比较大小且z 2≥0，则z 为实数，所以A 正确；同理，z 2＜0，则z 是纯虚数，所以B 正确；反过来，z 是纯虚数，z 2＜0，D 正确；对于选项C ，不妨取z ＝1＋i ，则z 2＝2i 不能与0比较大小． 7． 答案：A解析：设z ＝2x －y ，可行域如图：当直线y ＝2x －z 过点A 时，截距－z 最大，即z 最小，所以最优解为(－2,2)，z min ＝2×(－2)－2＝－6.8． 答案：B解析：∵点M (a ，b )在圆x 2＋y 2＝1外，∴点M (a ，b )到圆心(0,0)的距离要大于半径，即a 2＋b 2＞1，而圆心(0,0)到直线ax ＋by ＝1的距离为d＜1，∴直线与圆相交． 9． 答案：A 解析：∵sin sin sin a b c A B C==， ∴sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin A sin A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ， 即sin A ＝1，∴π2A =，故选A ． 10答案：D解析：令x ＝1.1，[－1.1]＝－2，而－[1.1]＝－1， 所以A 错； 令12x =-，11022⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦，112⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦， 所以B 错；令x ＝0.5，[2x ]＝1,2[x ]＝0， 所以C 错；故选D ．二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题，每小题5分，共25分)． 11．答案：54解析：在双曲线221169x y -=中，a ＝4，b ＝3，则c ＝5，∴54c e a ==.12． 答案：3π解析：由三视图可知该几何体为半径为1的球体的一半，所以表面积为12×4π×12＋π×12＝3π. 13．答案：(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n×1×3×…×(2n －1) 解析：观察规律，等号左侧为(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )，等号右侧分两部分，一部分是2n，另一部分是1×3×…×(2n －1)．14．答案：20解析：设DE ＝x ，MN ＝y ，由三角形相似得：404040x AD AN y AB AM -===， 即404040x y -=，即x ＋y ＝40，由均值不等式可知x ＋y ＝40≥，S ＝x ·y ≤400，当x ＝y ＝20时取等号，所以当宽为20时面积最大． 15．答案：(－∞，＋∞)解析：由不等式性质知：|x －a |＋|x －b |≥|(x －a )－(x －b )|＝|b －a |＝|a －b |＞2，所以|x －a |＋|x －b |＞2的解集为全体实数．B ．解析：∵PE ∥BC ，∴∠C ＝∠PED ． 又∠C ＝∠A ，故∠A ＝∠PED ． 又∠P ＝∠P ，故△PED ∽△PAE ， 则PE PD PA PE=，∴PE 2＝PA ·PD ． 又PD ＝2DA ＝2， ∴PA ＝PD ＋DA ＝3，∴PE 2＝3×2＝6，∴PE C ．答案：(1,0)解析：由2,2x t y t⎧=⎨=⎩消去t 得，y 2＝4x ，故曲线表示为焦点(1,0)的抛物线．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共75分)． 16．解：f (x )＝1cos ,2x ⎛⎫- ⎪⎝⎭x ，cos 2x )x sin x －12cos 2x＝2sin 2x －12cos 2x＝ππcos sin 2sin cos 266x x -＝πsin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭.(1)f (x )的最小正周期为2π2ππ2T ω===， 即函数f (x )的最小正周期为π.(2)∵0≤x ≤π2， ∴ππ5π2666x -≤-≤.由正弦函数的性质，当ππ262x -=，即π3x =时，f (x )取得最大值1. 当ππ266x -=-，即x ＝0时，f (0)＝12-，当π52π66x -=，即π2x =时，π122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴f (x )的最小值为12-.因此，f (x )在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最大值是1，最小值是12-.17．解：(1)解法一：设{a n }的公差为d ，则S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋(a 1＋d )＋…＋[a 1＋(n －1)d ]， 又S n ＝a n ＋(a n －d )＋…＋[a n －(n －1)d ]， ∴2S n ＝n (a 1＋a n )， ∴12n n n a a S (+)=. 解法二：设{a n }的公差为d ，则S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋(a 1＋d )＋…＋[a 1＋(n －1)d ]， 又S n ＝a n ＋a n －1＋…＋a 1＝[a 1＋(n －1)d ]＋[a 1＋(n －2)d ]＋…＋a 1，∴2S n ＝[2a 1＋(n －1)d ]＋[2a 1＋(n －1)d ]＋…＋[2a 1＋(n －1)d ] ＝2na 1＋n (n －1)d ， ∴S n ＝na 1＋12n n (-)d .(2){a n }是等比数列，证明如下：∵11n n q S q -=-，∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝1111111n n n n q q q q q q q q+--(-)-==---.∵a 1＝1，q ≠0，∴当n ≥1时，有11nn n n a q q a q+-==，因此，{a n }是首项为1且公比为q 的等比数列．18．解：(1)由题设知，BB 1DD 1， ∴BB 1D 1D 是平行四边形， ∴BD ∥B 1D 1.又BD 平面CD 1B 1， ∴BD ∥平面CD 1B 1. ∵A 1D 1B 1C 1BC ，∴A 1BCD 1是平行四边形， ∴A 1B ∥D 1C ．又A 1B 平面CD 1B 1， ∴A 1B ∥平面CD 1B 1. 又∵BD ∩A 1B ＝B ，∴平面A 1BD ∥平面CD 1B 1. (2)∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O 是三棱柱ABD －A 1B 1D 1的高． 又∵AO ＝12AC ＝1，AA 1∴A 1O＝1. 又∵S △ABD＝121， ∴111ABD A B D V -＝S △ABD ×A 1O ＝1.19．解：(1)(2)记从A 组抽到的3123126个评委为b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6，其中b 1，b 2支持1号歌手．从{a 1，a 2，a 3}和{b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6}中各抽取1人的所有结果为：由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a 1b 1，a 1b 2，a 2b 1，a 2b 2共4种，故所求概率42189p ==. 20．(1)解：设M 到直线l 的距离为d ，根据题意，d ＝2|MN |.由此得|4|x -=化简得22143x y +=， 所以，动点M 的轨迹方程为22143x y +=. (2)解法一：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋3代入22143x y +=中， 有(3＋4k 2)x 2＋24kx ＋24＝0， 其中，Δ＝(24k )2－4×24(3＋4k 2)＝96(2k 2－3)＞0， 由求根公式得，x 1＋x 2＝22434kk -+，①x 1x 2＝22434k+.② 又因A 是PB 的中点，故x 2＝2x 1，③ 将③代入①，②得12834k x k =-+，2121234x k=+， 可得2228123434k k k-⎛⎫= ⎪++⎝⎭，且232k >， 解得32k =-或32k =，所以，直线m 的斜率为32-或32.解法二：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵A 是PB 的中点，∴212x x =，① 2132y y +=.②又2211143x y +=，③ 2222143x y +=，④ 联立①，②，③，④解得222,0x y =⎧⎨=⎩或222,0,x y =-⎧⎨=⎩即点B 的坐标为(2,0)或(－2,0)， 所以，直线m 的斜率为32-或32. 21．解：(1)f (x )的反函数为g (x )＝ln x ，设所求切线的斜率为k ， ∵g ′(x )＝1x，∴k ＝g ′(1)＝1， 于是在点(1,0)处切线方程为y ＝x －1. (2)解法一：曲线y ＝e x与y ＝12x 2＋x ＋1公共点的个数等于函数φ(x )＝e x －12x 2－x －1零点的个数． ∵φ(0)＝1－1＝0，∴φ(x )存在零点x ＝0.又φ′(x )＝e x －x －1，令h (x )＝φ′(x )＝e x －x －1，则h ′(x )＝e x－1， 当x ＜0时，h ′(x )＜0，∴φ′(x )在(－∞，0)上单调递减． 当x ＞0时，h ′(x )＞0，∴φ′(x )在(0，＋∞)上单调递增．∴φ′(x )在x ＝0有唯一的极小值φ′(0)＝0， 即φ′(x )在R 上的最小值为φ′(0)＝0. ∴φ′(x )≥0(仅当x ＝0时等号成立)， ∴φ(x )在R 上是单调递增的， ∴φ(x )在R 上有唯一的零点， 故曲线y ＝f (x )与y ＝12x 2＋x ＋1有唯一的公共点． 解法二：∵e x＞0，12x 2＋x ＋1＞0， ∴曲线y ＝e x与y ＝12x 2＋x ＋1公共点的个数等于曲线2112e xx x y ++=与y ＝1公共点的个数，设()2112exx x x ϕ++=，则φ(0)＝1， 即x ＝0时，两曲线有公共点．又φ′(x )＝222111e 1e 22e e x x x xx x x x ⎛⎫(+)-++- ⎪⎝⎭=≤0(仅当x ＝0时等号成立)，∴φ(x )在R 上单调递减，∴φ(x )与y ＝1有唯一的公共点，故曲线y ＝f (x )与y ＝12x 2＋x ＋1有唯一的公共点． (3)2f b f a a b f b a ()-()+⎛⎫- ⎪-⎝⎭＝222e e e e e ee a b a b a b b ab ab a b ab a+++---+-=--＝222e [e e ()]a b b a a bb a b a+------． 设函数u (x )＝e x－1e x －2x (x ≥0)，则u ′(x )＝e x ＋1e x－2≥2＝0， ∴u ′(x )≥0(仅当x ＝0时等号成立)，∴u (x )单调递增．当x ＞0时，u (x )＞u (0)＝0.令2b ax -=， 则得22ee ()>0b a a b b a -----， ∴2f b f a a b f b a ()-()+⎛⎫< ⎪-⎝⎭.2014年陕西省高考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）22．（5分）（2014•陕西）函数f（x）=cos（2x+）的最小正周期是（）B4．（5分）（2014•陕西）根据如图框图，对大于2的正数N，输出的数列的通项公式是（）5．（5分）（2014•陕西）将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积6．（5分）（2014•陕西）从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，则这2个点的距离小于该正B（=x8．（5分）（2014•陕西）原命题为“若＜a n，n∈N+，则{a n}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，9．（5分）（2014•陕西）某公司10位员工的月工资（单位：元）为x1，x2，…，x10，其均值和方差分别为210．（5分）（2014•陕西）如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（）y=﹣y=x x x x二、填空题（共4小题，每小题5分，共25分）11．（5分）（2014•陕西）抛物线y2=4x的准线方程是_________．12．（5分）（2014•陕西）已知4a=2，lgx=a，则x=_________．13．（5分）（2014•陕西）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（1，﹣cosθ），若•=0，则tanθ= _________．14．（5分）（2014•陕西）已知f（x）=，x≥0，若f1（x）=f（x），f n+1（x）=f（f n（x）），n∈N+，则f2014（x）的表达式为_________．选考题（请在15-17三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）不等式选做题15．（5分）（2014•陕西）设a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，则的最小值为_________．几何证明选做题16．（2014•陕西）如图，△ABC中，BC=6，以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，若AC=2AE，则EF=_________．坐标系与参数方程选做题17．（2014•陕西）在极坐标系中，点（2，）到直线ρsin（θ﹣）=1的距离是_________．三、解答题（共6小题，共75分）18．（12分）（2014•陕西）△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，且c=2a，求cosB的值．19．（12分）（2014•陕西）四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H．（Ⅰ）求四面体ABCD的体积；（Ⅱ）证明：四边形EFGH是矩形．20．（12分）（2014•陕西）在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上，且=m+n（m，n∈R）（Ⅰ）若m=n=，求||；（Ⅱ）用x，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值．21．（12分）（2014•陕西）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车（Ⅱ）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．22．（13分）（2014•陕西）已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点（0，），离心率为，左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l：y=﹣x+m与椭圆交于A、B两点，与以F1F2为直径的圆交于C、D两点，且满足=，求直线l的方程．23．（14分）（2014•陕西）设函数f（x）=lnx+，m∈R．（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数；（Ⅲ）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．2014年陕西省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）22．（5分）（2014•陕西）函数f（x）=cos（2x+）的最小正周期是（）B，再代入复合三角函数的周期公式得，）的最小正周期是应用，属于基础题．求出•4．（5分）（2014•陕西）根据如图框图，对大于2的正数N，输出的数列的通项公式是（）5．（5分）（2014•陕西）将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积6．（5分）（2014•陕西）从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，则这2个点的距离小于该正B条长度为，两条长度为条长度为，两条长度为，=（=x，，8．（5分）（2014•陕西）原命题为“若＜a n，n∈N+，则{a n}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，解：∵＜≥9．（5分）（2014•陕西）某公司10位员工的月工资（单位：元）为x1，x2，…，x10，其均值和方差分别为2=+100[+100﹣（+100﹣（+100[）﹣）10．（5分）（2014•陕西）如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（）y=﹣y=x x x x选项，，将选项，，将选项，选项，二、填空题（共4小题，每小题5分，共25分）11．（5分）（2014•陕西）抛物线y2=4x的准线方程是x=﹣1．的值，再确定开口方12．（5分）（2014•陕西）已知4a=2，lgx=a，则x=．，lgx=a=．故答案为：13．（5分）（2014•陕西）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（1，﹣cosθ），若•=0，则tanθ=．解：∵＜，故答案为：．14．（5分）（2014•陕西）已知f（x）=，x≥0，若f1（x）=f（x），f n+1（x）=f（f n（x）），n∈N+，则f2014（x）的表达式为．解：由题意．．=故答案为：选考题（请在15-17三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）不等式选做题15．（5分）（2014•陕西）设a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，则的最小值为．∴的最小值为故答案为：几何证明选做题16．（2014•陕西）如图，△ABC中，BC=6，以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，若AC=2AE，则EF=3．，可得∴坐标系与参数方程选做题17．（2014•陕西）在极坐标系中，点（2，）到直线ρsin（θ﹣）=1的距离是1．）即（）﹣，﹣三、解答题（共6小题，共75分）18．（12分）（2014•陕西）△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，且c=2a，求cosB的值．b=cosB==．19．（12分）（2014•陕西）四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H．（Ⅰ）求四面体ABCD的体积；（Ⅱ）证明：四边形EFGH是矩形．=20．（12分）（2014•陕西）在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上，且=m+n（m，n∈R）（Ⅰ）若m=n=，求||；（Ⅱ）用x，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值．和的坐标，结合，再由=m+n求得的坐标，=m得到∴，∴∴）∵，∴21．（12分）（2014•陕西）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车（Ⅱ）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．，，22．（13分）（2014•陕西）已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点（0，），离心率为，左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l：y=﹣x+m与椭圆交于A、B两点，与以F1F2为直径的圆交于C、D两点，且满足=，求直线l的方程．）由题意可得．由=）由题意可得．d=，，可得=．=，的方程为23．（14分）（2014•陕西）设函数f（x）=lnx+，m∈R．（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数；（Ⅲ）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．，利用）﹣＜；=lne+=﹣﹣（﹣﹣时，函数时，函数时，函数时，函数或＜＜x=lnx+=﹣﹣，时成立；[，。

