新教材2020-2021高中数学人教B版选择性必修三课件-5.3.1.2-等比数列的性质

第2课时等比数列的性质必备知识·素养奠基1.如果x,G,y是等比数列,那么G为x与y的等比中项,且G2=xy,G=±.2.等比数列的项之间的关系等比数列{a n},m,n,p,q∈N+两项关系a n=a m q n-m三项关系若m+n=2p,则a n·a m=四项关系若m+n=p+q,则a m·a n=a p·a q等比数列两项之间的关系a n=a m q n-m中,当n≤m时成立吗?提示:成立,如a2=a5q2-5=a5q-3=.3.等比数列的单调性a1>0 q>1递增数列a1<0 0<q<1a1>0 0<q<1递减数列a1<0 q>1当q=1,q<0时,分别是什么数列?提示:当q=1时是常数列;当q<0时是摆动数列.1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)等比数列{a n}中a2·a6=. ( )(2)若G是a与b的等比中项,则G=. ( )(3)若a,G,b满足G2=ab,则a,G,b一定是等比数列. ( )提示:(1)×.a 2·a6=.(2)×.G=±.(3)×.如0,0,0满足02=0×0,但不是等比数列.2.若三个正数1,b,16成等比数列,则b=________.【解析】因为三个正数1,b,16成等比数列,所以b==4. 答案:43.在等比数列{a n}中,已知a7·a12=10,则a8·a9·a10·a11=________. 【解析】因为a7·a12=a8·a11=a9·a10=10,所以a8·a9·a10·a11=102=100.答案:100关键能力·素养形成类型一等比中项及其应用【典例】1.若三个实数a,b,c成等比数列,其中a=3-,c=3+,则b= ( )A.2B.-2C.±2D.42.设等差数列{a n}的公差d不为0,a1=9d,若a k是a1与a2k的等比中项,则k等于 ( )A.2B.4C.6D.8【思维·引】1.利用b是a,c的等比中项求值.2.将a k,a2k用d表示出来,再利用等比中项列式求值.【解析】1.选C.三个实数a,b,c成等比数列,则b2=ac=(3-)(3+)=9-5=4,则b=±2.2.选B.因为a n=(n+8)d,又因为=a1·a2k,所以[(k+8)d]2=9d·(2k+8)d,解得k=-2(舍去)或k=4.【内化·悟】等比数列中,a1和a5的等比中项是哪一项?a2和a8呢?提示:a1和a5的等比中项是a3,a2和a8的等比中项是a5.【类题·通】应用等比中项解题的两个关注点(1)如果出现等比数列两项的乘积时,就要注意考虑是否能转化为等比中项表示;(2)等比中项一般不唯一,但是如果在等比数列中,还要关注项的关系,如a4是a2,a6的等比中项,而a4=a2q2,因此a4与a2的符号相同.【习练·破】-1,a,b,c,-25是等比数列,则abc=________.【解析】设该等比数列的公比为q,因为b是a,c的等比中项,也是-1,-25的等比中项,所以b2=-1×(-25)=25,所以b=±5,又因为b=-1×q2<0,所以b=-5,所以abc=b3=-125.答案:-125【加练·固】已知数列-1,a1,a2,-4成等差数列,-1,b1,b2,b3,-4成等比数列,求的值.【解析】因为-1,a1,a2,-4成等差数列,设公差为d,则a2-a1=d=×[(-4)-(-1)]=-1,因为-1,b1,b2,b3,-4成等比数列,所以=(-1)×(-4)=4,所以b 2=±2.若设公比为q,则b2=(-1)q2,所以b2<0.所以b2=-2,所以==.类型二等比数列性质的应用【典例】1.若数列{a n}是递增的等比数列,a2a5=20,a1+a6=9,则a11= ( )A.5B.C.D.2.已知各项都为正数的等比数列{a n}满足:a3a7=2,a3=1,则a2=( )A. B. C. D.2【思维·引】1.利用a2a5=a1a6转化求值.2.利用a3a7=求出q,进而求出a2.【解析】1.选C.因为数列{a n}是递增的等比数列,a2a5=20,a1+a6=9,所以a1a6=a2a5=20,所以a1,a6是一元二次方程x2-9x+20=0的两个根,且a1<a6,解得a1=4,a6=5,所以q5=,a11=a1q10=4×=.2.选B.各项都为正数的等比数列{a n}满足:a 3a7=2,所以=2,所以q=,因为a3=1,所以a2==.【内化·悟】用数列项的哪个要素的关系来确定所用的性质?