61平方根3教学文档

人教版数学七年级下册6.1.3《平方根》教案3一. 教材分析平方根是数学中的一个基本概念，它是指一个数乘以自身得到另一个数时，这个数就是原数的平方根。

平方根的引入可以帮助学生更好地理解有理数、无理数等概念，并且在实际问题中具有广泛的应用。

二. 学情分析学生在学习平方根之前，已经学习了有理数的乘法、平方等知识，对于乘法运算已经有了一定的理解。

但是，平方根的概念较为抽象，需要学生进行一定的思考和理解。

因此，在教学过程中，需要引导学生通过实际例子来理解平方根的概念，并通过练习来巩固所学知识。

三. 教学目标1.理解平方根的概念，掌握求一个数的平方根的方法。

2.能够应用平方根的概念解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：平方根的概念和求一个数的平方根的方法。

2.难点：理解平方根的概念，能够应用平方根解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、小组讨论法等教学方法，引导学生通过实际例子来理解平方根的概念，并通过练习来巩固所学知识。

六. 教学准备1.PPT课件2.教学视频或案例七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际例子来引入平方根的概念，例如：一个正方形的边长为4，求这个正方形的面积。

引导学生思考，如何求解这个问题。

2.呈现（15分钟）讲解平方根的概念，通过PPT课件或者板书，给出平方根的定义和性质。

同时，给出求一个数的平方根的方法。

让学生理解并掌握平方根的概念。

3.操练（10分钟）通过一些练习题，让学生运用平方根的概念来求解问题。

给予学生解答的指导，并纠正一些常见的错误。

4.巩固（10分钟）让学生通过一些实际问题，应用平方根的概念来解决问题。

让学生感受到平方根在实际问题中的应用价值。

5.拓展（10分钟）引导学生思考平方根的应用场景，例如：在物理学中，平方根的概念可以应用于振动频率的计算；在经济学中，平方根的概念可以应用于需求曲线的计算等。

让学生了解平方根在实际问题中的应用。

第六章 6.1.3平方根（三）那么这个数.的平方等于的算术平方根写成的平方根写成±只有一个一负数没有平方根和算术平方根的双重非负性算术平方根本身是非负数即≥【例1】若x、y为有理数,且满足|x-3|+=0,则的值是.答案:1点拨：两个非负数之和等于零,必定每个数都等于零,由此可求出x和y的值,进而求得答案.∵|x-3|+=0,∴x-3=0,y+3=0,∴x=3,y=-3,所以=(-1)2 012=1.考点2:平方根的性质应用【例2】已知一个正数的平方根是3x-2和5x+6,则这个数是.答案:点拨：由条件得(3x-2)+(5x+6)=0,解之得x=-,从而3x-2=-,5x+6=,于是由=知,所求的数为.总结：解决此类问题的关键是利用一个正数有两个平方根,它们互为相反数这个特性.考点3：平方根的计算【例3】下列各数有没有平方根?如果有,求出它的平方根与算术平方根;如果没有,请说明理由.(1)25;(2)0.008 1;(3)(-7)2;(4)-0.36.解:(1) ∵25>0, ∴25有平方根. ∵(±5)2=25,∴25的平方根是±5,即±=±5. 25的算术平方根是5,即=5.(2)∵0.008 1>0, ∴0.008 1有平方根.∵(±0.09)2=0.008 1,∴0.008 1的平方根是±0.09, 即±=±0.09. 0.008 1的算术平方根是0.09, 即=0.09.(3)∵(-7)2=49>0, ∴(-7)2有平方根. ∵(±7)2=49,∴(-7)2的平方根是±7,即±=±7.(-7)2的算术平方根是7,即=7.(4)∵-0.36<0, ∴-0.36没有平方根.点拨：25、0.008 1、(-7)2都是正数,所以它们都有平方根与算术平方根,而-0.36是负数,它没有平方根.2。