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2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学乐享玲珑，为中国数学增光添彩！免费玲珑3D 画板，全开放的几何教学软件，功能强大，好用实用第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 设全集为R ，函数()f x =M ， 则C M R 为 (A) (－∞,1）（B) （1, + ∞） (C) (,1]-∞(D) [1,)+∞2. 已知向量 (1,),(,2)a m b m ==, 若a //b , 则实数m 等于(A) (B ）（D ） 03. 设a , b , c 均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是 (A) ·log log log a c c b a b =（B ） ·log lo log g a a a b a b =（C) ()log ?l g o lo g a a a b c bc =（D) ()log g og o l l a a a b b c c +=+4。

根据下列算法语句， 当输入x 为60时， 输出y 的值为（A) 25 (B ） 30 (C) 31 （D ） 615。

对一批产品的长度(单位: mm ）进行抽样检测， 下图喂检测结果的频率分布直方图。

指引考生高考数学复习必须回归课本，回归基本知识的生成过程和基本思维活动经验,摒弃死抱住复习资料不放,盲目搞题海战术。

第五、图表的观察分析能力得到较好考查，体现了新课程的特点，也是当前信息时代信息处理的需要。

统计图，三视图、立体直观图的凸显，增强了试卷的视觉效应，对甄别学生的数学潜能具有良好的作用。

本解析为学科网名师解析团队原创，授权学科网独家使用，如有盗用，依法追责！一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 设全集为R, 函数()1f x x =-的定义域为M, 则C M R 为 (A) (－∞,1)(B) (1, + ∞)(C) (,1]-∞(D) [1,)+∞2. 已知向量 (1,),(,2)a m b m ==r r, 若a//b, 则实数m 等于(A) 2-2(C) 2-或2 (D) 03. 设a, b, c 均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是 (A) ·log log log a c c b a b = (B) c ·log log log a a b a b = (C) ()log og g l lo a a a b c bc =g(D) ()log g og o l la a ab bc c +=+4. 根据下列算法语句, 当输入x 为60时, 输出y 的值为 (A) 25 (B) 30 (C) 31 (D) 61 【答案】C【解析】：60,250.660-50)31x y =∴=+⨯=Q （,故选择C 。

【学科网考点定位】本题考查算法程序，重点突出对条件语句的考查. 是容易题。

5. 对一批产品的长度(单位: mm)进行抽样检测, 下图为检测结果的频率分布直方图. 根据标准, 产品长度在区间[20,25)上的为一等品, 在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品, 在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品. 用频率估计概率, 现从该批产品中随机抽取一件, 则其为二等品的概率为(A) 0.09(B) 0.20(C) 0.25(D) 0.45输入xIf x ≤50 Theny =0.5 * x Else y =25+0.6*(x -50) End If 输出y6. 设z 是复数, 则下列命题中的假命题是 (A) 若20z ≥, 则z 是实数 (B) 若20z <, 则z 是虚数 (C) 若z 是虚数, 则20z ≥(D) 若z 是纯虚数, 则20z <7. 若点(x,y)位于曲线y = |x|与y = 2所围成的封闭区域, 则2x －y 的最小值为 (A) －6(B) －2(C) 0(D) 28. 已知点M(a,b)在圆221:O x y +=外, 则直线ax + by = 1与圆O 的位置关系是 (A) 相切 (B) 相交 (C) 相离 (D) 不确定【答案】B【解析】点M(a,b)在圆221:O x y +=外，可知221a b +> ，由点到直线距离公式有222200111a b a ba b⨯+⨯-=<++ ，故直线ax + by = 1与圆O 的位置关系是相交。