提示:需要用数列项的下标关系,即项数的关系.【类题·通】1.解答等比数列问题的基本方法——基本量法(1)基本步骤:运用方程思想列出基本量a1和q的方程组,解出a1和q,然后利用通项公式求解.(2)优缺点:适用面广,入手简单,思路清晰,但有时运算稍繁.2.利用等比数列的性质解题(1)基本思路:充分发挥项的“下标”的指导作用,分析等比数列项与项之间的关系,选择恰当的性质解题.(2)优缺点:简便快捷,但是适用面窄,有一定的思维含量.【习练·破】(2020·眉山高二检测)已知数列{a n}为正项的递增等比数列,a1+a6=12,a2a5=20,则= ( )A.5B.10C.25D.510【解析】选C.设等比数列{a n}的公比为q.因为数列{a n}为正项的递增等比数列,a1+a6=12,a2a5=20,所以解得a1=2,q=,所以===q10=25.【加练·固】(2020·惠州高二检测)已知数列{a n}是等比数列,函数y=x2-5x+3的两个零点是a1,a5,则a3= ( )A.1B.-1C.±D.【解析】选D.由根与系数的关系可知a1+a5=5,a1·a5=3,则a1>0,a5>0,从而a 3>0,且=a1·a5=3,所以a3=.类型三等比数列的实际应用【典例】朱载堉(1536-1611),明太祖九世孙,音乐家、数学家、天文历算家,在他多达百万字的著述中以《乐律全书》最为著名,在西方人眼中他是大百科全书式的学者王子.他对文艺的最大贡献是创建了“十二平均律”,此理论被广泛应用在世界各国的键盘乐器上,包括钢琴,故朱载堉被誉为“钢琴理论的鼻祖”.“十二平均律”是指一个八度有13个音,相邻两个音之间的频率之比相等,且最后一个音频率是最初那个音频率的2倍,设第二个音的频率为f2,第八个音的频率为f8,则等于( )A. B. C. D.【思维·引】化归成数列中项、公比的问题求解.【解析】选A.依题意13个音的频率成等比数列,记为{a n},设公比为q,则a13=a1q12,且a13=2a1,所以q=,所以=q6=()6=.【内化·悟】在应用性问题中,判断是否为等比数列模型的关键是什么?提示:关键是看增长(缩减)是否按照同一比例.【类题·通】关于等比数列在应用问题中的应用首先根据题意判断是否是等比数列模型,其次分析等比数列的首项、公比、项数,最后利用等比数列的通项公式计算解题.【习练·破】(2020·延庆高二检测)某企业生产A,B两种型号的产品,每年的产量分别为10万支和40万支,为了扩大再生产,决定对两种产品的生产线进行升级改造,预计改造后的A,B两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%,那么至少经过________年后,A产品的年产量会超过B 产品的年产量(参考数据:lg 2≈0.301 0) ( )A.6B.7C.8D.9【解析】选B.设经过n年后,A产品的年产量会超过B产品的年产量,则10×(1+50%)n>40×(1+20%)n,化为:>4,取对数可得:n>=≈≈6.2.所以至少经过7年后,A产品的年产量会超过B产品的年产量.【加练·固】某单位某年十二月份的产值是同年一月份产值的m倍,那么该单位此年的月平均增长率是________.【解析】由题意可知,这一年中的每一个月的产值成等比数列,因为=m,所以月平均增长率为-1.答案:-1类型四等比数列与等差数列的综合应用角度1 灵活设项解题【典例】三个数成等比数列,其积为64,如果第一个数与第三个数各减去1,则这三个数成等差数列,求这三个数.【思维·引】利用等比数列设出前三项,表示出等差数列后求未知数. 【解析】因为三个数成等比数列,设三个数为,a,aq,则×a×aq=a3=64,所以a=4,所以三个数为,4,4q,第一个数与第三个数各减去1为-1,4,4q-1,则-1+4q-1=8,即2q2-5q+2=0,解得q=2或,所以这三个数为2,4,8或8,4,2.【素养·探】在利用等比数列设项解题过程中,常常用到核心素养中的数学运算,通过解方程求公比解题.本例中的条件若改为“其积为512,如果第一个数与第三个数各减去2”,试求这三个数.【解析】设三个数依次为,a,aq,因为·a·aq=512,所以a=8.因为+(aq-2)=2a,所以2q2-5q+2=0,所以q=2或q=,所以这三个数为4,8,16或16,8,4.