第3课时平方根9，那么-3叫做9的什么根呢？探究点1平方根的概念和计算（1）填表：（2）如果我们把上述填表的x的值分别叫做1，16，36，49，4的25平方根，你能类比算术平方根的概念，给出平方根的概念吗？答：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根.这就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根.例如，±3是9的平方根.（3）我们把求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.观察下图，你发现了什么？答：平方与开平方互为逆运算.探究点3平方根与算术平方根的关系问题1我们已经学过一个正数的算术平方根的表示方法，你能表示一个正数的平方根吗？答：我们知道，正数a 的算术平方根可以用a 表示；正数a 的负的平方根，可以用符号“-√a ”表示，故正数a 的平方根可以用符号“±√a ”表示，读作“正、负根号a ”.例如，±√9=±3，±√25=±5.问题2符号√a 只有当a ≥0时有意义，a <0时无意义，你知道为什么吗？答：因为在我们所认识的数中任何一个数的平方都不会是负数，所以负数不能开平方，即当a <0时，a 无意义.问题3说一说算术平方根与平方根之间的区别与联系.例1（教材P46例5）求下列各式的值： (1)√36；(2)-√0.81；(3) ±√499.解：(1)因为62=36，所以√36=6； (2)因为0.92=0.81，所以-√0.81=-0.9； (3)因为(73)2=499，所以±√499= ±73.问题4知道一个数的算术平方根，就可以立即写出它的负的平方根.为什么？答：因为一个数的负的平方根等于它的算术平方根的相反数. 【对应训练】1.下列计算错误的是（ A ）A.√4 = ±2B.√(−3)2 = 3C.±√16 = ±4D.-√25 = -5 2~3.教材P47练习第3~4题.例2求下列各式中x 的值：已知一个数的平方根，求原数的方法：需要根据题目的叙述进行判断，当题目中有类似“A 和B 是一个正数的两个平方根”或“一个正数的平方根分别是A 和B ”这样的描述时，则根据平方根的性质知A +B =0，直接列出方程求未知数，再进一步求得原数；当题目中有类似“A 和B 是一个正数的平方根”这样的描述时，则除了A +B =0，还需考虑A =B 的情况，需分别列方程求出未知数.例1若2m -4与3m -1是一个正数的两个平方根，则这个正数为（ B ） A.1 B.4 C.±1 D.±4解析：由题意可知2m -4+3m -1=0，所以m =1，所以2m -4=-2，所以这个正数为4.故选B.例2已知a-1和5-2a 都是m 的平方根，求a 与m 的值. 解：根据题意，分以下两种情况：①当a -1与5-2a 是同一个平方根时，a -1=5-2a ，解得a =2.此时m =（2-1）2=1； ②当a -1与5-2a 是两个平方根时，a -1+5-2a =0，解得a =4.此时m =(4-1)2=9. 综上所述，a =2，m =1或a =4，m =9.例1已知5x -1的平方根是±3，4x +2y +1的平方根是±1，求4x -2y 的算术平方根. 解：因为5x -1的平方根是±3，4x +2y +1的平方根是±1， 所以5x -1=9，4x +2y +1=1，所以x =2,y =-4. 所以4x -2y =16，所以4x -2y 的算术平方根为4.例2已知a ，b ，c 满足b =-√(a −3)2+4，c 的平方根等于它本身.求a +√b −c 的平方根. 解：因为-(a -3)2≥0，所以a =3.【作业布置】1.教材P47习题6.1第3,4,7,8,9,10题.2.相应课时训练.教学步骤师生活动 板书设计6.1平方根 第3课时平方根1.平方根的概念.2.求一个正数的平方根的运算——开平方.3.平方根的性质及其应用：正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.4.平方根与算术平方根的区别与联系.教学反思本节课借助算术平方根的知识得出平方根的知识，渗透“类比思想”，通过大量实例让学生体会平方根的概念及其性质，渗透“具体—抽象—具体”的研究思路.结合学过的运算理解“开平方”的新运算，使学生的学习形成迁移.借助例题和课堂练习巩固新知，提高学生的学习能力.把a = 3代入b = √−(a−3)2+ 4，得b = 4.因为c的平方根等于它本身，所以c = 0.所以a + √b−c=3+√4−0=5，所以a+√b−c的平方根为±√5.增乘开方法增乘开方法是由我国古代数学家贾宪在十一世纪中叶所提出来的.那么古人又是如何求一个数的算术平方根的呢？下面以求55 225的算术平方根为例进行说明.1.由于55 225是一个五位数，因此我们估算商（即算术平方根）应当是一个三位数，并且由于万位上的数是5，所以估计商的百位数是2.2.令借为1，法的值则为借乘商（1×2），如图①.3.更新实，使之为原实减去商乘法（5-2×2=1），则新实为1，如图②.4.更新法为商乘借加到旧法上（2+2×1=4），如图③.5.将法后移一位，借后移两位，如图④.然后重复上面1~5的步骤：1.估算商的十位为3（3×4000=12000＜15225）.2.更新法为原法加上十位商乘借（4000+3×100=4300），如图⑤.3.更新实，使之为原实减去十位商乘法（15225-3×4300=2325），则新实为2325，如图⑥.4.更新法为十位商乘借加到旧法上（43+3×1=46）.5.将法后移一位，借后移两位，如图⑦.再重复上面的1~3的步骤，得到图⑧，此时更新后的实为0（2325-465×5=0）.由此我们得出，55 225的算术平方根为235.。

6.1.3平方根 (3 )1、了解平方根的概念，会用根号表示正数的平方根；了解开平方与平方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根。