2013年陕西高考文科数学试题及答案2013年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)文科数学注意事项:1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题, 第二部分为非选择题.2. 考生领到试卷后, 须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 设全集为R , 函数«Skip Record If...»的定义域为M ，则«Skip Record If...»为 (A) (－∞,1)(B) (1, + ∞) (C) «Skip Record If...» (D) «Skip RecordIf...»2. 已知向量«Skip Record If...»，若a //b ，则实数m 等于(A) «Skip Record If...» (B) «Skip Record If...»(C) «Skip Record If...»或«Skip Record If...» (D) 03. 设a , b , c 均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是(A) «Skip Record If...» (B) «Skip Record If...»(C) «Skip Record If...» (D) «Skip Record If...»4. 根据下列算法语句, 当输入x 为60时, 输出y 的值为 (A) 25 (B) 30 (C) 31 (D) 614. 对一批产品的长度(单位: 毫米)进行抽样检测, 下图为检测结果的频率分布直方图. 根据标准, 产品长度在区间[20,25)上为一等品, 在区间[15,20)和区间[25,30)上为二等品, 在区间[10,15)和[30,35)上为三等品. 用频率估计概率, 现从该批产品中随机抽取1件, 则其为二等品的概率为(A) 0.09 (B) 0.20(C) 0.25 (D) 0.45 6. 设z 是复数, 则下列命题中的假．命题是 (A) 若«Skip Record If...», 则z 是实数 (B) 若«Skip Record If...», 则z 是虚数 (C) 若z 是虚数, 则«Skip Record If...» (D) 若z 是纯虚数, 则«Skip Record If...»7. 若点(x ,y )位于曲线y = |x |与y = 2所围成的封闭区域, 则2x －y 的最小值为输入x If x ≤50 Then y = 0.5 * x Else y = 25 + 0.6*(x -50)End If 输出y(A) －6 (B) －2 (C) 0 (D) 28. 已知点M (a ,b )在圆«Skip Record If...»外, 则直线ax + by = 1与圆O 的位置关系是(A) 相切 (B) 相交 (C) 相离 (D) 不确定9 设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若«Skip Record If...», 则△ABC 的形状为(A) 直角三角形 (B) 锐角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定10. 设[x ]表示不大于x 的最大整数, 则对任意实数x ,有(A) [－x ] =－[x ] (B) [x + «Skip Record If...»] = [x ](C) [2x ] = 2[x ] (D) «Skip Record If...»二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 双曲线«Skip Record If...»的离心率为 . 12. 某几何体的三视图如图所示, 则其表．面积为 . 13. 观察下列等式:«Skip Record If...»… 照此规律, 第n 个等式可为 .14. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x 为 (m ).15. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题评分)A . (不等式选做题) 设a , b ∈R , |a －b |>2, 则关于实数x 的不等式«Skip Record If...»的解集是 .B . (几何证明选做题) 如图, AB 与CD 相交于点E , 过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P . 已知«Skip Record If...», PD = 2DA = 2, 则PE = . C . (坐标系与参数方程选做题) 圆锥曲线«Skip Record If...» (t 为参数)的焦点坐标是 .三、解答题: 解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分）16. (本小题满分12分)已知向量«Skip Record If...», 设函数«Skip Record If...». (Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.(Ⅱ) 求f (x) 在«Skip Record If...»上的最大值和最小值.17. (本小题满分12分)设S n 表示数列«Skip Record If...»的前n 项和. (Ⅰ) 若«Skip Record If...»为等差数列, 推导S n 的计算公式;P(Ⅱ) 若«Skip Record If...», 且对所有正整数n, 有«Skip Record If...». 判断«Skip Record If...»是否为等比数列.18. (本小题满分12分)如图, 四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD, «Skip Record If...».1A(Ⅰ) 证明: A1BD // 平面CD1B1;(Ⅱ) 求三棱柱ABD－A1B1D1的体积.19. (本小题满分12分)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛, 由500名大众评委现场投票决定歌手名次, 根据年龄将大众评委分为5组,(Ⅰ) 为了调查评委对7, 其中从B组中抽取了6人.(Ⅱ) 在(Ⅰ)中, 若A, B, 现从这两组被抽到的评委中分别任选1人, 求这2人都支持1号歌手的概率.20. (本小题满分13分)已知动点M(x,y)到直线l:x = 4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.(Ⅰ) 求动点M 的轨迹C 的方程;(Ⅱ) 过点P (0,3)的直线m 与轨迹C 交于A , B 两点. 若A 是PB 的中点, 求直线m 的斜率.21. (本小题满分14分)已知函数«Skip Record If...». (Ⅰ) 求f (x )的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程;(Ⅱ) 证明: 曲线y = f (x) 与曲线«Skip Record If...»有唯一公共点. (Ⅲ) 设a <b , 比较«Skip Record If...»与«Skip Record If...»的大小, 并说明理由.答案：1.B2. C3. B4. C5. D6. C7. A8. B9. A 10. D11.«Skip Record If...»12.«Skip Record If...»13. «Skip Record If...»14. 2015. (－∞,﹢∞)B «Skip Record If...»C (1, 0)16【解】«Skip Record If...»=«Skip Record If...»。

2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项:1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题，第二部分为非选择题、.2. 考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息、.3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(共50分)1、 第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1、 设全集为R , 函数()f x =M , 则C M R 为(A) (－∞,1)(B) (1, + ∞)(C) (,1]-∞(D) [1,)+∞【答案】B【解析】),1(],1,(.1,0-1∞=-∞=≤∴≥MR C M x x 即 ,所以选B2、 已知向量 (1,),(,2)a m b m ==, 若a //b , 则实数m 等于(A) (B)(C) (D) 02、 【答案】C【解析】.221,//),2,(),,1(±=⇒⋅=⋅∴==m m m b m m 且 ,所以选C 3、 设a , b , c 均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是 (A) ·log log log a c c b a b = (B) ·log lo log g a a a b a b =(C) ()log ?l g o lo g a a a b c bc = (D) ()log g og o l l a a a b b c c +=+3、 【答案】B【解析】a, b,c ≠1、 考察对数2个公式: abb y x xyc c a a a a log log log ,log log log =+=对选项A: bab a b bc c a c c a log log log log log log =⇒=⋅,显然与第二个公式不符，所以为假.对选项B: abb b a bc c a c c a log log log log log log =⇒=⋅,显然与第二个公式一致，所以为真.对选项C: c b bc a a a log log log ⋅=）（,显然与第一个公式不符，所以为假. 对选项D: c b c b a a a log log )log +=+（,同样与第一个公式不符，所以为假. 所以选B4、 根据下列算法语句, 当输入x 为60时, 输出y 的值为 (A) 25 (B) 30 (C) 31 (D) 614、 【答案】C【解析】31)50(6.025,60=-⋅+=∴=x y x ,所以选C5、 对一批产品的长度(单位: mm )进行抽样检测, 下图喂检测结果的频率分布直方图、 根据标准, 产品长度在区间[20,25)上的为一等品, 在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品, 在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品、 用频率估计概率, 现从该批产品中随机抽取一件, 则其为二等品的概率为(A) 0、09 (B) 0、20(C) 0、25(D) 0、455、 【答案】D【解析】组距为5，二等品的概率为45.05)03.006.002.0(1=⋅++-.所以，从该批产品中随机抽取1件，则其是二等品的概率为0、45、 所以选D 6、 设z 是复数, 则下列命题中的假命题是 (A) 若20z ≥, 则z 是实数 (B) 若20z <, 则z 是虚数 (C) 若z 是虚数, 则20z ≥(D) 若z 是纯虚数, 则20z <6、 【答案】C【解析】abi b a z R b a bi a z 2,,222+-=⇒∈+=设.经观察，C 和D 选项可能是互相排斥的，应重点注意.对选项A: 为实数则若z b z ⇒=≥0,02,所以为实数z 为真.对选项B: 为纯虚数且则若z b a z ⇒≠=<0,0,02,所以为纯虚数z 为真、 对选项C: 00,0,2<⇒≠=z b a z 且则为纯虚数若,所以02≥z 为假 对选项D: 00,0,2<⇒≠=z b a z 且则为纯虚数若,所以02<z 为真、 所以选C7、 若点(x ,y )位于曲线y = |x |与y = 2所围成的封闭区域, 则2x －y 的最小值为 (A) －6 (B) －2 (C) 0 (D) 27、 【答案】A【解析】2||==y x y 与的图像围成一个三角形区域，3个顶点的坐标分别是 (0,0),(-2,2),(2,2)、 且当取点(-2,2)时，2x – y = - 6取最小值.所以选A8、 已知点M (a ,b )在圆221:O x y +=外, 则直线ax + by = 1与圆O 的位置关系是 (A) 相切 (B) 相交(C) 相离(D) 不确定8、 【答案】B【解析】点M(a, b)在圆.112222>+⇒=+b a y x 外111)00(.22<+==+ba d by ax O 距离到直线，圆=圆的半径，故直线与圆相交.所以选B 、 9、 设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为 (A) 直角三角形 (B) 锐角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定9、 【答案】A【解析】因为cos cos sin b C c B a A +=，所以A A B C C B sin sin cos sin cos sin =+ 又A C B B C C B sin )sin(cos sin cos sin =+=+.联立两式得A A A sin sin sin =. 所以2,1sin π==A A .选A10、 设[x ]表示不大于x 的最大整数, 则对任意实数x , y , 有 (A) [－x ] = －[x ] (B) [x +12] = [x ](C) [2x ] = 2[x ](D) 1[][][2]2x x x ++=10、 【答案】D 【解析】代值法.对A, 设x = - 1、8, 则[-x] = 1, -[x] = 2, 所以A 选项为假. 对B, 设x = 1、8, 则[x+21] = 2, [x] = 1, 所以B 选项为假. 对C, 设x = - 1、4, [2x] = [-2、8] = - 3, 2[x] = - 4, 所以C 选项为假. 故D 选项为真.所以选D二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11、 双曲线221169x y -=的离心率为 、11、 【答案】45 【解析】。