角度2 等差、等比数列性质【典例】已知{a n}是等差数列,{b n}是正项等比数列,且b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5, b5=a4+2a6,则a2 018+b9= ( )A.2 274B.2 074C.2 226D.2 026【思维·引】分别用等差数列的首项a1、公差d、等比数列的公比q 表示出已知条件,求出a1,d,q后求a2 018+b9.【解析】选A.设等差数列{a n}的公差为d,正项等比数列{b n}的公比为q>0,因为b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6,所以q2=q+2,q3=2a1+6d,q4=3a1+13d,解得q=2,a1=d=1,则a2 018+b9=1+2 017+28=2 274.【类题·通】等比数列项的设法(1)三数成等比数列常设成,a,aq或a,aq,aq2.(2)若四个数成等比数列,可设为,a,aq,aq2.若四个正数成等比数列,可设为,,aq,aq3.【习练·破】设公差不为零的等差数列{a n}满足a3=7,且a1-1,a2-1,a4-1成等比数列,则a10等于________.【解析】设等差数列{a n}的公差为d,则d≠0,则a1=a3-2d=7-2d,a2=a3-d=7-d,a4=a3+d=7+d,由于a1-1,a2-1,a4-1成等比数列,则(a2-1)2=(a1-1)(a4-1),即(6-d)2=(6-2d)(6+d),化简得d2-2d=0,由于d≠0,解得d=2,因此,a10=a3+7d=7+7×2=21.答案:21【加练·固】已知数列{a n}是由实数构成的等比数列,a1=2,且a2-4,a3,a4成等差数列,则{a n}的公比为________.【解析】因为数列{a n}是由实数构成的等比数列,a1=2,且a2-4,a3,a4成等差数列,所以2a3=(a2-4)+a4,即2×2q2=2q-4+2q3,整理,得(q-2)(q2+1)=0,所以{a n}的公比q=2.答案:2课堂检测·素养达标1.对任意等比数列{a n},下列说法一定正确的是( )A.a1,a3,a9成等比数列B.a2,a3,a6成等比数列C.a2,a4,a8成等比数列D.a3,a6,a9成等比数列【解析】选D.设等比数列的公比为q,因为==q 3,即=a3a9,所以a3,a6,a9成等比数列.2.已知数列{a n}是等比数列,若=4,则a5= ( )A.2B.4C.2D.【解析】选B.根据题意,数列{a n}是等比数列,设其公比为q,若=4,则=a3q2=a5=4.3.(2020·全国Ⅰ卷)设{a n}是等比数列,且a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,则a6+a7+a8= ( )A.12B.24C.30D.32【解题指南】根据已知条件求得q的值,再由a6+a7+a8=a1q5(1+q+q2)可求得结果.【解析】选D.设等比数列的公比为q,则a 1+a2+a3=a1=1,a 2+a3+a4=a1q+a1q2+a1q3=a1q=q=2,因此,a 6+a7+a8=a1q5+a1q6+a1q7=a1q5=q5=32.4.(2020·景德镇高二检测)在正项等比数列{a n}中,若a3a4a5=3π,则sin(log3a1+ log3a2+…+log3a7)的值为________.【解析】在正项等比数列{a n}中,若a3a4a5=3π=,所以a4=.所以sin(log3a1+log3a2+…+log3a7)=sin[log3(a1a2·…·a7)]=sin(log 3)=sin(log3)=sin=sin=.答案:【新情境·新思维】已知数列{}是等比数列,公比为q,则数列{a n} ( )A.是等差数列,公差为log3qB.是等差数列,公差为3qC.是等比数列,公比为log3qD.既不是等差数列,也不是等比数列【解析】选A.因为数列{}是等比数列, 所以==q,所以a n+1-a n=log3q(常数),所以数列{a n} 是等差数列,公差为log3q.。