2、通过学习平方根，进一步建立数感和符号感，发展抽象思维。

通过对正数平方根特点的探究，了解平方根与算术平方根的区别和联系，体验类比、化归等问题解决数学思想方法的运用，提高学生对问题的迁移能力。

3、通过对实际生活中问题的解决，让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的。

通过探究活动培养动手能力和锻炼克服困难的意志，建立自信心，提高学习热情。

教学重点: 了解开方和乘方互为逆运算，弄懂平方根与算术平方根的区别和联系。

教学难点:平方根与算术平方根的区别和联系。

教学方法: 自主探究、启发引导、小组合作教学过程一、情境导入过目不忘22222=225 =144 13=196 1511=169 14=1211222=222=400 16=256 17=361 20289 18=324 19二、自主探究1.探究x的值2 1 16 36 0.49 X2.生总结2的叫做a=a，那么这个数X一般地，如果一个数X的平方等于a，即x。

记作“±”，读作“正负根号a平方根（也叫做二次方根）”。

a例如，因为3和-3的平方都等于9，我们就说3和-3是9的平方根。

也可以说:9的平方根是±32观察讨论两种运算的不同求一个数的平方根的运算，叫做开平方．例如：，所以平方与开平方互为逆3的平方根是±9，9的平方等于运算叫做被开方数。

总结：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a 三、补偿提高 1、求下列各数的平方根0 ）0.25 ）（3100 （1）（22，因为（±解：(1) 10）=10010 所以 100的平方根是±2=0.25, 0.5） (2) 因为（±0.5所以0.25的平方根是±的平方根是0，所以0平方等于的0 因为(3)思考：按照平方根的概念，请同学们思考并讨论下列问题：一正数的平方根有什么特点？0的平方根是多少？负数有平方根吗？个是正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果，一个是负的算术平方a数没有平方根，即负数不能进行开平方运算，符号：正数 -a的负的平方根可用表示根可用a表示；正数a、比一比：看谁最快发现？判断下面的说法是否正确，如不正确，请说2 明理由。

第六章实数6.1.3 平方根本课主要学习平方根的概念、平方根的特征．本课既是前面学习的算术平方根的延续，又是用直接开平方法、公式法解一元二次方程的基础，同时本节课也为更好地理解立方根的概念和求法提供了思路和研究方法．一．教学任务分析《平方根》是七年级（下）第六章《实数》的第一节. 本节安排了三个课时完成.第一课时是了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根. 在具体的例子中抽象出概念，发展学生的抽象概括能力.第二课时估算算术平方根.第三课时学习“平方根”，区分“平方根”和“算术平方根” “平方”和“开平方”的概念做辨析，使学生在“引导--- 探索--- 类比 ----------------------- 发现”中发展学习数学的能力.二．学习目标知识目标1. 了解平方根、开平方的概念.2. 明确算术平方根与平方根的区别和联系.3. 进一步明确平方与开平方是互逆的运算关系.能力目标1. 经历平方根概念的形成过程,让学生不仅掌握概念, 而且提高和巩固所学知识的应用能力.2. 培养学生求同与求异的思维,通过比较提高思考问题、辨析问题的能力.情感目标1. 在学习中互相帮助、交流、合作、培养团队的精神.2. 在学习的过程中,培养学生严谨的科学态度.三.教学重点:1. 了解平方根开、平方根的概念.2. 了解开方与乘方是互逆的运算, 会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根和平方根.3. 了解平方根与算术平方根的区别与联系.教学难点:1. 平方根与算术平方根的区别和联系.2. 负数没有平方根, 即负数不能进行平方根的运算.四．教学方法引导、探究、类比相结合五．课前准备ppt 和flash六．教学过程设计本节课设计了六个教学环节：第一环节：复习旧知引入新知；第二环节：形成概念，辨析概念；第三环节：例题和巩固练习；第四环节：课堂小结；第五环节：思维拓展；第六环节：布置作业.第一环节：复习旧知引入新知（一）复习1 •什么叫算术平方根？3的平方等于9,那么9的算术平方根就是 _________ 3 _____ .22的平方等于_4 ，那么 土 的算术平方根就是 5_ _________ . 5 25 25 展厅的地面为正方形，其面积 49平方米，则边长 _7 米• 2.到目前为止，我们已学过哪些运算 ？这些运算之间的关系如何？乘方有没有逆运算？平方与算术平方根之间的关系？已知折叠着的正方形 ABCD 面积为1,则边长为__1—•将它扩展，面 积变为原来的2倍，那么 它的边长为 （2 ;若面积变为原来的 3倍，则边长为 丿3 ;若面积变为原来的 n 倍，则边 长为 _— •（二）复习引入4问题：平方等于9，务,49的数还有吗？意图：这一环节主要是复习旧知识和提出问题 ，由上节课的“算术平方根”的求法使学生能明白“平方”和“算术平方根”的关系，让学生在几何图形中认识.熟悉它们的互化关系.并把上节课的思考题制作 成FLASH 情景引入，增加动画效果.效果：借助多媒体吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣第二环节：新课学习（一）探究新知填空：2不存在）=-4 2 1 （4）=（ 4）（二）形成概念（1） 一般地，如果一个数的平方等于 a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根.而把正的平方根叫算术平 方根。