绝密★启封并使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

全卷满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。

2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题共8小题。

每小题5分，共40分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

（1）已知集合A=｛1，2，3，4｝，B=｛x|x=n2，n∈A｝,则A∩B= ( ) （A）｛0｝（B）｛-1，,0｝（C）{0，1} （D）｛-1，,0，1}（2） = ( )（A）-1 - i（B）-1 + i（C）1 + i（D）1 - i（3）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）（A）（B）（C）（D）（4）已知双曲线C： = 1（a>0,b>0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）（A）y=±x （B）y=±x （C）y=±x （D）y=±x（5）已知命题p：，则下列命题中为真命题的是：（）（A） p∧q （B）￢p∧q （C）p∧￢q （D）￢p∧￢q （6）设首项为1，公比为的等比数列｛a n｝的前n项和为S n，则（）（A）S n=2a n-1 （B）S n =3a n-2 （C）S n=4-3a n（D）S n =3-2a n（7）执行右面的程序框图，如果输入的t∈[-1，3]，则输出的s属于（A）[-3,4]（B）[-5,2]（C）[-4,3]（D）[-2,5]（8）O为坐标原点，F为抛物线C：y²=4x的焦点，P为C上一点，若丨PF丨=4，则△POF的面积为（A）2 （B）2（C）2（D）4（9）函数f（x）=（1-cosx）sinx在[-π，π]的图像大致为（10）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos²A+cos2A=0，a=7，c=6，则b=（A）10 （B）9 （C）8 （D）5（11）某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为（A）18+8π（B）8+8π（C）16+16π（D）8+16π（12）已知函数f（x）= 若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（A）（-∞] （B）（-∞] (C)[-2,1] (D)[-2,0]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(陕西卷)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求(本大题共10小题，每小题5分，共50分)．1．(2013陕西，文1)设全集为R，函数f(x)＝1x的定义域为M，则R M为( )．A．(－∞，1) B．(1，＋∞） C．(－∞，1] D．[1，＋∞）2．(2013陕西，文2)已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，则实数m等于( )．A．2 B．2 C．2或2 D．03．(2013陕西，文3)设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )．A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcbC．loga(bc)＝logab·ｌogac D．loga(b＋c)＝logab＋logac4．(2013陕西，文4)根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为( )．A．25B．30C．31D．615．(2013陕西，文5)对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是( )．A．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.456．(2013陕西，文6)设z是复数，则下列命题中的假．命题是( )．A．若z2≥0，则z是实数 B．若z2＜0，则z是虚数C．若z是虚数，则z2≥０ D．若z是纯虚数，则z2＜07．(2013陕西，文7)若点(x，y)位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值是( )．A．－6 B．－2 C．0 D．28．(2013陕西，文8)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )．A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定9．(2013陕西，文9)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为( )．A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定10．(2013陕西，文10)设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，有( )．A．[－x]＝－[x] B．1[]2x xC．[2x]＝2[x] D．[x]＋12x＝[2x]二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题，每小题5分，共25分)．11．(2013陕西，文11)双曲线221169x y的离心率为__________．12．(2013陕西，文12)某几何体的三视图如图所示，则其表面积为__________．13．(2013陕西，文13)观察下列等式(1＋1)＝2×１(2＋1)(2＋2)＝22×1×３(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×５……照此规律，第n 个等式可为_______________________________．14．(2013陕西，文14)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为__________(m)．15．(2013陕西，文15)(考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)A ．(不等式选做题)设a ，b ∈R ，|a －b |＞2，则关于实数x 的不等式|x －a |＋|x －b |＞2的解集是__________．B ．(几何证明选做题)如图，AB 与CD 相交于点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P ，已知∠A ＝∠C ，PD ＝2DA ＝2，则PE ＝__________.C ．(坐标系与参数方程选做题)圆锥曲线2,2x t yt(t 为参数)的焦点坐标是__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共75分)．16．(2013陕西，文16)(本小题满分12分)已知向量a ＝1cos ,2x ，b ＝(3sin x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a ·b .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在π0,2上的最大值和最小值．17．(2013陕西，文17)(本小题满分12分)设S n表示数列{a n}的前n项和．(1)若{a n}是等差数列，推导S n的计算公式；(2)若a1＝1，q≠0，且对所有正整数n，有11nnqSq.判断{a n}是否为等比数列，并证明你的结论．18．(2013陕西，文18)(本小题满分12分)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝2.(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD－A1B1D1的体积．19．(2013陕西，文19)(本小题满分12分)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次．根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：组别 A B C D E人数5010015015050(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组抽取了6人，请将其余各组抽取的人数填入下表.组别 A B C D E人数5010015015050抽取人数 6(2)在(1)中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．20．(2013陕西，文20)(本小题满分13分)已知动点M(x，y)到直线l：x＝4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍．(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A，B两点，若A是PB的中点，求直线m的斜率．21．(2013陕西，文21)(本小题满分14分)已知函数f (x )＝e x，x ∈R . (1)求f (x )的反函数的图像上点(1,0)处的切线方程；(2)证明：曲线y ＝f (x )与曲线y ＝12x 2＋x ＋1有唯一公共点；(3)设a ＜b ，比较2a b f与f b f a ba的大小，并说明理由．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(陕西卷)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求(本大题共10小题，每小题5分，共50分)．1．答案：B解析：要使f (x )＝1x 有意义，则须1－x ≥0，即x ≤1，所以M ＝{x |x ≤1}，RM＝{x |x ＞1}．2．答案：C解析：由a ∥b 知1×2－m 2＝0，即2m或2.3．答案：B解析：由换底公式得log ab ·log ca ＝lg lg lg lg b a a c＝log c b ，所以B 正确．4．答案：C解析：因为x ＝60＞50，所以y ＝25＋0.6(60－50)＝31，故选C ．5．