5.2.2 等差数列的前n项和新版课程标准学业水平要求1.探索并掌握等差数列的前n项和公式,理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系2.能在具体问题情境中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题1.借助教材实例了解等差数列前n项和公式的推导过程.(数学运算)2.借助教材掌握a1,a n,d,n,S n的关系.(数学运算)3.掌握等差数列的前n项和公式、性质及其应用.(数学运算)4.能利用等差数列的通项公式、前n项和公式解决实际问题、最值问题等相关问题.(数学运算、数学建模)第1课时等差数列的前n项和必备知识·素养奠基等差数列前n项和公式公式一适用条件S n=知首项、末项、项数公式二适用条件S n=na1+ d 知首项、公差、项数(1)对于公式二,若将S n看成关于n的函数,试判断此函数是什么函数?其解析式具有什么特点?提示:公式二可变形为S n=n2+n,当d≠0时可以看作不含常数项的关于n的一元二次式,反之,若一个数列的前n项和是不含常数项的一元二次式,则此数列是等差数列.(2)等差数列的前n项和公式中的意义是什么?提示:=,即等差数列前n项的平均数.1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)对于a n=S n-S n-1成立的条件是n∈N+. ( )(2)等差数列前n项和公式的推导方法我们称为“倒序相加法”.( )(3)若数列{a n}的前n项和为S n,则a3+a4+a5=S5-S2. ( )(4)1+3+5+7+9=. ( )提示:(1)×.n>1且n∈N+.(2)√.等差数列具有a1+a n=a2+a n-1=a3+a n-2=…特征,可用倒序相加法.(3)√.由数列的前n项和的定义可知此说法正确.(4)×.1+3+5+7+9=.2.在数列{a n}中,S n=2n2-3n(n∈N+),则a4等于( )A.11B.15C.17D.20【解析】选A.a4=S4-S3=2×42-3×4-(2×32-3×3)=11.3.设{a n}是等差数列,若a2=3,a7=13,则数列{a n}的前8项和为( )A.128B.80C.64D.56【解析】选 C.设数列{a n}的前n项和为S n,则S8====64.4.平均数为1010的一组数构成等差数列,其末项为2019,则该数列的首项为________.【解析】设该数列的首项为x,由题意可得:1010=,解得x=1. 答案:1关键能力·素养形成类型一有关等差数列前n项和的计算【典例】1.设S n是等差数列{a n}的前n项和,若a1=-2017,S6-2S3=18,则S2019= ( )A.-2017B.2017C.2018D.20192.在等差数列{a n}中:(1)已知a5+a10=58,a4+a9=50,求S10;(2)已知S7=42,S n=510,a n-3=45,求n.【思维·引】1.根据等差数列前n项和公式,解方程,求出公差,即可得到相应的值.2.根据等差数列的通项公式和前n项和公式列方程组,解方程组,可得到相应的值.【解析】1.选D.设等差数列{a n}的公差为d,因为a1=-2 017,S6-2S3=18,所以6a1+d-2=18,化为:9d=18,解得d=2.则S2 019=2 019×(-2 017)+×2=2 019.2.(1)方法一:由已知条件得解得所以S10=10a1+d=10×3+×4=210.方法二:由已知条件得所以a1+a10=42,所以S10==5×42=210.(2)S7==7a4=42,所以a4=6.所以S n====510.所以n=20.【内化·悟】解与等差数列前n项和有关的问题时,常用到哪些公式?体现了什么数学思想方法的应用?提示:常用到等差数列的通项公式和前n项和公式,体现了方程思想的运用.【类题·通】等差数列前n项和公式的运算方法与技巧类型“知三求二型”基本量a1,d,n,a n,S n方法运用等差数列的通项公式和前n项和公式建立方程(组),通过解方程(组)求出未知量思想方程的思想注意①利用等差数列的性质简化计算;②注意已知与未知条件的联系;③有时运用整体代换的思想【习练·破】1.(2020·新高考全国Ⅰ卷)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{a n},则{a n}的前n项和为________.【解析】由题意知数列{2n-1}为1,3,5,7,9,11,13,…,{3n-2}为1,4,7,10,13,16,19,…,所以数列为1,7,13,19,…,即a n=1+6(n-1)=6n-5,所以数列的前n项和为=3n2-2n. 答案:3n2-2n2.已知等差数列{a n}中,(1)a1=,S4=20,求S6;(2)a1=,d=-,S n=-15,求n及a n;(3)a1=1,a n=-512,S n=-1022,求d.【解析】(1)S4=4a1+d=4a1+6d=2+6d=20,所以d=3.