答案：D解析：由频率分布直方图知识可知：在区间[15,20)和[25,30)上的概率为0.04×5＋[1－(0.02＋0.04＋0.06＋0.03)×5]＝0.45. 6．答案：C解析：由复数的基本知识可知：z 2能与0比较大小且z 2≥0，则z 为实数，所以A 正确；同理，z 2＜0，则z 是纯虚数，所以B 正确；反过来，z 是纯虚数，z 2＜0，D 正确；对于选项C ，不妨取z ＝1＋i ，则z 2＝2i 不能与0比较大小．7．答案：A解析：设z ＝2x －y ，可行域如图：当直线y ＝2x －z 过点A 时，截距－z 最大，即z 最小，所以最优解为(－2,2)，z min ＝2×(－2)－2＝－6. 8．答案：B解析：∵点M (a ，b )在圆x 2＋y 2＝1外，∴点M (a ，b )到圆心(0,0)的距离要大于半径，即a 2＋b 2＞1，而圆心(0,0)到直线ax ＋by ＝1的距离为d ＝221ab＜1，∴直线与圆相交．9．答案：A 解析：∵sin sin sin a b c ABC，∴sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin A sin A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin A ＝1，∴π2A ，故选A ．10 答案：D解析：令x ＝1.1，[－1.1]＝－2，而－[1.1]＝－1，所以A 错；令12x，11022，112，所以B 错；令x ＝0.5，[2x ]＝1,2[x ]＝0，所以C 错；故选D ．二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题，每小题5分，共25分)．11．答案：54解析：在双曲线221169xy中，a ＝4，b ＝3，则c ＝169＝5，∴54c ea.12．答案：3π解析：由三视图可知该几何体为半径为1的球体的一半，所以表面积为12×４π×１2＋π×１2＝3π.13．答案：(n ＋1)(n ＋2)…（n ＋n )＝2n×1×3×…×(2n －1) 解析：观察规律，等号左侧为(n ＋1)(n ＋2)…（n ＋n )，等号右侧分两部分，一部分是2n，另一部分是1×3×…×(2n －1)．14．答案：20 解析：设DE ＝x ，MN ＝y ，由三角形相似得：404040x AD AN yAB AM，即404040x y，即x ＋y ＝40，由均值不等式可知x ＋y ＝40≥2xy ，S ＝x ·y ≤400，当x ＝y ＝20时取等号，所以当宽为20时面积最大．15．答案：(－∞，＋∞）解析：由不等式性质知：|x －a |＋|x －b |≥|(x －a )－(x －b )|＝|b －a |＝|a －b |＞2，所以|x －a |＋|x －b |＞2的解集为全体实数．B ．答案：6解析：∵PE ∥BC ，∴∠C ＝∠PED ．又∠C ＝∠A ，故∠A ＝∠PED ．又∠P ＝∠P ，故△PED ∽△PAE ，则PE PD PAPE，∴PE 2＝PA·PD ．又PD ＝2DA ＝2，∴PA ＝PD ＋DA ＝3，∴PE 2＝3×2＝6，∴PE ＝6.C ．答案：(1,0)解析：由2,2x ty t消去t得，y2＝4x，故曲线表示为焦点(1,0)的抛物线．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共75分)．16．解：f(x)＝1cos,2x·（3sin x，cos 2x)＝3cos x sin x－12cos 2x＝32sin 2x－12cos 2x＝ππcos sin 2sin cos 2 66x x＝πsin26x.(1)f(x)的最小正周期为2π2ππ2T，即函数f(x)的最小正周期为π.(2)∵0≤x≤π2，∴ππ5π2666x.由正弦函数的性质，当ππ262x，即π3x时，f(x)取得最大值 1.当ππ266x，即x＝0时，f(0)＝12，当π52π66x，即π2x时，π122f，∴f(x)的最小值为1 2 .因此，f(x)在π0,2上最大值是1，最小值是12.17．解：(1)解法一：设{a n}的公差为d，则S n＝a1＋a2＋…＋a n＝a1＋(a1＋d)＋…＋[a1＋(n－1)d]，又S n＝a n＋(a n－d)＋…＋[a n－(n－1)d]，∴2S n＝n(a1＋a n)，∴12nn n a aS.解法二：设{a n}的公差为d，则S n＝a1＋a2＋…＋a n＝a1＋(a1＋d)＋…＋[a1＋(n－1)d]，又S n＝a n＋a n－1＋…＋a1＝[a1＋(n－1)d]＋[a1＋(n－2)d]＋…＋a1，∴2S n＝[2a1＋(n－1)d]＋[2a1＋(n－1)d]＋…＋[2a1＋(n－1)d] ＝2na1＋n(n－1)d，∴S n＝na1＋12n nd.(2){a n }是等比数列，证明如下：∵11nnqS q，∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝1111111n nnn qqq q q q qq.∵a 1＝1，q ≠0，∴当n ≥１时，有11nn n na q q a q，因此，{a n }是首项为1且公比为q 的等比数列．18．解：(1)由题设知，BB1DD 1，∴BB 1D 1D 是平行四边形，∴BD ∥B 1D 1.又BD 平面CD 1B 1，∴BD ∥平面CD 1B 1. ∵A 1D 1B 1C 1BC ，∴A 1BCD 1是平行四边形，∴A 1B ∥D 1C ．又A 1B 平面CD 1B 1，∴A 1B ∥平面CD1B 1. 又∵BD ∩A 1B ＝B ，∴平面A 1BD ∥平面CD1B 1. (2)∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O 是三棱柱ABD －A 1B 1D 1的高．又∵AO ＝12AC ＝1，AA 1＝2，∴A 1O ＝221AA OA ＝1. 又∵S △ABD ＝1222＝1，∴111ABDA B D V ＝S △ABD ×A 1O ＝1.19．解：(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：组别 ABCDE人数5010015015050抽取人数3699 3(2)记从A 组抽到的3个评委为a 1，a 2，a 3，其中a 1，a 2支持1号歌手；从B 组抽到的6个评委为b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6，其中b 1，b 2支持1号歌手．从{a 1，a 2，a 3}和{b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6}中各抽取1人的所有结果为：由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a 1b 1，a 1b 2，a 2b 1，a 2b 2共4种，故所求概率42189p .20．(1)解：设M 到直线l 的距离为d ，根据题意，d ＝2|MN |.由此得22|4|21x x y ，化简得22143x y，所以，动点M 的轨迹方程为22143xy.(2)解法一：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋3代入22143xy中，有(3＋4k 2)x 2＋24kx ＋24＝0，其中，Δ＝(24k )2－4×24(3＋4k 2)＝96(2k 2－3)＞0，由求根公式得，x 1＋x 2＝22434k k，①x 1x 2＝22434k.②又因A 是PB 的中点，故x 2＝2x 1，③将③代入①，②得12834k x k，2121234x k，可得2228123434k k k ，且232k，解得32k或32k，所以，直线m 的斜率为32或32.解法二：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵A 是PB 的中点，∴212x x ，①2132y y .②又2211143xy ，③2222143x y ，④联立①，②，③，④解得222,0x y 或222,0,x y 即点B 的坐标为(2,0)或(－2,0)，所以，直线m 的斜率为32或32.21．解：(1)f (x )的反函数为g (x )＝ln x ，设所求切线的斜率为k ，∵g ′（x )＝1x，∴k ＝g ′(1)＝1，于是在点(1,0)处切线方程为y ＝x －1.(2)解法一：曲线y ＝e x与y ＝12x 2＋x ＋1公共点的个数等于函数φ(x )＝e x－12x 2－x －1零点的个数．∵φ(0)＝1－1＝0，2013 陕西文科数学第11页∴φ(x )存在零点x ＝0.又φ′（x )＝e x －x －1，令h (x )＝φ′（x )＝e x －x －1，则h ′（x )＝e x －1，当x ＜0时，h ′（x )＜0，∴φ′（x )在(－∞，0)上单调递减．当x ＞0时，h ′（x )＞0，∴φ′（x )在(0，＋∞)上单调递增．∴φ′（x )在x ＝0有唯一的极小值φ′(0)＝0，即φ′（x )在R 上的最小值为φ′(0)＝0.∴φ′（x )≥0(仅当x ＝0时等号成立)，∴φ(x )在R 上是单调递增的，∴φ(x )在R 上有唯一的零点，故曲线y ＝f (x )与y ＝12x 2＋x ＋1有唯一的公共点．解法二：∵ｅx ＞0，12x 2＋x ＋1＞0，∴曲线y ＝e x 与y ＝12x 2＋x ＋1公共点的个数等于曲线2112e x x x y 与y ＝1公共点的个数，设2112e x x x x ，则φ(0)＝1，即x ＝0时，两曲线有公共点．又φ′（x )＝222111e1e 22e e x x x x x x x x ≤0(仅当x ＝0时等号成立)，∴φ(x )在R 上单调递减，∴φ(x )与y ＝1有唯一的公共点，故曲线y ＝f (x )与y ＝12x 2＋x ＋1有唯一的公共点．(3)2f b f aa b f b a＝222e e e e e e ea b a b a b b ab a b a b ab a ＝222e [e e()]a b b aa b b a b a ．设函数u (x )＝e x －1e x －2x (x ≥0)，则u ′（x )＝e x ＋1e x －2≥12e e x x －2＝0，∴u ′（x )≥0(仅当x ＝0时等号成立)，∴u (x )单调递增．当x ＞0时，u (x )＞u (0)＝0.令2b a x，则得22e e ()>0b a a b b a ，∴2f b f a a bf b a .。

2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项:1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题，第二部分为非选择题.。

2. 考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.。

3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 设全集为R , 函数()1f x x =-的定义域为M , 则C M R 为(A) (－∞,1)(B) (1, + ∞)(C) (,1]-∞(D) [1,)+∞2. 已知向量 (1,),(,2)a m b m ==, 若a //b , 则实数m 等于 (A) 2- (B) 2(C) 2-或2(D) 03. 设a , b , c 均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是 (A) ·log log log a c c b a b = (B) ·log lo log g a a a b a b =(C) ()log ?l g o lo g a a a b c bc =(D) ()log g og o l l a a a b b c c +=+4. 根据下列算法语句, 当输入x 为60时, 输出y 的值为(A) 25 (B) 30 (C) 31(D) 615. 对一批产品的长度(单位: mm )进行抽样检测, 下图喂检测结果的频率分布直方图. 根据标准, 产品长度在区间[20,25)上的为一等品, 在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品, 在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品. 用频率估计概率, 现从该批产品中随机抽取一件, 则其为二等品的概率为(A) 0.09 (B) 0.20 (C) 0.25 (D) 0.45输入xIf x ≤50 Then y = 0.5 * xElse y = 25 + 0.6*(x -50)End If输出y6. 设z 是复数, 则下列命题中的假命题是 (A) 若20z ≥, 则z 是实数 (B) 若20z <, 则z 是虚数(C) 若z 是虚数, 则20z ≥(D) 若z 是纯虚数, 则20z <7. 若点(x ,y )位于曲线y = |x |与y = 2所围成的封闭区域, 则2x －y 的最小值为 (A) －6 (B) －2 (C) 0 (D) 28. 已知点M (a ,b )在圆221:O x y +=外, 则直线ax + by = 1与圆O 的位置关系是(A) 相切 (B) 相交 (C) 相离 (D) 不确定9. 设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为 (A) 直角三角形 (B) 锐角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定10. 设[x ]表示不大于x 的最大整数, 则对任意实数x , y , 有 (A) [－x ] = －[x ] (B) [x +12] = [x ](C) [2x ] = 2[x ](D) 1[][][2]2x x x ++=二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 双曲线221169x y -=的离心率为 .12. 某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为 .13. 观察下列等式: 23(11)21(21)(22)213(31)(32)(33)2135+=⨯++=⨯⨯+++=⨯⨯⨯…照此规律, 第n 个等式可为 .14. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x 为 (m ).40mx40m15. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分)A . (不等式选做题) 设a , b ∈R , |a －b |>2, 则关于实数x 的不等式||||2x a x b -+->的解集是 .B . (几何证明选做题) 如图, AB 与CD 相交于点E , 过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P . 已知A C ∠=∠, PD = 2DA = 2, 则PE = . C . (坐标系与参数方程选做题) 圆锥曲线22x t y t ⎧=⎨=⎩(t 为参数)的焦点坐标是 .三、解答题: 解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分） 16. (本小题满分12分)已知向量1(cos ,),(3sin ,cos2),2x x x x =-=∈a b R , 设函数()·f x =a b .(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.(Ⅱ) 求f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.17. (本小题满分12分) 设S n 表示数列{}n a 的前n 项和. (Ⅰ) 若{}n a 为等差数列, 推导S n 的计算公式;(Ⅱ) 若11,0a q =≠, 且对所有正整数n , 有11nn q S q-=-. 判断{}n a 是否为等比数列.18. (本小题满分12分)如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O ⊥平面ABCD , 12AB AA ==.OD 1B 1C 1D ACBA 1(Ⅰ) 证明: A 1BD // 平面CD 1B 1;(Ⅱ) 求三棱柱ABD －A 1B 1D 1的体积.19. (本小题满分12分)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛, 由500名大众评委现场投票决定歌手名次, 根据年龄将大众评委分为5组, 各组的人数如下:组别 ABCDE人数 50 100 150 150 50DBCEPA(Ⅰ) 为了调查评委对7位歌手的支持状况, 现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委, 其中从B 组中抽取了6人. 请将其余各组抽取的人数填入下表.组别 AB C D E 人数50 100 150 150 50抽取人数6(Ⅱ) 在(Ⅰ)中, 若A , B 两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手, 现从这两组被抽到的评委中分别任选1人, 求这2人都支持1号歌手的概率. 20. (本小题满分13分)已知动点M (x ,y )到直线l :x = 4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍. (Ⅰ) 求动点M 的轨迹C 的方程;(Ⅱ) 过点P (0,3)的直线m 与轨迹C 交于A , B 两点. 若A 是PB 的中点, 求直线m 的斜率.21. (本小题满分14分) 已知函数()e ,x f x x =∈R . (Ⅰ) 求f (x )的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程;(Ⅱ) 证明: 曲线y = f (x) 与曲线2112y x x =++有唯一公共点. (Ⅲ) 设a <b , 比较2a b f +⎛⎫⎪⎝⎭与()()f b f a b a --的大小, 并说明理由.。

2013年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)文科数学注意事项：1. 本考卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4. 考试结束后，将本卷和答题卡一并交回。

第一部分1．选择题1. 设全集为R, 函数的定义域为M, 则为(A) (－∞,1) (B) (1, + ∞) (C) (D)2. 已知向量 , 若a//b, 则实数m等于(A) (B) (C) 或 (D) 03. 设a, b, c均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是(A) (B)(C) (D)4. 根据下列算法语句, 当输入x为60时, 输出y的值为(A) 25输入xIf x≤50 Theny = 0.5 * xElsey = 25 + 0.6*(x-50)End If输出y(B) 30(C) 31(D) 615. 对一批产品的长度(单位: mm)进行抽样检测, 下图喂检测结果的频率分布直方图. 根据标准, 产品长度在区间[20,25)上的为一等品, 在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品, 在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品. 用频率估计概率, 现从该批产品中随机抽取一件, 则其为二等品的概率为(A) 0.09 (B) 0.20 (C) 0.25 (D) 0.456. 设z是复数, 则下列命题中的假命题是(A) 若, 则z是实数 (B) 若, 则z是虚数(C) 若z是虚数, 则 (D) 若z是纯虚数, 则7. 若点(x,y)位于曲线y = |x|与y = 2所围成的封闭区域, 则2x－y的最小值为(A) －6 (B) －2 (C) 0 (D) 28. 已知点M(a,b)在圆外, 则直线ax + by = 1与圆O的位置关系是(A) 相切 (B) 相交 (C) 相离 (D) 不确定9. 设的内角所对的边分别是，若，则的形状是锐角三角形直角三角形钝角三角形不确定10. 设表示不大于的最大整数，则对任意实数，有第二部分（共100分）二、填空题11.双曲线的离心率为。