故S6=6a1+d=6a1+15d=3+15d=48.(2)因为S n=n·+=-15,整理得n2-7n-60=0,解得n=12或n=-5(舍去),所以a12=+(12-1)×=-4.(3)由S n===-1 022,解得n=4.又由a n=a1+(n-1)d,即-512=1+(4-1)d,解得d=-171.【加练·固】1.将含有k项的等差数列插入4和67之间,结果仍成一新的等差数列,并且新的等差数列所有项的和是781,则k的值为( )A.20B.21C.22D.24【解析】选A.由数列前n项和公式可得:=781,解得k=20.2.已知等差数列{a n}.(1)a1=,a15=-,S n=-5,求d和n.(2)a1=4,S8=172,求a8和d.【解析】(1)因为a15=+(15-1)d=-,所以d=-.又S n=na1+d=-5,解得n=15或n=-4(舍).(2)由已知,得S8===172,解得a8=39,又因为a8=4+(8-1)d=39,所以d=5.类型二等差数列前n项和的性质【典例】1.(2020·扬州高二检测)已知数列{a n},{b n}都是等差数列,S n,T n分别是它们的前n项和,并且=,则= ( )A. B. C. D.2.在项数为2n+1的等差数列{a n}中,所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n等于( )A.9B.10C.11D.123.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且S10=100,S100=10,试求S110. 【思维·引】1.用等差数列前n项和公式(含首项、末项、项数)和等差数列的性质求解.2.综合利用等差数列的性质及其前n项和公式推出与n的关系.3.方法一:依据S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110-S100成等差数列解答; 方法二:依据数列是等差数列解答;方法三:直接分析S110,S100,S10之间的关系.【解析】1.选C.数列{a n},{b n}都是等差数列,S n,T n分别是它们的前n项和,并且=,则====.2.选B.因为等差数列有2n+1项,所以S奇=,S偶=.又a1+a2n+1=a2+a2n,所以===,所以n=10.3.方法一:因为S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110-S100成等差数列,设公差为d,前10项的和为:10×100+d=10,所以d=-22,所以前11项的和S110=11×100+d=11×100+×(-22)=-110.方法二:设等差数列{a n}的公差为d,则=(n-1)+a1,所以数列成等差数列.所以=,即=,所以S110=-110.方法三:设等差数列{a n}的公差为d,S110=a1+a2+…+a10+a11+a12+…+a110=(a1+a2+…+a10)+[(a1+10d)+(a2+10d)+…+(a100+10d)]=S10+S100+100×10d, 又S100-10S10=d-d=10-10×100,即100d=-22,所以S110=-110.【类题·通】等差数列前n项和的性质(1)等差数列{a n}中,S n,S2n-S n,S3n-S2n也构成等差数列.(2)若{a n}与{b n}均为等差数列,且前n项和分别为S n与S′n,则=.(3)若等差数列{a n}的前n项和为S n,则数列是等差数列,且首项为a1,公差为.(4)项的个数的“奇偶”性质.{a n}为等差数列,公差为d.①若共有2n项,则S2n=n(a n+a n+1);S偶-S奇=nd;=;②若共有2n+1项,则S2n+1=(2n+1)a n+1;S偶-S奇=-a n+1;=(5)等差数列{a n}中,若S n=m,S m=n(m≠n),则S m+n=-(m+n).(6)等差数列{a n}中,若S n=S m(m≠n),则S m+n=0.【习练·破】1.等差数列{a n}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和是( )A.130B.170C.210D.260【解析】选C.因为S m,S2m-S m,S3m-S2m成等差数列,所以S m+S3m-S2m=2(S2m-S m),所以30+S3m-100=2(100-30),所以S3m=210.2.