2013年陕西省高考数学试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）设全集为R，函数f（）=的定义域为M，则∁RM为（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1] D．[1，+∞）2．（5分）已知向量=（1，m），=（m，2），若∥，则实数m等于（）A．﹣B．C．﹣或D．03．（5分）设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（）A．loga b•logcb=logca B．logab•logca=logcbC．loga bc=logab•logac D．loga（b+c）=logab+logac4．（5分）根据下列算法语句，当输入为60时，输出y的值为（）A．25 B．30 C．31 D．615．（5分）对一批产品的长度（单位：mm）进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20，25）上的为一等品，在区间[15，20）和区间[25，30）上的为二等品，在区间[10，15）和[30，35）上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为（）A．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.456．（5分）设是复数，则下列命题中的假命题是（）A．若2≥0，则是实数 B．若2＜0，则是虚数C．若是虚数，则2≥0 D．若是纯虚数，则2＜07．（5分）若点（，y）位于曲线y=||与y=2所围成的封闭区域，则2﹣y的最小值为（）A．﹣6 B．﹣2 C．0 D．28．（5分）已知点M（a，b）在圆O：2+y2=1外，则直线a+by=1与圆O的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．不确定9．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形 D．不确定10．（5分）设表示不大于的最大整数，则对任意实数，有（）A．[﹣]=﹣B．[+]= C．[2]=2 D．+[+]=[2]二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共25分）11．（5分）双曲线的离心率为．12．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为．13．（5分）观察下列等式：（1+1）=2×1（2+1）（2+2）=22×1×3（3+1）（3+2）（3+3）=23×1×3×5…照此规律，第n个等式可为．14．（5分）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长为（m）．选做题：（考生请注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）15．（5分）（不等式选做题）设a，b∈R，|a﹣b|＞2，则关于实数的不等式|﹣a|+|﹣b|＞2的解集是．16．（几何证明选做题）如图，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P．已知∠A=∠C ，PD=2DA=2，则PE= ．17．（坐标系与参数方程选做题） 圆锥曲线（t 为参数）的焦点坐标是 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分）18．（12分）已知向量=（cos ，﹣），=（sin ，cos2），∈R ，设函数f（）=． （Ⅰ） 求f （）的最小正周期．（Ⅱ） 求f （）在[0，]上的最大值和最小值．19．（12分）设S n 表示数列{a n }的前n 项和．（Ⅰ） 若{a n }为等差数列，推导S n 的计算公式；（Ⅱ） 若a 1=1，q ≠0，且对所有正整数n ，有S n =．判断{a n }是否为等比数列，并证明你的结论．20．（12分）如图，四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A1O ⊥平面ABCD ，AB=AA 1=． （Ⅰ） 证明：平面A 1BD ∥平面CD 1B 1；（Ⅱ） 求三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的体积．21．（12分）有7位歌手（1至7号）参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为5组，各组的人数如下：取若干评委，其中从B组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入下表．2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．22．（13分）已知动点M（，y）到直线l：=4的距离是它到点N（1，0）的距离的2倍．（Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点P（0，3）的直线m与轨迹C交于A，B两点．若A是PB的中点，求直线m的斜率．23．（14分）已知函数f（）=e，∈R．（Ⅰ）求f（）的反函数的图象上的点（1，0）处的切线方程；（Ⅱ）证明：曲线y=f（）与曲线y=有唯一公共点．（Ⅲ）设a＜b，比较f（）与的大小，并说明理由．2013年陕西省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）设全集为R ，函数f （）=的定义域为M ，则∁R M 为（ ） A ．（﹣∞，1） B ．（1，+∞） C ．（﹣∞，1] D ．[1，+∞）【分析】由根式内部的代数式大于等于0求出集合M ，然后直接利用补集概念求解．【解答】解：由1﹣≥0，得≤1，即M=（﹣∞，1]，又全集为R ，所以∁R M=（1，+∞）．故选：B ．【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了补集及其运算，是基础题．2．（5分）已知向量 =（1，m ），=（m ，2），若∥，则实数m 等于（ ）A ．﹣B ．C ．﹣或D ．0【分析】直接利用向量共线的坐标表示列式进行计算．【解答】解：∵=（1，m ），=（m ，2），且，所以1•2=m •m ，解得m=或m=．故选：C ．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算，向量，则的充要条件是1y 2﹣2y 1=0，是基础题．3．（5分）设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（ ）A ．log a b •log c b=log c aB ．log a b •log c a=log c bC ．log a bc=log a b •log a cD ．log a （b+c ）=log a b+log a c【分析】通过对数的换底公式以及对数运算公式log a （y ）=log a +log a y （、y ＞0），判断选项即可．【解答】解：对于A ，log a b •log c b=log c a ⇒，与换底公式矛盾，所以A 不正确；对于B ，log a b •log a a=log a b ，⇒，符合换底公式，所以正确； 对于C ，log a bc=log a b •log a c ，不满足对数运算公式log a （y ）=log a +log a y （、y ＞0），所以不正确；对于D ，log a （b+c ）=log a b+log a c ，不满足log a （y ）=log a +log a y （、y ＞0），所以不正确；故选：B ．【点评】本题考查对数的运算法则，基本知识的考查．4．（5分）根据下列算法语句，当输入为60时，输出y 的值为（ ）A ．25B ．30C ．31D ．61【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数 y=的函数值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数y=的函数值．当=60时，则y=25+0.6（60﹣50）=31，故选：C．【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．5．（5分）对一批产品的长度（单位：mm）进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20，25）上的为一等品，在区间[15，20）和区间[25，30）上的为二等品，在区间[10，15）和[30，35）上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为（）A．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.45【分析】在频率分布表中，由频率与频数的关系，计算可得各组的频率，根据频率的和等于1可求得二等品的概率．【解答】解：由频率分布直方图知识可知：在区间[15，20）和[25，30）上的概率为0.04×5+[1﹣（0.02+0.04+0.06+0.03）×5]=0.45．故选：D．【点评】本小题主要考查样本的频率分布直方图的知识和分析问题以及解决问题的能力．统计初步在近两年高考中每年都以小题的形式出现，基本上是低起点题．6．（5分）设是复数，则下列命题中的假命题是（）A．若2≥0，则是实数 B．若2＜0，则是虚数C．若是虚数，则2≥0 D．若是纯虚数，则2＜0【分析】设出复数，求出2，利用a，b的值，判断四个选项的正误即可．【解答】解：设=a+bi，a，b∈R，2=a2﹣b2+2abi，对于A，2≥0，则b=0，所以是实数，真命题；对于B，2＜0，则a=0，且b≠0，⇒是虚数；所以B为真命题；对于C，是虚数，则b≠0，所以2≥0是假命题．对于D，是纯虚数，则a=0，b≠0，所以2＜0是真命题；故选：C．【点评】本题考查复数真假命题的判断，复数的基本运算．7．（5分）若点（，y）位于曲线y=||与y=2所围成的封闭区域，则2﹣y的最小值为（）A．﹣6 B．﹣2 C．0 D．2【分析】先根据曲线y=||与y=2所围成的封闭区域画出区域D，再利用线性规划的方法求出目标函数2﹣y的最大值即可．【解答】解：画出可行域，如图所示解得A（﹣2，2），设=2﹣y，把=2﹣y变形为y=2﹣，则直线经过点A时取得最小值；所以=2×（﹣2）min﹣2=﹣6，故选：A．【点评】本题考查利用线性规划求函数的最值．属于基础题．8．（5分）已知点M（a，b）在圆O：2+y2=1外，则直线a+by=1与圆O的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．不确定【分析】由M在圆外，得到|OM|大于半径，列出不等式，再利用点到直线的距离公式表示出圆心O到直线a+by=1的距离d，根据列出的不等式判断d与r的大小即可确定出直线与圆的位置关系．【解答】解：∵M（a，b）在圆2+y2=1外，∴a2+b2＞1，∴圆O（0，0）到直线a+by=1的距离d=＜1=r，则直线与圆的位置关系是相交．故选：B．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，以及点与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，以及两点间的距离公式，熟练掌握公式是解本题的关键．9．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形 D．不确定【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得sinA的值进而求得A，判断出三角形的形状．【解答】解：∵bcosC+ccosB=asinA，∴sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA=sin2A，∵sinA≠0，∴sinA=1，A=，故三角形为直角三角形，故选：A．【点评】本题主要考查了正弦定理的应用，解题的关键时利用正弦定理把等式中的边转化为角的正弦，属于基本知识的考查．10．（5分）设表示不大于的最大整数，则对任意实数，有（）A．[﹣]=﹣B．[+]= C．[2]=2 D．+[+]=[2]【分析】依题意，通过特值代入法对A，B，C，D四选项逐一分析即可得答案．【解答】解：对A，设=﹣1.8，则[﹣]=1，﹣=2，所以A选项为假．对B，设=1.8，则[+]=2，=1，所以B选项为假．对C，=﹣1.4，则[2]=[﹣2.8]=﹣3，2=﹣4，所以C选项为假．故D选项为真．故选：D．【点评】本题考查函数的求值，理解题意，特值处理是关键，属于中档题．二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共25分）11．（5分）双曲线的离心率为．【分析】通过双曲线方程求出a，b，c的值然后求出离心率即可．【解答】解：因为双曲线，所以a=4，b=3，所以c=，所以双曲线的离心率为：e=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的基本性质的应用，离心率的求法，考查计算能力．12．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为3π．【分析】通过三视图判断几何体的形状，利用三视图的数据直接求解几何体的表面积即可．【解答】解：综合三视图可知，几何体是一个半径r=1的半个球体．表面积是底面积与半球面积的和，其表面积=．故答案为：3π．【点评】本题考查三视图与几何体的直观图的关系，几何体的表面积的求法，考查计算能力与空间想象能力．13．（5分）观察下列等式：（1+1）=2×1（2+1）（2+2）=22×1×3（3+1）（3+2）（3+3）=23×1×3×5…照此规律，第n个等式可为（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n•1•3•5…•（2n ﹣1）．【分析】通过观察给出的前三个等式的项数，开始值和结束值，即可归纳得到第n个等式．【解答】解：题目中给出的前三个等式的特点是第一个等式的左边仅含一项，第二个等式的左边含有两项相乘，第三个等式的左边含有三项相乘，由此归纳第n个等式的左边含有n项相乘，由括号内数的特点归纳第n个等式的左边应为：（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n），每个等式的右边都是2的几次幂乘以从1开始几个相邻奇数乘积的形式，且2的指数与奇数的个数等于左边的括号数，由此可知第n个等式的右边为2n•1•3•5…（2n﹣1）．所以第n个等式可为（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n•1•3•5…（2n﹣1）．故答案为（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n•1•3•5…（2n﹣1）．【点评】本题考查了归纳推理，归纳推理是根据已有的事实，通过观察、联想、对比，再进行归纳，类比，然后提出猜想的推理，是基础题．14．（5分）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长为20 （m）．【分析】设矩形高为y，由三角形相似可求得40=+y且＞0，y＞0，＜40，y＜40，利用基本不等式即可求得答案．【解答】解：设矩形高为y，由三角形相似得：=，且＞0，y＞0，＜40，y＜40，⇒40=+y≥2，仅当=y=20m时，矩形的面积s=y取最大值400m2．故答案为：20．【点评】本题考查基本不等式，考查相似三角形的应用，求得40=+y是关键，属于中档题．选做题：（考生请注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）15．（5分）（不等式选做题）设a，b∈R，|a﹣b|＞2，则关于实数的不等式|﹣a|+|﹣b|＞2的解集是R ．【分析】判断函数f（）=|﹣a|+|﹣b|的值域为（|a﹣b|，+∞），利用已知条件推出不等式的解集即可．【解答】解：函数f（）=|﹣a|+|﹣b|的值域为（|a﹣b|，+∞），因此，当∀∈R时，f（）≥|a﹣b|＞2，所以不等式|﹣a|+|﹣b|＞2的解集是R．故答案为：R．【点评】本题考查绝对值不等式的基本知识，考查计算能力．16．（几何证明选做题）如图，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P．已知∠A=∠C，PD=2DA=2，则PE= ．【分析】利用已知条件判断△EPD∽△APE，列出比例关系，即可求解PE的值．【解答】解：因为BC∥PE，∴∠BCD=∠PED，且在圆中∠BCD=∠BAD⇒∠PED=∠BAD，⇒△EPD∽△APE，∵PD=2DA=2⇒⇒PE2=PA•PD=3×2=6，∴PE=．故答案为：．【点评】本题考查三角形相似的判断与性质定理的应用，考查计算能力．17．（坐标系与参数方程选做题）圆锥曲线（t为参数）的焦点坐标是（1，0）．【分析】由题意第二个式子的平方减去第一个式子的4倍即可得到圆锥曲线C 的普通方程，再根据普通方程表示的抛物线求出焦点坐标即可．【解答】解：由方程（t为参数）得y2=4，它表示焦点在轴上的抛物线，其焦点坐标为（1，0）．故答案为：（1，0）．【点评】本题是基础题，考查参数方程与直角坐标方程的互化，极坐标方程的求法，考查计算能力．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分）18．（12分）已知向量=（cos，﹣），=（sin，cos2），∈R，设函数f（）=．（Ⅰ） 求f （）的最小正周期． （Ⅱ） 求f （）在[0，]上的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）通过向量的数量积以及二倍角的正弦函数两角和的正弦函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过周期公式，求f （）的最小正周期．（Ⅱ） 通过在[0，]，求出f （）的相位的范围，利用正弦函数的最值求解所求函数的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f （）==（cos ，﹣）•（sin ，cos2）=sincos=sin （2﹣）最小正周期为：T==π．（Ⅱ）当∈[0，]时，2﹣∈，由正弦函数y=sin 在的性质可知，sin ，∴sin （2﹣），∴f （）∈[﹣，1]， 所以函数f （）在[0，]上的最大值和最小值分别为：1，﹣．【点评】本题考查向量的数量积以及两角和的三角函数，二倍角公式的应用，三角函数的值域的应用，考查计算能力．19．（12分）设S n 表示数列{a n }的前n 项和． （Ⅰ） 若{a n }为等差数列，推导S n 的计算公式； （Ⅱ） 若a 1=1，q ≠0，且对所有正整数n ，有S n =．判断{a n }是否为等比数列，并证明你的结论．【分析】（I ）设等差数列的公差为d ，则a n =a 1+（n ﹣1）d ，可得a 1+a n =a 2+a n﹣1=…，利用“倒序相加”即可得出；（II ）利用a n+1=S n+1﹣S n 即可得出a n+1，进而得到a n ，利用等比数列的通项公式即可证明其为等比数列．【解答】证明：（Ⅰ）设等差数列的公差为d ，则a n =a 1+（n ﹣1）d ，可得a 1+a n =a 2+a n﹣1=…，由S n =a 1+a 2+…+a n ， S n =a n +a n ﹣1+…+a 1．两等式相加可得2S n =（a 1+a n ）+（a 2+a n ﹣1）+…+（a n +a 1）， ∴．（II ）∵a 1=1，q ≠0，且对所有正整数n ，有S n =．∴a n+1=S n+1﹣S n ==q n ．∴，可得（n ∈N *），∴数列{a n }是以a 1=1为首项，q ≠1为公比的等比数列．【点评】熟练掌握等差数列的通项公式及“倒序相加”法、等比数列的定义及通项公式、通项公式与前n 项和的公式是解题的关键．20．（12分）如图，四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A1O ⊥平面ABCD ，AB=AA 1=．（Ⅰ） 证明：平面A 1BD ∥平面CD 1B 1； （Ⅱ） 求三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的体积．【分析】（Ⅰ）由四棱柱的性质可得四边形BB 1D 1D 为平行四边形，故有BD 和B 1D 1平行且相等，可得 BD ∥平面CB 1D 1．同理可证，A 1B ∥平面CB 1D 1．而BD 和A 1B 是平面A 1BD 内的两条相交直线，利用两个平面平行的判定定理可得平面A 1BD ∥平面CD 1B 1 ．（Ⅱ） 由题意可得A 1O 为三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的高，由勾股定理可得A1O=的值，再根据三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的体积V=S △ABD •A 1O ，运算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）∵四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB=AA 1=，由棱柱的性质可得BB 1 和DD 1平行且相等，故四边形BB 1D 1D 为平行四边形，故有BD 和B 1D 1平行且相等．而BD 不在平面CB 1D 1内，而B 1D 1在平面CB 1D 1内，∴BD ∥平面CB 1D 1． 同理可证，A 1BCD 1为平行四边形，A 1B ∥平面CB 1D 1．而BD 和A 1B 是平面A 1BD 内的两条相交直线，故有平面A 1BD ∥平面CD 1B 1 ． （Ⅱ） 由题意可得A 1O 为三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的高．三角形A 1AO 中，由勾股定理可得A1O===1，∴三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的体积V=S △ABD •A 1O=•A 1O=×1=1．【点评】本题主要考查棱柱的性质，两个平面平行的判定定理的应用，求三棱柱的体积，属于中档题．21．（12分）有7位歌手（1至7号）参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为5组，各组的人数如下：取若干评委，其中从B 组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入下表．2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率． 【分析】（Ⅰ）利用分层抽样中每层所抽取的比例数相等直接计算各层所抽取的人数；（Ⅱ）利用古典概型概率计算公式求出A ，B 两组被抽到的评委支持1号歌手的概率，因两组评委是否支持1号歌手相互独立，由相互独立事件同时发生的概率公式计算从这两组被抽到的评委中分别任选1人，2人都支持1号歌手的概率．【解答】解：（Ⅰ）按相同的比例从不同的组中抽取人数．从B 组100人中抽取6人，即从50人中抽取3人，从150人中抽取6人，填表如下：号歌手的概率为．B 组抽取的6人中有2人支持1号歌手，则从6人中任选1人，支持1号歌手的概率为．现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，则2人都支持1号歌手的概率p=．【点评】本题考查了分层抽样方法，考查了相互独立事件同时发生的概率乘法公式，若事件A ，B 是否发生相互独立，则p （AB ）=p （A ）p （B ），是中档题．22．（13分）已知动点M （，y ）到直线l ：=4的距离是它到点N （1，0）的距离的2倍．（Ⅰ） 求动点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ） 过点P （0，3）的直线m 与轨迹C 交于A ，B 两点．若A 是PB 的中点，求直线m 的斜率．【分析】（Ⅰ）直接由题目给出的条件列式化简即可得到动点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）经分析当直线m 的斜率不存在时，不满足A 是PB 的中点，然后设出直线m 的斜截式方程，和椭圆方程联立后整理，利用根与系数关系写出1+2，12，结合21=2得到关于的方程，则直线m 的斜率可求．【解答】解：（Ⅰ）点M （，y ）到直线=4的距离是它到点N （1，0）的距离的2倍，则|﹣4|=2，即（﹣4）2=4[（﹣1）2+y 2]，整理得．所以，动点M 的轨迹是椭圆，方程为； （Ⅱ）P （0，3），设A （1，y 1），B （2，y 2），由A 是PB 的中点，得21=0+2，2y 1=3+y 2． 椭圆的上下顶点坐标分别是和，经检验直线m 不经过这两点，即直线m 的斜率存在．设直线m 的方程为：y=+3． 联立， 整理得：（3+42）2+24+24=0．．因为21=2． 则，得， 所以． 即，解得． 所以，直线m 的斜率． 【点评】本题考查了曲线方程，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，考查了学生的计算能力，关键是看清题中给出的条件，灵活运用韦达定理，中点坐标公式进行求解，是中档题．23．（14分）已知函数f （）=e ，∈R ．（Ⅰ）求f（）的反函数的图象上的点（1，0）处的切线方程；（Ⅱ）证明：曲线y=f（）与曲线y=有唯一公共点．（Ⅲ）设a＜b，比较f（）与的大小，并说明理由．【分析】（I）先求出其反函数，利用导数得出切线的斜率即可；（II）令h（）=f（）﹣=，利用导数研究函数h（）的单调性即可得出；（III）设b﹣a=t＞0，通过作差﹣f（）=，构造函数g（t）=（t＞0），可得g′（t）==（t＞0）．令h（）=e﹣﹣1（＞0），利用导数研究其单调性即可．【解答】（I）解：函数f（）=e的反函数为g（）=ln，∵，∴g′（1）=1，∴f（）的反函数的图象上的点（1，0）处的切线方程为y﹣0=1×（﹣1），即y=﹣1；（Ⅱ）证明：令h（）=f（）﹣=，则h′（）=e﹣﹣1，h′′（）=e﹣1，当＞0时，h′′（）＞0，h′（）单调递增；当＜0时，h′′（）＜0，h′（）单调递减，故h′（）在=0取得极小值，即最小值，∴h′（）≥h′（0）=0，∴函数y=h（）在R上单调递增，最多有一个零点，而=0时，满足h（0）=0，是h（）的一个零点．所以曲线y=f（）与曲线y=有唯一公共点（0，1）．（Ⅲ）设b﹣a=t＞0，则﹣f（）===e a=，令g（t）=（t＞0），则g′（t）==（t＞0）．令h（）=e﹣﹣1（＞0），则h′（）=e﹣1＞0，∴函数h（）在（0，+∞）单调递增，∴h（）＞h（0）=0，因此g′（t）＞0，∴函数g（t）在t＞0时单调递增，∴g（t）＞g（0）=0．∴＞f（）．【点评】本题综合考查了利用导数研究切线、单调性、方程得根的个数、比较两个实数的大小等基础知识，考查了分类讨论的思想方法、转化与化归思想方法，考查了推理能力和计算能力．。