在等差数列{a n}中,a2+a4+a6=-3,a3+a5+a7=6,则{a n}的前8项和为( )A.3B.4C.5D.6【解析】选B.由a2+a4+a6=-3,a3+a5+a7=6,则3(a2+a7)=3,解得a2+a7=1,{a n}的前8项和==4.【加练·固】1.已知等差数列{a n},{b n}的前n项和分别为S n,T n,若对于任意的自然数n,都有=,则+= ( )A. B. C. D.【解析】选A.因为等差数列中,若m+n=p+q,则a m+a n=a p+a q;等差数列的前n项和为:S n=.所以==,所以+=+=+======.2.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于( )A.63B.45C.36D.27【解析】选 B.因为a7+a8+a9=S9-S6,而由等差数列的性质可知,S3,S6-S3,S9-S6构成等差数列,所以S3+(S9-S6)=2(S6-S3),即S9-S6=2S6-3S3=2×36-3×9=45.类型三等差数列前n项和的最值【典例】1.设{a n}是等差数列,S n是其前n项和,且S5<S6=S7>S8,则下列结论错误的是( )A.d<0B.a7=0C.S9>S5D.S6和S7均为S n的最大值2.(2018·全国Ⅱ卷)记S n为等差数列{a n}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.(1)求{a n}的通项公式;(2)求S n,并求S n的最小值.【思维·引】1.由已知条件分析a6,a7,a8的符号,求S n的最大值,作差比较S9与S5的大小.2.(1)解方程组即可求出首项、公差,进而得到{a n}的通项公式; (2)可以把S n看作关于n的二次函数从函数角度求最值;也可以分析等差数列的项从哪一项开始由负变正,推出S n的最小值.【解析】1.选C.因为S5<S6=S7>S8,所以a6>0,a7=0,a8<0,可得d<0,S6和S7均为S n的最大值,S9==9a5,S5==5a3.S9-S5=9(a1+4d)-5(a1+2d)=4a1+26d=4a7+2d<0,所以S9<S5.因此C错误.2.(1)设{a n}的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.又a1=-7,所以d=2.所以{a n}的通项公式为a n=2n-9.(2)方法一:(二次函数法)由(1)得S n==n2-8n=(n-4)2-16,所以当n=4时,S n取得最小值,最小值为-16.方法二:(通项变号法)由(1)知a n=2n-9,则S n==n2-8n.由S n最小⇔即所以≤n≤,又n∈N+,所以n=4,此时S n的最小值为S4=-16.【内化·悟】等差数列的前n项和S n是关于n的二次函数(缺常数项),如何利用对应函数的图象分析等差数列正、负项的分界点?提示:利用到y=ax2+bx(a≠0)的对称轴距离最近的左侧的一个正数或离对称轴最近且关于对称轴对称的两个整数对应项即为正、负项的分界点.【类题·通】等差数列前n项和最值的两种求法(1)符号转折点法.①当a1>0,d<0时,由不等式组可求得S n取最大值时的n值.②当a1<0,d>0时,由不等式组可求得S n取最小值时的n值.(2)利用二次函数求S n的最值.知道公差不为0的等差数列的前n项和S n可以表示成S n=an2+bn(a≠0)的形式,我们可将其变形为S n=a-.①若a>0,则当最小时,S n有最小值;②若a<0,则当最小时,S n有最大值.【习练·破】1.记等差数列{a n}的前n项和为S n,若a1>0,a2+a2018=0,则S2019=________;当S n取得最大值时,n=________.【解析】因为a2+a2 018=a1+a2 019=0,所以S2 019==0.因为a1>0,a1+a2 019=2a1+2 018d=0,所以a1+1 009d=0,所以a1 010=0,所以当S n取得最大值时,n=1 009或1 010.答案:0 1 009或1 0102.在等差数列{a n}中,a1=25,S17=S9,求S n的最大值.【解析】方法一:利用前n项和公式和二次函数的性质.由S17=S9,得25×17+×(17-1)d=25×9+×(9-1)d,解得d=-2.所以S n=25n+(n-1)(-2)=-(n-13)2+169.所以由二次函数的性质,得当n=13时,S n有最大值169.方法二:由方法一,得d=-2.因为a1=25>0,由得所以当n=13时,S n有最大值,最大值为S13=13×25+×(-2)=169. 方法三:由S17=S9,得a10+a11+…+a17=0,而a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14,故a13+a14=0.由方法一,得d=-2<0,a1>0,所以a13>0,a14<0.故n=13时,S n有最大值,最大值为S13=13×25+×(-2)=169.【加练·固】1.设数列{a n}为等差数列,其前n项和为S n,已知a1+a4+a7=99,a2+a5+a8=93,若对任意n∈N+,都有S n≤S k成立,则k的值为________.【解析】方法一:对任意n∈N+,都有S n≤S k成立,即S k为S n的最大值.因为a1+a4+a7=99,a2+a5+a8=93,所以a4=33,a5=31,故公差d=-2,a n=a4+(n-4)d=41-2n,当S n取得最大值时,对任意n∈N+满足解得n=20.即满足对任意n∈N+,都有S n≤S k成立的k的值为20.答案:20方法二:同方法一可得公差d=-2,a n=a4+(n-4)d=41-2n,则n=1时,a1=39,所以S n=n2+n=-n2+40n=-(n-20)2+400,即当n=20时,S n 取得最大值,从而满足对任意n∈N+,都有S n≤S k成立的k的值为20. 答案:202.设等差数列{a n}的前n项和为S n,且S2016>0,S2017<0,则当n=________时,S n最大.【解析】由等差数列的性质知,S2 017=2 017a1 009<0,所以a1 009<0,又S2 016==1 008(a1 008+a1 009)>0,所以a1 008+a1 009>0,而a1 009<0,故a1 008>0.因此当n=1 008时,S n最大.答案:1 008课堂检测·素养达标1.(2020·南阳高二检测)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S2=4,S3=9,则S5的值是( )A.15B.30C.13D.25【解析】选D.已知等差数列{a n}中S2=4.S3=9,则a3=S3-S2=9-4=5,则S5==5a3=25.2.已知数列{a n}的前n项和公式是S n=2n2+3n,则( )A.是公差为2的等差数列B.是公差为3的等差数列C.是公差为4的等差数列D.不是等差数列【解析】选A.因为S n=2n2+3n,所以=2n+3,当n≥2时,-=2n+3-2(n-1)-3=2,故是公差为2的等差数列.3.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若a3=-4,a7=4,则 ( )A.S4>S6B.S4=S5C.S6<S5D.S6=S5【解析】选B.设等差数列{a n}的公差为d,因为a3=-4,a7=4,所以a1+2d=-4,a1+6d=4,联立解得:a1=-8,d=2,所以S4=4a1+d=-20,同理可得:S5=-20,S6=-18.所以S4=S5.4.已知等差数列{a n}中,|a5|=|a9|,公差d>0,则使得前n项和S n取得最小值的正整数n的值是________.【解析】由|a5|=|a9|且d>0得,a5<0,a9>0且a5+a9=0⇒2a1+12d=0⇒a1+6d=0,即a7=0,故S6=S7,且最小.答案:6或7【新情境·新思维】传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:将三角形数1,3,6,10,…记为数列{a n},将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n},可以推测:b2019是数列{a n}中的第________项.【解析】由前四组可以推知a n=1+2+…+n=,从而b1=a4=10,b2=a5=15,b3=a9=45,b4=a10=55,依次可知,当n=4,5,9,10,14,15,19,20,24,25,…时,由此知可被5整除的三角形数每五个数中出现两个,即每五个数分为一组,则该组的后两个数可被5整除,由于b2019是第2019个可被5整除的数,故它出现在数列{a n}按五个一段分组的第1 010组的第4个数字,由此知,b2 019是数列{a n}中的第1 009×5+4=5 049个数.答案:5 049。